Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ

Επίλυση Προβληµάτων Αναλογίας Η ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΕΚΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ Μαρία Ηροδότου, Πολίνα Ιωάννου, Κατερίνα Κοντογιάννη, Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η διερεύνηση της ύπαρξης σχέσης ανάµεσα στα αριθµητικά και τα λεκτικά προβλήµατα αναλογίας και η εξέταση του εύρους των στρατηγικών των Κύπριων µαθητών Ε και Στ τάξης ηµοτικού. Τα αποτελέσµατα της έρευνας φανερώνουν ότι τα αριθµητικά και τα λεκτικά προβλήµατα αναλογίας αντιµετωπίζονται διαφορετικά από τους µαθητές. Όσον αφορά τις στρατηγικές για την επίλυση των αριθµητικών αναλογικών προβληµάτων, οι µαθητές της Ε φαίνεται να προτιµούν την εύρεση του παράγοντα αλλαγής, ενώ οι µαθητές της Στ την εύρεση του παράγοντα αλλαγής και τη µέθοδο των τριών. Επίσης διαπιστώνεται ότι µεγάλο ποσοστό των µαθητών και των δύο τάξεων δεν έχουν ολοκληρωµένη αντίληψη των σχέσεων που διέπουν µια αναλογία. 1.Εισαγωγή Η αναλογία αποτελεί θεµελιώδη έννοια του αναλυτικού προγράµµατος των Μαθηµατικών αφού αποδεδειγµένα προωθεί την ανάπτυξη της µαθηµατικής σκέψης (Confrey & Smith, 1995, Nabors, 2003). Ως έννοια πρωτοεµφανίζεται στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου σε λεκτικά προβλήµατα πολλαπλασιασµού και διαίρεσης. Σταδιακά αναπτύσσεται σε καταστάσεις που περιλαµβάνουν ισοδυναµία ή σύγκριση κλασµάτων για να καταλήξει υπό µορφή βασικής γνώσης για την ανάπτυξη αλγεβρικών σχέσεων, τριγωνοµετρίας και θεωρίας πιθανοτήτων (Παπαγεωργίου & Χρίστου, 1999). Παρά το γεγονός ότι η αναλογία ως έννοια εµφανίζεται νωρίς στο αναλυτικό πρόγραµµα των µαθηµατικών, µεγάλος αριθµός ερευνών έδειξε ότι αποτελεί µια δύσκολη περιοχή για τους µαθητές (Nabors, 2003). Οι Post, Behr και Lesh (1988) υποστηρίζουν ότι µικρός αριθµός µαθητών µέσης εκπαίδευσης κάνουν ορθή χρήση του αναλογικού συλλογισµού, κάτι το οποίο παρατηρείται σε µεγάλο βαθµό και στην ανώτερη εκπαίδευση (Lawton, 1993). Παράλληλα υπάρχουν στοιχεία που δείχνουν ότι ένα µεγάλο ποσοστό του πληθυσµού δεν κατακτά επαρκώς την αναλογική σκέψη (Hoffer, 1988). Η αναλογία είναι µια σχέση δεύτερης τάξης, η οποία περιλαµβάνει µια ισοδύναµη τάξη µεταξύ δύο λόγων (Christou & Philippou, 2002), π.χ. α/β=γ/δ. Η αναλογία περιλαµβάνει τέσσερα στοιχεία, όπου το είδος της σχέσης ανάµεσα τους καθορίζει το είδος της στρατηγικής που θα χρησιµοποιηθεί για την επίλυση 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 55

Μ. Ηροδότου κ.ά. προβληµάτων (Lamon, 1994). Οι σχέσεις αυτές χωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες: τις σχέσεις «εντός» (within), δηλαδή σχέσεις ποσοτήτων ιδίου είδους, και σχέσεις «εκτός» (between), δηλαδή σχέσεις αντίστοιχων ποσοτήτων διαφορετικού είδους (Kaput & West, 1994). Για παράδειγµα, στο πρόβληµα «Αν 3 κιλά πατάτες στοιχίζουν 90 σεντ, πόσο θα στοιχίζουν 12 κιλά;», υπάρχουν δύο µετρικοί χώροι, αυτός των κιλών και αυτός των χρηµάτων. Οι σχέσεις «εντός» αναφέρονται στη σύγκριση οµοειδών ποσοτήτων (π.χ κιλά µε κιλά) ενώ οι σχέσεις «εκτός» αναφέρονται στη σύγκριση διαφορετικού είδους ποσοτήτων (κιλά µε χρήµατα). O Ben-Chaim (1998) αναφέρει τρία είδη έργων που απαιτούν αναλογικό συλλογισµό: προβλήµατα άγνωστης ποσότητας (missing value problems), όπου δίνονται τα τρία στοιχεία µιας αναλογίας και ζητείται το τέταρτο, προβλήµατα αριθµητικής σύγκρισης (numerical comparison problems), όπου δίνονται και οι δύο λόγοι της αναλογίας και ο µαθητής καλείται να τους συγκρίνει και προβλήµατα σύγκρισης και ποιοτικής πρόβλεψης (qualitative prediction and comparison problems), τα οποία απαιτούν συγκρίσεις που δεν στηρίζονται σε συγκεκριµένες αριθµητικές τιµές. Λόγω της µεγάλης σηµασίας της αναλογικής σκέψης πολυάριθµες έρευνες έχουν διερευνήσει τις ορθές και λανθασµένες στρατηγικές των µαθητών στην προσπάθεια τους να επιλύσουν αναλογικά προβλήµατα άγνωστης ποσότητας (Christou & Philippou, 2002; Karplus, Pulos & Stage, 1983; Kaput & West, 1994; Tourniaire & Pulos, 1985). Με βάση τη βιβλιογραφία οι στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων αναλογίας χωρίζονται µε βάση τη δοµή τους, σε στρατηγικές µε πολλαπλασιαστική και σε στρατηγικές µε προσθετική δοµή (Tourniaire & Pulos, 1985). Στην πρώτη κατηγορία ανήκουν η αναγωγή στη µονάδα, ο παράγοντας αλλαγής, η µέθοδος των τριών και τα ισοδύναµα κλάσµατα (Bart, Post, Behr, & Lesh, 1994). Η δεύτερη κατηγορία αφορά στρατηγικές επαναλαµβανόµενης πρόσθεσης οι οποίες αποτελούν άτυπη µορφή αναλογικού συλλογισµού (Christou & Philippou, 2002), όπως οι κλάσεις ισοδυναµίας και η δηµιουργία ζευγαριών (Bart et al., 1994). Η εφαρµογή καθεµιάς από τις στρατηγικές εξαρτάται άµεσα από το είδος του προβλήµατος και από τις σχέσεις που διέπουν τα αριθµητικά του δεδοµένα (Christou & Philippou, 2002;Karplus, Pulos & Stage, 1983; Tourniaire & Pulos, 1985). Η πιο συνηθισµένη προσέγγιση για την επίλυση αναλογικών προβληµάτων άγνωστης ποσότητας που συναντά κανείς στα µαθηµατικά εγχειρίδια της Κύπρου είναι η µέθοδος των τριών (Christou & Philippou, 2002), η οποία αποτελεί ένα µνηµονικό κανόνα για την επίλυση αναλογικών προβληµάτων και έρχεται σε αντίθεση µε τις άτυπες διαισθητικές στρατηγικές των µαθητών (Kaput & West, 1994). Η προσθετική στρατηγική είναι η πιο κοινή λανθασµένη στρατηγική στη βιβλιογραφία σε σχέση µε τις αναλογίες (Inhelder & Piaget, 1958; Hart, 1984). Ειδικότερα οι Misailidou και Williams (2003) κατασκεύασαν ένα εργαλείο διαγνωστικής αξιολόγησης αναλογικού συλλογισµού των µαθητών το οποίο µετρούσε, ανάµεσα σε άλλα, την τάση των µαθητών για εφαρµογή προσθετικής στρατηγικής. Πολλά µοντέλα (Droujkova & Berenson, 2003) παρουσιάζουν άµεσες συνδέσεις ανάµεσα στον αναλογικό συλλογισµό στα µαθηµατικά και στη ψυχολογία. Στα µαθηµατικά χρησιµοποιείται ο όρος proportional reasoning, ενώ στον τοµέα της ψυχολογίας, ο όρος που χρησιµοποιείται είναι analogical reasoning. Στην ελληνική 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 56

