Ρεαλιστικά µαθηµατικά & Εµπλαισιωµένη µάθηση

Ρεαλιστικά µαθηµατικά & Εµπλαισιωµένη µάθηση στη υπηρεσία της διδασκαλίας των μαθηματικών

Ρεαλιστικά µαθηµατικά... σαν ορισµός Διδασκαλία μαθηματικών μέσα από ρεαλιστικές καταστάσεις - καταστάσεις που έχουν νόημα για τους μαθητές Τα θεμέλια της ρεαλιστικής μαθηματικής εκπαίδευσης τέθηκαν από τον H. Freudethal και τους συνεργάτες του, στα πλαίσια του «Ινστιτούτου για την Ανάπτυξη της Μαθηματικής Εκπαίδευσης» στην Ολλανδία

βασικές παραδοχές Τα μαθηματικά διδάσκονται για να είναι χρήσιμα χρήσιμα και για την οργάνωση της πραγματικότητας και για την οργάνωση των μαθηματικών Τα μαθηματικά αποτελούν εργαλείο οργάνωσης του φυσικού, κοινωνικού και νοητικού κόσμου Η γνώση που αποκτά τελικά το άτομο έχει άμεση σχέση με τις αναπαραστάσεις που έχει σε καθαρά ατομικό επίπεδο και η γνώση που ανασύρουμε από τη μνήμη μας κατά τη διαδικασία επίλυσης ενός προβλήματος είναι μια «πλαισιοποιημένη» γνώση η οποία σταδιακά μόνο αποπλαισιοποιείται. από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο Το πλαίσιο των «ρεαλιστικών» προβλημάτων δεν περιορίζεται στον πραγματικό ή κοινωνικό κόσμο αλλά επεκτείνεται και στην πραγματικότητα της φαντασίας των παιδιών

βασική δοµή Σημείο εκκίνησης των ρεαλιστικών προβλημάτων είναι η άτυπη καθημερινή γνώση και τα ενδιαφέροντα των μαθητών Ένα πρόβλημα/πλαίσιο μπορεί να έχει τη μορφή ενός λεκτικού προβλήματος, ενός παιχνιδιού, μιας ιστορίας ή παραμυθιού, να αναπαρίσταται από μοντέλα, σχήματα ή γραφήματα ή να αποτελεί συνδυασμό όλων των προηγούμενων. Μέσω της διαδικασίας της μαθηματικοποίησης οι μαθητές θα οικοδομήσουν σιγά σιγά, μέσα από την κατασκευή μοντέλων, έναν «μαθηματικό μικρόκοσμο» όπου θα μιλούν «Μαθηματικά», θα δίνουν και θα ζητούν εξηγήσεις, θα σχεδιάζουν προτεινόμενες λύσεις έτσι θα επανεφεύρουν τα τυπικά μαθηματικά.

θεωρητικό πλαίσιο Η θεωρία της ρεαλιστικής μαθηματικής εκπαίδευσης (Realistic Mathematics Educatio. RME ) διαμορφώθηκε στη βάση κυρίως τριών θεωρητικών αξόνων: Την θεωρία των επιπέδων.(va Hiele) Την διδακτική φαινομενολογία (Freudethal) Την προοδευτική μαθηματικοποίηση (Wiskobas) Και συνομιλεί με προσεγγίσεις όπως: Την εμπλαισιωμένη μάθηση (Collis) Γνωστική μαθητεία (Vygotsky) Τη μάθηση ως διαδικασία συμμετοχής/εμπλοκής (Vygotsky)

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele Δημιουργήθηκε αρχικά για την περιγραφή της διδασκαλίας και μάθησης της γεωμετρίας, αλλά μπορεί και να γενικευθεί Κατά τη διαδικασία της μάθησης ο μαθητής περνά από πέντε επίπεδα σκέψης τα επίπεδα αυτά είναι: διαδοχικά και ιεραρχικά η μετάβαση από το ένα στο άλλο εξαρτάται περισσότερο από τη διδασκαλία παρά από την ηλικία ή την ωριμότητα η σειρά δεν μπορεί να διαταραχθεί κάθε επίπεδο χαρακτηρίζεται από το δικό του δίκτυο σχέσεων, τις δικές του έννοιες και τη δική του γλώσσα Χρειάζονται κατάλληλες εμπειρίες για την κατάκτησή τους Ακατάλληλη εμπειρίες παρεμποδίζουν τη μάθηση

