Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Transcript

1 Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια του διανύσματος σελ. 4 Στοιχεία διανύσματος σελ. 4 Πράξεις με διανύσματα σελ. 9 Λυμένα παραδείγματα σελ. 5 Ενότητα ΙΙ: Συντεταγμένες στο επίπεδο σελ. 0 Συντεταγμένες διανύσματος σελ. Μέτρο διανύσματος σελ. 5 Λυμένα παραδείγματα σελ. 7 Ενότητα ΙΙΙ: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων σελ. 33 Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου σελ. 34 Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα σελ. 35 Λυμένα παραδείγματα σελ. 36 Ερωτήσεις κατανόησης ου κεφαλαίου σελ. 45 Ασκήσεις σελ. 50 Φύλλο εργασίας σελ. 58 Το θέμα σελ. 6 Κεφάλαιο ο : Ευθεία Ενότητα Ι: Εξίσωση ευθείας σελ. 6 Εξίσωση γραμμής σελ. 6 Συνθήκες παραλληλίας-καθετότητας ευθειών σελ. 64 Μορφές εξίσωσης ευθείας σελ. 65 Λυμένα παραδείγματα σελ. 68 Ενότητα ΙΙ: Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας σελ. 78 Διάνυσμα παράλληλο ή κάθετο σ ευθεία σελ. 79 Γωνία δύο μη-παραλλήλων ευθειών σελ. 79 Λυμένα παραδείγματα σελ. 8 Ενότητα ΙΙΙ: Απόσταση σημείου από ευθεία-εμβαδόν τριγώνου σελ. 85 Λυμένα παραδείγματα σελ. 88 Ερωτήσεις κατανόησης ου κεφαλαίου σελ. 95 Ασκήσεις σελ. 97 Φύλλο εργασίας σελ. 04 Στάμου Γιάννης Σελίδα

3 Το θέμα σελ. 07 Κεφάλαιο 3 ο : Κωνικές τομές Ενότητα Ι: Ο κύκλος σελ.08 Εξίσωση κύκλου σελ. 08 Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου σελ. 08 Εφαπτομένη κύκλου σελ. 09 Η εξίσωση 0 σελ. 0 Λυμένα παραδείγματα σελ. Ενότητα ΙΙ: Η παραβολή σελ. 8 Εξίσωση παραβολής σελ. 8 Ιδιότητες παραβολής σελ. 30 Εφαπτομένη παραβολής σελ. 3 Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής σελ. 33 Λυμένα παραδείγματα σελ. 35 Ενότητα ΙΙΙ: Η έλλειψη σελ. 46 Εξίσωση έλλειψης σελ. 46 Ιδιότητες έλλειψης σελ. 49 Εκκεντρότητα έλλειψης σελ. 5 Παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης σελ. 53 Εφαπτομένη έλλειψης σελ. 53 Ανακλαστική ιδιότητα έλλειψης σελ. 54 Λυμένα παραδείγματα σελ. 56 Ενότητα ΙV: Η υπερβολή σελ. 7 Εξίσωση υπερβολής σελ. 7 Ιδιότητες υπερβολής σελ. 75 Ασύμπτωτες υπερβολής σελ. 77 Εκκεντρότητα υπερβολής σελ. 79 Εφαπτομένη υπερβολής σελ. 8 Ανακλαστική ιδιότητα υπερβολής σελ. 8 Λυμένα παραδείγματα σελ. 83 Ενότητα V: Η εξίσωση 0 σελ. 98 Μεταφορά αξόνων σελ. 98 Η εξίσωση 0 σελ. 99 Στάμου Γιάννης Σελίδα

4 Σχετική θέση ευθεία και κωνικής σελ. 99 Λυμένα παραδείγματα σελ. 0 Ερωτήσεις κατανόησης 3 ου κεφαλαίου σελ. 08 Ασκήσεις σελ. 3 Γενικές επαναληπτικές ασκήσεις σελ. 34 Φύλλο εργασίας σελ. 4 Το θέμα σελ. 43 Κεφάλαιο 4 ο : Θεωρία αριθμών Ενότητα Ι: Η μαθηματική επαγωγή σελ. 44 Λυμένα παραδείγματα σελ. 49 Το θέμα σελ. 56 Βιβλιογραφία σελ. 57 Στάμου Γιάννης Σελίδα 3

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι: Η έννοια του διανύσματος Διάνυσμα ονομάζεται κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα με διατεταγμένα άκρα. Το πρώτο άκρο ονομάζεται αρχή ή σημείο εφαρμογής και το δεύτερο άκρο τέλος ή πέρας του διανύσματος. Το διάνυσμα με αρχή το σημείο Α και τέλος το σημείο Β συμβολίζεται με, έτσι ώστε να διακρίνεται απ το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Αν η αρχή και το τέλος ενός διανύσματος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμα ονομάζεται μηδενικό και συμβολίζεται με 0. Π.χ το διάνυσμα είναι το μηδενικό διάνυσμα. Δηλαδή 0. Για το συμβολισμό ενός διανύσματος συχνά χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου, όπως:,, u, v, w. u Α Β Στοιχεία διανύσματος Μέτρο ενός διανύσματος ονομάζεται η απόσταση των άκρων του, δηλαδή το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και συμβολίζεται με. Άρα =d(α,β)=(αβ). Για κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα είναι >0, ενώ για το μηδενικό διάνυσμα ισχύει ότι =0. Συνεπώς ισχύει ότι 0, για κάθε διάνυσμα. Αν =, τότε το διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο. Φορέας ενός μη-μηδενικού διανύσματος λέγεται η ευθεία που ορίζεται απ τα σημεία Α και Β, δηλαδή η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα. Στάμου Γιάννης Σελίδα 4

6 Α Β ε Ως φορέα του μηδενικού διανύσματος μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε ευθεία διέρχεται απ το σημείο Α. ε ε ε 3 Α Αν ο φορέας ενός διανύσματος u είναι παράλληλος προς μια ευθεία (ε) ή ταυτίζεται μ αυτή, τότε λέμε ότι το διάνυσμα u είναι παράλληλο στην ευθεία (ε) και γράφουμε u //(ε). Συγγραμμικά διανύσματα Δύο μη-μηδενικά διανύσματα και ονομάζονται παράλληλα ή συγγραμμικά όταν έχουν κοινό φορέα ή παράλληλους φορείς. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση και γράφουμε //. Δ Β Γ ε Α. Α Β ε Δ Γ ε Στάμου Γιάννης Σελίδα 5

7 Δύο μη-μηδενικά διανύσματα και λέγονται ομόρροπα όταν: α) έχουν τον ίδιο φορέα και μία απ τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη.. Α Β Γ Δ ε β) έχουν παράλληλους φορείς και η ευθεία ΑΓ που ενώνει τις δύο αρχές αφήνει τα πέρατα Β και Δ των δύο διανυσμάτων στο ίδιο ημιεπίπεδο. ε Α. Β Γ. Δ Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα και είναι ομόρροπα γράφουμε. Τα ομόρροπα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά, έχουν δηλαδή την ίδια κατεύθυνση. Δύο μη-μηδενικά διανύσματα και θα λέγονται αντίρροπα όταν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς και δεν είναι ομόρροπα. Α Β Δ Γ ε ε Α Β Δ Γ Για να δηλώσουμε ότι τα διανύσματα και είναι αντίρροπα γράφουμε. Στάμου Γιάννης Σελίδα 6

8 Τα αντίρροπα διανύσματα έχουν την ίδια διεύθυνση κι αντίθετη φορά, έχουν δηλαδή αντίθετες κατευθύνσεις. Δεχόμαστε ότι το μηδενικό διάνυσμα είναι ομόρροπο κι αντίρροπο προς οποιοδήποτε διάνυσμα. Ισότητα διανυσμάτων Έστω τα διανύσματα, 0. Θα λέμε ότι τα διανύσματα και είναι ίσα μεταξύ τους και θα γράφουμε =, αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι ομόρροπα κι έχουν ίσα μέτρα. Ισχύει δηλαδή ότι: =. Η ισότητα δύο διανυσμάτων και δίνει την εικόνα ενός παραλληλογράμμου. Α Β Γ Δ // ΑΒΔΓ παραλληλόγραμμο. ( ) ( ) Απ την ισότητα προκύπτουν οι ισοδυναμίες:.. 3. Επίσης ισχύουν τα εξής: Στάμου Γιάννης Σελίδα 7

9 . (τα σημεία Β και Γ ταυτίζονται). 0 (τα σημεία Α και Β ταυτίζονται) 3. Μ μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ Αντίθετα διανύσματα Έστω τα διανύσματα, 0. Θα λέμε ότι τα διανύσματα και είναι αντίθετα μεταξύ τους και θα γράφουμε, αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι αντίρροπα κι έχουν ίσα μέτρα. Ισχύει δηλαδή ότι:. Το αντίθετο διάνυσμα του είναι προφανώς το -, είναι όμως και το. Άρα ισχύει ότι: - =. Το αντίθετο του μηδενικού διανύσματος είναι το ίδιο το μηδενικό διάνυσμα. Δηλαδή: Γωνία δύο διανυσμάτων Έστω, δύο μη-μηδενικά διανύσματα και τα σημεία Ο, Α, Β του επιπέδου τέτοια, ώστε: και. Ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων και την κυρτή γωνία, η οποία είναι ανεξάρτητη της εκλογής του σημείου Ο καθώς και της σειράς που θεωρούμε τα διανύσματα και. Η γωνία συμβολίζεται με, ή,, ενώ πολλές φορές χρησιμοποιούμε για το συμβολισμό της ένα μικρό γράμμα του ελληνικού αλφαβήτου π.χ φ, θ, ω. Α Ο θ Β Στάμου Γιάννης Σελίδα 8

10 Έστω λοιπόν θ=,. Τότε ισχύουν τα εξής:. 0 θ π. θ=0 3. θ=π Τα διανύσματα και θα ονομάζονται κάθετα ή ορθογώνια και θα γράφουμε, αν και μόνο αν θ=. Άρα θ=. Αν 0 ή 0, τότε ως γωνία των διανυσμάτων και μπορούμε να θεωρήσουμε οποιαδήποτε γωνία θ με 0 θ π. Το μηδενικό διάνυσμα θεωρείται κάθετο σε οποιοδήποτε διάνυσμα. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Πρόσθεση διανυσμάτων Διαδοχικά διανύσματα Έστω τα διανύσματα και και σημεία Ο, Α, Β τέτοια, ώστε και. Ισχύει ότι:. Το διάνυσμα είναι ανεξάρτητο της επιλογής του σημείου Ο κι ονομάζεται άθροισμα ή συνισταμένη των διαδοχικών διανυσμάτων και. Ο.. Α Β Στάμου Γιάννης Σελίδα 9

11 Σύμφωνα με τα παραπάνω, για οποιαδήποτε σημεία Α, Β, Γ ισχύει ότι: (διανυσματική σχέση του Chasles). Γενικότερα ισχύει, για οποιαδήποτε σημεία Α, Α,.., Α ν (ν 3), ότι: 3... (γενικευμένη διανυσματική σχέση του Chasles). Κανόνας του παραλληλογράμμου Έστω τα διανύσματα και και σημεία Ο, Α, Β τέτοια, ώστε και. Σχεδιάζουμε το παραλληλόγραμμο με πλευρές ΟΑ κι ΟΒ. Η διαγώνιος ΟΓ του παραλληλογράμμου ΟΑΓΒ αντιστοιχεί στο άθροισμα των διανυσμάτων και. Α Γ Ο Β Ιδιότητες πρόσθεσης διανυσμάτων Για οποιαδήποτε διανύσματα, και ισχύουν:. (αντιμεταθετική). (προσεταιριστική) Απ τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι το άθροισμα πολλών διανυσμάτων δε μεταβάλλεται αν αλλάξουμε τη σειρά των προσθετέων ή αντικαταστήσουμε δύο ή περισσότερους προσθετέους με το άθροισμά τους. Στάμου Γιάννης Σελίδα 0

12 . Αφαίρεση διανυσμάτων Έστω τα διανύσματα και. Το διάνυσμα ονομάζουμε διαφορά του διανύσματος απ το διάνυσμα και το συμβολίζουμε με. Δηλαδή =. Έστω σημεία Ο, Α, Β τέτοια, ώστε και. Έστω επίσης σημείο Γ τέτοιο, ώστε και Δ η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου με πλευρές τις ΟΑ και ΟΓ. Β Ο Α Γ Δ Απ το παραλληλόγραμμο ΟΒΑΔ προκύπτει ότι. Δηλαδή προκύπτει ότι:. Άλλες ιδιότητες Στάμου Γιάννης Σελίδα

13 Μέτρο αθροίσματος-διαφοράς διανυσμάτων Για οποιαδήποτε διανύσματα και ισχύει ότι:. Ειδικότερα ισχύουν: και. Αν στη θέση του διανύσματος θέσω το έχω:. Ειδικότερα ισχύουν: και. Παρατήρηση Για οποιαδήποτε διανύσματα,,..., ισχύει ότι: Διανυσματική ακτίνα-σημείο αναφοράς Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου. Σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχίζεται μοναδικό διάνυσμα με αρχή το σημείο Ο, το. Αντίστροφα, κάθε διάνυσμα ορίζει με το πέρας του τη θέση ενός και μόνο σημείου Μ του χώρου. Το διάνυσμα ονομάζεται διανυσματική ακτίνα ή διάνυσμα θέσης του σημείου Μ. Το σταθερό σημείο Ο ονομάζεται σημείο αναφοράς ή αρχή των διανυσματικών ακτίνων. Ως γνωστό ισχύει ότι: οπότε, δηλαδή το διάνυσμα γράφεται ως διαφορά της διανυσματικής ακτίνας του τέλους μείον τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του. Α. Ο Β Άρα ισχύει ότι:, κτλ. Ως σημείο αναφοράς μπορεί να θεωρηθεί οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Στάμου Γιάννης Σελίδα

14 3. Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα Έστω το διάνυσμα 0 και ο πραγματικός αριθμός λ 0. Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το και συμβολίζουμε με ή το διάνυσμα το οποίο: είναι ομόρροπο του αν λ>0 είναι αντίρροπο του αν λ<0 έχει μέτρο Στην περίπτωση που είναι 0 ή λ=0, τότε ορίζουμε ότι 0 3 Προσοχή Το σύμβολο δεν έχει νόημα και δεν χρησιμοποιείται. Βασικές ιδιότητες Για οποιαδήποτε διανύσματα και και για κάθε λ, μ, ισχύουν:. (αριθμητικός κοινός παράγοντας). (διανυσματικός κοινός παράγοντας) Απ τις παραπάνω ιδιότητες προκύπτουν και οι εξής. 0 0 ή 0. Στάμου Γιάννης Σελίδα 3

15 3. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Αν και λ 0, τότε (διαγραφή αριθμητικού παράγοντα) 6. Αν και 0, τότε λ=μ (διαγραφή διανυσματικού παράγοντα) Γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων Ένα διάνυσμα v θα λέμε ότι είναι γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων,,..., αν και μόνο αν υπάρχουν λ, λ,, λ ν τέτοια, ώστε:.... v Π.χ αν v 3 6, τότε το διάνυσμα v αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων, και. Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων Έστω τα διανύσματα,, με 0. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: / /,. Ο πραγματικός αριθμός λ είναι μοναδικός σε κάθε περίπτωση. Χρήσιμη πρόταση Αν, μη-συγγραμμικά διανύσματα και λ, μ, τότε ισχύει η ισοδυναμία: 0 0. Αν λ=μ=0, τότε η πρόταση είναι προφανής. Απόδειξη Έστω 0 και λ 0. Τότε //. Άτοπο, διότι τα διανύσματα και δεν είναι συγγραμμικά. Όμοια αν μ 0. Άρα λ=μ=0. Διανυσματική ακτίνα μέσου τμήματος Έστω διάνυσμα και σημείο αναφοράς Ο. Έστω Μ το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Τότε έχουμε: και. Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε:,αφού 0 ως αντίθετα διανύσματα. Στάμου Γιάννης Σελίδα 4

16 Α Ο Μ Β Λυμένα παραδείγματα. Θεωρούμε τρίγωνο και τα διανύσματα και. Να δειχθεί ότι το σημείο Γ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΜΝ. Λύση Α Μ Β Γ Ν Επειδή ΑΒΓΜ παραλληλόγραμμο () Επειδή ΑΒΝΓ παραλληλόγραμμο () Απ τις σχέσεις () και () έχουμε:, άρα Γ μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΜΝ.. Θεωρούμε τα διαφορετικά μεταξύ τους και ανά δύο μη-συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ, και Δ. Να δειχθεί ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του επιπέδου ισχύει η ισοδυναμία: ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο. Λύση ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο. Α Β Μ Δ Γ Στάμου Γιάννης Σελίδα 5

17 3. Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και στις πλευρές του ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ σημεία Κ, Λ, Μ, Ν αντίστοιχα τέτοια, ώστε: και. Να δειχθεί ότι τα ευθύγραμμα τμήματα ΚΜ και ΝΛ έχουν κοινό μέσο. Λύση Α Κ Β Ν Λ Δ Μ Γ Επειδή και, έχουμε: ΜΝΚΛ παραλληλόγραμμο, άρα οι διαγώνιοί του ΚΜ και ΝΛ διχοτομούνται. 4. Αν για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ και Μ ισχύει ότι, να δείξετε ότι τα σημεία Α και Μ ταυτίζονται. Λύση Έστω σημείο αναφοράς Ο. Τότε: Α, Μ ταυτίζονται. 5. Δίνεται τρίγωνο. α) Να προσδιοριστεί η θέση σημείου Κ του επιπέδου, αν ισχύει 0. β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία το διάνυσμα είναι παράλληλο στο διάνυσμα. Λύση α) Είναι 0 0, οπότε η θέση του σημείου Κ είναι η τέταρτη κορυφή του παραλληλογράμμου ΑΒΓΚ, όπου Α, Β, Γ οι κορυφές του τριγώνου. Στάμου Γιάννης Σελίδα 6

18 Α Κ ε Β Γ β) Παίρνοντας ως σημείο αναφοράς το Κ έχουμε: 0 Άρα / / / /, οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου είναι η ευθεία (ε), που διέρχεται απ το σημείο Κ κι είναι παράλληλη στη ΒΓ. 6. Σε τρίγωνο να δειχθεί η ισοδυναμία: Μ=μέσο ΒΓ. (Βασική άσκηση) Λύση Μ=μέσο ΒΓ. 7. Αν ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ είναι διάμεσοι τριγώνου α) 0, να δειχθεί ότι: β), για οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου. (Βασική άσκηση) Α Λύση Ο Ζ Ε Β Δ Γ Στάμου Γιάννης Σελίδα 7

19 α) Από Άσκηση 6 έχουμε: 0 0. β). 8. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ και Μ, για τα οποία ισχύει: 3 0. Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. Λύση / / κι επειδή τα διανύσματα και έχουν κοινό άκρο το Γ, τότε τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. 9. Δίνονται τα διανύσματα 3 6, 6 και 3 9 4, όπου,, μη-μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. Λύση () Στάμου Γιάννης Σελίδα 8

20 () Από () και () είναι: / / κι επειδή τα διανύσματα κι έχουν κοινό άκρο το Α, τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. 0. Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του επιπέδου, το διάνυσμα u είναι σταθερό (δηλαδή δεν εξαρτάται απ τη θέση του σημείου Μ). Λύση u Το διάνυσμα 4 3 είναι ανεξάρτητο του σημείου Μ, άρα το διάνυσμα u είναι σταθερό. Στάμου Γιάννης Σελίδα 9

21 ΕΝΟΤΗΤΑ II: Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας-Τετμημένη σημείου Έστω ευθεία πάνω στην οποία έχουμε ορίσει τυχαίο σημείο Ο. Επί της ημιευθείας Ο ορίζουμε σημείο Ι τέτοιο, ώστε =. Τότε έχουμε ορίσει έναν άξονα με αρχή το σημείο Ο και μοναδιαίο διάνυσμα το i. Τον άξονα αυτό συμβολίζουμε με Ό ή. Ο Ι M() i Η ευθεία ονομάζεται φορέας του άξονα Ό. Η ημιευθεία Ο ονομάζεται θετικός ημιάξονας ενώ η ημιευθεία Ο αρνητικός ημιάξονας. Έστω Μ ένα σημείο του άξονα. Επειδή πραγματικός αριθμός τέτοιος, ώστε //i τότε, ως γνωστό, θα υπάρχει μοναδικός i. Αντίστροφα, για κάθε πραγματικό αριθμό, υπάρχει μοναδικό σημείο Μ του άξονα τέτοιο, ώστε i. Ο πραγματικός αριθμός ονομάζεται τετμημένη του σημείου Μ Καρτεσιανό επίπεδο-συντεταγμένες σημείου Πάνω σ ένα επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες και, με κοινή αρχή το σημείο Ο και μοναδιαία διανύσματα τα i και j αντίστοιχα. Τότε λέμε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα αξόνων στο επίπεδο ή ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο ή ένα καρτεσιανό επίπεδο και το συμβολίζουμε με Ο. M M(, ) j Ο i M Στάμου Γιάννης Σελίδα 0

22 Έστω τυχαίο σημείο Μ του επιπέδου και Μ, Μ οι προβολές του Μ στους άξονες και αντίστοιχα. Αν είναι η τετμημένη του Μ ως προς τον άξονα και η τετμημένη του Μ ως προς τον άξονα, τότε ο λέγεται τετμημένη του Μ και ο τεταγμένη του Μ. Η τετμημένη και η τεταγμένη αποτελούν τις συντεταγμένες του Μ. Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου αντιστοιχεί ένα ζεύγος συντεταγμένων (, ). Αντίστροφα, σε κάθε ζεύγος πραγματικών αριθμών (, ) αντιστοιχεί μοναδικό σημείο του επιπέδου, το οποίο βρίσκεται ως εξής: πάνω στους άξονες και παίρνουμε σημεία Μ () και Μ () αντίστοιχα, απ τα οποία φέρνουμε παράλληλες στους άξονες και αντίστοιχα. Το σημείο τομής τους Μ είναι το ζητούμενο. Ένα σημείο Μ με συντεταγμένες (, ) συμβολίζεται με Μ(, ) ή απλά με (, ). Ο άξονας ονομάζεται άξονας των τετμημένων. Ο άξονας ονομάζεται άξονας των τεταγμένων. Κάθε σημείο Α του άξονα έχει συντεταγμένες της μορφής (, 0). Κάθε σημείο Β του άξονα έχει συντεταγμένες της μορφής (0, ). Συντεταγμένες διανύσματος Έστω Ο ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ένα διάνυσμα του επιπέδου. Με αρχή το σημείο Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμα άξονες και αντίστοιχα, έχουμε: ().. Αν Α, Α οι προβολές του Α στους Α Α j Ο i Α Στάμου Γιάννης Σελίδα

23 Αν (, ) οι συντεταγμένες του σημείου Α, τότε ισχύει i και i. Επομένως η σχέση () γράφεται: i j i j. Αποδείχθηκε λοιπόν ότι το διάνυσμα αποτελεί γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων i και j. Πρόταση Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή i j. Απόδειξη Έστω διάνυσμα του επιπέδου τέτοιο, ώστε i j. Έστω επίσης ότι ισχύει και ' ' i j. Τότε θα είναι: ' ' i j. ' ' ' ' i j i j i i j j Αν ' ' 0, οπότε ' i j i // j '. Άτοπο, διότι i j, συνεπώς =. j0 ' ' ' Τότε έχουμε j 0 0. Άρα κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή i j. Τα διανύσματα i και j λέγονται συνιστώσες του διανύσματος κατά τη διεύθυνση των i και j αντίστοιχα. Οι αριθμοί, λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος στο σύστημα Ο. Ο αριθμός λέγεται τετμημένη του διανύσματος. Ο αριθμός λέγεται τεταγμένη του διανύσματος. Κάθε διάνυσμα i j Είναι i,0 και 0, θα συμβολίζεται, j.. Στάμου Γιάννης Σελίδα

24 Ισότητα διανυσμάτων Έστω τα διανύσματα, και,. Ισχύει η ισοδυναμία: και. Συνεπώς αν,, τότε: 0 0 και 0. Συντεταγμένες γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων Έστω τα διανύσματα, και,,,,,,. Τότε ισχύουν τα εξής:,,,,, Συντεταγμένες μέσου ευθυγράμμου τμήματος Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(, ) και Β(, ) του καρτεσιανού επιπέδου κι ας υποθέσουμε ότι το σημείο Μ(, ) είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Α(, ) Μ(, ) Β(, ) O Στάμου Γιάννης Σελίδα 3

25 Είναι : Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου,,,,,,,. Επομένως και. Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(, ) και Β(, ) του καρτεσιανού επιπέδου κι ας υποθέσουμε ότι (, ) είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος. Α(, ) O Β(, ) Τότε είναι:,,,,, και. Άρα,, δηλαδή: τετμημένη =τετμημένη του Β-τετμημένη του Α τεταγμένη = τεταγμένη του Β-τεταγμένη του Α. Στάμου Γιάννης Σελίδα 4

26 Μέτρο διανύσματος Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Έστω (, ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και σημείο Α με διανυσματική ακτίνα. Αν Α κι Α είναι οι προβολές του Α στους άξονες και αντίστοιχα, τότε θα ισχύει: (ΟΑ )= και (ΟΑ )=. A Α(, ) Ο A Έτσι θα έχουμε:., οπότε: Ας θεωρήσουμε δύο σημεία Α(, ) και Β(, ) του καρτεσιανού επιπέδου. Τότε ως γνωστό είναι,. Επειδή η απόσταση (ΑΒ) των σημείων Α και Β ισούται με το μέτρο του διανύσματος, θα ισχύει: (ΑΒ)= Επομένως η απόσταση των σημείων Α(, ) και Β(, ) είναι ίση με:. (ΑΒ)=. Συνθήκη παραλληλίας διανυσμάτων Έστω τα διανύσματα, και, του καρτεσιανού επιπέδου. Ονομάζουμε ορίζουσα των διανυσμάτων και και συμβολίζουμε με det,, τον αριθμό -. det,. Δηλαδή Ισχύει τότε η ισοδυναμία: / / det, 0. Στάμου Γιάννης Σελίδα 5

27 Προφανώς // det, 0. Πρόταση Έστω (, ) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου. Τότε: ' ' i) / / 0, ii) / / 0 Απόδειξη / / / / i det, i ' i) / / / / j det, j ' ii) Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος Έστω (, ) ένα μη-μηδενικό διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και σημείο Α του επιπέδου τέτοιο, ώστε. Τη γωνία φ, που διαγράφει ο ημιάξονας Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία ΟΑ, ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα. Είναι φανερό ότι: 0 φ<π. A(, ) φ Ο Έστω 0, δηλαδή // '. Τότε ισχύει: εφφ=. Το πηλίκο, 0, ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης του διανύσματος και το συμβολίζουμε με ή απλώς λ. Στάμου Γιάννης Σελίδα 6