Επίλυση Προβληµάτων Αναλογίας γλώσσα ο όρος αναλογικός συλλογισµός χρησιµοποιείται και στους δύο τοµείς, κάτι το οποίο ακολουθήσαµε κατά τη συγγραφή της παρούσας έρευνας. Στις περιπτώσεις που απαιτείτο διάκριση, έγινε χρήση των όρων αριθµητικά και λεκτικά προβλήµατα αναλογίας για τα προβλήµατα που αφορούσαν τους τοµείς των µαθηµατικών και της ψυχολογίας αντίστοιχα. Οι Piaget και Campbell (2001) αναφέρουν: «οι λεκτικές αναλογίες (analogies) είναι ένα είδος ποιοτικής µαθηµατικής αναλογίας (proportion). Πρόκειται για σχέσεις ανάµεσα σε σχέσεις»(σ. 139). Ο αναλογικός συλλογισµός περιλαµβάνει σηµαντικές δοµικές σχέσεις και συνδέσεις ανάµεσα σε καταστάσεις ή ιδέες (English & Sharry, 1996). Οι λεκτικές αναλογίες µπορούν να σχηµατιστούν µε πολλούς τρόπους και εµπεριέχουν ποικίλες σηµασιολογικές σχέσεις ανάµεσα στις έννοιες σε διάφορα επίπεδα (Hoffman, 1998). Οι σχέσεις αυτές καλύπτουν ένα ευρύ φάσµα, από έννοιες που τις συνδέουν επιφανειακά χαρακτηριστικά (π.χ. οµόηχες λέξεις ή λέξεις µε ίδιο αριθµό γραµµάτων), σχέσεις οµοιότητας και διαφοράς, µέχρι έννοιες που τις συνδέουν πιο ψηλού επιπέδου χαρακτηριστικά (π.χ. τοποθεσία, λειτουργία, αλλαγή κατάστασης) (Sternberg, 1977). Μια τυπική µορφή έργου λεκτικής αναλογίας παρουσιάζεται ως Α:Β::Γ:. όπου η σχέση που ενώνει τις έννοιες Α και Β του πρώτου ζεύγους µεταφέρεται στις έννοιες Γ και του δεύτερου ζεύγους. Άγνωστο στοιχείο µπορεί να είναι µια από τις τέσσερις έννοιες ή και το ένα ζεύγος. Ένα παράδειγµα λεκτικής αναλογίας στο οποίο οι έννοιες συνδέονται σύµφωνα µε την τοποθεσία τους είναι το ακόλουθο: Φαρµακείο: Φάρµακα :: Φρουταρία: Φρούτα (Hoffman, 1998). Υπάρχουν στοιχεία που καταδεικνύουν τη σύνδεση ανάµεσα στον λεκτικό αναλογικό συλλογισµό και τη µάθηση (Vosniadou, 1989), τη διδασκαλία (Alexander, Willson, White & Fuqua, 1987) και την ευφυΐα ή δηµιουργικότητα (Marr& Sternberg, 1986). Ωστόσο δεν έχουν γίνει σε µεγάλο βαθµό προσπάθειες για τη διερεύνηση της ύπαρξης σχέσης ανάµεσα στα αριθµητικά και τα λεκτικά προβλήµατα αναλογίας, κάτι που θα αποτελέσει σκοπό αυτής της έρευνας. 2. Η Έρευνα Σκοπός της έρευνας- Ερωτήµατα Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να διερευνήσει την ύπαρξη σχέσης ανάµεσα στα αριθµητικά και στα λεκτικά προβλήµατα αναλογίας και να εξετάσει το εύρος των στρατηγικών που εφαρµόζουν οι Κύπριοι µαθητές Ε και Στ ηµοτικού σχολείου στα αριθµητικά αναλογικά προβλήµατα. Πιο συγκεκριµένα, τα ερωτήµατα της έρευνάς µας ήταν οι ακόλουθες: Ε1: Υπάρχει σχέση ανάµεσα στα αριθµητικά και στα λεκτικά προβλήµατα αναλογίας; Ε2: Ποιες στρατηγικές χρησιµοποιούν οι µαθητές όταν λύνουν αριθµητικά αναλογικά προβλήµατα άγνωστης ποσότητας και ποιες διαφοροποιήσεις υπάρχουν ανάλογα µε την τάξη; 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 57

