ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 04) ΕΜΠ (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες)
ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Προοπτική απεικόνιση του (προβολικού) χώρου ονομάζουμε την κεντρική προβολή των σημείων του χώρου από δοσμένο σημείο Ο επάνω σε δοσμένο επίπεδο π Ονομάζουμε το Ο ως κέντρο της απεικόνισης και το π ως πίνακά της Στο χωρικό σχήμα (σκαρίφημα) που ακολουθεί σημειώνουμε την εικόνα ( Α) ενός σημείου Α στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο και πίνακα π Είναι ( Α) = π ( ευθεία ΑΟ ) Σχήμα Η σημασία των προοπτικών απεικονίσεων στην προβολική γεωμετρία είναι μεγάλη: η εικόνα ενός επιπέδου p που δεν διέρχεται από το Ο μέσω μιας προοπτικής απεικόνισης είναι ολόκληρος ο πίνακας π με τα σημεία των δύο επιπέδων να αντιστοιχούν ένα προς ένα Κάθε τέτοια αντιστοιχία την ονομάζουμε προοπτική απεικόνιση των δύο επιπέδων Οι προβολικές απεικονίσεις μεταξύ δύο επιπέδων (δηλαδή οι απεικονίσεις που χαρακτηρίσουν την προβολική γεωμετρία του επιπέδου) είναι εξ ορισμού οι πεπερασμένες συνθέσεις τέτοιων απεικονίσεων Η σημασία των προοπτικών απεικονίσεων για την Τοπογραφία είναι ομοίως μεγάλη: εν γένει, τα σημεία ενός τυχαίου σχήματος δεν αντιστοιχούν ένα προς ένα στις εικόνες τους μέσω μιας προοπτικής απεικόνισης, αλλά στις τοπογραφικές εφαρμογές συχνά τα σημεία μιας επιφάνειας αντιστοιχούν όντως ένα προς ένα στις εικόνες τους, δηλαδή ο περιορισμός της προοπτικής απεικόνισης στην επιφάνεια αποτελεί σχεδόν παράστασή της επί του πίνακα Στη γενική περίπτωση, αρκούν δύο τέτοιες εικόνες μιας επιφάνειας μέσω δύο διαφορετικών προοπτικών απεικονίσεων για τον καθορισμό της επιφάνειας στο χώρο (δηλαδή το ζεύγος των εικόνων αποτελεί παράσταση της επιφάνειας στον δοσμένο πίνακα) Ομοίως, αρκούν δύο αεροφωτογραφίες (προοπτικές εικόνες) δύο επικαλυπτόμενων περιοχών της γης ώστε να συνθέσουμε το τοπογραφικό της ένωσης των δύο περιοχών Οι προοπτικές απεικονίσεις χρησιμοποιούνται επίσης στη μελέτη της όρασης και στις τεχνολογίες της όρασης (σχεδιαστικά προγράμματα Η/Υ, ρομποτική, ιατρικές απεικονίσεις κτλ) οι οποίες βασίζονται στη σύνθεση προοπτικών εικόνων για την παραγωγή ενιαίας εικόνας χωρικών αντικειμένων ΤΙ ΔΙΝΕΤΑΙ - ΤΙ ΖΗΤΕΙΤΑΙ Για την παράσταση σχημάτων μέσω μιας προοπτικής απεικόνισης, θα έχουμε τα σχήματά μας παριστάμενα με μία από τις γνωστές μεθόδους παράστασης με τις οποίες είμαστε ήδη εξοικειωμένοι και συγκεκριμένα θα θεωρούμε πως το σχήμα που μας ενδιαφέρει θα δίνεται παριστάμενο με τη μέθοδο των προβολών σε δύο κάθετα επίπεδα ( π,π ) Έτσι: Στο εξής εργαζόμαστε σε παραστατικό σύστημα δύο καθέτων επιπέδων προβολής ( π,π ) το οποίο επιλέγουμε ώστε ο πίνακας π της προοπτικής απεικόνισης να είναι κάθετος στο π Θα δίνονται παριστάμενα με τη μέθοδο των προβολών σε δύο επίπεδα στο σύστημα ( π,π ) το κέντρο Ο της προοπτικής απεικόνισης, ο πίνακάς της π ως επίπεδο κάθετο στο π και τα γεωμετρικά σχήματα S των οποίων την προοπτική εικόνα (S) θα ζητάμε να κατασκευάσουμε Θα ζητάμε την ακριβή-πραγματική εικόνα (S) όπως αυτή αποτυπώνεται επάνω στον πίνακα π
Θα δίνουμε την απάντησή μας με κατάκλιση του π επί του π φροντίζοντας να σημειώνουμε την κατάκλιση (S) της προοπτικής εικόνας του S Η κατάκλιση γίνεται κατά τα γνωστά με περιστροφή της ευθείας π π Παρατηρήστε πως τότε η ευθεία β = π π, που στο εξής θα ονομάζουμε βάση του πίνακα κατακλίνεται επί της y = π π Εναλλακτικά, θα δίνουμε την απάντησή μας με κατάκλιση του π επί του π (δηλαδή με περιστροφή του π γύρω από την β = π π μέχρι την ταύτισή του με το π ) φροντίζοντας να σημειώνουμε την κατάκλιση (S) της προοπτικής εικόνας του S Η κατάκλιση (S) της προοπτικής εικόνας του S, έχει το αληθές σχήμα της εικόνας αυτής και θα είναι το ζητούμενο σε ολόκληρο το κεφάλαιο Τα ονόματα που θα δίνουμε στα κατακεκλιμένα προοπτικά των σχημάτων θα είναι τα αρχικά τους επί του πίνακα Θα είναι δηλαδή σα να βλέπουμε τον ίδιο τον πίνακα με τα ζητούμενα προοπτικά επάνω του Για να μην μπλέκονται οι γραμμές των κατασκευών μας με τις δοσμένες του παραστατικού, θα δίνουμε την κατάκλιση σε νέο σχήμα σε κάποια θέση του χαρτιού σχεδίασης της επιλογής μας Συνεπώς θα πρέπει στη νέα θέση να θέτουμε ένα σύστημα αναφοράς το οποίο θα μας οδηγεί από τα δεδομένα του παραστατικού στις κατασκευές στο νέο μέρος του χαρτιού και αντίστροφα Το σύστημα αυτό θα δημιουργείται ως εξής: θα τοποθετούμε τη βάση β σε τυχαία θέση (δική μας επιλογή) του χαρτιού σχεδίασης, και επάνω της θα τοποθετούμε σε τυχαία θέση (δική μας επιλογή) την προβολή Φ' του Ο στη β Κατόπιν, θα τοποθετούμε στο χαρτί σχεδίασης μια ευθεία φ παράλληλα στη β και σε απόσταση όσο το απόλυτο υψόμετρο του Ο στο σύστημα ( π,π ) Θα χαράσσουμε την κάθετη από το Φ' στη β που θα τέμνει την φ στο σημείο που θα σημειώνουμε ως Φ Αυτό είναι το σημείο στο οποίο το Ο προβάλλεται επί του πίνακα π Οι ευθείες β,φ και το Φ' ή το Φ αρκούν για σύστημα αναφοράς στο χαρτί μας για το προοπτικό σχέδιο που θα επιθυμούμε να κατασκευάσουμε Εναλλακτικά, η ευθεία β και το τμήμα Φ'Φ αρκούν και αποτελούν ισοδύναμο σύστημα αναφοράς με το προηγούμενο (το καθένα παράγει το άλλο) Για οποιοδήποτε σημείο Α του χώρου το όνομα της προοπτικής του εικόνας θα είναι ( Α) Το Παράδειγμα πιο κάτω αποσκοπεί στο να εξοικειωθούμε με τα παραπάνω και να αναπτύξουμε την απαραίτητη ορολογία Η εξήγηση των κατασκευών στο παράδειγμα αυτό προκύπτει από τα σχήματα 5,6,7, ενώ η συστηματική αντιμετώπιση του ζητήματος της εύρεσης της προοπτικής εικόνας δοσμένου σχήματος (στο παραστατικό μας σύστημα) αρχίζει στην Η συνθήκη της καθετότητας των π,π είναι μια βολική αλλά όχι απαραίτητη σύμβαση Οι περισσότεροι ορισμοί και ιδιότητες που θα συναντήσουμε ισχύουν με ορισμένες μικρές αλλαγές και όταν ο πίνακας π δεν είναι κάθετος στο π Έτσι στα χωρικά σχήματα 6,7,8 πιο κάτω, ο πίνακας παρουσιάζεται σε μη κάθετη θέση ως προς το π Ως συνήθως, όταν θα σχολιάζουμε το παραστατικό σχήμα, θα μας είναι βολικό να σκεφτόμαστε πως τα π,π ταυτίστηκαν με περιστροφή του π περί της y μέσα στους χώρους ΙΙ,IV έως ότου ταυτιστεί με το π Θα είναι επίσης βολικό να τοποθετούμε το κέντρο Ο της προοπτικής απεικόνισης στο τεταρτοχώριο I Οι συμβάσεις δεν είναι ουσιαστικές, ούτε και απαραβίαστες
