Οι ικανότητες επίλυσης προβλημάτων στα αναπτύγματα μαθητών Στ' δημοτικού και η επίδραση της χρήσης του λογισμικού DALEST

Οι ικανότητες επίλυσης προβλημάτων στα αναπτύγματα μαθητών Στ' δημοτικού και η επίδραση της χρήσης του λογισμικού DALEST Σοφοκλέους Παρασκευή Πανεπιστήμιο Κύπρου & Καταλάνου Στυλιανή Πανεπιστήμιο Κύπρου Περίληψη Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να μελετήσει τις ικανότητες μαθητών Στ' δημοτικού επίλυσης προβλημάτων που αναφέρονται στο σχεδιασμό, τη συμπλήρωση και τη σύγκριση αναπτυγμάτων κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, και κατ' επέκταση να διερευνήσει κατά πόσο η χρήση του λογισμικού τρισδιάστατης γεωμετρίας DALEST βελτιώνει τις ικανότητες αυτές. Βρέθηκε ότι οι μαθητές σημείωσαν τη μεγαλύτερη επιτυχία στις ασκήσεις σύγκρισης αναπτυγμάτων, αλλά έδιναν λανθασμένες αιτιολογήσεις. Η χαμηλότερη επιτυχία σημειώνεται από τους μαθητές του δείγματος στην άσκηση που ζητούσε το σχεδιασμό αναπτύγματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με συγκεκριμένες διαστάσεις τις οποίες έπρεπε να υπολογίσουν. Όσον αφορά, την εργασία με το λογισμικό παρατηρήθηκε ότι οι μαθητές είναι σε θέση να χειριστούν με αποτελεσματικό τρόπο ασκήσεις αναπτυγμάτων τις οποίες στο χαρτί δεν κατάφερναν να επιλύσουν, χρησιμοποιώντας κυρίως τη στρατηγική δοκιμάζω και ελέγχω. 1. Εισαγωγή Πολλοί ερευνητές υποστηρίζουν το σημαντικό ρόλο που κατέχουν στη μάθηση των μαθηματικών, στην επίλυση προβλήματος και στο μαθηματικό συλλογισμό οι διαδικασίες οπτικοποίησης (Hershkowitz, 1989). Για την πλήρη κατανόηση της φύσης των μαθηματικών ικανοτήτων και της δημιουργικότητας των μαθητών απαιτείται να μελετηθούν όχι μόνο οι ικανότητες υπολογισμού και επίλυσης μαθηματικού προβλήματος, αλλά και οι δεξιότητες οπτικοποίησης (Stylianou, Leikin & Silver, 1999). Για αυτό το λόγο, σύμφωνα με τους Potari and Spiliotopoulou (2001), ένας μεγάλος αριθμός ερευνών μελέτησε τους τρόπους με τους οποίους οι μαθητές οπτικοποιούν και παριστάνουν το χώρο τους, και ειδικότερα τις αναπαραστάσεις των τρισδιάστατων γεωμετρικών στερεών σε ένα επίπεδο (Cooper & Sweller, 1989; Mitchelmore, 1980; Parzysz, 1991). Όμως, πολύ λίγες ερευνητικές εργασίες μελέτησαν το τρόπο με τον οποίο οι μαθητές παριστάνουν τα αναπτύγματα τρισδιάστατων αντικειμένων (Stylianou et al., 1999; Lawrie, Pegg & Gutiérrez, 2000; Potari & Spiliotopoulou, 2001), και κατ επέκταση την κατανόηση των σχέσεων από τους μαθητές μεταξύ των διαφόρων μερών ενός σχήματος, δεξιότητες πολύ σημαντικές και χρήσιμες στα μαθηματικά (Mitchelmore, 1980). Σκοπός της εργασίας αυτής είναι να μελετήσει τις ικανότητες μαθητών Στ' δημοτικού επίλυσης προβλημάτων που αναφέρονται στο σχεδιασμό, τη συμπλήρωση και τη σύγκριση αναπτυγμάτων κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, και κατ' επέκταση να διερευνήσει κατά πόσο η χρήση του λογισμικού τρισδιάστατης γεωμετρίας DALEST βελτιώνει τις ικανότητες αυτές και προάγει το παραγωγικό τρόπο σκέψης. Συγκεκριμένα, θα εξεταστούν τα ερωτήματα: 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 234

1. Ποια είναι η επίδοση των μαθητών της Στ τάξης δημοτικού σε ασκήσεις που αφορούν το σχεδιασμό, τη συμπλήρωση και τη σύγκριση αναπτυγμάτων κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου; 2. Ποιοι τύποι λαθών επηρεάζουν την επιτυχία των μαθητών της Στ τάξης δημοτικού σε ασκήσεις που αφορούν το σχεδιασμό, τη συμπλήρωση και τη σύγκριση αναπτυγμάτων κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου; 3. Υπάρχει διαφορά της επίδοσης των αγοριών και των κοριτσιών σε ασκήσεις που αφορούν το σχεδιασμό, τη συμπλήρωση και τη σύγκριση αναπτυγμάτων κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου; 4. Η επίδοση των μαθητών σε ασκήσεις αναπτυγμάτων βελτιώθηκε με τη χρήση του λογισμικού DALEST και συγκεκριμένα με την εφαρμογή του «Οριγκάμι» σε σχέση με αυτή στο χαρτί; 5. Η χρήση του λογισμικού τρισδιάστατης γεωμετρίας βοηθά τους μαθητές να ξεφύγουν από τη μια λύση και να απαντούν πιο δημιουργικά σε αντίστοιχες ασκήσεις; Στη συνέχεια, παρουσιάζεται το θεωρητικό πλαίσιο στο οποίο στηρίχτηκε η μελέτη αυτή. Ακολούθως, αναλύεται η μεθοδολογία που χρησιμοποιήθηκε και παρατίθενται τα αποτελέσματα που προέκυψαν. Τέλος, αναφέρονται τα συμπεράσματα στα οποία κατέληξε η παρούσα εργασία. 2. Ανασκόπηση Βιβλιογραφίας Ικανότητα Αναπαράστασης των Τρισδιάστατων Αντικειμένων στα Αναπτύγματά τους Η διαδικασία μετατροπής των τρισδιάστατων στερεών στις δισδιάστατες αναπαραστάσεις τους είναι ιδιαίτερα σημαντική στα μαθηματικά (Stylianou et al., 1999) και κυρίως στην κατανόηση των γεωμετρικών στερεών (Maida, 2005). Ο Michelmore (1980) αναφέρει χαρακτηριστικά ότι οι ικανότητες οπτικοποίησης και αναπαράστασης τρισδιάστατων αντικειμένων και κατανόησης των γεωμετρικών σχέσεων μεταξύ των διαφόρων μερών ενός σχήματος είναι ιδιαίτερα εποικοδομητικές. Πιο συγκεκριμένα, ο ίδιος αναφέρει ότι τα προβλήματα που σχετίζονται με το μετασχηματισμό των τρισδιάστατων αντικειμένων στα δισδιάστατα αναπτύγματά τους βασιζόμενοι στη σχέση μεταξύ των διαφόρων μερών του στερεού, παρέχουν ευκαιρίες στους μαθητές για ανάπτυξη των δεξιοτήτων οπτικοποίησής τους. Υπάρχουν δυο τρόποι μετασχηματισμού των τρισδιάστατων στερεών στις δισδιάστατες αναπαραστάσεις τους, είτε μέσω της κατασκευής δισδιάστατου σχεδίου είτε μέσω του αναπτύγματός του (Lawrie et al., 2000). Το ανάπτυγμα, σύμφωνα με τους Borowski and Borwein (1991), αποτελεί ένα διάγραμμα κενού στερεού, το οποίο αποτελείται από επίπεδα σχήματα των εδρών τοποθετημένα με τρόπο ώστε όταν το διάγραμμα κοπεί και διπλωθεί,να σχηματιστεί το στερεό (αναφορά στους Stylianou et al., 1999). Πολλοί λίγες έρευνες που ασχολούνται με τα αναπτύγματα, εξέτασαν το συλλογισμό των μαθητών για αυτά. Αυτές οι εργασίες (π.χ Bourgeois, 1986; Potari & Spiliotopoulou, 1992; Stylianou et al., 1999) βρήκαν ότι η σκέψη των μαθητών για τα αναπτύγματα επηρεάζεται από την πολυπλοκότητα των γεωμετρικών στερεών, καθώς και το ότι 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 235