Μ. Ηροδότου κ.ά. Υποκείµενα Υποκείµενα της έρευνας αποτέλεσαν 301 µαθητές της Ε τάξης και Στ τάξης διαφορετικών δηµοτικών σχολείων της Κύπρου. Συγκεκριµένα, το δείγµα της έρευνας αποτελούνταν από 139 µαθητές 10 ετών (Ε τάξη) και 162 µαθητές 11 ετών (Στ τάξη). Μέσα Συλλογής εδοµένων Για τη συλλογή των δεδοµένων χρησιµοποιήθηκε ένα δοκίµιο, το οποίο χορηγήθηκε και στους 301 µαθητές. Το δοκίµιο περιλάµβανε 8 διαφορετικά αναλογικά προβλήµατα (βλ. Παράρτηµα), τέσσερα αριθµητικά (άγνωστης ποσότητας) και τέσσερα λεκτικά προβλήµατα. Τα αριθµητικά προβλήµατα µπορούν να κατηγοριοποιηθούν ανάλογα µε τις σχέσεις των όρων τους. Το πρόβληµα 1 περιλαµβάνει ακέραιες πολλαπλασιαστικές σχέσεις «εντός» και «εκτός». Το πρόβληµα 2 περιλαµβάνει ακέραιες πολλαπλασιαστικές σχέσεις «εκτός». Το πρόβληµα αυτό ήταν παραλλαγή του προβλήµατος «onion soup» που χρησιµοποιήθηκε σε έρευνα των Hard et al. (1984). Το πρόβληµα 4 περιλαµβάνει ακέραιες πολλαπλασιαστικές σχέσεις «εντός», ενώ το πρόβληµα 3 δεν περιέχει ακέραιες πολλαπλασιαστικές σχέσεις ανάµεσα στους όρους του. Οι µαθητές για να βρουν την απάντηση σε κάθε πρόβληµα έπρεπε να συγκρίνουν τους λόγους που προκύπτουν από τα αριθµητικά δεδοµένα χρησιµοποιώντας ακέραιες «εντός» και «εκτός» σχέσεις ή άλλες αλγοριθµικές διαδικασίες. Ζητήθηκε επίσης να επεξηγήσουν τον τρόπο που χρησιµοποίησαν για την επίλυση κάθε προβλήµατος. Σκόπιµα οι αριθµοί που χρησιµοποιήθηκαν στα προβλήµατα ήταν σχετικά µικροί, αφού στόχος µας δεν ήταν οι πολύπλοκες αλγοριθµικές διαδικασίες από µέρους των παιδιών αλλά η µελέτη των στρατηγικών που θα χρησιµοποιούσαν. Τα λεκτικά προβλήµατα είχαν ως στόχο να εξετάσουν τον τρόπο µε τον οποίο σχετίζονται µεταξύ τους οι λέξεις της γλώσσας. Στο καθένα από τα προβλήµατα παρουσιάζονταν δύο ζευγάρια λέξεων και οι µαθητές καλούνταν να βρουν τη σχέση που υπάρχει ανάµεσα στις λέξεις του πρώτου ζευγαριού, ώστε να συµπληρώσουν τα κενά που υπήρχαν στο άλλο ζευγάρι. Για κάθε κενό δίνονταν τρεις εναλλακτικές λέξεις. Στα δύο πρώτα λεκτικά προβλήµατα, οι µαθητές έπρεπε να συµπληρώσουν τη δεύτερη λέξη του δεύτερου ζευγαριού, ενώ στα επόµενα δύο έπρεπε να συµπληρώσουν ολόκληρο το δεύτερο ζευγάρι. Μεταβλητές-Στατιστικές τεχνικές Οι απαντήσεις σε κάθε αριθµητικό πρόβληµα του δοκιµίου κωδικοποιήθηκαν ως εξής: Ορθή ή λανθασµένη απάντηση (Pa) Ορθή ή λανθασµένη εξήγηση (Pe) Το είδος της στρατηγικής (Sa,Sb,Sc,Sd,Se). Οι αριθµοί αυτοί αντιστοιχούν: Sa: Στη µέθοδο των τριών Sb: Στον παράγοντα αλλαγής Sc: Στην αναγωγή στη µονάδα Sd: Στην προσθετική στρατηγική (Λανθασµένη στρατηγική) Se: Στην επαναλαµβανόµενη πρόσθεση (building-up) 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 58

Επίλυση Προβληµάτων Αναλογίας Οι απαντήσεις σε κάθε λεκτικό πρόβληµα του δοκιµίου κωδικοποιήθηκαν ως εξής: Ορθή ή λανθασµένη απάντηση (Α) Έτσι, για παράδειγµα η µεταβλητή Pa1 αφορά την επίλυση του πρώτου αριθµητικού προβλήµατος, η µεταβλητή Sa2 αναφέρεται στην χρήση της µεθόδου των τριών στο δεύτερο αριθµητικό έργο, ενώ η µεταβλητή Α3, αναφέρεται στη συµπλήρωση του τρίτου λεκτικού αναλογικού προβλήµατος. Ως προς τη βαθµολόγηση, όλες οι µεταβλητές έπαιρναν τιµές 0 και 1. Έτσι, η σηµασία των τιµών διαµορφώθηκε ως εξής: για την επίλυση Λάθος:0, Σωστό:1, για την εξήγηση, Χωρίς/Λανθασµένη Εξήγηση:0, Ορθή Εξήγηση:1 και για τις στρατηγικές, Μη χρήση συγκεκριµένης στρατηγικής:0, Χρήση συγκεκριµένης στρατηγικής:1. Για τη στατιστική ανάλυση των δεδοµένων χρησιµοποιήθηκε το στατιστικό πακέτο SPSS (t-test, independent groups) και το πρόγραµµα CHIC (Bodin, Coutourier, & Grass, 2000) από το οποίο χρησιµοποιήθηκαν το συνεπαγωγικό διάγραµµα και το διάγραµµα οµοιότητας. Τα διαγράµµατα οµοιότητας παρουσιάζουν οµάδες µεταβλητών που δηµιουργούνται µε βάση οµοιότητες στις απαντήσεις των µαθητών σε αυτές τις µεταβλητές. Οι αλυσίδες συνεπαγωγής παρουσιάζουν συνεπαγωγές ανάµεσα στις διάφορες µεταβλητές της µορφής Α Β, όπου επιτυχία στην ερώτηση Α συνεπάγεται την επιτυχία στην ερώτηση Β. 3. Ποσοτική Ανάλυση των εδοµένων Ο δείκτης αξιοπιστίας του δοκιµίου ήταν ικανοποιητικός (a=0.656). Για το λόγο αυτό προχωρήσαµε σε περαιτέρω ανάλυση των δεδοµένων. Η επίδοση των µαθητών σε κάθε είδος προβλήµατος παρουσίασε διαφοροποιήσεις ως προς την τάξη (Πίνακας 1). Συγκεκριµένα η επίδοση των µαθητών της Στ τάξης ήταν πιο ψηλή σε όλα τα έργα του δοκιµίου, τόσο στα αριθµητικά προβλήµατα ( X Ε =0,42, X Στ =0,66) όσο και στα λεκτικά προβλήµατα ( X Ε =0,45, X Στ =0,58). Από τους µέσους όρους επιτυχίας στα αριθµητικά προβλήµατα φαίνεται ότι πιο δύσκολο έργο και για τις δυο τάξεις αποτέλεσε το πρόβληµα τρία ενώ πιο εύκολο το πρόβληµα ένα. Όσον αφορά τα λεκτικά προβλήµατα πιο δύσκολο ήταν το πρόβληµα δύο και για τις δύο τάξεις ενώ πιο εύκολο το πρόβληµα ένα. Μια πιο λεπτοµερής σύγκριση των επιδόσεων των µαθητών των δύο τάξεων, φανερώνει ότι υπάρχει στατιστικά σηµαντική διαφορά στην επίδοση των µαθητών στα αριθµητικά προβλήµατα (t=-6,57; p<0,01), µε τους µαθητές της Στ τάξης να είναι καλύτεροι από αυτούς της Ε τάξης. Η διαφορά στα λεκτικά προβλήµατα είναι εξίσου σηµαντική (t=- 4,06; p<0,01), αφού και πάλι παρατηρείται καλύτερη επίδοση στους µαθητές της Στ τάξης συγκριτικά µε τους µαθητές της Ε τάξης. Τα αποτελέσµατα αυτά µας επιτρέπουν να συµπεράνουµε ότι η επίδοση των µαθητών στα προβλήµατα του δοκιµίου εξαρτάται από την τάξη στην οποία φοιτούν οι µαθητές. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 59