28 Δηλαδή: εφφ, 0. ' Αν //, δηλαδή αν =0, τότε λ=0. ' Αν //, δηλαδή αν =0, τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης λ. Έστω τα διανύσματα, και, του καρτεσιανού επιπέδου, τα οποία δεν είναι παράλληλα στον άξονα, δηλαδή, 0. Αν λ, λ οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων και αντίστοιχα, τότε ισχύει η ισοδυναμία: / / 0 0. Λυμένα παραδείγματα. Θεωρούμε τα διανύσματα 3,, 5, και, διάνυσμα v. Λύση. Να βρεθεί το v 3, 5,, 6, 5,, 6 5, 0,. Σ ένα επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α(3, 4), Β(-, -) και Γ(0, -5). Να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων Μ και Ν με : και 3. Λύση Είναι: 3,4,, και 0, 5. 3, 4, 0, 5 6,8, 0, 5 6 0,8 5 5, Μ(5, ) Στάμου Γιάννης Σελίδα 7

29 , 4, 0, 5,, 3 0, , 3 0 3, 5 N(3, -5) 3. Δίνεται το διάνυσμα 4 3, 6. Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού λ ισχύει: i) 0, ii) 0. i) Λύση , ή 3 0 ή ή 3 0 ή 3 ii) Δίνονται τα διανύσματα 5, και 4, 6. Να βρείτε τα κ, λ, μ αν ισχύει. Λύση 5 4 5, 4, Στάμου Γιάννης Σελίδα 8

30 5. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α(-, ), Β(, 4) και Κ(, -3), όπου Κ το κέντρο του. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Γ και Δ. Λύση Α(-, ) Β(, 4) Κ(, -3) Δ( Δ, Δ ) Γ( Γ, Γ ) Κ μέσο του ΑΓ 6, Κ μέσο του ΒΔ 3, 0 6. Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β(-3, ) και Γ(, -). α) Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του βαρύκεντρου G του τριγώνου. α) Πρέπει // Λύση det, 0., δηλαδή 3, 4, και,, 4 4 det, 6 7 0, άρα τα σημεία Α, Β και Γ 4 αποτελούν κορυφές τριγώνου. β) Α(, ) G Β(-3, ) Μ Γ(, -) Έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ του τριγώνου. Τότε ως γνωστό είναι ΑG= 3 AM, οπότε: Στάμου Γιάννης Σελίδα 9

31 G () Αν G( G, G ), τότε G,, οπότε η () γίνεται: G G G G 5, G 4,, 4 3, 5, G 3 G G 0 5, άρα G(0, ). G G Γενικά, αν Α( Α, Α ), B( Β, Β ) και Γ( Γ, Γ ) κορυφές τριγώνου και G( G, G ) το βαρύκεντρό του, τότε: και 3 G. 3 G 7. Να αναλυθεί το διάνυσμα, σε δύο συνιστώσες παράλληλες στα διανύσματα 3, 4 και, 3 Έστω u. Λύση και v, λ,μ οι δύο συνιστώσες του διανύσματος. Τότε:, 3, 4, 3 u v 3 7, 3, Άρα Να βρεθούν οι τιμές του μ για τις οποίες τα σημεία Α(, 0), Β(-μ, 3) και Πρέπει // Γ(-5μ, 9) είναι συνευθειακά., δηλαδή Όμως,3 det, 0. και 5,9. Λύση Στάμου Γιάννης Σελίδα 30

32 3 det, ή Θεωρούμε τα διανύσματα, 6 και 6, 9 του λ, ώστε τα διανύσματα και να είναι αντίρροπα. Πρέπει αρχικά να είναι // Λύση 6 det, Να υπολογιστεί η τιμή ή. Για λ=3 έχουμε: 3, 6 και 6,. Άρα. Για λ=- έχουμε:, 6 και 6, 3. Άρα. Συνεπώς για λ=3 τα διανύσματα και είναι αντίρροπα. Προσοχή! Εδώ η συνθήκη det, 0 δεν αρκεί ώστε τα διανύσματα και να είναι αντίρροπα. 0. Έστω το διάνυσμα,. Να βρεθεί το διάνυσμα που είναι αντίρροπο του κι έχει μέτρο διπλάσιο του. Λύση v, 0 v, 0 Έστω διάνυσμα v //, με v. Τότε: v Στάμου Γιάννης Σελίδα 3

33 v, 0 v, 0 v, 0 v. Άρα v,, 4.. Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος, αν, 3, Λύση., 3,, 3,, 3, 3. Άρα ή 3.. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα 3, 3 και 3, 3 με τον άξονα. Λύση 3 3 Είναι κι επειδή 0, θα είναι ή Το διάνυσμα έχει αρνητική τετμημένη και θετική τεταγμένη, άρα το πέρας του βρίσκεται 5 στο ο τεταρτημόριο, συνεπώς. 6 7 Όμοια για το είναι. 6 Στάμου Γιάννης Σελίδα 3

34 ΕΝΟΤΗΤΑ III: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Ορισμός Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη-μηδενικών διανυσμάτων, και συμβολίζουμε, όπου, με ή τον πραγματικό αριθμό των διανυσμάτων και. η γωνία Αν 0 ή 0, τότε ορίζουμε ότι 0. Προσοχή! Το αντίστροφο δεν ισχύει. Δηλαδή αν 0 0 ή 0. Συνέπειες του ορισμού (Αντιμεταθετική ιδιότητα) 0 Με 0, 0 και, ισχύουν: Εσωτερικό τετράγωνο Το εσωτερικό γινόμενο ονομάζεται εσωτερικό τετράγωνο του ή απλώς τετράγωνο του και συμβολίζεται με. Στάμου Γιάννης Σελίδα 33

35 Είναι: 0. Άρα. Για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν: i j j i 0 i j Παρατηρήσεις Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι αριθμός κι όχι διάνυσμα. Αν Δεν ισχύει πάντα ο νόμος της διαγραφής στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων. Δηλαδή:. Δεν ισχύει πάντοτε η προσεταιριστική ιδιότητα. Δηλαδή: Οι δυνάμεις 3 4,,... δεν ορίζονται. Ισχύουν οι ταυτότητες:,. Δεν ισχύουν οι ταυτότητες με περιττό εκθέτη. Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινομένου Έστω, και, ισχύει:., δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου. Τότε Δηλαδή το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους. Ιδιότητες (Επιμεριστική ιδιότητα) Στάμου Γιάννης Σελίδα 34

36 ', όταν, / / Συνημίτονο γωνίας δύο διανυσμάτων Έστω, και, επιπέδου και, δύο μη-μηδενικά διανύσματα του καρτεσιανού. Τότε ισχύει: (). Επειδή,,, η σχέση () γίνεται:. Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα Σ ένα επίπεδο θεωρούμε τα διανύσματα, με 0. Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε τα διανύσματα και. Αν Μ είναι η προβολή του σημείου Β στο φορέα του διανύσματος, τότε το διάνυσμα λέγεται προβολή του στο και συμβολίζεται με. Δηλαδή. Β Ο Μ Α Αποδεικνύεται ότι η προβολή του στο είναι ανεξάρτητη απ την επιλογή του σημείου Ο. Είναι : 0. Στάμου Γιάννης Σελίδα 35

37 Άρα. Όμοια αποδεικνύεται ότι:. Είναι: //, οπότε και //, οπότε και,. Αν, 3 i), ii) i) Λυμένα παραδείγματα, να υπολογιστούν: 3, iii), iv) Λύση, ii) iii) 4 3 iv) 8 9. Έστω τα διανύσματα,3 και, i), ii), iii). Να υπολογιστούν:, iv) i) Λύση,3, ii) iii),3,,3 4, 4,3 3, Στάμου Γιάννης Σελίδα 36

38 Άρα Έστω τα διανύσματα, με, και,. Να βρεθούν τα 3 μέτρα των διανυσμάτων v και u 3. (Βασική άσκηση) Λύση Είναι: v Όμοια: u και, 4. Έστω τα διανύσματα, με 3, των διανυσμάτων v και w. (Βασική άσκηση) Λύση. Να βρεθεί η γωνία 6 Έστω vw,. Τότε: vw v w () Όμως Στάμου Γιάννης Σελίδα 37

39 Όμοια Οπότε η σχέση () γίνεται: Αν, διανύσματα του επιπέδου, να δειχθεί ότι:, ii) i). Πότε ισχύουν οι ισότητες; (Βασική άσκηση) Λύση i) Έστω,.Τότε:, διότι. Η ισότητα ισχύει όταν 0 ή / /. ii) Όμοια:, διότι. Η ισότητα ισχύει όταν 0 ή / /. 6. Για δύο διανύσματα και ισχύουν: 3, 4 και 8 9. Να δειχθεί ότι:. Λύση Στάμου Γιάννης Σελίδα 38

40 7. Αν,, και 0, να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης 3. Λύση Είναι: Άρα Δίνονται τα διανύσματα 3, και,. Ν αναλυθεί το διάνυσμα σε δύο κάθετες συνιστώσες, εκ των οποίων η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα. (Βασική άσκηση) Έστω σημείο Ο τέτοιο ώστε Λύση και. Έστω ευθεία, η οποία διέρχεται απ το σημείο Ο. Απ το πέρας Β του φέρνουμε τις και κι έστω. και ε Β Β Ο Β Στάμου Γιάννης Σελίδα 39

41 Είναι: 3,. Έχουμε: 3,, 3, 3, 9. Για δύο διανύσματα και να δειχθούν οι ισοδυναμίες: i), ii). Λύση i) ii). 0. Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος πάνω στο διάνυσμα, αν και,,. 4 Λύση Ισχύει ότι //, οπότε: Άρα. Στάμου Γιάννης Σελίδα 40

42 . Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με, και. Να 4 υπολογιστεί το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του. Λύση Δ Γ Ο φ Α Β Έστω φ η γωνία των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ του παραλληλογράμμου. Τότε: (). Είναι:, και , Στάμου Γιάννης Σελίδα 4

43 5 Η σχέση () γίνεται: Άρα το συνημίτονο της οξείας γωνίας των διαγωνίων του παραλληλογράμμου είναι Θεωρούμε παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ κι ονομάζουμε Ε και Ζ τις προβολές του Γ στις πλευρές ΑΒ κι ΑΔ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι:. Λύση Α Ε Β Ζ Δ Γ Είναι και, οπότε:. 3. Θεωρούμε τρίγωνο με το μέσο της πλευράς ΑΓ, να υπολογιστούν: 3 3, 3 και. Αν Δ είναι 3 i) το μήκος της διαμέσου ΑΔ, ii) η γωνία. Λύση Α ω Β Δ Γ i) Στάμου Γιάννης Σελίδα 4

44 ii) Είναι: κι επειδή 0<ω<π, θα είναι Δίνεται τρίγωνο. και το ύψος του ΑΔ. Να δειχθεί ότι: Α Λύση Β Δ Γ Είναι, οπότε:, διότι. 5. Δίνεται κύκλος (Ο, R) και σημείο Μ του επιπέδου του. Αν μεταβλητή ευθεία που διέρχεται απ το Μ τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β, να δείξετε ότι το γινόμενο είναι σταθερό και ίσο με δ -R, όπου δ=(ομ). (Δύναμη σημείου ως προς κύκλο). Στάμου Γιάννης Σελίδα 43

45 Λύση Μ Α Ο Β Γ Φέρνουμε τη διάμετρο ΑΓ και τη ΒΓ. Τότε 90 ως εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο. Έχουμε: R. 6. Δίνεται τρίγωνο. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: 0. Έστω Κ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Τότε έχουμε: Λύση Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι μια ευθεία (ε) κάθετη στη διάμεσο ΑΚ στο σημείο Α. Α ε Β Κ Γ Στάμου Γιάννης Σελίδα 44

46 Ερωτήσεις κατανόησης ου κεφαλαίου. Ένα μη-μηδενικό διάνυσμα είναι ορισμένο αν γνωρίζουμε: α) τη διεύθυνσή του Σ Λ β) το μέτρο του Σ Λ γ) το μέτρο, τη διεύθυνση και τη φορά του Σ Λ. Δύο μη-μηδενικά διανύσματα είναι ίσα όταν: α) έχουν ίσα μέτρα Σ Λ β) είναι συγγραμμικά κι έχουν ίσα μέτρα Σ Λ γ) είναι ομόρροπα κι έχουν ίσα μέτρα Σ Λ 3. Δύο μη-μηδενικά διανύσματα είναι αντίθετα όταν: α) έχουν ίσα μέτρα Σ Λ β) είναι αντίρροπα Σ Λ γ) είναι αντίρροπα κι έχουν ίσα μέτρα Σ Λ 4. Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα και τέτοια ώστε. Τότε: α) Σ Λ β) Σ Λ γ), 0 Σ Λ 5. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ο το κέντρο του. Α Β Ο Δ Γ α) Σ Λ β) Σ Λ γ) Σ Λ Στάμου Γιάννης Σελίδα 45

47 δ) Σ Λ ε) 0 Σ Λ στ) 0 Σ Λ 6. Θεωρούμε τέσσερα διαφορετικά σημεία Α, Β, Γ, Δ τέτοια, ώστε 3. Τότε: α) τα σημεία Α, Β, Γ, Δ είναι πάντα συνευθειακά Σ Λ β) Σ Λ γ) ισχύει πάντα // Σ Λ 7. Ν αντιστοιχίσετε καθένα απ τα διανύσματα της πρώτης στήλης με το ίσο του διάνυσμα της δεύτερης στήλης Έστω, μη-μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Τότε: α) Σ Λ β) Σ Λ γ) Σ Λ δ) αν 0, πάντα ισχύει Σ Λ 9. Θεωρούμε τα διανύσματα,6 και 7,. Τότε: α) τα διανύσματα και δεν είναι συγγραμμικά Σ Λ β) τα διανύσματα και είναι αντίρροπα Σ Λ γ) η γωνία των διανυσμάτων είναι ίση με 80 ο Σ Λ Στάμου Γιάννης Σελίδα 46

48 0. Θεωρούμε σημεία Α(, ), Β(-, ) και Μ τέτοια, ώστε: 0. Οι συντεταγμένες του σημείου Μ είναι: Α. (0, ) Β.,0 Γ. (0, ) Δ. (, 0). Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα και. Τότε: α) // Σ Λ β) αν 5 4, ισχύει 4,5 γ) αν 0, 3 Σ Λ, ισχύει 0 Σ Λ δ) det, 0, για κάθε λ Σ Λ ε) det, 0 Σ Λ. Η απόσταση των σημείων Α(ημ, συν) και Β(συν, -ημ), είναι: Α. Β. Γ. Δ. 3. Τα διανύσματα, 3 και, Α. = Β. =0 Γ. =- Δ. = είναι συγγραμμικά όταν: 4. Θεωρούμε τα σημεία Α(-3, 5), Β(, -7) και Γ(-, β). Το σημείο Γ ανήκει στην ευθεία ΑΒ όταν: Α. β= Β. β=4 Γ. β=-3 Δ. β=-4 5. Θεωρούμε τα σημεία Α(-5, ) και Β(, 3). Το συμμετρικό του Α ως προς το Β είναι το σημείο: 3 Α. Α, Β. Α (9, 7) Γ. Α (3, -) Δ. Α, 6. Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων, και, με: Α. + Β. - Γ. - Δ. + είναι ίσο Στάμου Γιάννης Σελίδα 47

49 7. Για τα μοναδιαία διανύσματα i και j των αξόνων ισχύει: α) det i, j 0 Σ Λ β) i j 0 Σ Λ γ) i j Σ Λ δ) i j 0 Σ Λ 8. Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο, με πλευρά α=5. Τότε: α) 5 Σ Λ β) 0 Σ Λ γ) 0 Σ Λ 9. Στο παρακάτω ορθογώνιο ΑΒΓΔ είναι: ΑΒ=8, ΒΓ=6, Ο το κέντρο του κι Ε το μέσο της πλευράς ΑΒ. Α Ε Β Ο Δ Γ α) 64 Σ Λ β) 36 Σ Λ γ) Σ Λ δ) 6 Σ Λ 0. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α και Ο το κέντρο του. Α Β Ο Δ Γ Στάμου Γιάννης Σελίδα 48

50 Να υπολογιστούν ως συνάρτηση του α τα εσωτερικά γινόμενα: α) δ) β) ε) γ) στ). Αν u v u w και u 0, τότε: Α. v w Β. v w Γ. u v w Δ. u v w. Ν αντιστοιχίσετε σε κάθε ζεύγος διανυσμάτων της πρώτης στήλης το είδος της γωνίας που αναφέρεται στη δεύτερη στήλη: α) u 7,5, v,.οξεία 3 3,4, v, β) u γ) u 3,5, v 6,0.ορθή δ) u 0,, v 5, 4 ε) u,, v 3,.αμβλεία στ) u,, v, 3. Για τα διανύσματα του παρακάτω σχήματος, να δώσετε τη σωστή απάντηση: Γ Δ Α Ε Β Α. Β. Γ. Στάμου Γιάννης Σελίδα 49

51 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ενότητα Ι. Για τα σημεία Α, Β, Γ, Δ να δειχθεί ότι: α), β). Θεωρούμε ένα παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τα διανύσματα και. Να δειχθεί ότι το Μ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΕ. 3. Έστω τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ανά τρία μη-συνευθειακά. Αν ισχύει, να δειχθεί ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. 4. Έστω τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν. Να συγκριθούν τα διανύσματα και. 5. Δίνεται τρίγωνο και Ρ τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ. Αν Μ είναι σημείο τέτοιο, ώστε, να δειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραμμο. 6. Δίνονται τρία σημεία Α, Β και Γ. Να βρεθούν τα σημεία Μ, για τα οποία ισχύει: Α. Β. Γ. Δ Δίνονται τα διανύσματα 3, 5 3, 6 5, όπου, μη-μηδενικά διανύσματα του επιπέδου. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. 8. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Κ, Λ και Μ, για τα οποία ισχύει: 3. α) Να δείξετε ότι τα σημεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. β) Να βρείτε τη σχετική θέση των σημείων Κ, Λ και Μ. 9. Να δείξετε ότι τα διανύσματα παράλληλα. 0. Αν τα διανύσματα,, v και w είναι είναι μη-συγγραμμικά ανά δύο και ισχύει // και //, να δειχθεί ότι: //. Στάμου Γιάννης Σελίδα 50

52 . Δίνονται τα σημεία Α, Β και Γ. Να δείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο Μ του επιπέδου, το διάνυσμα v τιμή του κ. 3 3 είναι σταθερό, για κάθε. Δίνεται τρίγωνο και οι διάμεσοί του ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ. Αν επιπλέον υπάρχουν κ, λ, μ, ώστε 0, να δείξετε ότι κ=λ=μ. 3. Αν για δύο διανύσματα και ισχύουν, και 4 8, να δείξετε ότι. 4. Δύο κάθετες χορδές ΑΒ και ΓΔ κύκλου κέντρου Ο τέμνονται στο Ρ. Να δείξετε ότι: α) β) 4 γ) αν Κ, Λ τα μέσα των ΑΓ και ΒΔ αντίστοιχα, τότε το ΟΚΡΛ είναι παραλληλόγραμμο. 5. Δίνεται τρίγωνο. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει:, λ. 6. Δίνονται τα σημεία Α, Β, Γ, Δ καθώς και τα Μ, Ν τέτοια, ώστε και. Να δειχθεί ότι:. Αν το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, τι συμπεραίνετε για τα σημεία Μ και Ν; 7. Θεωρούμε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ=. Για δύο σημεία του επιπέδου ισχύουν: 3 και 4 5. Θεωρούμε το διάνυσμα. Να δείξετε ότι 4 το σημείο Μ είναι εσωτερικό του κύκλου. 8. Δίνεται τρίγωνο και τα σημεία Δ, Ε και Ζ τέτοια, ώστε:, και 4. α) Να εκφράσετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των και. β) Να δείξετε ότι τα σημεία Δ, Ε και Ζ είναι συνευθειακά. γ) Αν Η το μέσο της ΖΕ, να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΗΓΔ είναι παραλληλόγραμμο. Στάμου Γιάννης Σελίδα 5

53 Ενότητα II και,4 9. Δίνονται τα διανύσματα i, 3i 5 j διανύσματα: α) v 4, β) w v 0. Δίνεται το διάνυσμα 3, 7 0. Να βρεθούν τα, λ. Να βρεθούν οι τιμές του λ, για τις οποίες ισχύει: α) 0, β) 0, γ) ' //, δ) ' //και 0.. Έστω σημείο Α(3, -). Να βρεθεί σημείο Β τέτοιο, ώστε: α) το Β να είναι το συμμετρικό του Α ως προς το σημείο Μ 3, β) τα σημεία Α και Β να είναι άκρα διαμέτρου κύκλου κέντρου Κ,.. Να βρεθούν οι κ, λ, ώστε τα σημεία Α(-κ+, ) και Β(-λ+, λ) να είναι συμμετρικά: α) ως προς το σημείο Ο(0, 0) β) τον άξονα γ) την ευθεία = 3. Οι τετμημένες των σημείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης -(λ -λ-)+04=0. Να προσδιοριστεί η τιμή του λ να έχει τετμημένη ίση με Δίνονται τα διανύσματα, και,, ώστε το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. α) Να δείξετε ότι για κάθε τα διανύσματα και δεν είναι συγγραμμικά. β) Αν = -3, να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα. γ) Αν = -, να γράψετε το διάνυσμα 3i ως γραμμικό συνδυασμό των και. δ) Αν = -, να βρεθεί διάνυσμα v αντίρροπο του με v Δίνονται τα διανύσματα 5, και Να προσδιοριστεί η τιμή του λ, ώστε. 4,,. 6. Οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσμάτων και με, / / της εξίσωσης -(λ+3)+4=0. Να προσδιοριστεί η τιμή του λ διανύσματα και να είναι παράλληλα. ', είναι ρίζες, ώστε τα Στάμου Γιάννης Σελίδα 5

54 7. Αν 3,,, 3,, και 0, 5 γωνίες των διανυσμάτων με τον άξονα. 8. Δίνεται το διάνυσμα 0,3,. α) Να βρεθεί το μέτρο και οι συντεταγμένες του διανύσματος. β) Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα., να βρεθούν οι 9. Έστω Α(λ, λ-3), Β(λ+, λ-), Γ(λ-, λ-5), λ, σημεία του καρτεσιανού επιπέδου. α) Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού του Γ ως προς το μέσο Μ του ΑΒ. 30. Έστω τα διανύσματα, και, Να δείξετε ότι: α) αν 0, τότε β) αν 0, τότε. με det, Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α(5, ), Β(, -), Γ(, 3) και σημεία Δ, Ε τέτοια, ώστε και 3 τομής των ευθειών ΒΕ και ΓΔ. 3. Δίνονται τα διανύσματα,,3.. Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου 3 και, με: 3,9, 0, 5 α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες των διανυσμάτων, και. και β) Να γραφεί το διάνυσμα ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων και. γ) Να υπολογιστεί τη τιμή του λ, ώστε το διάνυσμα,6 παράλληλο στο διάνυσμα v. 33. Δίνονται τα διανύσματα, τέτοια, ώστε: 4,0 α) Να δειχθεί ότι:, 3 και, 3. να είναι και 3, 3 β) Να βρεθούν οι γωνίες των διανυσμάτων και με τον άξονα. γ) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων και.. Στάμου Γιάννης Σελίδα 53

55 και, 34. Αν, α), β) 35. Αν,3,, Ενότητα III 3, να υπολογιστούν: 4 3, γ), δ) 3 και,, να υπολογιστούν: 3 α), β), γ) Για τα μη-μηδενικά διανύσματα και, να δειχθούν οι ισοδυναμίες: α), β), γ), δ). 37. Αν,,, και 0, να υπολογιστούν: 4 α) το, β) η παράσταση, γ) η γωνία,. 38. Να βρεθούν οι γωνίες των διανυσμάτων: α), και 3, γ), και,, β) 3, 3 και,,, δ), και,. 39. Αν τα διανύσματα και είναι κάθετα κι έχουν ίσα μέτρα, να δείξετε ότι τα διανύσματα v 3 και u 3 είναι επίσης κάθετα κι έχουν ίσα μέτρα. 40. Δίνονται τα διανύσματα και τέτοια, ώστε: βρεθεί διάνυσμα αν: // και. και, 4. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ, με 3, και υπολογιστεί η οξεία γωνία των διαγωνίων του.. Να 6. Να 3 Στάμου Γιάννης Σελίδα 54

56 4. Έστω τα διανύσματα και τέτοια, ώστε: και, 3,. 3 α) Να υπολογιστεί ο κ, ώστε τα διανύσματα v και w 3 να είναι κάθετα. β) Να υπολογιστεί η γωνία των διανυσμάτων v και w. 43. Δίνεται το διάνυσμα,. Να βρεθεί διάνυσμα: α) v, με v 5, β) v //, με v Αν για τα διανύσματα, και ισχύουν 0 και, 5, να δειχθεί ότι: α) 5, β). 45. Δίνονται τα διανύσματα 3, α) η γωνία των διανυσμάτων και και 3,. Να βρεθούν: β) η προβολή του διανύσματος στο διάνυσμα. 46. Για τα διανύσματα και ισχύουν:, και 4,5. α) Να αναλυθεί το διάνυσμα 3, σε δύο κάθετες συνιστώσες εκ των οποίων η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα. β) Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος στο διάνυσμα. 47. Για τα διανύσματα και ισχύουν: 9, 3 και. α) Να δειχθεί ότι: 3. β) Να υπολογιστεί η γωνία των διανυσμάτων και. γ) Να υπολογιστεί το μέτρο του διανύσματος v. 48. Δίνονται τα διανύσματα,4,,4 και v. α) Να υπολογιστούν τα μέτρα των διανυσμάτων και. β) Να υπολογιστούν τα v και v. γ) Να βρεθεί διάνυσμα τέτοιο, ώστε: v / / και v. Στάμου Γιάννης Σελίδα 55

57 49. Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα και, με, 3 3 και. α) Να δειχθεί ότι. κι ο ρόμβος ΑΒΓΔ με 3 β) Να εκφράσετε τα διανύσματα και ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων και. γ) Αν και, να βρεθούν οι γωνίες του ρόμβου. και, 50. Έστω τα διανύσματα και τέτοια, ώστε:,. 3 Έστω τρίγωνο με 4, 4 και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. α) Να δειχθεί ότι:. β) Να βρεθούν τα διανύσματα και. γ) Να υπολογιστούν τα μέτρα των διανυσμάτων και. δ) Να υπολογιστεί το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων και. 5. Έστω τα διανύσματα και τέτοια, ώστε:, και 3. α) Να δειχθεί ότι:. β) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων και. γ) Να δειχθεί ότι: 3. δ) Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος v 3 στο διάνυσμα. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(, ), Β(, -3) και Γ(3, ). Αν ΑΜ, ΑΔ, ΑΕ η διάμεσος, το ύψος και η διχοτόμος αντίστοιχα που άγονται απ την κορυφή Α, να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων,,. Α Β Δ Ε Μ Γ Στάμου Γιάννης Σελίδα 56