Παράδειγμα : Δίνεται η ακόλουθη παράσταση του πίνακα π( σ ',σ ''), του κέντρου Ο( Ο',Ο'') και της ευθείας ε( ε',ε'') του π Ζητείται η προοπτική εικόνα της ε επί του π από το Ο Σχήμα - Κατασκευή στο παραστατικό: Βρίσκουμε το σημείο τομής Ε' της ε ' με την σ ' Χαράσσουμε την παράλληλη από το Ο ' προς την ε ' που τέμνει την ' σ στο Φ ' Επίσης χαράσσουμε την κάθετη από το Ο ' που τέμνει την ε σ ' στο Φ ' Υπολογίζουμε το υψόμετρο υ του Ο' ως προσημασμένη απόσταση του Ο'' από την y Σχήμα 3 - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία Ε', Φ ε ' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της y = β, λαμβάνοντας τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ ' - Κατασκευή στο προοπτικό: Χαράσσουμε την κάθετη από το Φ ε ' στην β που τέμνει την φ στο Φ ε Η ζητούμενη προοπτική εικόνα ( ε') της ( ε) είναι η ευθεία ΕΦ ' ε 3
Σχήμα 4 Η δικαιολόγηση της ορθότητας της κατασκευής δίνεται στην Παρατηρήστε πως ορισμένα στοιχεία όπως το Φ ε '' δεν μας είναι χρήσιμα και δεν τα σημειώνουμε στην κατασκευή μας Αν επιθυμούμε, για την εύρεση της ( ε') μπορούμε να εργαστούμε αποκλειστικά επάνω στο παραστατικό σχήμα κατακλίνοντας το π επί του π (με στροφή στο χώρο περί της κοινής τους ευθείας που είναι η βάση β του πίνακα π ) Με τον νέο τρόπο εργασίας, η απάντηση στο Παράδειγμα, δίνεται στο επόμενο Σχήμα Σχήμα 5 Στα επόμενα, θα προτιμήσουμε να δημιουργούμε το προοπτικό μας σχήμα μακριά από το παραστατικό, χαράσσοντας για ευκολία τη β οριζοντίως στο χαρτί μας Σταδιακά θα πάψουμε να αναφέρουμε τα ονόματα των παράλληλων ευθειών ε π από το Ο προς την ε ή άλλες ευθείες του π παρότι αυτές μας είναι χρήσιμες για την κατασκευή των προοπτικών εικόνων των σχημάτων μας Επίσης θα σταματήσουμε να αναφέρουμε και τα ονόματα κι άλλων στοιχείων, κυρίως των μη χρήσιμων στις κατασκευές επί του προοπτικού σχήματος Ορισμένα γεωμετρικά στοιχεία που θα μας είναι χρήσιμα στις παραστάσεις προοπτικών σχημάτων είναι τα εξής: β = π π = βάση του πίνακα φ = π ( παράλληλο επίπεδο στο π από το Ο ) = ευθεία φυγής ή ορίζοντας Φ = προβολή του Ο επί της φ ( = προβολή του Ο επί του π όταν π π ) = πρωτεύων σημείο φυγής της προοπτικής απεικόνισης D,D = (σημεία της φ σε απόσταση ΟΦ από το Φ ) = δευτερεύοντα σημεία φυγής ή σημεία απόστασης της προοπτικής απεικόνισης 4
Σχήμα 6 Πρώτα θα βρούμε τις προοπτικές εικόνες σχημάτων του επιπέδου π και στη συνέχεια τις προοπτικές εικόνες σχημάτων του χώρου Θα βρούμε τα εξής: Προοπτικές εικόνες σχημάτων του π Προοπτική εικόνα ευθείας του π Προοπτική εικόνα του π Προοπτική εικόνα τετραγώνου του π Προοπτική εικόνα άλλων σχημάτων του π Προοπτική εικόνα ευθείας του π Η κατασκευή παρουσιάστηκε στο Παράδειγμα Εδώ θα εξηγήσουμε την ορθότητά της μέσω μερικών παρατηρήσεων Σχήμα 7 - Οι προοπτικές εικόνες των σημείων της ε ανήκουν στην τομή του πίνακα π με το επίπεδο που ορίζουν η ε και το Ο, οπότε ανήκουν στην κοινή τους ευθεία ( ε) Αλλά και αντίστροφα, κάθε σημείο της ( ε)είναι το προοπτικό κάποιου σημείου της ε Συνεπώς η προοπτική εικόνα της ε είναι η ευθεία ( ε) - Για τον προσδιορισμό του προοπτικού της ε αρκεί να βρεθούν τα προοπτικά των Ε = ε β και ε Είναι (E) = Ε, ( ε ) = Φε = (πρωτεύον σημείο φυγής της ε) = π (ευθεία παράλληλη στην ε από το Ο ) Έτσι ορίζεται και το πρωτεύον σημείο φυγής τυχαίας ευθείας του χώρου που δεν κείτεται αναγκαστικά επί του π - Ευθείες (του χώρου) παράλληλες μεταξύ τους έχουν το ίδιο σημείο φυγής 5
- Όλες οι ευθείες οι παράλληλες στο π έχουν σημείο φυγής επί του ορίζοντα, δηλαδή επί της ευθείας φυγής της απεικόνισης - Όμως οι ευθείες που δεν είναι παράλληλες στο π δεν έχουν σημείο φυγής επί του ορίζοντα Τα σημεία φυγής τους είναι τυχαία σημεία του π έξω από τον ορίζοντα - Το πρωτεύων σημείο φυγής Φ της προοπτικής απεικόνισης είναι το σημείο φυγής της διεύθυνσης της παράλληλης στο π που είναι κάθετη στη βάση β του πίνακα - Τα δευτερεύοντα σημεία φυγής D,D της προοπτικής απεικόνισης είναι τα σημεία φυγής των διευθύνσεων των παράλληλων στο π που σχηματίζουν γωνία o 45 με τη βάση β του πίνακα Σχήμα 8 Προοπτική εικόνα σημείου του π Δίνεται η παράσταση Α( Α',Α'') ενός σημείου Α που ανήκει στο π, καθώς και η παράσταση του πίνακα προβολής π( σ ',σ '') και του κέντρου Ο( Ο',Ο'') μιας προοπτικής απεικόνισης Ζητείται η προοπτική εικόνα του Α σε αυτή την προοπτική απεικόνιση Σχήμα 9 Τα βήματα για την απάντηση δίνονται στο πλαισιωμένο κείμενο που ακολουθεί: 6
Κατασκευή της προοπτικής εικόνας ενός σημείου Α που δεν ανήκει στο π - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο (αυτό το βρίσκουμε από το δοσμένο παραστατικό σχήμα) Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευή στο παραστατικό: Χαράσσουμε ευθείες ε', ζ ' από το Χαράσσουμε τις παράλληλες από το κάθετη από το Ο ' που τέμνει την σ ' στο Φ ' Ο ' προς τις ε', ζ ' που τέμνουν την Α ' που τέμνουν την ' σ στα Ε ', Ζ ' σ στα Φ ', Φ ' Επίσης χαράσσουμε - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία Ε', Ζ', Φ ', Φ ' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της y = β, λαμβάνοντας τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ ' - Κατασκευή στο προοπτικό: Χαράσσουμε τις κάθετες από τα Φ ', Φ ' στην β που τέμνουν την φ στα Φ, Φ Η ζητούμενη προοπτική εικόνα ( Α) του ( Α) είναι το σημείο τομής των ευθειών ΕΦ ' = ( ε'), ΖΦ ' = ( ζ') ε ζ ε ε ζ ε ζ ζ ' ε ζ Σχήμα 0 Σχήμα Συνεπώς για την προοπτική, η ευθεία μπορεί να θεωρηθεί ως πρωτεύον στοιχείο, ενώ το σημείο ως δευτερεύον ή παράγωγο 7
Παράδειγμα : Δίνεται η παράσταση ενός τετραγώνου 34 που ανήκει στο π, καθώς και η παράσταση του πίνακα προβολής π( σ ',σ '') και του κέντρου Ο( Ο',Ο'') μιας προοπτικής απεικόνισης Ζητείται η προοπτική εικόνα του τετραγώνου σε αυτή την προοπτική απεικόνιση Σχήμα Σχήμα 3 Σχήμα 3 8