Μ. Ηροδότου κ.ά. Πίνακας 1: Οι µέσοι όροι επιτυχίας στα οκτώ προβλήµατα του δοκιµίου Είδος Προβλήµατος Αριθµητικά Λεκτικά Πρόβληµα Ε Στ Ε Στ 1 0,80 0,84 0,78 0,81 2 0,30 0,62 0,27 0,35 3 0,26 0,53 0,35 0,54 4 0,32 0,65 0,38 0,61 Σύνολο 0,42 0,66 0,45 0,58 Οι στρατηγικές που χρησιµοποίησαν κυρίως οι µαθητές για την επίλυση των αριθµητικών προβληµάτων του δοκιµίου ήταν η µέθοδος των τριών, η εύρεση του παράγοντα αλλαγής, η αναγωγή στην µονάδα και η επαναλαµβανόµενη πρόσθεση (Πίνακας 2). Μια από τις λανθασµένες στρατηγικές που χρησιµοποιήθηκε από τους µαθητές είναι η προσθετική στρατηγική. Οι υπόλοιπες λανθασµένες στρατηγικές δεν κατηγοριοποιήθηκαν ξεχωριστά λόγω του χαµηλού ποσοστού εµφάνισης τους αλλά οµαδοποιήθηκαν στην κατηγορία «Άλλη λανθασµένη στρατηγική». Ξεχωριστή κατηγορία αποτέλεσε η απουσία στρατηγικής, στην οποία εντάχθηκαν οι απαντήσεις χωρίς επίδειξη συγκεκριµένης στρατηγικής και οι κενές απαντήσεις. Η µέθοδος των τριών χρησιµοποιείται σε µεγαλύτερο ποσοστό, σε όλα τα αριθµητικά προβλήµατα, από τους µαθητές της Στ τάξης ( X Ε =0,03, X Στ =0,25) ενώ οι υπόλοιπες στρατηγικές χρησιµοποιούνται στον ίδιο βαθµό από τους µαθητές και των δύο τάξεων. Η εύρεση του παράγοντα αλλαγής αποτελεί την πιο δηµοφιλή στρατηγική για τους µαθητές και των δύο τάξεων. Η στρατηγική αυτή παρατηρήθηκε κυρίως στο πρόβληµα 1, όπου οι ακέραιες σχέσεις που περιλάµβανε το πρόβληµα βοήθησαν τους µαθητές και των δύο τάξεων στην εύρεση του παράγοντα αλλαγής. Πρόβληµα Μέθοδος των τριών (Sa) Παράγ. Αλλαγής (Sb) Αναγωγή στη µονάδα (Sc) Στρατηγικές Επαναλ. Πρόσθεση (Se) Προσθετική Στρατηγική (Sd) Άλλη λανθασµένη στρατηγική Απουσία στρατηγικής Ε Στ Ε Στ Ε Στ Ε Στ Ε Στ Ε Στ Ε Στ 1 0,02 0,19 0,68 0,62-0,02-0,01 0,01 0,02 0,12 0,06 0,17 0,08 2 0,01 0,23 0,11 0,12 0,09 0,09 0,07 0,15 - - 0,42 0,22 0,30 0,19 3 0,04 0,30 0,06 0,10 0,14 0,15 0,01 0,01 0,27 0,09 0,19 0,10 0,29 0,25 4 0,04 0,26 0,26 0,35 0,02 0,02 0,01 0,01 0,04 0,02 0,24 0,09 0,39 0,25 Σύνολο 0,03 0,25 0,28 0,30 0,06 0,07 0,02 0,05 0,08 0,03 0,24 0,25 0,29 0,19 Πίνακας 2: Οι µέσοι όροι χρήσης των στρατηγικών στα αριθµητικά προβλήµατα του δοκιµίου Η προσθετική στρατηγική παρατηρήθηκε σε σχετικά µεγάλο ποσοστό ( X =0,27) στο πρόβληµα 3 από τους µαθητές της Ε τάξης, κατάσταση που ίσως να οφείλεται στη δυσκολία που συνάντησαν στο συγκεκριµένο πρόβληµα, η οποία φαίνεται από το χαµηλό ΜΟ επιτυχίας του προβλήµατος. Οι περισσότεροι µαθητές της 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 60

Επίλυση Προβληµάτων Αναλογίας Στ τάξης που επίλυσαν το συγκεκριµένο πρόβληµα το έλυσαν µε τη χρήση της µεθόδου των τριών. Στο διάγραµµα οµοιότητας 1, παρουσιάζονται οι απαντήσεις που έδωσαν οι µαθητές της Ε τάξης σε όλα τα προβλήµατα του δοκιµίου και οι επεξηγήσεις τους στα αριθµητικά προβλήµατα αναλογίας. Με βάση τις απαντήσεις των µαθητών στα έργα αυτά, σχηµατίζονται δύο οµάδες οµοιότητας, ανεξάρτητες µεταξύ τους. Στην πρώτη οµάδα οµαδοποιούνται οι απαντήσεις και οι επεξηγήσεις των αριθµητικών αναλογικών προβληµάτων 1 και 4 µαζί µε το 3 ο λεκτικό πρόβληµα, ενώ η δεύτερη οµάδα αποτελείται από τα προβλήµατα και τις επεξηγήσεις των αριθµητικών προβληµάτων 1 και 4 µαζί µε τα λεκτικά προβλήµατα 1,2 και 4. Έτσι, φαίνεται ότι οι µαθητές αντιµετώπισαν τα προβλήµατα της πρώτης οµάδας διαφορετικά από τα προβλήµατα της δεύτερης οµάδας. Μεταξύ των οµάδων, φαίνεται να υπάρχει µια συστηµατικότητα στον τρόπο χειρισµού των έργων από τα παιδιά, όσον αφορά την παροχή επεξήγησης στα αριθµητικά προβλήµατα αναλογίας. Ειδικότερα, στην πρώτη οµάδα οµοιότητας, υπάρχει στατιστικά σηµαντική οµοιότητα σε επίπεδο 99% µεταξύ της απάντησης και επεξήγησης στο πρώτο λεκτικό αναλογικό πρόβληµα και της απάντησης και επεξήγησης στο τέταρτο λεκτικό αναλογικό πρόβληµα. Στη δεύτερη οµάδα οµοιότητας, υπάρχει στατιστικά σηµαντική οµοιότητα σε επίπεδο 99% µεταξύ της απάντησης και της επεξήγησης στο δεύτερο λεκτικό αναλογικό πρόβληµα, αφού φαίνεται ότι η παροχή επεξήγησης σχετίζεται άµεσα µε την ορθή επίλυση του συγκεκριµένου προβλήµατος. ιάγραµµα 1: ιάγραµµα οµοιότητας µεταξύ των απαντήσεων και επεξηγήσεων στα αριθµητικά προβλήµατα αναλογίας και των απαντήσεων στα λεκτικά προβλήµατα αναλογίας στην Ε τάξη Στο συνεπαγωγικό διάγραµµα 2, παρουσιάζονται οι απαντήσεις που έδωσαν οι µαθητές της Ε τάξης στα έργα του δοκιµίου, οι επεξηγήσεις και οι στρατηγικές τους στα αριθµητικά προβλήµατα. ηµιουργούνται πέντε αλυσίδες συνεπαγωγής. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 61

