ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Δυναμική Ανάλυση Κατασκευών με Κατανεμημένη Μάζα και Ακαμψία Πτυχιακή Εργασία Φουκάκη Βαρβάρα Α.Μ. 358 Επιβλέπων Καθηγητής: Γεώργιος Τσιάτας Δρ. Πολ. Μηχανικός Αθήνα, Μάιος 1

Πξφινγνο... 3 Πεξίιεςε... 4 Abstract... 5 Κεθάιαην 1 ν :Δηζαγσγή... 6 1.1 Γεληθά:... 6 1. Γπλακηθή Αλάιπζε ησλ Καηαζθεπψλ... 6 1.3 Ζ Μέζνδνο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ... 7 1.4 Θεκειηψζεηο κε Παζζάινπο... 7 1.5 Αξηζκεηηθά Παξαδείγκαηα... 8 1.6 Σπκπεξάζκαηα... 8 Παξάξηεκα Α. Υπνινγηζηηθφο Κψδηθαο ζε Γιψζζα MAPLE 13... 8 Κεθάιαην : Γπλακηθή Αλάιπζε ησλ Καηαζθεπψλ... 9.1 Δηζαγσγή... 9. Γπλακηθά θνξηία... 9.3 Βαζκνί Διεπζεξίαο Κίλεζεο... 1.4 Γπλακηθφ Πξνζνκνίσκα... 1.5 Διεχζεξεο Ταιαληψζεηο Μνλνβάζκησλ Σπζηεκάησλ... 13.5.1 Διεχζεξεο Ταιαληψζεηο Μνλνβάζκησλ Σπζηεκάησλ ρσξίο απφζβεζε... 13.5. Διεχζεξεο Ταιαληψζεηο Μνλνβάζκησλ Σπζηεκάησλ κε απφζβεζε... 15.6 Γεληθεπκέλα Μνλνβάζκηα Σπζηήκαηα... 16.7 Πνιπβάζκηα Σπζηήκαηα... 18 Κεθάιαην 3 ν :Ζ Μέζνδνο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ... 4 3.1 Δηζαγσγή... 4 3. Ζ Μέζνδνο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ... 5 3..1 Ηδηφηεηεο ηνπ Σηνηρείνπ Δπίπεδνπ Πιαηζίνπ... 5 3.3 Σηαηηθή Σπκπχθλσζε.... 3 3.4 Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο Πνιπβάζκησλ Σπζηεκάησλ... 34 Κεθάιαην 4ν: Θεκειηψζεηο κε Παζζάινπο.... 37 4.1 Δηζαγσγή... 37 4. Τχπνη Θεκειηψζεσλ... 37 4..1 Δπηθαλεηαθέο Θεκειηψζεηο... 37 1

4.. Βαζηέο Θεκειηψζεηο.... 39 4.3 Μνληέιν Winkler... 43 4.4 Μεηξψν Αθακςίαο Γνθνχ επί Διαζηηθνχ Δδάθνπο... 45 Κεθάιαην 5 ν : Αξηζκεηηθά Παξαδείγκαηα... 51 5.1 Δηζαγσγή... 51 5. Υπνινγηζκφο Ηδηνζπρλνηήησλ κε ρξήζε Αλαιπηηθψλ Μεζφδσλ... 51 5.3 Υπνινγηζκφο Ηδηνζπρλνηήησλ θαη Ηδηνκνξθψλ κε ηε ρξήζε ηεο Μεζφδνπ ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ... 54 5.3.1 Παξάδεηγκα Δπίιπζεο... 54 5.3.1 Πίλαθεο Απνηειεζκάησλ.... 71 5.4 Γπλακηθή Αλάιπζε Παζζάινπ κε ηε ρξήζε ηεο Μεζφδνπ ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ 1 Κεθάιαην 6 ν : Σπκπεξάζκαηα... 16 6.1 Γεληθά... 16 6. Σπκπεξάζκαηα... 16 Βηβιηνγξαθία... 18 Παξάξηεκα Α... 19 Α.1 Γεληθά... 19 Α. Υπνινγηζηηθφο θψδηθαο γηα ηελ αθξηβή ελεξγεηαθή ιχζε ηνπ κνλνβάζκηνπ ζπζηήκαηνο. 19 Α..1 Υπνινγηζκφο γηα ηε ζπλάξηεζε ζρήκαηνο ειαζηηθήο γξακκήο πξνβφινπ ππφ νκνηφκνξθε θφξηηζε... 19 Α.. Υπνινγηζκφο γηα ζπλάξηεζε ζρήκαηνο πξψηεο ηδηνκνξθήο ηαιάλησζεο πξνβφινπ ζηαζεξήο δηαηνκήο... 11 Α.3 Υπνινγηζηηθφο θψδηθαο γηα ηελ βηνκεραληθή θαπλνδφρν- 5 πεπεξαζκέλα ζηνηρεία... 111 Α.4 Υπνινγηζηηθφο θψδηθαο γηα πάζζαιν αηρκήο-3 εδαθηθά ζηξψκαηα... 13

Πρόλογος Ζ παξνχζα πηπρηαθή εξγαζία μεθίλεζε ηνλ Απξίιην ηνπ 11 ππφ ηελ επίβιεςε ηνπ Καζεγεηή θ. Γ.Φ. Τζηάηα, Γξ. Πνιηηηθφ Μεραληθφ ηνπ Τνκέα Γνκνζηαηηθνχ Σρεδηαζκνχ ηνπ Τκήκαηνο Πνιηηηθψλ Γνκηθψλ Έξγσλ ηνπ Τ.Δ.Η Πεηξαηά θαη νινθιεξψζεθε ηνλ Μάην ηνπ 1. Απφ ηε ζέζε απηή, ζα ήζεια λα επραξηζηήζσ ζεξκά ηνλ Καζεγεηή θ. Γ.Φ. Τζηάηα, γηα ηελ πνιχηηκε θαζνδήγεζή ηνπ, γηα ηε βνήζεηά ηνπ ζηνλ ηνκέα ηνπ πξνζαλαηνιηζκνχ θαη γηα ηελ άςνγε ζπλεξγαζία πνπ είρακε θαηά ηε δηάξθεηα ηεο εθπφλεζεο ηεο εξγαζίαο απηήο. Αζήλα, Μάηνο 1 3

Περίληυη Σηελ παξνχζα πηπρηαθή δηεξεπλψληαη νη δπλακηθέο ζπκπεξηθνξέο ζπζηεκάησλ κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη αθακςία. Σηφρνο ηεο εξγαζίαο απηήο είλαη ε θαηαζθεπή αλαιπηηθψλ ιχζεσλ εχξεζεο ηδηνδπλακηθψλ ραξαθηεξηζηηθψλ ζε ζπζηήκαηα κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη αθακςία θαζψο θαη ε ζχγθξηζή ηνπο κε ππάξρνπζεο αξηζκεηηθέο κεζφδνπο. Παξνπζηάδνληαη δχν παξαδείγκαηα: κία θαπλνδφρνο θαηαζθεπαζκέλε απφ νπιηζκέλν ζθπξφδεκα θαζψο θαη έλαο πάζζαινο απφ νπιηζκέλν ζθπξφδεκα. Γηα ηελ θαπλνδφρν, ππνινγίζηεθε ζχκθσλα κε ην γεληθεπκέλν κνλνβάζκην κνληέιν ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο. Σηε ζπλέρεηα, ζπληάρζεθε ππνινγηζηηθφο θψδηθαο ζε γιψζζα MAPLE γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ ηδηνζπρλνηήησλ θαη ησλ ηδηνκνξθψλ ηεο. Γηαηεξψληαο ην χςνο θαη ην πάρνο ηνπ θειχθνπο ηεο θαπλνδφρνπ ζηαζεξφ, ειήθζεζαλ απνηειέζκαηα γηα ζπλερψο απμαλφκελν αξηζκφ ζηνηρείσλ. Γηα ηνλ πάζζαιν, ζπληάρζεθε ππνινγηζηηθφο θψδηθαο ζε γιψζζα MAPLE γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ ηδηνδπλακηθψλ ραξαθηεξηζηηθψλ ηνπ. Απνηειέζκαηα παξνπζηάδνληαη γηα παξακεηξηθέο αλαιχζεηο αλάινγα κε ηηο ζηξψζεηο ηνπ εδάθνπο ηηο νπνίεο δηαπέξλα ν πάζζαινο. Τέινο, παξνπζηάδνληαη ηα ζπκπεξάζκαηα πνπ έρνπλ πξνθχςεη απφ αλαιχζεηο ησλ πξνεγνχκελσλ παξαδεηγκάησλ. 4

Abstract In this thesis the dynamic behavior of systems with distributed mass and stiffness is investigated. The goal of this thesis is to construct analytical solutions to predict the dynamical behavior (evaluation of eigenvalues, eigenvectors) of systems with distributed mass and stiffness and also to compare them with existing computational techniques. concrete. Two examples are presented; an industrial chimney and a pile, both made by reinforced The eigenvalue of the industrial chimney is estimated, according to the generalized onedegree of freedom model. Then, a program code was written in MAPLE for calculating both eigenvalues and eigenvectors. Keeping chimney s height and thickness constant results are presented with increasing the number of the finite elements. Another program code was written in MAPLE to calculate the pile s dynamic characteristics. Parametric results are presented according to the ground layers of the pile. 5

Κεθάλαιο 1 ο :Διζαγφγή 1.1 Γενικά: Σηελ παξνχζα πηπρηαθή εξγαζία εμεηάδεηαη ε δπλακηθή ζπκπεξηθνξά ηνλ θαηαζθεπψλ κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη θαηαλεκεκέλε αθακςία. Μειεηψληαη κία βηνκεραληθή θαπλνδφρνο θαη έλαο πάζζαινο ζεκειίσζεο. Ζ εξγαζία απνηειείηαη απφ ηα εμήο θεθάιαηα: Κεθάιαην 1: Δηζαγσγή Κεθάιαην : Γπλακηθή αλάιπζε ησλ θαηαζθεπψλ Κεθάιαην 3: Ζ Μέζνδνο ησλ πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ Κεθάιαην 4: Θεκειηψζεηο κε παζζάινπο. Κεθάιαην 5: Αξηζκεηηθά Παξαδείγκαηα Κεθάιαην 6: Σπκπεξάζκαηα Παξάξηεκα Α: Υπνινγηζηηθφο θψδηθα ζε γιψζζα MAPLE 13. 1. Γσναμική Ανάλσζη ηφν Καηαζκεσών Οη θαηαζθεπέο ηνπ πνιηηηθνχ κεραληθνχ, πέξα ησλ ζηαηηθψλ θνξηίσλ, ππνβάιινληαη θαη ζε δπλακηθά θνξηία. Τα δπλακηθά θνξηία είλαη θνξηία ησλ νπνίσλ ην κέγεζνο, ε δηεχζπλζε ή θαη ε ζέζε κεηαβάιινληαη ζπλαξηήζεη ηνπ ρξφλνπ. Τν αληηθείκελν ηεο δπλακηθήο αλάιπζεο ησλ θαηαζθεπψλ είλαη ν πξνζδηνξηζκφο ηεο παξακφξθσζεο θαζψο θαη ησλ εληάζεσλ ζε κηα θαηαζθεπή, φηαλ ε θαηαζθεπή απηή ππνβάιιεηαη ζε δπλακηθή θφξηηζε. Σην θεθάιαην απηφ παξνπζηάδνληαη νη γεληθέο έλλνηεο ηεο δπλακηθήο ησλ θαηαζθεπψλ. Σπγθεθξηκέλα, νξίδνληαη ηα δπλακηθά θνξηία, νη βαζκνί ειεπζεξίαο θίλεζεο ηεο θαηαζθεπήο, ην δπλακηθφ πξνζνκνίσκα, γίλεηαη αλαθνξά ζηηο ειεχζεξεο ηαιαληψζεηο- κε απφζβεζε θαη ρσξίο απφζβεζε-, ζηα γεληθεπκέλα κνλνβάζκηα ζπζηήκαηα θαζψο θαη ζηα πνιπβάζκηα ζπζηήκαηα. 6

1.3 Η Μέθοδος ηφν Πεπεραζμένφν Σηοιτείφν Σηηο πξαγκαηηθέο θαηαζθεπέο, ε ζπλήζεο πεξίπησζε πνπ ζπλαληάηαη είλαη ε θαηαλεκεκέλε κάδα. Δάλ νη θαηαζθεπέο απηέο αληηκεησπηζηνχλ σο ζπλερή ζπζηήκαηα, απαηηείηαη ε επίιπζε κεξηθψλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ, γηα ηηο πνίεο ζα πξέπεη λα είλαη γλσζηέο αξρηθέο θαη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Απηφ απνηειεί, φκσο, έλα δχζθνιν καζεκαηηθφ πξφβιεκα. Σε απηφ ην πξφβιεκα δίλεη ιχζε ε Μέζνδνο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ (Finite Elements Method). Σηε κέζνδν ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, θάζε θαηαζθεπή δηαηξείηαη ζε κηθξφηεξα ζηνηρεία, ηα νπνία ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο ζηνπο θφκβνπο. Οη θφκβνη είλαη δηαθξηηά ζεκεία ζχλδεζεο ησλ ζηνηρείσλ ηεο θαηαζθεπήο. Σε απηνχο εμαζθαιίδεηαη ε ζπλζήθε ηνπ ζπκβηβαζηνχ ησλ παξακνξθψζεσλ (κεηαηνπίζεσλ θαη ζηξνθψλ) θαζψο θαη ε ηζνξξνπία ησλ ηζνδχλακσλ επηθφκβησλ δξάζεσλ. «Μεηά ηε δηαθξηηνπνίεζε, δερόκαζηε κέζα ζε θάζε ζηνηρείν όηη ε ζπλάξηεζε ηνπ πεδίνπ (ηεο κεηαηνπίζεσο ελ πξνθεηκέλσ) κεηαβάιιεηαη ζύκθσλα κε γλσζηό λόκν, ν νπνίνο εθθξάδεηαη σο επαιιειία ζρήκαηνο, ζπλαξηήζεσλ ζρήκαηνο, πνπ αληηζηνηρνύλ ζε κνλαδηαίεο ηηκέο ησλ επηθόκβησλ κεηαηνπίζεσλ ηνπ ζηνηρείνπ.» (Καηζηθαδέιεο. 4, ζει. 41). Με παξφκνην ηξφπν εθθξάδνληαη ε ειαζηηθή θαη θηλεηηθή ελέξγεηα, θαζψο θαη ην δπλαηφ έξγν ησλ κε ζπληεξεηηθψλ δπλάκεσλ. Οη επηθφκβηεο δξάζεηο πξνθχπηνπλ σο γεληθεπκέλεο δπλάκεηο ησλ εμηζψζεσλ Lagrange. Απφ ην ζπκβηβαζηφ ησλ κεηαηνπίζεσλ θαη ηελ ηζνξξνπία ησλ επηθφκβησλ δξάζεσλ θαηά ηηο δηεπζχλζεηο ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο, βξίζθνληαη νη δηαθνξηθέο εμηζψζεηο θίλεζεο ηεο θαηαζθεπήο. 1.4 Θεμελιώζεις με Παζζάλοσς Ο Πνιηηηθφο Μεραληθφο αληηκεησπίδεη ηαθηηθά πξνβιήκαηα πνπ αθνξνχλ ην έδαθνο. Τν έδαθνο ρξεζηκνπνηείηαη σο κέζνλ ζεκειίσζεο ησλ ηερληθψλ έξγσλ, ζαλ πιηθφ θαηαζθεπήο ρσκάηηλσλ έξγσλ (π.ρ. θξαγκάησλ, επηρσκάησλ θ.η.ι.) θ.α. Όια ηα έξγα ηνπ Πνιηηηθνχ Μεραληθνχ πξέπεη λα ζεκειησζνχλ ζην έδαθνο. Υπάξρεη πνηθηιία ζηνπο ηχπνπο ζεκειίσζεο ησλ ηερληθψλ έξγσλ. Ζ επηινγή ηνπ ηχπνπ ζεκειίσζεο εμαξηάηαη απφ πνιιέο παξακέηξνπο, φπσο ην είδνο ηνπ εδάθνπο, νη απαηηήζεηο ηνπ έξγνπ, νη νηθνλνκηθέο ζπλζήθεο θ.ν.θ. 7

1.5 Αριθμηηικά Παραδείγμαηα Σην θεθάιαην απηφ, δηεξεπλάηαη ε ζπκπεξηθνξά θαηαζθεπψλ κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη θαηαλεκεκέλε αθακςία. Αξρηθά, κειεηάηαη κία βηνκεραληθή θαπλνδφρνο θαηαζθεπαζκέλε απφ ζθπξφδεκα. Γίλεηαη ππνινγηζκφο ηεο ηδηνζπρλφηεηάο ηεο κε αλαιπηηθέο κεζφδνπο. Καηφπηλ, γίλεηαη πξνζέγγηζε ησλ ηδηνζπρλνηήησλ θαη ησλ ηδηνκνξθψλ ηεο θαηαζθεπήο κε αξηζκεηηθέο κεζφδνπο (Μέζνδνο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ). Γηα ηε δπλακηθή αλάιπζε ηεο θαηαζθεπήο, ζπληάρζεθε ππνινγηζηηθφο θψδηθαο ζε γιψζζα MAPLE 13. Σηε ζπλέρεηα, κειεηάηαη πάζζαινο αηρκήο γηα ηνλ νπνίν ζπληάρζεθε, επίζεο, ππνινγηζηηθφο θψδηθαο ζε γιψζζα MAPLE 13. Σην ηέινο ηνπ θεθαιαίνπ, παξνπζηάδνληαη ηα αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα γηα ηηο ηδηνζπρλφηεηεο θαη ηηο ηδηνκνξθέο ησλ δχν απηψλ θαηαζθεπψλ. 1.6 Σσμπεράζμαηα Σην θεθάιαην απηφ παξνπζηάδνληαη ηα ζπκπεξάζκαηα πνπ πξνέθπςαλ απφ ηε δπλακηθή αλάιπζε ηεο βηνκεραληθήο θαπλνδφρνπ ηνπ παζζάινπ αηρκήο. Παράρηημα Α. Υπολογιζηικός Κώδικας ζε Γλώζζα MAPLE 13 Σην παξάξηεκα απηφ παξνπζηάδεηαη ν ππνινγηζηηθφο θψδηθαο ζε γιψζζα MAPLE 13. Ζ MAPLE είλαη έλα παθέην γηα καζεκαηηθνχο ππνινγηζκνχο. Με πάλσ απφ 3 ππνινγηζηηθέο ζπλαξηήζεηο, ηε δηθή ηεο γιψζζα πξνγξακκαηηζκνχ θαη πνιιέο δπλαηφηεηεο δηαζχλδεζεο κε άιιεο εθαξκνγέο (Matlab, Excel) θαη κε ην Web, απνηειεί έλα ηζρπξφ καζεκαηηθφ εξγαιείν. 8

