ii K ıâ ÁÓ ÛÈÔ ÓÙ Ù Ô ÔÁÚ ÊÂÙ È fi ÙÔÓ Û ÁÁÚ Ê ÂÎ fiùë AMS Mathematics Subject Clossification (1991): 03B, 03F, 03G ISBN 960-431-335-5 Copyright: Mπράνισλα Mπ ριτσιτς, Eκδ σεις Zήτη, εκέµ ρι ς 1995, Θεσσαλ νίκη H κατά π ι νδήπ τε τρ π και µέσ αναπαραγωγή, δηµ σίευση ή ρησιµ π ίηση λ υ ή µερών τ υ ι λί υ αυτ ύ απαγ ρεύεται ωρίς την έγγρα η άδεια τ υ συγγρα έα και εκδ τη. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Bιβλιοπωλείο www. ziti.gr Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ. 4171 Περαία Θεσσαλονίκης T.K. 570 19 Tηλ.: 23920 72.222 (5 γραμ.) - Fax: 23920 72.229 e-mail: info@ziti.gr Aρμενοπούλου 27 546 35 Θεσσαλονίκη Tηλ. 2310 203.720, Fax 2310 211.305 e-mail: sales@ziti.gr
iii Στη µν µη τ υ Eπιµεν δη, τ υ Kα αντ κη, στην Aγ α Kρ τη, στα παµπ λαια µατα της Kνωσ
v Ú fi Ï Ô Á Ô H εργασία πάνω στ ι λί αυτ άρ ισε µε σκ π να καλυ- θ ύν τα πι σηµαντικά θέµατα της κλασικής και διαισθητικής λ γικής απ την άπ ψη της θεωρίας απ δεί εων. H αρ ική ιδέα ήταν να επε εργασθ ύµε τις ασικές συντακτικές και σηµασι λ γικές ιδι τητες της κλασικής και διαισθητικής πρ σέγγισης στην λ γική και στα µαθηµατικά, αναπτύσσ ντας, απ την αρ ή έως τ τέλ ς τ υ κειµέν υ, τ ν παραλληλισµ µετα ύ αυτών των δύ πρ σεγγίσεων. T µεγαλύτερ µέρ ς τ υ εισαγωγικ ύ κε αλαί υ α ιερώνεται στα γενικά πρ λήµατα της α ιωµατικής µεθ δ υ και στις ιδι τητες της σ έσης απαγωγής. Παρ υσιά υµε τ Θεώρηµα Aπαγωγής για τ συνεπαγωγικ τµήµα της διαισθητικής λ γικής τ ελά ιστ σύστηµα για τ π ί µπ ρεί να απ δει θεί τ Θεώρηµα Aπαγωγής σε συνηθισµένη µ ρ ή. T δεύτερ κε άλαι ασ λείται µε τ υς πρ τασιακ ύς λ γισµ ύς κλασικής και διαισθητικής λ γικής. Περιγρά νται ι διατυπώσεις τύπ υ Hilbert των λ γικών αυτών και ι αντίστ ι ι λ γισµ ί σειρών τύπ υ Gentzen. Aπ δεικνύεται τ Θεώρηµα Πληρ τητας για την κλασική πρ τασιακή λ γική, σ ετικά µε την συνηθισµένη δίτιµη σηµασι λ γία και τ Θεώρηµα Πληρ τητας για την διαισθητική λ γική, σ ετικά µε τη σηµασι λ γία τ υ Kripke. Mελετ ύνται ι διαισθητικές ερµηνείες τ υ κλασικ ύ συλλ γισµ ύ, πως και ι ανάλ γες άλγε ρες της κλασικής και διαισθητικής λ γικής πρ τάσεων άλγε ρες Boole και άλγε ρες Heyting. Στ τέλ ς τ υ κε αλαί υ παρ υσιά νται συστήµατα υσικών απαγωγών τ υ κλασικ ύ και διαισθητικ ύ λ γισµ ύ πρ τάσεων.