Παράδειγμα 3: Δίνονται οι προοπτικές εικόνες ( Α ),( Β ) των σημείων Α,Β του π Να βρεθεί η προοπτική εικόνα ( Γ) του σημείου Γ που διαμερίζει το τμήμα ΑΒ σε δοθέντα λόγο ΑΓ λ ΓΒ = (Εργαστείτε για λ = ) 3 Σχήμα 5 Σχήμα 6 Ακολουθεί η εξήγηση της ορθότητας της κατασκευής: Χαράσσοντας τρεις παράλληλες μεταξύ τους ευθείες ε α,ε β,ε γ από τα Α,Β,Γ τυχαίας διεύθυνσης ε του π, τα σημεία τομής τους με τη βάση β, έστω τα,,3, 3 διατηρούν τον αρχικό λόγο, δηλαδή = λ Οπότε αφού για επιλεγμένη διεύθυνση δ, τα σημεία, 3 καθορίζονται, θα καθορίζεται και το σημείο 3 επί της βάσης β Όμως τότε το ( Γ) κατασκευάζεται ως τομή της ευθείας( Α )( Β ) με την ευθεία Φε επί του πίνακα π Σχήμα 7 Αν 3 Δευτερεύοντα σημεία φυγής (ή σημεία απόστασης) ευθείας Φ ε το (πρωτεύον) σημείο φυγής ευθείας ε του π (αλλά και γενικότερα του χώρου), τότε ονομάζουμε δευτερεύοντα σημεία φυγής (ή σημεία απόστασης) της ε, τα κοινά σημεία σφαίρα κέντρου Φ ε και ακτίνας επιπέδου από το Ο το παράλληλη στο π κέντρου D ε,d ε της ευθείας φυγής φ με τη ΦΟ ε (ισοδυνάμως: τα κοινά σημεία της ευθείας φυγής φ με τον κύκλο επί του Φ και ακτίνας ΦεΟ = Φ ε' Ο' ) ε Στο επόμενο χωρικό σχήμα εκθέτουμε για ευθεία ε του π, όλα τα σημαντικά σχετιζόμενα σημεία 9
Σχήμα 8 Στα επόμενα δύο σχήματα δείχνουμε τη χαρακτηριστική ιδιότητα απόστασης των D ε, D ε που τους δίνει και το όνομά τους ως σημεία απόστασης της ευθείας ε του π Στο πρώτο κατακλίνουμε το π επί του π Σχήμα 9 Οπότε πχ για την ευθεία ε του π, εργαζόμαστε πάνω στον πίνακα π, η προβολή οποιουδήποτε τμήματος ( Α )( Β ) της ( ε) επί της βάσης β, με κέντρο προβολής οποιοδήποτε από τα σημεία απόστασης της ε, δίνει ένα τμήμα με μήκος το αληθινό μήκος ΑΒ Στο επόμενο σχήμα το αποτέλεσμα της προβολής είναι το ΒΑ ή το ΒΑαναλόγως αν το κέντρο προβολής είναι το D ε ή το D ε Σχήμα 0 0
4 Προοπτικές εικόνες σχημάτων του χώρου Θα βρούμε τις προοπτικές εικόνες για δοσμένη προοπτική απεικόνιση των εξής σχημάτων: σημείου του χώρου ευθείας του χώρου κύβου πρίσματος πυραμίδας κύκλου του π κατακόρυφου επιπέδου 4 Προοπτική εικόνα σημείου του χώρου Ζητείται η προοπτική εικόνα του σημείου A από το σημείο Ο στον πίνακα π Στο χωρικό σχήμα που ακολουθεί φαίνεται μόνο το επίπεδο π του συστήματος ( π, π ) Προβάλλουμε το Α επί του π στο δύο ευθείες ε, ε από το εικόνα ( Α ') του Α ', και χαράσσουμε Α ' εξολοκλήρου στο π Χρησιμοποιώντας τις ευθείες αυτές βρίσκουμε την προοπτική Α ' επάνω στον πίνακα, και παρατηρούμε πως η προοπτική εικόνα ολόκληρης της ευθείας πάνω στην οποία ανήκει και η εικόνα του Α, είναι ευθεία του πινάκα από το ( Α ') και κάθετη στην βάση β (δηλαδή παράλληλη στην ΑΑ ' ) Για την πλήρη τοποθέτηση της ζητούμενης εικόνας ( Α ) επάνω σε αυτή την ευθεία, ας παρατηρήσουμε επιπλέον πως αν το μήκος ΑΑ ' ΑΑ ' το μεταφέρουμε επί του πίνακα ως ΕΑ καθέτως στην β ( ΑΑ, στο ίδιο ημιχώρο ως προς το π ), τότε το ( Α ) βρίσκεται και επάνω στην ευθεία Φε Ε, οπότε και η θέση του εντοπίζεται Πραγματικά ισχύουν: Σχήμα ( A)( A') OA ( ') OAA' O( A)( A') = AA' OA' OA ( ') Φ ε( A') ( A)( A') ( A)( A ) Φ ε ( A') O E ( A') A' = = OA' Φ εe AA' E A Φ ( A') ( A)( A') Φ ( ') Φ ( ) ε ε A A ε E A = ΦεE EA Δηλαδή για την εύρεση του ( Α ) επί του πίνακα: E A - χαράσσουμε κάθετη στο Ε στη βάση β - επί της καθέτου αυτής θεωρούμε σημείο Α ώστε ΕΑ= υψόμετρο του Α - ( Α) = Φ Α' ( κάθετη ευθεία στην β από το ( Α')) ε Φυσικά αν θέλουμε χρησιμοποιούμε τα η εξήγηση για την ορθότητα της κατασκευής: Ε, Φ ε αντί των Ε, Φ ε = AA
Αν A' η προβολή του A στο π, τότε το A ανήκει στην ευθεία ΑΑ ' που το προβάλλει στο π, καθώς επίσης ανήκει και σε μια οποιαδήποτε τυχαία ευθεία από το A παράλληλη στο π η οποία έστω πως τέμνει τον πίνακα στο Α Οπότε το ( Α ) ανήκει στις προοπτικές εικόνες των δύο αυτών ευθειών Όμως η προοπτική εικόνα της ΑΑ ' είναι ευθεία κάθετη στη βάση β από το ( Α '), ενώ η προοπτική εικόνα της ΑΑ διέρχεται από το Α και το σημείο φυγής της ευθείας ΑΑ που είναι το ίδιο με το σημείο φυγής οποιασδήποτε παράλληλής της, όπως πχ η ευθεία του π από το Α ' η παράλληλη στην ΑΑ 3 η εξήγηση για την ορθότητα της κατασκευής: Το Α ανήκει στο επίπεδο a π («άνω π») που διέρχεται από το Α και είναι παράλληλο στο π Μπορούμε να θεωρήσουμε το a π ως νέο πρώτο επίπεδο προβολής για τα παραστατικά σχήματα, και να βρούμε την προοπτική εικόνα του Α με τον τρόπο που αναπτύξαμε για τα σημεία του πρώτου επιπέδου προβολής Μένει μονάχα να παρατηρήσουμε πως στο νέο παραστατικό σύστημα η βάση του πίνακα έχει αλλάξει Συγκεκριμένα είναι η τομή του πίνακα π με το a π, που φυσικά είναι μια ευθεία a β παράλληλη στη β σε απόσταση από αυτή ίση με το υψόμετρο του Α στο παλιό παραστατικό σύστημα Η παρατήρηση αυτή είναι βολικότατη για την εύρεση προοπτικών εικόνων σχημάτων του χώρου και ιδιαιτέρως σχημάτων που ανήκουν σε επίπεδα κάθετα στον πίνακα Όμως εδώ θα τη χρησιμοποιήσουμε μόνο για την εύρεση του προοπτικού ενός κυλίνδρου πιο κάτω Τα δεδομένα μας θα είναι στη μορφή ενός παραστατικού σχήματος όπως του επόμενου Σχήμα Η πορεία που ακολουθούμε για την απάντησή μας περιγράφεται στο πλαισιωμένο κείμενο που ακολουθεί Κατασκευή της προοπτικής εικόνας ενός σημείου Α που δεν ανήκει στο π - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευή στο παραστατικό: Χαράσσουμε ευθείες ε', ε ' από το Α ' που τέμνουν την σ ' στα Ε', Ε ' Χαράσσουμε τις παράλληλες από το Ο ' προς τις ε', ε ' που τέμνουν την σ ' στα Φε', Φ ε' Επίσης χαράσσουμε κάθετη από το Ο ' που τέμνει την σ ' στο Φ ' - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία Ε ', Ε ', Φε ', Φ ε ' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της y = β, λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ '
- Κατασκευή στο προοπτικό: Χαράσσουμε τις κάθετες από τα Φε', Φ ε' στην β που τέμνουν την φ στα Φε, Φ ε Χαράσσουμε τις ευθείες Ε ' Φε = ( ε '), Ε' Φε = ( ε') και βρίσκουμε το σημείο τομής τους ( Α ') Επιλέγουμε ένα από τα Ε', Ε ', έστω το Ε ' και χαράσσουμε τμήμα κάθετο στην β με μήκος ίσο με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Α (φοράς ), με άλλο άκρο το σημείο Α Η τομή της ευθείας ΦεΑ με την κάθετη προς την β από το ( Α ') δίνει το ζητούμενο ( Α ) Τα βήματα που μόλις περιγράψαμε και αφορούν κατασκευές στο παραστατικό και επί του πίνακα που τον ταυτίζουμε με το χαρτί μας, δίνονται στα επόμενα δύο σχήματα: Σχήμα 3 Σχήμα 4 4 Προοπτική εικόνα ευθείας του χώρου Βρίσκουμε τα προοπτικά δύο σημείων της Καλείστε να αποδείξετε τα επόμενα: Προοπτικό τμήματος δ παράλληλου στη βάση, είναι τμήμα ( δ ) παράλληλο στο δ Δύο ίσα τμήματα στην ίδια παράλληλη προς τη βάση ευθεία, απεικονίζονται σε ίσα τμήματα Έτσι πχ το μέσον ενός παράλληλου προς τη βάση τμήματος απεικονίζεται στο μέσον του ( δ ) 3