Κεθάλαιο : Γσναμική Ανάλσζη ηφν Καηαζκεσών.1 Διζαγφγή Οη θαηαζθεπέο ηνπ πνιηηηθνχ κεραληθνχ, πέξα ησλ ζηαηηθψλ θνξηίσλ, ππνβάιινληαη θαη ζε δπλακηθά θνξηία. Τα δπλακηθά θνξηία είλαη θνξηία ησλ νπνίσλ ην κέγεζνο, ε δηεχζπλζε ή θαη ε ζέζε κεηαβάιινληαη ζπλαξηήζεη ηνπ ρξφλνπ. Τν αληηθείκελν ηεο δπλακηθήο αλάιπζεο ησλ θαηαζθεπψλ είλαη ν πξνζδηνξηζκφο ηεο παξακφξθσζεο θαζψο θαη ησλ εληάζεσλ ζε κηα θαηαζθεπή, φηαλ ε θαηαζθεπή απηή ππνβάιιεηαη ζε δπλακηθή θφξηηζε. Σην θεθάιαην απηφ παξνπζηάδνληαη νη γεληθέο έλλνηεο ηεο δπλακηθήο ησλ θαηαζθεπψλ. Σπγθεθξηκέλα, νξίδνληαη ηα δπλακηθά θνξηία, νη βαζκνί ειεπζεξίαο θίλεζεο ηεο θαηαζθεπήο, ην δπλακηθφ πξνζνκνίσκα, γίλεηαη αλαθνξά ζηηο ειεχζεξεο ηαιαληψζεηο- κε απφζβεζε θαη ρσξίο απφζβεζε-, ζηα γεληθεπκέλα κνλνβάζκηα ζπζηήκαηα θαζψο θαη ζηα πνιπβάζκηα ζπζηήκαηα.. Γσναμικά θορηία Όπσο αλαθέξζεθε θαη παξαπάλσ, «δπλακηθά θνξηία είλαη εθείλα, ησλ νπνίσλ ε έληαζε ή θαη ε ζέζε κεηαβάιινληαη ζπλαξηήζεη ηνπ ρξόλνπ», φπσο γηα παξάδεηγκα ηα θνξηία ηα νπνία νθείινληαη ζε θίλεζε κεραλψλ, ζε θίλεζε νρεκάησλ, ζε αλεκνπίεζε θιπ. Ζ θίλεζε απηή παξάγεη θάπνηα δπλακηθή θαηαπφλεζε. Τέηνηα θίλεζε είλαη θαη ε ζεηζκηθή θίλεζε ηνπ εδάθνπο. Τα δπλακηθά θνξηία ρσξίδνληαη ζε θαηεγνξίεο: Τα ληεηεξκηληζηηθά ή αηηηνθξαηηθά θνξηία. Σηελ θαηεγνξία απηή αλήθνπλ ηα θνξηία ησλ νπνίσλ ε ρξνληθή κεηαβνιή είλαη γλσζηή ζε φιε ηε ρξνληθή δηάξθεηα πνπ εμεηάδεηαη ε ζπκπεξηθνξά ηεο θαηαζθεπήο. Τα ηπραία ή ζηνραζηηθά. Σηελ θαηεγνξία απηή αλήθνπλ ηα θνξηία γηα ηα νπνία ε ρξνληθή κεηαβνιή δελ είλαη πιήξσο γλσζηή. Τα ληεηεξκηληζηηθά θνξηία ρσξίδνληαη ζε πεξηνδηθά θαη απεξηνδηθά. Πεξηνδηθά θνξηία νλνκάδνληαη ηα θνξηία ησλ νπνίσλ ε ρξνληθή κεηαβνιή επαλαιακβάλεηαη δηαξθψο κεηά απφ 9

παξέιεπζε ελφο ζηαζεξνχ ρξνληθνχ δηαζηήκαηνο Τ. Ζ ζηαζεξά Τ νλνκάδεηαη πεξίνδνο ηεο θφξηηζεο. Απεξηνδηθά νλνκάδνληαη φια ηα κε πεξηνδηθά θνξηία [1]..3 Βαθμοί Δλεσθερίας Κίνηζης Γηα ηε δπλακηθή αλάιπζε ησλ θνξέσλ πξνζθέξεηαη θαη εμνρήλ ε κέζνδνο ησλ κεηαθηλήζεσλ. Σηε κέζνδν ησλ κεηαθηλήζεσλ ιακβάλνληαη σο άγλσζηνη νη ζπληζηψζεο ησλ κεηαθηλήζεσλ δηαθφξσλ ζεκείσλ ηεο θαηαζθεπήο. Όηαλ ππνινγηζηνχλ νη κεηαθηλήζεηο απηέο, σο ρξνληθέο ζπλαξηήζεηο, καο επηηξέπνπλ ηνλ πιήξε θαζνξηζκφ ησλ παξακνξθψζεσλ αιιά θαη ησλ εληάζεσλ πνπ αζθνχληαη ζην θνξέα. Ο βαζκόο ειεπζεξίαο θίλεζεο ηζνύηαη κε ην πιήζνο ησλ αλεμάξηεησλ ζπληζησζώλ κεηαθηλήζεσλ πνπ απαηηνύληαη γηα ηνλ θαζνξηζκό ηεο γεσκεηξίαο ηνπ παξακνξθσκέλνπ θνξέα ζε θάζε ρξνληθή ζηηγκή ηεο θίλεζήο ηνπ. Ο βαζκφο ειεπζεξίαο θίλεζεο ηνπ θνξέα δελ ηαπηίδεηαη πάληνηε κε ηνλ βαζκφ θηλεκαηηθήο ανξηζηίαο ηνπ. Ο βαζκόο θηλεκαηηθήο ανξηζηίαο ηνπ θνξέα είλαη ην πιήζνο ησλ δεζκεύζεσλ πνπ πξέπεη λα επηβιεζνύλ ζην θνξέα ώζηε απηόο λα παγησζεί θαηά ηελ έλλνηα ηεο ζηαηηθήο. Τα ζπζηήκαηα πνπ έρνπλ έλα βαζκφ ειεπζεξίαο νλνκάδνληαη κνλνβάζκηα. Στ..1 Σπζηήκαηα κε έλαλ βαζκφ ειεπζεξίαο θίλεζεο [1] 1

Στ.. Σπζηήκαηα κε έλαλ βαζκφ ειεπζεξίαο θίλεζεο [1] Τα ζπζηήκαηα κε δχν βαζκνχο ειεπζεξίαο νλνκάδνληαη δηβάζκηα. Στ..3 Σπζηήκαηα κε δχν βαζκνχο ειεπζεξίαο θίλεζεο [1] Τα ζπζηήκαηα κε πνιινχο βαζκνχο ειεπζεξίαο νλνκάδνληαη πνιπβάζκηα. Στ..4 Πνιπβάζκην Σχζηεκα [1] 11

[1]. Καη, ηέινο, ηα ζπζηήκαηα κε άπεηξνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο, νλνκάδνληαη απεηξνβάζκηα Στ..5 Απεηξνβάζκην Σχζηεκα [1].4 Γσναμικό Προζομοίφμα Γηα έλαλ βαζκφ ειεπζεξίαο θίλεζεο (κνλνβάζκην ζχζηεκα), ην δπλακηθφ κνληέιν απνηειείηαη απφ κία κάδα-πνπ αληηπξνζσπεχεη ην πιηθφ ζψκα-, έλα ειαηήξην- πνπ αληηπξνζσπεχεη ηηο ειαζηηθέο δπλάκεηο- θαη έλαλ απνζβεζηήξα- πνπ αληηπξνζσπεχεη ηηο δπλάκεηο ηξηβήο ηεο θαηαζθεπήο [1]. Στ..6 Πξνζνκνίσκα Μνλνβάζκηνπ Σπζηήκαηνο [1] Γηα κηα ηπραία ρξνληθή ζηηγκή t, γηα ηελ νπνία ε κεηαηφπηζε ηνπ ζψκαηνο είλαη u(t) απφ ηε ζέζε ηζνξξνπίαο, ζην ζψκα αζθνχληαη νη εμήο δπλάκεηο: 1

Στ..7 Διεχζεξν ζψκα κε ηηο εμσηεξηθέο δπλάκεηο [1] 1. Ζ εμσηεξηθή δχλακε p(t). H ειαζηηθή δχλακε 3. Ζ δχλακε απφζβεζεο 4. H αδξαλεηαθή δχλακε.5 Δλεύθερες Ταλανηώζεις Μονοβάθμιφν Σσζηημάηφν Διεύζεξεο ηαιαληώζεηο νλνκάδνληαη νη ηαιαληώζεηο όηαλ δελ επελεξγεί εμσηεξηθή δύλακε p(t). Δπνκέλσο, θαη ζχκθσλα κε ην δπλακηθφ πξνζνκνίσκα, ε εμίζσζε ηεο θίλεζεο γηα έλα κνλνβάζκην ζχζηεκα έρεη ηε κνξθή [] mu cu ku (.1).5.1 Διεύζεξεο Ταιαληώζεηο Μνλνβάζκησλ Σπζηεκάησλ ρσξίο απόζβεζε Όηαλ ε απφζβεζε ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη c=, ηφηε κηιάκε γηα Διεχζεξεο Ταιαληψζεηο ρσξίο Απφζβεζε. Δπνκέλσο, ε ζρέζε.1 γίλεηαη mu ku (.) Γηα ηελ εμίζσζε απηή, αλαδεηείηαη ιχζε ηεο κνξθήο φπνπ ι κηα πξνζδηνξηζηέα ζηαζεξά. u e t (.3) 13

Με παξαγψγηζε ηεο.3, πξνθχπηεη u t e (.4) Αληηθαζηζηψληαο ζηελ. ηηο.3 θαη.4 ( m k) e t (.5) t Γηα t, ηζρχεη φηη e, επνκέλσο ε εμίζσζε.4 αιεζεχεη κφλν φηαλ ( m k) (.6) Φξεζηκνπνηψληαο ηελ ηαπηφηεηα ηνπ Euler, ε γεληθή ιχζε ηεο.3 είλαη cos sin u t A t B t (.7) φπνπ Α, Β νη λέεο απζαίξεηεο ζηαζεξέο πνπ εηζάγνληαη ζηελ εμίζσζε. Γηα ηα Α, Β ηζρχεη A A' B' B i( A' B') Γηα λα πξνζδηνξηζηνχλ νη απζαίξεηεο απηέο ζηαζεξέο είλαη απαξαίηεηε ε γλψζε ησλ αξρηθψλ ζπλζεθψλ, ε γλψζε, δειαδή, ηεο ζέζεο θαη ηεο ηαρχηεηαο γηα θάπνηα ρξνληθή ζηηγκή. Σπλήζσο, ιακβάλεηαη σο ρξνληθή ζηηγκή ε αξρή ηεο θίλεζεο, t. Ζ ηαρχηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή t, ιακβάλεηαη εάλ παξαγσγηζηεί ε.6. Δπνκέλσο u( t) Asint cost (.8) Οη ζρέζεηο.7 θαη.8 γηα t= δίλνπλ ut () A u(), B (.9) Δπνκέλσο, ε.7 γξάθεηαη 14

ut () u( t) sint B cost (.1) Όηαλ u() u( t), ηφηε θαη ut ( ). Γειαδή, γηα λα ππάξμεη θίλεζε πξέπεη έλα απφ ηα u() ή () λα είλαη δηάθνξν ηνπ κεδελφο. Πξέπεη, επνκέλσο, ζην ζχζηεκα λα δίλεηαη θάπνηα αξρηθή κεηαηφπηζε απφ ηε ζέζε ζηαηηθήο ηζνξξνπίαο ψζηε λα ππάξρεη θάπνηα αξρηθή ηαρχηεηα. Ο ρξόλνο Τ πνπ απαηηείηαη γηα λα εθηειέζεη ην ζύζηεκα κηα πιήξε ηαιάλησζε, νλνκάδεηαη ηδηνπεξίνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο θαη ππνινγίδεηαη απφ ηε ζρέζε T (.11) θαη εθθξάδεηαη ζε κνλάδεο ρξφλνπ (1s). Τν αληίζηξνθν ηεο ηδηνπεξηφδνπ f 1 (.1) T πνπ εθθξάδεη ηνλ αξηζκφ ησλ πιήξσλ ηαιαληψζεσλ ζηε κνλάδα ηνπ ρξφλνπ, νλνκάδεηαη ζπρλφηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο. Μνλάδα κέηξεζεο ηεο ηδηνζπρλφηεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ην 1 1 Hertz ( s ). rad s ή Τν κέγεζνο σ νλνκάδεηαη θπθιηθή ηδηνζπρλόηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο θαη έρεη δηαζηάζεηο 1 s. Δμαξηάηαη από ηε κάδα θαη ηελ αθακςία ηνπ ζπζηήκαηνο θαη απνηειεί ίδηνδπλακηθό ραξαθηεξηζηηθό κέγεζνο ηνπ ζπζηήκαηνο[]..5. Διεύζεξεο Ταιαληώζεηο Μνλνβάζκησλ Σπζηεκάησλ κε απόζβεζε Σηελ πεξίπησζε απηή ηζρχεη φηη c. Δπνκέλσο, ε εμίζσζε θίλεζεο γξάθεηαη mu cu ku (.13) Αλαδεηψληαο θαη πάιη ιχζε ηεο κνξθήο u e t (.14) 15

πξνθχπηεη ε παξαθάησ ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε m c k (.15) ή c (.16) m Οη ξίδεο ηεο εμίζσζεο ππνινγίδνληαη απφ ηε ζρέζε 1, c c m m (.17) Τν είδνο ησλ ξηδψλ εμαξηάηαη απφ ην πξφζεκν ηεο δηαθξίλνπζαο, δειαδή ηεο πνζφηεηαο πνπ βξίζθεηαη ζην ππφξηδν. Γηα Γ, ππάξρνπλ πξαγκαηηθέο ξίδεο. Γηα Γ=, ππάξρεη κηα δηπιή πξαγκαηηθή ξίδα. Γηα Γ<, ππάξρνπλ ζπδπγείο κηγαδηθέο ξίδεο. Κξίζηκε νλνκάδεηαη ε απφζβεζε κεηά ηελ νπνία ην ζχζηεκα κεηαπίπηεη απφ πεξηνδηθή ζε απεξηνδηθή θίλεζε. Σηελ πεξίπησζε ηεο ππνθξίζηκεο απόζβεζεο, ε ηηκή ηνπ ζπληειεζηή απφζβεζεο είλαη πνιχ κηθξφηεξε ηεο θξίζηκεο ηηκήο. Όηαλ ε απφζβεζε ραξαθηεξίδεηαη ππεξθξίζηκε, ε θίλεζε δελ είλαη ηαιάλησζε. Τν ζχζηεκα επαλέξρεηαη ζε θαηάζηαζε εξεκίαο, αθνινπζψληαο εθζεηηθφ λφκν[]..6 Γενικεσμένα Μονοβάθμια Σσζηήμαηα Γηα ηε κειέηε ηεο δπλακηθήο ζπκπεξηθνξάο κηαο θαηαζθεπήο, γηα ιφγνπο δηεπθφιπλζεο, δηαηππψλεηαη ε παξαδνρή φηη ε κάδα θάζε ζηνηρείνπ ηεο θαηαζθεπήο βξίζθεηαη ζπγθεληξσκέλε ζηα άθξα ηνπ, δειαδή ε κηζή κάδα βξίζθεηαη ζηελ θεθαιή θαη ε άιιε κηζή ζηνλ πφδα. Γηα ηελ θαιχηεξε πξνζέγγηζε ηνπ δπλακηθνχ πξνζνκνηψκαηνο, ε κάδα κπνξεί λα ζεσξεζεί θαηαλεκεκέλε ζε φιν ην κήθνο ηνπ ζηνηρείνπ, κε δπλαηφηεηα επηινγήο ηνπ ζρήκαηνο ηεο παξακφξθσζεο ψζηε λα πιεζηάδεη ην πξαγκαηηθφ φζν ην δπλαηφλ θαιχηεξα. Δπεθηείλνληαο ηε κέζνδν απηή, κπνξεί λα πξνζεγγηζηεί έλα ζπλζεηφηεξν γεληθεπκέλν κνλνβάζκην ζχζηεκα. 16

Φαξαθηεξηζηηθφ παξάδεηγκα ηέηνηνπ ζπλζεηφηεξνπ γεληθεπκέλνπ κνλνβάζκηνπ ζπζηήκαηνο απνηειεί ε παθησκέλε δνθφο ηνπ ζρήκαηνο Στ..8 Παθησκέλε Γνθφο επί Διαζηηθνχ Δδάθνπο [1] Ζ δνθφο ζηεξίδεηαη κε πάθησζε ζην ζεκείν 1 θαη κε απιή ζηήξημε ζην ζεκείν. Σε φιν ηεο ην κήθνο ζηεξίδεηαη επί κε νκνηνγελνχο ειαζηηθνχ εδάθνπο ηχπνπ Winkler, κε δείθηε εδάθνπο k(x). Τν έδαθνο αληηδξά κε θαηαλεκεκέλε απφζβεζε κε ζπληειεζηή c(x). Γηα ηε ξνπή αδξαλείαο θαη ηε κάδα ηεο δνθνχ ηζρχεη I=I(x) θαη m=m(x), αθνχ ε δηαηνκή είλαη κεηαβιεηή. Σηα ζεκεία x=, γηα i=1,,,n, ππάξρνπλ ζπγθεληξσκέλεο κάδεο κε ζηξνθηθή αδξάλεηα. Ζ δνθφο θνξηίδεηαη κε εγθάξζην θαηαλεκεκέλν θνξηίν p(x,t) θαη ζπγθεληξσκέλν αμνληθφ θνξηίν P ζην άθξν. Ζ ζπλάξηεζε ζρήκαηνο ζα επηιεγεί ψζηε λα ηζρχνπλ ηα παξαθάησ (), '(), ( L), '( L) (.18) Δπηιέγεηαη ε ειαζηηθή γξακκή κνλφπαθηεο δνθνχ ζηαζεξήο δηαηνκήο ππφ νκνηφκνξθν θνξηίν, ε νπνία θαιχπηεη ηηο πξνυπνζέζεηο. Υπνινγίδνληαο ηνλ φξν L L * k EI ( x) '' x dx k( x) x dx (.19) βξίζθεηαη ε αθακςία ηνπ ζπζηήκαηνο. Ζ κάδα ηνπ ζπζηήκαηνο ππνινγίδεηαη απφ ηνλ ηχπν 17

L N N * m m( x) ' x dx mi xi Ii xi i1 i1 (.) ηχπνπο Τέινο, ε απφζβεζε ηνπ ζπζηήκαηνο θαζψο θαη ην θνξηίν, ππνινγίδνληαη απφ ηνπο L * c c( x) ( x) dx (.1) L * p p( x, t) ( x) dx (.) [1].7 Πολσβάθμια Σσζηήμαηα Σηηο θαηαζθεπέο ηνπ πνιηηηθνχ κεραληθνχ, ελψ ε κάδα είλαη θαηαλεκεκέλε ζε φια ηα κέιε ηα θαηαζθεπήο, πνιιέο θνξέο εκθαλίδεη ζπγθεληξψζεηο ζε ζεκεία ή πεξηνρέο. Όπσο, γηα παξάδεηγκα, ζε έλα θηίξην, ε κάδα ζπγθεληξψλεηαη ζηηο ζηάζκεο ηνπ θάζε νξφθνπ, ζε έλαλ πδαηφππξγν ζπγθεληξψλεηαη ζηελ θεθαιή ηνπ ζηχινπ πνπ ζηεξίδεηαη ε δεμακελή, θηι. Λφγσ απηήο ηεο ζπγθέληξσζεο ηεο κάδα, επηηξέπεηαη ε πεξηγξαθή ηνπ απεηξνβάζκηνπ ζπζηήκαηνο απφ θάπνην πνιπβάζκην, ιακβάλνληαο σο ζπληεηαγκέλεο ηεο παξακφξθσζεο ηηο ζπληζηψζεο κεηαηφπηζεο ησλ ζεκείσλ ηεο θαηαζθεπήο φπνπ παξνπζηάδεηαη ζπγθέληξσζε αδξαλεηαθψλ ραξαθηεξηζηηθψλ. Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη έλα ηξηψξνθν πιαίζην ηνπ νπνίνπ ηα δπγψκαηα είλαη πξαθηηθά άθακπηα. Όπσο αλαθέξζεθε παξαπάλσ, ζηελ θαηαζθεπή απηή, ε κάδα είλαη ζπγθεληξσκέλε ζηηο ζηάζκεο ησλ νξφθσλ ηνπ πιαηζίνπ. Τν ζχζηεκα έρεη ηξεηο βαζκνχ ειεπζεξίαο θαη πξέπεη λα πξνζδηνξηζηνχλ νη ηξεηο άγλσζηεο κεηαηνπίζεηο πνπ θαίλνληαη ζην ζρήκα. Σηελ πεξίπησζε ηνπ πδαηφππξγνπ, γίλεηαη ε παξαδνρή φηη ε κάδα ηνπ ζηχινπ είλαη ακειεηέα ζε ζχγθξηζε κε εθείλε ηεο δεμακελήο. Με βάζεη ηελ παξαδνρή απηή, ν πδαηφππξγνο πξνζνκνηψλεηαη κε έλα απιφ κνληέιν ελφο εχθακπηνπ ζηχινπ, παθησκέλνπ ζην έδαθνο, ν νπνίνο θέξεη ζηελ θεθαιή κηα κάδα m κε ζηξνθηθή αδξάλεηα. Ζ κάδα m κπνξεί λα κεηαηνπίδεηαη νξηδφληηα θαη λα ζηξέθεηαη κέζα ζην επίπεδν. Τν ζχζηεκα έρεη δχν βαζκνχο 18