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele Επίπεδο 1: Αναγνώρισης ή Ολιστικό (Visualizatio) Μη λεκτική σκέψη για το σχήμα των αντικειμένων Οι μαθητές αναγνωρίζουν και ονομάζουν τα σχήματα βασιζόμενα στη επιφανειακή τους μορφή τους (Gestalt αναγνώριση) - την εμφάνιση και όχι ως σύνολο επιμέρους συστατικών μερών Δεν αναγνωρίζουν τις ιδιότητες ή αν το κάνουν, δεν τις χρησιμοποιούν στο συλλογισμό ή την αναγνώριση Δεν μπορούν να αναγνωρίσουν σχήματα αν έχουν διαφορετικό προσανατολισμό (π.χ., το σχήμα στα δεξιά δεν αναγνωρίζεται ως τετράγωνο) Τα αντικείμενα (π.χ., τα σχήματα) γίνονται αντιληπτά μόνο στην ολότητά με βάση τη μορφή τους επιφανειακά χαρακτηριστικά συνδέουν τα σχήματα με καθημερινά αντικείμενα, π.χ. είναι ρόμβος γιατί μοιάζει με διαμάντι

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele Επίπεδο 2: Ανάλυσης ή Περιγραφικό (Aalysis) Χρησιμοποιούν το κατάλληλο λεξιλόγιο Αναγνωρίζουν τα συστατικά και κάποιες ιδιότητες ενός σχήματος, αλλά όχι και των σχέσεων μεταξύ των ιδιοτήτων και των σχημάτων π.χ. δεν μπορούν να αποφανθούν αν ένα τετράγωνο είναι ορθογώνιο ή το αντίστροφο, ενώ λένε ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο διαφέρει από άλλα γιατί έχει τρεις ίσες πλευρές Δεν υπάρχει λογική οργάνωση των ιδιοτήτων Υποκειμενικές κατηγοριοποιήσεις σχημάτων αντί συμβατικών ένα τετράγωνο δεν είναι ειδικός τύπος ορθογωνίου Οι εμπειρικές αποδείξεις αρκούν κάτι αρκεί να φαίνεται τετράγωνο στο σχήμα για να είναι Δεν μπορούν να εξηγήσουν τη σχέση μεταξύ σχήματος και ιδιοτήτων (π.χ., γιατί δεν είναι το δεύτερο σχήμα ορθογώνιο;)

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele Επίπεδο 3: Διάταξης, ή Συσχετιστικό, ή Άτυπης Αφαίρεσης (Iformal Deductio) Κατανόηση και χρήση ορισμών για τα σχήματα ένα τετράπλευρο του οποίου διχοτομούνται οι διαγώνιοι και αυτές διχοτομούν τις γωνίες του, είναι ρόμβος Σχέσεις μεταξύ σχημάτων, σχέσεις μεταξύ ιδιοτήτων τους Οι ιδιότητες διατάσσονται λογικά, Κατανόηση του συλλογισμού «εάν-τότε» (π.χ., πώς ένας ρόμβος ταιριάζει με τα άλλα τετράπλευρα;) Δεν κατανοούν ακόμα το ρόλο των αξιωμάτων, θεωρημάτων, κτλ. Δεν μπορούν να κατασκευάσουν απόδειξη

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele Επίπεδο 4: Παραγωγικό ή αφαίρεσης (Deductio) Συνήθως δεν έχει επιτευχθεί πριν από το γυμνάσιο(;) Ίσως όχι μέχρι το πανεπιστήμιο. Μπορούν να κατασκευάσουν αποδείξεις σε ένα αξιωματικό σύστημα (π.χ., μπορεί να αποδείξουν ότι αν δύο πλευρές και η συμπεριλαμβανομένη γωνία ενός τριγώνου είναι ίσες με τις αντίστοιχες πλευρές και τη γωνία ενός άλλου τριγώνου, τα 2 τρίγωνα είναι ίσα) Κατανόηση του ρόλου των αξιωμάτων, θεωρημάτων, κτλ. Κατανόηση της σημασίας της αφαίρεσης για τη δημιουργία μιας συνεκτικής γεωμετρίας A D B E C F