κάποια αναπτύγματα ενός δοσμένου στερεού μπορεί να είναι πιο δύσκολα από κάποια άλλα, έστω και εάν οι μαθητές προσεγγίσουν αυτά με ένα συστηματικό αποτελεσματικό τρόπο. Όμως, οι λόγοι για τους οποίους παρατηρούνται αυτές οι αλλαγές στη δυσκολία των ασκήσεων των αναπτυγμάτων δεν είναι εμφανής. Η Mariotti (1989) υποθέτει ότι η κατασκευή του σωστού αναπτύγματος για ένα στερεό από τους μαθητές βασίζεται στο συνδυασμό μιας πολύπλοκης νοητικής αναπαράστασης του αντικειμένου με την ανάλυση των στοιχείων του (έδρες, κορυφές, ακμές) (αναφορά στους Stylianou et al., 1999). Αυτή την υπόθεση η Mariotti (1989), την στηρίζει στο ότι οι μαθητές του δείγματος της είχαν μεγαλύτερη επιτυχία στην αναγνώριση των αναπτυγμάτων που απαιτούσαν ελάχιστους μετασχηματισμούς από το στερεό στο ανάπτυγμα. Παράδειγμα τέτοιου αναπτύγματος για το κύβο αποτελεί το σταυροειδές, το οποίο βρέθηκε να είναι το ευκολότερο και στην έρευνα των Stylianou et al. (1999) και της Mariotti (1989), αφού αυτό μπορεί κατευθείαν κάποιος να φανταστεί πώς διπλώνεται για να σχηματιστεί κύβος. Κάποιες άλλες έρευνες αναφορικά με τα αναπτύγματα (Lawrie et al., 2000), επιχείρησαν να κωδικοποιήσουν τη φύση της σκέψης των μαθητών που εμφανίζεται στις απαντήσεις τους με βάση το SOLO Taxonomy και τα επίπεδα του Van Hiele, όπου διαπίστωσαν και πάλι τις δυσκολίες που συναντούν οι μαθητές στην επίλυση προβλημάτων στα αναπτύγματα. Οι Potari & Spiliotopoulou (1992, 2001) έχουν διερευνήσει τον τρόπο με τον οποίοι οι μαθητές τρίτης και πέμπτης τάξης δημοτικού αντιλαμβάνονται τα αναπτύγματα τρισδιάστατων αντικειμένων. Συγκεκριμένα, έχουν ταξινομήσει τα αναπτύγματα των μαθητών για διάφορα φυσικά αντικείμενα της καθημερινής ζωής σε πέντε κατηγορίες: ολιστικά μοντέλα όπου το στερεό αναπαρίσταται από ένα δισδιάστατο σχήμα, μοντέλα με ενδείξεις προβολής, πλήρη γεωμετρικά στερεά, ημιτελή γεωμετρικά στερεά και φυσικά στερεά. Επιπρόσθετα, έχουν παρατηρήσει ότι οι μικρότεροι μαθητές (τρίτης τάξης) σχεδίαζαν συνήθως ασυνεχή αναπτύγματα, ενώ οι μεγαλύτεροι μαθητές (πέμπτης τάξης) παρουσίαζαν συνήθως συνεχή μοντέλα και χρησιμοποιούσαν σε μεγαλύτερο βαθμό νοερές διαδικασίες αντί φυσικές δράσεις (Potari & Spiliotopoulou, 2001). Λογισμικό Τρισδιάστατης Γεωμετρίας DALEST Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται μια έντονη κινητικότητα στο σχεδιασμό εκπαιδευτικών λογισμικών τα οποία συμβάλλουν στην ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών (Christou, Jones, Mousoulides & Pittalis, 2006). Μέρος των λογισμικών αυτών αποτελούν τα λογισμικά Δυναμικής Γεωμετρίας που δημιουργήθηκαν για τη διδασκαλία της δισδιάστατης και τρισδιάστατης γεωμετρίας με στόχο τη βελτίωση της διδασκαλίας και μάθησης της γεωμετρίας (Jones, 2000). Όμως, αυτά τα λογισμικά δεν επιτρέπουν τη δυναμική επεξεργασία τρισδιάστατων σχημάτων με τρόπο που να δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να ανακαλύπτουν τις σχέσεις μεταξύ των σχημάτων (Χρίστου, Sendova, Matos, Jones, Ζαχαριάδης, Πίττα, Μουσουλίδης, Πιττάλης, Boytchev, Mesquita, Chehlarova & Lozanov, 2007). Λαμβάνοντας υπόψη τα πιο πάνω, οι υπεύθυνοι του προγράμματος DALEST (Developing an Active Learning Environment for Stereometry), δημιούργησαν ένα 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 236