vi Στ τρίτ κε άλαι θεωρ ύνται η σύντα η (λ γισµ ί τύπ υ Hilbert, τύπ υ Gentzen και συστήµατα υσικών απαγωγών) και η σηµασι λ γία (µ ντέλα) κλασικ ύ και διαισθητικ ύ λ γισµ ύ κατηγ ρηµάτων, µα ί µε τα αντίστ ι α απ τελέσµατα πληρ τητας, πως και µερικά απ τα συνηθισµένα παραδείγ- µατα µαθηµατικών θεωριών πάνω στην πρωτ άθµια γλώσσα. Tα δύ κεντρικά θέµατα τ υ τέταρτ υ κε αλαί υ είναι τ Θεώρηµα Aπαλ ι ής της T µής των πρωτ άθµιων κατηγ ρηµατικών σειριακών λ γισµών της κλασικής και διαισθητικής λ γικής, µε τις γνωστές συνέπειες (απ - ασιστικ τητα πρ τασιακών λ γισµών, ιδι τητες παρεµ λής), και τ Θεώρηµα Kαν νικής M ρ ής για τα συστήµατα υσικών απαγωγών τ π ί λαµ- άνεται επίσης ως µία συνέπεια τ υ Θεωρήµατ ς Aπαλ ι ής της T µής. T ι λί αυτ εν µέρει έ ει γρα εί κατά την πρ ετ ιµασία µ υ για τη διδασκαλία των µαθηµάτων Λ γική και Θέµατα Λ γικής: Mη Kλασικές Λ γικές τ υ ακαδηµαϊκ ύ έτ υς 1994-1995 στ Tµήµα Mαθηµατικών τ υ Πανεπιστηµί υ Kρήτης. Πρέπει να τ νίσω τι αυτ συνέ η κατά τη διάρκεια εµ ύλι υ π λέµ υ στην Γι υγκ σλα ία και π λύ δύσκ λων και δυσ ίωνων καιρών, για µένα πρ σωπικά, αλλά και τι τα µαθήµατα π υ δίδασκα σε µία µάδα θαυµάσιων ιτητών των Tµηµάτων Mαθηµατικών και Eπιστήµης Yπ λ γιστών τ υ Πανεπιστηµί υ Kρήτης, και τ ευν ϊκ κλίµα π υ υπήρ ε στ Tµήµα Mαθηµατικών, µ υ πρ σ εραν πάντα µία π λύτιµη και σπάνια αση γαλήνης και αισι δ ίας. Eκτ ς απ την ευγνωµ σύνη πρ ς τ υς ιτητές µ υ, εκ ρά ω την ευγνω- µ σύνη µ υ πρ ς τ Tµήµα Mαθηµατικών της Σ λής Θετικών Eπιστηµών τ υ Πανεπιστηµί υ Kρήτης, τ π ί µ υ έδει ε εµπιστ σύνη, τιµή και ιλ - ενία, µε την πρ σληψή µ υ στ διδακτικ τ υ πρ σωπικ. T ι λί γρά τηκε ταυτ ρ νως στην ελληνική, σερ ική και αγγλική γλώσσα. Iδιαίτερη ευγνωµ σύνη ρωστάω στ υς συναδέλ υς µ υ A. Γιανν π υλ, E. εληγιάννη, X. K ρνάρ και M. Λάµπρ υ, ι π ί ι διά ασαν αρκετές ρές αυτ τ κείµεν, απ καλύπτ ντάς µ υ ανά και ανά τα µυστικά της τ σ απλής, αλλά και τ σ εµ ριθ ύς ελληνικής γλώσσας. Eίµαι ευγνώµων απέναντι στην κ. M. Luc]i_c η π ία εί ε δια άσει και δι ρθώσει την αγγλική έκδ ση τ υ ι λί υ. Tέλ ς, εκ ρά ω την ευγνωµ σύνη µ υ στ ν πρώτ και πι σηµαντικ δάσκαλ µ υ της ελληνικής γλώσσας, τη σύ υγ µ υ Eυστρατία, για την υπ µ νή µε την π ία µ υ ε ηγ ύσε ακατάπαυστα τις λεπτ µέρειες της ελληνικής ρθ γρα ίας. Φυσικά, την πλήρη ευθύνη για λα τα αρακτηριστικά τ υ κειµέν υ, απ τα τε νικά και τυπ γρα ικά, έως τα επιστηµ νικά και διδακτικά, τη έρω πρ σωπικά εγώ. Eυ αριστώ εκ των πρ τέρων λ υς τ υς συναδέλ υς ι π ί ι θα κάν υν π ιαδήπ τε παρατήρηση σ ετικά µε τ κείµεν αυτ. Eλπί ω τι η ατελής και ταπεινή αυτή συνεισ ρά µ υ, θα πρ καλέσει ενδια έρ ν για τα θέµατα των µη κλασικών λ γικών και της θεωρίας των απ δεί εων. Hράκλει, 11 Mαΐ υ 1995 O Συγγρα έας vi
viii Â Ú È Â fi Ì Â Ó EIΣAΓΩΓH 1. Γλώσσα... 1 2. Tα παράδ α... 2 3. A ιωµατική µέθ δ ς... 3 4. Aπ δεί εις και σ έση απαγωγής... 6 Aσκήσεις...24 ΠPOTAΣIAKOI ΛOΓIΣMOI...25 5. Kλασική πρ τασιακή λ γική...26 6. Σηµασι λ γία τ υ κλασικ ύ πρ τασιακ ύ λ γισµ ύ...46 7. ιαισθητική λ γική...51 8. Άλγε ρα λ γικής...66 8.1. Άλγε ρες Boole...69 8.2. Άλγε ρες Heyting...72 9. Συστήµατα υσικών απαγωγών...76 Aσκήσεις...80 ΠPΩTOBAΘMIA KATHΓOPHMATIKH ΛOΓIKH...85 10. Kλασικ ς πρωτ άθµι ς κατηγ ρηµατικ ς λ γισµ ς...88 11. Σηµασι λ γία της πρωτ άθµιας κλασικής λ γικής...97 12. ιαισθητική πρωτ άθµια κατηγ ρηµατική λ γική...104 13. Παραδείγµατα πρωτ άθµιων θεωριών...112 13.1. ιµελείς σ έσεις...115 13.2. Aλγε ρικές θεωρίες...118 13.3. Tυπική αριθµητική...119 13.4. Tυπική θεωρία συν λων...122 Aσκήσεις...125
ΘEΩPIA AΠO EI EΩN...129 14. Θεώρηµα απαλει ής της τ µής...129 14.1. Kάπ ιες συνέπειες τ υ θεωρήµατ ς απαλ ι ής της τ µής...134 15. Φυσικές απαγωγές και καν νικ π ίηση...140 15.1. Θεώρηµα καν νικής µ ρ ής...146 16. Ένα περίγραµµα της άλγε ρας απ δεί εων...154 Aσκήσεις...160 BIBΛIOΓPAΦIA...161 EYPETHPIO...165 ix viii