Μ. Ηροδότου κ.ά. Από τα λεκτικά αναλογικά προβλήµατα, µόνο τα προβλήµατα 1 και 3 σχετίζονται µε το αριθµητικό πρόβληµα 3 σε ποσοστό 90%. H παροχή εξήγησης σε κάθε αριθµητικό αναλογικό πρόβληµα, συνεπάγεται και την ορθή απάντηση σε κάθε ένα από αυτά (Pe i Pa i ). Σε κάθε αριθµητικό πρόβληµα, εκτός από το δεύτερο, η χρήση της στρατηγικής του παράγοντα αλλαγής συνεπάγεται και την ορθή επίλυση του προβλήµατος. (Sb i Pa i ). Στην περίπτωση του δεύτερου λεκτικού προβλήµατος, η χρήση της στρατηγικής της αναγωγής στη µονάδα, συνεπαγόταν την ορθή λύση του προβλήµατος (Sc 2 Pa 2 ). Η εφαρµογή της προσθετικής, άρα και λανθασµένης στρατηγικής στο πρόβληµα 4, συνεπάγεται και την εφαρµογή της για την επίλυση του προβλήµατος 3. Το ευκολότερο πρόβληµα για τους µαθητές της Ε τάξης, ήταν το πρώτο λεκτικό πρόβληµα, καθώς και πιο εύκολη ήταν η εφαρµογή της µεθόδου των τριών στο πρώτο αναλογικό πρόβληµα. ιάγραµµα 2: Συνεπαγωγικό ιάγραµµα ανάµεσα στις απαντήσεις που έδωσαν οι µαθητές της Ε τάξης στα έργα του δοκιµίου, τις επεξηγήσεις και τις στρατηγικές τους στα αριθµητικά προβλήµατα Στο διάγραµµα οµοιότητας 3 παρουσιάζονται οι απαντήσεις που έδωσαν οι µαθητές της Στ`τάξης σε όλα τα προβλήµατα του δοκιµίου και οι επεξηγήσεις τους στα αριθµητικά προβλήµατα αναλογίας. Με βάση τις απαντήσεις των παιδιών στα έργα αυτά, φαίνεται ότι σχηµατίζονται δύο οµάδες οµοιότητας. Στην πρώτη οµάδα οµαδοποιούνται οι απαντήσεις και οι επεξηγήσεις όλων των αριθµητικών προβληµάτων και η ορθή απάντηση στο δεύτερο λεκτικό πρόβληµα. Η δεύτερη οµάδα είναι εντελώς ανεξάρτητη από την πρώτη και αποτελείται από τα λεκτικά προβλήµατα 1, 3 και 4. Έτσι, φαίνεται ότι οι µαθητές αντιµετώπισαν µε διαφορετικό τρόπο τα αριθµητικά σε σχέση µε τα λεκτικά προβλήµατα αναλογίας, εκτός από την περίπτωση του προβλήµατος 2, το οποίο παρόλ αυτά έχει αδύνατη σχέση οµοιότητας µε το δεύτερο λεκτικό πρόβληµα. Μεταξύ της πρώτης οµάδας, φαίνεται να υπάρχει µια συστηµατικότητα στον τρόπο χειρισµού των αναλογικών προβληµάτων. Η απάντηση σε κάθε αριθµητικό πρόβληµα, οµαδοποιείται µε την εξήγηση στο αντίστοιχο πρόβληµα. Η πρώτη οµάδα, χωρίζεται σε 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 62

Επίλυση Προβληµάτων Αναλογίας δύο κλάδους οµοιότητας, µε τον πρώτο να περιλαµβάνει τις απαντήσεις και τις επεξηγήσεις στα αριθµητικά προβλήµατα αναλογίας 1,3 και 4 και το δεύτερο να περιλαµβάνει την απάντηση και την επεξήγηση στο δεύτερο αριθµητικό πρόβληµα και την απάντηση στο δεύτερο λεκτικό πρόβληµα. Ειδικότερα, υπάρχει στατιστικά σηµαντική οµοιότητα σε επίπεδο 99% ανάµεσα στον πρώτο και δεύτερο κλάδο. Στο δεύτερο κλάδο οµοιότητας, παρατηρείται στατιστικά σηµαντική οµοιότητα σε επίπεδο 99% ανάµεσα στην απάντηση και στην επεξήγηση του αριθµητικού προβλήµατος 2. Ο πρώτος κλάδος οµοιότητας, χωρίζεται σε δύο άλλες υποοµάδες, οι οποίες σχετίζονται πάλι σε επίπεδο 99%. Η πρώτη υποοµάδα αποτελείται από την απάντηση και την επεξήγηση στο αριθµητικό πρόβληµα 1 και από την απάντηση και επεξήγηση στο αριθµητικό πρόβληµα 4, παρουσιάζοντας στατιστικά σηµαντική οµοιότητα σε επίπεδο 99%. Η δεύτερη υποοµάδα του πρώτου κλάδου οµοιότητας, αποτελείται από την απάντηση και την επεξήγηση στο αριθµητικό πρόβληµα 3, όπου παρατηρείται στατιστικά σηµαντική οµοιότητα σε επίπεδο 99% µε την πρώτη υποοµάδα. α β γ 1 2 Α Β ιάγραµµα 3: ιάγραµµα οµοιότητας ανάµεσα στις απαντήσεις και επεξηγήσεις στα αριθµητικά προβλήµατα αναλογίας και στις απαντήσεις στα λεκτικά προβλήµατα αναλογίας στη Στ τάξη Στο συνεπαγωγικό διάγραµµα 4, παρουσιάζονται οι απαντήσεις που έδωσαν οι µαθητές της Στ τάξης στα έργα του δοκιµίου, οι επεξηγήσεις και οι στρατηγικές τους στα αριθµητικά προβλήµατα. ηµιουργούνται τέσσερις αλυσίδες συνεπαγωγής. Η χρήση της µεθόδου των τριών στα αριθµητικά προβλήµατα 1 και 2 συνεπάγεται τη χρήση της ίδιας στρατηγικής στο πρόβληµα 4 και κατά συνέπεια και στο πρόβληµα 3. Η χρήση αυτής της στρατηγικής συνεπάγεται την ορθή εξήγηση στα αριθµητικά προβλήµατα καθώς και την ορθή απάντηση σε αυτά. H παροχή εξήγησης σε κάθε αριθµητικό αναλογικό πρόβληµα, συνεπάγεται και την ορθή απάντηση σε κάθε ένα από αυτά (Pe i Pa i ), εκτός από το πρόβληµα 3. Από τα λεκτικά προβλήµατα, εµφανίζεται µόνο το πρόβληµα 2, το οποίο συνεπάγεται και την ορθή επίλυση στο αριθµητικό πρόβληµα 1. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 63