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele Επίπεδο 5: Αυστηρότητας τυπικές πτυχές της αφαίρεσης κατανόηση της θεμελίωσης της γεωμετρίας: ευκλείδειες/μηευκλείδειες Διάφορες μορφές αποδείξεων

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele σε κάθε επίπεδο περιγράφονται τα αντικείμενα της σκέψης και τα προϊόντα της, δηλαδή τα αντικείµενα των λογικών διεργασιών που λαμβάνουν χώρα καθώς και τα προϊόντα τους: Επίπεδο 1 αντικείμενα: τα σχήματα και η μορφή τους (πως μοιάζουν) προϊόντα: τάξεις ή ομάδες σχημάτων, που φαίνονται να μοιάζουν Επίπεδο 2 αντικείμενα: τάξεις/κλάσεις ή ομάδες σχημάτων προϊόντα: οι ιδιότητες των σχημάτων Επίπεδο 3 αντικείμενα: οι ιδιότητες των σχημάτων προϊόντα: σχέσεις ανάμεσα στις ιδιότητες των σχημάτων Επίπεδο 4 αντικείμενα: σχέσεις ανάμεσα στις ιδιότητες των σχημάτων προϊόντα: παραγωγικά αξιωματικά συστήματα για τη γεωμετρία Επίπεδο 5 αντικείμενα: παραγωγικά αξιωματικά συστήματα για τη γεωμετρία προϊόντα: συγκρίσεις και αντιπαραβολές ανάμεσα σε διαφορετικά αξιωματικά συστήματα της γεωμετρίας Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας 13

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele Υπάρχουν και πέντε φάσεις μάθησης για το πέρασμα από το ένα επίπεδο στο άλλο που κινητοποιούνται μέσα από συγκεκριμένες διδακτικές παρεμβάσεις. Οι φάσεις είναι: Πρώτη φάση: Πληροφόρηση - Διερεύνηση Ο δάσκαλος ενημερώνεται για το επίπεδο των μαθητών Οι μαθητές ερευνούν το θέμα μέσω των υλικών που ο δάσκαλος διαθέτει στους μαθητές, π.χ. εξετάζονται παραδείγματα και αντιπαραδείγματα για να ανακαλύψει μια δομή. Δεύτερη φάση: Περιορισμένος/καθοδηγούμενος προσανατολισμός Μέσα από δραστηριότητες διερευνούν κάποιες πρώτες έννοιες. Το παιδί έρχεται σε επαφή με τις αρχικές συνδέσεις του δικτύου των σχέσεων που πρόκειται να σχηματιστούν μέσω μιας προσεκτικά οργανωμένης ακολουθίας δραστηριοτήτων και απλών βημάτων που απαιτούν συγκεκριμένη απάντηση. Μαθαίνει κάνοντας και βρίσκοντας, όχι ακούγοντας τις εξηγήσεις του δασκάλου

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele Τρίτη φάση: Επεξήγηση /Αποσαφήνιση. Ο δάσκαλος οργανώνει τη συζήτηση μέσα στην τάξη, η οποία θα καταλήξει σε μια σωστή χρήση της γλώσσας, την οποία ο μαθητής πρέπει να είναι σε θέση να χρησιμοποιεί. Τέταρτη φάση: Ελεύθερος προσανατολισμός. Οι μαθητές αντιμετωπίζουν στόχους που απαιτούν πολλά βήματα και πραγματοποιούνται με διαφορετικούς τρόπους. Εφαρμόζουν τη γνώση σε άλλες καταστάσεις Πέμπτη φάση: Ολοκλήρωση. Ο δάσκαλος προσκαλεί τους μαθητές να αναστοχαστούν πάνω στις ενέργειές τους και βοηθάει ώστε τα αντικείμενα και οι σχέσεις να ενσωματωθούν σε ένα νέο γνωστικό σχήμα. Θα πρέπει να ξεφύγουν από το σχήμα και να σκέφτονται με τις ιδιότητες

