ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ.

Transcript

1 ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. Πρόκειται για εικόνες τις οποίες μπορούμε να παρατηρήσουμε χρησιμοποιώντας κατάλληλες ανακλαστικές επιφάνειες, οι οποίες συνήθως είναι κωνικές ή κυλινδρικές επιφάνειες. ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΗΣ ΣΕ ΚΩΝΟ. Θεωρούμε ότι ο κώνος του σχήματος 1 είναι μία ανακλαστική επιφάνεια. Οι γενέτειρες του κώνου, επιλέγονται, για λόγους σχεδιαστικούς, να σχηματίζουν γωνία 60 με το οριζόντιο επίπεδο. Το σημείο οράσεως Ο, βρίσκεται στην προέκταση του άξονα του κώνου και σε απόσταση από την κορυφή Κ, ίση με το ύψος h του κώνου, είναι δηλαδή ΚΟ = h. Οι οπτικές ακτίνες από το Ο, ανακλώνται στην επιφάνεια του κώνου και μετά την ανάκλαση συναντούν το επίπεδο της βάσης του. Θεωρούμε τυχόν σημείο Μ στο τμήμα του επιπέδου που περιορίζεται από τη βάση του κώνου. (Σχήματα 1 και 2) Σχήμα 1 Η οπτική ακτίνα ΟΜ συναντά την επιφάνεια του κώνου στο σημείο Α και ανακλώμενη ορίζει το σημείο Μ1 επί του επιπέδου της βάσης του κώνου. Εάν λοιπόν, στο οριζόντιο επίπεδο, υπάρχει το σημείο Μ1, ο παρατηρητής από την θέση Ο, θα βλέπει,μέσω της ανάκλασης στην κωνική επιφάνεια, το σημείο Μ. Όταν το τυχόν σημείο Μ κινείται στο τμήμα του επιπέδου εσωτερικά της βάσης του κώνου, το σημείο Α κινείται στην επιφάνεια του κώνου, το δε Μ1 κινείται σε ένα τμήμα του επιπέδου της βάσης του κώνου. Σχήμα 2 Έτσι, εάν έχουμε μία εικόνα στο οριζόντιο επίπεδο, στην περιοχή που οριοθετείται από τον κύκλο της βάσης του κώνου και κατασκευάσουμε την εικόνα που σχηματίζεται από τις ανακλάσεις των οπτικών ακτίνων που προβάλλουν την εικόνα, η νέα εικόνα που θα προκύψει στο οριζόντιο επίπεδο, θα είναι μία 39

2 αναμόρφωση της αρχικής εικόνας. Από το σημείο οράσεως Ο και μέσω της ανακλαστικής επιφάνειας του κώνου, η νέα αυτή αναμορφωμένη εικόνα θα αποκτά πάλι την αρχική κανονική της μορφή. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΤΙΚΗ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Σχήμα 3 Η οπτική ακτίνα ΟΜ, (Σχ. 1 και 2), συναντά την κωνική επιφάνεια στο σημείο Α. Το επίπεδο στο οποίο γίνεται η ανάκλαση της οπτικής ακτίνας, είναι το κάθετο στο εφαπτόμενο επίπεδο της κωνικής επιφάνειας στο σημείο Α. Όταν το Μ διαγράφει ένα κύκλο στο εσωτερικό του κώνου, το Α διαγράφει ένα μικρότερο κύκλο στην επιφάνεια του κώνου (αλληλοτομία δύο κωνικών επιφανειών) και το Μ1, ένα μεγαλύτερο κύκλο στο οριζόντιο επίπεδο (Σχ.2) Όταν το Μ κινείται σε μία ακτίνα της βάσης του κώνου, το Α κινείται στην αντίστοιχη γενέτειρα του κώνου το δε Μ1 κινείται στην προέκταση της ακτίνας ΟΜ, η οποία είναι το ίχνος του επιπέδου της ανάκλασης. Όταν το Μ διαγράφει ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα, το Α κινείται στην επιφάνεια του κώνου διαγράφοντας τμήμα κωνικής, το δε Μ1, γράφει μία καμπύλη στο οριζόντιο επίπεδο. (Σχ. 3 και 4) Όταν το Μ συμπέσει με το κέντρο του κύκλου της βάσης του κώνου, η οπτική ακτίνα θα συναντήσει τον κώνο στο σημείο Κ, οπότε οι ανακλώμενες ακτίνες, που είναι πλέον άπειρες, συναντούν το οριζόντιο επίπεδο στα σημεία ενός κύκλου c, που είναι οριακός για την ανάκλαση. Όταν το Μ κινηθεί στον κύκλο της βάσης του κώνου, θα είναι Μ=Μ1. Σχήμα 4 40