Μ. Ηροδότου κ.ά. ιάγραµµα 4: Συνεπαγωγικό ιάγραµµα ανάµεσα στις απαντήσεις που έδωσαν οι µαθητές της Στ τάξης στα έργα του δοκιµίου, τις επεξηγήσεις και τις στρατηγικές τους στα αριθµητικά προβλήµατα 4. Ποιοτική Ανάλυση των εδοµένων Όπως φάνηκε από την ποσοτική ανάλυση των δεδοµένων οι µαθητές χρησιµοποίησαν ποικιλία στρατηγικών για την επίλυση των αριθµητικών προβληµάτων αναλογίας. Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένα παράδειγµα από κάθε ορθή στρατηγική καθώς και δείγµατα από τυπικές λανθασµένες στρατηγικές που εντοπίστηκαν στα δοκίµια των µαθητών. Ορθές στρατηγικές Όλα τα παραδείγµατα ορθών στρατηγικών που παρουσιάζουµε σκόπιµα αναφέρονται µόνο στο πρόβληµα 1, για να φανούν οι διάφορες στρατηγικές που µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την επίλυση του ίδιου προβλήµατος. Στο πιο πάνω παράδειγµα, βλέπουµε ένα µαθητή της Στ ο οποίος χρησιµοποιεί τη µέθοδο των τριών για να βρει την απάντηση. Πρόκειται για πολλαπλασιαστική 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 64

Επίλυση Προβληµάτων Αναλογίας στρατηγική, που σύµφωνα µε τους Philippou και Christou (2001) είναι ένας µνηµονικός κανόνας για την επίλυση προβληµάτων αναλογίας και έρχεται σε αντίθεση µε τις άτυπες µεθόδους επίλυσης των µαθητών (Kaput & West, 1994). Στα σχολεία της Κύπρου, αποτελεί την τυπική σχολική προσέγγιση για την επίλυση τέτοιου είδους προβληµάτων και ενισχύεται και από τη χρήση του διαγράµµατος αναλογίας της Marshall (1995). Πιο πάνω παρουσιάζεται η στρατηγική του παράγοντα αλλαγής, όπως αυτή χρησιµοποιήθηκε από ένα µαθητή της Ε. Ειδικότερα, ο µαθητής εντοπίζει τη σχέση ανάµεσα σε αντίστοιχες ποσότητες διαφορετικού είδους («εκτός» σχέση κονσέρβες = κιλά x 3) και µετά εφαρµόζει τον παράγοντα αλλαγής (3) ανάµεσα στις ποσότητες του δεύτερου είδους. Ο µαθητής της Στ σε αυτό το παράδειγµα πάλι χρησιµοποίησε τη στρατηγική του παράγοντα αλλαγής, µε τη διαφορά τώρα ότι βρήκε την «εντός» σχέση ανάµεσα στα κιλά (διπλασιάζονται) και τη µετέφερε στις κονσέρβες για να λύσει το πρόβληµα. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 65

Μ. Ηροδότου κ.ά. Ο µαθητής της Στ χρησιµοποιεί την αναγωγή στη µονάδα για την επίλυση του προβλήµατος. Ουσιαστικά η µέθοδος της αναγωγής στη µονάδα βασίζεται στις διαδικασίες της επαναλαµβανόµενης πρόσθεσης ή αφαίρεσης µε τη διαφορά ότι η διαίρεση στη συγκεκριµένη περίπτωση, έχει την έννοια του µερισµού αντί της οµαδοποίησης (Παπαγεωργίου & Χρίστου, 1999). Στο πιο πάνω παράδειγµα, ο µαθητής της Στ έλυσε το πρόβληµα κάνοντας χρήση της επαναλαµβανόµενης πρόσθεση (building up). Αρχικά, αναγνωρίζονται και διακρίνονται οι δύο µετρικοί χώροι και τα αντίστοιχα σύνολα. Η διαδικασία που ακολουθείται, απαιτεί µια επαναλαµβανόµενη πράξη πρόσθεσης ή αφαίρεσης. Λανθασµένες στρατηγικές Παραδείγµατα λανθασµένης στρατηγικής στο πρόβληµα 1: Στη πιο πάνω περίπτωση παρατηρείται παρανόηση από µέρους τους µαθητή. Ενώ έχει εντοπίσει τον παράγοντα αλλαγής ανάµεσα στα κιλά και τις κονσέρβες του Κοκαλιάρη, αδυνατεί να µεταφέρει τον παράγοντα αυτό και στη σχέση κιλά-κονσέρβες του Λιχούδη. Σε αυτή την περίπτωση ο µαθητής βρίσκει τη σχέση που υπάρχει ανάµεσα στα κιλά των δύο σκύλων (6kg :2 = 3kg) και διαιρεί δια 2 και το άλλο αριθµητικό στοιχείο που του 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 66

Επίλυση Προβληµάτων Αναλογίας δίνει η άσκηση, δηλαδή το 9, χωρίς να λάβει υπόψη του σε ποιο σκύλο αναφέρεται η συγκεκριµένη ποσότητα κονσερβών. Παραδείγµατα λανθασµένης στρατηγικής στο πρόβληµα 2: Ο µαθητής στο πιο πάνω πρόβληµα βλέπουµε ότι χρησιµοποιεί µόνο τους δύο από τους τέσσερις όρους του προβλήµατος για να το επιλύσει, αγνοώντας ότι το πρόβληµα καθιστά σαφές ότι τα 2 αυγά απαιτούνται για 12 κρέπες, κατάσταση που δηλώνει ότι δεν έχει κατανοήσει την έννοια της αναλογίας. Επειδή το 54 δεν είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 12, ο µαθητής δεν µπορεί να βρει πόσα αυγά θα χρειαστεί ο µάγειρας για 54 κρέπες έχοντας µια συνταγή για 12. Έτσι προχωρά στο πλησιέστερο στο 54 πολλαπλάσιο του 12, που είναι το 60 και βρίσκει πόσα αυγά θα χρειαστούν για 60 κρέπες. Φαίνεται ότι χρησιµοποιεί τη στρατηγική παράγοντας αλλαγής και µάλιστα within. Συγκρίνει τις 12 κρέπες της συνταγής µε τις 60 που θα φτιάξει και βρίσκει ότι τα αυγά από 2 θα γίνουν 10. Παραδείγµατα λανθασµένης στρατηγικής στο πρόβληµα 3: Στα δύο πιο πάνω παραδείγµατα έγινε χρήση της προσθετικής στρατηγικής, µε αποτέλεσµα η µαθητές να οδηγηθούν σε λάθος αποτέλεσµα. Στην πρώτη περίπτωση ο µαθητής βρήκε τη διαφορά µεταξύ των αγωνισµάτων που κέρδισε η κίτρινη και η κόκκινη οµάδα και τη διαφορά αυτή τη µετέφερε στους βαθµούς της κίτρινης οµάδας έτσι ώστε να βρει τους βαθµούς της κόκκινης οµάδας. Κάτι ανάλογο έκανε και άλλος µαθητής στη δεύτερη περίπτωση, µε τη διαφορά ότι βρήκε τη συσχέτιση µεταξύ των 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 67