ειεπζεξίαο θαη πξέπεη λα πξνζδηνξηζηνχλ ε νξηδφληηα κεηαηφπηζε ηεο δεμακελήο θαζψο θαη ε ζηξνθή ηεο. Στ..9 Σχζηεκα κε ηξεηο βαζκνχο ειεπζεξίαο [] Στ..1 Σχζηεκα κε δχν βαζκνχο ειεπζεξίαο [] Τα πνιπβάζκηα ζπζηήκαηα θαηαηάζζνληαη ζηηο εμήο θαηεγνξίεο: 1. Σπζηήκαηα κε εληνπηζκέλε κάδα θαη εληνπηζκέλε αθακςία.. Σπζηήκαηα κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη εληνπηζκέλε αθακςία. 3. Σπζηήκαηα κε εληνπηζκέλε κάδα θαη θαηαλεκεκέλε αθακςία. 4. Σπζηήκαηα κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη θαηαλεκεκέλε αθακςία. 5. Μηθηά ζπζηήκαηα πνπ πξνθχπηνπλ απφ ζπλδπαζκφ ησλ παξαπάλσ πεξηπηψζεσλ Ο φξνο εληνπηζκέλε κάδα δειψλεη ηε ζπγθεληξσκέλε κάδα, ε νπνία κπνξεί λα έρεη θαη ξνπή αδξάλεηαο, ελψ ν φξνο ζπγθεληξσκέλε κάδα ζα δειψλεη ζην εμήο ηε ζεκεηαθά ζπγθεληξσκέλε κάδα, ηεο νπνίαο ε ξνπή αδξάλεηαο είλαη κεδέλ. 19

Τν ζχζηεκα ηνπ ζρήκαηνο απνηειείηαη απφ ζηεξεά ζψκαηα κε κάδεο,. Ζ νξηδφληηα θίλεζή ηνπο δεζκεχεηαη ειαζηηθά απφ ειαηήξηα ακειεηέαο κάδαο,, φπσο θαίλεηαη ζην δπλακηθφ πξνζνκνίσκα ηνπ ζρήκαηνο. Τν ζχζηεκα απηφ έρεη εληνπηζκέλεο κάδεο θαη εληνπηζκέλεο αθακςίεο. Δίλαη ζχζηεκα κε δχν βαζκνχο ειεπζεξίαο θαη πξέπεη λα πξνζδηνξηζηνχλ νη κεηαηνπίζεηο θαη [] Στ..11 Σχζηεκα κε εληνπηζκέλε κάδα θαη εληνπηζκέλε αθακςία[] Τν ζχζηεκα ηνπ ζρήκαηνο απνηειείηαη απφ κηα ζηέξεα ξάβδν AC, ηεο νπνίαο ε κάδα είλαη θαηαλεκεκέλε νκνηφκνξθα ζε φιν ηεο ην κήθνο. Τν ίδην ηζρχεη θαη γηα ην ζηέξεν θπθιηθφ ζψκα θπθιηθνχ ζρήκαηνο. Στ..1 Σχζηεκα κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη εληνπηζκέλε αθακςία[]

Ζ θίλεζε ηνπ ζπζηήκαηνο δεζκεχεηαη απφ ειαηήξηα ακειεηέαο κάδαο θαη. Τν ζχζηεκα απηφ απνηειεί πεξίπησζε ζπζηήκαηνο κε θαηαλεκεκέλεο κάδεο θαη εληνπηζκέλεο αθακςίεο. Οη βαζκνί ειεπζεξίαο θίλεζεο είλαη δχν θαη πξέπεη λα πξνζδηνξηζηνχλ ε θαηαθφξπθε κεηαηφπηζε u(t) ηνπ άθξνπ C ηεο ξάβδνπ θαζψο θαη ε γσλία ζηξνθήο ηνπ θπθιηθνχ ζψκαηνο []. Τν ζχζηεκα ηνπ ζρήκαηνο απνηειείηαη απφ έλαλ ζηχιν ακειεηέαο κάδαο ΑΟ θαη απφ έλα ζηεξεφ ζψκα ζρήκαηνο ηεηξαγψλνπ. Τν ζχζηεκα απηφ απνηειεί παξάδεηγκα ζπζηήκαηνο κε εληνπηζκέλε κάδα θαη θαηαλεκεκέλε αθακςία. Τν ζψκα κπνξεί λα θηλεζεί κέζα ζην επίπεδν. Δάλ εμεηαζηεί ε θίλεζε σο πξνο ην ζεκείν Ο, ην νπνίν δε ζπκπίπηεη κε ην θέληξν βάξνπο ηνπ ηεηξάγσλνπ ζρήκαηνο, ζηε γεληθή πεξίπησζε, ππάξρνπλ 3 βαζκνί ειεπζεξίαο ε νξηδφληηα κεηαηφπηζε, ε θαηαθφξπθε κεηαηφπηζε θαη ε ζηξνθή, νη νπνίεο θαη πξέπεη λα πξνζδηνξηζηνχλ. Αθνχ ν ζηχινο ζεσξείηαη εχθακπηνο, ε νξηδφληηα κεηαηφπηζε, θαζψο θαη ε ζηξνθή, νθείινληαη ζηελ θακπηηθή παξακφξθσζή ηνπ. Ζ θαηαθφξπθε κεηαηφπηζε νθείιεηαη, αθελφο ζηελ αμνληθή βξάρπλζε ε νπνία είλαη πνιχ κηθξή θαη παξαιείπεηαη- θαη, αθεηέξνπ, ζηε βξάρπλζε ηεο ρνξδήο ηεο ειαζηηθήο γξακκήο- ε νπνία επίζεο παξαιείπεηαη θαζψο εμεηάδνληαη γξακκηθέο ηαιαληψζεηο []. Στ..13 Σχζηεκα κε εληνπηζκέλε κάδα θαη θαηαλεκεκέλε αθακςία [] Τα ζπζηήκαηα κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη θαηαλεκεκέλε αθακςία νλνκάδνληαη ζπλερή ζπζηήκαηα. Έρνπλ άπεηξνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο θίλεζεο θαη ε θίλεζή ηνπο πεξηγξάθεηαη απφ κεξηθέο δηαθνξηθέο εμηζψζεηο. Τα ζπλερή ζπζηήκαηα κπνξνχλ λα 1

πξνζνκνησζνχλ κε πνιπβάζκηα ζπζηήκαηα, αθφκε θαη ζηελ πεξίπησζε πνπ ε κάδα δελ παξνπζηάδεη ζπγθέληξσζε ζε νξηζκέλα ζεκεία. Στ..14 Σχζηεκα κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη θαηαλεκεκέλε αθακςία[] Γηα ηελ επίιπζε ηέηνησλ ζπζηεκάησλ, ρξεζηκνπνηνχληαη θπξίσο κέζνδνη: Μέζνδνο ησλ ππνζεηηθώλ θαζνιηθώλ ηδηνκνξθώλ, ε νπνία εμεηάδεη ην ζχζηεκα σο έλα αδηαίξεην ζχλνιν. Μέζνδνο ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ, ε νπνία εμεηάδεη ην ζχζηεκα σο έλα δηαθξηηφ πνιπβάζκην. Απηή ε δηαθξηηνπνίεζε γίλεηαη κε ηε κέζνδνο ηεο αθακςίαο. Ζ θαηαζθεπή δηαηξείηαη ζε έλα ζχλνιν ζηνηρείσλ κε γλσζηέο παξακνξθσζηαθέο θαη αδξαλεηαθέο ηδηφηεηεο. Καη νη δχν απηέο κέζνδνη επηηξέπνπλ ηελ δπλακηθή αλάιπζε πνιχπινθσλ θαηαζθεπψλ κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη αθακςία, νη νπνίεο πξνζεγγίδνληαη κε πνιπβάζκηα ζπζηήκαηα []. Μηθηά ζπζηήκαηα νλνκάδνληαη ηα ζπζηήκαηα πνπ πξνθχπηνπλ απφ ην ζπλδπαζκφ ησλ πξνεγνχκελσλ πεξηπηψζεσλ. Φαξαθηεξηζηηθφ παξάδεηγκα κηθηνχ ζπζηήκαηνο απνηειεί ε θαηαζθεπή ηνπ ζρήκαηνο. Τν ζχζηεκα απηφ έρεη εληνπηζκέλεο κάδεο (, ), θαηαλεκεκέλε κάδα (ε κάδα ησλ ξάβδσλ), εληνπηζκέλε αθακςία ( ηνπ ζηξνθηθνχ ειαηεξίνπ) θαη θαηαλεκεκέλε αθακςία (αθακςία ησλ ξάβδσλ) [].

Στ..15 Μηθηφ Σχζηεκα [] 3

Κεθάλαιο 3 ο :Η Μέθοδος ηφν Πεπεραζμένφν Σηοιτείφν 3.1 Διζαγφγή Σηηο πξαγκαηηθέο θαηαζθεπέο, ε ζπλήζεο πεξίπησζε πνπ ζπλαληάηαη είλαη ε θαηαλεκεκέλε κάδα. Δάλ νη θαηαζθεπέο απηέο αληηκεησπηζηνχλ σο ζπλερή ζπζηήκαηα, απαηηείηαη ε επίιπζε κεξηθψλ δηαθνξηθψλ εμηζψζεσλ, γηα ηηο πνίεο ζα πξέπεη λα είλαη γλσζηέο αξρηθέο θαη ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Απηφ απνηειεί, φκσο, έλα δχζθνιν καζεκαηηθφ πξφβιεκα. Σε απηφ ην πξφβιεκα δίλεη ιχζε ε Μέζνδνο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ (Finite Elements Method). Σηε κέζνδν ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, θάζε θαηαζθεπή δηαηξείηαη ζε κηθξφηεξα ζηνηρεία, ηα νπνία ζπλδένληαη κεηαμχ ηνπο ζηνπο θφκβνπο. Οη θφκβνη είλαη δηαθξηηά ζεκεία ζχλδεζεο ησλ ζηνηρείσλ ηεο θαηαζθεπήο. Σε απηνχο εμαζθαιίδεηαη ε ζπλζήθε ηνπ ζπκβηβαζηνχ ησλ παξακνξθψζεσλ (κεηαηνπίζεσλ θαη ζηξνθψλ) θαζψο θαη ε ηζνξξνπία ησλ ηζνδχλακσλ επηθφκβησλ δξάζεσλ. «Μεηά ηε δηαθξηηνπνίεζε, δερόκαζηε κέζα ζε θάζε ζηνηρείν όηη ε ζπλάξηεζε ηνπ πεδίνπ (ηεο κεηαηνπίζεσο ελ πξνθεηκέλσ) κεηαβάιιεηαη ζύκθσλα κε γλσζηό λόκν, ν νπνίνο εθθξάδεηαη σο επαιιειία ζρήκαηνο, ζπλαξηήζεσλ ζρήκαηνο, πνπ αληηζηνηρνύλ ζε κνλαδηαίεο ηηκέο ησλ επηθόκβησλ κεηαηνπίζεσλ ηνπ ζηνηρείνπ.» (Καηζηθαδέιεο. 4, ζει. 41). Με παξφκνην ηξφπν εθθξάδνληαη ε ειαζηηθή θαη θηλεηηθή ελέξγεηα, θαζψο θαη ην δπλαηφ έξγν ησλ κε ζπληεξεηηθψλ δπλάκεσλ. Οη επηθφκβηεο δξάζεηο πξνθχπηνπλ σο γεληθεπκέλεο δπλάκεηο ησλ εμηζψζεσλ Lagrange. Απφ ην ζπκβηβαζηφ ησλ κεηαηνπίζεσλ θαη ηελ ηζνξξνπία ησλ επηθφκβησλ δξάζεσλ θαηά ηηο δηεπζχλζεηο ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο, βξίζθνληαη νη δηαθνξηθέο εμηζψζεηο θίλεζεο ηεο θαηαζθεπήο []. 4

3. Η Μέθοδος ηφν Πεπεραζμένφν Σηοιτείφν 3..1 Ιδηόηεηεο ηνπ Σηνηρείνπ Δπίπεδνπ Πιαηζίνπ Έζησ έλα ζηνηρείν επίπεδνπ πιαηζίνπ κεηαβιεηήο δηαηνκήο Α(x), ξνπήο αδξάλεηαο Η(x) θαη κέηξνπ ειαζηηθφηεηαο Δ. Ο άμνλαο ηνπ ζηνηρείνπ, ζηελ απαξακφξθσηε θαηάζηαζε, ηαπηίδεηαη κε ηνλ άμνλα x. Σηα άθξα ηνπ ζηνηρείνπ ππάξρνπλ νη θφκβνη ηνπ ζηνηρείνπ j, k. Σηελ παξακνξθσκέλε θαηάζηαζε θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t, ηα άθξα ηνπ ζηνηρείνπ κεηαηνπίδνληαη ζηηο ζέζεηο j, k, φπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα Στ. 3.1 Βαζκνί Διεπζεξίαο Σηνηρείνπ Δπίπεδνπ πιαηζίνπ [] Τν ζηνηρείν απηφ έρεη 6 βαζκνχο ειεπζεξίαο. Γηα ηνλ θφκβν j, ηηο κεηαηνπίζεηο u () t θαη 1 u () t θαζψο θαη ηε ζηξνθή () t. Γηα ηνλ θφκβν k, ηηο κεηαηνπίζεηο u () t θαη 1 4 u () 5 t θαζψο θαη ηε ζηξνθή ( t). Θέηνπκε ηελ αμνληθή κεηαηφπηζε ππφ ηε κνξθή u( x, t) u ( x) u ( x) (3.1) 1 1 4 4 φπνπ ( x) θαη 1 ( x) 4 νη ζπλαξηήζεηο ζρήκαηνο, νη νπνίεο εθθξάδνπλ ηελ αμνληθή παξακφξθσζε γηα u1 1, u4 θαη u1, u4 1, αληίζηνηρα. Οη ζπλαξηήζεηο ζρήκαηνο έρνπλ πξνζδηνξηζηεί γηα ζηνηρείν ζηαζεξήο δηαηνκήο θαη είλαη νη εμήο: 5

( x) 1 (3..a) 1 ( x) 4 (3.3.a) φπνπ, x L Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλνληαη νη ζεηηθέο ζεκάλζεηο δξάζεσλ γηα ην ζηνηρείν ηνπ επίπεδνπ πιαηζίνπ: Στ. 3. Θεηηθή Σήκαλζε Δπηθφκβησλ Γξάζεσλ Σηνηρείνπ Δπίπεδνπ Πιαηζίνπ [] Σε αληίζεζε κε ηελ θιαζζηθή ζήκαλζε, νη επηθφκβηεο δξάζεηο είλαη ζεηηθέο φηαλ είλαη νκφθνξεο κε ηνπο άμνλεο πνπ αλαθέξνληαη. Οη δξάζεηο θαηά ηηο δηεπζχλζεηο ησλ u1, u, u4 θαη u 5 είλαη δπλάκεηο, ελψ θαηά ηηο δηεπζχλζεηο ησλ u 3 θαη u 6 είλαη ξνπέο. Τν δηάλπζκα ησλ επηθφκβησλ ειαζηηθψλ δπλάκεσλ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν f k u (3.4) e e e s φπνπ e k ην κεηξψν αθακςίαο ηνπ ζηνηρείνπ e θαη ηνπ ζηνηρείνπ e. Ζ ζρέζε 3.4 ζε κεηξσηθή κνξθή γξάθεηαη e u ην κεηξψν ησλ επηθφκβησλ κεηαηνπίζεσλ fs1 k11 k14 u1 f s k k3 k5 k 6 u f s3 k3 k33 k35 k 36 u 3 fs4 k41 k44 u4 f s5 k5 k53 k55 k 56 u 5 f k k k k u s6 6 63 65 66 6 (3.5) Τν κεηξψν αθακςίαο, φπσο θαίλεηαη ζηελ παξαπάλσ ζρέζε, δίλεηαη σο 6

k e k11 k14 k k3 k5 k 6 k3 k33 k35 k 36 k41 k44 k5 k53 k55 k 56 k6 k63 k65 k66 (3.6) Γηα ζηνηρείν ζηαζεξήο δηαηνκήο, A( x) A, I( x) I, ην κεηξψν αθακςίαο δίλεηαη απφ ηε ζρέζε k e EA EA L L 1EI 6EI 1EI 6EI 3 3 L L L L 6EI 4EI 6EI EI L L L L EA EA L L 1EI 6EI 1EI 6EI 3 3 L L L L 6EI EI 6EI 4EI L L L L (3.7) Σχκθσλα κε ηελ παξαδνρή ηεο ζπλερνύο θαηαλνκήο ηεο κάδαο, ην δηάλπζκα ησλ αδξαλεηαθψλ δπλάκεσλ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν f m u (3.8) e e e I φπνπ e m ην κεηξψν κάδαο ηνπ ζηνηρείνπ e θαη ζηνηρείνπ e. Ζ ζρέζε 3.8, ζε κεηξστθή κνξθή, γξάθεηαη e u ην κεηξψν ησλ επηθφκβησλ επηηαρχλζεσλ ηνπ fi1 m11 m14 u1 f I m m3 m5 m 6 u f I 3 m3 m33 m35 m 36 u 3 fi 4 m41 m44 u4 f I 5 m5 m53 m55 m 56 u 5 f m m m m u I 6 6 63 65 66 6 (3.9) Δπνκέλσο, ην κεηξψν κάδαο e m νξίδεηαη σο 7

m e m11 m14 m m3 m5 m 6 m3 m33 m35 m 36 m41 m44 m5 m53 m55 m 56 m6 m63 m65 m66 (3.1) Γηα ζηνηρείν ζηαζεξήο δηαηνκήο, ην κεηξψν κάδαο δίλεηαη σο 14 7 156 L 54 13L e m L 4L 13L 3L 4 7 14 54 13L 156 L 13L 3L L 4L e m (3.11) e e e e φπνπ m ml είλαη ε νιηθή κάδα ηνπ ζηνηρείνπ e θαη m AL. Τν κεηξψν κάδαο πνπ πξνθχπηεη κε απηφ ηνλ ηξφπν νλνκάδεηαη ζπκβαηό κεηξών κάδαο. Σχκθσλα κε ηελ παξαδνρή ησλ ζπγθεληξσκέλσλ καδώλ ζηνπο θόκβνπο, ην κεηξψν κάδαο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν 1 1 e m e m (3.1) 1 1 e e e e φπνπ m ml είλαη ε νιηθή κάδα ηνπ ζηνηρείνπ e θαη m AL. Σηελ πεξίπησζε ησλ ζπγθεληξσκέλσλ καδψλ, ην κεηξψν κάδαο πξνθχπηεη δηαγψλην. Τν δηάλπζκα ησλ επηθφκβησλ δπλάκεσλ απνζβέζεσλ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν f c u (3.13) e e e D 8