Προοπτικό ευθείας του π διερχόμενης από την προβολή Ο ' του κέντρου Ο στο π είναι ευθεία κάθετη στη βάση β Έτσι πχ δύο ευθείες ε, ε του π διερχόμενες από το Ο, απεικονίζονται σε ευθείες παράλληλες (αμφότερες κάθετες στη βάση β) Όλες οι ευθείες ενός επιπέδου p που περιέχει την ευθεία προβολής OO ' του κέντρου Ο στο π, απεικονίζονται στην ίδια ευθεία του πίνακα (αυτή είναι το ίχνος του p επί του πίνακα) και είναι κάθετη στη βάση Η εικόνα μιας ευθείας κάθετης στο π είναι ευθεία παράλληλή της (οπότε κάθετη στη βάση) 43 Προοπτική εικόνα κύβου Ζητείται η προοπτική εικόνα του κύβου 345678 του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ ',σ '') Τα σημεία 5,6,7,8 προβάλλονται επί του π αντιστοίχως στα,,3,4 Για απλοποίηση, θεωρούμε πως η βάση 34 ανήκει στο π Σχήμα 5 Κατασκευή της προοπτικής εικόνας ενός κύβου 345678 με τη βάση 34 στο π - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευή στο παραστατικό: Βρίσκουμε τις τομές Ε', Ε', Ζ', Ζ ' της σ ' με τις ευθείες ε ' = ' ', ε ' = 3' 4', ζ ' = ' 4', ζ ' = ' 3', των πλευρών της βάσης 34 Χαράσσουμε τις παράλληλες από το Ο ' προς τις διευθύνσεις των εi, ζ i που τέμνουν την σ ' στα Φε', Φ ζ ' Επίσης χαράσσουμε κάθετη από το Ο ' που τέμνει την σ ' στο Φ ' - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία Ε', Ε', Ζ', Ζ', Φε', Φ ζ ' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της β, λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ ' - Κατασκευή στο προοπτικό: Χαράσσουμε τις κάθετες από τα Φ ', Φ ' στην β που τέμνουν την φ στα Φ, Φ Βρίσκουμε τα ( ),( ),( 3 ),( 4 ) ως τομές των δύο ευθειών από το Φ ε και τα Ε', Ε ' με τις δύο ευθείες από το Φ ζ και τα Ζ', Ζ ' Χαράσσουμε τμήματα με άκρα τα Ζ', Ζ ' και μήκη όσο το ύψος (' ' από το ε ζ ε ζ 4
παραστατικό) του κύβου με φορά και δεύτερα άκρα έστω τα αβ, Βρίσκουμε τα ( 5 ),( 6 ),(7 ),( 8 ) ως τομές των δύο ευθειών από τα ( ),( ),( 3 ),( 4 ) που είναι κάθετες στην β, με τις ευθείες Φα ζ (για τα (5),(8)) και τις ευθείες Φζ β (για τα ( 6 ),(7 ) ) Χαράσσουμε τα τμήματα ( )( ),,( 4 )( ),( 5 )( 6 ),,( 4 )( 8 ) που είναι οι προοπτικές εικόνες των ακμών του δοσμένου κύβου Σχήμα 6 Σχήμα 7 44 Προοπτική εικόνα ορθού πρίσματος Ζητείται η προοπτική εικόνα του ορθού πρίσματος 345678 του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ', σ '') Τα σημεία 5,6,7,8 προβάλλονται επί του π αντιστοίχως στα,,3,4 Για απλοποίηση, θεωρούμε πως η βάση 34 ανήκει στο π 5
Σχήμα 8 Οι κατασκευές στο παραστατικό σχήμα και επί του πίνακα δίνονται στα δύο επόμενα σχήματα και μια σύνοψη αμέσως μετά Σχήμα 9 6
Σχήμα 30 Κατασκευή της προοπτικής εικόνας ενός ορθού πρίσματος 345678 με τη βάση 34 στο π Τα βήματα είναι ίδια με αυτά της περίπτωσης του κύβου με τις εξής τροποποιήσεις: - Οι διευθύνσεις των πλευρών της βάσης 34 είναι τώρα εν γένει 4, αντί για της περίπτωσης του κύβου, και θα δώσουν 4 αντίστοιχα σημεία Φ', Φ', Φ3', Φ 4' της σ ' που θα μεταφερθούν στην β - Επίσης, καθώς οι διευθύνσεις πχ των 67,58 δεν είναι πλέον εν γένει παράλληλες, για να βρούμε τις προοπτικές εικόνες ( 6 ),(7 ) και (5),(8) θα χρησιμοποιήσουμε δύο αντί για ένα κάθετα τμήματα στη β, πχ τα Ε' α, Ε4' β και τότε τα ( 6 ),(7 ) ανήκουν στην ευθεία Φα, ενώ τα (5),(8) ανήκουν στην ευθεία Φβ 4 45 Προοπτική εικόνα πυραμίδας Ζητείται η προοπτική εικόνα της πυραμίδας Κ 34 κορυφής Κ του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ', σ '') Για απλοποίηση, θεωρούμε πως η βάση 34 ανήκει στο π Σχήμα 3 7
Κατασκευή της προοπτικής εικόνας πυραμίδας Κ 34 με τη βάση 34 στο π - Κατασκευάζουμε τις προοπτικές εικόνες των κορυφών,,3,4 της βάσης κατά τα γνωστά, ως σημείων του επιπέδου π - Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα της κορυφής Κ ως σημείου του χώρου κατά τα γνωστά - Χαράσσουμε τα τμήματα ( )( ),( )( 3 ),,( Κ )( 4 ) που είναι οι προοπτικές εικόνες των ακμών της πυραμίδας Σχήμα 3 Σχήμα 33 8
46 Προοπτικές εικόνες μη ευθύγραμμων σχημάτων Αν f μια προοπτική απεικόνιση, η εύρεση της προοπτικής εικόνας f( γ ) μιας μη ευθύγραμμης επίπεδης καμπύλης γ γίνεται με την εύρεση ικανοποιητικού αριθμού εικόνων f( Μ i ) σημείων M i της γ Όπως και στην περίπτωση των παραστατικών σχημάτων, θα βρίσκουμε προσεγγιστικά την τελική εικόνα f( γ ) της γ «συμπληρώνοντας» με καμπύλα τόξα μεταξύ των διαδοχικών εικόνων τόξων αυτών μπορούμε αν θέλουμε να θεωρούμε τις εφαπτόμενες ευθείες χαράσσουμε τα τόξα ως εφαπτόμενα στις ευθείες f( ε i ) στα f( Μ i ) f( Μ ) Για την καλύτερη χάραξη των i ε i της γ στα M i, και να 46 Προοπτική εικόνα κύκλου του π Ζητείται η προοπτική εικόνα του κύκλου γ του επιπέδου π του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ', σ '') Η ζητούμενη προοπτική εικόνα είναι η τομή του πίνακα με τον κυκλικό κώνο κέντρου Ο και οδηγό καμπύλη τον κύκλο γ Πρόκειται λοιπόν για μια κωνική τομή Στο παράδειγμά μας αυτή είναι μια έλλειψη Από τη θεωρία ξέρουμε πως μια έλλειψη καθορίζεται (δηλαδή η τοποθέτησή της στο επίπεδο) από 5 σημεία της, οπότε για την προοπτική εικόνα του κύκλου γ για την οποία ενδιαφερόμαστε θα προσπαθήσουμε να κατασκευάσουμε τις εικόνες 5 τουλάχιστον σημείων του Σχήμα 34 Κατασκευή της προοπτικής εικόνας κύκλου γ του π - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευή στο παραστατικό: Επιλέγουμε τα σημεία,,,8 του κύκλου στα οποία οι εφαπτόμενές του δημιουργούν γωνίες o o o 0 0,45,90,35 ως προς τηνσ ' Ονομάζουμε εζη,, τις διευθύνσεις των ευθειών που δημιουργούν γωνίες o o o 45,35, 90 με την ' σ και βρίσκουμε τα σημεία E i', Z j', H k' τομής της σ ' με τις εφαπτόμενες του κύκλου στα επιλεγμένα σημεία οι οποίες έχουν τις διευθύνσεις εζη,, αντιστοίχως 9
Χαράσσουμε τις παράλληλες από το Φ ', Φ ', Φ ' = Φ' αντιστοίχως ε ζ η Ο ' προς τις διευθύνσεις των εζη,, που τέμνουν την σ ' στα - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία E i', Z j', H k', Φε', Φ ζ' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της β, λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ ' - Κατασκευή στο προοπτικό: Βρίσκουμε τα Φ, Φ επί της ϕ ως τομές της με τις κάθετες στην β από τα Φ, Φ ε ζ Το Φ η ταυτίζεται με το Φ Τα προοπτικά καθενός από τα σημεία του κύκλου γ των οποίων οι εφαπτόμενες στον κύκλο που δημιουργούν γωνίες o 45 ή o 35 (στο σχήμα τα,4,6,8 ) τα βρίσκουμε ως τομή των προοπτικών εικόνων μιας ευθείας με τη διεύθυνση ε και μιας με τη διεύθυνση δ Τα προοπτικά των σημείων με εφαπτόμενες παράλληλες στην σ ' (στο σχήμα τα,5 ) προκύπτουν εύκολα πχ ως μέσα των τμημάτων ( Α)( Β ),( Γ )( ) όπου ΑΒ, Γ οι πλευρές οι παράλληλες στην σ ' του τετραγώνου που δημιουργείται από τις εφαπτόμενες των διευθύνσεων των παράλληλων και κάθετων στη σ ' Χαράσσουμε τη ζητούμενη έλλειψη ώστε να διέρχεται από τις παραπάνω εικόνες των έξι σημείων και να εφάπτεται σε αυτά στις αντίστοιχες εικόνες των εφαπτομένων του δοσμένου κύκλου ε ζ Παρατηρήστε πως παρότι χρησιμοποιήσαμε όλες τις εφαπτόμενες ευθείες στα επιλεγμένα σημεία, τις προοπτικές εικόνες ( 3 ),(7 ) των σημείων 3 και 7 δεν χρειάστηκε να τις βρούμε Πως θα τις κατασκευάζατε αν ήταν επιβεβλημένο; Σχήμα 35 0