λογισμικό τρισδιάστατης γεωμετρίας, το DALEST, με σκοπό την ανάπτυξη ενός μικρόκοσμου τρισδιάστατης γεωμετρίας το οποίο να δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να κατασκευάζουν, να παρατηρούν και να χειρίζονται γεωμετρικά στερεά στο χώρο, καθώς και να μοντελοποιούν γεωμετρικές καταστάσεις. Επιπρόσθετα, δίνεται η δυνατότητα στους εκπαιδευτικούς να βοηθήσουν τους μαθητές μέσω αυτού του λογισμικού να κατανοήσουν τη στερεομετρία (Christou et al., 2006; Christou, Pittalis, Mousoulides, Pitta, Jones, Sendova & Boytchev, 2007). Εκτός αυτού, ο σκοπός δημιουργίας αυτού του λογισμικού είναι η ανάπτυξη δεξιοτήτων και διαδικασιών στους μαθητές, οι οποίες να συνδέονται με τη νοερή οπτικοποίηση ως σχήμα το οποίο παριστάνει χωρικές πληροφορίες (Presmeg, 1986). Είναι γενικά αποδεκτό ότι η διδασκαλία και η μάθηση της τρισδιάστατης γεωμετρίας συνδέεται με τη χωρική και οπτική ικανότητα ενός ατόμου (Gutiérrez, 1996). Από αυτή τη σκοπιά, οι ικανότητες αντίληψης εννοιών του χώρου είναι σημαντικοί γνωστικοί παράγοντες στη μάθηση της γεωμετρίας και η ενσωμάτωση της οπτικοποίησης των εννοιών του χώρου στη διδασκαλία της γεωμετρίας μπορεί να βελτιώσει τη μάθηση της (Christou et al., 2007). Για αυτό το λόγο, τα αναλυτικά προγράμματα μαθηματικών διαφόρων χωρών τονίζουν τη σημασία ανάπτυξης της ικανότητας αντίληψης εννοιών του χώρου στη μαθηματική εκπαίδευση και συγκεκριμένα, εισηγούνται ότι η οπτικοποίηση των εννοιών στη δισδιάστατη και τρισδιάστατη γεωμετρία αποτελεί θεμελιώδη δεξιότητα την οποία πρέπει να αναπτύξουν οι μαθητές (NCTM, 2000). Έρευνες για την Επίδραση Λογισμικών Τρισδιάστατης Γεωμετρίας Οι Yun, Xi and Li (2006) βρήκαν ότι η διδασκαλία με το λογισμικό VGLS (Virtual Geometry Learning System) σε σχέση με τη παραδοσιακή διδασκαλία για τέσσερις εβδομάδες βελτίωσε σημαντικά τις ικανότητες νοερής «δίπλωσης» ή «ξεδίπλωσης» τρισδιάστατων στερεών (mental folding and unfolding) μαθητών γυμνασίου, καθώς και της περιστροφής των αντικειμένων. Επιπρόσθετα, βρέθηκε ότι στα κορίτσια βελτιώθηκε σημαντικά η ικανότητα νοερής περιστροφής των αντικειμένων ενώ στα αγόρια η ικανότητα νοερής «δίπλωσης» ή «ξεδίπλωσης» των στερεών. Ακόμα, σε έρευνα των Kwon, Kim and Kim (2001), βρέθηκε ότι η διδασκαλία που βασίζεται σε λογισμικό (που βρίσκεται στο διαδίκτυο-vrml) βελτιώνει την ικανότητα οπτικοποίησης εννοιών του χώρου. Δηλαδή, η δυνατότητα που δινόταν από το λογισμικό για virtual reality επιδρούσε θετικά στη βελτίωση των ικανοτήτων οπτικοποίησης και περιστροφής των αντικειμένων σε μαθήτριες Α λυκείου. Χαρακτηριστική είναι και η έρευνα των Markopoulos and Potari (2005), όπου εξέτασαν το συλλογισμό μαθητών έκτης δημοτικού για γεωμετρικά στερεά και συγκεκριμένα για το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο στα πλαίσια δυναμικών μετασχηματισμών. Συγκεκριμένα, οι μαθητές ήρθαν σε επαφή τόσο με φυσικά αντικείμενα/μοντέλα του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, όσο και με τις προσομοιώσεις του μέσω του ηλεκτρονικού υπολογιστή, και βρήκαν ότι η σκέψη των μαθητών για τα γεωμετρικά στερεά μπορεί να αναπτυχθεί από μια ολιστική μέχρι μια συσχεσιακή αντίληψη για αυτά. Παρόλα αυτά επισήμαναν ότι δεν έφτασαν όλοι οι μαθητές του δείγματος τους σε ένα 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 237

προχωρημένο επίπεδο σκέψης, αλλά υποστηρίζουν ότι οι δυναμικοί μετασχηματισμοί προωθούν την ανάπτυξη της γεωμετρικής σκέψης των μαθητών και της κατανόησης από μέρους τους της έννοιας των γεωμετρικών στερεών. Για αυτό είναι αναγκαίο να εξεταστεί η επίδραση του λογισμικού τρισδιάστατης γεωμετρίας DALEST στην επίδοση των μαθητών σε ασκήσεις αναπτυγμάτων («Οριγκάμι») σε σχέση με αυτή το χαρτί. 3. Μεθοδολογία Καθορισμός Δείγματος Το δείγμα της έρευνας αποτέλεσαν 55 μαθητές Στ τάξης δημοτικών σχολειών της ελεύθερης Κύπρου. Συγκεκριμένα, 33 μαθήτριες και 22 μαθητές συμπλήρωσαν ένα δοκίμιο (το κατεξοχήν μέσο συλλογής ποσοτικών δεδομένων της συγκεκριμένης έρευνας) που περιλάμβανε έξι ασκήσεις που αφορούσαν το σχεδιασμό, τη συμπλήρωση και τη σύγκριση αναπτυγμάτων κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου. Τα δεδομένα αυτά αξιολογήθηκαν και επιλέγηκαν δυο μαθητές από τους οποίους ο ένας μαθητής επέδειξε χαμηλή επίδοση στο δοκίμιο και ο άλλος μαθητής είχε μέτρια επίδοση σε αυτό. Αυτοί οι μαθητές ασχολήθηκαν με ασκήσεις που αφορούσαν αναπτύγματα στο λογισμικό τρισδιάστατης γεωμετρίας DALEST. Μέσα Συλλογής Δεδομένων Επιδιώκοντας την επίτευξη του σκοπού της παρούσας εργασίας, συντάχθηκε ένα δοκίμιο που αποτελείτο από έξι ασκήσεις που αφορούσαν το σχεδιασμό, τη συμπλήρωση και τη σύγκριση αναπτυγμάτων κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (βλέπε πίνακα 1). Οι μαθητές έπρεπε να απαντήσουν σε όλες τις ασκήσεις και να εξηγήσουν τον τρόπο σκέψης τους για την επίλυση της κάθε άσκησης. Πίνακας 1: Ασκήσεις Δοκιμίου. ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΠΟΥ ΕΞΕΤΑΖΕΤΑΙ Κύβου ΕΡΓΑ Ο Γιάννης θέλει να φτιάξει κύβους, όμως πρώτα πρέπει να δημιουργήσει τα αναπτύγματά τους με χαρτόνι. Πόσα διαφορετικά αναπτύγματα μπορεί να κατασκευάσει ώστε να σχηματίσει κύβους; (δινόταν τετραγωνισμένο χαρτί) Σχεδιασμός Αναπτυγμάτων Ορθογώνιου Παραλληλεπιπέδου Στο μάθημα του Σχεδιασμού, ο Κώστας πρέπει να κατασκευάσει ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, αρχίζοντας από την κατασκευή του αναπτύγματος. Πόσα διαφορετικά αναπτύγματα μπορεί να κατασκευάσει, ώστε να σχηματίζει ορθογώνια παραλληλεπίπεδα; (δινόταν τετραγωνισμένο χαρτί) 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 238

Ως προς το εμβαδό επιφάνειας Δίνονται τα πιο κάτω στερεά. Ποιου στερεού το ανάπτυγμα θα έχει: (α) το μεγαλύτερο εμβαδό; (β) το μικρότερο εμβαδό; Δικαιολόγησε την απάντησή σου. Σύγκρισης Αναπτυγμάτων Ως προς τον όγκο Δίνονται τα πιο κάτω αναπτύγματα ανοικτών κουτιών (λείπει η πάνω έδρα), που είναι κύβοι και ορθογώνια παραλληλεπίπεδα. Ποιο ανάπτυγμα όταν διπλωθεί θα σχηματίσει το κουτί που θα χωρεί τους: (α) περισσότερους κύβους και (β)ποιο τους λιγότερους; Δικαιολόγησε την απάντησή σου. Συμπλήρωσης Αναπτυγμάτων Η Ελένη καθώς έπαιζε με τους κύβους της, τους χάλασε και έτσι ξεδιπλώθηκαν σχηματίζοντας τα αναπτύγματα τους. Όμως, σε κάποια αναπτύγματα των κύβων χάθηκαν κάποια τετράγωνα τους. Μπορείς να τη βοηθήσεις να συμπληρώσει το/τα τετράγωνο/τετράγωνα που λείπουν από τα πιο κάτω αναπτύγματα για να σχηματιστούν αναπτύγματα κύβου; Σύνθεση: Σχεδιασμός και Υπολογισμός Διαστάσεων του Αναπτύγματος (α) (β) (γ) Η Μαρία έχει 24 μικρά πακέτα που είναι κύβοι και έχουν το ίδιο μέγεθος. Το μήκος, το πλάτος και το ύψος τους είναι 10 εκατοστόμετρα. Θέλει να κατασκευάσει ένα κουτί για να τα φυλάξει. (α) Ζωγράφισε το ανάπτυγμα του κουτιού που θα κατασκευάσει. (δινόταν τετραγωνισμένο χαρτί) (β) Τι διαστάσεις πρέπει να έχει; Για να ελεγχθεί η εσωτερική συνάφεια και αξιοπιστία των απαντήσεων των μαθητών στις ασκήσεις αυτές χρησιμοποιήθηκε ο συντελεστής αξιοπιστίας Gronbach s Alpha και βρέθηκε α=0,772. Άρα, υπάρχει εσωτερική συνάφεια και αξιοπιστία στις απαντήσεις των μαθητών στις ασκήσεις του δοκιμίου. Όσον αφορά την εργασία με το λογισμικό, κάθε μαθητής ασχολήθηκε με διαφορετικές ασκήσεις σε αυτό ανάλογα με την επίδοση του στο δοκίμιο. Οι δυο μαθητές 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 239