φπνπ e c ην κεηξψν απνζβέζεσο ηνπ ζηνηρείνπ e θαη ζηνηρείνπ e. Ζ ζρέζε 3.13, ζε κεηξστθή κνξθή, γξάθεηαη e u ην κεηξψν επηθφκβησλ ηαρπηήησλ ηνπ fd1 c11 c14 u1 f D c c3 c5 c 6 u f D3 c3 c33 c35 c 36 u 3 fd4 c41 c44 u4 f D5 c5 c53 c55 c 56 u 5 f c c c c u D6 6 63 65 66 6 (3.14) Δπνκέλσο, ην κεηξψν απφζβεζεο νξίδεηαη σο c e c11 c14 c c3 c5 c 6 c3 c33 c35 c 36 c41 c44 c5 c53 c55 c 56 c6 c63 c65 c66 (3.15) Γηα ζηνηρείν κε ζηαζεξή δηαηνκή, ην κεηξψν απφζβεζεο δίλεηαη σο c e csa csa L L 1csI 6csI 1csI 6csI 3 3 L L L L 6csI 4csI 6csI csi L L L L csa csa L L 1csI 6csI 1csI 6csI 3 3 L L L L 6csI csi 6csI 4csI 3 L L L L (3.16) Έζησ φηη ην ζηνηρείν e ηνπ πιαηζίνπ, ζρεκαηίδεη γσλία θ σο πξνο ηνλ άμνλα Ο. Ο άμνλαο jk ηνπ ζηνηρείνπ νξίδεηαη ην δεμηφζηξνθν ζχζηεκα αμφλσλ jxy. Οη άμνλεο νλνκάδνληαη θαζνιηθνί άμνλεο, ελψ νη xy ηνπηθνί άμνλεο. Γηα ηνλ κεηαζρεκαηηζκφ ησλ 9

επηθφκβησλ ζπληεηαγκέλσλ, απφ ην ηνπηθφ ζχζηεκα αλαθνξάο ζην θαζνιηθφ, ρξεζηκνπνηείηαη ην κεηξών πεξηζηξνθήο ην νπνίν δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν e R cos sin sin cos 1 cos sin sin cos 1 (3.17) Τα κεηξψα είλαη ηα κεηξψα αθακςίαο, κάδαο θαη απφζβεζεο ηνπ ζηνηρείνπ e σο πξνο ηνπο θαζνιηθνχο άμνλεο θαη ππνινγίδνληαη αληίζηνηρα απφ ηνπο κεηαζρεκαηηζκνχο νκνηφηεηαο e e T e e k ( R ) k R (3.18) e e T e e m ( R ) m R (3.19) e e T e e c ( R ) c R (3.) Γηα λα ππνινγηζηνχλ ηα νιηθά κεηξψα αθακςίαο, κάδαο θαη απφζβεζεο, πξέπεη λα ζπληαρζνχλ ηα κεηξώα έληαμεο. Τα κεηξψα έληαμεο είλαη κεηξψα ηα νπνία έρνπλ πάληνηε 6 γξακκέο, ελψ έρνπλ ηφζεο ζηήιεο φζνη θαη νη βαζκνί ειεπζεξίαο θίλεζεο ηεο θαηαζθεπήο. Τν θάζε κεηξψν έληαμεο αλαθέξεηαη ζε έλα ζηνηρείν ηεο θαηαζθεπήο θαη ζπκπιεξψλεηαη κε βάζε ηε ζπλδεζκνινγία ηνπ πιαηζίνπ. Ζ ζπκπιήξσζε γίλεηαη κε βάζε ηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο θίλεζεο ηεο αξρήο θαη ηνπ πέξαηνο ηνπ ζηνηρείνπ. Σηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο ηεο αξρήο θαη ηνπ πέξαηνο ζπκπιεξψλεηαη κε 1, ελψ ζε φιεο ηηο ππφινηπεο ζέζεηο κε. Σηε ζπλέρεηα, ππνινγίδνληαη ηα κεηξψα θάζε ζηνηρείνπ απφ ηηο ζρέζεηο Kˆ e ( e ) T k e e (3.1) Mˆ e ( e ) T m e e (3.) Cˆ e ( e ) T c e e (3.3) 3

φπνπ e ην κεηξψν έληαμεο ηνπ ζηνηρείνπ. Τα νιηθά κεηξψα αθακςίαο (, κάδαο ( θαη απφζβεζεο ( ππνινγίδνληαη απφ ην άζξνηζκα ησλ κεηξψσλ, θαη αληίζηνηρα. Ζ εμίζσζε θίλεζεο ειεχζεξεο ηαιάλησζεο κε απφζβεζε απινχζηεπζεο, σο κπνξεί λα γξαθεί, ράξηλ Mu Cu Ku (3.4) Ζ εμίζσζε θίλεζεο πνπ κπνξεί λα γξαθεί ζε απηφ ην ζεκείν, αλαθέξεηαη ζε έλαλ ειεχζεξν θνξέα. Όιεο νη θαηαζθεπέο, φκσο, ζηεξίδνληαη ζε νξηζκέλνπο θφκβνπο, δειαδή ππάξρεη δέζκεπζε νξηζκέλσλ βαζκψλ ειεπζεξίαο. Γηα λα εκπνδηζηεί ε θίλεζε ηνπ θνξέα σο ζηεξενχ ζψκαηνο, απαηηείηαη ε δέζκεπζε ηνπιάρηζηνλ 3 βαζκώλ ειεπζεξίαο. Ζ επηινγή ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο πνπ ζα δεζκεπζνχλ γίλεηαη κε ηέηνην ηξφπν ψζηε λα απνθιείεηαη ε απεηξνζηή θηλεηηθφηεηα ηεο θαηαζθεπήο. Σε απηφ ην ζεκείν γίλεηαη αλαδηάηαμε ηνπ κεηξψνπ ( u ), πνπ πεξηέρεη ηηο κεηαηνπίζεηο ησλ θφκβσλ, ψζηε λα δηαρσξηζηνχλ νη γλσζηέο κεηαηνπίζεηο ησλ ζηεξίμεσλ ( u s ) απφ ηηο άγλσζηεο ησλ ειεχζεξσλ θφκβσλ ( u ) f. Ζ αλαδηάηαμε γίλεηαη ψζηε ηα γλσζηά ζηνηρεία ( u s ) λα θαηαιακβάλνπλ ηηο ηειεπηαίεο ζέζεηο ηνπ δηαλχζκαηνο κε ηε ρξήζε ηνπ κεηαζρεκαηηζκνχ (3.5) φπνπ u ην αλαδηαηεηαγκέλν δηάλπζκα θαη V ην ηεηξαγσληθφ κεηξψν αλαδηάηαμεο ή κεηξψν Bool. Τν κεηξψν V, φπσο αλαθέξζεθε, είλαη ηεηξαγσληθφ κεηξψν θαη έρεη αξηζκφ ζηειψλ θαη γξακκψλ ίζν κε ην πιήζνο ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο θίλεζεο ηεο θαηαζθεπήο. Σπκπιεξψλεηαη κε 1 θαη ψζηε απφ ηνλ πνιιαπιαζηαζκφ ηνπ κε ην αλαδηαηεηαγκέλν δηάλπζκα κεηαηνπίζεσλ, λα πξνθχπηεη ην αξρηθφ δηάλπζκα κεηαηνπίζεσλ. Με ηε βνήζεηα ηνπ κεηξψνπ V, γίλεηαη αλαδηάηαμε θαη ζηα κεηξψα ζχκθσλα κε ηηο παξαθάησ ζρέζεηο K T V KV (3.6) M T V MV (3.7) 31

C T V CV (3.8) 3.3 Σηαηική Σσμπύκνφζη. Σηε κέζνδν ησλ πεπεξαζκέλσλ ζηνηρείσλ, ζπλαληάηαη ζπρλά ε θηλεηηθή ελέξγεηα ησλ ζηξνθηθψλ βαζκψλ ειεπζεξίαο θίλεζεο λα είλαη κηθξή ζε ζρέζε κε ηελ θηλεηηθή ελέξγεηα ησλ κεηαθνξηθψλ βαζκψλ ειεπζεξίαο. Γηα λα κεησζεί ν αξηζκφο ησλ εμηζψζεσλ θίλεζεο πνπ πξέπεη λα επηιπζνχλ, κπνξνχλ λα παξαιεηθζνχλ νη δπλάκεηο απηέο. Δάλ ην δηάλπζκα ησλ κεηαηνπίζεσλ αλαδηαηαρζεί έηζη ψζηε κεηά ηνλ επηκεξηζκφ ην δηάλπζκα u t λα πεξηιακβάλεη ηνπο κεηαθνξηθνχο βαζκνχο ειεπζεξίαο θαη ην δηάλπζκα u ηνπο ζηξνθηθνχο βαζκνχο ειεπζεξίαο, ε εμίζσζε 3.4, γηα C=, κπνξεί λα γξαθεί Mtt ut Ktt Kt ut u Kt K u (3.9) Μεηά ηελ εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ, ε εμίζσζε γίλεηαη M u K u K u (3.3) tt t tt t t K u K u (3.31) t t Ζ εμίζσζε 3.31 είλαη νηνλεί ζηαηηθή. Γηα απηφ ην ιφγν κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί γηα ηελ απαινηθή ηνπ u απφ ηελ 3.3. Δπηιχνληαο ηελ 3.31 σο πξνο u θαη αληηθαζηζηψληαο ζηελ 3.3, ιακβάλεηαη M u K u (3.3) * tt t tt t φπνπ K K K K K (3.33) * 1 tt tt t t 3

Απηή ε πξάμε κπνξεί λα γίλεη δηφηη ην κεηξψν K είλαη ηεηξαγσληθφ θαη κπνξεί λα αληηζηξαθεί. Τν κεηξψν * Ktt είλαη ην ζηαηηθά ζπκππθλσκέλν κεηξών αθακςίαο θαη ε δηαδηθαζία πξνζδηνξηζκνχ ηνπ νλνκάδεηαη ζηαηηθή ζπκπύθλσζε. Αθφκε, κείσζε ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο κπνξεί λα επηηεπρζεί φηαλ ην κεηξψν κάδαο πξνθχπηεη απφ ζπκβαηά κεηξψα καδψλ ησλ ζηνηρείσλ ή φηαλ νη αδξαλεηαθέο δπλάκεηο θαηά ηνπο ζηξνθηθνχο βαζκνχο ειεπζεξίαο δελ είλαη ακειεηέεο. Σε απηή ηελ πεξίπησζε, ην κεηξψν κάδαο ηεο ζρέζεο 3.3 είλαη ηεο κνξθήο M M tt t M (3.34) t M M φπνπ. Mt, M t, M. Απφ ηνλ ηχπν ηεο ειαζηηθήο ελέξγεηαο, ιακβάλεηαη ν ηχπνο ηνπ κεησκέλνπ κεηξψνπ αθακςίαο, ν νπνίνο είλαη * K K K K K (3.35) 1 tt t t Αληίζηνηρα, απφ ηνλ ηχπν ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο, ιακβάλεηαη ν ηχπνο ηνπ κεησκέλνπ κεηξψνπ κάδαο, ν νπνίνο είλαη * M M M K K K K M K K K K M (3.36) 1 1 1 1 tt t t t t t t Όηαλ ην κεηξψν κάδαο είλαη δηαγψλην, δειαδή M M, ηφηε t t * M M K K M K K (3.37) 1 1 tt t t Απηή ε κέζνδνο κείσζεο ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο είλαη γλσζηή σο αλαγσγή Guyan. Όπσο θαίλεηαη, ε αθακςία ηεο θαηαζθεπήο δελ επεξεάδεηαη, αθνχ ζην κεησκέλν κεηξψν αθακςίαο ζπκβάινπλ φια ηα ζηνηρεία ηνπ αξρηθνχ κεηξψνπ αθακςίαο. Σην κεησκέλν κεηξψν κάδαο, σζηφζν, ζπκβάινπλ θαη ζηνηρεία ηνπ αξρηθνχ κεηξψνπ κάδαο αιιά θαη ζηνηρεία ηνπ αξρηθνχ κεηξψνπ αθακςίαο. Γειαδή, ην κεηξψν κάδαο πξνζεγγίδεηαη. Δπνκέλσο, ε αμηνπηζηία 33

ησλ απνηειεζκάησλ εμαξηάηαη απφ ηελ επηινγή ησλ βαζκψλ ειεπζεξίαο πνπ απαιείθνληαη απφ ηελ αλαγσγή []. 3.4 Ιδιοζστνόηηηες και Ιδιομορθές Πολσβάθμιφν Σσζηημάηφν Οη ηδηνζπρλφηεηεο ησλ πνιπβάζκησλ ζπζηεκάησλ πξνζδηνξίδνληαη απφ ηε ζρέζε ( K M) β (3.38) Ζ παξαπάλσ ζρέζε απνηειεί ζχζηεκα Ν γξακκηθψλ αιγεβξηθψλ εμηζψζεσλ. Απφ ην ζχζηεκα απηφ, κπνξεί λα πξνζδηνξηζηεί ην δηάλπζκα,,..., 1 N T β. Τν δηάλπζκα, δειαδή, πεξηέρεη ηα εχξε ησλ κεηαηνπίζεσλ. Τν ζχζηεκα ηεο 3.38 είλαη νκνηνγελέο. Γειαδή, γηα λα έρεη ιχζε δηάθνξε ηεο κεδεληθέο, πξέπεη ε νξίδνπζα ησλ ζπληειεζηψλ ησλ αγλψζησλ λα είλαη κεδεληθή. Γειαδή det( K M) (3.39) Ζ παξαπάλσ ζρέζε, ζε κεηξσηθή κνξθή, γξάθεηαη k m k m... k m 11 11 1 1 1N 1N 1 1... N N k m k m k m............ k m k m... k m N1 N1 N N NN NN (3.4) Τν αλάπηπγκα ηεο νξίδνπζαο ηεο παξαπάλσ ζρέζεο είλαη πνιπβάζκην Ν βαζκνχ σο πξνο. Γειαδή, ε ζρέζε 3.4 κπνξεί λα αιεζεχεη γηα Ν ζην πιήζνο ηηκέο ηνπ, επνκέλσο θαη ηνπ σ. Οη ηηκέο απηέο είλαη νη ηδηνζπρλόηεηεο ή θπζηθέο ηδηνζπρλόηεηεο ηνπ ζπζηήκαηνο. Ζ ζρέζε 3.4 απφ ηελ νπνία πξνθχπηνπλ νη ηδηνζπρλφηεηεο απηέο, νλνκάδεηαη εμίζσζε ζπρλνηήησλ ηνπ ζπζηήκαηνο. Οη ηηκέο ησλ ηδηνζπρλνηήησλ δηαηάζζνληαη θαηά αχμνπζα ζεηξά σ 1 < σ <σ Ν. Ζ κηθξφηεξε ηηκή, ε σ 1 δειαδή, νλνκάδεηαη ζεκειηψδεο ηδηνζπρλφηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο. Γηα θάζε ηηκή ηνπ σ i (i=1,,,ν), πξνθχπηεη έλα ζχζηεκα γξακκηθψλ εμηζψζεσλ πνπ έρεη ηε κνξθή ηεο 3.4. Κάζε ηέηνην ζχζηεκα γξακκηθψλ εμηζψζεσλ, επηηξέπεη ηνλ πξνζδηνξηζκφ ελφο δηαλχζκαηνο. Λφγσ ηνπ κεδεληζκνχ ηεο νξίδνπζαο, ην πιήζνο ησλ 34

αλεμάξηεησλ κεηαβιεηψλ είλαη Ν-1. Απηφ επηηξέπεη ηνλ απζαίξεην νξηζκφ κίαο απφ ηηο ζπληζηψζεο ( ηνπ δηαλχζκαηνο. Τπραία, κπνξεί λα ιεθζεί ε ηηκή =1. Δπνκέλσο, ην ζχζηεκα 3.4 γξάθεηαη k11 m11 k1 m1... k 1 1N m1 N () i k1 m1 k m... kn m N A( i ) B (3.41)............... (3) kn1 mn1 kn mn... knn m NN N Απφ ηε ζρέζε 3.41, πξνθχπηεη φηη γηα θάζε ηηκή ηνπ, ιακβάλεηαη έλα δηάλπζκα. Τα δηαλχζκαηα απηά νλνκάδνληαη ηδηνδηαλχζκαηα ηνπ δπλακηθνχ ζπζηήκαηνο. Τα ηδηνδηαλχζκαηα απηά κπνξνχλ λα εληαρζνχλ ζε έλα κεηξψν Β δηαζηάζεσλ N N, ην νπνίν νλνκάδεηαη κεηξψν ηδηνδηαλπζκάησλ. 1 1... 1 1... N B 1,,..., N (3.4)............ N1 N... NN Ζ εηθφλα παξακφξθσζεο ηνπ ζπζηήκαηνο εθθξάδεηαη απφ ηηο ζπληζηψζεο ηνπ ηδηνδηαλχζκαηνο i. Τν ζρήκα παξακόξθσζεο πνπ νξίδεηαη από ην i, νλνκάδεηαη i-ηδηνκνξθή ηεο ειεύζεξεο ηαιάλησζεο. Οη ζπληζηψζεο ηνπ ηδηνδηαλχζκαηνο είλαη γλσζηέο ζε ζρέζε πξνο θάπνηα ζπληζηψζα ηνπ. Ζ ζπληζηψζα απηή, φκσο, έρεη επηιεγεί απζαίξεηα. Απηφ ζεκαίλεη φηη ηα ηδηνδηαλχζκαηα πξνζδηνξίδνπλ κφλν θαηεπζχλζεηο, ελψ ην κέηξν ηνπο παξακέλεη απξνζδηφξηζην. Δίλαη ζθφπηκν, δειαδή, λα πηνζεηεζεί θάπνηα ηππηθή δηαδηθαζία νξηζκνχ θάπνηα θιίκαθαο γηα ηε κέηξεζή ηνπ. Ζ δηαδηθαζία απηή νλνκάδεηαη θαλνληθνπνίεζε. Μία ηέηνηα ηππηθή δηαδηθαζία, ε νπνία είλαη ζπλήζεο ζηα πξνγξάκκαηα ππνινγηζηψλ, είλαη ε νξζνθαλνληθνπνίεζε σο πξνο ηε κάδα. Σηε κέζνδν απηή, ε θιίκαθα κέηξεζεο ησλ ζπληζησζψλ ηνπ ηδηνδηαλχζκαηνο επηιέγεηαη ψζηε λα ηθαλνπνηείηαη ε ζρέζε T M 1 (3.43) i i 35

φπνπ i ην i θαλνληθνπνηεκέλν δηάλπζκα. Έζησ i ν αξηζκφο πνπ πξέπεη λα πνιιαπιαζηαζηνχλ φια ηα ζηνηρεία ηνπ ηδηνδηαλχζκαηνο γηα ηελ θαλνληθνπνίεζή ηνπο. Γειαδή, ηζρχεη φηη (3.44) i i i Αληηθαζηζηψληαο ηελ 3.43 ζηελ 3.44, πξνθχπηεη M 1 (3.45) T i i i Δπηιχνληαο ηελ παξαπάλσ ζρέζε σο πξνο, πξνθχπηεη i 1 M T i i (3.46) Θέηνληαο i i i ζηελ παξαπάλσ ζρέζε, θαη επηιχνληαο σο πξνο i πξνθχπηεη i T i i M i (3.47) Δάλ ιεθζεί Μ=Ι, ηφηε ην βαζκσηφ κέγεζνο = είλαη ην κέηξν ηνπ, δειαδή ην νξζνθαλνληθνπνηεκέλν ηδηνδηάλπζκα είλαη ην κνλαδηαίν []. 36