3 Έστω τυχόν σημείο Μ (Μ,Μ )του επιπέδου και ΟΜ (Ο Μ,Ο Μ ) η οπτική ακτίνα, η οποία ανακλώμενη στην επιφάνεια του κώνου, ορίζει το Μ1. Θεωρούμε τον κύκλο που διέρχεται από το Μ και είναι ομόκεντρος του κύκλου της βάσης του κώνου (Σχ. 5) Οι κατασκευές απλοποιούνται εάν αντί της ΟΜ, κατασκευάσουμε την ανακλώμενη εικόνα της μετωπικής ακτίνας ΟΑ (Ο Α,Ο Α ). Η ΟΑ συναντά την επιφάνεια του κώνου στο σημείο Τ. Επειδή η ΟΑ έχει επιλεγεί μετωπική, η ανάκλαση γίνεται στο μετωπικό επίπεδο που την περιέχει. Επομένως, στην 2 η προβολή, κατασκευάζεται η Τ Α1, η ανακλώμενη ακτίνα, ώστε να σχηματίζει με την κάθετο κ στην γενέτειρα Κ Τ, γωνία φ, ίση με την γωνία προσπτώσεως. Η Τ Α1, διέρχεται από το Ο1, το οποίο είναι το συμμετρικό του Ο ως προς ακταία γενέτειρα του κώνου, την γενέτειρα ΚΤ. Σχήμα 5 41

4 Εάν το Α διαγράψει τον κύκλο (c ), στον οποίο ανήκει και το αρχικό σημείο Μ, το Α1 θα διαγράφει τον ομόκεντρο κύκλο (c1 ), στον οποίο θα ανήκει το Μ1. (Σχ. 5) Το Μ1 ανήκει επίσης στην ακτίνα Ο Μ. Η Ο1 Κ, συναντά τον Υ12, στο σημείο Σ, του οποίου 1 η προβολή είναι το Σ. Ο κύκλος Ο,Ο Σ είναι το όριο της αναμόρφωσης υπό την έννοια ότι για κάθε εικόνα η οποία βρίσκεται στο τμήμα του επιπέδου που περιορίζεται από τον κύκλο της βάσης του κώνου, η αναμόρφωση της θα περιορίζεται ανάμεσα στον κύκλο της βάσης του κώνου και στον ομόκεντρο κύκλο που διέρχεται από το Σ. Στο σχήμα 6 έχει κατασκευαστεί η αναμορφική εικόνα ενός τριγώνου. Οι τρεις πλευρές του τριγώνου μετασχηματίζονται σε τρεις καμπύλες που προσδιορίζονται από τυχόντα σημεία τους. Το επίπεδο του τριγώνου μετασχηματίζεται στην επιφάνεια που περιορίζεται από τον οριακό κύκλο και τις τρεις καμπύλες. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΑΠΟ ΣΠΟΥΔΑΣΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ 42

5 43

6 Η Σχολή των Αθηνών, Ραφαήλ, κωνική αναμόρφωση μέσω Η/Υ. Άποψη του κτιρίου Αβέρωφ σε κωνική αναμόρφωση μέσω Η/Υ 44