χρησιμοποίησαν την εφαρμογή «Οριγκάμι» για να επιλύσουν τις ασκήσεις αυτές. Η εφαρμογή αυτή δίνει τη δυνατότητα στους μαθητές να κατασκευάζουν αναπτύγματα διαφόρων στερεών και να ελέγχουν την ορθότητα τους (μεταφορά από τη δισδιάστατη αναπαράσταση στο τρισδιάστατο αντικείμενο με ένα μόνο κουμπί). Επιπρόσθετα, μέσω της χρήσης της εφαρμογής ενισχύονται οι ικανότητες των μαθητών οπτικοποίησης των στερεών σε ένα περιβάλλον ανοικτό και δυναμικό που επιτρέπει την ενεργό συμμετοχή τους (Χρίστου et al., 2007). Είδη Δεδομένων Τα ποσοτικά δεδομένα της έρευνας αποτελούν οι απαντήσεις των μαθητών στις έξι ασκήσεις του δοκιμίου. Συγκεκριμένα, οι απαντήσεις των μαθητών καταγράφτηκαν σε ισοδιαστημική μορφή, δηλαδή καθορίστηκε το 0 ως η λάθος η απάντηση και 1 η σωστή απάντηση για κάθε άσκηση. Όμως, στις ασκήσεις που καλούνταν οι μαθητές να σχεδιάσουν όσα περισσότερα αναπτύγματα μπορούσαν, η κωδικοποίηση της ορθής απάντησης διαφοροποιήθηκε: για τα αναπτύγματα του κύβου κάθε σωστό ανάπτυγμα δινόταν ο βαθμός 0.1 (εάν είχε περισσότερα από 10 πήρε το βαθμό 1) και για τα αναπτύγματα του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου για κάθε σωστό ανάπτυγμα δινόταν ο βαθμός 0.2 (εάν υπήρχαν περισσότερα από 5 πήρε το βαθμό 1). Τα ποιοτικά δεδομένα της έρευνας αποτελούν οι αιτιολογήσεις που έδιναν οι μαθητές και τα είδη λαθών που έκαναν σε κάθε άσκηση, δηλαδή ο τρόπος σκέψης των μαθητών για την επίλυση της κάθε άσκησης (σωστός ή λανθασμένος). Για την καλύτερη επεξεργασία των ποιοτικών απαντήσεων των μαθητών δημιουργήθηκαν μεταβλητές κατηγοριακής μορφής για κάθε άσκηση στις οποίες κατηγοριοποιήθηκαν οι κοινοί τρόποι αντιμετώπισης των μαθητών της λύσης της κάθε άσκησης-τα είδη λαθών και τα είδη εξήγησης των απαντήσεων. Τεχνικές Ανάλυσης Δεδομένων Για την ανάλυση των ποσοτικών δεδομένων των δοκιμίων που αφορούσαν τις απαντήσεις των μαθητών στις 6 ασκήσεις του δοκιμίου χρησιμοποιήθηκε το λογισμικό Microsoft Excel και το στατιστικό πακέτο SPSS-12.0. Για την περιγραφή των ποιοτικών δεδομένων (αιτιολογήσεις και είδη λαθών) για κάθε άσκηση χρησιμοποιήθηκαν οι εντολές της περιγραφικής στατιστικής (συχνότητες, ποσοστά) του στατιστικού πακέτου SPSS-12.0. Για την ανάλυση της συμπεριφοράς και εργασίας των μαθητών στο λογισμικό DALEST, χρησιμοποιήθηκε η ανάλυση περιεχομένου. Για τη σωστή και αποτελεσματική ανάλυση περιεχομένου απαιτείται η ύπαρξη ενός συστήματος κατηγοριών ανάλυσης. Συγκεκριμένα θα παρουσιαστούν, οι στρατηγικές που χρησιμοποίησαν οι μαθητές κατά την εργασία τους με το λογισμικό και οι απαντήσεις που έδωσαν στις ασκήσεις σχεδιασμού και συμπλήρωσης αναπτυγμάτων αναφέροντας παράλληλα τη συμπεριφορά τους σε παρόμοιες ασκήσεις στο χαρτί. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι και οι δυο μαθητές δεν ασχολήθηκαν με την επίλυση ασκήσεων σύγκρισης αναπτυγμάτων στο λογισμικό αφού έδωσαν ορθές απαντήσεις σε αυτές στο γραπτό δοκίμιο. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 240

4. Αποτελέσματα Ποσοτική Ανάλυση Απαντήσεων Μαθητών στο Δοκίμιο Ο πίνακας 2 παρουσιάζει τους μέσους όρους και τις τυπικές αποκλίσεις της επιτυχίας των μαθητών σε κάθε άσκηση του δοκιμίου. Οι περισσότεροι μαθητές είχαν τη μεγαλύτερη επιτυχία στις ασκήσεις σύγκρισης αναπτυγμάτων (4α, 4β και 5α), καθώς και στα δυο ερωτήματα της άσκησης που αφορούσε τη συμπλήρωση αναπτυγμάτων (6β και 6γ). Πολύ χαμηλή επιτυχία παρατηρείται στην άσκηση 2α, στην οποία οι μαθητές έπρεπε να σχεδιάσουν το ανάπτυγμα ενός κουτιού που αποτελείτο από 24 κύβους, με μέσο όρο επιτυχίας 0,05. Σε όλες τις ασκήσεις παρατηρείται μεγάλη τυπική απόκλιση, στοιχείο που υποδηλώνει ανομοιογένεια στην επιτυχία των παιδιών σε κάθε άσκηση. Πίνακας 2: Μέσοι Όροι της Επίδοσης των Μαθητών στις Ασκήσεις του Δοκιμίου. AΣΚΗΣΗ Χ SD 1: Σχεδιασμός αναπτυγμάτων κύβου 2α: Σχεδιασμός αναπτύγματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση δεδομένα 2β: Προσδιορισμός διαστάσεων ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση δεδομένα 0.229 0.2266 0.05 0.229 0.18 0.389 3: Σχεδιασμός αναπτυγμάτων ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου 0.120 0.2022 4α: Σύγκριση αναπτυγμάτων ως προς τον όγκο (α) 0.78 0.417 4β: Σύγκριση αναπτυγμάτων ως προς τον όγκο (β) 0.73 0.449 5α: Σύγκριση αναπτυγμάτων ως προς το εμβαδό επιφάνειας (α) 0.73 0.449 5β: Σύγκριση αναπτυγμάτων ως προς το εμβαδό επιφάνειας (β) 0.60 0.494 6α: Συμπλήρωση αναπτυγμάτων κύβου (α) 0.33 0.474 6β: Συμπλήρωση αναπτυγμάτων κύβου (β) 0.62 0.490 6γ: Συμπλήρωση αναπτυγμάτων κύβου (γ) 0.64 0.485 Ν=55 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 241

