Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου ΑΣΚΗΣΗ 1 Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης Ερευνούμε ένα δείγμα 50 καθηγητών του σχολείου μας, ως προς το χαρακτηριστικό: «Πόσες χώρες της Ευρώπης έχουν επισκεφθεί» και σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα: Α) Να παρουσιαστούν τα αποτελέσματα της μέτρησης με κυκλικό διάγραμμα Β) Να βρεθεί η Επικρατούσα τιμή, η Μέση τιμή και η Διάμεσος ΑΣΚΗΣΗ 2 Εξετάσαμε 20 οικογένειες ως προς τον αριθμό των παιδιών που έχουν. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Να βρείτε την επικρατούσα τιμή και τη μέση τιμή Να κατασκευάσετε τον πίνακα αθροιστικών συχνοτήτων και να βρείτε πόσες οικογένειες έχουν λιγότερα από τρία παιδιά.

2 ΑΣΚΗΣΗ 3 Ρωτήσαμε 50 εργαζόμενους μιας εταιρείας ως προς τις μηνιαίες αποδοχές τους. Τα αποτελέσματα φαίνονται στις δύο πρώτες στήλες του παρακάτω πίνακα: Να συμπληρώσετε τις κενές στήλες του παραπάνω πίνακα Να βρείτε την επικρατούσα τιμή Να βρείτε τη μέση τιμή ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένα κείμενο υπαγορεύτηκε σε 80 μαθητές. Από την εξέταση των γραπτών ως προς τα ορθογραφικά λάθη προέκυψε το ραβδόγραμμα του σχήματος. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των λαθών. Να βρείτε τη διάμεσο

3 ΑΣΚΗΣΗ 5 Ρωτήσαμε 50 μαθητές του σχολείου μας για τον αριθμό των μηνυμάτων που στείλανε από το κινητό τους τηλέφωνο κατά τη διάρκεια μιας σχολικής εκδρομής και πήραμε τα παρακάτω αποτελέσματα: Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων, να βρείτε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την επικρατούσα τιμή και να κατασκευάσετε το κατακόρυφο ραβδόγραμμα των συχνοτήτων. ΑΣΚΗΣΗ 6 Εξετάσαμε δείγμα 25 οικογενειών μιας πόλης, ως προς τον αριθμό των παιδιών τους. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Να βρείτε την επικρατούσα τιμή. Να βρείτε τη διάμεσο. Τι ποσοστό οικογενειών έχει τρία παιδιά; Πόσες οικογένειες έχουν μέχρι και δύο παιδιά ΑΣΚΗΣΗ 7 Ρωτήθηκαν 50 μαθητές για τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν κατά τη διάρκεια των διακοπών και σχηματίστηκε ο παρακάτω πίνακας: Να βρεθεί η μέση τιμή, η διάμεσος και το εύρος

4 ΑΣΚΗΣΗ 8 Το ύψος (σε εκατοστά) των 40 μαθητών της Γ τάξης του σχολείου μας έχει καταγραφεί στον παρακάτω πίνακα: Να συμπληρωθεί ο παραπάνω πίνακας Να βρεθεί η μέση τιμή και η διάμεσος ΑΣΚΗΣΗ 9 Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται ο αριθμός ανά ηλικία των οδηγών που προκάλεσαν τα τελευταία 80 τροχαία ατυχήματα. Να βρεθεί η μέση τιμή Να βρεθεί η διάμεσος και η επικρατούσα τιμή

5 ΑΣΚΗΣΗ 10 Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι πωλήσεις σε χιλιάδες ευρώ που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους. Πόσοι είναι όλοι οι πωλητές Να βρεθεί η επικρατούσα τιμή των πωλήσεων και η διάμεσος Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων και να υπολογίσετε τη μέση τιμή Πόσοι πωλητές έκαναν πωλήσεις κάτω από ευρώ ΑΣΚΗΣΗ 11 Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει την κατανομή των κατοίκων της Ελλάδας ως προς την ηλικία Να συμπληρωθεί ο παραπάνω πίνακας Χρησιμοποιήστε τον παραπάνω πίνακα για να βρείτε τη μέση ηλικία των κατοίκων της Ελλάδας. Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα των συχνοτήτων και το πολύγωνο των συχνοτήτων