Κεθάλαιο 4ο: Θεμελιώζεις με Παζζάλοσς. 4.1 Διζαγφγή Σην θεθάιαην απηφ ζα παξνπζηαζηνχλ νη ζπλήζεηο ηχπνη ζεκειίσζεο. Ηδηαίηεξε κλεία γίλεηαη ζηηο ζεκειηψζεηο κε παζζάινπο 4. Τύποι Θεμελιώζεφν Ο Πνιηηηθφο Μεραληθφο αληηκεησπίδεη ηαθηηθά πξνβιήκαηα πνπ αθνξνχλ ην έδαθνο. Τν έδαθνο ρξεζηκνπνηείηαη σο κέζνλ ζεκειίσζεο ησλ ηερληθψλ έξγσλ, ζαλ πιηθφ θαηαζθεπήο ρσκάηηλσλ έξγσλ (π.ρ. θξαγκάησλ, επηρσκάησλ θ.η.ι.) θ.α. Όια ηα έξγα ηνπ Πνιηηηθνχ Μεραληθνχ πξέπεη λα ζεκειησζνχλ ζην έδαθνο. Υπάξρεη πνηθηιία ζηνπο ηχπνπο ζεκειίσζεο ησλ ηερληθψλ έξγσλ. Ζ επηινγή ηνπ ηχπνπ ζεκειίσζεο εμαξηάηαη απφ πνιιέο παξακέηξνπο, φπσο ην είδνο ηνπ εδάθνπο, νη απαηηήζεηο ηνπ έξγνπ, νη νηθνλνκηθέο ζπλζήθεο θ.ν.θ. Παξαθάησ, παξνπζηάδνληαη νη ηχπνη απηνί [3]. 4..1 Δπηθαλεηαθέο Θεκειηώζεηο 4..1.1 Θεκειηψζεηο κε κεκνλσκέλα πέδηια Τα κεκνλσκέλα πέδηια είλαη ν πην ζπλήζεο ηξφπνο ζεκειίσζεο έξγσλ ρσξίο ηδηαίηεξεο απαηηήζεηο. Ζ κέζνδνο ζεκειίσζεο κε κεκνλσκέλα πέδηια ζπλεζίδεηαη φηαλ ππάξρνπλ ηθαλνχ πάρνπο θαη επαξθψο αλζεθηηθέο εδαθηθέο ζηξψζεηο, ζε κηθξφ βάζνο απφ ηελ επηθάλεηα ηνπ εδάθνπο. Με ηνλ φξν «επαξθψο αλζεθηηθέο ζηξψζεηο», δε γίλεηαη αλαθνξά κφλνλ ζηηο ηδηφηεηεο ηνπ εδάθνπο, αιιά θαη ζηηο απαηηήζεηο πνπ έρεη ε θαηαζθεπή. Τα θνξηία ηεο θαηαζθεπήο 37

κεηαθέξνληαη, κέζσ ησλ θεξφλησλ ζηνηρείσλ ηεο, ζηα κεκνλσκέλα πέδηια θαη απφ εθεί ζην έδαθνο. Τν έδαθνο ζηελ πεξηνρή ηεο ζεκειίσζεο παξακνξθψλεηαη εμαηηίαο ηεο κεηαθνξάο ησλ θνξηίσλ, φρη κφλν ζηα ζεκεία έδξαζεο ηνπ κεκνλσκέλνπ πεδίινπ, αιιά θαη πέξα απφ απηά. Οη απαηηήζεηο αλζεθηηθφηεηαο ησλ εδαθηθψλ ζηξψζεσλ κεηψλνληαη θαζψο απμάλεη ε απφζηαζε απφ ηα ζεκεία έδξαζεο. Απηφ ζπκβαίλεη γηαηί, θαζψο απμάλεη ε απφζηαζε απφ ηα ζεκεία έδξαζεο, νη αλαπηπζζφκελεο ηάζεηο κεηψλνληαη. Ζ πεξηνρή θάησ απφ ηα ζεκεία έδξαζεο, ε νπνία είλαη θαη απηή πνπ κειεηάηαη, νλνκάδεηαη δώλε επηξξνήο[3]. Στ. 4.1 Δπηθαλεηαθή Θεκειίσζε κε Μεκνλσκέλα Πέδηια [3] 4..1. Δλαιιαθηηθέο Μέζνδνη Δπηθαλεηαθήο Θεκειίσζεο. Σηηο πεξηπηψζεηο πνπ δελ ηθαλνπνηείηαη θάπνηα απφ ηηο παξαπάλσ πξνυπνζέζεηο, πξνηηκνχληαη θάπνηεο ελαιιαθηηθέο κέζνδνη επηθαλεηαθήο ζεκειίσζεο. Τέηνηεο κέζνδνη είλαη ε ζεκειίσζε κε πεδηινδνθνύο ή ε ζεκειίσζε κε γεληθνί θνηηόζηξσζε. Η ζεκειίσζε κε πεδηινδνθνύο έρεη ηε κνξθή θαη ηε ιεηηνπξγία θακπηφκελεο δνθνχ, αθνχ ηα ππνζηπιψκαηα πνπ αλήθνπλ ζηνλ ίδην άμνλα εδξάδνληαη ζε έλα επηκήθεο πέδηιν. Σηηο πεξηζζφηεξεο πεξηπηψζεηο, νη πεδηινδνθνί δηαηάζζνληαη ζε κνξθή εζράξαο, δειαδή ηα επηκήθε πέδηια δηαηάζζνληαη θαη ζηνπο δχν άμνλεο. Η ζεκειίσζε κε γεληθή θνηηόζηξσζε έρεη ηε κνξθή θαη ηε ιεηηνπξγία θακπηφκελεο πιάθαο, αθνχ ηα ππνζηπιψκαηα εδξάδνληαη ζε έλαλ εληαίν θνξέα [3]. 38

4.. Βαζηέο Θεκειηώζεηο. 4...1 Γεληθά «Η δηαθνξνπνίεζε κεηαμύ αβαζώλ θαη βαζηώλ ζεκειηώζεσλ γίλεηαη βάζεη ηνπ ζεσξεηηθνύ κεραληζκνύ ηηο δηαηκεηηθήο αζηνρίαο ηνπ εδάθνπο.» [4]. Ο πάζζαινο είλαη έλα κεκνλσκέλν ζηνηρείν βαζηάο ζεκειίσζεο. Έρεη κηθξή δηάκεηξν θαη αξθεηά πςειφ ιφγν, φπνπ Β ε δηάκεηξφο ηνπ θαη L ην κήθνο ηνπ. Ο πάζζαινο κεηαθέξεη ηα θνξηία ηεο θαηαζθεπήο, ηφζν κε αζθάιεηα έλαληη ζξαχζεο, φζν θαη έλαληη θαζηδήζεσλ θαη πιεπξηθψλ κεηαηνπίζεσλ[4]. Οη πεξηπηψζεηο ζηηο νπνίεο ρξεζηκνπνηνχληαη νη πάζζαινη σο κέζνδνο ζεκειίσζεο είλαη: «Όηαλ ηα καιαθά εδάθε ππέξθεηληαη ζηξηθώλ. Σε απνζέζεηο καιαθώλ ή ραιαξώλ εδαθώλ κεγάινπ πάρνπο. Γηα κεηάβαζε ζην έδαθνο πςειώλ θνξηίσλ, κε ηαπηόρξνλν πεξηνξηζκό ησλ θαζηδήζεσλ. Γηα αλάιεςε πςειώλ θνξηίσλ κε ηξόπν πνπ λα κελ επεξεάδνληαη ππάξρνπζεο θαηαζθεπέο κε επηθαλεηαθή ζεκειίσζε. Γηα αλάιεςε νξηδόληησλ θνξηίσλ θ.ιπ.» [4]. Στ.4. Πεξηπηψζεηο Θεκειηψζεσλ πνπ απαηηνχλ ηε ρξήζε Παζζάισλ [4] 39

Τα πιενλεθηήκαηα ηεο ζεκειίσζεο κε παζζάινπο είλαη: Σεκαληηθή αχμεζε ηεο θέξνπζαο ηθαλφηεηαο, ζε ζρέζε κε ηα κεκνλσκέλα πέδηια. Γξαζηηθή κείσζε ησλ αλακελφκελσλ δηαθνξηθψλ ππνρσξήζεσλ, ζε ζρέζε κε ηηο επηθαλεηαθέο ζεκειηψζεηο. Με βάζε ην κεραληζκφ παξαιαβήο ησλ θνξηίσλ, νη πάζζαινη δηαθξίλνληαη ζε παζζάινπο ηξηβήο, παζζάινπο αηρκήο θαη ζπλδπαζκφ ησλ δχν απηψλ κεραληζκφο παξαιαβήο θνξηίσλ. Οη πάζζαινη ηξηβήο νθείινπλ ζρεδφλ ην ζχλνιν ηεο αληνρήο ηνπο ζηελ ηξηβή πνπ αλαπηχζζεηαη ζηελ παξάπιεπξε επηθάλεηά ηνπο. Λφγσ ηνπ φηη ν πάζζαινο είλαη επηκήθεο, αθφκα θαη ζηελ πεξίπησζε πνπ ε αληνρή ηνπ εδάθνπο είλαη κηθξή, αλαπηχζζεηαη ζεκαληηθή δχλακε πνπ κεηαθέξεηαη ζην έδαθνο, ιφγσ ηξηβήο, απφ ηελ κεγάιε παξάπιεπξε επηθάλεηα ηνπ παζζάινπ [3]. Όζνλ αθνξά ηνπο παζζάινπο αηρκήο, ε θέξνπζα ηθαλφηεηα πνπ αλαπηχζζνπλ νθείιεηαη ζηελ αληνρή ηνπ εδάθνπο ζηελ πεξηνρή ηεο αηρκήο ηνπ παζζάινπ. Οη πάζζαινη αηρκήο θαηαζθεπάδνληαη απφ πιηθά κε κεγαιχηεξε αληνρή απφ ηηο εδαθηθέο ζηξψζεηο πνπ βξίζθνληαη θνληά ζηελ επηθάλεηα ηνπ εδάθνπο. Τα θνξηία ηεο θαηαζθεπήο κεηαθέξνληαη ζηελ αηρκή ηνπ παζζάινπ, ν νπνίνο εδξάδεηαη ζε έδαθνο επαξθψο αλζεθηηθφ. Στ.4.3 Θεκειίσζε κε Παζζάινπο Αηρκήο [3] Σηηο πεξηζζφηεξεο πεξηπηψζεηο, ε θέξνπζα ηθαλφηεηα πνπ αλαπηχζζεη έλαο πάζζαινο νθείιεηαη ηφζν ζηελ αληνρή ιφγσ ηξηβήο, φζν θαη ζηελ αληνρή ηεο αηρκήο ηνπ. 4

Οη πάζζαινη, ζπλήζσο, δηαηάζζνληαη ζε νκάδεο ζπλεξγαδφκελσλ παζζάισλ, πνπ ελψλνληαη κε θεθαιφδεζκν, φπσο θαίλεηαη ζηελ εηθφλα. 4... Τχπνη Παζζάισλ Στ. 4.4 Οκάδεο Παζζάισλ [3] Αλάινγα κε ηνλ ηξφπν θαηαζθεπήο ηνπο, νη πάζζαινη δηαθξίλνληαη ζε δχν βαζηθέο θαηεγνξίεο, ηνπο παζζάινπο δη εθηνπίζεσο (ηνπ εδαθηθνχ πιηθνχ) θαη ηνπο παζζάινπο άλεπ εθηνπίζεσο. Οη πάζζαινη δη εθηνπίζεσο δηαθξίλνληαη, επίζεο, ζε δχν βαζηθέο θαηεγνξίεο: i. Προκαηαζκεσαζμένοι Δμπηγνσόμενοι Πάζζαλοι: Οη πάζζαινη ηεο θαηεγνξίαο απηήο θαηαζθεπάδνληαη απφ μχιν, κέηαιιν ή νπιηζκέλν ζθπξφδεκα (απιφ ή πξνεληεηακέλν). Μπνξνχλ, επίζεο, λα θαηαζθεπαζηνχλ απφ θιεηζηνχο ραιχβδηλνπο ζσιήλεο νη νπνίνη πιεξνχληαη κε ζθπξφδεκα, κεηά ηελ έκπεμε ζην έδαθνο. Λφγσ ηνπ φηη είλαη πξνθαηαζθεπαζκέλνη, ε πνηφηεηά ηνπο ειέγρεηαη πξηλ εκπεγζνχλ ζην έδαθνο θαη ε θαηαζθεπή ηνπο δελ επεξεάδεηαη απφ ππφγεηα χδαηα. Δίλαη θαηάιιεινη γηα ηηο πεξηπηψζεηο φπνπ ππάξρεη καιαθή ζηξψζε εδάθνπο ε νπνία έρεη κεγάιν πάρνο θάησ απφ ηε βάζε έδξαζεο. Σε απηή ηελ πεξίπησζε, κπνξνχλ λα θαηαζθεπαζηνχλ επηκεθπλφκελνη πάζζαινη, νη νπνίνη κπνξνχλ λα θηάζνπλ ζε πνιχ κεγάια βάζε (Split- piles). Αθφκε, είλαη θαηάιιεινη γηα ζαιάζζηα έξγα. Οη πξνθαηαζθεπαζκέλνη εκπεγλφκελνη πάζζαινη πζηεξνχλ ζην φηη δηαηαξάζζνπλ ην έδαθνο θαηά ηελ έκπεμε, ην κήθνο ηνπο δελ κπνξεί λα κεηαβιεζεί, θαηά ηε δηαδηθαζία ηεο έκπεμεο κπνξεί λα θαηαζηξαθνχλ, ε δπζθνιία ηεο έκπεμεο απμάλεηαη 41

ii. φζν απμάλεηαη θαη ε δηαηνκή ηνπ. Αθφκε, ν ζφξπβνο, νη δνλήζεηο, νη εδαθηθέο κεηαθηλήζεηο θ.α. θαηά ηελ θαηαζθεπή ηνπο, πξνθαινχλ πνιιέο δπζθνιίεο. Δμπηγνσόμενοι- Δπί ηόποσ Δτνσόμενοι Οη πάζζαινη απηνχ ηνπ ηχπνπ θαηαζθεπάδνληαη απφ έλαλ θιεηζηφ ραιχβδηλν ζσιήλα ν νπνίνο, κεηά ηελ έκπεμε, πιεξνχηαη κε ζθπξφδεκα. Σηε ζπλέρεηα, ν ζσιήλαο αθαηξείηαη, αιιά ε αηρκή ηνπ παξακέλεη. Αθνχ θαηαζθεπάδνληαη επί ηφπνπ, ην κήθνο ηνπο κπνξεί λα θαζνξηζηεί αθφκε θαη ηελ ψξα ηεο έκπεμεο, κπνξνχλ λα απνθηήζνπλ δηεπξπκέλε βάζε θαη ν νπιηζκφο ηνπο δελ εμαξηάηαη απφ ηε δηαδηθαζία έκπεμεο. Σηελ πεξίπησζε πνπ θαηά ηελ θαηαζθεπή βξεζεί ζηάζκε ππφγεησλ πδάησλ, ππάξρεη ε δπλαηφηεηα θαηαζθεπήο ηνπο κε θιεηζηφ ζσιήλα. Απφ ηελ άιιε, θαηά ηε δηαδηθαζία ηεο έκπεμεο αλπςψλνληαη ηα παξαθείκελα εδαθηθά ζηξψκαηα θαη δηαηαξάζζεηαη ην παξάπιεπξν έδαθνο. Δπίζεο, ππάξρεη ε πηζαλφηεηα αλχςσζεο ησλ γεηηνληθψλ πάζζαισλ θαζψο θαη ε δεκηνπξγία ειθπζηηθψλ ηάζεσλ ζε απηνχο. Μεηά ηελ θαηαζθεπή ηνπο, είλαη απαξαίηεηνο ν έιεργνο αθεξαηφηεηάο ηνπο. Στ.4.5 Μέζνδνο θαηαζθεπήο παζζάινπ δη εθηνπίζεσο, επί ηφπνπ εγρπλφκελνπ [4] Οη πάζζαινη άλεπ εθηνπίζεσο ηνπ εδαθηθνχ πιηθνχ θαηαζθεπάδνληαη κε δηάθνξνπο ηξφπνπο, φπσο κε ηε βνήζεηα επελδχζεσο, κε ηε βνήζεηα αησξήκαηνο θ.ν.θ. Καηαζθεπάδνληαη είηε κε ηε ρξήζε ζσιήλσζεο ή κπεηνλίηε, είηε ρσξίο. Με ηνλ ηχπν απηφ ησλ παζζάισλ απνθεχγεηαη ε αλχςσζε ηνπ πεξηβάιινληνο εδάθνπο. Υπεξηεξνχλ ζην φηη ην κήθνο ηνπο κπνξεί λα νξηζηηθνπνηεζεί θαηά ηελ ψξα ηεο θαηαζθεπήο, ζε 4

αληίζεζε κε ηνπο πξνθαηαζθεπαζκέλνπο παζζάινπο, θαη κπνξνχλ λα επηηεπρζνχλ κεγάια κήθε θαη πιάηε (θξεαηνπάζζαινη). Δπηπιένλ, κπνξεί λα ιακβάλεηαη ζπλερήο εηθφλα ησλ εδαθηθψλ ζηξψζεσλ θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θαηαζθεπήο ηνπο. Ζ θαηαζθεπή ηνπο γίλεηαη ρσξίο δνλήζεηο θαη δπλαηφ ζφξπβν θαη επηδξνχλ ειάρηζηα ζηηο ήδε ππάξρνπζεο θαηαζθεπέο. Σε πεξίπησζε πνπ ην έδαθνο δελ είλαη ζπλεθηηθφ, κπνξεί λα ραιαξψζεη θαηά ηε δηαδηθαζηία ηεο δηάηξεζεο. Σηα καιαθά εδάθε, κπνξεί λα δεκηνπξγεζεί «ιαηκφο». Σηελ πεξίπησζε πνπ ππάξρεη πδξνθφξνο νξίδνληαο, ππάξρεη ε πηζαλφηεηα εηζξνήο λεξνχ ζην ζσιήλα, ην νπνίν ζα επεξεάζεη ην ζθπξφδεκα. Μεηά ηελ θαηαζθεπή ηνπο, είλαη απαξαίηεην λα γίλεη έιεγρνο γηα ηελ αθεξαηφηεηά ηνπο [4]. Στ. 4.6 Πάζζαινο δη εθζθαθήο θαηαζθεπαζκέλνο κε ηε βνήζεηα επελδχζεσλ [4] 4.3 Μονηέλο Winkler Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηεο αθακςίαο ηνπ παζζάινπ ρξεζηκνπνηείηαη πνιχ ζπρλά ην κνληέιν Winkler. Απηφ ζπκβαίλεη δηφηη ε κέζνδνο απηή είλαη πνιχ εχρξεζηε. Σην κνληέιν Winkler, ε αιιειεπίδξαζε κεηαμχ παζζάινπ θαη εδάθνπο πξνζνκνηψλεηαη κε κηα ζεηξά ειαηεξίσλ πνπ ηνπνζεηνχληαη θαηά κήθνο ηνπ παζζάινπ. Τν κνληέιν Winkler, παξφηη είλαη πξνζεγγηζηηθφ, είλαη επξέσο απνδεθηφ δηφηη νη πξνβιέςεηο ηνπ είλαη ηθαλνπνηεηηθέο, ζε ζρέζε κε ηηο πην απζηεξέο ιχζεηο. Αθφκε, είλαη εχθνιε ε επέθηαζε θαη ζηελ αλειαζηηθή πεξηνρή, κε ηε ρξήζε κε-γξακκηθψλ ειαηεξίσλ. Δπηπιένλ, κε ηε ρξήζε ηνπ κνληέινπ απηνχ, ην ππνινγηζηηθφ θφζηνο είλαη κηθξφ, ζε ζρέζε κε ηηο ιχζεηο ησλ πεπεξαζκέλσλ θαη ζπλνξηαθψλ ζηνηρείσλ. 43

Ο ππνινγηζκφο ηεο ζηαηηθήο αθακςίαο ελφο παζζάινπ, ζχκθσλα κε ην κνληέιν Winkler γίλεηαη απφ ηνπο ηχπνπο K 3 hh 4EpI p (4.1) K hr EpI p (4.) K E I (4.3) rr p p φπνπ: E p ην κέηξν ειαζηηθφηεηαο ηνπ πιηθνχ ηνπ παζζάινπ I p ε ξνπή αδξάλεηαο ηεο δηαηνκήο ηνπ παζζάινπ ε παξάκεηξνο Winkler Ζ παξάκεηξνο Winkler ππνινγίδεηαη απφ ηνλ ηχπν k 4EI p p 1 4 (4.4) φπνπ ε ζηαζεξά ειαηεξίσλ Winkler. Ζ ζηαζεξά Winkler ππνινγίδεηαη απφ ηε ζρέζε k E s (4.5) φπνπ ε εδαθηθή ζηηθξφηεηα. Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ ζπληειεζηή δ έρνπλ πξνηαζεί δηάθνξεο ζρέζεηο. Ο Syngros (4), πξφηεηλε ηε ζρέζε Ep Esd.75 (4.6) Οη Dordy et all(198), πξφηεηλαλ ηε ζρέζε 44