Στο διάγραμμα 1 παρουσιάζονται οι μέσοι όροι των μαθητών και των μαθητριών σε κάθε άσκηση του δοκιμίου. Παρατηρείται ότι οι μαθητές του δείγματος υπερτερούν στις ασκήσεις του δοκιμίου, με εξαίρεση δυο ασκήσεων: αυτή που ζητούσε το σχεδιασμό αναπτυγμάτων ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων (άσκηση 3) και αυτή που απαιτούσε τη συμπλήρωση ενός αναπτύγματος κύβου (άσκηση 6α), στις οποίες οι μαθήτριες σημείωσαν ψηλότερους μέσους όρους. Αξίζει να σημειωθεί ότι την άσκηση 2α, στην οποία οι μαθητές έπρεπε να σχεδιάσουν το ανάπτυγμα ενός κουτιού που αποτελείτο από 24 κύβους, την έλυσαν ορθά μόνο αγόρια. Διάγραμμα 1. Σύγκριση μέσου όρου αγοριών και κοριτσιών ανά άσκηση. Μέσοι όροι επιτυχίας 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 1 2α 2β 3 4α 4β 5α 5β 6α 6β 6γ Αγόρια Κορίτσια Παρόλα αυτά, μετά από έλεγχο της σημαντικότητας των διαφορών της επίδοσης των δυο φύλων στο δοκίμιο, στατιστικά σημαντική βρέθηκε να είναι μόνο η διαφορά των μέσων όρων στην άσκηση 2α που αφορά το σχεδιασμό αναπτύγματος ενός κουτιού που αποτελείται από 24 κύβους, με το επίπεδο σημαντικότητας p να ισούται με 0,029 (πίνακας 3). Πίνακας 3: Έλεγχος της Σημαντικότητας των Διαφορών μεταξύ των δύο Φύλων στην Άσκηση 2α. Πηγή διακύμανσης Βαθμοί Mέσοι F Ελευθερίας Τετραγώνων Μεταξύ των ομάδων 1 0.245 5.021* Εντός των ομάδων 53 Σύνολο 54 * p < 0,05 Ελεγχθεί, επίσης, κατά πόσο υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των δύο φύλων με την ανάλυση διασποράς ONE WAY στη συνολική επίδοση στο δοκίμιο. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι διαφορές στη συνολική επίδοση δεν είναι στατιστικά σημαντικές. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 242

Όσον αφορά την ομαδοποίηση των ασκήσεων, τα ποσοτικά δεδομένα που προέκυψαν από τις απαντήσεις των μαθητών έδειξαν ότι τα έντεκα ερωτήματα του δοκιμίου μπορούν να ταξινομηθούν σε 4 ομάδες (clusters). Με βάση τον πίνακα 4, στην πρώτη ομάδα εντάσσονται οι ασκήσεις που αναφέρονται στη σύγκριση του εμβαδού αναπτυγμάτων δοσμένων στερεών (5α και 5β). Στη δεύτερη ομάδα εντάσσονται οι ασκήσεις που αναφέρονται στη σύγκριση του όγκου των στερεών που σχηματίζονται από δοσμένα αναπτύγματα (4α και 4β). Εδώ, οι ασκήσεις που αφορούν τη σύγκριση αναπτυγμάτων διαχωρίζονται, αφού απαιτούν αντίστροφες λειτουργίες και νοητικές διεργασίες. Η τρίτη ομάδα περιλαμβάνει τις ασκήσεις συμπλήρωσης αναπτυγμάτων της πρωτοτυπικής σταυροειδούς μορφής (6β και 6γ). Στην τέταρτη ομάδα εντάσσονται οι ασκήσεις που δεν στηρίζονται στην πρωτοτυπική μορφή αναπτυγμάτων και είναι πιο σύνθετες: συμπλήρωσης αναπτύγματος μη πρωτοτυπικής σταυροειδούς μορφής (6α), σχεδιασμός όσον το δυνατόν περισσότερων αναπτυγμάτων κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (1 και 3) και σχεδιασμός αναπτύγματος κουτιού που αποτελείται από 24 κύβους και υπολογισμός των διαστάσεων του (2α και 2β). Οι ασκήσεις αυτές φαίνεται να συνδέονται από το γεγονός ότι για μεγαλύτερη επιτυχία σε αυτές, τα παιδιά πρέπει να έχουν βαθύτερη κατανόηση των αναπτυγμάτων και ευελιξία στο χειρισμό τους. Πίνακας 4: Περιγραφικά Στοιχεία και Εσωτερική Αξιοπιστία των Τεσσάρων Ομάδων των Ασκήσεων. Ομάδες ασκήσεων Ομάδα 1: Σύγκριση αναπτυγμάτων ως προς το εμβαδό επιφάνειας Χ SD Cronbach s Alpha 0,664 0,442 0,855 Ομάδα 2: Σύγκριση αναπτυγμάτων ως προς τον όγκο 0,755 0,383 0,722 Ομάδα 3: Συμπλήρωση αναπτυγμάτων πρωτοτυπικής σταυροειδούς μορφής 0,627 0,433 0,728 Ομάδα 4: Πιο σύνθετες μορφές 0,183 0,205 0,633 Ποιοτική Ανάλυση Απαντήσεων Μαθητών στο Δοκίμιο Κατά την ποιοτική ανάλυση των απαντήσεων των μαθητών εξετάζονται τα είδη λαθών που έγιναν από τους μαθητές του δείγματος. Στην άσκηση που αφορούσε το σχεδιασμό όσο το δυνατόν περισσότερων αναπτυγμάτων κύβου, οι τριάντα τέσσερις από τους πενήντα πέντε μαθητές σχεδίασαν τουλάχιστον ένα ορθό ανάπτυγμα κύβου. Συνεπώς, ο χαμηλός μέσος όρος επιτυχίας που παρουσιάστηκε στην ποσοτική ανάλυση (Χ =0.229), δεν οφείλεται στην αδυναμία των μαθητών να σχεδιάσουν ανάπτυγμα ενός κύβου, αλλά στην αδυναμία τους να ζωγραφίσουν ποικιλία αναπτυγμάτων. Ομοίως, στην άσκηση που αναφερόταν στο σχεδιασμό όσον το δυνατόν περισσότερων αναπτυγμάτων ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, οι δεκαοχτώ από τους πενήντα πέντε μαθητές σχεδίασαν τουλάχιστον ένα ορθό ανάπτυγμα. Άρα και πάλι, ο χαμηλός μέσος όρος επιτυχίας (Χ =0.120) που βρέθηκε στην ποσοτική ανάλυση 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 243