6 ΑΣΚΗΣΗ 12 Ο καθηγητής των Μαθηματικών στο διαγώνισμα της Στατιστικής που έβαλε στην τρίτη τάξη, παρουσίασε μέσο όρο βαθμολογίας 9. Για να βοηθήσει τους μαθητές του έκανε δύο σκέψεις: Α) Να προσθέσει το 2 στο βαθμό κάθε γραπτού Β) Να αυξήσει τη βαθμολογία κάθε γραπτού κατά 10% Να βρείτε πως επιδρά η κάθε μια από τις παραπάνω παρεμβάσεις στη μέση τιμή της βαθμολογίας. Ποια από τις δύο παραπάνω σκέψεις πρέπει να ακολουθήσει ο καθηγητής ώστε να βοηθήσει περισσότερο τους μαθητές; ΑΣΚΗΣΗ 13 Σε ένα διαγώνισμα των μαθηματικών, στην τρίτη τάξη είχαμε τα παρακάτω αποτελέσματα: Ο μέσος βαθμός των 36 αγοριών είναι 12 Ο μέσος βαθμός των 24 κοριτσιών είναι 17 Να βρεθεί ο μέσος βαθμός όλων των μαθητών της τρίτης τάξης. ΑΣΚΗΣΗ 14 Το τμήμα ΓΗΕ και το τμήμα ΓΗΑ συμπτύσσονται στο μάθημα των μαθηματικών και δημιουργούν το τμήμα ΓΗ των ηλεκτρολόγων. Ο μέσος βαθμός στα Μαθηματικά των 12 μαθητών του ΓΗΕ είναι 14 Ο μέσος βαθμός στα Μαθηματικά των 8 μαθητών του ΓΗΑ είναι 19 Να βρεθεί ο μέσος βαθμός των μαθητών του τμήματος ΓΗ όλων των ηλεκτρολόγων. ΑΣΚΗΣΗ 15 Η ομάδα μπάσκετ αγοριών, του σχολείου μας αποτελείται από 10 παίκτες και έχει μέσο ύψος 192 εκατοστά. Στον τελευταίο αγώνα έλλειπε ένας παίκτης με ύψος 198 εκατοστά και αντικαταστάθηκε από άλλον που είχε ύψος 188 εκατοστά. Να βρείτε το μέσο ύψος που είχε η ομάδα μας στον αγώνα αυτό.

7 ΑΣΚΗΣΗ 16 Σε διαγώνισμα στο μάθημα της στατιστικής οι 18 μαθητές του τμήματος ΓΥΝ πήραν μέσο βαθμό 9. Το διαγώνισμα θεωρήθηκε αποτυχημένο και αποφασίστηκε να επαναληφθεί. Κατά την επανάληψη του 6 μαθητές έγραψαν κατά τρεις μονάδες καλύτερα από το πρώτο, άλλοι 9 μαθητές έγραψαν κατά δύο μονάδες καλύτερα από το πρώτο και οι υπόλοιποι ξαναπήραν τον ίδιο βαθμό. Να βρεθεί ο μέσος βαθμός του τμήματος στο δεύτερο διαγώνισμα. ΑΣΚΗΣΗ 17 Η τρίτη τάξη του σχολείου μας αποτελείτε από 28 κορίτσια και 22 αγόρια. Αν τα κορίτσια ξοδεύουν κατά μέσο όρο 10 ευρώ την εβδομάδα και τα αγόρια 15 ευρώ, να βρείτε πόσα ευρώ ξοδεύουν κατά μέσο όρο οι μαθητές της τρίτης τάξης. ΑΣΚΗΣΗ 18 Οι 60 μαθητές της Γ τάξης του σχολείου μας έγραψαν 2 διαγωνίσματα στο μάθημα της Στατιστικής. Στο πρώτο ο μέσος βαθμός τους ήταν 13. Στο δεύτερο διαγώνισμα, 40 μαθητές έγραψαν κατά τέσσερις μονάδες καλύτερα, 10 μαθητές κατά μια μονάδα χειρότερα και οι υπόλοιποι πήραν τον ίδιο βαθμό. Να βρείτε το μέσο βαθμό στο δεύτερο διαγώνισμα.

8 Κι άλλες ασκήσεις 1. Ο αριθμός των δωματίων σε δείγμα 120 διαμερισμάτων φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. xi Σύνολο 120 fi Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διάμεσος της κατανομής. Να δικαιολογήσετε ποιο μέτρο είναι καταλληλότερο για την περιγραφή της κατανομής 2. Στον παρακάτω πίνακα φαίνεται ο αριθμός συγγενών και φίλων με τους οποίους ανταλλάσσουν επισκέψεις τουλάχιστον μια φορά το μήνα 70 άτομα μιας επαρχιακής πόλης. Τάξεις Σύνολο 70 fi Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η διάμεσος της κατανομής. Να δικαιολογήσετε ποιο μέτρο είναι καταλληλότερο για την περιγραφή της κατανομής 3. Η μέση ηλικία 50 πρωθυπουργών μιας χώρας είναι 69 χρόνια, 100 υπουργών 62 χρόνια και 435 βουλευτών 45 χρόνια. Να βρεθεί η μέση ηλικία των παραπάνω πολιτικών