58 53. Δίνεται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και σημείο Μ του επιπέδου. Να δείξετε ότι:. Α Β Δ Γ Μ 54. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο 90 και ο περιγεγραμμένος κύκλος C του τριγώνου. Μια ευθεία διέρχεται απ την κορυφή Γ του τριγώνου και τέμνει το ύψος ΑΔ του τριγώνου στο Μ και τον κύκλο στο Ν. Να δειχθεί ότι:. 55. Δίνονται τα διανύσματα, και, για τα οποία ισχύουν: και 0. α) Να δειχθεί ότι:. β) Να δειχθεί ότι: 4 και. γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Α, Β και Γ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει, και. 56. Δίνεται τρίγωνο και η διάμεσός του ΑΔ. Αν ισχύει, να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο κι ισοσκελές. 57. Δίνεται τρίγωνο. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: Δίνεται τρίγωνο και σημείο Δ της ΑΓ τέτοιο, ώστε. α) Να δείξετε ότι:. 3 β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει: 0. Στάμου Γιάννης Σελίδα 57

59 Φύλλο εργασίας ΘΕΜΑ Α Α. Τι ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη-μηδενικών διανυσμάτων και ; Μονάδες 3 Α. Έστω τα διανύσματα και, τα οποία δεν είναι παράλληλα στον άξονα, με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα. Να δειχθεί ότι: //. Μονάδες 7 Α3. Ν απαντήσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις. i) Για τυχαία διανύσματα και ισχύει ότι: / / det, 0. ii) Το μέσο Μ(, ) ενός ευθυγράμμου τμήματος με άκρα Α(, ) και Β(, ) έχει συντεταγμένες και. iii) Για τυχαία διανύσματα και ισχύει πάντοτε ότι. iv) Για τυχαία διανύσματα και ισχύει πάντοτε ότι. v) Για τη γωνία δύο διανυσμάτων και ισχύει ότι: 0,. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β Για τα διανύσματα και ισχύει ότι:, και 3 7,6 i) Να δειχθεί ότι:, και,3 Μονάδες 9 Στάμου Γιάννης Σελίδα 58

60 ii) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ, για τον οποίο τα διανύσματα και είναι παράλληλα. Μονάδες 8 iii) Να λυθεί η εξίσωση 5. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Γ Έστω τα διανύσματα, και του επιπέδου, για τα οποία ισχύουν: 6, 3,, 3,. i) Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο. Μονάδες 4 ii) Να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος. Μονάδες 7 iii) Να υπολογιστεί το εσωτερικό γινόμενο. Μονάδες 8 iv) Να υπολογιστεί η γωνία των διανυσμάτων και. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Δ Έστω τα μη-μηδενικά διανύσματα και, για τα οποία ισχύουν:,,. Στάμου Γιάννης Σελίδα 59

61 i) Να βρεθούν τα μέτρα των διανυσμάτων και. Μονάδες 6 ii) Να βρεθεί η γωνία των διανυσμάτων και. Μονάδες 4 iii) Να δειχθεί ότι:. Μονάδες 7 iv) Έστω Α και Β σημεία του επιπέδου τέτοια, ώστε και, να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου. Μονάδες 8 Καλή επιτυχία! Στάμου Γιάννης Σελίδα 60

62 Το θέμα Α. Έστω ισόπλευρο τρίγωνο και σημεία Δ, Ε στις πλευρές ΑΓ, ΑΒ αντίστοιχα, τέτοια ώστε 90.. Αν η ΒΔ τέμνει τη ΓΕ στο σημείο Η, να δείξετε ότι Β. Δίνονται τα διανύσματα,, για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις: + =0 () και + =0 (). Αν // και =, δείξτε ότι: i) = 0 ii) <. Στάμου Γιάννης Σελίδα 6

63 ΕΝΟΤΗΤΑ Ι: Εξίσωση ευθείας Εξίσωση γραμμής ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΥΘΕΙΑ Μια εξίσωση με δύο αγνώστους και συμβολίζεται με f(, )=0 και ονομάζεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν. Κάθε διατεταγμένο ζεύγος συντεταγμένων των σημείων της C αποτελεί λύση της εξίσωσης. 0, 0 Για παράδειγμα, τα ζεύγη,4,,7, 3, αποτελούν λύσεις της εξίσωσης που στο επίπεδο απεικονίζει μια παραβολή. Παρατήρηση Έστω οι γραμμές C : f (, ) 0 και : g(, ) 0 C. Ένα σημείο, 0 0 3, είναι κοινό σημείο των C, C, αν και μόνο αν, f ( 0, 0) 0 και g( 0, 0) 0, δηλαδή, αν και μόνο αν, το ζεύγος αποτελεί λύση του συστήματος 0, 0 είναι αδύνατο, τότε οι γραμμές C, Cδεν έχουν κανένα κοινό σημείο. f (, ) 0. Αν το σύστημα αυτό g(, ) 0 Γωνία ευθείας με τον άξονα. Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Σε καρτεσιανό επίπεδο θεωρούμε μια ευθεία ε, η οποία τέμνει τον άξονα σε σημείο Α. ω Α Ο ε Στάμου Γιάννης Σελίδα 6

64 Η γωνία ω που διαγράφει η ημιευθεία Α, αν στραφεί γύρω απ το Α κατά τη θετική φορά, μέχρι να συμπέσει με την ευθεία ε, ονομάζεται γωνία της ευθείας ε με τον άξονα. ' Αν //, τότε θεωρούμε ότι η ευθεία ε σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω=0 (οριζόντια ευθεία). Έτσι έχουμε πάντοτε ότι:0. ' Στην περίπτωση που είναι //, τότε και η ευθεία ε ονομάζεται κατακόρυφη. Γενικά, αν η ευθεία ε ονομάζεται πλάγια. Στην περίπτωση αυτή τον αριθμό εφω ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης ή κλίση της ευθείας ε και τον συμβολίζουμε με λ ε ή απλώς λ. Είναι δηλαδή λ=εφω,. Στην περίπτωση που είναι ' ' //, τότε λ=εφ0=0, ενώ στην περίπτωση που είναι //, τότε λέμε ότι δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε. 0 0 Είναι φανερό λοιπόν ότι: Διάνυσμα παράλληλο σε ευθεία Έστω τώρα διάνυσμα v παράλληλο σε μια ευθεία ε και φ, ω οι γωνίες που σχηματίζουν το διάνυσμα και η ευθεία αντίστοιχα με τον. v ε ε Ο φ ω φ Ο ω v Είναι: v / / ή ( ύ( ) ) v. Αποδείχθηκε λοιπόν ότι, όταν μια ευθεία κι ένα διάνυσμα είναι παράλληλα τότε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Στάμου Γιάννης Σελίδα 63

65 Αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες δύο σημείων μιας πλάγιας ευθείας ε, δηλαδή, τότε μπορούμε να βρούμε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας αυτής. Έστω (, ) και (, ),., σημεία της ευθείας ε. Τότε είναι (, ) και (, ) (, ) O ε Επειδή //, σύμφωνα με τα παραπάνω θα είναι. Επομένως ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται απ τα σημεία (, ) και (, ),, είναι. Για παράδειγμα, ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς που διέρχεται απ τα σημεία Α(-, 3) 4 3 και Β(, 4) είναι:. ( ) 3 Συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας ευθειών Έστω ευθείες ε κι ε με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα. Έστω επίσης τα διανύσματα v // και v //.Τότε και. Έχουμε λοιπόν: v v / / v / / v v v v v v v Ώστε: // (συνθήκη παραλληλίας) και (συνθήκη καθετότητας). Στάμου Γιάννης Σελίδα 64

66 Εξίσωση ευθείας που ορίζεται από ένα σημείο και το συντελεστή διεύθυνσής της Έστω Ο ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και ( 0, 0) ένα σημείο του επιπέδου. Ζητάμε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται απ το σημείο Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. (, ) (, ) 0 0 Ο ε Ένα σημείο (, ) διαφορετικό του ( 0, 0) ανήκει στην ευθεία ε αν και μόνο αν το διάνυσμα είναι παράλληλο στην ε, δηλαδή αν και μόνο αν. 0 Όμως ( 0, 0) και, επομένως το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία 0 ε αν και μόνο αν Η τελευταία εξίσωση επαληθεύεται και από το σημείο ( 0, 0), άρα η εξίσωση της ευθείας ε είναι:. Για παράδειγμα, η ευθεία που διέρχεται απ το σημείο Α(, -3) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=, έχει εξίσωση: ( 3 ) Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία. Κατακόρυφη εξίσωση ευθείας Έστω η ευθεία ε που διέρχεται απ τα σημεία (, ) και (, ). Αν, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι κι επειδή η ευθεία διέρχεται απ το σημείο (, ) τη μορφή ( )., η εξίσωση παίρνει 0 0 Για παράδειγμα, η ευθεία που διέρχεται απ τα σημεία Α(0, 3) και Β(-, 5) έχει εξίσωση: 0 0 Στάμου Γιάννης Σελίδα 65

67 5 3 ( 5) ( 0) Αν, τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ευθεία ε και η εξίσωσή της είναι η, αφού κάθε σημείο με τετμημένη ανήκει στην ε. Για παράδειγμα, η ευθεία που διέρχεται απ τα σημεία Α(-, 4) και Β(-, -7), έχει εξίσωση = -. Σύμφωνα με τα παραπάνω, από ένα σημείο ( 0, 0) διέρχονται οι ευθείες: ( ), 0 0 (κατακόρυφη ευθεία) 0 Ειδικές περιπτώσεις Η εξίσωση ευθείας που τέμνει τον άξονα στο σημείο Β(0, κ) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: ( 0) B(0, κ) ε O Για παράδειγμα, η ευθεία που τέμνει τον άξονα στο σημείο Β(0, -) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 είναι: =3-. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ την αρχή των αξόνων Ο(0, 0) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι: 0 ( 0) ε O ω Για παράδειγμα, η ευθεία που διέρχεται απ την αρχή των αξόνων κι έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 έχει εξίσωση:. 3 Στάμου Γιάννης Σελίδα 66

68 Έτσι, οι διχοτόμοι των γωνιών O και ' O έχουν εξισώσεις = και = - αντίστοιχα. = - = O Η εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στον (οριζόντια ευθεία) και διέρχεται απ το σημείο ( 0, 0) είναι : 0 0( 0) 0. ε ( 0, 0) O Παρατηρήσεις Κάθε ευθεία με συντελεστή διεύθυνσης λ έχει μια εξίσωση της μορφής. Έστω οι ευθείες : κι :. Τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες: //. Το σύμβολο σημαίνει «ταυτίζονται». Στάμου Γιάννης Σελίδα 67

69 Λυμένα παραδείγματα. Βρείτε τα κοινά σημεία των δύο γραμμών C:= και C :=. Λύση Οι συντεταγμένες των κοινών σημείων είναι οι πραγματικές λύσεις του συστήματος, με, 0. Είναι: ή 0 ή 0 0, 0, (0,0),(,) 0 ή, (Η εξίσωση 0είναι αδύνατη στο ) Άρα τα κοινά σημεία των δύο γραμμών είναι (0, 0) και (, ).. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας η οποία διέρχεται απ τα σημεία: α. Α(, -4) και Β(, 3), β. Α(3, -) και Β(-, -), γ. Α(7, 0) και Β(7, -6) 3 ( 4) α. Είναι 7. ( ) 0 β. Είναι Λύση γ. Είναι 7, οπότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ευθεία ΑΒ. 3. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας η οποία σχηματίζει με τον άξονα γωνία: 5 α., β., γ. 3 6 α. Είναι 3. 3 Λύση 5 3 β. Είναι ( ) Στάμου Γιάννης Σελίδα 68

70 γ. Είναι, άρα δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας. 4. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία ε, η οποία: α. διέρχεται απ τα σημεία Α(0, -5) και Β(, -4) β. διέρχεται απ τα σημεία ( 4, 3 ) και (5,4 3 ) 3 γ. είναι κάθετη στην ευθεία : 4 3. Λύση 4 ( 5) 4 5 α. Είναι κι επειδή 0, θα είναι 4 3 ( 3 ) 4 3 β. Είναι ( 4) , θα είναι κι επειδή 3 γ. Είναι , θα είναι κι επειδή 5. Αν η ευθεία ε διέρχεται απ το σημείο Α(-3, ), να βρείτε την εξίσωσή της σε καθεμία απ τις παρακάτω περιπτώσεις: α. να είναι παράλληλη στην ευθεία : β. να είναι κάθετη στην ευθεία : 40 0 γ. να είναι παράλληλη στον άξονα δ. να είναι παράλληλη στον άξονα ε. να είναι κάθετη στο διάνυσμα (0, 3) στ. να σχηματίζει με τον άξονα γωνία 50 Λύση 7 α. Είναι :, άρα, οπότε: // Στάμου Γιάννης Σελίδα 69

71 Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι : [ ( 3)] ( 3) β. Είναι :, άρα, οπότε: Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι : 4[ ( 3)] 4( 3) γ. Είναι / / ' 0, οπότε η ευθεία ε θα έχει εξίσωση της μορφής 0. Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι :. δ. Είναι / / ', οπότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ευθεία ε και η εξίσωσή της θα είναι της μορφής 0. Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι 3. ε. Για το διάνυσμα (0, 3) δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης, άρα / / '. Είναι / / ', συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι 3. 3 στ. Είναι 50 30, οπότε η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι : [ ( 3)] ( 3) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ τα σημεία: α. Α(-3, 5) και Β(-, 8), β. Γ(4, 7) και Δ (-, 7), γ. Ε(6, -3) και Ζ(6, 6) α. Είναι Λύση , επομένως η ζητούμενη εξίσωση ευθείας ( 3) 3 είναι : 5 3[ ( 3)] 5 3( 3) β. Είναι , επομένως η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι : 7. Στάμου Γιάννης Σελίδα 70

72 γ. Είναι 6, επομένως η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι : 6 E Z. 7. Να εξετάσετε αν τα σημεία Α(, ), Β(4, 5) και Γ(-, -5) είναι συνευθειακά. Στη συνέχεια να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ την αρχή των αξόνων και το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ. Λύση Έχουμε και, επομένως: 4 5 // Α, Β, Γ συνευθειακά. Έστω (, ) το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ. Τότε είναι: M και 5 4, άρα (, ). Η ευθεία που διέρχεται απ την αρχή των αξόνων έχει εξίσωση :, ή : 0. Η ευθεία ε δεν αποτελεί λύση του προβλήματος, διότι το σημείο Μ δεν ανήκει σ αυτήν. Για την ευθεία ε έχουμε: 4, οπότε η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι : Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(-, ), Β(-3, -) και Γ(4, 0). Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου ε του ευθυγράμμου τμήματος ΒΔ. Λύση Έστω (, ) το μέσο των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ, οπότε: 0 (,) 4 και Είναι ( ), οπότε: ( 3) 3 4 Συνεπώς η ζητούμενη εξίσωση ευθείας είναι : ( ) Δίνεται τρίγωνο εξισώσεις: με κορυφές Α(3, 4), Β(-5, ) και Γ(, -). Να βρείτε τις α. της διαμέσου ΑΔ, β. του ύψους ΒΕ, γ. της μεσοκαθέτου της πλευράς ΑΒ Στάμου Γιάννης Σελίδα 7

73 Λύση μ Ζ Δ Ε α. Το μέσο Δ της πλευράς ΒΓ έχει συντεταγμένες: 5 4 0, 0, άρα Δ(-, 0) Είναι, οπότε η ευθεία ΑΔ έχει εξίσωση [ ( )] ( ) β. Είναι 3, οπότε: Άρα η ευθεία ΒΕ έχει εξίσωση [ ( 5)] ( 5) γ. Το μέσο Ζ της πλευράς ΑΒ έχει συντεταγμένες: , 3, άρα Ζ(-, 3). 4 Είναι, οπότε: Στάμου Γιάννης Σελίδα 7

74 4 4 Άρα η μεσοκάθετος μ της πλευράς ΑΒ έχει εξίσωση 3 4[ ( )] 3 4( ) Δίνονται οι ευθείες : 3 κι :. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ το σημείο Μ(3, ) και τέμνει τις ε, ε στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε το Μ να είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Λύση Έστω α η τετμημένη του σημείου Α της ε. Τότε θα είναι Α(α, α-3). Έστω β η τετμημένη του σημείου Β της ε. Τότε θα είναι Β(β, -β+). Για να είναι το Μ μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ πρέπει: Άρα Α(3, 3) και Β(3, -) κι επειδή 3, η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση 3.. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ το σημείο Μ(-, ) και σχηματίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. Λύση Απ το σημείο Μ(-, ) διέρχονται οι ευθείες : [ ( )] ( ) κι :. Η ευθεία δεν αποτελεί λύση του προβλήματος διότι δεν τέμνει τον άξονα. Περιορισμοί Πρέπει 0, διότι για λ=0 η ευθεία = δεν τέμνει τον άξονα. Πρέπει, διότι για η ευθεία αξόνων και δεν σχηματίζει τρίγωνο μ αυτούς. διέρχεται απ την αρχή των Έστω Α και Β τα σημεία τομής της ευθείας ε με τους άξονες και αντίστοιχα. Για =0 είναι: =λ+, οπότε Α(0, λ+). 0 Για =0 είναι: 0, οπότε (,0). Στάμου Γιάννης Σελίδα 73

75 Για να είναι το τρίγωνο ισοσκελές, πρέπει Για λ= είναι : 3, ενώ για λ=- είναι :. ε ε. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ την αρχή των αξόνων και σχηματίζουν με την ευθεία : 6 και τον άξονα τρίγωνο με εμβαδόν 9 τετραγωνικές μονάδες. Λύση Απ την αρχή των αξόνων διέρχονται οι ευθείες : κι : 0. Η ευθεία η τέμνει τους άξονες στα σημεία Α(3, 0) και Β(0, -6). 8 Το τρίγωνο έχει εμβαδόν ( ) ( ) ( ) 36 9, άρα η ευθεία =0 αποτελεί λύση του προβλήματος. Βρίσκουμε τα σημεία τομής των ευθειών ε και η. Περιορισμοί Πρέπει, διότι για τέμνονται. οι ευθείες ε και η είναι παράλληλες, άρα δεν ( ) 6 Στάμου Γιάννης Σελίδα 74

76 6 6 6 (, ) 6 Είναι 6 3 ( ) 9 ( ) (Η εξίσωση 0λ=- είναι αδύνατη.) Για λ=, η ζητούμενη ευθεία είναι η :. ε η 3. Δίνονται οι ευθείες : 5 κι : 3 5, καθώς και το σημείο Μ(, ). Να βρεθεί η συμμετρική της ευθείας ε: α. ως προς το σημείο Μ(, ), β. ως προς την ευθεία ε Λύση α. Τα σημεία Α(, -4) και Β(4, -3) ανήκουν στην ευθεία ε, αφού οι συντεταγμένες τους ικανοποιούν την εξίσωσή της. Έστω Α (, ) και Β (, ) τα συμμετρικά των Α και Β ως προς το σημείο Μ. Στάμου Γιάννης Σελίδα 75

77 Τότε το Μ είναι το μέσο των ευθυγράμμων τμημάτων ΑΑ και ΒΒ, οπότε: 4 0 (,6) (0,5) Η ευθεία που διέρχεται απ τα σημεία Α και Β είναι η συμμετρική της ε ως προς το σημείο Μ. 5 6 Είναι, οπότε η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση: 0 5 ( 0) 5. : 5 : 5 β. Βρίσκω αρχικά το σημεία τομής των ευθειών ε κι ε (0, 5) Αρκεί να βρω το συμμετρικό του σημείου Α(, -4) της ε ως προς την ε. Στάμου Γιάννης Σελίδα 76

78 Η ευθεία η που διέρχεται απ το Α και είναι κάθετη στην ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ τέτοιο, ώστε 3. Άρα η εξίσωσή της θα είναι: 3 0 ( 4) ( ) Βρίσκω το σημείο τομής των ευθειών ε και η (, ) Έστω Α (, ) το συμμετρικό του Α(, -4) ως προς την ε. Τότε το Ρ είναι το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΑ, οπότε: (, 3) Η ζητούμενη ευθεία διέρχεται απ τα σημεία Κ και Α κι έχει συντελεστή διεύθυνσης 3 ( 5) 3 5, άρα η εξίσωσή της είναι: 0 ( 5) ( 0) 5 5 : 3 5 : 5 : 5 Στάμου Γιάννης Σελίδα 77

79 ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ: Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας Η εξίσωση 0, με 0 ή 0 Έστω ε μια ευθεία ε στο καρτεσιανό επίπεδο. Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Μ(0, β) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε θα έχει εξίσωση 0 ( ) 0, όπου θέτοντας Α=λ, Β= - και Γ=0, η αρχική εξίσωση γράφεται στη μορφή 0 με 0. Αν η ευθεία ε είναι κατακόρυφη και διέρχεται απ το σημείο Μ( 0, 0 ), τότε θα έχει εξίσωση ( 0) 0, όπου θέτοντας Α=, Β=0 και Γ= - 0, η αρχική εξίσωση γράφεται στη μορφή 0 με 0. Παρατηρούμε λοιπόν ότι σε κάθε περίπτωση η εξίσωση της ευθείας ε παίρνει τη μορφή 0, με 0 ή 0. Αντίστροφα, έστω η εξίσωση 0, με 0 ή 0. Αν 0, τότε η εξίσωση γράφεται στη μορφή, που είναι εξίσωση ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης και η οποία τέμνει τον άξονα στο σημείο (0, ). (Στην περίπτωση που είναι Α=0, τότε έχουμε την οριζόντια ευθεία.) Αν Β=0 τότε, λόγω της υπόθεσης είναι 0και η εξίσωση γράφεται στη μορφή, που είναι εξίσωση ευθείας κάθετης στον άξονα στο σημείο του (,0). Αποδείχθηκε λοιπόν ότι ισχύει το ακόλουθο θεώρημα: Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής 0, με 0 ή 0 () κι αντίστροφα, κάθε εξίσωση της μορφής () παριστά στο επίπεδο ευθεία γραμμή. Στάμου Γιάννης Σελίδα 78

80 Διάνυσμα παράλληλο ή κάθετο σε ευθεία Έστω Ο ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο κι ε μια ευθεία του επιπέδου μ εξίσωση 0, με 0 ή 0. Αν 0, τότε η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης, επομένως είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, ). Αν Β=0, τότε η ευθεία ε είναι παράλληλη στον άξονα, επομένως είναι παράλληλη σε κάθε διάνυσμα με τετμημένη 0 και τεταγμένη διάφορη του 0, άρα και στο διάνυσμα (, ). Σε κάθε περίπτωση λοιπόν ισχύει ότι: Η ευθεία ε μ εξίσωση 0, με 0 ή 0είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, ). Έστω το διάνυσμα (, ). Είναι: (, ) (, ) 0 Το διάνυσμα είναι κάθετο στο διάνυσμα κι επειδή //, θα είναι. Επομένως: Η ευθεία ε μ εξίσωση 0, με 0 ή 0είναι κάθετη στο διάνυσμα (, ). Για παράδειγμα, η ευθεία : 3 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, 3) (ή στο (,3) ) και κάθετη στο διάνυσμα (3, ). Γωνία δύο μη-παραλλήλων ευθειών Έστω οι μη-παράλληλες ευθείες : 0, 0 ή 0 και : 0, 0 ή 0. Έστω τα διανύσματα (, ) / / και (, ) / /. Αν (, ), τότε ως γνωστό είναι:. Στάμου Γιάννης Σελίδα 79

81 Αν συνθ>0, τότε θ είναι η οξεία γωνία των ευθειών ε κι ε. ε θ ε Αν συνθ<0, τότε θ είναι η αμβλεία γωνία των ευθειών ε κι ε. θ ε ε Αν συνθ=0, τότε θ=90 ο, άρα. ε ε Στάμου Γιάννης Σελίδα 80

82 Λυμένα παραδείγματα. Δίνεται η εξίσωση (3 ) ( 4) 0 (), όπου. i. Να δειχθεί ότι: α. η εξίσωση () παριστά ευθεία γραμμή για κάθε β. όλες οι ευθείες που ορίζονται απ την () διέρχονται απ το ίδιο σημείο (Οικογένεια ευθειών). ii. Απ τις ευθείες που ορίζονται απ την () να βρείτε εκείνη που είναι παράλληλης στην ευθεία : 9 0. (Βασική άσκηση) Λύση i. Φέρνω αρχικά την () στη γενική μορφή εξίσωσης ευθείας. Είναι: (3 ) ( 4) (3 ) ( ) ( 4) 0, όπου 3,, ( 4). α. Η εξίσωση δεν παριστά ευθεία όταν υπάρχει τέτοιο, ώστε Α=0 και Β=0, οπότε: Δεν υπάρχει τιμή του για την οποία να ισχύει Α=0 και Β=0, συνεπώς η () παριστά ευθεία για κάθε. β. α τρόπος Εξετάζω αν υπάρχει σημείο Μ( 0, 0 ) οι συντεταγμένες του οποίου ικανοποιούν την () για κάθε. Πρέπει (30 0 ) (0 0 4) 0 για κάθε, οπότε: Άρα όλες οι ευθείες διέρχονται απ το σημείο Μ(, -). β τρόπος Δίνω στο λ δύο τυχαίες τιμές και λύνω το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτουν. Για λ=0 η () γίνεται: 4 0 Για λ= η () γίνεται: Στάμου Γιάννης Σελίδα 8

83 (, ) Εξετάζω αν οι συντεταγμένες του σημείου Μ ικανοποιούν την (). [3 ( ) ] [ ( ) 4] 0 (3 3) ( 4) , που ισχύει για κάθε. Άρα όλες οι ευθείες που ορίζονται απ την () διέρχονται απ το σημείο Μ(, -). ii. Η ευθεία η είναι παράλληλη στο διάνυσμα v (,), ενώ για κάθε η ευθεία που ορίζεται απ την () είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, 3 ). Είναι: 3 / / / / v det(, v) 0 0 ( ) ( 3 ) Άρα η ζητούμενη ευθεία είναι η Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Α(, λ+) και Β(λ-, 3),. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. (Βασική άσκηση) Λύση Έστω (, ). Είναι τότε: ( 4) Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία μ εξίσωση Να βρείτε την οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες : ( ) 0 και : ( ) 0. (Βασική άσκηση) Λύση Έστω τα διανύσματα // και //.Τότε (,) και (, ). (,) (, ) (, ), τότε: ( ) ( ) ( ) Αν Στάμου Γιάννης Σελίδα 8