Σχήμα 36 46 Προοπτική εικόνα οριζόντιου κύκλου Για την προοπτική εικόνα οριζόντιου κύκλου που ανήκει στο επίπεδο α π διάφορο του π αρκεί να αλλάξουμε το παραστατικό σύστημα των επιπέδων ( π, π ) σε ( α π, π ) και να επαναλάβουμε την τελευταία κατασκευή Υπενθύμιση: Για την αλλαγή του παραστατικού συστήματος των κάθετων επιπέδων στο σύστημα ( α π, π ) με α π παράλληλο στο π και προσημασμένη απόσταση υ από αυτό (αποστάσεις μετρημένες κατά τον άξονα z' z των υψομέτρων Αν σ '' το δεύτερο ίχνος του α π, είναι d( π, α π) = ± υ): α α α Η εικόνα του τυχαίου σημείου Α του χώρου από ( Α', Α '') στο ( π, π ) γίνεται ( Α', Α'') = ( Α', Α''), όπου το α a Α ' βρίσκεται στην ευθεία ΑΑ ' '' σε προσημασμένη απόσταση υ = Α' Α' από το Α ' Αν η παράσταση ΑΑ ( ', Α '') του σημείου Α και του επιπέδου α π (με δεύτερο ίχνος είναι όπως στο επόμενο παραστατικό σχήμα, σ '' ) στο σύστημα ( π, π ) Σχήμα 37 α α τότε η παράσταση Α( Α', Α '') του Α στο σύστημα ( α π, π ) είναι όπως στο επόμενο παραστατικό σχήμα:
Σχήμα 38 463 Προοπτική εικόνα κατακόρυφου κύκλου Ζητείται η προοπτική εικόνα του κύκλου γ ενός κατακόρυφου επιπέδου π ( s ',s '') του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ', σ '') Όπως και στην περίπτωση του προοπτικού κύκλου του π, η ζητούμενη προοπτική εικόνα είναι και πάλι η τομή του πίνακα με τον κυκλικό κώνο κέντρου Ο και οδηγό καμπύλη τον κύκλο γ Πρόκειται λοιπόν για μια κωνική τομή Στο παράδειγμά μας αυτή είναι μια έλλειψη Για τη για τη ζητούμενη κατασκευή της προοπτικής εικόνας του γ χρησιμοποιούμε τα άκρα,4 και,6 των διαμέτρων του γ των παράλληλων και κάθετων στο ίχνος του π 0, καθώς και άλλα δύο σημεία 3,5 του γ Καθώς ισχύουν παρόμοιες παρατηρήσεις με αυτές της περίπτωσης του κύκλου επί του π τα σημεία -6 (ή και - 4) αρκούν για τη ζητούμενη κατασκευή της προοπτικής εικόνας του γ Μια σημαντική διαφορά στην παρούσα περίπτωση είναι πως τα σημεία -6 δεν βρίσκονται στο επίπεδο π οπότε για τις προοπτικές τους εικόνες πρέπει να ανακαλέσουμε την κατασκευή που χρησιμοποιεί τα υψόμετρά τους 0 Σχήμα 39
Κατασκευή της προοπτικής εικόνας κύκλου γ του κατακόρυφου επιπέδου π 0( s ',s '') - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευή στο παραστατικό: Επιλέγουμε τα σημεία,,3,4,5,6 του κύκλου ώστε 4 διάμετρος παράλληλη στην s', 6 διάμετρος κάθετη στην s', και 3,5 τυχαία σημεία συμμετρικά τοποθετημένα ως προς την ευθεία 4 Στο σχήμα τα σημεία αυτά εμφανίζονται με τις πρώτες και δεύτερες προβολές τους (πχ το ως ( ','') Βρίσκουμε την τομή S' της σ ' με την s' Χαράσσουμε από το Ο ' την κάθετη προς την σ ' και την παράλληλη προς την s' που τέμνουν την σ ' αντιστοίχως στα Φ', Φ s ' Χαράσσουμε τις κάθετες από τα ',',3',4' προς την σ ' που την τέμνουν στα E ',,E 4' - Μεταφορά δεδομένων από το παραστατικό στο προοπτικό: Τα σημεία E ',,E 4', Φ s',s' της σ ' του παραστατικού τα μεταφέρουμε στο προοπτικό επί της β, λαμβάνοντας υπόψη τη σχετική τους τοποθέτηση ως προς το Φ ' - Κατασκευή στο προοπτικό: Βρίσκουμε το Φ s επί της ϕ ως τομής της με την κάθετη στην β από το Φ s ' Χαράσσουμε ευθεία από το S' κάθετη στην β και πάνω της σημειώνουμε σημεία α, α, με προσημασμένη απόσταση από το S' όσο τα υψόμετρα υ, υ, των,, Βρίσκουμε τις προοπτικές εικόνες ( '),( '), των ',', που είναι σημεία του π με το γνωστό τρόπο Βρίσκουμε την προοπτική εικόνα υ υ ( ),( ), καθενός από τα,, ως τομή της ευθείας της κάθετης προς την β από το ( '),( '), με την ευθεία που διέρχεται από το Φ και το σημείο α υ i του αντίστοιχου υψομέτρου Χαράσσουμε τη ζητούμενη έλλειψη που είναι η προοπτική εικόνα του γ ώστε να διέρχεται από τις παραπάνω εικόνες των έξι σημείων ( ),( ), και να εφάπτεται στις ευθείες Φ a s υ και Φ a s υ 6 Εξηγήστε γιατί η ( γ ) εφάπτεται στις Φ και s a υ Φ a s υ 6 όπως αναφέρεται στο τέλος της προηγούμενης κατασκευής Σχήμα 40 3
Σχήμα 4 Στο τελευταίο σχήμα σημειώσαμε και την προοπτική εικόνα του κέντρου Κ της δοσμένης έλλειψης παρατηρείτε; γ ' Τι Βασισμένοι στα προηγούμενα, ας βρούμε την προοπτική εικόνα ενός κυλίνδρου 464 Προοπτική εικόνα κυλίνδρου Ζητείται η προοπτική εικόνα του ορθού κυκλικού κυλίνδρου του επόμενου παραστατικού σχήματος από το σημείο Ο( Ο', Ο '') στον πίνακα π( σ', σ '') Για απλοποίηση, θεωρούμε πως η βάση γ του κυλίνδρου ανήκει στο π Σχήμα 4 4
Κατασκευή της προοπτικής εικόνας ορθού κυκλικού κυλίνδρου με τη βάση τουγ στο π - Σύστημα αναφοράς προοπτικού σχήματος: Στο χαρτί μας χαράσσουμε παράλληλες ευθείες φβ, σε απόσταση ίση με την απόλυτη τιμή του υψομέτρου του Ο Στις φβ, τοποθετούμε σημεία ΦΦ, ' αντιστοίχως ώστε ΦΦ ' κάθετη στις φβ, - Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα της βάσης γ που ανήκει στο π, με τον τρόπο που αναπτύξαμε στο παράδειγμα για την κατασκευή προοπτικής εικόνας κύκλου του π Συνοπτικά: Επιλέγουμε στο παραστατικό τα σημεία,,,8 του γ στα άκρα των διαμέτρων των παράλληλων και κάθετων στην σ ' και των διαμέτρων 0 0 που δημιουργούν γωνία 45 ή 35 με την σ ' Χαράσσουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία αυτά, και μεταφέρουμε για τις ευθείες αυτές τα δεδομένα στο προοπτικό και τις χρησιμοποιούμε για την εύρεση των προοπτικών εικόνων ( ),( ), των,, Σχεδιάζουμε την έλλειψη ( γ ) ως διερχόμενη από τα ( ),( ), και εφαπτόμενη στις προοπτικές εικόνες των εφαπτομένων του γ - Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα της άλλης βάσης γ του κυλίνδρου ως εικόνα οριζόντιου κύκλου, όπως σημειώθηκε στην αντίστοιχη παράγραφο Συγκεκριμένα, τη σχεδιάζουμε ως έλλειψη διερχόμενη από τις α α α προοπτικές εικόνες των σημείων του,,, 8 που βρίσκονται στα άλλα άκρα των γενετειρών