Ep 1.67 Esd.53 (4.7) Τέινο, ν Roesset(198) θαη νη Gazetas et al (199), πξφηεηλαλ ηελ απινπνίεζε ε νπνία πηνζεηήζεθε θαη ζηελ παξνχζα πηπρηαθή εξγαζία [5]. 1. (4.8) 4.4 Μηηρώο Ακαμυίας Γοκού επί Δλαζηικού Δδάθοσς Σχκθσλα κε ηνπο Eisenberger&Yankelevsky [6]ε δηαθνξηθή εμίζσζε EI 4 d y ky 4 dx (4.9) αληηζηνηρεί ζε κηα δνθφ ε νπνία εδξάδεηαη ζε ειαζηηθφ έδαθνο. Στ. 4.7 Γνθφο επί Διαζηηθνχ Δδάθνπο[6] Ζ γεληθή ιχζε ηεο εμίζσζεο κπνξεί λα γξαθεί κε φξνπο 4 εμηζψζεηο y 1 1 1 ( x ) y F 1( x ) ( ) 3( ) 3 4( ) 4 F x EI M F x EI Q F x (4.1) φπνπ F ( x ) cosh x cos x (4.11.a) 1 1 F ( x) (cosh xsin x sinh xcos x) (4.11.b) 45

1 F3 ( x) sinh xsin x (4.11.c) 1 F4 ( x) (cosh xsin x sinh xcos x) (4.11.d) 4 ηχπν 4.4. Τν ι, φπσο αλαθέξζεθε θαη παξαπάλσ, είλαη ε παξάκεηξνο Winkler θαη δίλεηαη απφ ηνλ Τα y,, M θαη Q είλαη νη ηηκέο πνπ ιακβάλνληαη γηα x=. Ζ θιίζε θαηά κήθνο ηεο δνθνχ, δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν 1 1 y '( x) 4 yf4 ( x) F1 ( x) MF ( x) Q F3 ( x) EI EI (4.1) Οη φξνη ηνπ κεηξψνπ αθακςίαο, παξνπζηάδνληαη ζαλ δεζκεχζεηο ζηελ αξρή θαη ζην ηέινο ηεο δνθνχ, φπσο θαίλεηαη ζηελ παξαθάησ εηθφλα. φξνη S11 S14 Στ. 4.8 Αθακςία κειψλ [6] Καη νη 16 φξνη ησλ ζρέζεσλ 4.1 θαη 4.1, κπνξνχλ λα ππνινγηζηνχλ. Γηα παξάδεηγκα, νη, φπσο θαίλνληαη ζηελ Δηθφλα 4.9.a είλαη ππνινγίζηκνη. Οη φξνη y θαη είλαη 1 θαη, αληίζηνηρα. Άξα, γηα x=l, νη παξαπάλσ ζρέζεηο γξάθνληαη σο 1 1 y( L) F1 ( L) F 3( L) S1 F 3 4( L) S11 EI EI (4.13.a) 46

1 1 y '( L) 4 F4 ( L) F ( L) S1 F 3( L) S11 EI EI (4.13.b) Πξνθχπηεη ζχζηεκα δχν εμηζψζεσλ κε αγλψζηνπο, ην νπνίν κπνξεί λα επηιπζεί. Άξα, νη άγλσζηνη φξνη, ππνινγίδνληαη απφ ηνπο ηχπνπο S 11 k cos Lsinh L cos Lsin L (4.14.a) C S k sinh L sin L 1 (4.14.b) C φπνπ C sinh L sin L (4.14.c) Οη δξάζεηο ζην x=l κπνξνχλ λα βξεζνχλ απφ ηηο γεληθέο εμηζψζεηο γηα ηα Μ(x) θαη Q(x). Οη ππφινηπνη φξνη, δίλνληαη απφ ηνπο ηχπνπο S 31 k sin Lcos L cosh Lsin L (4.14.d) C S k sinh Lsin L (4.14.e) C 41 S S (4.14.f) 1 1 S k sinh Lcosh L sin Lcos L (4.14.g) C 3 S S (4.14.h) 3 41 S k cosh Lsin L sinh Lcos L (4.14.i) C 4 3 S S (4.14.j) 13 31 S S (4.14.k) 3 3 47

S S (4.14.l) 33 11 S S (4.14.m) 43 1 S S (4.14.n) 14 41 S S (4.14.o) 4 4 S S (4.14.p) 34 43 S S (4.14.q) 44 Σχκθσλα κε ηνπο ίδηνπο[7], ε ηζνξξνπία ησλ δπλάκεσλ θαηά ηνλ y άμνλα, ζε έλα απεηξνζηφ ζηνηρείν κηα δνθνχ πνπ εδξάδεηαη ζε ειαζηηθφ έδαθνο, θαίλεηαη ζην ζρήκα Στ. 4.9 Απεηξνζηφ Σηνηρείν Γνθνχ επί Διαζηηθνχ Δδάθνπο [7] θαη νδεγεί ζηελ εμίζσζε ds( x) ky( x) q( x) (4.15) dx φπνπ k ε ζηαζεξά Winkler, φπσο παξαπάλσ. Γηα ηελ πεξίπησζε φπνπ ε δχλακε Ν πνπ αζθείηαη ζην ζηνηρείν ηθαλνπνηεί ηε ζρέζε: N kei (4.16) ηφηε 48

y( x) C cos xcosh x C cos xsinhx C sin xcosh x C sin xcosh x (4.17) 1 3 4 Τα C 1, C, C 3 θαη C 4 είλαη ζηαζεξέο νη νπνίεο θαζνξίδνληαη απφ ηηο ζπλνξηαθέο ζπλζήθεο. Τα α θαη β ππνινγίδνληαη ζπλαξηήζεη ησλ ι θαη δ (4.18) (4.19) Τν κεηξψν αθακςίαο, κνξθψλεηαη σο K spring s s s11 n s1n s13n s 14n s1 n sn s3n s 4n s s s31 n s3n s33n s 34n s41 n s4n s43n s44n (4..a) φπνπ s EA i (4..b) L 4 EI s11 n sinh Lcosh L sin Lcos L (4..c) D EI D (4..d) s1n sin L sinh L 4 EI s31 n sin Lcosh L cos Lsinh L D (4..e) 4 EI s41 n sin LsinhL D (4..f) s s (4..g) 1n 1n EI sn sinh Lcosh L asin Lcos L (4..h) D s s (4..i) 3n 41n 49

EI s4n sinh Lcos L sin Lcosh al (4..j) D s s s s (4..k) 13n 31n s (4..l) 3n 3n s s (4..m) 33n 11n s (4..n) 43n 1n s s (4..o) 14n 41n s s s (4..p) 4n 4n s (4..q) 34n 43n φπνπ s s (4..r) 44n n D sinh L sin L (4..s) 5

Κεθάλαιο 5 ο : Αριθμηηικά Παραδείγμαηα 5.1 Διζαγφγή Σην θεθάιαην απηφ, δηεξεπλάηαη ε ζπκπεξηθνξά θαηαζθεπψλ κε θαηαλεκεκέλε κάδα θαη θαηαλεκεκέλε αθακςία. Αξρηθά, κειεηάηαη κία βηνκεραληθή θαπλνδφρνο θαηαζθεπαζκέλε απφ ζθπξφδεκα. Γίλεηαη ππνινγηζκφο ηεο ηδηνζπρλφηεηάο ηεο κε αλαιπηηθέο κεζφδνπο. Καηφπηλ, γίλεηαη πξνζέγγηζε ησλ ηδηνζπρλνηήησλ θαη ησλ ηδηνκνξθψλ ηεο θαηαζθεπήο κε αξηζκεηηθέο κεζφδνπο (Μέζνδνο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ). Γηα ηε δπλακηθή αλάιπζε ηεο θαηαζθεπήο, ζπληάρζεθε ππνινγηζηηθφο θψδηθαο ζε γιψζζα MAPLE 13. Σηε ζπλέρεηα, κειεηάηαη δπλακηθά πάζζαινο αηρκήο γηα ηνλ νπνίν ζπληάρζεθε, επίζεο, ππνινγηζηηθφο θψδηθαο ζε γιψζζα MAPLE 13. Σην ηέινο ηνπ θεθαιαίνπ, παξνπζηάδνληαη ηα αξηζκεηηθά απνηειέζκαηα γηα ηηο ηδηνζπρλφηεηεο θαη ηηο ηδηνκνξθέο ηεο δηνκεραληθ οε θαπλνδφρνπ θαη ηνπ παζζάινπ αηρκήο. 5. Υπολογιζμός Ιδιοζστνοηήηφν με τρήζη Αναλσηικών Μεθόδφν Ζ βηνκεραληθή θαπλνδφρνο ηνπ ζρήκαηνο (Σρ. 1), έρεη χςνο L=75m θαη απνηειείηαη απφ θέξνλ θνινπξνθσληθφ θέιπθνο απφ νπιηζκέλν ζθπξφδεκα ηνπ νπνίνπ νη δηαζηάζεηο θαίλνληαη ζην ζρήκα. Ζ θαπλνδφρνο ζεσξείηαη παθησκέλε ζην έδαθνο. Δπηηάρπλζε ηεο βαξχηεηαο: Δηδηθφ Βάξνο Σθπξνδέκαηνο: Μέηξν Διαζηηθφηεηαο Σθπξνδέκαηνο: Ππθλφηεηα Σθπξνδέκαηνο: g 9.81m s 4kN m b E.1 1 kn m 3 7 b.446 kg m g 3 Ύςνο θαπλνδφρνπ: L 75m 51

Πάρνο θειχθνπο: t.3m Μέζε αθηίλα θειχθνπο θαπλνδφρνπ: r( x) 3.5.34 x Στ. 5.1 Παθησκέλε ζην έδαθνο θαπλνδφρνο Ζ ξνπή αδξάλεηαο ηεο θαπλνδφρνπ δίλεηαη απφ ηε ζρέζε I x 3 ( ) r( x) t( x) Ζ κάδα δίλεηαη απφ ηε ζρέζε [ r( x) t( x) b] mx ( ) g Δπηιέγεηαη ε ζπλάξηεζε ζρήκαηνο γηα ηελ ειαζηηθή γξακκή πξνβφινπ ππφ νκνηφκνξθε θφξηηζε, ε νπνία είλαη 1 3 3 4 ( x) (6 4 ) 5

φπνπ x L O ππνινγηζκφο ησλ νινθιεξσκάησλ γίλεηαη κε ηε MAPLE 13. Ζ κεζνδνινγία επίιπζεο είλαη απηή ηνπ γεληθεπκέλνπ κνλνβάζκηνπ ζπζηήκαηνο ε νπνία παξνπζηάδεηαη αλαιπηηθά ζην βηβιίν «ΓΥΝΑΜΗΚΖ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΔΥΩΝ» ηνπ Η.Θ. Καηζηθαδέιε. L * k EI ( x) ''( x)] dx 3187.99 L * m m( x)[ ( x)] dx 141.37 Φξεζηκνπνηψληαο ηα παξαπάλσ απνηειέζκαηα, ππνινγίδεηαη ε ηδηνζπρλφηεηα * k 4.7543 rad / s * m Δλαιιαθηηθά, επηιέγεηαη σο ζπλάξηεζε ζρήκαηνο ε πξψηε ηδηνκνξθή ηαιάλησζεο πξνβφινπ ζηαζεξήο δηαηνκήο, ε νπνία είλαη 1.8751 φπνπ. L 1 ( x) [cosh x cos x.7341(sinh x sin x)] 3 Αθνινπζψληαο ηνλ πξνεγνχκελν ηξφπν επίιπζεο, ιακβάλνπκε ηελ ηηκή 4.6359 rad / s Ζ κηθξφηεξε απφ ηηο δχν ηηκέο είλαη θαη ε αθξηβέζηεξε. Δπνκέλσο, δεθηή ζαλ ηδηνζπρλφηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ε ιχζε. 53

5.3 Υπολογιζμός Ιδιοζστνοηήηφν και Ιδιομορθών με ηη τρήζη ηης Μεθόδοσ ηφν Πεπεραζμένφν Σηοιτείφν 5.3.1 Παξάδεηγκα Δπίιπζεο Γηα ηελ ίδηα βηνκεραληθή θαπλνδφρν, γίλεηαη ππνινγηζκφο ησλ ηδηνζπρλνηήησλ θαη ησλ ηδηνκνξθψλ κε ηε ρξήζε ηεο Μεζφδνπ ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ. Παξαθάησ, παξνπζηάδεηαη ελδεηθηηθά ε δηαδηθαζία επίιπζεο γηα 5 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία (n=5). Δπηηάρπλζε ηεο βαξχηεηαο: Δηδηθφ Βάξνο Σθπξνδέκαηνο: Μέηξν Διαζηηθφηεηαο Σθπξνδέκαηνο: Ππθλφηεηα Σθπξνδέκαηνο: g 9.81m s 4kN m b E.1 1 kn m 3 7 b.446 kg m g 3 Ύςνο θαπλνδφρνπ: L 75m Πάρνο θειχθνπο: t.3m Έζησ αξρή ηεο θαπλνδφρνπ ε πάθησζή ηεο. Ζ Δμσηεξηθή Γηαηνκή ηεο αξρήο ηεο θαπλνδφρνπ είλαη, ζχκθσλα κε ην ζρήκα D 1 a 6.4m θαη ηνπ πέξαηφο ηεο D 1 m.9m Οη εζσηεξηθέο δηάκεηξνη ζηελ αξρή θαη ζην πέξαο ηελ θαπλνδφρνπ είλαη D 6.4 t 5.8m a D.9 t.3m m 54

Κάλνληαο γξακκηθή παξεκβνιή, ππνινγίδεηαη ε δηάκεηξνο ζην κέζνλ ηνπ θειχθνπο 1 1 1 Da Dm 1 Dz Dm 4.65m D D t 4.5m 1 z z Σην παξαθάησ ζρήκα Σρ.5., θαίλνληαη νη θφκβνη πνπ ζπλδένπλ ηα ζηνηρεία κεηαμχ ηνπο θαζψο θαη νη βαζκνί ειεπζεξίαο θίλεζεο ηνπ θάζε ζηνηρείνπ. Στ.5. Βαζκνί Διεπζεξίαο γηα ηα 5 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Γηα ην Πεπεξαζκέλν Σηνηρείν 1: Βαζκνί Διεπζεξίαο Αξρήο: 1,,3 Βαζκνί Διεπζεξίαο Πέξαηνο: 4,5,6 Τν κήθνο ηνπ θάζε ζηνηρείνπ ππνινγίδεηαη θάζε θνξά δηαηξψληαο ην αξρηθφ κήθνο ηεο θαπλνδφρνπ κε ην πιήζνο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ. 55

L L1 15m n Ζ δηάκεηξνο ζηελ αξρή ηνπ ζηνηρείνπ ηαπηίδεηαη κε ηε δηάκεηξν ζηελ αξρή ηεο θαπλνδφρνπ. a D 1 a 6.4m D 6.4 t 5.8m Ζ δηάκεηξνο ζην πέξαο ηνπ ζηνηρείνπ 1 ππνινγίδεηαη θάλνληαο θαη πάιη γξακκηθή παξεκβνιή κεηαμχ ηεο αξρήο ηεο θαπλνδφρνπ θαη ηνπ κέζνπ ηεο 1 1 1 1 ( Da Dm) L1 Dg Da 5.7m L Γίλεηαη ε παξαδνρή φηη ην Πεπεξαζκέλν Σηνηρείν 1 έρεη ζηαζεξή δηαηνκή, ε νπνία είλαη ίζε κε ηε δηαηνκή πνπ έρεη ζην κέζνλ ηνπ. Δπνκέλσο, ε εζσηεξηθή θαη εμσηεξηθή δηάκεηξνο ηνπ Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 1 είλαη 1 1 ( Da Dg) ex 1 D1 Dg 6.5m in ex D1 D1 t 5.45m Στ.5.3 Δμσηεξηθή θαη Δζσηεξηθή Γηάκεηξνο Σηνηρείνπ 56

Τν εκβαδφλ ηεο θνίιεο θπθιηθήο δηαηνκήο ηνπ Σηνηρείνπ 1 δίλεηαη σο ex in ( D1 ) ( D1 ) A1 5.4m 4 4 Ο φγθνο ηνπ Σηνηρείνπ δίλεηαη απφ ηε ζρέζε V1 A1 L1 81.9m 3 Καη, ηέινο, ε ξνπή αδξάλεηαο ηνπ Σηνηρείνπ, δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν 4 ex in 4 D 1 D 1 I1 t.4577m 4 4 Γηα ην Πεπεξαζκέλν Σηνηρείν : Βαζκνί Διεπζεξίαο Αξρήο: 4,5,6 Βαζκνί Διεπζεξίαο Πέξαηνο: 7,8,9 Αθνινπζψληαο ηελ ίδηα δηαδηθαζία, ιακβάλνπκε L L 15m n 1 1 ( Dg De) ex 1 D De 5.3m in ex D D t 4.75m ex in ( D ) ( D ) A 4.76m 4 4 V A L 71.39m 3 57

4 ex in 4 D D I t 15.6m 4 4 Γηα ην Πεπεξαζκέλν Σηνηρείν 3: Βαζκνί Διεπζεξίαο Αξρήο: 7,8,9 Βαζκνί Διεπζεξίαο Πέξαηνο: 1,11,1 Αθνινπζψληαο ηελ ίδηα δηαδηθαζία, ιακβάλνπκε L L3 15m n D D m ex 1 3 z 4.65 in ex D3 D3 t 4.5m ex in ( D3 ) ( D3 ) A3 4.1m 4 4 V3 A3 L3 61.5m 3 4 ex in 4 D 3 D 3 I3 t 9.7434m 4 4 Γηα ην Πεπεξαζκέλν Σηνηρείν 4: Βαζκνί Διεπζεξίαο Αξρήο: 1,11,1 Βαζκνί Διεπζεξίαο Πέξαηνο: 13,14,15 Αθνινπζψληαο ηελ ίδηα, ιακβάλνπκε: 58

L L4 15m n 1 1 ex 1 ( Da Dm) L4 D4 Dh 3.95m L in ex D4 D4 t 3.35m ex in ( D4 ) ( D4 ) A4 3.44m 4 4 V4 A4 L4 51.6m 3 4 ex in 4 D 4 D 4 I4 t 5.7674m 4 4 Γηα ην Πεπεξαζκέλν Σηνηρείν 5: Βαζκνί Διεπζεξίαο Αξρήο: 13,14,15 Βαζκνί Διεπζεξίαο Πέξαηνο: 16,17,18 Αθνινπζψληαο ηελ ίδηα δηαδηθαζία, ιακβάλνπκε L L5 15m n 1 1 ex ( Dk Dm) 5 1 D Dm 3.5m in ex D5 D5 t.65m ex in ( D5 ) ( D5 ) A5.78m 4 4 59