Θεωρία των επιπέδων Va Hiele εφαρµογές στη διδασκαλία Παιχνίδια όπως: "Έγώ έχω - ποιος έχει» Βρείτε ίδια σχήματα Πόσα διαφορετικά σχήματα μπορώ να κάνω με τα τανγράμ; Τι είναι κοινό σε όλα τα τρίγωνα; Ποιο σχήμα είμαι; Τι ιδιότητες έχω; Χρήση της τεχνολογίας (π.χ., Sketchpad) για να διερευνήσετε τις ιδιότητες των σχημάτων Δημιουργήστε ένα ορθογώνιο στο Sketchpad, μετρήστε τα μήκη των δύο διαγωνίων, τις αποστάσεις από τις κορυφές με τα σημεία τομής των διαγωνίων και βγάλτε συμπεράσματα Ταξινομήστε τα σχήματα με βάση τις ιδιότητές τους Επιλύστε προβλήματα που αφορούν τις ιδιότητες των σχημάτων

Κάποιες οδηγίες για τη διδασκαλία µε βάση τη θεωρία των επιπέδων Va Hiele

ρεαλιστικά µαθηµατικά

...σαν ορισµός Διδασκαλία μαθηματικών μέσα από ρεαλιστικές καταστάσεις - καταστάσεις που έχουν νόημα για τους μαθητές Τα θεμέλια της ρεαλιστικής μαθηματικής εκπαίδευσης τέθηκαν από τον H. Freudethal και τους συνεργάτες του, στα πλαίσια του «Ινστιτούτου για την Ανάπτυξη της Μαθηματικής Εκπαίδευσης» στην Ολλανδία Η θεωρία της ρεαλιστικής μαθηματικής εκπαίδευσης (Realistic Mathematics Educatio. RME ) διαμορφώθηκε στη βάση κυρίως τριών θεωρητικών αξόνων: Την θεωρία των επιπέδων (Va Hiele) Την διδακτική φαινομενολογία (Freudethal) Την προοδευτική μαθηματικοποίηση (Wiskobas)

διδακτική φαινοµενολογία Φαινομενολογία: Η φαινομενολογία είναι φιλοσοφικό κίνημα το οποίο βασίζεται στην διερεύνηση των φαινομένων, δηλαδή των πραγμάτων που γίνονται αντιληπτά ενσυνείδητα, και όχι στην ύπαρξη οποιουδήποτε πράγματος «αυτού καθ' εαυτού», ευρισκόμενου πέρα από τα όρια της ανθρώπινης συνειδητότητας. Με σημείο εκκίνησης την εμπειρία των φαινομένων (αυτό που αποτυπώνεται ως συνειδητή εμπειρία), επιχειρεί να εξαγάγει τα θεμελιώδη χαρακτηριστικά της αντιληπτικής διαδικασίας και την οντότητα των εμπειριών μας. Η σημασία του πλαισίου που καθορίζει την οντολογία, βλ. Heidegger: experiece is always already situated i a world ad i ways of beig Δεν προσεγγίζεται η οντολογία των πραγμάτων στη βάση ιδιοτήτων ή ουσιοκρατικών χαρακτηριστικών αλλά στη βάση της ιστορικά τοποθετημένης επιτέλεσής τους και στη σημασία αυτής.

διδακτική φαινοµενολογία (Freudethal) Διδακτική Φαινομενολογία: έννοιες ως «εργαλεία» οργάνωσης των πραγματικών φαινομένων Σε ποια φαινόμενα εμφανίζεται μια μαθηματική έννοια; Σε ποια μπορεί να επεκταθεί; Ποια φαινόμενα οργανώνει; Από ποιες προβληματικές καταστάσεις της καθημερινής ζωής προέκυψε; Ποια προβλήματα μπορεί να λύσει; Πώς συνδέεται με άλλες έννοιες επί του φορμαλισμού των μαθηματικών; Tι εννοιολογικές αλλαγές μπορεί να υποστεί η έννοια κατά τη διάρκεια της σχολικής εκπαίδευσης;