του α α κυλίνδρου από τα,,,8 Για να βρούμε τις προοπτικές εικόνες ( ),( ), στο προοπτικό, κάνουμε μια αλλαγή του συστήματος ( π, π ) σε ( α π, π ), όπου α π το οριζόντιο επίπεδο της βάσης γ Συνοπτικά: βρίσκουμε στο παραστατικό σχήμα την απόσταση υ του επιπέδου της πάνω βάσης από το π (προσημασμένο ύψος του κυλίνδρου), και στο προοπτικό σχήμα χαράσσουμε την ευθεία α β την παράλληλη στην β και σε προσημασμένη απόσταση υ από αυτή Το νέο σύστημα στο προοπτικό μας σχήμα έχει βάση την α β και ευθεία φυγής ξανά την ϕ Το Φ παραμένει ως σημείο αρχής για την ϕ Τα σημεία επάνω στην α β που α α πρέπει να μεταφέρουμε από το παραστατικό ως τομές της σ' = π π με τις εφαπτόμενες του γ στα α α,, καθώς και ως τομές της με τις παράλληλες σε αυτές τις εφαπτόμενες από το α Ο ' (=προβολή του Ο στο α π ) είναι απλώς οι τομές της α β με τις κάθετες στην β από τα αντίστοιχα σημεία επάνω της που α α σημειώσαμε για την κατασκευή των ( ),( ), Έτσι για την ολοκλήρωση της κατασκευής των ( ),( ), επαναλαμβάνουμε τα βήματα της κατασκευής των ( ),( ), - Τέλος χαράσσουμε στο προοπτικό σχήμα τα κατακόρυφα τμήματα (εδώ τα ( 4 )( 4'),(7 )(7') ) που αποτελούν προοπτικές εικόνες του κατακόρυφου περιγράμματος (στο παραστατικό σχήμα) του κυλίνδρου Οι απαραίτητες κατασκευές στο παραστατικό και επί του πίνακα παρουσιάζονται στα δύο επόμενα σχήματα: 5
Σχήμα 43 Σχήμα 44 6
Άσκηση Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του σημείου Α του π Σχήμα 45 7
Άσκηση Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του τετραγώνου 34 του π Σχήμα 46 8
Άσκηση 3 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του πολυγώνου 3456 του π Σχήμα 47 9
Άσκηση 4 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του σημείου Μ του τμήματος ΑΒ του π για το οποίο ΑΜ ΜΒ = 3 Σχήμα 48 30
Άσκηση 5 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του δικτυωτού μοτίβου του επόμενου σχήματος, που ανήκει στο επίπεδο π Σχήμα 49 3
Άσκηση 6 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του σημείου Α του χώρου Σχήμα 50 3
Άσκηση 7 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα της ευθείας ε του χώρου Σχήμα 5 33
Άσκηση 8 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του ορθογωνίου παραλληλογράμμου 345678 ο οποίος έχει τη βάση του 34 στο π Σχήμα 5 34
Άσκηση 9 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του ορθού πρίσματος 345678 το οποίο έχει τη βάση του 34 στο π Σχήμα 53 35
Άσκηση 0 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα της πυραμίδας Κ34 η οποία έχει τη βάση της 34 στο π Σχήμα 54 36
Άσκηση Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του κύκλου γ του π Σχήμα 55 37
Άσκηση Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του οριζόντιου κύκλου γ Σχήμα 56 38
Άσκηση 3 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του κατακόρυφου κύκλου γ του επιπέδου p( s's, '') Σχήμα 57 39
Άσκηση 4 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του ορθού κυκλικού κυλίνδρου του επόμενου σχήματος, ο οποίος έχει τη βάση του γ στο π Σχήμα 58 40
Άσκηση 5 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα της αψίδας Η αψίδα αυτή έχει πρόσοψη ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο από το οποίο αφαιρέθηκε ένα μικρότερο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο μαζί με ένα ημικύκλιο στην κορυφή του μικρού ορθογωνίου Πιο αυστηρά: η αψίδα μας είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κορυφών,,3,4,5,6,7,8 (με τη βάση του,,3,4 επί του π ) από το οποίο αφαιρέθηκαν (α) το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο κορυφών 9,0,,,3,4,5,6 (με τις 9, στο τμήμα 4 και τις 0, στο τμήμα 3 ), (β) ορθός κυκλικός κύλινδρος (η ακριβέστερα ο μισός αυτού) με οδηγό γραμμή κύκλο γ κατακόρυφου επιπέδου (η ακριβέστερα ημικύκλιο γ ) με διάμετρο το τμήμα των σημείων3 και 6 Τα γενέτειρα τμήματα του κυλίνδρου είναι παράλληλα, ομόρροπα και ίσα του τμήματος με άκρα τα σημεία3 και 4 Σχήμα 59 4
Άσκηση 6 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα του κτιρίου του επόμενου σχήματος Η βάση του κτιρίου βρίσκεται στο π Σχήμα 60 4
Άσκηση 7 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε προοπτική εικόνα της κλίμακας (σκάλας) του επόμενου σχήματος Σχήμα 6 43
Άσκηση 8 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα της στήλης (βάση, κίονας, κιονόκρανο) του επόμενου σχήματος από το Ο επί του πίνακα π( σ ',σ '') Ο κίονας είναι ορθός κυλινδρικός, ενώ η βάση και το κιονόκρανο ορθογώνια παραλληλεπίπεδα (πρίσματα) Η βάση εδράζεται επί του π, ο κίονας εδράζεται επί της βάσης, ενώ το κιονόκρανο εδράζεται επί του κίονα Σχήμα 6 44
Άσκηση 9 Στην προοπτική απεικόνιση κέντρου Ο( Ο',Ο'') και πίνακα σ( σ ',σ ''), βρείτε την προοπτική εικόνα της σήραγγας (ορθού κυκλικού ημικυλίνδρου) με οριακές γενέτειρες επί του π 45
ΟΜΟΛΟΓΙΑ 5 Εισαγωγή Ομολογία ονομάζουμε κάθε προβολική απεικόνιση ενός προβολικού επιπέδου στον εαυτό του (δηλαδή απεικόνιση που διατηρεί το διπλό λόγο τεσσάρων σημείων, ισοδυνάμως, πεπερασμένη σύνθεση προοπτικών απεικονίσεων) με την επιπλέον ιδιότητα να αφήνει αναλλοίωτα τα σημεία μιας ευθείας Έτσι, ομολογία είναι κάθε απεικόνιση F : F : Π Π ', Π Π ' = προβολικό επίπεδο, σημείο σημείο ευθεία ευθεία ( A, A, A3, A4) = ( F( A), F( A), F( A3), F( A4 )) Μ σ FM ( ) = M, σ = δοσμένη ευθεία Στις 9, θα διαπιστώσουμε πως οι ομολογίες αποτελούν γενικεύσεις πολλών γνωστών απεικονίσεων του ευκλείδειου επιπέδου, όπως πχ πολλών ευκλείδειων μετατοπίσεων, και των ομοιοθεσιών Οι ομολογίες είναι ένα πολύ σημαντικό υποσύνολο προβολικών απεικονίσεων ενός προβολικού επιπέδου στον εαυτό του Οι υπόλοιπες προβολικές απεικονίσεις ενός προβολικού επιπέδου στον εαυτό του ονομάζονται ομοπαραλληλικές προβολικές απεικονίσεις αλλά δεν θα ασχοληθούμε με αυτές στις παρούσες σημειώσεις Δουλεύοντας με δοσμένη ομολογία F, θα είναι βολικότερο να αγνοούμε το όνομά της και να συμβολίζουμε για κάθε Α Π την εικόνα F( Α) ως A' Π' Θα ονομάζουμε το Α' ως ομόλογο του Α, και το ζεύγος ( Α,Α') ως ζεύγος ομόλογων σημείων Ομοίως, θα συμβολίζουμε την εικόνα F(ε) της τυχαίας ευθείας ε Π, ως ε' Π' Θα ονομάζουμε την ε' ως ομόλογη της ε, και το ζεύγος ( ε,ε') ως ζεύγος ομόλογων ευθειών Αλλά και για τυχαίο σχήμα Σ (υποσύνολο του επιπέδου), την εικόνα του F( Σ) θα ονομάζουμε