84 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 4 Άρα η οξεία γωνία των ευθειών ε κι ε είναι Δίνεται η εξίσωση 0. α. Να δειχθεί ότι η παραπάνω εξίσωση παριστά δύο ευθείες ε κι ε. β. Να βρεθεί η σχετική θέση των δύο ευθειών. Λύση α. Είναι: 0 ( ) 0 Θεωρούμε την εξίσωση τριώνυμο με άγνωστο το, οπότε: [ ] Επομένως οι ζητούμενες ευθείες είναι : 0 κι : 0. β. Είναι λ =λ =, άρα ε //ε. 5. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής των ευθειών : ( ) ( 3) 0 κι : ( 3) ( ) 0,. Στάμου Γιάννης Σελίδα 83

85 Λύση Όπως παρατηρούμε, οι εξισώσεις παριστούν ευθείες για κάθε ευθειών προκύπτει απ τη λύση του συστήματος:. Το σημείο τομής των ( ) ( 3) 0 ( ) ( 3) ( 3) ( ) 0 ( 3) ( ) Η ορίζουσα του συστήματος είναι: D D D Το σύστημα έχει μοναδική λύση: D , D 0. D 5 D 5 Άρα το σημείο τομής των ευθειών ε κι ε είναι (, ), Τότε: Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής είναι η ευθεία 5+5+=0. Στάμου Γιάννης Σελίδα 84

86 ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙΙ: Απόσταση σημείου από ευθεία Εμβαδόν τριγώνου Απόσταση σημείου από ευθεία Έστω ε μια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου μ εξίσωση 0, 0 ή 0 και Μ( 0, 0 ) ένα σημείο εκτός αυτής. Θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση d(μ, ε) του σημείου Μ απ την ευθεία ε. Μ( 0, 0 ) Ο v (, ) M (, ) ε Αν Μ (, ) είναι η προβολή του Μ πάνω στην ε, τότε θα ισχύει: d(, ) () Έστω διάνυσμα v (, ). Είναι v κι επειδή, θα είναι v //. Άρα θα υπάρχει τέτοιος ώστε: v, (, ) 0 0,, () Η () γίνεται: d(, ) v v (3). Το σημείο Μ ανήκει στην ευθεία ε, οπότε: () 0 ( ) ( ) Αντικαθιστώντας στην (3) έχουμε: d( M, ) d(, ) 0 0 Στάμου Γιάννης Σελίδα 85

87 Αποδείχθηκε λοιπόν ότι η απόσταση ενός σημείου Μ( 0, 0 ) από μια ευθεία ε:α+β+γ=0, δίνεται απ τον τύπο: d(, ) 0 0 Για παράδειγμα, η απόσταση του σημείου Μ(, -) απ την ευθεία ε:6-8-=0 είναι: 6 8 ( ) d(, ) 6 ( 8) Εμβαδόν τριγώνου Έστω τρία μη-συνευθειακά σημεία Α(, ), Β(, ) και Γ( 3, 3 ), τα οποία αποτελούν κορυφές τριγώνου. Θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν του τριγώνου. Α(, ) B(, ) Δ(, ) Γ( 3, 3 ) Έστω ΑΔ το ύψος του τριγώνου. Τότε: ( ) ( ) ( ) (). Είναι ( ) ( ) ( ) και 3 3 ( ) ( ) ( ). 3 Αν 3, τότε η ευθεία ΒΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης κι εξίσωση ( ) ( ) 0 () Αν 3, τότε η ευθεία ΒΓ έχει εξίσωση 3, η οποία παίρνει κι αυτή τη μορφή (). Άρα σε κάθε περίπτωση η ευθεία ΒΓ έχει εξίσωση της μορφής (), η οποία μετά τις πράξεις γίνεται: ( ) ( ) Η απόσταση (ΑΔ) του Α απ τη ΒΓ είναι: Στάμου Γιάννης Σελίδα 86

88 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 (3) Είναι, και, det(, ), οπότε: ( ) ( ) = Επομένως η (3) γίνεται: det(, ) ( ) det(, ) ( ) ( ) ( ) Άρα η () γίνεται: ( ) ( ) ( ) ( ) det(, ). Όμοια αποδεικνύεται ότι: ( ) det(, ) det(, ). Αποδείχθηκε λοιπόν ότι το εμβαδόν τριγώνου δίνεται απ τον τύπο: ( ) det(, ) det(, ) det(, ) Για παράδειγμα, αν οι κορυφές ενός τριγώνου είναι Α(, -3), Β(, 5) και Γ(, ), τότε (,5 ( 3)) (,8), (, 5) (, 3), οπότε: 8 5 ( ) det(, ) Στάμου Γιάννης Σελίδα 87

89 Λυμένα παραδείγματα. Να βρείτε: α. την απόσταση του σημείου Α(-, 3) απ την ευθεία : β. τις τιμές του για τις οποίες το σημείο Β(, -) απέχει απ την ευθεία : 0 απόσταση d 3. Λύση α. Είναι d(, ) 6 ( 8) β. Η ε παριστά ευθεία για κάθε, οπότε: ( ) ( ) d(, ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 3 ( ) ( ) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα ( 8) , οπότε:, 4 6 ( 8) Δίνονται οι ευθείες : κι 4 : 3. α. Να δειχθεί ότι //. β. Να βρεθεί η απόσταση των ευθειών ε κι ε. (Βασική άσκηση) 4 4 α. Είναι //. 3 3 Λύση β. Βρίσκω αρχικά ένα σημείο της ευθείας ε. Θέτω =0, οπότε: 4 0 (0, ) 3 Στάμου Γιάννης Σελίδα 88

90 Είναι τότε: 40 3 ( ) 6 8 d(, ) d(μ, ) Δίνονται οι παράλληλες ευθείες :3 5 0 κι : Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε κι ε. (Βασική άσκηση) Λύση Έστω Α( 0, 0 ) σημείο της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε κι ε. Επειδή κάθε σημείο της μεσοπαράλληλης ισαπέχει απ τις ευθείες ε κι ε, θα είναι: (η εξίσωση είναι αδύνατη) Οι συντεταγμένες του σημείου Α ικανοποιούν την εξίσωση , συνεπώς η μεσοπαράλληλη των ε κι ε είναι η : Η ευθεία : είναι η μεσοπαράλληλη δύο ευθειών ε κι ε, για τις οποίες ισχύει d(ε, ε )=. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών ε κι ε. (Βασική άσκηση) Λύση Είναι d, d, d, 6, δηλαδή οι ζητούμενες ευθείες είναι το σύνολο των σημείων Μ( 0, 0 ), για τα οποία ισχύει d(μ, ε)=6. Είναι τότε: ( 5) d, Άρα οι ζητούμενες ευθείες είναι οι : κι : Να δειχθεί ότι η ευθεία : είναι μία απ τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες : κι : (Βασική άσκηση) Λύση Αρκεί να δείξουμε ότι κάθε σημείο της ε ισαπέχει απ τις ε κι ε. Στάμου Γιάννης Σελίδα 89

91 Έστω τυχαίο σημείο Μ( 0, 0 ) της ε. Τότε: ( 0, ) 4 4 d(μ, ) ( 70 6) ( 4) d(μ, ) ( 70 6) ( ) Είναι d(m, ε )=d(μ, ε ), άρα κάθε σημείο της ε ισαπέχει απ τις ευθείες ε κι ε, συνεπώς η ευθεία : είναι μία απ τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε κι ε. 6. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες : 3 0 κι : Ποια είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας; (Βασική άσκηση) Λύση Είναι και, δηλαδή, οπότε οι ευθείες ε κι ε 4 τέμνονται. Για κάθε σημείο Μ( 0, 0 ) της διχοτόμου της γωνίας που σχηματίζουν οι ε κι ε, ισχύει ότι: d(μ, ) d(μ, ) ( ) ( 3) (0 0 3) Στάμου Γιάννης Σελίδα 90

92 Άρα οι ζητούμενες διχοτόμοι είναι : 5 0 και : 0. Για να βρω ποια απ τις δύο είναι η ευθεία της διχοτόμου της εσωτερικής γωνίας, παίρνω ένα σημείο της ε ή της ε και βρίσκω την απόστασή του απ τις δ και δ. Στην ε, για =0 είναι =-3, άρα Α(0, -3). 0 ( 3) d(α, ) ( 6) ( 3) 6 7 d(α, ) ( 6) 40 0 και Είναι d(α, ) d(α, ), άρα η : 0 είναι η διχοτόμος της οξείας γωνίας. : 49 0 δ : 3 0 δ 7. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου σε καθεμία απ τις παρακάτω περιπτώσεις: α. Α(, 3), Β(-, -), Γ(0, 4) β. Α(-, 0), Β(3, 4), Γ(-5, -4) Λύση α. Είναι (, 3) ( 3, 4) και ((0 ( ),4 ( )) (,5), οπότε: 3 4 ( ) det(, ) 5 ( 4) Στάμου Γιάννης Σελίδα 9

93 β. Είναι (3 ( ), 4 0) (4, 4) και ( 5 ( ), 40) ( 4, 4), οπότε: 4 4 ( ) det(, ) 6 ( 6) , άρα τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. 8. Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ, με κορυφές Α(0,), Β(, 5), Γ(4, -) και Δ(3, -6). Λύση Είναι (ΑΒΓΔ)=(ΑΒΓ)+(ΑΔΓ), οπότε: (0,5 ) (,3), (40, ) (4, 3), (3 0, 6 ) (3, 8) 3 det(, ) 6 8 και det(, ) 9 ( 3) 9 3 3, συνεπώς έχουμε: 4 3 ( ) ( ) ( ) det(, ) det(, ) Στάμου Γιάννης Σελίδα 9

94 9. Έστω τρίγωνο, με κορυφές Α(-3, 5), Β(, ) και Γ(9, -3). Θεωρούμε τα σημεία 3 Δ, Ε και Ζ τέτοια, ώστε:, και. Να υπολογίσετε 4 4 το εμβαδόν του τριγώνου. Λύση Α(-3, 5) Δ Ε Β(, ) Ζ Γ(9, 3) Είναι ( ( 3),5) (4, 4), (9 ( 3), 35) (, 8) και (9, 3) (8, 4), οπότε έχουμε: 3 3 (4, 4) (8, 4) (3, 3) (4, ) (7, 5) (, 8) (4, 4) (9, 6) (, ) (8, 5) Άρα ( ) det(, ) 35 ( 40) Δίνονται τα σημεία Α(, -) και Β(-, 3). Να βρείτε τα σημεία Μ(α, β) της ευθείας ε:+-7=0, για τα οποία το εμβαδόν του τριγώνου είναι τετραγωνικές μονάδες. Λύση Για τις συντεταγμένες του σημείου Μ(α, β) έχουμε ότι: 7 0 7, οπότε Μ(α, 7-α). Είναι: (, (7 )) (, 8 ) και (,3 (7 )) (, 4 ) Στάμου Γιάννης Σελίδα 93

95 8 ( ) det(, 4 ( ) ( 4 ) ( 8 ) ( ) (6 8 4 ) Για α=0 είναι β= -7, οπότε Μ (0, -7), ενώ για α= είναι β= -7, οπότε Μ (, -7). Στάμου Γιάννης Σελίδα 94

96 Ερωτήσεις κατανόησης ου κεφαλαίου. Ν απαντήσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις: Η ευθεία σχηματίζει με τον άξονα αμβλεία γωνία. Οι ευθείες και 3είναι παράλληλες. Η ευθεία ( ) 5 0 διέρχεται απ την αρχή των αξόνων. Η εξίσωση ( 5) παριστά, για κάθε, όλες τις ευθείες που διέρχονται απ το σημείο Μ(5, -). Η ευθεία : 3 0 είναι κάθετη στο διάνυσμα (3, ), 0. Η ευθεία που διέρχεται απ το σημείο Α(-, 3) και είναι κάθετη στον άξονα, έχει εξίσωση. Οι εξίσωση ( ) ( ) 3 0 παριστά ευθεία για κάθε. Το σημείο Κ(0, -4) απέχει απ την ευθεία απόσταση ίση d=. Η αρχή των αξόνων Ο(0, 0) απέχει απ την ευθεία 3 0 απόσταση d. 3 Τα σημεία Ο(0, 0), Α(α, 0) και Β(0, β), με α, β>0, σχηματίζουν τρίγωνο μ εμβαδόν.. Η ευθεία που διέρχεται απ τα σημεία Α(-, ) και Β(3, -5) έχει εξίσωση: α. 3 0 β. 3 0 γ Η ευθεία που διέρχεται απ τα σημεία Α(, 3) και Β(α, β),, έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=. Τότε: α. α+β=, β. α-β=, γ. β-α=, δ.α=β, ε. β=α+ 4. Αν η ευθεία 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης, τότε συμπεραίνουμε ότι: α. 0, β. 0, γ. 0, δ. 0και 0 5. Ν αντιστοιχίσετε σε κάθε ευθεία της πρώτης στήλης το συντελεστή διεύθυνσής της στη δεύτερη στήλη: Στήλη Στήλη : : 3 : 4 3 : 3 4 δεν ορίζεται 5 : Μια ευθεία κάθετη στην 0 είναι η: α. 5, β. 9 0, γ., δ. 7. Αν οι ευθείες : ( ) ( ) 0 κι : ( ) 0 είναι παράλληλες τότε: α. λ=, β. λ= -, γ. λ=, δ. λ=3, ε. λ=0 Στάμου Γιάννης Σελίδα 95

97 8. Με βάση το παρακάτω σχήμα, ν αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της πρώτης στήλης με την εξίσωσή της στη δεύτερη στήλη. ε ε ε 3 ε 4 ε 5 Στήλη Στήλη ε : 4 ε : ε 3 : ε 4 : ε 5 : Ποια απ τις παρακάτω ευθείες απέχει τη μεγαλύτερη απόσταση απ την αρχή των αξόνων; α. : , β. : , γ. : 4 3 0, δ. :, ε. : Οι ευθείες :338 0 κι : είναι: α. παράλληλες, β. κάθετες, γ. συμμετρικές ως προς τον άξονα, δ. συμμετρικές ως προς τον άξονα. Η μεσοπαράλληλη των ευθειών :3 5 0 και : είναι η: α.35 0, β. 4, γ. 3, δ Στάμου Γιάννης Σελίδα 96

98 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ενότητα Ι. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραμμών C:=3 και C :=-+.. Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που σχηματίζει με τον άξονα γωνία: 3 α., β., γ., δ , ε Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται απ τα σημεία: α. Α(4, ), Β(-, -5), β. ( 3,4), Β(0, 5), γ. Α(-, 3), Β(, 3), δ. Α(3, -4), Β(3, 0) 4. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία που διέρχεται απ τα σημεία : α. (, 3 3), (, 3 3),, β. Α(α+4, α), Β(α-, α),, γ. Α(α-, 3), Β(α-, -),, δ. Α(5, α+), Β(4, α+), 5. Αν η ευθεία ε διέρχεται απ το σημείο Α(-3, ), να βρείτε την εξίσωσή της σε καθεμιά απ τις παρακάτω περιπτώσεις: α. είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, 4) β. είναι παράλληλη στην ευθεία : 3 γ. είναι κάθετη το διάνυσμα (0,3) δ. σχηματίζει με τον άξονα γωνία ε. διέρχεται απ το σημείο Β(-3, 5) στ. διέρχεται απ την αρχή των αξόνων 6. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, που είναι κάθετη στην ευθεία : 6, τέμνει τους άξονες και στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και: α. το άθροισμα της τετμημένης του Α και της τεταγμένης του Β είναι ίσο με 4 β. το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με 9 τετραγωνικές μονάδες γ. η τετμημένη του Α και η τεταγμένη του Β είναι ακέραιοι αριθμοί διάφοροι του και το γινόμενό τους είναι μικρότερο ή ίσο απ το Στάμου Γιάννης Σελίδα 97

99 7. Δίνονται τα σημεία Α(α+, -), Β(3α+4, α),. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. 8. Δίνονται τα σημεία Α(, ), Β(-, 3) και Γ(-, 0). α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου. β. Να βρείτε τις εξισώσεις των διαμέσων, των υψών και των μεσοκαθέτων των πλευρών του. 9. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ το σημείο Μ(6, 3), τέμνει τις ευθείες : 4 κι : στα σημεία Α και Β αντίστοιχα και το σημείο Μ είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. 0. Θεωρούμε τα σημεία Α(3, ), Β(-, 5) και την ευθεία :.Να βρείτε τα σημεία Μ της ευθείας ε, για τα οποία το τρίγωνο είναι ισοσκελές με βάση την πλευρά ΑΒ.. Θεωρούμε τρίγωνο με Β(-4, 9).Το ύψος ΑΔ ανήκει στην ευθεία : και η διάμεσος ΑΜ ανήκει στην ευθεία 5 : 4. Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α και Γ Δίνεται τρίγωνο με κορυφές Α(, 6) και Β(-, ). Αν (, ) είναι το 3 3 ορθόκεντρο του τριγώνου, να βρείτε: α. τις συντεταγμένες της κορυφής Γ β. τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου 3. Οι ευθείες : κι : 3 είναι φορείς δύο πλευρών ενός ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Αν η κορυφή Α έχει συντεταγμένες (-, 4), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ και Δ. 4. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με Α(4, ) και Γ(, -3). Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Β και Δ. 5. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με κορυφές Α(4, ), Β(5, 3), Γ(6, 5) και Δ(, ). α. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. β. Να βρείτε την εξίσωση της διαμέσου του τραπεζίου. 6. Θεωρούμε τα σημεία Α(3λ-, λ+), Β(λ-3, λ+) και Γ(λ-, ),. α. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου. β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του βαρύκεντρου G του τριγώνου. Στάμου Γιάννης Σελίδα 98

100 Ενότητα ΙΙ 7. Δίνεται η εξίσωση : ( ) ( ) 4 0 (),. α. Να δείξετε ότι η () παριστά ευθεία για κάθε. β. Να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που παριστά η () διέρχονται από σταθερό σημείο. γ. Να βρείτε ποια απ τις ευθείες που παριστά η () είναι κάθετη στην ευθεία : δ. Να βρείτε ποια απ τις ευθείες της () τέμνει τους άξονες και στα σημεία 3 Α και Β αντίστοιχα, ώστε να ισχύει. ( ) ( ) 8. Να βρείτε τους αριθμούς, για τους οποίους η ευθεία : (3 ) ( ) διέρχεται απ το σημείο τομής των ευθειών : 38 0 κι : Να βρείτε τη αμβλεία γωνία των ευθειών : κι : Δίνονται οι ευθείες : ( ) ( ) 0 κι : 0 0 Να βρείτε την οξεία γωνία των ευθειών ε κι ε.,.. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ το σημείο Α(, ) και σχηματίζουν με την ευθεία : γωνία. 4. Δίνονται οι ευθείες : 0 κι : 0,. α. Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες οι ευθείες ε κι ε τέμνονται. β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων τομής των ευθειών ε κι ε. 3. Να βρείτε τι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ το σημείο Α(, ), τέμνουν την ευθεία : 35 0 σε σημείο Μ τέτοιο, ώστε d(, ). 4. Δίνονται τα διανύσματα, 0 κι η εξίσωση ( ) ( ) 0 (). α. Να δείξετε ότι η () παριστά ευθεία σε κάθε περίπτωση. β. Αν, τότε η () είναι παράλληλη στον άξονα. γ. Αν, τότε η () είναι παράλληλη στον άξονα. δ. Αν το σημείο Ο(0, 0) ανήκει στην (), τότε. Στάμου Γιάννης Σελίδα 99

101 5. Να βρείτε την οξεία γωνία ω που σχηματίζουν οι ευθείες : 0 κι : 0, όπου Δίνεται η εξίσωση 0 (). α. Να δειχθεί ότι η () παριστά δύο ευθείες ε κι ε. β. Να δειχθεί ότι ε //ε. γ. Να βρεθεί η εξίσωση της παράλληλης των ευθειών ε κι ε, η οποία διέρχεται απ την αρχή των αξόνων. 7. Δίνεται η εξίσωση (). α. Να δείξετε ότι η () παριστά δύο ευθείες ε κι ε. β. Να βρείτε το σημείο τομής των δύο ευθειών. γ. Να βρεθεί η τιμή του, ώστε το σημείο τομής των ευθειών ε κι ε ν ανήκει στην ευθεία : ( ) Οι συντεταγμένες δύο πλοίων είναι Π (t-, t+) και Π (3t, 3t-), για κάθε χρονική στιγμή t, όπου t ο χρόνος σε ώρες. α. Να βρείτε τις εξισώσεις των γραμμών στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία. β. Να εξετάσετε αν υπάρξει χρονική στιγμή κατά την οποία τα δύο πλοία θα συναντηθούν. γ. Ποια είναι η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t=3h; 9. Δίνεται η ευθεία : 0 και το σημείο Α(, -4). α. Να βρείτε την προβολή του Α πάνω στην ε. β. Να βρείτε το συμμετρικό του Α ως προς την ε. 30. Σημείο Α κινείται επί της ευθείας : 3 0. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του συμμετρικού του Α ως προς την ευθεία : 0 3. Δίνονται τα διανύσματα και με, 6 και 0, όπου (, ). Δίνεται επίσης η εξίσωση ( ) ( 6) 7 0(). α. Να δείξετε ότι η () παριστά ευθεία για κάθε [0, ]. β. Αν η () είναι παράλληλη στον άξονα, τότε 3. γ. Αν η () είναι παράλληλη στον άξονα, να βρείτε τη γωνία φ. δ. Να εξετάσετε αν το σημείο Μ(, ) ανήκει στην (). Στάμου Γιάννης Σελίδα 00

102 Ενότητα ΙΙΙ 3. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(3, -) απ τις ευθείες: α. :3 8 0, β. : 5 0, γ. : Να βρείτε τις τιμές του ώστε το σημείο Α(, -) ν απέχει απ την ευθεία : ( ) 3 0 απόσταση d= Δίνονται οι ευθείες : 0 κι : 0. Αν d, d είναι οι αποστάσεις της αρχής των αξόνων Ο(0, 0) απ τις ευθείες ε κι ε αντίστοιχα, να δείξετε ότι: 4d d. 35. Η ευθεία : είναι η μεσοπαράλληλη δύο παραλλήλων ευθειών ε, ε για τις οποίες ισχύει d(ε, ε )=0. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε κι ε. 36. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται απ το σημείο Α(, ) κι απέχουν απ το σημείο Μ(-3, 5) απόσταση d= Θεωρούμε τις ευθείες : 0 κι : 0,,. Να βρείτε τις τιμές των, ώστε να ισχύει: ε //ε και d,. 38. Να βρείτε τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες : κι : Δίνεται η εξίσωση (). α. Να δείξετε ότι η () παριστά δύο ευθείες ε κι ε. β. Να δείξετε ότι ε //ε. γ. Να βρείτε τη μεσοπαράλληλη των ευθειών ε κι ε. δ. Το σημείο Μ(-, 4) βρίσκεται μέσα στη ζώνη των παραλλήλων ευθειών ε κι ε ; 40. Δίνεται η εξίσωση ( 3) -( ) 0 () και το σημείο Α(, 5). α. Να δείξετε ότι η () παριστά ευθεία ε για κάθε. β. Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες ισχύει d(α, ε)<. 4. Έστω ευθεία : και η αρχή των αξόνων Ο(0, 0). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει d(μ,ο)= 5 d(μ, ). 4. Δίνονται τα σημεία Α(, 3), Β(4, -) και Γ(-5, -7). α. Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου. β. Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου. γ. Να βρεθεί το μήκος του ύψους ΑΔ. Στάμου Γιάννης Σελίδα 0

103 43. Να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου με κορυφές τα σημεία Α(, -3), Β(-, 7), Γ(-, -5) και Δ(7, 0). 44. Δίνονται τα σημεία Α(3, ), Β(, λ-) και Γ(λ-, λ),. α. Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες τα σημεία Α, Β και Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου. β. Να βρείτε την τιμή του, αν (ΑΒΓ)=. 45. Θεωρούμε τα σημεία Α(, 4) κα Β(3, -). Να βρείτε τα σημεία Μ του επιπέδου, για τα οποία ισχύει (ΜΑ)=(ΜΒ) και (ΜΑΒ)= Δίνονται τα σημεία Α(0, ), Β(-, 6) και Γ(6, -6). α. Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ αποτελούν κορυφές τριγώνου. β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου. γ. Να βρείτε τις εξισώσεις της εσωτερικής και της εξωτερικής διχοτόμου της γωνίας. δ. Ποια απ τις ευθείες του ερωτήματος (γ) είναι η εσωτερική και ποια η εξωτερική διχοτόμος; 47. Δίνεται η εξίσωση (). α. Να δείξετε ότι η () παριστά δύο παράλληλες ευθείες ε κι ε. β. Αν : 0 κι : 4 0, να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας ε των ε κι ε. γ. Αν Α σημείο της ε με τεταγμένη και Β σημείο της ε με τετμημένη,τότε i. να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β ii. να βρείτε σημεία Γ και Δ της ε ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι τετράγωνο iii. να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου ΑΓΒΔ. 48. Δίνονται οι ευθείες : κι :0 4 0,. α. Να δείξετε ότι οι ευθείες ε κι ε τέμνονται για κάθε τιμή του και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Μ. β. Να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Μ είναι η ευθεία : γ. Αν η ε τέμνει τους άξονες και στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τότε: i. να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται απ την αρχή των αξόνων Ο και είναι παράλληλη στην ευθεία ΑΒ 9 ii. αν Κ τυχαίο σημείο της ευθείας ζ, να δείξετε ότι. 4 Στάμου Γιάννης Σελίδα 0