V5 A5 L5 41.7m 3 4 ex in 4 D 5 D 5 I5 t 3.557m 4 4 Όπσο θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα, νη ηνπηθνί άμνλεο ησλ ζηνηρείσλ ηεο θαπλνδφρνπ ηαπηίδνληαη κε ηνλ θαζνιηθφ άμνλα. Γειαδή, ε γσλία θ φισλ ησλ ζηνηρείσλ είλαη ίζε κε. Αλ ζηε ζρέζε πνπ δίλεη ην κεηξψν πεξηζηξνθήο 3.17 αληηθαηαζηαζνχλ ην εκίηνλν θαη ζπλεκίηνλν ηεο γσλίαο θ=, ηφηε ην κεηξψν πνπ ζα πξνθχςεη ζα είλαη ην κνλαδηαίν κεηξψν. Όπσο είλαη γλσζηφ, ην κνλαδηαίν κεηξψν, ζηνλ πνιιαπιαζηαζκφ κεηξψσλ, είλαη ην νπδέηεξν ζηνηρείν ηνπ πνιιαπιαζηαζκνχ. Δπνκέλσο, εθηειψληαο ηηο πξάμεηο ησλ ζρέζεσλ 3.18 θαη 3.19, ηα κεηξψα αθακςίαο θαη κάδαο θάζε ζηνηρείνπ ζηνλ ηνπηθφ άμνλα είλαη ίζα κε ηα κεηξψα αθακςίαο θαη κάδαο ζηνλ θαζνιηθφ άμνλα. Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ κεηξψσλ αθακςίαο ζηνλ θαζνιηθφ άμνλα, ρξεζηκνπνηείηαη ε ζρέζε 3.7. Γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ κεηξψνπ κάδαο ηνπ θάζε ζηνηρείνπ γίλεηαη ε παξαδνρή ηεο ζπλερνύο θαηαλνκήο ηεο κάδαο θαη γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ ρξεζηκνπνηνχληαη νη ζρέζεηο 3.1 θαη 3.11. Μεηξψν Αθακςίαο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 1: k 1 6 7.591 6 1.681 7 8 1.61 1.61 6 6 7.591 7.591 6 7 6 1.681 1.61 1.681 7 7 7 8 1.61 6.91 1.61 1.61 6

Μεηξψν Αθακςίαο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ : k 6 6.661 6 1.141 6 7 8.531 8.531 6 6 6.661 6.661 6 6 6 1.141 8.531 1.141 6 7 6 7 8.531 4.61 8.531 8.531 Μεηξψν Αθακςίαο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 3: k 3 6 5.731 5 7.71 6 7 5.461 5.461 6 6 5.731 5.731 5 6 5 7.71 5.461 7.71 6 7 6 7 5.461.731 5.461 5.461 Μεηξψν Αθακςίαο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 4: k 4 6 4.81 5 4.311 6 7 3.31 3.31 6 6 4.81 4.81 5 6 5 4.311 3.31 4.311 6 7 6 7 3.31 1.611 3.31 3.31 61

Μεηξψν Αθακςίαο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 5: k 5 6 3.891 5.81 6 7 1.711 1.711 6 6 3.891 3.891 5 6 5.81 1.711.81 6 6 6 7 1.711 8.561 1.711 1.711 Μεηξψν Μάδαο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 1: m 1 66.9 73.87 156.6 46.15 33.14 66.9 5.57 9.33 73.87 9.33 319.61 156.6 46.15 Μεηξψν Μάδαο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ : m 58. 64.87 137.3 374.7 9.11 8..46 81.9 64.87 81.9 8.7 137.3 374.7 Μεηξψν Μάδαο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 3: m 3 5.15 55.88 118.1 3.39 5.7 5.15 19.34 69.85 55.88 69.85 41.79 118.1 3.39 6

Μεηξψν Μάδαο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 4: m 4 4.8 46.89 99.19 7.51 1.4 4.8 16.3 58.61 46.89 58.61.88 99.19 7.51 Μεηξψν Μάδαο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 5: m 5 34.1 37.9 8.17 18.63 17. 34.1 13.1 47.37 37.9 47.37 163.98 8.17 18.63 Σηε ζπλέρεηα, ζπληάζζνληαη ηα κεηξψα έληαμεο γηα ην θάζε ζηνηρείν, ηα νπνία έρνπλ 6 γξακκέο θαη 18 ζηήιεο: Μεηξψν Έληαμεο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 1: 1 1 1 1 a 1 1 1 Μεηξψν Έληαμεο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ : a 1 1 1 1 1 1 63

Μεηξψν Έληαμεο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 3: a 3 1 1 1 1 1 1 Μεηξψν Έληαμεο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 4: a 4 1 1 1 1 1 1 Μεηξψν Έληαμεο Πεπεξαζκέλνπ Σηνηρείνπ 5: a 5 1 1 1 1 1 1 Αθνχ έρνπλ ζπληαρζεί ηα κεηξψα έληαμεο, αθνινπζψληαο ηηο ζρέζεηο 3.1 θαη 3., πξνθχπηνπλ ηα Γηεπξπκέλα Μεηξψα Αθακςίαο θαη Μάδαο, ηα νπνία είλαη 18 18, απφ ηηο παξαθάησ ζρέζεηο Γηεπξπκέλα Μεηξψα Αθακςίαο: Kˆ ( a ) T k a 1 1 1 1 Kˆ ( a ) T k a Kˆ ( a ) T k a 3 3 3 3 Kˆ ( a ) T k a 4 4 4 4 Kˆ ( a ) T k a 5 5 5 5 64

Γηεπξπκέλα Μεηξψα Μάδαο: Mˆ ( a ) T k a 1 1 1 1 Mˆ ( a ) T k a Mˆ ( a ) T k a 3 3 3 3 Mˆ ( a ) T k a 4 4 4 4 Mˆ ( a ) T k a 5 5 5 5 ηνπο. Τα κεηξψα απηά δελ παξνπζηάδνληαη ζην θεθάιαην απηφ ιφγσ ηνπ κεγάινπ κεγέζνπο Οιηθά Μεηξψα Αθακςίαο θαη Μάδαο. Τα Οιηθά Μεηξψα Αθακςίαο θαη Μάδαο πξνθχπηνπλ απφ ην άζξνηζκα ησλ Γηεπξπκέλσλ Μεηξψσλ Αθακςίαο θαη ησλ Γηεπξπκέλσλ Μεηξψσλ Μάδαο, αληίζηνηρα. 5 n1 ˆ e K K M 5 n1 ˆ e M Τα Οιηθά Μεηξψα είλαη, επίζεο, δηαζηάζεσλ 18 18. Αλαδηαηεηαγκέλα Μεηξψα Αθακςίαο θαη Μάδαο. Ζ αλαδηάηαμε γίλεηαη ψζηε νη γλσζηέο κεηαθηλήζεηο ησλ δεζκεπκέλσλ βαζκψλ ειεπζεξίαο( νη νπνίεο είλαη κεδεληθέο) λα θαηαιακβάλνπλ ηηο ηειεπηαίεο ζέζεηο ηνπ δηαλχζκαηνο ησλ κεηαθηλήζεσλ. Οη δεζκεπκέλνη βαζκνί ειεπζεξίαο είλαη νη 1,,3. Γηα ηελ αλαδηάηαμε ησλ Οιηθψλ Μεηξψσλ Αθακςίαο θαη Μάδαο, φπσο αλαθέξζεθε θαη ζην Κεθάιαην 3, ζπληάζζεηαη ην Μεηξψν αλαδηάηαμεο V. 65

Απφ ηνλ πνιιαπιαζηαζκφ ηνπ κεηξψνπ απηνχ κε ηα Οιηθά Μεηξψα Αθακςίαο θαη Μάδαο, φπσο ζηηο ζρέζεηο 3.6 θαη 3.7, πξνθχπηνπλ ην Αλαδηαηεηαγκέλν Μεηξψν Αθακςίαο θαη Αλαδηαηεηαγκέλν Μεηξψν Μάδαο, αληίζηνηρα K T V KV M T V MV Τα Μεηξψα πνπ πξνέθπςαλ, ρσξίδνληαη ζε ππνκεηξψα, κε βάζε ηνπο ειεχζεξνπο θαη ηνπο δεζκεπκέλνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο. Τα ππνκεηξψα απηά είλαη ηα: K ff, K fs, Ksf, Kss γηα ην Αλαδηαηεηαγκέλν Μεηξψν Αθακςίαο M ff, M fs, M sf, M ss γηα ην Αλαδηαηεηαγκέλν Μεηξψν Μάδαο. Σηα κεηξψα Kss θαη M ss πεξηέρνληαη νη αθακςίεο θαη νη κάδεο ησλ δεζκεπκέλσλ, ζηελ πάθησζε, βαζκψλ ειεπζεξίαο ελψ ζηα K ff θαη M ff ησλ ειεχζεξσλ βαζκψλ ειεπζεξίαο. Τα κεηξψα Kss θαη M ss είλαη 3 3 ελψ ηα K ff θαη M ff 15 15. Απηφ ζπκβαίλεη δηφηη ε θαηαζθεπή έρεη 3 δεζκεπκέλνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο, ζηελ πάθησζε ηεο θαπλνδφρνπ, ελψ νη ππφινηπνη 15 είλαη ειεχζεξνη. Σηαηηθή Σπκπχθλσζε. Όπσο αλαθέξζεθε ζε πξνεγνχκελν θεθάιαην, ε δηαδηθαζία ηεο Σηαηηθήο Σπκπχθλσζεο γίλεηαη ψζηε λα κεησζεί ν αξηζκφο ησλ εμηζψζεσλ θίλεζεο πνπ πξέπεη λα επηιπζνχλ. Γηα απηφ ην ιφγν, φηαλ ε επίιπζε γίλεηαη κε ηε Μέζνδν ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, παξαιείπνληαη νη δπλάκεηο ησλ ζηξνθηθψλ βαζκψλ ειεπζεξίαο, γηα ηηο νπνίεο ε θηλεηηθή ελέξγεηα είλαη κηθξή, ζε ζρέζε κε ηελ θηλεηηθή ελέξγεηα ησλ κεηαθνξηθψλ βαζκψλ ειεπζεξίαο. Σπληάζζεηαη έλα λέν κεηξψν αλαδηάηαμεο πνπ έρεη δηαζηάζεηο 15 15, δηφηη αλαθέξεηαη κφλν ζηα κεηξψα K ff θαη M ff πνπ πεξηέρνπλ ηνπο ειεχζεξνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο. Ο ηξφπνο κε ηνλ νπνίν γίλεηαη ε ζχληαμή ηνπ είλαη αλάινγνο κε ην πξνεγνχκελν κεηξψν αλαδηάηαμε, 66

κφλν πνπ, απηή ηε θνξά, ζηφρνο είλαη λα βξίζθνληαη ζηηο ηειεπηαίεο ζέζεηο ηνπ δηαλχζκαηνο ησλ κεηαθηλήζεσλ, νη κεηαθηλήζεηο ησλ ζηξνθηθψλ βαζκψλ ειεπζεξίαο. Οη πξάμεηο πνπ εθηεινχληαη είλαη νη αθφινπζεο: K sum T V K ffv M sum T V M ffv Απφ ην κεηξψν K sum πξνθχπηνπλ ηα κεηξψα Ktt, Kt, Kt, K θαη απφ ην M sum ην κεηξψν M tt, φπσο θαίλνληαη ζηε ζρέζε 3.9. Δθηειψληαο ηηο πξάμεηο ησλ ζρέζεσλ 3.36 θαη 3.38, πξνθχπηνπλ ηα Σηαηηθά Σπκππθλσκέλα Μεηξψα K * M 7 1.431 6.1 6 7 6.661 1.41 6 6 1.61 1.7 1 6 7 5.741 1.61 5 5 5 3.311 6.11 6.331 6 6 4.81 8.711 5 5 5 6135.57 1.811 3.31.881 6 6 3.891 3.891 7887.7 388.93 7355.15 9386.31 39576.96 * 14.51 146.78 9.11 18.37 19.35 17.46 5.7 9.3.77 15.59 19.6 1.4 76.9.91.3 11.99 9.64 17. 34.1..1.85 1.77 39.31 Απφ ηηο ζρέζεηο 3.39 σο 3.43, πξνθχπηνπλ νη ηδηνζπρλφηεηεο ηνπ ζπζηήκαηνο 1 4.498rad s 67

19.37rad s 3 49.65rad s 4 388.3rad s 5 94.45rad s 6 163.5rad s 7 7.1rad s 8 194.37 rad s 9 5.98rad s 1 644.1rad s θαη νη αληίζηνηρεο ηδηνκνξθέο.355.139 1.377.585.7781.137.379.469.11.89 68

69 3.739.3938.1711.4965.79 4.4761.557.6839 5.4174.58.535.5778.4497 6.64.6151.4358.313.133

.1595.3184.4573 7.5561.5957.3864.475.1418 8.3876.6741.3864.475.1418 9.3876.6741 1 1.1595.3185.4573.5561.5957 Ζ ζεκειηψδεο ηδηνζπρλφηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη ε 1 4.498rad s Σην ηέινο θάζε πξνγξάκκαηνο, ελ είδε επαιήζεπζεο, ππνινγίδεηαη ν ζπλνιηθφο φγθνο ηεο θαηαζθεπήο 7

V V1 V V3 V4 V5 37.483m 3 Ζ παξαπάλσ δηαδηθαζία έρεη γίλεη γηα ηα εμήο: 1. Σχκθσλα κε ηελ παξαδνρή ηεο ζπλερνύο θαηαλνκήο ηεο κάδαο, έρνπλ γξαθεί 1 πξνγξάκκαηα ζε γιψζζα MAPLE γηα 1,,3,4,5,6,7,8,9 θαη 1 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία.. Σχκθσλα κε ηελ παξαδνρή ησλ ζπγθεληξσκέλσλ καδώλ ζηνπο θόκβνπο, έρνπλ γξαθεί 1 πξνγξάκκαηα ζε γιψζζα MAPLE γηα ηα ίδην αξηζκψλ ζηνηρείσλ. 5.3.1 Πίλαθεο Απνηειεζκάησλ. Παξαθάησ, παξνπζηάδνληαη νη πίλαθεο ησλ απνηειεζκάησλ γηα ηηο ηξεηο πξψηεο ηδηνζπρλφηεηεο θαη ηδηνκνξθέο φισλ ησλ πξνγξακκάησλ πνπ ζπλεηάρζεζαλ. Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο γηα 1 Πεπεξαζκέλν Σηνηρείν: Ιδιοζστνόηηηες Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο rad s 1.9668.189 1 rad s 55.449 67.669 Πιν. 5.1 Ηδηνζπρλφηεηεο γηα 1 Πεπεξαζκέλν Σηνηρείν 71

Ιδιομορθές Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο 1 1 1 1 1 Πιν. 5. Ηδηνκνξθέο γηα 1 Πεπεξαζκέλν Σηνηρείν Σηελ παξάγξαθν 5., έρεη ππνινγηζηεί, κε ηε ρξήζε αλαιπηηθψλ κεζφδσλ, ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο θαηαζθεπήο θαη είλαη ε 4.6359 rad / s. Ζ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηελ ηδηνζπρλφηεηα πνπ πξνέθπςε απφ ηελ επίιπζε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο ζα γίλεη κε ηελ 1. rad s Γηαθνξά (%) 1 Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ 1.9668 57.57 Παξαδνρή Σπλερνύο.189 5.14 Καηαλνκήο Μάδαο Πίν. 5.3 Σχγθξηζε Απνηειεζκάησλ γηα 1 Πεπεξαζκέλν Σηνηρείν Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα, ε απφθιηζε ησλ απνηειεζκάησλ πνπ πάξζεθαλ απφ ηελ επίιπζε κε ηε ρξήζε ηεο κεζφδνπ ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ είλαη πνιχ κεγάιε. Όκσο, ζπγθξίλνληαο ηηο απηέο απνθιίζεηο κεηαμχ ηνπο, θαίλεηαη φηη ε απφθιηζε πνπ πξνθχπηεη απφ ηε ζχγθξηζε ηεο αλαιπηηθήο ιχζεο κε ηε ιχζε πνπ πάξζεθε ρξεζηκνπνηψληαο ηελ παξαδνρή ηεο Σπλερνχο Καηαλνκήο ηεο Μάδαο είλαη κηθξφηεξε. Ζ δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη, αθνχ ε απφθιηζε είλαη ηφζν κεγάιε. 7

Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο γηα Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία: Ιδιοζστνόηηηες Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο rad s 3.3387 3.5791 1 rad s 1.486 14.793 rad s 67.63 71.5588 3 Πιν. 5.4 Ηδηνζπρλφηεηεο γηα Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Ιδιομορθές Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο 1.539.967.599.9656.8357.549.7419.675 3.534.8453.534.8453 Πιν. 5.5 Ηδηνκνξθέο γηα Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Σηελ παξάγξαθν 5., έρεη ππνινγηζηεί, κε ηε ρξήζε αλαιπηηθψλ κεζφδσλ, ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο θαηαζθεπήο θαη είλαη ε 4.6359 rad / s. 73

Ζ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηελ ηδηνζπρλφηεηα πνπ πξνέθπςε απφ ηελ επίιπζε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο ζα γίλεη κε ηελ 1. rad s Γηαθνξά (%) 1 Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ 3.3387 7.98 Παξαδνρή Σπλερνύο 3.5791.8 Καηαλνκήο Μάδαο Πιν. 5.6 Σχγθξηζε Απνηειεζκάησλ γηα Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα, ε απφθιηζε ησλ απνηειεζκάησλ πνπ πάξζεθαλ απφ ηελ επίιπζε κε ηε ρξήζε ηεο κεζφδνπ ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ είλαη κεγάιε. Όκσο, ζπγθξίλνληαο ηηο απηέο απνθιίζεηο κεηαμχ ηνπο, θαίλεηαη φηη ε απφθιηζε πνπ πξνθχπηεη απφ ηε ζχγθξηζε ηεο αλαιπηηθήο ιχζεο κε ηε ιχζε πνπ πάξζεθε ρξεζηκνπνηψληαο ηελ παξαδνρή ηεο Σπλερνχο Καηαλνκήο ηεο Μάδαο είλαη κηθξφηεξε. Ζ δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη, αθνχ ε απφθιηζε είλαη ηφζν κεγάιε. Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο γηα 3 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία: Ιδιοζστνόηηηες Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο rad s 3.863 4.77 1 rad s 15.194 17.6939 rad s 37.146 44.83 3 Πιν. 5.7 Ηδηνζπρλφηεηεο γηα 3 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία 74

Ιδιομορθές Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο 1.11.446.8986.113.48.8967.3613.553.758.3498.4784.854 3.8.559.83.759.5856.3985 Πιν.5.8 Ηδηνκνξθέο γηα 3 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Σηελ παξάγξαθν 5., έρεη ππνινγηζηεί, κε ηε ρξήζε αλαιπηηθψλ κεζφδσλ, ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο θαηαζθεπήο θαη είλαη ε 4.6359 rad / s. Ζ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηελ ηδηνζπρλφηεηα πνπ πξνέθπςε απφ ηελ επίιπζε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο ζα γίλεη κε ηελ 1. rad s Γηαθνξά(%) 1 Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ 3.863 16.73 Παξαδνρή Σπλερνύο 4.77 13.55 Καηαλνκήο Μάδαο Πιν. 5.9 Σχγθξηζε Απνηειεζκάησλ γηα 3 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία 75

Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα, ε απφθιηζε ησλ απνηειεζκάησλ πνπ πάξζεθαλ απφ ηελ επίιπζε κε ηε ρξήζε ηεο κεζφδνπ ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ είλαη κεγάιε. Όκσο, ζπγθξίλνληαο ηηο δχν απηέο απνθιίζεηο κεηαμχ ηνπο, θαίλεηαη φηη ε απφθιηζε πνπ πξνθχπηεη απφ ηε ζχγθξηζε ηεο αλαιπηηθήο ιχζεο κε ηε ιχζε πνπ πάξζεθε ρξεζηκνπνηψληαο ηελ παξαδνρή ηεο Σπλερνχο Καηαλνκήο ηεο Μάδαο είλαη κηθξφηεξε. Όζν κεγαιψλεη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κηθξφηεξε γίλεηαη θαη ε απφθιηζε απφ ηελ ιχζε πνπ πάξζεθε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο. Αθφκε, παξαηεξείηαη φηη φζν απμάλεηαη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κεηψλεηαη θαη ε δηαθνξά ησλ απνθιίζεσλ κεηαμχ ησλ δχν ζεσξήζεσλ. Ζ δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη, αθνχ ε απφθιηζε είλαη κεγάιε αθφκα. Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο γηα 4 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία: Ιδιοζστνόηηηες Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο rad s 4.787 4.1718 1 rad s 16.943 18.894 rad s 4.194 47.498 3 Πιν. 5.1 Ηδηνζπρλφηεηεο γηα 4 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία 76

Ιδιομορθές Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο 1.59.84.4987.834.59.3.54.835.89.4964.634.83.16.479.133.85 3.4391.3439.659.5151.3987.353.6331.64 Πιν. 5.11 Ηδηνκνξθέο γηα 4 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Σηελ παξάγξαθν 5., έρεη ππνινγηζηεί, κε ηε ρξήζε αλαιπηηθψλ κεζφδσλ, ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο θαηαζθεπήο θαη είλαη ε 4.6359 rad / s. Ζ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηελ ηδηνζπρλφηεηα πνπ πξνέθπςε απφ ηελ επίιπζε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο ζα γίλεη κε ηελ 1. 77

rad s Γηαθνξά (%) 1 Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ 4.787 1. Παξαδνρή Σπλερνύο 4.1718 1.1 Καηαλνκήο Μάδαο Πιν.5.1 Σχγθξηζε Απνηειεζκάησλ γηα 4 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα, ππάξρεη αθφκα απφθιηζε κεηαμχ ησλ απνηειεζκάησλ. Όκσο, ζπγθξίλνληαο ηηο απηέο απνθιίζεηο κεηαμχ ηνπο, θαίλεηαη φηη ε απφθιηζε πνπ πξνθχπηεη απφ ηε ζχγθξηζε ηεο αλαιπηηθήο ιχζεο κε ηε ιχζε πνπ πάξζεθε ρξεζηκνπνηψληαο ηελ παξαδνρή ηεο Σπλερνχο Καηαλνκήο ηεο Μάδαο είλαη κηθξφηεξε. Όζν κεγαιψλεη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κηθξφηεξε γίλεηαη θαη ε απφθιηζε απφ ηελ ιχζε πνπ πάξζεθε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο. Αθφκε, παξαηεξείηαη φηη φζν απμάλεηαη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κεηψλεηαη θαη ε δηαθνξά ησλ απνθιίζεσλ κεηαμχ ησλ ζεσξήζεσλ. Ζ δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη. Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο γηα 5 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία: Ιδιοζστνόηηηες Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο rad s 4.187 4.498 1 rad s 17.8831 19.3657 rad s 43.53 49.648 3 Πιν. 5.13 Ηδηνζπρλφηεηεο γηα 5 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία 78

79 Ιδιομορθές Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο 1.35.1383.365.578.779.355.139.378.585.7781.1348.386.4463.548.7968.137.379.469.11.89 3.868.458.148.5455.6319.739.3938.1711.4965.79 Πιν. 5.14 Ηδηνκνξθέο γηα 5 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Σηελ παξάγξαθν 5., έρεη ππνινγηζηεί, κε ηε ρξήζε αλαιπηηθψλ κεζφδσλ, ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο θαηαζθεπήο θαη είλαη ε 4.6359 / rad s.