ομόλογη του Σ Παρατηρήστε πως το Σ δεν είναι απαραιτήτως ομόλογο του F( Σ) (ελέγξτε το πχ όταν το Σ είναι σημείο)! Όμως η αντίστροφη απεικόνιση F της F ορίζεται και είναι επίσης ομολογία (δικαιολογήστε), και παρατηρήστε πως για αυτή την απεικόνιση, το Σ είναι ομόλογο του F( Σ) (δικαιολογήστε) Στο εξής θα χρησιμοποιούμε τόνους για να συμβολίζουμε το ομόλογο ενός σημείου ή την ομόλογη μιας ευθείας Είναι σημαντικό να συνειδητοποιήσουμε πως η ομολογία ως απεικόνιση έχει πεδίο ορισμού και πεδίο τιμών Έτσι παρότι αποτελεί απεικόνιση ενός προβολικού επιπέδου στον εαυτό του, το πεδίο ορισμού της Π θα θεωρείται διαφορετικό από το πεδίο τιμών της Π' Αν F id τότε: - Υπάρχει (μοναδική) ευθεία σ πάνω στην οποία τέμνονται όλα τα ζεύγη ( ε,ε') ομόλογων ευθειών Κάθε σημείο της σ ταυτίζεται με το ομόλογό του (Ισχύουν εξαιτίας του ορισμού) - Υπάρχει (μοναδικό) σημείο Κ (έξω ή και πάνω στην σ ) από το οποίο διέρχονται όλες οι ευθείες ΑΑ' που ορίζονται από ζεύγη ομόλογων σημείων ( Α,Α') Το ομόλογο του Κ είναι ο εαυτός του (Αποδείξτε τα) Ονομάζουμε την ευθεία σ ως άξονα της ομολογίας και το σημείο Κ ως κέντρο της ομολογίας Καθώς είναι εξαιρετικά σημαντικό, επαναλαμβάνουμε: - Δύο τυχαία ομόλογα σημεία ορίζουν ευθεία διερχόμενη από το κέντρο Κ - Δύο τυχαίες ομόλογες ευθείες τέμνονται επάνω στον άξονα σ Οι παρατηρήσεις αυτές αποτυπώνονται οπτικοποιημένες στα δύο επόμενα σχήματα Σχήμα 63 Σχήμα 64 46
Εκτός του ενδιαφέροντος που παρουσιάζουν οι χαρακτηριστικές ιδιότητες του κέντρου και του άξονα μιας ομολογίας, η σπουδαιότητα των δύο αυτών στοιχείων έγκειται στην παρατήρηση πως: Κάθε ομολογία ορίζεται από το κέντρο, τον άξονα και ένα ζεύγος ομόλογων (αντίστοιχων) σημείων Η δικαιολόγηση δίνεται στην αμέσως επόμενη παράγραφο Έτσι, τις ομολογίες μας θα τις ορίζουμε συχνά με το να καθορίζουμε το κέντρο τους, τον άξονά τους και ένα ζεύγος ομόλογων σημείων τους 6 Κατασκευή του ομόλογου σημείου σε δοσμένη ομολογία Εδώ η ομολογία καθορίζεται από τα Κ,σ και το ζεύγος των ομόλογων σημείων ( Α,Α') Για την εύρεση του ομολόγου Β' ενός σημείου Β που δεν ανήκει στην ευθεία ΑΑ', χαράσσουμε την ευθεία ΑΒ που τέμνει τον άξονα έστω στο Μ Τότε η ομόλογη της ευθείας ΑΜ είναι η Α' Μ ' = ΑΜ, και το ομόλογο του Β ανήκει και στην ευθεία ΚΒ (γιατί;), και στην ευθεία Α' Μ (γιατί;) Συνεπώς Β' = ΑΒ Α' Μ Για την εύρεση του ομολόγου Γ' ενός σημείου Γ που ανήκει στην ευθεία ΑΑ', βρίσκουμε πρώτα το ομόλογο Β' ενός σημείου Β που δεν ανήκει στην ευθεία, και κατόπιν επαναλαμβάνουμε την προηγούμενη κατασκευή με δοσμένο το ζεύγος των ομολόγων ( Β,Β') και το Γ εκτός της ευθείας ΒΒ' Σχήμα 65 Σχήμα 66 Προσπαθήστε να βρείτε το ομόλογο του ' στο Σχήμα 66 Παράδειγμα Κατασκευή του ομολόγου παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ Για τον καθορισμό της ομολογίας δίνονται τα Κ,σ και το ζεύγος των ομόλογων σημείων ( Α,Α') Για την εύρεση του ομολόγου Α'Β'Γ'Δ' του ΑΒΓΔ ακολουθούμε την κατασκευή του σχήματος 67, επαναλαμβάνοντας ουσιαστικά διαδοχικά για τα Β,Γ,Δ την κατασκευή της εύρεσης του ομόλογου ενός σημείου που αναφέραμε προηγουμένως: Σχήμα 67 Σχήμα 68 47
Παρατηρήστε πως το ομόλογο Α'Β'Γ'Δ' του ΑΒΓΔ δεν είναι εν γένει παραλληλόγραμμο Μπορείτε να εξηγήσετε γιατί συμβαίνει αυτό; 7 ΕΥΘΕΙΕΣ ΦΥΓΗΣ φ,φ ' ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ Για την ομολογία F:Π Π', ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η μελέτη των επ άπειρον ευθειών Π,Π' των Π,Π' Προκειμένου να αποφύγουμε τη συνεχή χρήση του συμβόλου του απείρου, συνηθίζεται να χρησιμοποιούμε τους ακόλουθους συμβολισμούς στους οποίους το σύμβολο φ προκύπτει από τη λέξη «φυγή»: F:Π Π' φ φ ' = Π' Π' = επ' άπειρον ευθεία του Π' Π = φ φ ' Π = επ' άπειρον ευθεία του Π Ακολουθούν κάποιοι ορισμοί και παρατηρήσεις Οι φ,φ ' ονομάζονται πρώτη και η δεύτερη ευθεία φυγής της ομολογίας αντιστοίχως Οι φ,φ ' είναι παράλληλες στον άξονα σ Για κάθε ευθεία ε, το σημείο της ε Επίσης, το σημείο φυγής της ε Φ ε που η ομολογία το στέλνει στο άπειρο είναι το πρώτο σημείο φυγής της Φ ε στο οποίο στέλνει η ομολογία το επ άπειρον σημείο της ε, είναι το δεύτερο σημείο Το πρώτο σημείο φυγής Φ ε της ε ανήκει στην ίδια την ε, ανήκει επίσης στην πρώτη ευθεία φυγής φ της ομολογίας, αλλά και στην παράλληλο προς την ομόλογό της ε από το Κ Οι δύο τελευταίες ιδιότητες εξηγούν και τις ονομασίες ως ευθείες φυγής των φ,φ ' Η φ φιλοξενεί επάνω της όλα τα σημεία των διαφόρων ευθειών του επιπέδου των οποίων η εικόνα «φεύγει» στο άπειρο Η φ' φιλοξενεί επάνω της, τις εικόνες των επ άπειρον σημείων όλων των ευθειών, δηλαδή των σημείων που έχουν «φύγει» στο άπειρο Το δεύτερο σημείο φυγής Φ ε της ευθείας ε ανήκει στην ομόλογό της ε', ανήκει επίσης στη δεύτερη ευθεία φυγής φ' της ομολογίας, αλλά και στην παράλληλη προς την ε από το Κ Η απόσταση της φ από το κέντρο, είναι ίση με την απόσταση της φ' από τον άξονα και αντιστρόφως η απόσταση της φ' από το κέντρο, είναι ίση με την απόσταση της φ από τον άξονα Το κέντρο και ο άξονας βρίσκονται αμφότεροι εντός ή αμφότεροι εκτός της ζώνης των παραλλήλων φ,φ ' Στην παράγραφο που ακολουθεί παρουσιάζουμε την κατασκευή των ευθειών φυγής μιας ομολογίας 7 Κατασκευή των ευθειών φυγής φ,φ ' μιας ομολογίας Για τον καθορισμό της ομολογίας δίνονται τα Κ,σ και το ζεύγος των ομόλογων σημείων ( Α,Α') Για την κατασκευή των ευθειών φυγής φ,φ ' της ομολογίας εκμεταλλευόμαστε τις ιδιότητες που αναφέραμε προηγουμένως και ακολουθούμε τον εξής κανόνα: Χαράσσουμε ένα τυχαίο ζεύγος ομόλογων ευθειών διερχόμενων από τα Α,Α' αντιστοίχως, και κατόπιν χαράσσουμε τις ευθείες από το κέντρο Κ τις παράλληλες στις ε,ε' Αυτές οι νέες ευθείες τέμνουν τις ε',ε αντιστοίχως στα ε ' = Φ ε,φ Οπότε οι ζητούμενες ευθείες ε φ,φ ' είναι οι παράλληλες προς τον άξονα σ από τα Φ ε,φ ε αντιστοίχως Πρακτικά: κατασκευάζουμε παραλληλόγραμμο με διευθύνσεις τις ε,ε', μία κορυφή το Κ και απέναντι κορυφή στον άξονα Οι ευθείες από τις άλλες δύο κορυφές οι παράλληλες στον άξονα είναι οι ζητούμενες ευθείες φυγής φ,φ ' της ομολογίας Η ορθότητα της κατασκευής έγκειται στο γεγονός πως αν ε ζ δύο παράλληλες ευθείες, τότε οι ε,ζ έχουν το ίδιο δεύτερο σημείο φυγής που προκύπτει ως τομή της φ' με την ευθεία από το την παράλληλη στη διεύθυνση των ε,ζ 48