104 Γενικές ασκήσεις πάνω στην ευθεία 49. Δίνονται τα σημεία Α(8, 0) και Β(0, 4) του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται απ την αρχή των αξόνων Ο(0, 0) και το μέσο Δ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται απ το σημείο Δ και είναι κάθετη στην ευθεία ζ. γ. Έστω Μ τυχαίο σημείο της ευθείας ε. Να δείξετε ότι (Πανελλαδικές 999) 50. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Ο, η εξίσωση. ( ) ( ) 3 0,, περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει περιστρεφόμενος φάρος Φ. α. Να βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ. β. Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία Κ(, ), Λ(-, 5) και Μ(, 3). Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται απ τα πλοία Κ, Λ και Μ. γ. Να υπολογίσετε ποιο απ τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται απ το πλοίο Μ. δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται απ το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ. (Πανελλαδικές 000) 5. Δίνεται η εξίσωση (). α. Να δείξετε ότι η () παριστά δύο ευθείες ε κι ε. β. Να δείξετε ότι. γ. Να βρείτε σημείο Μ(κ, λ) με κ>0, λ>0 τέτοιο, ώστε το διάνυσμα (3, ) να είναι παράλληλο σε μία απ τις δύο ευθείες ε κι ε και το διάνυσμα ( 6,4 ) να είναι παράλληλο στην άλλη. (Πανελλαδικές 00) 5. Δίνεται η εξίσωση (), 0. α. Να δείξετε ότι η () παριστά δύο παράλληλες ευθείες ε κι ε με κλίση ίση με. β. Να βρείτε την τιμή του, αν το εμβαδόν του τετραγώνου, του οποίου οι πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε κι ε, είναι ίσο με. 53. Θεωρούμε ένα σημείο Ν της ευθείας : 0 κι ονομάζουμε Α και Β τις προβολές του Ν στις ευθείες : κι :, αντιστοίχως. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, όταν το Ν διαγράφει την ευθεία ε. Στάμου Γιάννης Σελίδα 03

105 Φύλλο εργασίας ΘΕΜΑ Α Α. Να δείξετε ότι η ευθεία : 0, 0 ή 0, είναι παράλληλη στο διάνυσμα (, ) και κάθετη στο διάνυσμα (, ). Μονάδες 7 Α. Αν Α(, ), Β(, ) και Γ( 3, 3 ), να γράψετε τον τύπο του εμβαδού του τριγώνου. Μονάδες 3 Α3. Ν απαντήσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) στις παρακάτω προτάσεις. i) Όλες οι ευθείες που διέρχονται απ το σημείο Α( 0, 0 ) περιγράφονται απ την εξίσωση ( - ). 0 0 ii) Το διάνυσμα (, ) είναι κάθετο στην ευθεία Β+Α+Γ=0. iii) Το εμβαδόν ενός τριγώνου δίνεται πάντα απ τον τύπο ( ) det(, ). iv) Αν οι ευθείες ε κι ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, τότε ισχύει 0 v) Η εξίσωση ( ) ( ) 4 0 δεν παριστά ευθεία για κάθε. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β Δίνεται ευθεία η ευθεία : και το σημείο Α(, ). Β. Να βρείτε την προβολή του σημείου Α στην ευθεία ε. Μονάδες 8 Στάμου Γιάννης Σελίδα 04

106 Β. Να βρείτε το συμμετρικό Α του σημείου Α ως προς την ευθεία ε. Μονάδες 7 Β3. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται απ το Α και σχηματίζει με τον άξονα γωνία 35. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι ευθείες : 3 0 κι : 3 0. Γ. Να δείξετε ότι ε //ε. Μονάδες 4 Γ. Να βρείτε την απόσταση των ευθειών ε κι ε. Μονάδες 6 Γ3. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης των ευθειών ε κι ε. Μονάδες 7 Γ4. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, η οποία διέρχεται απ το σημείο Κ(, ) και τέμνει τις ευθείες ε, ε στα σημεία Α και Β αντίστοιχα, έτσι ώστε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ να διχοτομείται απ την ευθεία : 0. Μονάδες 8 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται το διάνυσμα (4,) και το σημείο Β(0, ). Δ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε η οποία διέρχεται απ το σημείο Β κι είναι παράλληλη στο διάνυσμα. Μονάδες 3 Στάμου Γιάννης Σελίδα 05

107 Δ. Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα στο σημείο Α, να δείξετε ότι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει εξίσωση : Μονάδες 5 Δ3. Α η ευθεία ζ τέμνει τον άξονα στο Γ, να βρεθεί σημείο Δ της ζ ώστε το τετράπλευρο ΑΓΒΔ να είναι ρόμβος. Μονάδες 7 Δ4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του ρόμβου ΑΓΒΔ. Μονάδες 4 Δ5. Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας. Μονάδες 6 Καλή επιτυχία! Στάμου Γιάννης Σελίδα 06

108 Το θέμα Δίνεται η εξίσωση 3 ( ) ( ) 0 (), {0,}. Α. Να δειχθεί ότι η () παριστά παράλληλες ευθείες, για κάθε {0,}. Β. Αν μ>, τότε: i. να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου που ορίζουν οι παράλληλες ευθείες με τους θετικούς ημιάξονες Ο και O ii. να βρείτε τις τιμές του μ για τις οποίες το εμβαδόν του σχηματιζόμενου τραπεζίου είναι ίσο με τετραγωνικές μονάδες. Στάμου Γιάννης Σελίδα 07

109 ΕΝΟΤΗΤΑ Ι: Ο κύκλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο(0, 0) Έστω Ο ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με κέντρο το σημείο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ. Ένα σημείο Μ(, ) ανήκει στον κύκλο C αν και μόνο αν απέχει απ το κέντρο του Ο απόσταση ίση με ρ. Δηλαδή, αν και μόνο αν ισχύει (ΟΜ)=ρ. O Μ(, ) Όμως: ( ) Άρα η εξίσωση του κύκλου με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ είναι: Για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα 4 έχει εξίσωση: + =4. Ο κύκλος με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ=, λέγεται μοναδιαίος κύκλος. Παραμετρικές εξισώσεις κύκλου Έστω ο κύκλος C : κι ένα σημείο Μ(, ) του καρτεσιανού επιπέδου. Ονομάζουμε φ τη γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα με τον άξονα, οπότε είναι 0. Αν το σημείο Μ(, ) ανήκει στον κύκλο C τότε, όπως γνωρίζουμε απ την τριγωνομετρία, θα είναι: () Ώστε, για κάθε σημείο Μ(, ) Μ(, ) του κύκλου C, υπάρχει φ μοναδική γωνία [0, ) τέτοια ώστε να ισχύει η (). O Στάμου Γιάννης Σελίδα 08

110 Αντιστρόφως, αν για τις συντεταγμένες του σημείου Μ ισχύει η (), τότε έχουμε: ( ) ( ) ( ) Ώστε για κάθε γωνία [0, ), το σημείο Μ με συντεταγμένες τις () ανήκει στον κύκλο C. Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων Μ(, ) του κύκλου και μόνον αυτές ικανοποιούν τις εξισώσεις: και, [0, ) Οι εξισώσεις αυτές λέγονται παραμετρικές εξισώσεις του κύκλου C. Εφαπτομένη κύκλου Έστω ο κύκλος C : κι ένα σημείο του Α(, ), οπότε ισχύει (). Έστω επίσης η εφαπτομένη ε του κύκλου στο σημείο Α. ε Ο Α(, ) M(, ) Ένα σημείο Μ(, ) ανήκει στην ε αν και μόνο αν, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει 0 (). Όμως (, ) και (, ), οπότε η () γίνεται: ( ) ( ) 0 0 () Ώστε η εφαπτομένη του κύκλου C : στο σημείο του Α(, ), έχει εξίσωση: Για παράδειγμα, η εφαπτομένη του κύκλου εξίσωση C : 4 στο σημείο του (, 3) έχει Εξίσωση κύκλου με κέντρο Κ( 0, 0 ) Έστω Ο ένα σύστημα συντεταγμένων και C ο κύκλος με κέντρο Κ( 0, 0 ) και ακτίνα ρ. Κ( 0, 0 ) Μ(, ) Ένα σημείο Μ(, ) ανήκει στον κύκλο C, αν και μόνο αν η απόσταση ΚΜ είναι ίση με την ακτίνα ρ, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει (ΚΜ)=ρ (). Στάμου Γιάννης Σελίδα 09

111 Όμως ( ) ( - ) ( ), οπότε η () γίνεται: 0 0 ( - ) ( ) ( - ) ( ) Άρα ο κύκλος με κέντρο Κ( 0, 0 ) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: ( ) ( ) 0 0 Για παράδειγμα, ο κύκλος με κέντρο Κ(-, 3) και ακτίνα 5 έχει εξίσωση ( ) ( 3) 5 Η εξίσωση 0 Θεώρημα Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής 0 με 4 0 () κι αντίστροφα, κάθε εξίσωση της μορφής () παριστά κύκλο κέντρου (, ) κι 4 ακτίνας. Απόδειξη Έστω κύκλος C κέντρου Κ( 0, 0 ) κι ακτίνας ρ. Η εξίσωσή του είναι: ( ) ( ) () Θέτοντας 0, 0 και, η () παίρνει τη μορφή 0 και ( ) ( ) 4( ) Αντίστροφα, έστω η εξίσωση 0.έχουμε τότε: 0 ( ) ( ) 0 0 Στάμου Γιάννης Σελίδα 0

112 (3) Αν κι ακτίνας 4 0, τότε η (3) παριστά κύκλο κέντρου (, ) 4. Αν 4 0, τότε η (3) γίνεται: 0 και (, ) (εκφυλισμένος κύκλος), δηλαδή παριστά το σημείο Αν 4 0, τότε η (3) γίνεται: 0 που είναι αδύνατη, άρα δεν υπάρχουν σημεία Μ(, ) των οποίων οι συντεταγμένες να την επαληθεύουν. Για παράδειγμα, δίνεται η εξίσωση 6 8 0, όπου Α= -6, Β= και Γ=8. Είναι 4 ( 6) , οπότε η εξίσωση παριστά 6 κύκλο κέντρου,, (3, ) και ακτίνας 4 8. Στάμου Γιάννης Σελίδα

113 Λυμένα παραδείγματα. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου C όταν: α. έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα Α(, 7) και Β(-6, 5) β. έχει κέντρο το σημείο Κ(-, 0) κι εφάπτεται στην ευθεία : γ. διέρχεται απ τα σημεία Α(, ), Β(-, ) και Γ(, 3). (Βασική άσκηση) Λύση α. Το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει συντεταγμένες: 6 4 (,6) Είναι ( ) [ ( )] (7 6) 6 7, συνεπώς ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση C : ( ) ( 6) 7. ( ) β. Είναι d(, ) 5, συνεπώς ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση C : ( ) 5 γ. α τρόπος Έστω 0 η εξίσωση του ζητούμενου κύκλου. Οι συντεταγμένες των σημείων Α, Β και Γ επαληθεύουν την εξίσωση του κύκλου, οπότε έχουμε: ( ) Άρα ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση C : (Ι) Στάμου Γιάννης Σελίδα

114 β τρόπος Το μέσο Δ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ έχει συντεταγμένες: , Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης, οπότε για τη μεσοκάθετο μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ ισχύει ότι:. Οπότε η ευθεία μ έχει εξίσωση ( 0) () Το μέσο Ε του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ έχει συντεταγμένες: 3 3 5, 3 5 Η ευθεία ΑΓ έχει συντελεστή διεύθυνσης του ευθυγράμμου τμήματος ΑΓ ισχύει ότι:. 3, οπότε για τη μεσοκάθετο μ Οπότε η ευθεία μ έχει εξίσωση () Οι συντεταγμένες του κέντρου Κ του κύκλου αποτελούν τη λύση του συστήματος των εξισώσεων () και () Στάμου Γιάννης Σελίδα 3

115 , Η ακτίνα του κύκλου είναι: ( ) Άρα ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση C : (II) Παρατήρηση: Οι εξισώσεις (Ι) και (ΙΙ) ταυτίζονται αν γίνουν οι πράξεις.. Δίνεται ο κύκλος C : ( ) ( 3) 5 και το σημείο Α(5, ). α. Να δείξετε ότι το σημείο Α(5, ) ανήκει στον κύκλο. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο Α. (Βασική άσκηση) Λύση α. Αντικαθιστώ τις συντεταγμένες του σημείου Α στην εξίσωση του κύκλου κι έχω: (5 ) ( 3) που ισχύει, άρα το σημείο Α ανήκει στον κύκλο C. β. Ο κύκλος έχει κέντρο Κ(, -3) και ακτίνα ρ=5, οπότε ένα σημείο Μ(, ) ανήκει στην εφαπτομένη ε αν και μόνο αν 0 (). Είναι (5,3) (3, 4) και ( 5, ), οπότε η () γίνεται: 0 (3, 4) ( 5, ) 0 3( 5) 4( ) Άρα η εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του A(5, ) έχει εξίσωση : , όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα: Στάμου Γιάννης Σελίδα 4

116 ε Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Μ(, ) 3. Δίνεται η εξίσωση (). α. Να δείξετε ότι η () παριστά κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο Κ και την ακτίνα ρ. β. Να δείξετε ότι η ευθεία : εφάπτεται στον κύκλο και να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου επαφής. (Βασική άσκηση) Λύση α. Αν Α=4, Β= - και Γ= -5, τότε έχουμε: 4 4 ( ) 4 ( 5) , οπότε η () παριστά κύκλο κέντρου 4,, (,) και ακτίνας Άρα η εξίσωση του κύκλου γίνεται C : ( ) ( ) 0 β. Υπολογίζω την απόσταση του κέντρου Κ του κύκλου απ την ευθεία ε. 3 ( ) d(, ) Είναι d(κ, ε)=ρ, άρα η ευθεία ε εφάπτεται στον κύκλο C. Στάμου Γιάννης Σελίδα 5

117 Για την εύρεση των συντεταγμένων του σημείου επαφής, λύνω το σύστημα κύκλου κι ευθείας. ( ) ( ) 0 ( ) (5 3 ) 0 ( ) (4 3 ) ( ) 0 0 (,) Επομένως, η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο στο σημείο Μ(, ). 4. Δίνεται ο κύκλος C : 0 και το σημείο Ρ(4, -). α. Να βρεθεί η σχετική θέση του σημείου Ρ ως προς τον κύκλο C. β. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων του κύκλου που διέρχονται απ το Ρ. γ. Να βρείτε τη σχετική θέση των δύο εφαπτομένων. Λύση α. Βρίσκουμε την απόσταση του σημείου Ρ απ το κέντρο Ο(0, 0) του κύκλου. ( ) και 0, οπότε (ΟΜ)>ρ, συνεπώς το σημείο Ρ είναι εξωτερικό του κύκλου C. β. Έστω Μ(, ) σημείου του κύκλου C. Η εφαπτομένη του κύκλου στο Μ έχει εξίσωση : 0. Οι συντεταγμένες του σημείου Ρ ικανοποιούν την εξίσωση της ευθείας ε, οπότε είναι (). Το σημείο Μ ανήκει στον κύκλο C, οπότε είναι επίσης 0 (). Λύνω το σύστημα των εξισώσεων () και () Στάμου Γιάννης Σελίδα 6

118 ή , 5, 3 3, 3 5 3, ή (, 3) (3,) Άρα οι ζητούμενες εφαπτόμενες έχουν εξισώσεις : 3 0 κι :3 0. γ. Είναι και ( 3). 3, 5. Δίνονται οι κύκλοι μ εξισώσεις C :( ) ( 3) 5 και : ( ) 9 C. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο του Α(5, -) εφάπτεται και στον κύκλο C. Λύση Ο κύκλος C έχει κέντρο K(, 3) και ακτίνα ρ =5, ενώ ο κύκλος C έχει κέντρο Λ(0, -) και ακτίνα ρ =3. Ένα σημείο Μ(, ) ανήκει στην εφαπτομένη του κύκλου στο Α αν και μόνο αν, δηλαδή αν και μόνο αν 0 (). ε Μ(, ) A(5, -) B Όμως (5, 3) (3, 4) και ( 5, ( )) ( 5, ), οπότε η () γίνεται: Στάμου Γιάννης Σελίδα 7

119 0 (3, 4) ( 5, ) 0 3( 5) 4 ( ) Άρα η εφαπτομένη του κύκλου C στο Α έχει εξίσωση : Η απόσταση του κέντρου Λ του κύκλου C απ την ευθεία ε είναι: 30 4 ( ) d(, ) 3. 3 ( 4) Άρα d(λ, ε)=ρ, συνεπώς η ευθεία ε εφάπτεται και στον κύκλο C. 6. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο Κ(, ) κι αποκόπτει απ την ευθεία : χορδή μήκους 8. (Βασική άσκηση) Λύση K(, ) ρ 3 A 4 M B Το απόστημα ΚΜ είναι μεσοκάθετος της χορδής, οπότε ΑΜ=ΜΒ=4. Επίσης είναι: ( ) d(k,ε)= Εφαρμόζουμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο, οπότε έχουμε: Άρα ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση C : ( ) ( ) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά απ τις παρακάτω περιπτώσεις: α. ο κύκλος έχει ακτίνα ρ=6, εφάπτεται στον άξονα κα διέρχεται απ το σημείο Α(, 6) β. ο κύκλος έχει κέντρο Κ(-4, 5) κι εφάπτεται του άξονα Στάμου Γιάννης Σελίδα 8

120 γ. ο κύκλος έχει κέντρο Κ(, -) κι εφάπτεται στους άξονες και. (Βασική άσκηση) Λύση Χρήσιμες παρατηρήσεις Ο κύκλος κέντρου Κ( 0, 0 ) εφάπτεται στον άξονα 0. 0 Κ( 0, 0 ) O 0 Ο κύκλος κέντρου Κ( 0, 0 ) εφάπτεται στον άξονα 0 0 Κ( 0, 0 ) O 0 Ο κύκλος κέντρου Κ( 0, 0 ) εφάπτεται στους άξονες και Κ( 0, 0 ) O 0 α. Ο κύκλος εφάπτεται στον άξονα Αν 0 =6, τότε ο κύκλος έχει εξίσωση C () :( 0) ( 6) 36 Το σημείο Α(, 6) ανήκει στον κύκλο C, άρα η () γίνεται: Στάμου Γιάννης Σελίδα 9

121 ( ) (6 6) 36 ( ) 36 6 ή 6 4 ή C :( 4) ( 6) 36 και Συνεπώς προκύπτουν οι κύκλοι μ εξισώσεις C. :( 8) ( 6) 36 Αν 0 = -6, τότε ο κύκλος έχει εξίσωση C () :( 0) ( 6) 36 Το σημείο Α(, 6) ανήκει στον κύκλο C, άρα η () γίνεται: ( ) (6 6) 36 ( ) ( ) 08, αδύνατη Άρα δεν υπάρχει κύκλος. β. Ο κύκλος εφάπτεται του άξονα Τότε ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση C : ( 4) ( 5) 6. γ. Ο κύκλος εφάπτεται στους άξονες και 0 0 Τότε ο ζητούμενος κύκλος έχει εξίσωση C : ( ) ( ) 4. Προσοχή Όταν ο κύκλος κέντρου Κ( 0, 0 ) εφάπτεται στους άξονες και, τότε: Αν 0, 0 ομόσημοι, το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία. Αν 0, 0 ετερόσημοι, το κέντρο του βρίσκεται στην ευθεία. 8. Να δείξετε ότι οι κύκλοι C και : C τέμνονται ορθογώνια, δηλαδή τέμνονται και οι : εφαπτόμενες στα κοινά τους σημεία είναι κάθετες. Λύση Για τον κύκλο C είναι Α= -4, Β= - και Γ=3, οπότε: 4 ( 4) ( ) Άρα ο κύκλος C έχει κέντρο 8. 4,, (,) και ακτίνα Στάμου Γιάννης Σελίδα 0

122 Για το κύκλο C είναι Α= -0, Β= -4 και Γ=, οπότε: 4 ( 0) ( 4) Άρα ο κύκλος C έχει κέντρο ,, (5,) και ακτίνα Σχετικές θέσεις δύο κύκλων Κύκλοι χωρίς κοινά σημεία α. Ο ένας στο εσωτερικό του άλλου Αν (ΚΑ)=R και (ΛΒ)=ρ, τότε: Κ Λ Β Α ( ) R-ρ β. Ο ένας εξωτερικός του άλλου Κ Α Β Λ Αν (ΚΑ)=R και (ΛΒ)=ρ, τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R+ρ Στάμου Γιάννης Σελίδα

123 Κύκλοι εφαπτόμενοι α. Κύκλοι εσωτερικά εφαπτόμενοι Αν (ΚΑ)=R και (ΛΑ)=ρ, τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) R-ρ Κ Λ Α β. Κύκλοι εξωτερικά εφαπτόμενοι Κ Α Λ Αν (ΚΑ)=R και (ΛΑ)=ρ, τότε: ( ) ( ) ( ) ( ) R+ρ Κύκλοι τεμνόμενοι Α Αν (ΚΑ)=R και (ΛΑ)=ρ, τότε στο τρίγωνο είναι: Κ Λ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R-ρ<(ΚΛ)<R+ρ Β Στάμου Γιάννης Σελίδα

124 Για τους κύκλους C, C είναι ( ) (5 ) ( ) Έχουμε 3, κι επειδή ( ), οι κύκλοι τέμνονται. Για να βρω τις συντεταγμένες των κοινών τους σημείων λύνω το σύστημα των δύο εξισώσεων ( ) (9 3 ) 4 (9 3 ) , ή , , 0 (3,0),,, ε ε ε Στάμου Γιάννης Σελίδα 3

125 Έστω ε η εφαπτομένη του κύκλου (Κ, ρ ) κι ε η εφαπτομένη του κύκλου (Λ, ρ ) στο σημείο τομής τους Α(3, 0). 0 Είναι κι επειδή ( ). 3 0 Είναι 3 5 κι επειδή. Συνεπώς ( ). Όμοια και για τις εφαπτόμενες των δύο κύκλων στο Β. Άρα οι κύκλοι C, C τέμνονται ορθογώνια. 9. Να βρείτε τους αριθμούς για τους οποίους η ευθεία : εφάπτεται στον κύκλο C : ( ) ( ). Λύση Σχετικές θέσεις ευθείας-κύκλου Ευθεία εξωτερική του κύκλου Κ Αν ΚΑ=ρ και ΚΜ=d(Κ, ε), τότε η ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου αν και μόνο αν ρ<d. ρ Α d ε Μ Ευθεία εφαπτόμενη στον κύκλο Κ Είναι ΚΑ=ρ και ΚΑ=d(Κ, ε), οπότε η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο αν και μόνο αν d=ρ. ρ d ε Α Στάμου Γιάννης Σελίδα 4

126 Ευθεία τέμνουσα του κύκλου Αν ΚΑ=ρ και ΚΜ=d(Κ, ε), τότε στο ρ Κ d ορθογώνιο τρίγωνο είναι ΚΑ>ΚΜ (ΚΑ υποτείνουσα), άρα η ευθεία τέμνει τον κύκλο αν και μόνο Α Μ Β αν ρ>d. Ο κύκλος C έχει κέντρο Κ(λ, -) και ακτίνα, οπότε η ευθεία θα εφάπτεται στον ( ) d Κ, ε =ρ ( ) κύκλο αν και μόνο αν 0 (η εξίσωση 0 είναι αδύνατη). 0. Έστω ο κύκλος C : ( 3) ( ) 85 και το σημείο Μ(, 4). Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε, η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία Α και Β και το σημείο Μ είναι το μέσο της χορδής ΑΒ. Λύση α τρόπος Έστω Α(, ) και Β(, ) τα το σημεία στα οποία η ζητούμενη ευθεία τέμνει τον κύκλο C. Τότε είναι: ( 3) ( ) 85 () και ( 3) ( ) 85 (). Αφαιρώντας κατά μέλη τις () και () έχω: ( 3) ( 3) ( ) ( ) ( ) 6( ) ( ) 4( ) 0 Στάμου Γιάννης Σελίδα 5

127 ( ) ( ) 6( ) ( ) ( ) 4( ) 0 ( ) ( 6) ( ) ( 4) 0 (3) Το σημείο Μ(, 4) είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, αν και μόνο αν, (4) Από (3) και (4) έχω: ( ) (4 6) ( ) (8 4) 0 ( ) 4( ) 0 ( ) 4( ) ( ) (5) Αν, η (5) γίνεται ( ) 0 (απορρίπτεται), άρα, οπότε η (5) γίνεται. Η ευθεία ΑΒ διέρχεται απ το σημείο Μ(, 4), οπότε έχει εξίσωση : 4 ( ) (Ο παραπάνω τρόπος εφαρμόζεται και στις υπόλοιπες κωνικές τομές, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή). β τρόπος Στάμου Γιάννης Σελίδα 6

128 Ο κύκλος έχει κέντρο Κ(3, ), οπότε το Μ(, 4) είναι το μέσο της χορδής ΑΒ, αν και μόνο αν, 4. Είναι, συνεπώς: 3 ( ) Η ευθεία ΑΒ διέρχεται απ το σημείο Μ(, 4), οπότε έχει εξίσωση : 4 ( ) (Ο παραπάνω τρόπος εφαρμόζεται μόνο στον κύκλο).. Απ το σημείο Μ( 0, 0 ) εκτός του κύκλου C : φέρνουμε τις δύο εφαπτόμενές του. Αν Α, Β είναι τα σημεία επαφής, να δείξετε ότι η χορδή ΑΒ έχει εξίσωση 0 0. A Λύση Μ( 0, 0 ) O B Έστω Α(, ) και Β(, ) τα σημεία επαφής των εφαπτομένων που άγονται απ το σημείο Μ προς τον κύκλο C. Οι εξισώσεις των εφαπτομένων είναι: : κι :. Το σημείο Μ ανήκει στις ε, ε οπότε είναι: και Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β ικανοποιούν την εξίσωση 0 0, που είναι εξίσωση ευθείας διότι 0 0, 0, αφού. Άρα η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση 0 0. Η ευθεία ΑΒ ονομάζεται πολική του Μ ως προς τον κύκλο C και το σημείο Μ πόλος της ευθείας ΑΒ ως προς τον κύκλο C. Στάμου Γιάννης Σελίδα 7

129 ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙ: Η παραβολή Ορισμός Έστω μια ευθεία δ κι ένα σημείο Ε εκτός αυτής. Ονομάζουμε παραβολή, με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ, το γεωμετρικό τόπο C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν απ το σημείο Ε και την ευθεία δ. Ρ M Αν Α είναι η προβολή της εστίας Ε στη διευθετούσα δ, τότε το μέσο Κ του ευθυγράμμου τμήματος ΕΑ είναι προφανώς σημείο της παραβολής και λέγεται κορυφή της. Α Κ E Εξίσωση παραβολής Εστία στον άξονα Έστω C μια παραβολή μ εστία Ε και διευθετούσα δ. Στο επίπεδο της παραβολής θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων Ο, το οποίο έχει αρχή την κορυφή Ο της παραβολής και στο οποίο ο άξονας διέρχεται απ την εστία Ε της παραβολής (οπότε ' ). p Αν η εστία της παραβολής έχει συντεταγμένες,0, p 0, τότε η διευθετούσα έχει p εξίσωση :. Ο αριθμός p ονομάζεται παράμετρος της παραβολής και η p εκφράζει την απόσταση της εστίας Ε απ τη διευθετούσα δ. p p Είναι : 0 0. Ένα σημείο Μ(, ) ανήκει στην παραβολή C αν και μόνο αν d(m, E)=d(M, δ) (). Όμως d(μ, Ε) 0 p 0 d(μ, δ)= 0 p p p, οπότε η () γίνεται: και Στάμου Γιάννης Σελίδα 8