Ζ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηελ ηδηνζπρλφηεηα πνπ πξνέθπςε απφ ηελ επίιπζε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο ζα γίλεη κε ηελ 1. rad s Γηαθνξά(%) 1 Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ 4.187 9.68 Παξαδνρή Σπλερνύο 4.498 8.33 Καηαλνκήο Μάδαο Πιν. 5.15 Σχγθξηζε Απνηειεζκάησλ γηα 5 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα, ππάξρεη αθφκα απφθιηζε κεηαμχ ησλ απνηειεζκάησλ. Όκσο, ζπγθξίλνληαο ηηο απηέο απνθιίζεηο κεηαμχ ηνπο, θαίλεηαη φηη ε απφθιηζε πνπ πξνθχπηεη απφ ηε ζχγθξηζε ηεο αλαιπηηθήο ιχζεο κε ηε ιχζε πνπ πάξζεθε ρξεζηκνπνηψληαο ηελ παξαδνρή ηεο Σπλερνχο Καηαλνκήο ηεο Μάδαο είλαη κηθξφηεξε. Όζν κεγαιψλεη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κηθξφηεξε γίλεηαη θαη ε απφθιηζε απφ ηελ ιχζε πνπ πάξζεθε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο. Αθφκε, παξαηεξείηαη φηη φζν απμάλεηαη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κεηψλεηαη θαη ε δηαθνξά ησλ απνθιίζεσλ κεηαμχ ησλ ζεσξήζεσλ. Ζ δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη. Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο γηα 6 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία: Ιδιοζστνόηηηες Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο rad s 4.477 4.97 1 rad s 18.469 19.5843 8

81 3 rad s 44.9549 5.557 Πιν. 5.16 Ηδηνζπρλφηεηεο γηα 6 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Ιδιομορθές Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο 1.3.99.8.3544.5359.733.31.913.36.3551.536.73.99.87.48.3391.865.7768.946.887.46.3114.191.7836

3..474.14.3473.3867.6798.199.3981.1514.3754.3346.753 Πιν. 5.17 Ηδηνκνξθέο γηα 6 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Σηελ παξάγξαθν 5., έρεη ππνινγηζηεί, κε ηε ρξήζε αλαιπηηθψλ κεζφδσλ, ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο θαηαζθεπήο θαη είλαη ε 4.6359 rad / s. Ζ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηελ ηδηνζπρλφηεηα πνπ πξνέθπςε απφ ηελ επίιπζε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο ζα γίλεη κε ηελ 1. rad s Γηαθνξά (%) 1 Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ 4.477 8.37 Παξαδνρή Σπλερνύο 4.97 7.4 Καηαλνκήο Μάδαο Πιν. 5.18 Σχγθξηζε Απνηειεζκάησλ γηα 6 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα, ππάξρεη αθφκα απφθιηζε κεηαμχ ησλ απνηειεζκάησλ. Όκσο, ζπγθξίλνληαο ηηο απηέο απνθιίζεηο κεηαμχ ηνπο, θαίλεηαη φηη ε απφθιηζε πνπ πξνθχπηεη απφ ηε ζχγθξηζε ηεο αλαιπηηθήο ιχζεο κε ηε ιχζε πνπ πάξζεθε ρξεζηκνπνηψληαο ηελ παξαδνρή ηεο Σπλερνχο Καηαλνκήο ηεο Μάδαο είλαη κηθξφηεξε. Όζν κεγαιψλεη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κηθξφηεξε γίλεηαη θαη ε απφθιηζε απφ ηελ ιχζε πνπ πάξζεθε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο. Αθφκε, παξαηεξείηαη φηη φζν 8

απμάλεηαη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κεηψλεηαη θαη ε δηαθνξά ησλ απνθιίζεσλ κεηαμχ ησλ ζεσξήζεσλ. Ζ δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη. Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο γηα 7 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία: Ιδιοζστνόηηηες Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο rad s 4.85 4.3187 1 rad s 18.841 19.6994 rad s 46.855 5.841 3 Πιν. 5.19 Ηδηνζπρλφηεηεο γηα 7 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία 83

84 Ιδιομορθές Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο 1.16.633.1419.499.383.534.6938.161.636.143.54.3834.5341.693.671.19.3671.43.9.1817.75.68.8.3664.395.14.197.756

3.1491.3694.337.49.437.44.694.1493.356.31.856.437.1948.739 Πιν.5. Ηδηνκνξθέο γηα 7 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Σηελ παξάγξαθν 5., έρεη ππνινγηζηεί, κε ηε ρξήζε αλαιπηηθψλ κεζφδσλ, ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο θαηαζθεπήο θαη είλαη ε 4.6359 rad / s. Ζ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηελ ηδηνζπρλφηεηα πνπ πξνέθπςε απφ ηελ επίιπζε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο ζα γίλεη κε ηελ 1. rad s Γηαθνξά (%) 1 Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ 4.85 7.57 Παξαδνρή Σπλερνύο 4.3187 6.84 Καηαλνκήο Μάδαο Πιν. 5.1 Σχγθξηζε Απνηειεζκάησλ γηα 7 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα, ππάξρεη αθφκα απφθιηζε κεηαμχ ησλ απνηειεζκάησλ. Δμαθνινπζεί ε απφθιηζε ησλ απνηειεζκάησλ πνπ έρνπλ παξζεί απφ ηελ παξαδνρή ηεο ζπλερνχο θαηαλνκήο ηεο κάδαο λα είλαη κηθξφηεξε. Όζν κεγαιψλεη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κηθξφηεξε γίλεηαη θαη ε απφθιηζε απφ ηελ ιχζε πνπ πάξζεθε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο. Αθφκε, παξαηεξείηαη φηη φζν 85

απμάλεηαη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κεηψλεηαη θαη ε δηαθνξά ησλ απνθιίζεσλ κεηαμχ ησλ ζεσξήζεσλ. Ζ δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη. Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο γηα 8 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία: Ιδιοζστνόηηηες Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο rad s 4.395 4.3356 1 rad s 19.899 19.7667 rad s 47.138 5.9391 3 Πιν. 5. Ηδηνζπρλφηεηεο γηα 8 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία 86

87 Ιδιομορθές Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο 1.116.461.137.1833.831.3995.57.661.117.463.139.1837.835.3998.571.6596.5.171.353.387.345.136.468.766.59.1716.36.3845.3376.18.576.79

3.1138.394.3687.161.5.4319.18.698.1148.35.349.167.468.439.835.718 Πιν. 5.3 Ηδηνκνξθέο γηα 8 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Σηελ παξάγξαθν 5., έρεη ππνινγηζηεί, κε ηε ρξήζε αλαιπηηθψλ κεζφδσλ, ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο θαηαζθεπήο θαη είλαη ε 4.6359 rad / s. Ζ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηελ ηδηνζπρλφηεηα πνπ πξνέθπςε απφ ηελ επίιπζε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο ζα γίλεη κε ηελ 1. rad s Γηαθνξά (%) 1 Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ 4.395 7.4 Παξαδνρή Σπλερνύο 4.3356 6.48 Καηαλνκήο Μάδαο Πιν. 5.4 Σχγθξηζε Απνηειεζκάησλ γηα 8 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα, ππάξρεη αθφκα απφθιηζε κεηαμχ ησλ απνηειεζκάησλ. Δμαθνινπζεί ε απφθιηζε ησλ απνηειεζκάησλ πνπ έρνπλ παξζεί απφ ηελ παξαδνρή ηεο ζπλερνχο θαηαλνκήο ηεο κάδαο λα είλαη κηθξφηεξε. 88

Όζν κεγαιψλεη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κηθξφηεξε γίλεηαη θαη ε απφθιηζε απφ ηελ ιχζε πνπ πάξζεθε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο. Αθφκε, παξαηεξείηαη φηη φζν απμάλεηαη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κεηψλεηαη θαη ε δηαθνξά ησλ απνθιίζεσλ κεηαμχ ησλ ζεσξήζεσλ. Ζ δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη. Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο γηα 9 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία: Ιδιοζστνόηηηες Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο rad s 4.365 4.347 1 rad s 19.638 19.89 rad s 47.879 5.9511 3 Πιν.5.5 Ηδηνζπρλφηεηεο γηα 9 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία 89

9 Ιδιομορθές Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο 1.88.349.784.139.156.364.484.5179.637.88.35.785.139.159.367.486.5179.633.387.1346.54.3475.374.789.58.918.71.39.1357.535.347.3669.718.434.996.738

3.89.591.3581.683.15.3.396.65.6837.9.58.348.463.391.3358.3774.33.6976 Πιν. 5.6 Ηδηνκνξθέο γηα 9 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία Σηελ παξάγξαθν 5., έρεη ππνινγηζηεί, κε ηε ρξήζε αλαιπηηθψλ κεζφδσλ, ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο θαηαζθεπήο θαη είλαη ε 4.6359 rad / s. Ζ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηελ ηδηνζπρλφηεηα πνπ πξνέθπςε απφ ηελ επίιπζε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο ζα γίλεη κε ηελ 1. rad s Γηαθνξά (%) 1 Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ 4.365 6.67 Παξαδνρή Σπλερνύο 4.347 6.7 Καηαλνκήο Μάδαο Πιν. 5.7 Σχγθξηζε Απνηειεζκάησλ γηα 9 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία 91

Όπσο θαίλεηαη θαη απφ ηνλ παξαπάλσ πίλαθα, ππάξρεη αθφκα απφθιηζε κεηαμχ ησλ απνηειεζκάησλ. Δμαθνινπζεί ε απφθιηζε ησλ απνηειεζκάησλ πνπ έρνπλ παξζεί απφ ηελ παξαδνρή ηεο ζπλερνχο θαηαλνκήο ηεο κάδαο λα είλαη κηθξφηεξε. Όζν κεγαιψλεη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κηθξφηεξε γίλεηαη θαη ε απφθιηζε απφ ηελ ιχζε πνπ πάξζεθε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο. Αθφκε, παξαηεξείηαη φηη φζν απμάλεηαη ν αξηζκφο ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ, ηφζν κεηψλεηαη θαη ε δηαθνξά ησλ απνθιίζεσλ κεηαμχ ησλ ζεσξήζεσλ. Ζ δηαδηθαζία ζπλερίδεηαη. Ηδηνζπρλφηεηεο θαη Ηδηνκνξθέο γηα 1 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία: Ιδιοζστνόηηηες Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο rad s 4.3386 4.3556 1 rad s 19.3898 19.8378 rad s 48.3689 5.931 3 Πιν. 5.8 Ηδηνζπρλφηεηεο γηα 1 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία 9

93 Ιδιομορθές Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο 1.68.71.69.18.1683.43.34.415.576.649.68.71.61.183.1685.45.36.416.575.646

94.36.183.95.338.3567.3348.139.11.334.6791.39.191.15.341.3553.339.75.195.391.683 3.714.176.338.315.1344.1476.3677.3336.471.671.73.178.359.317.1138.1666.378.3188.77.611 Πιν. 5.9 Ηδηνκνξθέο γηα 1 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία

Σηελ παξάγξαθν 5., έρεη ππνινγηζηεί, κε ηε ρξήζε αλαιπηηθψλ κεζφδσλ, ε ηδηνζπρλφηεηα ηεο θαηαζθεπήο θαη είλαη ε 4.6359 rad / s. Ζ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κε ηελ ηδηνζπρλφηεηα πνπ πξνέθπςε απφ ηελ επίιπζε κε ηηο αλαιπηηθέο κεζφδνπο ζα γίλεη κε ηελ 1. rad s Γηαθνξά (%) 1 Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ 4.3386 6.41 Παξαδνρή Σπλερνύο 4.3556 6.5 Καηαλνκήο Μάδαο Πιν. 5.3 Σχγθξηζε Απνηειεζκάησλ γηα 1 Πεπεξαζκέλα Σηνηρεία 1 Πεπεραζμένο Σηοιτείο Παξαδνρή Παξαδνρή Σπλερνύο Σπγθεληξσκέλσλ Γηαθνξά(%) Καηαλνκήο Μάδαο Μαδώλ rad s 1 1.9668.189 11.36 rad s 55.449 67.669 18.35 rad s 3 - - - Πεπεραζμένα Σηοιτεία Παξαδνρή Παξαδνρή Σπλερνύο Σπγθεληξσκέλσλ Γηαθνξά(%) Καηαλνκήο Μάδαο Μαδώλ rad s 1 3.3387 3.5791 6.7 rad s 1.486 14.793 15.63 rad s 3 67.63 71.5588 6.33 95

3 Πεπεραζμένα Σηοιτεία Παξαδνρή Παξαδνρή Σπλερνύο Σπγθεληξσκέλσλ Γηαθνξά(%) Καηαλνκήο Μάδαο Μαδώλ 1 rad s 3.963 4.77 1.18 rad s 15.194 17.6939 14.13 rad s 3 37.146 44.83 16.17 4 Πεπεραζμένα Σηοιτεία Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο Γηαθνξά(%) rad s 1 4.787 4.1718.3 rad s 16.943 18.894 1.51 rad s 3 4.194 47.498 15.39 5 Πεπεραζμένα Σηοιτεία Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο Γηαθνξά(%) rad s 1 4.187 4.498 1.48 rad s 17.8831 19.357 7.66 rad s 3 43.53 49.648 13.38 6 Πεπεραζμένα Σηοιτεία Παξαδνρή Σπγθεληξσκέλσλ Μαδώλ Παξαδνρή Σπλερνύο Καηαλνκήο Μάδαο Γηαθνξά(%) rad s 1 4.477 4.97 1.5 rad s 18.469 19.5843 5.69 96

rad s 3 44.6549 5.557 11.6 7 Πεπεραζμένα Σηοιτεία Παξαδνρή Παξαδνρή Σπλερνύο Σπγθεληξσκέλσλ Γηαθνξά(%) Καηαλνκήο Μάδαο Μαδώλ rad s 1 4.85 4.3187.78 rad s 18.841 19.6994 4.36 rad s 3 46.855 5.841 8.96 8 Πεπεραζμένα Σηοιτεία Παξαδνρή Παξαδνρή Σπλερνύο Σπγθεληξσκέλσλ Γηαθνξά(%) Καηαλνκήο Μάδαο Μαδώλ rad s 1 4.395 4.3356.6 rad s 19.899 19.7667 3.4 rad s 3 47.138 5.9391 7.31 9 Πεπεραζμένα Σηοιτεία Παξαδνρή Παξαδνρή Σπλερνύο Σπγθεληξσκέλσλ Γηαθνξά(%) Καηαλνκήο Μάδαο Μαδώλ rad s 1 4.365 4.347.48 rad s 19.638 19.89.75 rad s 3 47.879 5.9511 6.3 1 Πεπεραζμένα Σηοιτεία Παξαδνρή Παξαδνρή Σπλερνύο Σπγθεληξσκέλσλ Γηαθνξά(%) Καηαλνκήο Μάδαο Μαδώλ rad s 1 4.3386 4.3556.39 97

rad s 19.3898 19.8378.6 rad s 3 48.3689 5.931 5.3 Πιν. 5.31 Σρεηηθή δηαθνξά Ηδηνζπρλνηήησλ Παξαθάησ, παξνπζηάδνληαη νη παξαπάλσ δηαθνξέο ζε κνξθή γξαθεκάησλ. Στ.5.4 Γξαθηθή Παξνπζίαζε σ 1 θαη γηα ηηο παξαδνρέο 98

Στ. 5.5 Γξαθηθή Παξνπζίαζε σ θαη γηα ηηο παξαδνρέο Στ.5.6 Γξαθηθή Παξνπζίαζε σ 3 θαη γηα ηηο παξαδνρέο 99

Στ. 5.7 Σρεηηθή Γηαθνξά Ηδηνζπρλνηήησλ αλάινγα κε ηνλ Αξηζκφ ησλ Πεπεξαζκέλσλ Σηνηρείσλ 5.4 Γσναμική Ανάλσζη Παζζάλοσ με ηη τρήζη ηης Μεθόδοσ ηφν Πεπεραζμένφν Σηοιτείφν Γηα ηηο αλάγθεο ηεο παξαγξάθνπ απηήο ρξεηάζηεθε λα ζπληαρζεί εθ λένπ ππνινγηζηηθφο θψδηθαο ζε γιψζζα MAPLE. Έγηλε επηινγή ηξηψλ εδαθηθψλ ζηξσκάησλ, ηα νπνία είλαη: Ακκνράιηθν: Es 15MPa, λ=.35 Άξγηινο CH κέηξηαο ζηηθξφηεηαο: Es MPa, λ=. Μεζφθνθθε Άκκνο Φαιαξή: Es 35MPa, λ=.5 Σην Σρ.5.8 θαίλεηαη ε ηνκή ηνπ παζζάινπ. Τν κήθνο ηνπ είλαη 15m θαη ε δηάκεηξφο ηνπ.8m. Τν κήθνο θάζε εδαθηθνχ ζηξψκαηνο είλαη 5m. Ο πάζζαινο ζεσξείηαη παθησκέλνο ζηνλ βξάρν. Τν ζθπξφδεκα θαηαζθεπήο ηνπ παζζάινπ έρεη κέηξν ειαζηηθφηεηαο E 3GPa. Ζ ξνπή αδξάλεηάο ηνπ ( I p ) ππνινγίδεηαη απφ ηνλ ηχπν ηεο ξνπήο αδξάλεηαο ηεο θπθιηθήο δηαηνκήο. Απφ ηε ζρέζε 4.4, p 1