Σχήμα 69 Σχήμα 70 Εκτός του ενδιαφέροντος που παρουσιάζουν οι ιδιότητες των ευθειών φυγής μιας ομολογίας, η σπουδαιότητά τους έγκειται στην παρατήρηση πως: Κάθε ομολογία ορίζεται από το κέντρο, τον άξονα και μια οποιαδήποτε από τις ευθείες φυγής Εδώ, όταν θα χρησιμοποιούμε τις ευθείες φυγής για τον καθορισμό μιας ομολογίας, θα επιλέγουμε την φ Στην επόμενη παράγραφο δείχνουμε πως πράγματι το ομόλογο τυχαίου σημείου μπορεί να καθοριστεί όταν δεδομένα είναι το κέντρο, ο άξονας και η πρώτη ευθεία φυγής 8 Κατασκευή ομολόγου ενός σημείου σε δοσμένη ομολογία Εδώ, για τον καθορισμό της ομολογίας δίνονται τα Κ,σ και φ Για την εύρεση πχ του ομολόγου Α' ενός σημείου Α ακολουθούμε την εύγλωττη κατασκευή του σχήματος 7 Δηλαδη: Σχήμα 7 Σχήμα 7 Χαράσσουμε τυχαία ευθεία ε από το Α που τέμνει τον άξονα έστω στο και την φ έστω στο ε Το ζητούμενο σημείο ' είναι η τομή της ευθείας με την παράλληλη προς την ε από το 9 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ Σε τούτη τη σύντομη παράγραφο η ομολογία δεν θα είναι δεδομένη, παρά θα ζητείται να την ορίσουμε εμείς ώστε να ικανοποιεί κάποια ιδιότητα Θα περιοριστούμε στην πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα να μετασχηματίζει δοθέν τετράπλευρο ΑΒΓΔ σε παραλληλόγραμμο Α'Β'Γ'Δ', ή σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, ή σε τετράγωνο Υπάρχουν αρκετές τέτοιες ομολογίες Για τον καθορισμό μιας οποιασδήποτε από αυτές, θα δώσουμε τον άξονά της, το κέντρο της και την πρώτη ευθεία φυγής της 49
Για να εντοπίσουμε κάποια από αυτές, θα διευκολύνουμε την έρευνά μας θεωρώντας πως ο άξονάς της είναι ευθεία διερχόμενη από το Α και το κέντρο της Κ είναι σημείο της επιλογής μας Καθώς οι εικόνες Α' Β' = ΑΒ' και Γ ' Δ' των ευθειών, έχουν κοινό επ άπειρον σημείο, θα πρέπει οι ΑΒ,ΓΔ να μοιράζονται το πρώτο σημείο φυγής τους, δηλαδή να τέμνονται σε σημείο της φ, έστω Μ (εξηγήστε το λόγο) Το ίδιο σκεπτικό δείχνει πως οι ΑΔ,ΒΓ πρέπει επίσης να τέμνονται σε σημείο της φ, έστω Μ Συνεπώς η ευθεία φ πρέπει να είναι αυτή που διέρχεται από τα Μ,Μ, και η σ να είναι η παράλληλη προς την φ από το Α Όμως τα σ,φ,κ καθορίζουν την ομολογία και έχουμε τελειώσει Το σημείο Κ πράγματι μπορεί να είναι τυχόν αφού τα παραπάνω δεν περιορίζουν τη θέση του Η κατασκευή συνοπτικά: Ορισμός ομολογίας ώστε δοσμένο τετράπλευρο ΑΒΓΔ να απεικονίζεται σε παραλληλόγραμμο Επιλέγουμε τυχαίο σημείο και το ονομάζουμε Κ Βρίσκουμε το σημείο τομής Μ των ΑΒ,ΓΔ, και το σημείο τομής Μ των ΑΔ,ΒΓ Χαράσσουμε την ΜΜ ονομάζοντάς την φ, και χαράσσουμε την σ από το Α παράλληλα στην ΜΜ Η ομολογία F( Κ,σ,φ ) μετασχηματίζει το ΑΒΓΔ σε παραλληλόγραμμο Α'Β'Γ'Δ' Για να βρούμε το Α'Β'Γ'Δ' ακολουθούμε τη γνωστή κατασκευή Ως παράδειγμα της μεθόδου, έστω πως το δοσμένο τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι το επόμενο: Τότε η προτεινόμενη κατασκευή είναι η ακόλουθη: Σχήμα 73 Σχήμα 74 Αν η ομολογία που ορίσαμε πιο πάνω θέλουμε να απεικονίζει το ΑΒΓΔ σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, και όχι απλώς σε παραλληλόγραμμο, τότε θα πρέπει να επιλέξουμε το κέντρο Κ πιο προσεχτικά Θα πρέπει οι ευθείες ΚΜ,ΚΜ να είναι κάθετες, διότι είναι παράλληλες στις Α' Β',Α' Δ που τις απαιτούμε πλέον κάθετες μεταξύ τους Αν επιπλέον επιθυμούμε το Α'Β'Γ'Δ' να είναι τετράγωνο, είναι τετριμμένο να αποδείξουμε πως το Κ πρέπει να επιλεγεί στην τομή του κύκλου διαμέτρου ΜΜ με τον Απολλώνιο κύκλο των Μ,Μ και λόγο BM M / BA A, δηλαδή ώστε ΚΜ BM A = ΚΜ ΒΑ M Έτσι: Ορισμός ομολογίας ώστε δοσμένο τετράπλευρο ΑΒΓΔ να απεικονίζεται σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 50
Βρίσκουμε το σημείο τομής Μ των ΑΒ,ΓΔ, και το σημείο τομής Μ των ΑΔ,ΒΓ Χαράσσουμε την ΜΜ ονομάζοντάς την φ, και χαράσσουμε την σ από το Α παράλληλα στην ΜΜ Επιλέγουμε τυχαίο σημείο στον κύκλο διαμέτρου ΜΜ και το ονομάζουμε Κ Η ομολογία F( Κ,σ,φ ) μετασχηματίζει το ΑΒΓΔ σε ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Α'Β'Γ'Δ' Για να βρούμε το Α'Β'Γ'Δ' ακολουθούμε τη γνωστή κατασκευή Για να είναι το Α'Β'Γ'Δ' τετράγωνο, πρέπει το Κ' να επιλεγεί στο μέσο των ημικυκλίων με άκρα τα Μ,Μ Η προτεινόμενη κατασκευή είναι η εξής: Σχήμα 75 0 ΙΔΙΑΙΤΕΡΕΣ ΟΜΟΛΟΓΙΕΣ Οι ορισμοί που ακολουθούν αφορούν ομολογίες με ιδιαίτερα χαρακτηριστικά αναφορικά με τη θέση του κέντρου ως προς τον άξονα ή την επ άπειρον ευθεία, και τη θέση του άξονα ως προς την επ άπειρον ευθεία Από τα παρακάτω και την παράγραφο, θα γίνει φανερό πως αρκετές από τις ειδικές ομολογίες, όταν περιορίζονται στο ευκλείδειο επίπεδο δεν είναι τίποτε άλλο παρά κάποιοι γνωστοί μας ευκλείδειοι αφφινικοί μετασχηματισμοί του επιπέδου (αφφινικοί μετασχηματισμοί είναι οι μετατοπίσεις, οι ομοιοθεσίες και οι συνθέσεις τους) Δηλαδή οι ομολογίες του προβολικού επιπέδου αποτελούν γενίκευση πολλών συνηθισμένων ευκλείδειων απεικονίσεων, όπως αναφέραμε και στην αρχή του κεφαλαίου περί ομολογίας Παράλληλη ομολογία: Κ = επ άπειρον σημείο, άξονας όχι η επ άπειρον ευθεία Τότε: όλες οι ακτίνες από το Κ είναι παράλληλες (εντός του Ευκλείδειου χώρου) σε μια διεύθυνση δ, και η ομολογία καλείται παράλληλη στη διεύθυνση δ Η ευθεία τυχαίου ζεύγους ομόλογων σημείων ορίζει τη διεύθυνση δ Ορθή ομολογία: παράλληλη ομολογία με άξονα κάθετο στη διεύθυνσή της (η καθετότητα φυσικά κρίνεται εντός του Ευκλείδειου επιπέδου) Ειδική ομολογία τύπου : Κ = σημείο του άξονα Κ όχι το επ άπειρον σημείο, άξονας όχι η επ άπειρον ευθεία Ειδική ομολογία τύπου : Κ = σημείο του άξονα Κ το επ άπειρον σημείο, άξονας όχι η επ άπειρον ευθεία Τότε οι ευθείες που ορίζουν τα ζεύγη ομολόγων σημείων είναι παράλληλες στον άξονα Ειδική ομολογία τύπου 3: Κ = σημείο του άξονα, άξονας η επ άπειρον ευθεία Τότε: - οι ευθείες που ορίζουν τα ζεύγη ομόλογων σημείων διέρχονται από το κοινό επ άπειρον σημείο Κ, και άρα είναι όλες παράλληλες μεταξύ τους - Κάθε ζεύγος ομόλογων ευθειών τέμνεται επάνω στον άξονα, δηλαδή σε επ άπειρον σημείο, και άρα αποτελείται από δύο παράλληλες ευθείες - Συνεπώς όλα τα τμήματα ΑΑ' (στον Ευκλείδειο χώρο) μεταξύ ομόλογων σημείων είναι ίσα, δηλαδή η ομολογία είναι συνηθισμένη παράλληλη μεταφορά (στον Ευκλείδειο χώρο) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΙΔΙΑΙΤΕΡΕΣ ΟΜΟΛΟΓΙΕΣ Παράδειγμα : Κατασκευή του ομολόγου Α Β Γ Δ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ σε παράλληλη ομολογία 5