διδακτική φαινοµενολογία (Freudethal) Επιλογή κατάλληλων δραστηριοτήτων με «πραγματικές» (ρεαλιστικές) προβληματικές καταστάσεις για να επανεφεύρουν οι μαθητές τις έννοιες Ο μαθητής ξεκινά από τα ίδια τα φαινόμενα που ζητούν οργάνωση και με αφετηρία αυτά, μαθαίνει πώς να χειρίζεται τις έννοιες και δομές. Οι διαφορετικές δραστηριότητες συνδέονται στη βάση κοινών εννοιολογικών χαρακτηριστικών, ιδιοτήτων των εννοιών και κοινού συμβολισμού Ο δάσκαλος ελέγχει τη διαδικασία της καθοδηγούμενης επανεφεύρεσης της μαθηματικής έννοιας και των τυπικών μαθηματικών μέσα από τα άτυπα

καθοδηγούµενη επανεφεύρεση - µαθηµατικοποίηση bottom up process αρχικά οι μαθητές κατασκευάζουν μοντέλα της προβληματικής κατάστασης δίνοντας λύσεις που βασίζονται σε διαισθήσεις και άτυπα μαθηματικά στόχος να βιώσουν οι μαθητές καταστάσεις παρόμοιες με αυτές που δημιούργησαν την ανάγκη να δημιουργηθεί εξ αρχής η έννοια μέσα από έλεγχο υποθέσεων, πειραματισμούς, ανταλλαγή απόψεων, διατύπωση επιχειρηματολογίας ΟΧΙ να αναπαρασταθεί το ιστορικό πλαίσιο χρήση της ιστορίας των μαθηματικών για ιδέες και επιλογή δραστηριοτήτων μέσα από την επεξεργασία ερωτημάτων ή προβληματικών καταστάσεων με κοινή μαθηματική δομή θα φάσουν σε τυπικές στρατηγικές, αφηρημένα μαθηματικά αντικείμενα και τυπικές μαθηματικές δομές η διαδικασία αυτή ονομάζεται προοδευτική τυποποίηση ή μαθηματικοποίηση

η διαδικασία της µαθηµατικοποίησης Οριζόντια μαθηματικοποίηση: πρώτο στάδιο στη διδασκαλία μιας έννοιας Μέσω συγκεκριμένων ενεργειών (π.χ. διατύπωση και αναπαράσταση του προβλήματος με διαφόρους τρόπους, ανακάλυψη σχέσεων κλπ.) προσπαθούμε να εντοπίσουμε τις μαθηματικές έννοιες που βρίσκονται διάχυτες μέσα στο πλαίσιο του προβλήματος. Μοντελοποίηση της προβληματικής κατάστασης στη βάση διαισθητικών και άτυπων μαθηματικών γνώσεων Τα μοντέλα είναι γέφυρες μεταξύ πραγματικού κόσμου και εσωτερικού νοητικού κόσμου Αναγνώριση κοινών χαρακτηριστικών ανάμεσα στις διάφορες δραστηριότητες Επινόηση εργαλείων, συμβόλων, αναπαραστάσεων για τη λύση και μοντελοποίηση των καταστάσεων...στη συνέχεια γίνεται χρήση όλο και πιο τυπικών μαθηματικών συμβόλων και εργαλείων...τα μοντέλα γίνονται πιο αφηρημένα και γενικά μοντέλα των κοινών χαρακτηριστικών των δραστηριοτήτων

η διαδικασία της µαθηµατικοποίησης Κατακόρυφη μαθηματικοποίηση: δεύτερο στάδιο στη διδασκαλία μιας έννοιας Tο (πραγματικό) πρόβλημα που έχει «μεταφραστεί» σε μαθηματικό, αντιμετωπίζεται και επεξεργάζεται με μαθηματικά εργαλεία (πχ. αναπαράσταση σχέσεων με τύπους, απόδειξη σχέσεων, χρήση γνωστών μοντέλων κλπ.) Κατασκευή ενός νέου, τυπικού, μαθηματικού αντικειμένου/έννοιας χρήση τυπικών εργαλείων, συμβόλων και μαθηματικής γλώσσας για την περιγραφή και λύση της προβληματικής κατάστασης Στόχος: η απόκτηση τυπικής γνώσης που μπορεί να μεταφερθεί σε άλλες προβληματικές καταστάσεις