οφείλεται στην αδυναμία σχεδιασμού από μέρους των μαθητών ποικιλίας αναπτυγμάτων. Υπήρχαν, ακόμη, και δεκατέσσερις μαθητές που σχεδίασαν ημιτελή αναπτύγματα. Αξιοσημείωτο αποτελεί το γεγονός ότι έξι μαθητές σχεδίασαν στερεό και όχι ανάπτυγμα. Όσον αφορά τις ασκήσεις σύγκρισης αναπτυγμάτων, από την ανάλυση των αιτιολογήσεων των μαθητών σε αυτές, παρατηρήθηκε ότι οι περισσότεροι μαθητές απαντούσαν ορθά σε αυτές αλλά έδιναν λανθασμένες αιτιολογήσεις. Πίνακας 5: Εξήγηση του Τρόπου Λύσης για την Άσκηση 4. Αριθμός Μαθητών Εξήγηση Άσκηση 4α Άσκηση 4β Υπολογισμός όγκου 8 8 Οπτική σύγκριση (Στηρίζονται στο τι βλέπουν με το μάτι) 11 10 Κρίνουν με βάση το εμβαδό του αναπτύγματος 24 23 Άλλη λάθος εξήγηση 6 8 Ασυμπλήρωτο 6 6 Σύνολο 55 55 Πιο συγκεκριμένα, για την άσκηση 4 που αναφέρονταν στη σύγκριση του όγκου των στερεών που σχηματίζονται από δοσμένα αναπτύγματα, οχτώ μόνο μαθητές από τους πενήντα πέντε απάντησαν υπολογίζοντας τον όγκο των στερεών που θα σχηματίζονταν από τα δοσμένα αναπτύγματα και στα δυο ερωτήματα (υπολόγιζαν μήκος, πλάτος, ύψος). Έντεκα μαθητές στο ερώτημα α και δέκα μαθητές στο ερώτημα β απαντούσαν με βάση αυτό που έβλεπαν (δεν έκαναν αριθμητικούς υπολογισμούς). Ακόμα, είκοσι τέσσερις μαθητές στο ερώτημα α και είκοσι τρεις μαθητές στο ερώτημα β, μετρούσαν τα τετράγωνα που αποτελούνταν τα δοσμένα αναπτύγματα ανοικτών κύβων για να δικαιολογήσουν την απάντηση τους στα συγκεκριμένα ερωτήματα. Πίνακας 6: Εξήγηση του Τρόπου Λύσης για την Άσκηση 5. Αριθμός Μαθητών Εξήγηση Άσκηση 5α Άσκηση 5β Υπολογισμός εξωτερικής επιφάνειας / κρίνουν σύμφωνα με το εμβαδό αναπτύγματος 6 6 Οπτική σύγκριση (Στηρίζονται στο τι βλέπουν με το μάτι) 4 3 Υπολογισμός όγκου 10 12 Υπολογισμός επιφάνειας της μιας έδρας 9 9 Υπολογισμός εμβαδού των 3 εδρών που φαίνονται 6 6 Άλλη λάθος εξήγηση 10 9 Ασυμπλήρωτο 10 10 Σύνολο 55 55 Στην άσκηση 5 που αφορούσε τη σύγκριση των αναπτυγμάτων δοσμένων στερεών ως προς το εμβαδό επιφάνειας τους, έξι μόνο μαθητές σε κάθε ερώτημα δικαιολόγησαν την 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 244

απάντησή τους υπολογίζοντας το εμβαδό της εξωτερικής επιφάνειας. Τέσσερις μαθητές στο ερώτημα α και τρεις μαθητές στο ερώτημα β, αιτιολόγησαν την απάντηση τους βασιζόμενοι στο τι έβλεπαν με το μάτι τους. Ακόμα, δέκα μαθητές στο ερώτημα α και δώδεκα μαθητές μέτρησαν τους κύβους που αποτελούσαν το κάθε τρισδιάστατο σχήμα και έδωσαν μια απάντηση. Εννέα μαθητές σε κάθε ερώτημα υπολόγισαν μόνο την επιφάνεια της μιας έδρας και δικαιολόγησαν την απάντηση τους, ενώ έξι μαθητές σε κάθε ερώτημα υπολόγισαν το εμβαδό των τριών εδρών που φαίνονται για να πάρουν μια απόφαση για απάντηση και να τη δικαιολογήσουν. Στην άσκηση που απαιτούσε μια σύνθεση ικανοτήτων σχεδιασμού αναπτύγματος ενός κουτιού με 24 κύβους και υπολογισμού των διαστάσεών του, μόνο τρεις μαθητές από τους πενήντα πέντε σχεδίασαν ορθά το ζητούμενο ανάπτυγμα, ενώ είκοσι τρεις μαθητές σχεδίασαν μια τρισδιάστατη κατασκευή. Όσον αφορά τις διαστάσεις του κουτιού, εννέα μόνο μαθητές μπόρεσαν να τις υπολογίσουν. Δεκατρείς μαθητές έδωσαν απαντήσεις κάνοντας πράξεις με τα αριθμητικά δεδομένα της άσκησης, ενώ πέντε μαθητές έδωσαν διαστάσεις για δισδιάστατο σχήμα (μήκος Χ πλάτος). Γενικά, η συγκεκριμένη άσκηση δυσκόλεψε αρκετά τους μαθητές, αφού δεν συναντούν συχνά τέτοιες ασκήσεις στο σχολικό τους εγχειρίδιο. Εκτός αυτού, έπρεπε να σχηματίσουν στο μυαλό τους αρχικά τη τρισδιάστατη κατασκευή και μετά να τη μετασχηματίσουν στο ανάπτυγμά της. Αυτό αποτελεί πολύπλοκη νοερή διαδικασία η οποία για να συμπληρωθεί με επιτυχία θα πρέπει οι μαθητές να έχουν αναπτυγμένες τις δεξιότητες οπτικοποίησής τους. Ποιοτική Ανάλυση Συμπεριφοράς των Μαθητών σε Ασκήσεις με τη Χρήση της Εφαρμογής «Οριγκάμι» Συμπλήρωση Αναπτυγμάτων Κύβου Ο μαθητής χαμηλής επίδοσης δυσκολεύτηκε σε μεγάλο βαθμό να συμπληρώσει τα αναπτύγματα κύβου που του δίνονταν στο γραπτό δοκίμιο, ενώ μέσω του λογισμικού κατάφερε, έστω και εάν σε αρχικό επίπεδο χρησιμοποιούσε τα χέρια του για να δείξει πώς θα διπλωθούν οι έδρες για να σχηματιστεί ο κύβος, και συμπλήρωσε την έδρα που υπολείπεται στο σχηματισμένο κύβο. Την ίδια διαδικασία ακολούθησε και σε μη συμπληρωμένο ανάπτυγμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου: δίπλωσε το ανάπτυγμα που του δινόταν (χρησιμοποίησε πάλι τα χέρια του και μετά το λογισμικό) και συμπλήρωσε την έδρα που έλειπε. Σε τέτοια δραστηριότητα στο λογισμικό, ο μαθητής μέτριας επίδοσης δεν εργάστηκε λόγω του ότι την είχε συμπληρώσει ορθά στο γραπτό δοκίμιο. Σχεδιασμός Αναπτυγμάτων Κύβου Οι δυο μαθητές δεν μπόρεσαν να συμπληρώσουν τις ασκήσεις του δοκιμίου που ζητούσαν απαντήσεις πέρα της μιας. Δηλαδή, δεν κατάφεραν να σχεδιάσουν διάφορα αναπτύγματα κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου στο χαρτί. Ο μαθητής χαμηλής επίδοσης δεν ασχολήθηκε με την κατασκευή διαφόρων αναπτυγμάτων του κύβου, αφού ήδη συμπλήρωσε με τη βοήθεια του λογισμικού κάποια δοσμένα αναπτύγματά του, ενώ ο μαθητής μέτριας επίδοσης κατάφερε να σχηματίσει 8 διαφορετικά αναπτύγματα κύβου με το «Οριγκάμι». Πιο συγκεκριμένα, αρχικά σχημάτισε το ανάπτυγμα που βρίσκεται στα σχολικά εγχειρίδια. Έπειτα στο δεύτερο αφαίρεσε μια έδρα στην τύχη από την τρισδιάστατη κατασκευή (δεν τη μετασχημάτισε σε δισδιάστατη) και συμπλήρωσε αναλόγως την έδρα σε άλλη πλευρά. Έτσι, διαπίστωσε όταν το ξεδίπλωσε ότι πρόκειται 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 245