130 p p p p d( M,E ) =d( M, δ) p p p p p 4 4 p Επομένως, η εξίσωση της παραβολής C μ εστία,0 και διευθετούσα : p είναι: p p>0 p<0 Ρ M(, ) M(, ) Ρ O p,0 p,0 O : p : p Για παράδειγμα, η παραβολή μ εστία το σημείο Ε(3, 0) και διευθετούσα 3, έχει p=6 κι επομένως έχει εξίσωση. Εστία στον άξονα Έστω C μια παραβολή μ εστία Ε και διευθετούσα δ. Στο επίπεδο της παραβολής θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων Ο, το οποίο έχει αρχή την κορυφή Ο της παραβολής και στο οποίο ο άξονας διέρχεται απ την εστία Ε της παραβολής (οπότε ' ). Εργαζόμενοι όπως πριν, βρίσκουμε ότι η εξίσωση της παραβολής C μ εστία p διευθετούσα : είναι: p p 0, και Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα της συνάρτησης f ( ), όπου. p p και παριστά τη γραφική παράσταση Στάμου Γιάννης Σελίδα 9

131 p>0 p<0 Ρ : p M(, ) p 0, M(, ) Ο p 0, Ο Ρ : p Ιδιότητες παραβολής Η μορφή p () Απ την εξίσωση (), επειδή 0, είναι 0 p, οπότε για 0 προκύπτει ότι οι αριθμοί p και είναι ομόσημοι. Επομένως η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας και η εστία Ε. Αν το σημείο Μ 0 ( 0, 0 ) ανήκει στην παραβολή, δηλαδή αν το σημείο Μ ( 0, - 0 ) θ ανήκει στην παραβολή, αφού p, τότε και 0 0 ( ) p p που ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής κι εν συντομία λέγεται άξονας της παραβολής. Η μορφή Παρατηρήσεις p () Απ την εξίσωση (), επειδή 0, είναι 0 p, οπότε για 0 προκύπτει ότι οι αριθμοί p και είναι ομόσημοι. Επομένως η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας και η εστία Ε. Αν το σημείο Μ 0 ( 0, 0 ) ανήκει στην παραβολή, δηλαδή αν το σημείο Μ (- 0, 0 ) θ ανήκει στην παραβολή, αφού p, τότε και 0 0 ( ) p p που ισχύει. Αυτό σημαίνει ότι ο άξονας είναι άξονας συμμετρίας της παραβολής κι εν συντομία λέγεται άξονας της παραβολής.. Σε κάθε περίπτωση, η παραβολή βρίσκεται στο ημιεπίπεδο που ορίζεται απ την εστία και τη διευθετούσα.. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα είναι σημεία της παραβολής, ονομάζεται χορδή της παραβολής. Στάμου Γιάννης Σελίδα 30

132 3. Έστω Μ ένα σημείο μιας παραβολής C μ εστία Ε. Η απόσταση (ΜΕ) ονομάζεται εστιακή απόσταση ή εστιακή ακτίνα του σημείου Μ. Εφαπτομένη παραβολής Έστω η παραβολή C μ εξίσωση p () κι ένα σταθερό της σημείο Μ (, ). Έστω επιπλέον μια μη-κατακόρυφη ευθεία ζ που διέρχεται απ το Μ και τέμνει την παραβολή σε σημείο Μ (, ), διαφορετικό του Μ. Τότε η ευθεία ζ θα έχει συντελεστή διεύθυνσης κι επειδή διέρχεται απ το σημείο Μ θα έχει εξίσωση ( ) (). Τα σημεία Μ (, ) και Μ (, ) ανήκουν στην παραβολή οπότε ισχύουν οι σχέσεις: p (3) και p (4). Αφαιρώντας κατά μέλη τις (3) και (4) έχουμε: p( ) ( )( ) ( ) p p p Έτσι η () παίρνει τη μορφή: ( ) ( )( ) p( ) (5) Αν υποθέσουμε τώρα ότι το σημείο Μ (, ), κινούμενο πάνω στην παραβολή C, τείνει να συμπέσει με το σημείο Μ (, ), δηλαδή το τείνει να γίνει ίσο με το, τότε η (5) γίνεται: ( )( ) p( ) ( ) p( ) (3) ( ) ( ) p p p p p p p p p p p p( ) Η τελευταία εξίσωση παριστά την εξίσωση ευθείας ε που είναι η οριακή θέση της ευθείας ζ, όταν το σημείο Μ τείνει να συμπέσει με το Μ. Στην περίπτωση αυτί η ευθεία ε λέγεται εφαπτομένη της παραβολής C στο σημείο της Μ (, ).. M (, ) M (, ) ε O Ε δ C Στάμου Γιάννης Σελίδα 3

133 Άρα η εφαπτομένη της παραβολής p στο σημείο της Μ (, ) έχει εξίσωση: p( ) Έστω η παραβολή C μ εξίσωση p () κι ένα σταθερό της σημείο Μ (, ). Εργαζόμενοι όπως παραπάνω καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι, η εφαπτομένη της παραβολής p στο σημείο της Μ (, ) έχει εξίσωση: p( ) C M (, ) M (, ) E O δ ε Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της παραβολής εξίσωση: 4 ( 4) Αντίστοιχα, η εφαπτομένη της παραβολής 6 3( 6) Παρατήρηση 4, στο σημείο της Μ(4, 4), έχει 6, στο σημείο της Μ(-6, 6), έχει εξίσωση: Κάθε εφαπτομένη μιας παραβολής C έχει μ αυτήν μοναδικό κοινό σημείο. Το αντίστροφο δεν ισχύει. Για παράδειγμα, κάθε ευθεία ε της μορφής 0 ( / / ' ) έχει με την παραβολή p μοναδικό κοινό σημείο, όμως δεν εφάπτεται σ αυτήν. Στάμου Γιάννης Σελίδα 3

134 Ανακλαστική ιδιότητα παραβολής Έστω η παραβολή C μ εστία Ε και κορυφή Ο κι ένα σημείο της Μ (, ). Η κάθετη στην εφαπτομένη ε της παραβολής C στο σημείο επαφής M διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία Μ Ε και η ημιευθεία Μ t που είναι ομόρροπη της ΟΕ. Μ (, ) ε C φ φ t ω Ν O E Α η δ Απόδειξη. Έστω η παραβολή C : p και το σημείο της Μ (, ). Τότε p (). Η εφαπτομένη ε της παραβολής στο Μ έχει εξίσωση p( ) () κι επειδή η () γίνεται: p ( ) p p p. p Είναι, άρα η ευθεία η έχει εξίσωση p ( ) (). p Για =0 η () γίνεται: 0 ( ) p ( ) p p p ( p,0) Είναι ( ) 0 0 p p p p και Στάμου Γιάννης Σελίδα 33

135 () p p p p p p ( ) p p p p 4 Είναι (ΕΑ)=(ΕΜ ), οπότε το τρίγωνο είναι ισοσκελές, συνεπώς ω=φ. Όμως είναι και ω=φ ως εντός εναλλάξ ( t// ), άρα φ =φ. Σχόλιο Η χρήση της παραπάνω ιδιότητας γίνεται στα παραβολικά τηλεσκόπια, στα ραντάρ, στα φανάρια των αυτοκινήτων, στους προβολείς των οδοντιάτρων κ.α. Παρατήρηση Η εφαπτομένη της παραβολής C : p στο σημείο της Μ (, ) τέμνει τον άξονα στο σημείο Ν (-, 0). Άρα για να φέρουμε την εφαπτομένη της παραβολής στο Μ, αρκεί να ενώσουμε το σημείο Μ με το σημείο Ν. Στάμου Γιάννης Σελίδα 34

136 Λυμένα παραδείγματα. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, όταν: α. έχει εστία Ε(-3, 0) β. έχει διευθετούσα την ευθεία : γ. διέρχεται απ το σημείο Α(4, ) Λύση α. Η εστία βρίσκεται στον άξονα, άρα η παραβολή έχει εξίσωση της μορφής p. p Η εστία έχει συντεταγμένες της μορφής,0, οπότε p 3 p 6, άρα η παραβολή έχει εξίσωση. β. Η διευθετούσα είναι της μορφής p p, όπου p 4. p, άρα η παραβολή έχει εξίσωση της μορφής Άρα η παραβολή έχει εξίσωση 8. γ. Η παραβολή διέρχεται απ το σημείο Α(4, ) κι έχει κορυφή την αρχή των αξόνων. H παραβολή έχει εξίσωση της μορφής p, οπότε: p 4 4 8p p. Άρα η παραβολή έχει εξίσωση. H παραβολή έχει εξίσωση της μορφής p, οπότε: 4 p 6 4 p p 4. Άρα η παραβολή έχει εξίσωση 8.. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παραβολής C : 8, όταν: α. είναι παράλληλη στην ευθεία : -3 0 Στάμου Γιάννης Σελίδα 35

137 β. είναι κάθετη στην ευθεία : 3 0 γ. σχηματίζει με τον άξονα γωνία δ. διέρχεται απ το σημείο Μ(-, ) (Βασική άσκηση) 3 4 Λύση α. Έστω Α( 0, 0 ) σημείο της παραβολής C : 8. Τότε 8 (). 0 0 Είναι p 8 p 4, άρα εφαπτομένη της παραβολής στο Α έχει εξίσωση : 4( ) () () 4 Είναι : -3 0, οπότε ισχύει: / / Για 0 η () γίνεται: , άρα Α(6, ) κι η εφαπτομένη στο Α έχει εξίσωση : () β. Είναι : 3 0, οπότε ισχύει: 0 () Για 0 η () γίνεται: , άρα στο Α έχει εξίσωση : , κι η εφαπτομένη () 3 4 γ. Είναι Για 0 4η () γίνεται: ( 4) 8 6 8, άρα Α(, -4) κι η εφαπτομένη στο Α έχει εξίσωση : δ. Αντικαθιστώ τις συντεταγμένες του Μ(-, ) στην (), οπότε: (3) Απ τις σχέσεις () και (3) έχουμε: Στάμου Γιάννης Σελίδα 36

138 ή , , , , , 7 ή, 7, οπότε οι ζητούμενες εφαπτόμενες 4 4 είναι οι : κι : Να δείξετε ότι η ευθεία : 0 εφάπτεται στην παραβολή C :. (Βασική άσκηση) Λύση Βρίσκουμε τα κοινά σημεία ευθείας και παραβολής, λύνοντας το σύστημα των δύο εξισώσεων. ( ) ( ) 0 0 (, ) ( ) Είναι p, άρα η εφαπτομένη της παραβολής στο Α έχει εξίσωση : 0, δηλαδή. Άρα η ευθεία : 0 εφάπτεται στην παραβολή C :. Στάμου Γιάννης Σελίδα 37

139 4. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της παραβολής C : 4 που έχει μέσο το σημείο 5,. (Βασική άσκηση) Λύση Α Μ Ο Ε Β δ Έστω Α(, ) και Β(, ) τα άκρα της χορδής της παραβολής. Τότε ισχύουν: 4, 4 και 5 5 Αν =, τότε τα σημεία Α, Β και Μ ανήκουν στην ευθεία 5, οπότε: , 0,, Τότε όμως 0, οπότε το Μ δεν είναι το μέσο της χορδής ΑΒ. Για έχουμε: 4 4 ( )( ) 4( ) ( ) 4( ) Στάμου Γιάννης Σελίδα 38

140 5 Άρα η χορδή ΑΒ έχει εξίσωση : Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής C που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συμμετρίας τον κι εφάπτεται στην ευθεία : 0. Λύση Η παραβολή έχει εξίσωση της μορφής C : p κι έστω Α( 0, 0 ) το σημείο επαφής ευθείας και παραβολής. Η ευθεία ε δεν είναι κατακόρυφη, άρα το σημείο Α δεν συμπίπτει με την αρχή Ο των αξόνων, συνεπώς 0, 0 0. Είναι p () κι η εφαπτομένη της παραβολής C στο Α έχει εξίσωση 0 0 () p p p : p( ) p p p Η ευθεία ε γράφεται στη μορφή, οπότε οι ευθείες ε κι ε ταυτίζονται αν και μόνο p p 4 0 p αν: Άρα η ζητούμενη παραβολή έχει εξίσωση C : Έστω η παραβολή C : p κι η εφαπτομένη της ε σ ένα σημείο της Μ (, ), διαφορετικό του Ο(0, 0), η οποία τέμνει τη διευθετούσα δ της παραβολής στο σημείο Μ. Να δείξετε ότι 90, όπου Ε η εστία της παραβολής. Μ (, ) ε Λύση Είναι p, p Μ : p Ο p,0 C άρα, p. Η εφαπτομένη ε έχει εξίσωση: p( ) p( ) p Στάμου Γιάννης Σελίδα 39

141 p p 0 Οι συντεταγμένες του Μ θα είναι η λύση του συστήματος: p p p p p p p p p p p, Είναι 0 p p p p p p και p p 0 p p p p p οπότε : p p p p Έστω η παραβολή C : p κι ε, ε οι εφαπτόμενες της παραβολής από ένα σημείο Μ 0 ( 0, 0 ), 0 0. Αν Μ, Μ τα σημεία επαφής των ε, ε με την παραβολή C. Να δείξετε ότι: α. η ευθεία Μ Μ έχει εξίσωση 0 p( 0) β. η ευθεία Μ Μ διέρχεται απ την εστία Ε της παραβολής αν και μόνο αν το σημείο Μ 0 ανήκει στη διευθετούσα δ της παραβολής. Λύση ε Μ Μ 0 Ο Ε Μ δ ε Στάμου Γιάννης Σελίδα 40

142 α. Αν Μ (, ) και Μ (, ) τα σημεία επαφής τότε οι εφαπτόμενες της παραβολής στα σημεία αυτά έχουν εξισώσεις : p( ) κι : p( ). Οι ευθείες ε κι ε διέρχονται απ το σημείο Μ 0 ( 0, 0 ), οπότε είναι: 0 p( 0 ) και 0 p( 0 ). Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Μ και Μ επαληθεύουν την εξίσωση p( ). 0 0 Άρα η χορδή Μ Μ έχει εξίσωση 0 p( 0). Παρατήρηση Η ευθεία Μ Μ λέγεται πολική του σημείου Μ ως προς την παραβολή C, ενώ το σημείο Μ λέγεται πόλος της ευθείας Μ Μ ως προς την παραβολή C. p β. Η ευθεία Μ Μ διέρχεται απ την εστία,0 αν και μόνο αν οι συντεταγμένες της επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει: p0 p p p p p p 0 0. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν το σημείο Μ 0 ( 0, 0 ) ανήκει στη διευθετούσα δ της παραβολής. 8. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών της παραβολής που έχουν το ένα άκρο τους στην αρχή των αξόνων. Λύση C : 0 A C M O Στάμου Γιάννης Σελίδα 4

143 Έστω Α(, ) το άλλο άκρο της χορδής. Τότε είναι: 0 (). 0 Έστω Μ( 0, 0 ) το μέσο της χορδής ΟΑ. Έχουμε τότε: ( 0) Αντικαθιστώντας στην () έχουμε: Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η παραβολή C ': Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ( 0, 0 ), απ τα οποία οι εφαπτόμενες που άγονται προς την παραβολή C : p είναι κάθετες. (Βασική άσκηση) Λύση ε M O E δ ε C Απ το σημείο Μ( 0, 0 ) διέρχονται οι ευθείες : 0 κι : 0 ( 0). Η ευθεία η εφάπτεται στην παραβολή μόνο όταν 0 =0, δηλαδή μόνο όταν η ευθεία η ταυτίζεται με τον άξονα. Όμως τότε δεν μπορούμε να φέρουμε προς την παραβολή άλλη εφαπτόμενη ευθεία, άρα η ευθεία η δεν αποτελεί λύση του προβλήματος. Είναι, οπότε 0, 0 0. Για το σημείο Μ( 0, 0 ) πρέπει το παρακάτω σύστημα να έχει διπλή λύση: Στάμου Γιάννης Σελίδα 4

144 0 ( 0) 0 0 p ( 0 0) p ( 0 0 p) ( 0 0) 0 () Για να έχει το σύστημα διπλή λύση, πρέπει για την () να είναι Δ= ( p) 4 ( ) 0... p 0 () H () είναι τριώνυμο ως προς λ και οι λύσεις του είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των εφαπτομένων που άγονται απ το σημείο Μ προς την παραβολή C. p Απ τους τύπους του Vieta έχουμε: (3). Θέλουμε οι εφαπτόμενες απ το σημείο Μ να είναι κάθετες, οπότε: 0 (3) p p. 0 0 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι η ευθεία παραβολής. p, δηλαδή η διευθετούσα της 0. Έστω Α, Β δύο σημεία του άξονα, συμμετρικά ως προς την εστία Ε της παραβολής C : p. Να δείξετε ότι η διαφορά των τετραγώνων των αποστάσεων των σημείων Α, Β από τυχαία εφαπτομένη της παραβολής C παραμένει σταθερή. Λύση C Α Μ d Β Ο Ε Α Β d Α ε Στάμου Γιάννης Σελίδα 43

145 p Η παραβολή C έχει εστία,0. Τα σημεία Α και Β είναι συμμετρικά ως προς την εστία p p Ε, άρα θα έχουν συντεταγμένες,0 και,0, όπου α>0. Η εφαπτομένη της παραβολής σε τυχαίο σημείο Μ( 0, 0 ) έχει εξίσωση : p( ) p p p p Επίσης ισχύει ότι p (). 0 0 Aν d, d είναι οι αποστάσεις των σημείων Α και Β απ την ευθεία ε, τότε έχουμε: d p p p 0 p p p () d p ( 0) p 0 () p p p p p p p p p0 p ( p 0) p 0 d d d () d p p p 0 p p p () d p ( 0) p 0 () p p p p p p p p p0 p ( p 0) p 0 d d d (3) Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και (3) έχουμε: d p p p p p p p d p p p p p p p p p 0 Στάμου Γιάννης Σελίδα 44

146 p p p 0 0 p p p 0 0 p ( p 0 ) 0 p 0 p Άρα η διαφορά d-d παραμένει σταθερή.. Θεωρούμε τον κύκλο C : ( 3) 5 και την παραβολή C : α. Να δείξετε ότι ο κύκλος και η παραβολή εφάπτονται, δηλαδή έχουν κοινές εφαπτόμενες στα κοινά τους σημεία. β. Από ένα σημείο Μ της παραβολής, διαφορετικό των κοινών της σημείων με τον κύκλο, φέρνουμε μια εφαπτομένη στον κύκλο C κι ονομάζουμε Γ το σημείο επαφής. Να 5 δείξετε ότι ( ) ( ), όπου Ε η εστία της παραβολής. (Βασική άσκηση) Λύση α. Ο κύκλος C έχει κέντρο Κ(3, 0) κι ακτίνα 5, ενώ η παραβολή C έχει εστία,0. Οι συντεταγμένες των κοινών σημείων κύκλου και παραβολής προκύπτουν απ τη λύση του συστήματος: ( 3) ( ) 0 0, 4, (, ) και (, ) Η εφαπτομένη της παραβολής στο Α έχει εξίσωση : 0. Το κέντρο Κ του κύκλου απέχει απ την ευθεία ε Α απόσταση ίση με: d(, ) 5. ( ) 4 5 Στάμου Γιάννης Σελίδα 45

147 Άρα η ευθεία ε Α είναι εφαπτομένη και του κύκλου. Η εφαπτομένη της παραβολής στο Β έχει εξίσωση : 0. Το κέντρο Κ του κύκλου απέχει απ την ευθεία ε Β απόσταση ίση με: d(, ) 5. ( ) 4 5 Άρα η ευθεία ε Β είναι εφαπτομένη και του κύκλου. Συνεπώς ο κύκλος C κι η παραβολή C εφάπτονται. β. M C A Γ ρ O E K B C Έστω Μ( 0, 0 ), οπότε (). Έχουμε τότε: 0 0 () ( ) ( 0) (), διότι 0. Απ το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: ( ) ( ) () ( ) ( ) 6 4 ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). () Στάμου Γιάννης Σελίδα 46

148 ΕΝΟΤΗΤΑ ΙΙΙ: Η έλλειψη Ορισμός Έστω Ε κι Ε δύο σταθερά σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζουμε έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε κι Ε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από τα Ε κι Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο του (ΕΕ ). Το σταθερό αυτό άθροισμα το συμβολίζουμε συνήθως με α ενώ την απόσταση των εστιών Ε κι Ε με γ (άρα α, γ>0). Η απόσταση ΕΕ ονομάζεται εστιακή απόσταση της έλλειψης. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: Ένα σημείο του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης αν και μόνο αν: (ΜΕ)+(ΜΕ )=α Μ Ε γ Ε Απ την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο έχουμε: ( ) ( ) ( ). Αν γ=0, τότε τα σημεία Ε κι Ε συμπίπτουν, οπότε η έλλειψη γίνεται κύκλος με κέντρο το Ε κι ακτίνα α. Εξίσωση έλλειψης Εστίες στον άξονα Έστω έλλειψη C μ εστίες Ε κι Ε. Στο επίπεδο της έλλειψης επιλέγουμε σύστημα συντεταγμένων Ο, το οποίο έχει αρχή το κέντρο του ευθυγράμμου τμήματος ΕΕ και στο οποίο ο θετικός ημιάξονας Ο διέρχεται απ την εστία Ε της έλλειψης. Β Μ(, ) Επειδή (ΕΕ )=γ, θα είναι Ε(γ, 0) κι Ε (-γ, 0). Α Ε (-γ, 0) Ο Ε(γ, 0) Α Έχουμε τότε: Β ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( 0) Στάμου Γιάννης Σελίδα 47

149 ( ) 4 4 ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) Επομένως η έλλειψη μ εστίες τα σημεία Ε (-γ, 0) κι Ε(γ, 0) και σταθερό άθροισμα α έχει εξίσωση:, όπου Για παράδειγμα, η εξίσωση της έλλειψης μ εστίες Ε (-3, 0), Ε(3, 0) και σταθερό άθροισμα α=0 είναι, αφού 0 5, γ=3 και Εστίες στον άξονα Έστω έλλειψη C μ εστίες Ε κι Ε. Στο επίπεδο της έλλειψης επιλέγουμε σύστημα συντεταγμένων Ο, το οποίο έχει αρχή το κέντρο του ευθυγράμμου τμήματος ΕΕ και στο οποίο ο θετικός ημιάξονας Ο διέρχεται απ την εστία Ε της έλλειψης. Ε(0, γ) A Επειδή (ΕΕ )=γ, θα είναι Ε(0, γ) κι Ε (0, -γ). Β Ο M(, ) Β Εργαζόμενοι όπως παραπάνω, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η έλλειψη μ εστίες τα σημεία Ε (0, -γ), Ε(0, γ) και σταθερό άθροισμα α, έχει εξίσωση: Ε(0, -γ) A, όπου Στάμου Γιάννης Σελίδα 48

150 Για παράδειγμα, η έλλειψη μ εστίες Ε (0, -8), Ε(0, 8) και σταθερό άθροισμα α=0, έχει εξίσωση, αφού 0 0, γ=8 και Παρατηρήσεις Είναι, οπότε στη εξίσωση της έλλειψης το α είναι πάντοτε ο μεγαλύτερος παρονομαστής. Αν ο αριθμητής του κλάσματος με το μεγαλύτερο παρονομαστή είναι το, τότε η έλλειψη έχει εστίες στον άξονα. Αν ο αριθμητής του κλάσματος με το μεγαλύτερο παρονομαστή είναι το, τότε η έλλειψη έχει εστίες στον άξονα. Ιδιότητες έλλειψης Η μορφή, όπου. C Β =β Μ 3 Μ Α E O Ε Α Μ 4 Μ Β = -β = -α =α Αν Μ (, ) είναι ένα σημείο της έλλειψης C :. Τότε τα σημεία Μ (, - ), M 3 (-, ) και Μ 4 (-, - ) ανήκουν επίσης στη έλλειψη C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω έλλειψη έχει άξονες συμμετρίας τους άξονες και κι έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της έλλειψης. Στάμου Γιάννης Σελίδα 49

151 Απ την εξίσωση, για 0 βρίσκουμε ενώ για 0 βρίσκουμε. Επομένως η έλλειψη C τέμνει τον άξονα στα σημεία Α(α, 0) και Α (-α, 0), ενώ τέμνει τον άξονα στα σημεία Β(0, β) και Β (0, -β). Τα σημεία Α, Α, Β, Β λέγονται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΑ και ΒΒ, με μήκη (ΑΑ )=α και (ΒΒ )=β, λέγονται μεγάλος και μικρός άξονας αντίστοιχα. Το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν δύο συμμετρικά ως προς το Ο σημεία Μ και Μ 4 της έλλειψης λέγεται διάμετρος της έλλειψης. Αποδεικνύεται ότι: ( ), δηλαδή κάθε διάμετρος της έλλειψης είναι μεγαλύτερη ή ίση 4 του μικρού άξονα και μεγαλύτερη ή ίση του μεγάλου άξονα. Απ την εξίσωση της έλλειψης έχουμε: Παρατήρηση 0 0. Ομοίως. Άρα η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες =α, = -α, =β και = -β. Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που τα άκρα του είναι σημεία της έλλειψης, λέγεται χορδή της έλλειψης. Η μορφή Β = -β, όπου Ε O Ε A Α Β =β. =α = -α Εργαζόμενοι όμοια, όπως παραπάνω, συμπεραίνουμε ότι η έλλειψη έχει άξονες συμμετρίας τους και, όπως επίσης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Η έλλειψη τέμνει τον άξονα στα σημεία Β(β, 0) και Β (-β, 0), ενώ τέμνει τον άξονα στα σημεία Α(0, α) και Α (0, -α). Τα σημεία Α, Α, Β, Β λέγονται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΑ και ΒΒ, με μήκη (ΑΑ )=α και (ΒΒ )=β, λέγονται μεγάλος και μικρός άξονας αντίστοιχα. Στάμου Γιάννης Σελίδα 50

152 Απ την εξίσωση της έλλειψης έχουμε: 0 0. Ομοίως. Άρα η έλλειψη περιέχεται στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες =β, = -β, =α και = -α. Εκκεντρότητα έλλειψης Ορισμός Έστω η έλλειψη C :. Ονομάζουμε εκκεντρότητα της έλλειψης C και συμβολίζουμε με ε το λόγο. Δηλαδή, 0. Είναι, οπότε. Επομένως, όσο μεγαλώνει η εκκεντρότητα τόσο μικραίνει ο λόγος και κατά συνέπεια τόσο πιο επιμήκης γίνεται η έλλειψη. Όταν 0, τότε κι επομένως η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος (και γίνεται κύκλος όταν 0 ). Όταν, τότε 0 κι επομένως η έλλειψη τείνει να εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα. 0 Στάμου Γιάννης Σελίδα 5