Μ. Ηροδότου κ.ά. αγωνισµάτων βαθµών της κίτρινης οµάδας και τη µετέφερε στα αγωνίσµατα της κόκκινης οµάδας. Ο µαθητής φτιάχνει ένα δικό του πίνακα µε συγκεκριµένα αγωνίσµατα και αναλύει τους 15 βαθµούς της κόκκινης οµάδας στα 6 αγωνίσµατα, χωρίς να φαίνεται να υπάρχει κάποια λογική στον τρόπο που χρησιµοποιεί. Έτσι οι βαθµοί που πήρε η κόκκινη οµάδα προέρχονται 3 από την µπάλα, 2 από την καλαθόσφαιρα, 4 από το χάντµπολ κλπ. Με το ίδιο σκεπτικό, δίνει στην κίτρινη οµάδα τους ίδιους βαθµούς µε την κόκκινη στα πρώτα 4 αγωνίσµατα που έβαλε στον πίνακα του, προσθέτει τους βαθµούς και βρίσκει 11. Παραδείγµατα λανθασµένης στρατηγικής στο πρόβληµα 4: Στην περίπτωση αυτή παρατηρείται πλήρης σύγχυση στο µυαλό του µαθητή για την έννοια της αναλογίας και απουσία κατανόησης του τι ζητά το πρόβληµα. Ο µαθητής προσθέτει όλα τα αριθµητικά στοιχεία του προβλήµατος, ακόµα και αυτά που αποτελούν επεξήγηση και επανάληψη προηγούµενων δεδοµένων του προβλήµατος. 5. Συµπεράσµατα Στην έρευνα αυτή έγινε προσπάθεια να διερευνηθεί η ύπαρξη σχέσης ανάµεσα στα αριθµητικά και λεκτικά προβλήµατα αναλογίας και να αναγνωριστούν οι στρατηγικές που χρησιµοποιούν οι µαθητές Ε και Στ τάξης όταν πρόκειται να λύσουν αριθµητικά προβλήµατα αναλογίας. Από την ανάλυση των δεδοµένων φάνηκε ότι η επίδοση των µαθητών της Στ τάξης ήταν πιο ψηλή σε όλα τα έργα του δοκιµίου, τόσο στα αριθµητικά προβλήµατα όσο και στα λεκτικά προβλήµατα κάτι το οποίο ήταν αναµενόµενο λόγω των αυξηµένων εµπειριών τους σε σχέση µε τους µαθητές της Ε τάξης. Το γεγονός αυτό ενισχύει την άποψη των Christou και Philippou (2001) ότι η επίδραση της σχολικής 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 68

Επίλυση Προβληµάτων Αναλογίας διδασκαλίας διαδραµατίζει καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη της έννοιας της αναλογίας. Όσον αφορά τη χρήση στρατηγικών, οι µαθητές της Ε και Στ τάξης χρησιµοποίησαν σε µεγάλο βαθµό τη στρατηγική εύρεσης του παράγοντα αλλαγής για την επίλυση των αριθµητικών προβληµάτων. Παράλληλα οι µαθητές της Στ τάξης εφάρµοσαν σε πολλές περιπτώσεις τη µέθοδο των τριών αντίθετα µε το µικρό ποσοστό χρήσης της συγκεκριµένης στρατηγικής από τους µαθητές της Ε τάξης, κατάσταση που οφείλεται στη διδασκαλία της µεθόδου αυτής στην Στ τάξη. Αυτό φαίνεται και από τα παραδείγµατα λανθασµένων στρατηγικών στην ποιοτική ανάλυση. Τα µεγάλα ποσοστά χρήσης οποιασδήποτε λανθασµένης στρατηγικής φανερώνουν ότι οι µαθητές δεν έχουν ολοκληρωµένη αντίληψη των σχέσεων που διέπουν µια αναλογία. Τέλος, όσον αφορά τη σχέση ανάµεσα στα αριθµητικά και λεκτικά προβλήµατα αναλογίας, από τις απαντήσεις των µαθητών φάνηκε ότι τόσο οι µαθητές της Ε όσο και οι µαθητές της Στ τάξης, αντιµετωπίζουν διαφορετικά τα δυο είδη προβληµάτων. Για το λόγο αυτό, θεωρείται απαραίτητη η διεξαγωγή περαιτέρω έρευνας για διερεύνηση της σχέσης ανάµεσα στις επιδόσεις των µαθητών στα αριθµητικά και λεκτικά προβλήµατα αναλογίας. Είναι σηµαντικό οι µαθητές να έχουν εµπειρίες σε µεγάλο εύρος αναλογικών προβληµάτων ούτως ώστε να αντιλαµβάνονται την καταλληλότητα και τους περιορισµούς κάθε στρατηγικής. Επίσης δραστηριότητες όπως αυτές που χρησιµοποιήθηκαν στο δοκίµιο µπορούν να χρησιµοποιηθούν από τους εκπαιδευτικούς για να κατανοήσουν τα προβλήµατα που αντιµετωπίζουν οι µαθητές τους στα έργα αναλογίας και να διαµορφώσουν κατάλληλα τη διδασκαλία τους για καλύτερη κατανόηση της έννοιας της αναλογίας από τους µαθητές. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Alexander, P.A., Willson, V.L., White, C.S., & Fuqua, J.D. (1987). Analogical reasoning in young children. Journal of Educational Psychology,79, 401-408. Bart, W., Post, T., Behr, M., & Lesh, R. (1994). A diagnostic analysis of a proportional reasoning test item: an introduction to the properties of a semi-dense item. Focus on Learning Problems in Mathematics, 16, 1 11. Ben-Chaim, D., Fey, J.T., Fitzgerald W.M., Benedetto, C., & Miller, J. (1998). Educational Studies in Mathematics, 36, 247-273. Christou, C., & Philippou, G. (2002). Mapping and development of intuitive proportional thinking. Journal of Mathematical Behavior, 20,321-336. Confrey, J., & Smith, E. (1995). Splitting, covariation, and their role in the development of exponential functions. Journal for Research in Mathematics Education, 26, 66-86. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 69