για διαφορετικό ανάπτυγμα που μοιάζει με το προηγούμενο στη ράβδο με τέσσερα τετράγωνα. Για αυτό τα επόμενα του αναπτύγματα, βασίζονταν στη συγκεκριμένη ράβδο όπου είτε πρόσθετε έδρες στη μια μεριά της μόνο, είτε και στις δυο εναλλάξ (σχήμα 1). Σχήμα 1. Αναπτύγματα κύβου Όμως, ο μαθητής μέτριας επίδοσης έφθασε σε ένα σημείο (7 αναπτύγματα) που δεν μπορούσε να τοποθετήσει σε διαφορετικές θέσεις τα δυο τετράγωνα στη ράβδο. Σκέφτηκε λίγο και άρχιζε να δοκιμάζει διάφορες ιδέες. Το ανάπτυγμα που δοκίμασε να συνθέσει αρχικά δεν μπορούσε να συμπληρώσει κύβο (έστω και εάν ήταν έξι τετράγωνα ). Διερωτήθηκε «Μα πού πήγε το άλλο τετράγωνο;». Αφού περίστρεψε τον κύβο και δεν το έβλεπε, σκέφτηκε ότι μάλλον αυτός έκανε λάθος και έβαλε ένα λιγότερο τετράγωνο. Όταν το ξεδίπλωσε διαπίστωσε ότι δεν έλειπε κανένα τετράγωνο. Τότε, του προτάθηκε να το διπλώνει σιγά-σιγά από το αντίστοιχο κουμπί για να παρακολουθήσει που πιθανόν να «χάνεται» το ένα τετράγωνο. Έτσι, παρατήρησε ότι κρύβεται κάτω από μια άλλη πλευρά γι αυτό, όπως δήλωσε, «θα πρέπει να διαγραφεί και να προστεθεί σε αυτή την πλευρά κάποια άλλη». Όταν το ξεδίπλωσε, σχημάτισε ένα διαφορετικό ανάπτυγμα από προηγουμένως (δεν βασιζόταν στη ράβδο με τα τέσσερα τετράγωνα). Προσπάθησε να το αλλάξει και αυτό το ανάπτυγμα αλλά σε όλες του τις προσπάθειες κατέληγε σε αναπτύγματα που ήδη δημιούργησε με τη ράβδο των τεσσάρων τετραγώνων. Συνολικά δημιούργησε 8 αναπτύγματα τα οποία στο χαρτί, όπως δήλωσε «δεν θα μπορούσα να τα σχεδιάσω, αφού είναι πολύ δύσκολα, ενώ με τον ηλεκτρονικό υπολογιστή βλέπεις αν κάνεις λάθος και το βλέπεις και κύβο». Σχεδιασμός Αναπτυγμάτων Ορθογωνίου Παραλληλεπιπέδου Όσον αφορά, το σχηματισμό αναπτυγμάτων ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, οι μαθητές δυσκολεύτηκαν αρκετά και στο λογισμικό. Ο μαθητής χαμηλής επίδοσης κατάφερε να σχηματίσει 4 διαφορετικά αναπτύγματα (μετά από αρκετούς προσπάθειες) βασιζόμενος σε ένα αρχικό ανάπτυγμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου που συμπλήρωσε την έδρα που έλειπε, μετακινώντας κάθε φορά τα τετράγωνα στη ράβδο με τα ορθογώνια. Την ίδια στρατηγική ακολούθησε και ο μαθητής μέτριας επίδοσης ο οποίος συνολικά κατάφερε να σχηματίσει 6 αναπτύγματα. Αλλά, ο μαθητής αυτός αρχικά σύνθεσε μόνος του ορθογώνια σε μια ράβδο (τοποθέτησε στη σειρά) και πρόσθεσε δυο τετράγωνα το ένα στη μια άκρη και το άλλο στην άλλη (βλέπε σχήμα 2). Αυτό το ανάπτυγμα μοιάζει με το πρώτο του ανάπτυγμα στο κύβο, άρα μπορεί να θεωρηθεί ότι για το μαθητή μέτριας επίδοσης το συγκεκριμένο αποτελεί ανάπτυγμα πρωτοτυπικής μορφής. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 246

Σχήμα 2. Αναπτύγματα ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου Στο μαθητή με μέτρια επίδοση, ως επέκταση της πιο πάνω δραστηριότητας, του δόθηκαν αναπτύγματα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου στα οποία είτε έλειπε η μια έδρα, είτε έπρεπε να μετακινηθεί μια έδρα, για να σχηματίζει ανάπτυγμα χωρίς να συγκρούεται, είτε να αφαιρέσει μια έδρα. Ο μαθητής κατασκεύαζε τα αναπτύγματα όπως του δίνονταν και τα δίπλωνε ορίζοντας γωνία δίπλωσης πάντα 90 ο και ακολούθως περιστρέφοντας το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο που σχηματιζόταν προσπαθούσε να βρει το λάθος στο ανάπτυγμα. Αξίζει να σημειωθεί ότι ο μαθητής δυσκολεύτηκε αρκετά στην κατανόηση του ότι το μήκος της μιας πλευράς της έδρας όταν προσθέτεις είτε τετράγωνο είτε ορθογώνιο παραμένει σταθερή. Αυτό διαφάνηκε κυρίως στην επιπρόσθετη άσκηση που ζητούσε να μετακινηθεί η μια έδρα σε άλλο σημείο για να σχηματιστεί ανάπτυγμα (αποτελείτο από ορθογώνια διαφορετικού πλάτους και μήκους από τα δοσμένα του λογισμικού) και δεν μπορούσε με ευκολία να σχηματίσει το ζητούμενο ανάπτυγμα (σχήμα 3). Σχήμα 3. Ανάπτυγμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου μετά τη μετακίνηση έδρας Με λίγα λόγια, οι μαθητές μέσω του λογισμικού, κατάφεραν να απαντήσουν ορθά σε ασκήσεις τις οποίες στο χαρτί έλυναν λάθος και να δώσουν ποικιλία απαντήσεων σε αντίστοιχες ασκήσεις τις οποίες στο χαρτί ελάχιστο τις επεξεργάζονταν. 5. Συμπεράσματα Οι μαθητές του δείγματος είχαν τη μεγαλύτερη επιτυχία σε ασκήσεις σύγκρισης αναπτυγμάτων, αλλά οι αιτιολογήσεις των περισσότερων μαθητών βασιζόταν σε λανθασμένο συλλογισμό (οπτική σύγκριση και μέτρηση τετραγώνων/κύβων που φαίνονται). Η χαμηλότερη επιτυχία σημειώθηκε από τους μαθητές στη σύνθετη άσκηση που απαιτούσε σχεδιασμό αναπτύγματος κουτιού που αποτελείται από 24 κύβους και υπολογισμός των διαστάσεών του. Στην άσκηση αυτή παρατηρήθηκε ότι ένα μεγάλο μέρος των μαθητών κατασκεύαζε μια τρισδιάστατη κατασκευή και όχι ανάπτυγμα. Αυτό πιθανόν να οφείλεται στη δυσκολία τους να μετασχηματίσουν την εικόνα του κουτιού σε ανάπτυγμα με συγκεκριμένες διαστάσεις. Οι μαθητές είχαν ψηλότερο μέσο όρο επιτυχίας στη συμπλήρωση αναπτυγμάτων κύβου πρωτοτυπικής σταυροειδούς μορφής σε σχέση με τη συμπλήρωση αναπτύγματος κύβου μη πρωτοτυπικής μορφής. Αυτό επιβεβαιώνεται και μέσα από τις ερευνητικές εργασίες των Mariotti (1989) και Stylianou et al. (1999), όπου οι μαθητές βρήκαν πιο εύκολο το ανάπτυγμα σταυροειδούς μορφής, αφού αυτό μπορεί κατευθείαν κάποιος να φανταστεί 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 247