153 Η τιμή της εκκεντρότητας καθορίζει τη μορφή της έλλειψης. Δύο ή περισσότερες ελλείψεις που έχουν την ίδια εκκεντρότητα, άρα τον ίδιο λόγο, λέγονται όμοιες. Παρατήρηση Μ(, ) C ρ ρ Ε (-γ, 0) Ο Ε(γ, 0) Έστω Μ(, ) ένα σημείο της έλλειψης C :. Θέτουμε ρ =(ΜΕ) και ρ =(ΜΕ ), οπότε: ( ) ( ) ( 0) ( ) () και ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( ) (). Αφαιρώντας κατά μέλη τις () και () έχουμε: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 4. Είναι: ( ) ( ). Στάμου Γιάννης Σελίδα 5

154 Παραμετρικές εξισώσεις έλλειψης Έστω η έλλειψη C : κι ένα σημείο Μ(, ) του καρτεσιανού επιπέδου. Αν το σημείο Μ(, ) ανήκει στην έλλειψη C, τότε:. Επομένως το σημείο, θ ανήκει στο μοναδιαίο κύκλο, οπότε θα υπάρχει γωνία [0, ) τέτοια, ώστε: (). Αντιστρόφως, αν ισχύουν οι σχέσεις () για κάποια γωνία [0, ), τότε το σημείο Μ(, ) θ ανήκει στην έλλειψη C, αφού: ( ) ( ) που ισχύει για κάθε γωνία φ. Επομένως οι συντεταγμένες των σημείων Μ(, ) της έλλειψης C και μόνο αυτές ικανοποιούν τις εξισώσεις: και, [0, ) Οι εξισώσεις αυτές λέγονται παραμετρικές εξισώσεις της έλλειψης C. Εξίσωση εφαπτομένης έλλειψης Έστω η έλλειψη C μ εξίσωση κι ένα σημείο της Μ (, ). Εργαζόμενοι όπως και στην Μ Β περίπτωση της παραβολής, βρίσκουμε ότι η εφαπτομένη ε της έλλειψης στο σημείο της Α Α Μ (, ) έχει εξίσωση: E Ο E Β Στάμου Γιάννης Σελίδα 53

155 Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της έλλειψης C : στο σημείο της (, 3) 6 4 έχει εξίσωση: Έστω η έλλειψη C μ εξίσωση κι ένα σημείο της Μ (, ). Εργαζόμενοι όπως και στην Α Μ (, ) περίπτωση της παραβολής, βρίσκουμε ότι η εφαπτομένη E της έλλειψης στο σημείο της Μ (, ) έχι εξίσωση: Β Β ε E Α Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της έλλειψης C : στο σημείο της 6 (,) έχει εξίσωση: Παρατήρηση Κάθε εφαπτομένη ε μιας έλλειψης C, έχει με την έλλειψη μοναδικό κοινό σημείο (το σημείο επαφής) κι αντιστρόφως, όπως ακριβώς συμβαίνει και με τον κύκλο. Ανακλαστική ιδιότητα έλλειψης Έστω έλλειψη C με κέντρο Ο, εστίες Ε, Ε κι ένα σημείο της Μ (, ). Η κάθετη δ στην εφαπτομένη της έλλειψης στο σημείο επαφής Μ διχοτομεί τη γωνία. Β δ Μ (, ) Α Ε Ο φ φ Ε Α ε Β Στάμου Γιάννης Σελίδα 54

156 Σύμφωνα με την ιδιότητα αυτή, ένα ηχητικό κύμα ή μια φωτεινή ακτίνα που ξεκινούν απ τη μία εστία της έλλειψης, ανακλώμενες σ αυτή, διέρχονται από την άλλη εστία. Η ιδιότητα αυτή χρησιμοποιείται στο σχεδιασμό ορισμένων τύπων οπτικών οργάνων και στην κατασκευή των λεγομένων «στοών με ειδική ακουστική». Οι στοές αυτές είναι αίθουσες με ελλειπτική οροφή, στις οποίες ένα πρόσωπο που ψιθυρίζει στη μία εστία μπορεί να ακουστεί στην άλλη εστία. Ακόμα, η ανακλαστική ιδιότητα της έλλειψης βρίσκει σπουδαία εφαρμογή σε μια ιατρική μέθοδο που λέγεται λιθοθρυψία. Στη μέθοδο αυτή, στη μία εστία της έλλειψης τοποθετείται ένα ηλεκτρόδιο εκπομπής υπερήχων, ενώ ο ασθενής τοποθετείται σε τέτοια θέση, ώστε το νεφρό του να είναι στην άλλη εστία. Τότε οι πέτρες του νεφρού κονιορτοποιούνται απ τους ανακλώμενους υπερήχους. Στάμου Γιάννης Σελίδα 55

157 Λυμένα παραδείγματα. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης στις παρακάτω περιπτώσεις: α. έχει εστίες Ε (-4, 0), Ε(4, 0) και μεγάλο άξονα α=0 β. έχει εστίες Ε (0, -6), Ε(0, 6) και μικρό άξονα β=6 γ. έχει εστίες ( 5,0), ( 5,0) και διέρχεται απ το σημείο Μ(-3, ) δ. έχει κορυφές Α (0, -5), Α(0, 5) κι εκκεντρότητα Λύση. α. Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα, οπότε η έλλειψη έχει εξίσωση της μορφής C :. Είναι 0 5 και 4, οπότε: Άρα η έλλειψη έχει εξίσωση C :. 5 9 β. Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα, οπότε η έλλειψη έχει εξίσωση της μορφής C :. Είναι 6 8 και 6, οπότε: Άρα η έλλειψη έχει εξίσωση C : γ. Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα, οπότε η έλλειψη έχει εξίσωση της μορφής C :. Στάμου Γιάννης Σελίδα 56

158 Η έλλειψη διέρχεται απ το σημείο Μ(-3, ), οπότε: 5 ( 3) ( 5) 4 ( 5) () Θέτω, οπότε η () γίνεται (). Η () είναι τριώνυμο ως προς ω, οπότε: ( 8) Οι λύσεις της () είναι: , Επειδή 5 0 5, άρα η τιμή 3 απορρίπτεται. Συνεπώς 5 5, άρα η έλλειψη έχει εξίσωση C :. 5 0 δ. Οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται στον άξονα, οπότε η έλλειψη έχει εξίσωση της μορφής C :. 5 Είναι 5 κι Συνεπώς, Άρα η έλλειψη έχει εξίσωση C : Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων, τις εστίες της σ έναν απ τους άξονες συντεταγμένων και διέρχεται απ τα σημεία Μ(6, ) και Ν(-4, 3). Στη συνέχεια να βρείτε τις εστίες, τα μήκη του μεγάλου και του μικρού άξονα, καθώς και την εκκεντρότητα της έλλειψης. Στάμου Γιάννης Σελίδα 57

159 Λύση Η έλλειψη έχει εξίσωση C :,, 0. Οι συντεταγμένες των σημείων Μ και Ν ικανοποιούν την εξίσωση της έλλειψης, οπότε έχουμε: (9) ( 4) ( 4) Άρα η έλλειψη έχει εξίσωση C :. 5 3 Παρατηρούμε ότι ο μεγαλύτερος παρονομαστής βρίσκεται στο κλάσμα με αριθμητή το, άρα η έλλειψη έχει τις εστίες της στον άξονα. Είναι και Επίσης, Άρα η έλλειψη έχει εστίες ( 39,0), ( 39,0), μεγάλο άξονα 4 3, μικρό άξονα 3 κι εκκεντρότητα Στάμου Γιάννης Σελίδα 58

160 3. Δίνεται η έλλειψη C : και το σημείο Μ(, ). 6 5 α. Να δείξετε ότι το σημείο Μ είναι εσωτερικό σημείο της έλλειψης. β. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει μέσο το σημείο Μ. (Βασική άσκηση) Λύση α. α τρόπος Είναι 6, 5 οπότε 5 6, άρα η έλλειψη έχει εστίες Ε (-, 0), Ε(, 0). Για να είναι το Μ εσωτερικό σημείο της έλλειψης, πρέπει (ΜΕ )+(ΜΕ)<α, δηλαδή (ΜΕ )+(ΜΕ)<8, αφού α=4. ( ) ( ) ( ) (0 ) ( ) (0 ) ( ) ( ) 4 8, διότι: που ισχύει. Άρα το Μ(, ) είναι εσωτερικό σημείο της έλλειψης. β τρόπος Είναι, άρα το Μ(, ) είναι εσωτερικό σημείο της έλλειψης. β. Έστω Κ( κ, κ ) και Λ( Λ, Λ ) τα άκρα της χορδής της έλλειψης με μέσο το σημείο Μ. Τότε είναι: 4 (). Στάμου Γιάννης Σελίδα 59

161 Κ( Κ, Κ ) Μ(, ) O Λ( Λ, Λ ) Τα σημεία Κ και Λ ανήκουν στην έλλειψη C :, οπότε: () και (3). 6 5 Αφαιρώ κατά μέλη τις () και (3): 0 5( ) 6( ) ( )( ) 6( )( ) 0 () () 30( ) 64( ) 0 3( ) 5( ) (4) Αν, τότε απ την (4) έχουμε 3( ) 0 0, δηλαδή, άτοπο. Για η (4) γίνεται: Οπότε η χορδή ΚΛ έχει εξίσωση: ( ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης C :, όταν: 6 9 α. είναι παράλληλη στην ευθεία : 3 β. όταν είναι κάθετη στην ευθεία : 4 Στάμου Γιάννης Σελίδα 60

162 γ. όταν σχηματίζει με τον άξονα γωνία δ. όταν διέρχεται απ το σημείο Κ(4, 9). Λύση 3 4 Έστω Μ( 0, 0 ) σημείο της έλλειψης C. Τότε (). 6 9 Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο Μ έχει εξίσωση : α. Είναι / / 0 0 () 6 9 (Είναι 0 0 διότι η ε//ε που δεν είναι κατακόρυφη ευθεία.) 0 Από () και () έχουμε: Για 0 η () γίνεται 0 0, οπότε η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση 6 9 : Για 0 η () γίνεται , οπότε η ζητούμενη 5 εφαπτομένη έχει εξίσωση 6 9 : Στάμου Γιάννης Σελίδα 6

163 90 4 β. Είναι ( 4) 0 0 (3) 6 9 (Είναι 0 0 διότι η που δεν είναι οριζόντια ευθεία.) 0 Από () και (3) έχουμε: Για 0 η (3) γίνεται 0 0, οπότε η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση : Για 0 η (3) γίνεται ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση, οπότε η : γ. Είναι 0 0 (4) (Είναι 0 0 διότι η ε δεν είναι κατακόρυφη ευθεία.) 0 Από () και (4) έχουμε: Στάμου Γιάννης Σελίδα 6

164 Για 0 η (4) γίνεται 0 0, οπότε η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση 6 9 : Για 0 η () γίνεται , οπότε η ζητούμενη 5 εφαπτομένη έχει εξίσωση 6 9 : δ. Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο σημείο Μ έχει διέρχεται απ το σημείο Κ(4, 9), οπότε (5) Από () και (5) έχουμε: (4 4 ) (6 3 6 ) (5 9) 0 0 ή ή 0 5 Για 0 0 η (5) γίνεται , οπότε η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση 4 0 : Για 0 η (5) γίνεται , οπότε η ζητούμενη εφαπτομένη έχει εξίσωση Στάμου Γιάννης Σελίδα 63

165 : Έστω η έλλειψη C : και σημείο Μ( 0, 0 ) εξωτερικό C. Απ το σημείο Μ φέρνουμε τις εφαπτόμενες ε κι ε προς την έλλειψη κι έστω Α και Β τα σημεία επαφής. Να δείξετε ότι η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι Λύση. 0 0 ε Α Μ( 0, 0 ) Ο Β ε Έστω Α(, ) και Β(, ) τα σημεία επαφής των ε, ε αντίστοιχα με την έλλειψη C. Τότε είναι : κι :. Το σημείο Μ( 0, 0 ) ανήκει στις ε, ε οπότε ισχύουν 0 0 και. 0 0 Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Α και Β ικανοποιούν την εξίσωση. 0 0 Άρα η εξίσωση της ευθεία ΑΒ είναι. 0 0 Παρατήρηση Η ευθεία ΑΒ λέγεται πολική του σημείου Μ ως προς την έλλειψη C, ενώ το σημείο Μ λέγεται πόλος της ευθείας ΑΒ ως προς την έλλειψη C. Στάμου Γιάννης Σελίδα 64

166 6. Δίνεται η έλλειψη C :. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ( 0, 0 ) απ τα οποία άγονται κάθετες εφαπτόμενες προς την έλλειψη. (Βασική άσκηση) Λύση Μ( 0, 0 ) Ο Απ το σημείο Μ( 0, 0 ) διέρχονται ευθείες της μορφής 0 () και ( ), (). 0 0 Οι ευθείες της μορφής () που εφάπτονται στην έλλειψη είναι οι και, ενώ οι ευθείες που εφάπτονται στη C και είναι κάθετες σ αυτές είναι οι και. Άρα τα σημεία (α, β), (α, -β), (-α, -β), (-α, β) είναι σημεία του ζητούμενου γεωμετρικού τόπου. Για να εφάπτεται μια ευθεία της μορφής () στη C, πρέπει το παρακάτω σύστημα να έχει διπλή λύση: 0 ( 0) ( 0 0) ( ) ( 0 0 ) [( 0 0 ) ] 0 (3) Η (3) αποτελεί τριώνυμο ως προς και για να έχει διπλή λύση, πρέπει και αρκεί: Στάμου Γιάννης Σελίδα 65

167 ) ( 0 0 ) 4( [( ) ] 0... ( ) 0 (4) Οι ζητούμενες κάθετες ευθείες της μορφής () θα εφάπτονται στην έλλειψη αν και μόνο αν έχουν συντελεστές διεύθυνσης τις ρίζες της (4), δηλαδή λ =ρ και λ =ρ. Τότε το σημείο Μ( 0, 0 ) είναι σημείο του γεωμετρικού τόπου αν και μόνο αν ισχύει: Vieta Επομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος C ':, στον οποίο ανήκουν και τα σημεία (α, β), (α, -β), (-α, -β), (-α, β). 7. Δίνεται η έλλειψη C : και μια τυχαία εφαπτομένη της ε. Να δείξετε ότι το γινόμενο των αποστάσεων των εστιών της έλλειψης C απ την εφαπτομένη ε είναι σταθερό. Λύση ε Μ d d Ε Ο Ε 0 0 Έστω Μ( 0, 0 ) τυχαίο σημείο της έλλειψης. Τότε 0 0 (). Η εφαπτομένη της έλλειψης στο Μ έχει εξίσωση 0 0 : Έχουμε τότε: Στάμου Γιάννης Σελίδα 66

168 d () 0( ) 0 0 ( 0 ) 0 d(ε, ε)= ( ) ( ) () ( ) [( ) ] ( ) ( ) Όμοια είναι 0 d d(, ) 4 0, οπότε: ( )( ) d d ( 0 ) 4 0, σταθερό. 4 (Είναι 0 0 διότι και, 4 συνεπώς.) Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες μιας έλλειψης C : στα άκρα μιας διαμέτρου της είναι παράλληλες. ε Λύση Κ Ο Λ ε Έστω Κ και Λ τα άκρα της διαμέτρου. Τα σημεία αυτά είναι συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων οπότε, αν Κ( 0, 0 ) τότε Λ(- 0, - 0 ). Οι εφαπτόμενες στα σημεία Κ και Λ έχουν εξισώσεις Στάμου Γιάννης Σελίδα 67

169 0 0 : 0 0 κι ( 0) ( 0) : 0 0. Είναι (, ) / /, (, ) / / και det(, ) ( ) ( ) , συνεπώς / / / / Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης C:, οι οποίες 3 τέμνουν τους θετικούς ημιάξονες Ο, Ο και σχηματίζουν μ αυτούς ισοσκελές τρίγωνο. Λύση Λ Μ Ο Κ ε Έστω Μ( 0, 0 ) σημείο της έλλειψης με 0, 0 0, αφού οι εφαπτόμενες στις κορυφές της έλλειψης δεν τέμνουν και τους δύο άξονες. (Άρα 0, 0 0.) 0 Η εφαπτομένη της έλλειψης στο Μ έχει εξίσωση : () Για =0 η () γίνεται: 0 3, Για =0 η () γίνεται: , Στάμου Γιάννης Σελίδα 68

170 Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα 0, 00 3 ( ) ( ) 0 30 () 0 0 () 0 (3 0) Το σημείο Μ( 0, 0 ) ανήκει στην έλλειψη C, οπότε: Αντικαθιστώντας στη () έχουμε 0 3 0, άρα το σημείο επαφής είναι το 3, κι η εφαπτομένη στο σημείο αυτό έχει εξίσωση 3 3 : Δίνεται η έλλειψη C : και ο κύκλος C ':. Αν Μ (, ) είναι ένα σημείο της C και Μ (, ) είναι ένα σημείο του C, με =, να δείξετε ότι η εφαπτομένη ε της έλλειψης C στο σημείο Μ κι η εφαπτομένη του κύκλου C στο σημείο Μ, τέμνονται σε σημείο του άξονα. Λύση Μ C Μ Ο Μ C Η εφαπτομένη της έλλειψης C στο Μ έχει εξίσωση : (), ενώ η εφαπτομένη του κύκλου C στο Μ έχει εξίσωση : (). Για =0 η () γίνεται. Στάμου Γιάννης Σελίδα 69

171 Για =0 η () γίνεται. Άρα οι ε, ε τέμνονται στο σημείο,0 του άξονα.. Έστω η έλλειψη C μ εστίες Ε (-γ, 0), Ε(γ, 0) και μεγάλο άξονα α.να δείξετε ότι ο λόγος των αποστάσεων οποιουδήποτε σημείου Μ(, ) της έλλειψης απ την εστία Ε(γ, 0) και την ευθεία : είναι σταθερός κι ίσος με την εκκεντρότητα της έλλειψης. Ομοίως για την εστία Ε (-γ, 0) και την ευθεία :. Λύση Είναι 0, άρα η ευθεία : βρίσκεται στο εξωτερικό της έλλειψης. ε Μ Ν Ε (-γ, 0) Ο Ε(γ, 0) Για το σημείο Μ(, ) της έλλειψης ισχύει ότι: ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0)... ( ) ( ) d(, ) (). Επίσης 0 d(, ) 0 (), διότι και. Διαιρώντας κατά μέλη τις () και () έχουμε: Στάμου Γιάννης Σελίδα 70

172 d(, ) ( ) d(, ) ( ).. Η εφαπτομένη ε μιας έλλειψης C : (α>β>0) σ ένα σημείο της Ρ, διαφορετικό των κορυφών Α κι Α, τέμνει την ευθεία : σ ένα σημείο Μ. Να δείξετε ότι 90 ε, όπου Ε(γ, 0) η εστία της έλλειψης. Λύση Έστω Ρ( 0, 0 ), 0 0. Ρ( 0, 0 ) Μ Η εφαπτομένη της έλλειψης στο Ρ έχει εξίσωση Ε (-γ, 0) Ο Ε(γ, 0) 0 0 : 0 0 Επίσης :. δ Η λύση του συστήματος των δύο ευθειών δίνει τις συντεταγμένες του σημείου Μ. 0 0 ( 0)..., ( 0 ) 0 0 Έχουμε τότε: ( 0, 0) κι ( 0 ), 0. Είναι: 0 0 ( ) Παρατήρηση Η ευθεία : ονομάζεται διευθετούσα της έλλειψης. Στάμου Γιάννης Σελίδα 7

173 ΕNOTHTA IV: Η υπερβολή Ορισμός Έστω Ε κι Ε δύο σημεία ενός επιπέδου. Ονομάζουμε υπερβολή μ εστίες τα σημεία Ε κι Ε το γεωμετρικό τόπο των σημείων του επιπέδου, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε κι Ε είναι σταθερή και μικρότερη του (Ε Ε). Την απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων κάθε σημείου της υπερβολής απ τις εστίες τη συμβολίζουμε συνήθως με α, ενώ την απόσταση των εστιών με γ. Η απόσταση Ε Ε ονομάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό: Ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της υπερβολής αν και μόνο αν ( ) ( ). Μ Ε Ε Απ την τριγωνική ανισότητα στο τρίγωνο έχουμε: ( ) ( ) ( ). Εξίσωση υπερβολής Εστίες στον άξονα Έστω μια υπερβολή C μ εστίες Ε κι Ε και σταθερή απόλυτη διαφορά α. Στο επίπεδο της υπερβολής επιλέγουμε σύστημα συντεταγμένων Ο, το οποίο έχει αρχή το κέντρο του ευθυγράμμου τμήματος ΕΕ και στο οποίο ο θετικός ημιάξονας Ο διέρχεται απ την εστία Ε της υπερβολής. C Αν Μ(, ) είναι ένα σημείο της υπερβολής, τότε θα ισχύει ( ) ( ). Ε (-γ, 0) A Ο A Ε(γ, 0) Επειδή (Ε Ε)=α, οι εστίες θα έχουν συντεταγμένες Ε (-γ, 0) κι Ε(γ, 0). Στάμου Γιάννης Σελίδα 7

174 Έχουμε τότε: Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου ( ) ( ) ( ) ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 ( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0. Επομένως η υπερβολή μ εστίες τα σημεία Ε (-γ, 0) κι Ε(γ, 0) και σταθερή απόλυτη διαφορά α έχει εξίσωση:, όπου Για παράδειγμα, η εξίσωση της υπερβολής μ εστίες Ε (-3, 0), Ε(3, 0) και σταθερή απόλυτη διαφορά α=4 είναι, αφού 4 και Στάμου Γιάννης Σελίδα 73

175 Εστίες στον άξονα Έστω μια υπερβολή C μ εστίες Ε κι Ε και σταθερή απόλυτη διαφορά α. Στο επίπεδο της υπερβολής επιλέγουμε σύστημα συντεταγμένων Ο, το οποίο έχει αρχή το κέντρο του ευθυγράμμου τμήματος ΕΕ και στο οποίο ο θετικός ημιάξονας Ο διέρχεται απ την εστία Ε της υπερβολής. C Ε(0, γ) Α Αν Μ(, ) είναι ένα σημείο της υπερβολής, τότε θα ισχύει ( ) ( ). Επειδή (Ε Ε)=α, οι εστίες θα έχουν συντεταγμένες Ε (0, -γ) κι Ε(0, γ). Ο Α Ε (0, -γ) Εργαζόμενοι όπως παραπάνω, βρίσκουμε ότι η εξίσωση της υπερβολής μ εστίες Ε, Ε και σταθερή απόλυτη διαφορά α είναι:, όπου Για παράδειγμα, η εξίσωση της υπερβολής μ εστίες Ε (0, -5), Ε(0, 5) και σταθερή απόλυτη διαφορά α=6 είναι, αφού 6 3 και Παρατηρήσεις Είναι. Όταν ο αριθμητής του κλάσματος με πρόσημο «+» είναι το, τότε η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα. Όταν ο αριθμητής του κλάσματος με πρόσημο «+» είναι το, τότε η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα. Κάθε εξίσωση της μορφής ή,,,, 0,παριστά μια υπερβολή. Το α είναι πάντα ο παρονομαστής του κλάσματος με πρόσημο «+». Αν είναι α=β, τότε η υπερβολή λέγεται ισοσκελής και η εξίσωσή της γράφεται ( αντίστοιχα ). Στάμου Γιάννης Σελίδα 74

176 Ιδιότητες υπερβολής Η μορφή, όπου. C M 3 M Ε A O A Ε M 4 M Αν Μ (, ) είναι ένα σημείο της υπερβολής C :. Τότε τα σημεία Μ (, - ), M 3 (-, ) και Μ 4 (-, - ) ανήκουν επίσης στη υπερβολή C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω υπερβολή έχει άξονες συμμετρίας τους άξονες και κι έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της υπερβολής. Απ την εξίσωση, για 0 βρίσκουμε, συνεπώς η υπερβολή τέμνει τον άξονα στα σημεία Α (-α, 0) κι Α(α, 0). Τα σημεία αυτά λέγονται κορυφές της υπερβολής. Απ την εξίσωση, για 0 προκύπτει ότι 0. Η σχέση αυτή είναι αδύνατη, άρα η υπερβολή C δεν τέμνει τον άξονα. Είναι 0 ή. Επομένως τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω απ την ταινία των ευθειών = -α και =α, πράγμα που σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους. Στάμου Γιάννης Σελίδα 75

177 Η μορφή, όπου. Μ 3 Ε Μ Α Ο Α Ε Μ 4 Μ Αν Μ (, ) είναι ένα σημείο της υπερβολής C :. Τότε τα σημεία Μ (, - ), M 3 (-, ) και Μ 4 (-, - ) ανήκουν επίσης στη υπερβολή C, αφού οι συντεταγμένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω υπερβολή έχει άξονες συμμετρίας τους άξονες και κι έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. Το σημείο Ο λέγεται κέντρο της υπερβολής. Απ την εξίσωση, για 0 βρίσκουμε, συνεπώς η υπερβολή τέμνει τον άξονα στα σημεία Α (0, -α) κι Α(0, α). Τα σημεία αυτά λέγονται κορυφές της υπερβολής. Απ την εξίσωση, για 0 προκύπτει ότι 0. Η σχέση αυτή είναι αδύνατη, άρα η υπερβολή C δεν τέμνει τον άξονα. Είναι 0 ή. Επομένως τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω απ την ταινία των ευθειών = -α και =α, πράγμα που σημαίνει ότι η υπερβολή αποτελείται από δύο χωριστούς κλάδους. Παρατήρηση Κάθε ευθύγραμμο τμήμα που τα άκρα του είναι σημεία της υπερβολής, λέγεται χορδή της υπερβολής. Στάμου Γιάννης Σελίδα 76

178 Ασύμπτωτες υπερβολής Η μορφή, όπου. Έστω μια υπερβολή C μ εξίσωση () και μια ευθεία ε μ εξίσωση (), δηλαδή μια ευθεία που διέρχεται απ την αρχή των αξόνων. Η ευθεία ε έχει με τη υπερβολή C κοινά σημεία, αν και μόνο αν το σύστημα των εξισώσεων () και () έχει λύση. Από () και () έχουμε: ( ) (3) ( ) Επειδή 0 και 0 η (3) έχει λύση αν και μόνο αν, 0. 0 Επομένως η ευθεία : θα έχει με την υπερβολή C : ακριβώς δύο κοινά σημεία αν και μόνο αν. Αν ή, η (3) είναι αδύνατη, άρα το σύστημα είναι αδύνατο, συνεπώς η ευθεία ε κι η υπερβολή C δεν έχουν κοινά σημεία. Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι οι ευθείες : κι : δεν έχουν κοινά σημεία με την υπερβολή C και παρατηρούμε επίσης ότι όλα τα σημεία της υπερβολής C περιέχονται στις δύο κατακορυφήν γωνίες που σχηματίζουν οι ευθείες ε κι ε, στις οποίες γωνίες περιέχεται κι ο άξονας. : Ρ Μ(, ) Ε Α Ο Α Ε : C Στάμου Γιάννης Σελίδα 77