Μ. Ηροδότου κ.ά. Droujkova, M.A., & Berenson, S. (2003). Software design as a method of accessing students understanding. Retrieved from http://onlinedb.terc.edu/pme2003/pdf/pp_droujkova.pdf on 21 February, 2006. English, L.D., & Sharry, P. (1996). Analogical reasoning and the development of algebraic abstraction. Educational Studies in Mathematics, 30, 137-159. Hart, K. M. (1984). Ratio: children s strategies and errors. Windsor: NFER-NELSON. Hart, K. M., Brown, M., & Küchemann, D. (1984). Chelsea diagnostic mathematics tests: ratio and proportion. Windsor: NFER-NELSON. Hoffer, A. (1988). Ratios and proportional thinking. In T.Post (Eds), Teaching Mathematics in Grades K-8: Research based methods (pp. 285-313). Boston: Allyn and Bacon. Inhelder, B. & Piaget, J. (1958). The growth of logical thinking from childhood to adolescence. New York: Basic Books. Kaput, J., & Maxwell-West, M. (1994). Missing-value proportional reasoning problems: factors affecting informal reasoning patterns. In G. Harel, & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 235 287). Albany: State University of New York Press. Karplus, R., Pulos, S., & Stage, E. K. (1983). Proportional reasoning of early adolescents. In: R. Lesh, & M. Landau (Eds.), Acquisition of mathematics concepts and processes (pp. 45 90). New York: Academic Press. Lamon, S. (1993). Ratio and proportion: children s cognitive and metacognitive processes. In: T. Carpenter, E. Fennema, & T. Romberg (Eds.), Rational numbers. An integration of research (pp. 131 156). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Lamon, S. (1994). Ratio and proportion: cognitive foundations in unitizing and norming. In: G. Harel, & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 89 120). Albany: State University of New York Press. Marr, D.B., & Sternberg, R.J. (1986). Analogical reasoning with novel concepts: Differential attention of intellectually gifted and nongifted children to relevant and nonrelevant novel stimuli. Cognitive Development, 1, 53-72. Marshall, P. S. (1995). Schemas in Problem Solving Cambridge: Cambridge University Press. Misailidou, C., & Williams, J. (2003). Diagnostic assessment of children s proportional reasoning. Journal of Mathematical Behavior, 22, 335 368. Nabors, W.K. (2003). From fractions to proportional reasoning: a cognitive schemes of operation approach. Journal of Mathematical Behavior,22, 133-179. 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 70

Επίλυση Προβληµάτων Αναλογίας Nesher, P., & Sukenik, M. (1991). The effect of formal representation on the learning of ratio concepts. Cognition and Instruction, 1, 161 175. Piaget, J., & Campbell, R.L. (2001). Studies in relfective abstraction. Philadelphia, PA: Taylor and Francis. Post, T. R., Behr, M. J., & Lesh, R. (1988). Proportionality and the development of prealgebra understanding. In A. Coxford and A. Schute (eds), The Ideas of Algebra, K 12,1988 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics, Reston, VA.: The Council, pp. 78 90. Sternberg, R.J. (1977). İntelligence, information processing, and analogical reasoning: A compnential analysis of human abilities. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associate, Inc. Tourniaire, F., & Pulos, S. (1985). Proportional reasoning: A review of the literature. Educational Studies in Mathematics, 16, 181 204. Vosniadou, S.O. (1989). Similarity and analogical reasoning. Cambridge, NY: Cambridge University Press. Παπαγεωργίου, E., & Χρίστου, Κ. (1999). Στρατηγικές επίλυσης προβληµάτων αναλογίας. Στους Α. Κόλλιας, Α. Μαργετουσάκη, & Π. Μιχαηλίδης (Εκδ.), Πρακτικά του τέταρτου πανελλήνιου συνεδρίου διδακτικής των µαθηµατικώνπληροφορική στην εκπαίδευση (σ.522-528). Ρέθυµνο: Ελλήν. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Στην κατασκήνωση υπάρχουν δυο σκύλοι, ο Κοκαλιάρης και ο Λιχούδης. Τα σκυλιά τρώνε κονσέρβες σκυλοτροφής ανάλογα µε το βάρος τους. Ο Κοκαλιάρης είναι 3 κιλά και τρώει 9 κονσέρβες σκυλοτροφής. Ο Λιχούδης είναι 6 κιλά. Πόσες κονσέρβες σκυλοτροφής τρώει ο Λιχούδης; 2. Ο µάγειρας της κατασκήνωσης θα κατασκευάσει κρέπες για τα παιδιά. Στο βιβλίο µαγειρικής υπάρχει η ακόλουθη συνταγή για 12 κρέπες: 1 φλυντζάνι αλεύρι 2 αυγά 1 φλυντζάνι γάλα 1 κουταλιά της σούπας λάδι 2 κουταλιές της σούπας ζάχαρη 1 φακελάκι βανίλια Αν ο µάγειρας θέλει να φτιάξει 54 κρέπες, πόσα αυγά θα χρησιµοποιήσει; 3. Τα παιδιά στην κατασκήνωση έχουν χωριστεί σε οµάδες και διαγωνίζονται σε διάφορα αθλήµατα για το κύπελλο των «Μικρών Περιπατητών». Η Μαρία και ο Αλέκος, παρατηρούν τον πίνακα µε τη βαθµολογία κάθε οµάδας. Η Κίτρινη Οµάδα κέρδισε σε 6 αγωνίσµατα και έχει 15 βαθµούς. Η Κόκκινη Οµάδα κέρδισε σε 4 αγωνίσµατα. Ποια είναι η βαθµολογία της Κόκκινης Οµάδας; 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 71

Μ. Ηροδότου κ.ά. 4. Σε µια εξερεύνηση στο δάσος τα παιδιά χρησιµοποιούν ένα χάρτη. Η κλίµακα σε αυτό το χάρτη είναι 3 προς 80 (δηλαδή, 3 εκατοστά στο χάρτη είναι 80 εκατοστά στην πραγµατικότητα). Στο χάρτη υπάρχει ένα γεφύρι που έχει µήκος 12 εκατοστά. Πόσα εκατοστά είναι το γεφύρι στην πραγµατικότητα; ΛΕΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1. Κατασκηνωτής:Αντίσκηνο:: Πουλί: Σπηλιά Φωλιά Κλουβί 2. Πρόβατο:Μαλλί:: Κότα: Αυγά Πούπουλα Κρέας 3. Κρεβάτι : Ύπνος :: : Χαρτί Φαγητό Τραπέζι Βροχή Νερό Βιβλίο 4. Ψωµί:Μαχαίρι :: : Χαρτί Μελάνι Σεντόνι Ψαλίδι Ξύλο Ξυράφι 9 ο Συνέδριο Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου 72