Για παράδειγµα: στις πράξεις με φυσικούς αριθμούς: οριζόντια μαθηματικοποίηση: πράξεις με ποσότητες και σχέσεις με ποσότητες αναγνώριση των σχέσεων όταν αναπαριστώνται με αντικείμενα π.χ., 3 αντικείμενα μαζί με 5 κάνουν 8, όπως 5 μαζί με 3 κάθετη μαθηματικοποίηση: συμβολισμός των παραπάνω σχέσεων με τυπικό μαθηματικό λεξιλόγιο π.χ., 3+5=5+3, α+β=β+α, κοκ

βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 1. Από το συγκεκριμένο στο αφηρημένο: Η εκμάθηση των μαθηματικών είναι μια κατασκευαστική διαδικασία και επιτυγχάνεται μέσα από συγκεκριμένα προβλήματα και καταστάσεις. Στη φάση της εισαγωγής ενός σχετικά νέου αντικειμένου οι μαθηματικές δραστηριότητες πρέπει να διατυπώνονται σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο (cotext) και τα πραγματικά φαινόμενα πρέπει να διερευνώνται κάτω από όσο το δυνατό περισσότερες οπτικές γωνίες. Ένα πρόβλημα πλαίσιο μπορεί να έχει τη μορφή ενός λεκτικού προβλήματος αλλά ενδέχεται επίσης να εμφανίζεται με τη μορφή παιχνιδιού, μιας ιστορίας ή παραμυθιού, να αναπαρίσταται από μοντέλα, σχήματα ή γραφήματα ή να αποτελεί συνδυασμό όλων των προηγούμενων.

βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 2. Η εκμάθηση μιας μαθηματικής έννοιας είναι μια διαδικασία που θέλει χρόνο και κινείται σε διάφορα επίπεδα αφαίρεσης από το συγκεκριμένο ως το αφηρημένο. Χρήση σταδιακής αύξησης των λογικών βημάτων που απαιτούνται για την επεξεργασία της προβληματικής κατάστασης Οι όροι αυτοί είναι σχετικοί καθώς το αφηρημένο στην αρχή της διδασκαλίας, μπορεί να είναι συγκεκριμένο σε μεγαλύτερες τάξεις. Για να γεφυρωθεί αυτό το χάσμα μεταξύ συγκεκριμένου και αφηρημένου χρησιμοποιείται συγκεκριμένο υλικό, οπτικά μοντέλα, πρότυπες καταστάσεις, σχήματα, διαγράμματα και σύμβολα.

βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 3. Χρήση μοντέλων Από το «μοντέλο του...» δηλ. μοντέλο μιας συγκεκριμένης κατάσταση στο «μοντέλο για...» δηλ. μοντέλο που περιγράφει ένα σύνολο καταστάσεων στη βάση της κοινής τυπικής μαθηματικής δομής (βλ. εξίσωση) Τα μοντέλα παίζουν ρόλο καθοδηγητικό (καθοδηγούν την ανακάλυψη) και περιγραφικό (περιγράφουν την μαθηματική έννοια) Είναι οχήματα για τη μαθηματικοποίηση μπορεί να είναι χειραπτικά υλικά, σύμβολα, εργαλεία, εικόνες, διαγράμματα, άτυπες ή τυπικές στρατηγικές, π.χ., πολ/σμος ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση π.χ., το μοντέλο της αριθμογραμμής, από χρήση σε απαρίθμηση (model of) σε χρήση για νοητική πρόσθεση ή αφαίρεση (model for)

βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 4. Η μάθηση είναι προσωπική διαδικασία και άρα πρέπει να λαμβάνονται υπόψιν οι ατομικές διαφορές Χρήση των αρχών της εξατομικευμένης διδασκαλίας/μάθησης Σημαντικός ο ρόλος της γνωστικής σύγκρουσης ανάμεσα στις διαισθητικές και τυπικές μαθηματικές γνώσεις

βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 5. Η μάθηση είναι μια κοινωνική δραστηριότητα οπότε η εκπαίδευση των μαθηματικών να στηρίζεται στην αλληλεπίδραση. Οι μαθητές κατά τη διδασκαλία έχουν την ευκαιρία να επεξεργαστούν όχι μόνο τις δικές τους «κατασκευές» αλλά και των συμμαθητών τους. Για τη ρεαλιστική εκπαίδευση γενικά, η μαθησιακή διαδικασία εξελίσσεται στα πλαίσια μιας αλληλεπιδραστικής, αμφίδρομης διδασκαλίας όπου εκτός από το χρόνο για ατομική εργασία πρέπει να δίνεται και η ευκαιρία για ομαδική συζήτηση, συλλογική προσπάθεια, παρουσίαση και κρίση εργασιών, ανταλλαγή επιχειρημάτων κλπ.

βασικές αρχές της ρεαλιστικής µαθηµατικής εκπαίδευσης 6. Η εκμάθηση των μαθηματικών δεν είναι η απορρόφηση μιας συλλογής «άσχετων» μεταξύ τους γνώσεων και δεξιοτήτων αλλά η οικοδόμηση εννοιών μέσα σε μια δομημένη ενότητα. Επειδή οι μαθηματικές έννοιες όπως και τα πραγματικά φαινόμενα - σπανίως εκφράζουν μια και μόνο δομή, θα πρέπει οι μαθησιακές πορείες να αλληλοσυμπλέκονται και να συσχετίζονται μεταξύ τους. Αυτό πρέπει να συμβαίνει και για έναν ακόμα λόγο:. επειδή τα προαπαιτούμενα για την προοδευτική μαθηματικοποίηση σε μια θεματική περιοχή, συνήθως βρίσκονται σε άλλες θεματικές περιοχές. Χρήση των αρχών της διαθεματικής προσέγγισης στη μαθηματική εκπαίδευση

κάποια παραδείγµατα

αναπαραστάσεις πρόσθεσης και αφαίρεσης δόθηκε στα παιδιά ένα πρόβλημα πρόσθεσης και αφαίρεσης και τους ζητήθηκε να το αναπαραστήσουν Hughes, 1981 34

αναπαραστάσεις αριθµών από νήπια πρόσθεση 35

αναπαραστάσεις αριθµών από νήπια αφαίρεση 38

µάθηση αναλογίας Ένας γίναντας είναι τριπλάσιος από έναν νάνο: φτιάξε τα σπίτια τους τα παπούτσια τους το πρωινό τους

µοντέλα από χρήση STEM Ας φτιάξουμε ένα πάρκινκ για τα παιχνίδια μας: θα παρατηρήσουμε θα σχεδιάσουμε θα μετρήσουμε θα συγκρίνουμε θα απαριθμήσουμε θα μοντελοποιήσουμε θα ανακαλύψουμε εργαλεία και μονάδες μέτρησης θα γίνει εισαγωγή στις τυπικές μονάδες μέτρησης και επίσημα εργαλεία Από K. Bagiati (2012) http://web.mit.edu/abagiati/www/p2e/idex- 2.html

ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από: Φουδούλη, A., 11 Σχέδια μαθήματος ρεαλιστικών μαθηματικών, Διπλωματική επ. Κωνσταντίνος εργασία Π. (επ: Χρήστου Ε. Κολέζα)

Ποσοστά - Ρεαλιστική Προσέγγιση Η διδασκαλία των ποσοστών ενσωματώνεται στη λογική και τη διδασκαλία των ρητών αριθμών και συσχετίζεται με τη διδασκαλία των κλασμάτων, των δεκαδικών και των αναλογιών. Το «ραβδο-μοντέλο» (bar model) συνδέει αυτές τις διαφορετικές εκφράσεις του ρητού αριθμού. Εκτός από το ραβδο-μοντέλο, που αργότερα γίνεται διπλή αριθμογραμμή, ο πίνακας αναλογιών και τα κυκλικά διαγράμματα (piechart) διαδραματίζουν επίσης έναν σημαντικό ρόλο στη διδακτική και μαθησιακή πορεία του ποσοστού. από Ε.Κολέζα 49

ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας βαθμιαίας κατανόησης του ποσοστού, το «ραβδο-μοντέλο» σταδιακά μεταβάλλεται από μια συνδεδεμένη με συγκεκριμένο πλαίσιο (cotext-coected) αναπαράσταση (model of) σε ένα πιο αφηρημένο αναπαραστασιακό μοντέλο (model for). Αυτό το μοντέλο θα λειτουργήσει ως «μοντέλο εκτίμησης»(τουαποτελέσματος), ως «μοντέλο υπολογισμού»(καθοδηγεί τους μαθητές στην επιλογή των υπολογισμών που πρέπει να γίνουν), και τέλος ως «μοντέλο σκέψης». Να υπογραμμίσουμε εντούτοις, ότι τα διάφορα στάδια στη χρήση του μοντέλου δεν μπορούν να χωρισθούν, ούτε υπάρχει μια ακριβής σειρά με την οποία αυτές οι διαφορετικές εφαρμογές παρουσιάζονται και μαθαίνονται. από Ε.Κολέζα 50

ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα Αρχικά ξεκινάμε με μερικές διερευνητικές δραστηριότητες που προετοιμάζουν το «κτίσιμο» του μοντέλου. Θέμα: το σχολικό θέατρο. Οι μαθητές καλούνται να δείξουν για τις διαφορετικές παραστάσεις πόσο γεμάτο θα είναι το θέατρο. Μπορούν να το κάνουν αυτό χρωματίζοντας το μέρος της αίθουσας που είναι κατειλημμένη και γράφοντας έπειτα το ποσοστό των καθισμάτων πουείναι κατειλημμένα. από Ε.Κολέζα 51

ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από Ε.Κολέζα 52

ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα Με τον ίδιο τρόπο όπως στην περίπτωση του θεάτρου, σε μια δραστηριότητα συνόψισης οι μαθητές καλούνται να φτιάξουν σχέδια για να εκφράσουν το νόημα μιας πρότασης που περιέχει ποσοστό. από Ε.Κολέζα 53

ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα Το επόμενο κεφάλαιο της ενότητας μπορεί να περιλαμβάνει ένα σύνολο προβλημάτων αναφορικά πχ μεένα χώρο στάθμευσης. Οι μαθητές καλούνται να συγκρίνουν χώρους στάθμευσης όσον αφορά την πληρότητά τους. Πάλι, οι μαθητές καλούνται να δείξουν το βαθμό πληρότητας για κάθε χώρο στάθμευσης, χρωματίζοντας το ορθογώνιο πλαίσιο που αναπαριστά το χώρο στάθμευσης. από Ε.Κολέζα 54

από Ε.Κολέζα 55

Στο επόμενο βήμα το ορθογώνιο πλαίσιο που αναπαριστά το χώρο στάθμευσης αντικαθίσταται από ένα ραβδομοντέλο. Η πληρότητα του χώρου στάθμευσης στο ραβδομοντέλο εκφράζεται και μέσω ποσοστού. από Ε.Κολέζα 56

ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα από Ε.Κολέζα 57

ρεαλιστική εκπαίδευση ένα διδακτικό παράδειγµα Για να κατεβάσει ένα αρχείο ο υπολογιστής σου χρειάζεται 24 λεπτά. Πόσο θέλει ακόμα αν έχει κατέβει το 75% του αρχείου; από Ε.Κολέζα 58

ενδεικτική βιβλιογραφία Va Hiele, P., 1986, Structure ad isight: A theory of Mathematics Educatio. New York: Academic Press, Ic. Hughes, Μ (2002) Τα παιδιά και η έννοια των αριθμών, εκδ. Guteberg Κολέζα, Ε., 2000, Γνωσιολογική και Διδακτική προσέγγιση των Στοιχειωδών Εννοιών. Leader Books, Αθήνα Freudethal H (1973), Mathematics as a educatioal task, Dordrecht - Hollad: Reidel Publishig Compay. Freudethal H (1983), Didactical Pheomeology of Mathematical Structure, The Netherlads: Kluwer Academic Publishers Πιπίνος, Γ. (2006) Διδακτική αξιοποίηση της θεωρίας των Va Hiele, Επιστημονικό βήμα, τ.5. Φουδούλη, A., 11 Σχέδια μαθήματος ρεαλιστικών μαθηματικών, Διπλωματική εργασία (επ: Ε. Κολέζα)