9 4. Παρακάτω δίνονται οι μηνιαίες ποσοστιαίες μεταβολές στην αξία ενός επενδυτικού προϊόντος μιας τράπεζας στη διάρκεια ενός έτους Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των μεταβολών. Να δικαιολογήσετε ποιο μέτρο είναι καταλληλότερο για την περιγραφή της κατανομής 5. Για την εισαγωγή ενός μαθητή στο πανεπιστήμιο, μελετάτε ένα νέο σύστημα, όπου ο βαθμός του απολυτηρίου του Λυκείου με συντελεστή βαρύτητας 7,5 συμψηφίζεται με ένα τεστ δεξιοτήτων με συντελεστή βαρύτητας 1, με το βαθμό στο 1 ο βασικό μάθημα με συντελεστή βαρύτητας 1 και με το βαθμό στο 2 ο βασικό μάθημα με συντελεστή βαρύτητας 0,5. Να υπολογίσετε τη μέση βαθμολογία ενός μαθητή με απολυτήριο Λυκείου 17.1, βαθμό στο τεστ δεξιοτήτων 18.2 και βαθμολογίες στο 1 ο και στο 2 ο μάθημα 15.6 και 16.8 αντίστοιχα. 6. Παρακάτω δίνονται οι μέσες τιμές και οι διάμεσοι των μισθών των εργαζομένων σε δυο ανταγωνιστικές εταιρίες Α και Β Εταιρία A B Μέση τιμή μισθού 40,000 38,500 Διάμεσος μισθού 37,000 39,000 Αν υποθέσουμε ότι οι ικανότητες των εργαζομένων είναι περίπου ίδιες στις 2 εταιρίες, τότε: a) Ποια εταιρία προσφέρει καλύτερες αποδοχές σε έναν υπάλληλο με αυξημένα προσόντα; Δικαιολογήστε την απάντηση σας b) Σε ποια εταιρία ένας μέσος εργαζόμενος θα κερδίζει περισσότερα; Δικαιολογήστε την απάντηση σας

10 7. Στον παρακάτω πίνακα δίνεται ο αριθμός των επισκέψεων 70 φοιτητών στον κινηματογράφο, το τελευταίο τρίμηνο. Να υπολογιστούν : η μέση τιμή, η διάμεσος Επισκέψεις fi < Σύνολο Δίνεται ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων ο οποίος δείχνει τα ποσά ανόδου των μετοχών στο Χρηματιστήριο Αξιών Αθηνών την 20 η Απριλίου Nα υπολογιστούν ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος, τα τεταρτημόρια της κατανομής. Ποιο μέτρο θέσης προτιμάτε; Ποσό Ανόδου fi x< x< x< x< x< x<6 4 6 x< x< x< 9 1 Σύνολο 64

11 9. Ο υπεύθυνος επιθεώρησης μίας τράπεζας συλλέγει ένα τυχαίο δείγμα από 60 πελάτες του υποκαταστήματος και καταγράφει το ποσό των καταθέσεών τους (σε Eυρώ, στρογγυλοποιημένο στην πλησιέστερη δεκάδα). Τα δεδομένα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Να υπολογιστούν ο αριθμητικός μέσος, η διάμεσος, τα τεταρτημόρια της κατανομής. Τάξεις fi Σύνολο 60 Στην περίπτωση που η πολιτεία προχωρήσει σε επιβολή φορολογίας των καταθέσεων η οποία ανέρχεται στο 10% του ύψους των καταθέσεων, καθώς επίσης και στην επιβολή πάγιου τέλους που ανέρχεται σε 50 ευρώ, να υπολογισθεί ο αριθμητικός μέσος και η διάμεσος του ύψους των καταθέσεων στο δείγμα μετά την επιβολή της φορολογίας και του πάγιου τέλους.

12 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

13 Στην περίπτωση ομαδοποιημένων μεταβλητών η διάμεσος βρίσκεται από το ιστόγραμμα των αθροιστικών συχνοτήτων. Αλγεβρικά η διάμεσος δίνεται από τον τύπο: N δ = L i + 2 F i 1 h i f i Li το κατώτερο όριο της κλάσης που περιέχει την διάμεσο, fi η συχνότητα και hi το πλάτος της κλάσης αντίστοιχα, Fi 1 η αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης κλάσης N το μέγεθος του δείγματος. Ενδοτεταρτημοριακό εύρος Τεταρτημόρια N Q=Q3 Q1 Q1= L i + 4 F i 1 3 N h i Q2 = L i + 4 F i 1 h i f i f i Li το κατώτερο όριο της κλάσης που περιέχει το αντίστοιχο τεταρτημόριο, fi η συχνότητα και hi το πλάτος της κλάσης αντίστοιχα, Fi 1 η αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης κλάσης N το μέγεθος του δείγματος. Δείτε επίσης: Γ.Μαντζώλας Ασκήσεις Στατιστικής