πώς διπλώνεται αυτό για να σχηματιστεί κύβος. Επιπρόσθετα, από τους ίδιους επισημαίνεται ότι το ανάπτυγμα που δυσκόλεψε τους μαθητές της παρούσας εργασίας θεωρήθηκε και από τους μαθητές των εργασιών τους δύσκολο, αφού απαιτούνται πολλοί μετασχηματισμοί του κάθε στοιχείου του αναπτύγματος για να οδηγηθεί στον κύβο. Όσον αφορά τις ασκήσεις που αφορούσαν το σχεδιασμό αναπτυγμάτων κύβου και ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, οι περισσότεροι μαθητές κατάφεραν να σχεδιάσουν ένα ανάπτυγμα, αλλά αδυνατούσαν να σχεδιάσουν ποικιλία αυτών. Δεν μπορούσαν να ξεφύγουν από τη μια και μοναδική λύση του προβλήματος, αντίληψη την οποία απόχτησαν μέσα από την εμπειρία τους στα σχολικά μαθηματικά. Οι μαθητές (χαμηλής και μέτριας επίδοσης) μέσω των δυνατοτήτων του λογισμικού DALESΤ (οπτικοποίηση και έλεγχος των απαντήσεων τους), κατάφεραν να λύσουν ορθά ασκήσεις τις οποίες στο γραπτό δοκίμιο είχαν δώσει νωρίτερα λανθασμένες απαντήσεις. Ακόμα, η δημιουργικότητα και η παραγωγικότητα των απαντήσεων των μαθητών διευρύνθηκε, αφού σε ασκήσεις στο χαρτί που ζητούσαν πέραν της μία λύσης, δεν μπόρεσαν να δώσουν σχεδόν καμία απάντηση, ενώ στο λογισμικό κατάφεραν να δώσουν αριθμό (και οι μαθητές χαμηλής και μέτριας επίδοσης) και ποικιλία λύσεων (κυρίως ο μαθητής μέτριας επίδοσης). Επομένως, μέσα από τη χρήση του λογισμικού παρατηρήθηκε ότι οι μαθητές είναι σε θέση να χειριστούν με αποτελεσματικό τρόπο ασκήσεις αναπτυγμάτων τις οποίες στο χαρτί δεν κατάφερναν να επιλύσουν, χρησιμοποιώντας κυρίως τη στρατηγική δοκιμάζω (οπτικοποιώ) και ελέγχω. Η εφαρμογή «Οριγκάμι» του λογισμικού DALEST βοήθησε τους μαθητές να υποδείξουν αριθμό και ποικιλία λύσεων. Αναφορές Αγγλικές Bourgeois, R. D. (1986). Third graders ability to associate foldout shapes with polyedra. Journal for Research in Mathematics Education, 17(3), 222-230. Christou, C., Jones, K., Mousoulides, N. & Pittalis, M. (2006). Developing the 3DMath dynamic geometry software: theoretical perspectives on design. International Journal for Technology in Mathematics Education, 13(4), 168-174. Christou, C., Pittalis, M., Mousoulides, N., Pitta, D., Jones, K., Sendova, E., & Boytchev, P. (2007). Developing an Active Learning Environment for the Learning of Stereometry. Paper presented at the 8th International Conference on Technology in Mathematics Teaching (ICTMT8). Hradec Králové, Czech Republic. Cooper, M. & Sweller, J. (1989). Secondary school students representations of solids. Journal for Research in Mathematics Education, 20(2), 202-212. Gutiérrez, A. (1996). Visualization in 3-dimensional Geometry: in search of a framework. In L. Puig and A. Gutiérrez (Eds.), Proceedings of the 20th Psychology of Mathematics Education Conference (Vol. 1, pp. 3-19). Valencia: Universidad de Valencia. Hershkowitz, R. (1989). Visualization in geometry two sides of the coin. Focus on Learning Problems in Mathematics, 11(1), 61-76. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 248

Jones, K. (2000). Providing a foundation for deductive reasoning: Students interpretations when using dynamic geometry software and their evolving mathematical explanations. Educational Studies in Mathematics, 44, 55-85. Kwon, O.N., Kim, S.H., & Kim, Y. (2001). Enhancing Spatial Visualization through Virtual Reality on the Web: Software Design and Impact Analysis. Proceedings of the 25th PME Conference (Vol.3, pp. 265-272). Utrechr, The Netherlands: Freudenthal Institute. Lawrie, C., Pegg, J., & Gutiérrez, A. (2000). Coding the nature of thinking displayed in responses on nets of solids. In T. Nakahara & M. Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th International Conference for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3, pp. 215-222). Hiroshima, Japan. Maida, P. (2005). Creating two-dimensional nets of three-dimensional shapes using Geometer s Sketchpad. Issues in the Undergraduate Mathematics Preparation of School Teachers: The Journal, 3 (Technology). Retrieved April 22, 2008, from http://www.k-12prep.math.ttu.edu/. Markopoulos, C. & Potari, D. (2005). Using dynamic transformations of solids to promote children's geometrical reasoning. Fourth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp.756-765). Sant Feliu de Guíxols, Spain. Mitchelmore, M. C. (1980). Prediction of development stages in the representation of regular space figures. Journal for Research in Mathematics Education, 11(2), 83-93. National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston,Virginia: NCTM. Parzysz, B. (1991). Representation of space and students conceptions at high school level. Educational Studies in Mathematics, 22(5), 575-593. Potari, D. & Spiliotopoulou, V. (1992). Children s Representations of the development of solids. For the Learning of Mathematics, 12(1), 38-46. Potari, D. & Spiliotopoulou, V. (2001). Patterns in Children s Drawings and Actions While Constructions Nets of Solids: The Case of Conical Surfaces. Focus on Learning Problems in Mathematics, 23(4), 41-62. Presmeg, N. C. (1986). Visualisation in High School Mathematics. For the Learning of Mathematics, 6(3), 42-46. Strong, S., & Smith, R. (2001). Spatial Visualization: Fundamentals and Trends in Engineering Graphics. Journal of Industrial Technology, 18(1), 2-6. Stylianou, D., Leikin, R., & Silver, E. A. (1999). Exploring students solutions strategies in solving a spatial visualization problem involving nets. Proceedings of the 23rd annual conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 4, pp.241-248). Haifa (Israel): Program Committee. Yun, R., Xi, H., & Li, Y (2006). The Experiment of Improving Students Spatial Ability by Using VGLS. In Z. Pan et al. (Eds.), ICAT 2006 (pp. 467 473). Verlag Berlin Heidelberg. Ελληνικές Χρίστου, K., Sendova, E., Matos, J.F., Jones, K., Ζαχαριάδης, T., Πίττα, Δ., Μουσουλίδης, Ν., Πιττάλης, Μ., Boytchev, P., Mesquita, M., Chehlarova, T., & 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 249

Lozanov, C. (2007). Δραστηριότητες στη Στερεομετρία με το λογισμικό DALEST. Κύπρος. 10 o Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 250