179 Έστω σημείο Μ(, ) της υπερβολής C, με 0 και 0. Αποδεικνύεται ότι όταν το αυξάνει απεριόριστα (δηλαδή ), η απόσταση ΜΡ του σημείου Μ απ την ευθεία : τείνει προς το 0. Έτσι το άνω τεταρτημόριο του δεξιού κλάδου της υπερβολής πλησιάζει, όλο και περισσότερο, την ευθεία :, χωρίς ποτέ να συμπέσει μ αυτήν. Την ευθεία : ονομάζουμε ασύμπτωτη του δεξιού κλάδου της υπερβολής. Λόγω συμμετρίας της υπερβολής ως προς τον άξονα, ο δεξιός κλάδος θα έχει ασύμπτωτη και την ευθεία :. Λόγω συμμετρίας της υπερβολής ως προς την αρχή τον άξονα, ο αριστερός κλάδος της υπερβολής θα έχει τις ίδιες ακριβώς ασύμπτωτες. Άρα οι ασύμπτωτες της υπερβολής C : είναι οι ευθείες: και Είναι φανερό ότι οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι διαγώνιες του ορθογωνίου ΚΛΜΝ, με κορυφές τα σημεία Κ(α, β), Λ(α, -β), Μ(-α, -β) και Ν(-α, β). Το ορθογώνιο αυτό ονομάζεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής. Ν Κ Ε Α Ο Α Ε Μ Λ Στάμου Γιάννης Σελίδα 78

180 Μνημονικός κανόνας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Για να βρούμε τις ασύμπτωτες μιας υπερβολής, θέτουμε στην εξίσωσή της όπου το 0, παραγοντοποιούμε το ο μέλος κι εξισώνουμε κάθε παράγοντα με το 0. Για παράδειγμα, έστω η υπερβολή 6 9. Έχουμε: ή 0 ή ή Παρατήρηση Οι ασύμπτωτες των ισοσκελών υπερβολών και. Εκκεντρότητα υπερβολής Ορισμός και είναι οι ευθείες Έστω η υπερβολή C :. Ονομάζουμε εκκεντρότητα της υπερβολής C και συμβολίζουμε με ε το λόγο. Δηλαδή,. Είναι, οπότε Επομένως, όσο η εκκεντρότητα μικραίνει και τείνει να γίνει ίση με, τόσο μικραίνει ο λόγος, άρα και το β τείνει να γίνει ίσο με 0. Κατά συνέπεια, όσο πιο μικρή είναι η εκκεντρότητα της υπερβολής τόσο πιο επίμηκες είναι το ορθογώνιο της βάσης, δηλαδή τόσο πιο κλειστή είναι η υπερβολή. Στάμου Γιάννης Σελίδα 79

181 Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερβολής είναι, οπότε. Σημείωση Έστω υπερβολή C :, μ εστίες Ε, Ε και σημείο Μ της υπερβολής. Οι αποστάσεις (ΜΕ ) και (ΜΕ) ονομάζονται εστιακές αποστάσεις ή εστιακές ακτίνες του σημείου Μ. C Μ(, ) r r Ε Ο Ε Έστω r =(ME) και r =(ME ). Έχουμε: r ( ) και r ( ). Είναι rr () και r r 4 (r r )(r r ) 4 (). Έστω ότι το Μ ανήκει στο δεξιό κλάδο της υπερβολής, οπότε >0. Τότε r r 0, άρα η () γίνεται r r (3). Από () και (3) έχουμε: (r r ) 4 r +r = r +r =ε (4). Από (3) και (4) έχουμε: r +r =ε r ε r ε r ε. r r r r ε r r ε Έστω ότι το Μ ανήκει στον αριστερό κλάδο της υπερβολής, οπότε <0. Όμοια βρίσκουμε ότι r (ε ). r (ε ) Σε κάθε περίπτωση ισχύει r και r. Σχόλιο Οι υπερβολές C : και C : ονομάζονται συζυγείς. Οι συζυγείς υπερβολές έχουν τις ίδιες ασύμπτωτες. Στάμου Γιάννης Σελίδα 80

182 Η υπερβολή C έχει εκκεντρότητα ενώ η υπερβολή C έχει εκκεντρότητα. Εφαπτομένη υπερβολής Έστω η υπερβολή μ εξίσωση C : κι ένα σημείο της Μ (, ). C Μ Εργαζόμενοι όπως και στην περίπτωση της παραβολής και της έλλειψης, βρίσκουμε ότι η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο της Μ (, ) έχει εξίσωση: Α Α Ε O Ε ε Ειδικά, στις κορυφές Α(α, 0) και Α (-α, 0) η υπερβολή έχει εφαπτόμενες μ εξισώσεις και αντίστοιχα. Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της υπερβολής C : στο σημείο της Μ (-4, 3) έχει εξίσωση: Έστω η υπερβολή μ εξίσωση C Ε Α Ο ε Α Ε Μ C : κι ένα σημείο της Μ (, ). Εργαζόμενοι όπως και στην περίπτωση της παραβολής και της έλλειψης, βρίσκουμε ότι η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο της Μ (, ) έχει εξίσωση: Ειδικά, στις κορυφές Α(0, α) και Α (0, -α) η υπερβολή έχει εφαπτόμενες μ εξισώσεις και αντίστοιχα. Στάμου Γιάννης Σελίδα 8

183 Για παράδειγμα, η εφαπτομένη της υπερβολής C : στο σημείο της Μ (4, 3) έχει 3 8 εξίσωση: Παρατήρηση Κάθε εφαπτομένη μιας υπερβολής C έχει μ αυτή μοναδικό κοινό σημείο, το σημείο επαφής. Το αντίστροφο δεν ισχύει (όπως ισχύει στον κύκλο και την έλλειψη), δηλαδή αν μια ευθεία ε έχει με την υπερβολή C μοναδικό κοινό σημείο, δεν έπεται αναγκαίως ότι η ε εφάπτεται στη C. Αποδεικνύεται ότι κάθε ευθεία παράλληλη σε μια ασύμπτωτη της υπερβολής (και διαφορετική απ την ασύμπτωτη), έχει με την υπερβολή μοναδικό κοινό σημείο αλλά δεν είναι εφαπτομένη αυτής. C Ε Α Ο Α Ε ε ε Ανακλαστική ιδιότητα υπερβολής Έστω υπερβολή C με κέντρο Ο, εστίες Ε, Ε κι ένα σημείο της Μ (, ). Η εφαπτομένη της υπερβολής στο σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνία. C ε Ε Α Ο φ Α φ Ε Μ Επομένως, μια φωτεινή ακτίνα, κατευθυνόμενη προς τη μία εστία της υπερβολής, όταν ανακλάται στην επιφάνεια αυτής, διέρχεται απ την άλλη εστία. Η ιδιότητα αυτή της υπερβολής, σε συνδυασμό με τις αντίστοιχες ιδιότητες των άλλων κωνικών τομών, βρίσκει εφαρμογή στην κατασκευή ανακλαστικών τηλεσκοπίων, καθώς και στη ναυσιπλοΐα για τον προσδιορισμό του στίγματος των πλοίων. Στάμου Γιάννης Σελίδα 8

184 Λυμένα παραδείγματα. Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής στις παρακάτω περιπτώσεις: α. έχει εστίες Ε (-6, 0), Ε(6, 0) κι απόσταση κορυφών 6 β. έχει εστίες Ε (0, -4), Ε(0, 4) κι εκκεντρότητα 4 3 γ. έχει εστίες Ε (-5, 0), Ε(5, 0) και διέρχεται απ το σημείο (4,3) δ. έχει ασύμπτωτες τις ευθείες :, : και διέρχεται απ το σημείο 3 3 9,. Λύση α. Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα, άρα θα έχει εξίσωση της μορφής C :. Είναι 6 3 και γ=6, οπότε Άρα η εξίσωση της υπερβολής είναι C :. 9 7 β. Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα, άρα θα έχει εξίσωση της μορφής C : Είναι γ=4 και , οπότε Άρα η εξίσωση της υπερβολής είναι C :. 9 7 Στάμου Γιάννης Σελίδα 83

185 γ. Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα, άρα θα έχει εξίσωση της μορφής C :. Είναι γ=5 και 5, οπότε η εξίσωση της υπερβολής γίνεται 5. Το σημείο (4,3) ανήκει στην υπερβολή C, συνεπώς έχουμε: (4 ) (5 ) 9 (5 ) Είναι ( 66) ,οπότε: , 6. Άρα η εξίσωση της υπερβολής είναι C :. 6 9 δ. η περίπτωση Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα, οπότε : 3 3, άρα 9 θα έχει εξίσωση C :. 4 3 Το σημείο 9 9, 9 ανήκει στην υπερβολή, οπότε έχουμε: Τότε, οπότε η υπερβολή έχει εξίσωση C : Στάμου Γιάννης Σελίδα 84

186 η περίπτωση 3 Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα, οπότε : 3, άρα θα έχει εξίσωση 4 C :. 3 9 Το σημείο 9, ανήκει στην υπερβολή, οπότε έχουμε: , η 9 9 οποία είναι αδύνατη, άρα δεν υπάρχει υπερβολή της μορφής C : που να ικανοποιεί τις συνθήκες της άσκησης.. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης C, που έχει κέντρο την αρχή Ο των αξόνων, τις εστίες της σ έναν απ τους άξονες συντεταγμένων και διέρχεται απ τα σημεία Μ(, -) και,. Στη συνέχεια να βρείτε τις ασύμπτωτες και την εκκεντρότητα της υπερβολής. (Βασική άσκηση) Λύση Απ τα δεδομένα της άσκησης δεν μπορούμε να συμπεράνουμε σε ποιον άξονα βρίσκονται οι εστίες της υπερβολής, οπότε θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις. η περίπτωση Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα, οπότε θα έχει εξίσωση Μ και Ν ανήκουν στην υπερβολή, συνεπώς έχουμε: C :. Τα σημεία ( ) Στάμου Γιάννης Σελίδα 85

187 Οπότε η εξίσωση της υπερβολής είναι 3 C :. 3 Είναι : 3 κι : 3. 3, οπότε οι ασύμπτωτες της υπερβολής είναι οι 8 8 Επίσης 3 3 και οπότε η εκκεντρότητα της έλλειψης είναι., η περίπτωση Η υπερβολή έχει εστίες στον άξονα, οπότε θα έχει εξίσωση C :. Τα σημεία Μ και Ν ανήκουν στην υπερβολή, συνεπώς έχουμε: ( ) Στάμου Γιάννης Σελίδα 86

188 Οι παραπάνω ισότητες είναι αδύνατες, άρα δεν υπάρχει υπερβολή μ εξίσωση C : που να ικανοποιεί τις συνθήκες της άσκησης. 3. Να βρείτε την εξίσωση της χορδής της υπερβολής μέσο το σημείο Μ(4, ). (Βασική άσκηση) Λύση C : 4 3 η οποία έχει C K Μ Ε Α Ο Α Ε Λ Έστω Κ(, ) και Λ(, ) τα άκρα της χορδής που έχει μέσο το σημείο Μ. Τότε 4 3 () και 4 3 (). Αφαιρώντας κατά μέλη τις () και() έχουμε: 4( ) 3( ) 0 3( ) 4( ) 4( )( ) 3( )( ) (3). Στάμου Γιάννης Σελίδα 87

189 4 8 Όμως το σημείο Μ(4, ) είναι το μέσο της χορδής ΚΛ οπότε 4 άρα η (3) γίνεται 6( ) 4( 3 ) ( ) (4)., Αν, τότε απ την (4) προκύπτει ότι, δηλαδή, άτοπο. Για η (4) γίνεται 3 3, άρα η χορδή ΚΛ έχει εξίσωση 3 ( 4) Να βρείτε την εφαπτομένη της υπερβολής C : όταν: α. είναι παράλληλη στην ευθεία : β. είναι κάθετη στην ευθεία :3 4 0 γ. σχηματίζει με τον άξονα γωνία 60 δ. διέρχεται απ το σημείο Ρ(0, 4). Λύση α. Έστω σημείο Μ(, ) της υπερβολής C. Τότε 6 () και η εφαπτομένη της υπερβολής στο Μ θα έχει εξίσωση : 6. Είναι / / 3 (), οπότε από () και () έχουμε: 6 (3 ) () (), 6 (,6), 6 και (, 6), οπότε οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι οι : κι : Στάμου Γιάννης Σελίδα 88

190 3 β. Είναι 4 (3), οπότε από () και (3) έχουμε: 6 3 () 6 6 ( 4 ) (), 4, , , 4, και ,, οπότε οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι οι : κι : Παρατήρηση Απ τον τύπο της υπερβολής πρέπει 3 3 ή 3 και δεκτές , οπότε οι τιμές που βρήκαμε είναι 5 5 γ. Είναι (4), οπότε από () και (4) 6 6 έχουμε: (6 3 ) (), , , 7 7 και ,, οπότε οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι οι 7 7 Στάμου Γιάννης Σελίδα 89

191 : κι : Παρατήρηση Όμοια, όπως προηγουμένως, οι τιμές που βρήκαμε είναι δεκτές. δ. Η εφαπτομένη της υπερβολής στο Μ έχει εξίσωση 6 κι επειδή διέρχεται απ το σημείο Ρ(0, 4) θα είναι () 4 36 () 6 (6, ) ζητούμενες εφαπτομένες είναι οι : 6 0 κι : 6 0. και ( 6, ), οπότε οι 5. Δίνεται η υπερβολή C : και σημείο Μ( 0, 0 ) εκτός της υπερβολής. Απ το σημείο Μ φέρνουμε τις εφαπτόμενες ε, ε κι έστω Κ, Λ τα σημεία επαφής. Να δείξετε ότι η ευθεία ΚΛ έχει εξίσωση. 0 0 C Ε Ο Μ Λ Κ ε Ε Λύση Έστω Κ(, ) και Λ(, ) τα σημεία επαφής. Η εφαπτομένη της C στο Κ έχει εξίσωση : κι επειδή διέρχεται απ το σημείο Μ θα είναι 0 0 (). ε Η εφαπτομένη της C στο Λ έχει εξίσωση : κι επειδή διέρχεται απ το σημείο Μ θα είναι (). 0 0 Στάμου Γιάννης Σελίδα 90

192 Παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες των σημείων Κ και Λ ικανοποιούν την εξίσωση 0 0, άρα η ευθεία ΚΛ έχει εξίσωση. 0 0 Παρατήρηση Η ευθεία ΚΛ λέγεται πολική του σημείου Μ ως προς την υπερβολή C, ενώ το σημείο Μ λέγεται πόλος της ευθείας ΚΛ ως προς την υπερβολή C. 6. Να δείξετε ότι το γινόμενο των αποστάσεων ενός σημείου Μ(, ) της υπερβολής C : απ τις ασύμπτωτές της είναι σταθερό. Λύση K M Ε Ο Λ Ε ε ε Το σημείο Μ(, ) ανήκει στην υπερβολή, οπότε είναι (). Οι ασύμπτωτες της υπερβολής έχουν εξισώσεις : 0 κι : 0. Τότε έχουμε Στάμου Γιάννης Σελίδα 9

193 d(, ) ( ) και d(, ) ( ), οπότε d(, ) d(, ) (), που είναι σταθερό. 7. Η εφαπτομένη της υπερβολής C : στο σημείο Μ( 0, 0 ) τέμνει τις ασύμπτωτές της στασημεία Κ και Λ. Να δείξετε ότι: α. το Μ είναι μέσο του ΚΛ β. ( ) ( ) γ. το τρίγωνο έχει σταθερό εμβαδόν. Λύση C ε Κ Μ Ε Ο Λ Ε ε ε Το σημείο Μ( 0, 0 ) ανήκει στην υπερβολή, οπότε ισχύει ότι (). Στάμου Γιάννης Σελίδα 9

194 0 0 Η εφαπτομένη στο Μ έχει εξίσωση : 0 0. Οι συντεταγμένες του σημείου Κ αποτελούν τη λύση του συστήματος των ευθειών ε κι :, οπότε: , Οι συντεταγμένες του σημείου Λ αποτελούν τη λύση του συστήματος των ευθειών ε κι :, οπότε: , Είναι ( () 0 ) ( ) 0 0 () 0 0 και ( () 0) (( ) , άρα το σημείο Μ είναι μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ. Στάμου Γιάννης Σελίδα 93

195 β. Είναι 4 4 ( ) ( 0 0) ( 0 0) ( ) ( ) ( ) και 4 4 ( ) ( 0 0) ( 0 0) ( ) ( ) ( ) , οπότε () ( ) ( ) γ. Είναι,,, και ( ) det(, ) () , που είναι σταθερό. 8. Να δείξετε ότι η ευθεία : 0 εφάπτεται στην υπερβολή (Βασική άσκηση) Λύση C:. 3 Λύνουμε αρχικά το σύστημα των ε και C, για να δούμε αν υπάρχουν κοινά σημεία και πόσα. 0 3 ( ) 3 3 (4 4 ) Στάμου Γιάννης Σελίδα 94

196 (,3). ( ) Η ευθεία και η υπερβολή έχουν μοναδικό κοινό σημείο, αυτό όμως δεν αρκεί για να εφάπτεται η ευθεία στην υπερβολή. Βρίσκουμε λοιπόν την εφαπτομένη της υπερβολής στο 3 Μ, η οποία έχει εξίσωση : 0. Όμως, άρα η ευθεία ε 3 εφάπτεται στην υπερβολή C. 9. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται απ τις ασύμπτωτες της υπερβολής C : και την ευθεία που διέρχεται απ την εστία Ε της 4 υπερβολής και σηματίζει με τον άξονα γωνία 30. Λύση ε Ε Ο Ε Λ K ε ε Είναι (4, 0), ( 4, 0). 3 Επειδή 3, οπότε οι ασύμπτωτες της υπερβολής έχουν εξισώσεις : 3 κι : 3. Στάμου Γιάννης Σελίδα 95

197 Η ευθεία που διέρχεται απ την εστία Ε της υπερβολής και σηματίζει με τον άξονα γωνία 30 έχει συντελεστή διεύθυνσης 30, οπότε έχει εξίσωση 3 0 : 0 ( 4) ( 4). 3 3 Οι συντεταγμένες του σημείου Κ αποτελούν τη λύση του συστήματος των ε κι ε, οπότε: ( 4) 3 ( 4) (, 3). Οι συντεταγμένες του σημείου Λ αποτελούν τη λύση του συστήματος των ε κι ε, οπότε: ( 4) 3 ( 4) (, 3). Είναι (, 3), (, 3) οπότε για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε: 3 ( ) det(, τετρ.μον. 0. Να βρεθούν τα σημεία Μ(κ, λ) της ισοσκελούς υπερβολής C : για τα οποία οι ευθείες ΕΜ κι Ε Μ είναι κάθετες, όπου Ε, Ε οι εστίες της υπερβολής. Λύση Είναι, οπότε 4, συνεπώς οι εστίες της υπερβολής είναι οι Ε(,0) κι Ε (-, 0). Έχουμε επίσης ότι (, ) και (, ), οπότε: 0 (, ) (, ) (). Στάμου Γιάννης Σελίδα 96

198 Το σημείο Μ(κ, λ) ανήκει στην υπερβολή C :, οπότε (). Από () και () έχουμε: , οπότε τα ζητούμενα σημεία είναι τα ( 3,), ( 3, ), 3( 3, ) και ( 3,). 4. Δίνονται τα σημεία 3 3 (,0), (, ) και (, ). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(, ) του επιπέδου για τα οποία ισχύει ( ) (). Λύση Είναι 3 (, ),, και 3,, οπότε η () 3 3 γίνεται: ( ) ( ) Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου είναι η ισοσκελής υπερβολή C :. Στάμου Γιάννης Σελίδα 97

199 ENOTHTA V: Η εξίσωση 0 Μεταφορά αξόνων Σ ένα επίπεδο θεωρούμε σ συτημα συντεταγμένων Ο κι έστω ένα σημείο Ο ( 0, 0 ) του επιπέδου αυτού. Στο ίδιο επίπεδο θεωρούμε ένα δεύτερο σύστημα συντεταγμένων Ο ΧY, με αρχή το σημείο Ο ( 0, 0 ) και στο οποίο τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων Χ Χ και Υ Υ είναι ίσα με τα μοναδιαία διανύσματα των αξόνων και αντίστοιχα. Άρα Χ Χ// και Υ Υ//. Υ Μ (, ) (Χ,Υ) j X j i Ο ( 0, 0 ) Υ X Ο i Λέμε στην περίπτωση αυτή ότι το σύστημα Ο ΧΥ έχει προκύψει με παράλληλη μεταφορά των αξόνων του συστήματος Ο. Έστω τώρα ότι οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ είναι (, ) ως προς το αρχικό σύστημα Ο και (X, Y) ως προς το νέο σύστημα Ο ΧΥ. Τότε έχουμε: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Οι παραπάνω ισότητες ονομάζονται τύποι μεταφοράς των αξόνων. Για παράδειγμα, αν οι συντεταγμένες ενός σημείου Μ ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα είναι (3, 4) κι η αρχή Ο(0, 0) μετακινηθεί με τη μεταφορά των αξόνων στο σημείο Ο (-, ), τότε οι νέες συντεταγμένες του σημείου Μ θα είναι: Χ=3-(-)=4 και Υ=4-=. Έστω επίσης η εξίσωση ( ) ( ) 9, που παριστά κύκλο κέντρου Κ(, -) και ακτίνας ρ=3. Αν με μια παράλληλη μεταφορά αξόνων η αρχή Ο(0, 0) μετακινηθεί στο κέντρο του κύκλου, τότε οι νέες συντεταγμένες (Χ, Υ) ενός σημείου Μ(, ) του κύκλου είναι Χ=- και Υ=-(-)=+. Επομένως η εξίσωση του κύκλου ως προς το νέο σύστημα αξόνων έχει την απλούστερη μορφή 9. Στάμου Γιάννης Σελίδα 98

200 Η εξίσωση 0 Αποδεικνύεται ότι κάθε εξίσωση της μορφής,,,, και δεν είναι όλοι ίσοι με 0: 0 (), όπου παριστά κωνική τομή παριστά δύο παράλληλες ευθείες είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχει σημείο του επιπέδου που οι συντεταγμένες του να την επαληθεύουν. Για να βρούμε αν μια εξίσωση της μορφής () παριστά μια γραμμή και ποια,εφαρμόζουμε αρχικά τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου και στη συνέχεια μεταφέρουμε κατάλληλα τους άξονες. Για παράδειγμα, έστω η εξίσωση Έχουμε τότε: (3 ) (5 ) (3 3) (5 0) 5 [3( )] [5( )] 5 ( ) ( ) 9( ) 5( ) 5 () 5 9 Στην εξίσωση () θέτουμε και Υ=-,δηλαδή μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο σημείο Ο (-, ), οπότε η () γίνεται 5 9 που είναι εξίσωση έλλειψης. Στο σύστημα Ο ΧΥ έχουμε: Εστίες: Ε (-4, 0), Ε(4, 0) ( 5,0), (5,0) Κορυφές: (0, 3), (0,3) Στο σύστημα Ο έχουμε: Εστίες: Ε (-5, ), Ε(3, ) ( 6,), (4,) Κορυφές: (, ), (,5) Σχετική θέση ευθείας και κωνικής Ας θεωρήσουμε μια ευθεία : και μια κωνική Η ευθεία και η κωνική έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία, αφού το σύστημα 0 έχει το πολύ δύο διακεκριμένες λύσεις. C : 0. Στάμου Γιάννης Σελίδα 99

201 Για την επίλυση του συστήματος θέτουμε στη δεύτερη εξίσωση όπου, οπότε προκύπτει μια δευτεροβάθμια εξίσωση. Αν η εξίσωση αυτή έχει δύο ρίζες άνισες ή μια απλή ρίζα (όταν είναι ου βαθμού), τότε η ευθεία και η κωνική τέμνονται. Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες, δηλαδή είναι ου βαθμού με διακρίνουσα Δ=0, τότε αποδεικνύεται ότι η ευθεία εφάπτεται της κωνικής. Αν η εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε η ευθεία και η κωνική δεν έχουν κοινά σημεία. Για παράδειγμα, έχουμε την ευθεία : και την υπερβολή C. : Θέτοντας στην εξίσωση της C όπου έχουμε: ( ) ( ) ( ) 0 0, που είναι διπλή ρίζα άρα η ευθεία εφάπτεται της υπερβολής. Για είναι, άρα το σημείο επαφής είναι το Μ(, ). Στάμου Γιάννης Σελίδα 00

202 Λυμένα παραδείγματα. Έστω ο κύκλος C : ( ) ( 5) 4 (). Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου C στο σύστημα που προκύπτει όταν μεταφερθεί η αρχή των αξόνων στο σημείο: α. Ο (3, ), β. Ο (, -5). (Βασική άσκηση) Λύση 3 3 α. Είναι 0 =3 και 0 =, οπότε:. Αντικαθιστώντας στην () έχουμε: ( 3 ) ( 5) 4 ( ) ( 7) 4. β. Είναι 0 = και 0 = -5, οπότε:. Αντικαθιστώντας στην () 5 5 έχουμε: ( ) ( 5 5) Να δείξετε ότι η εξίσωση () παριστά παραβολή της οποίας να βρείτε την κορυφή, την εστία, τη διευθετούσα και τον άξονα συμμετρίας. Λύση Η () γράφεται: ( 3) 4( ) () Θέτουμε, δηλαδή μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο 3 3 σημείο Ο (-, 3), οπότε η () γίνεται 4. Η παραπάνω εξίσωση παριστά παραβολή με παράμετρο p=, κορυφή το σημείο Ο (-, 3), p εστία το σημείο 0,0 0 (0,3), διευθετούσα : και άξονα συμμετρίας την ευθεία Υ C Χ O Ε Χ = - O Υ Στάμου Γιάννης Σελίδα 0

203 3. Έστω η γραμμή C : (). Μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο σημείο Ο (-, 5). Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής C στο νέο σύστημα αξόνων Ο ΧΥ. Λύση Είναι 0 = -, 0 =5 οπότε: 5 5. Αντικαθιστώντας στην () έχουμε: 4( ) 9( 5) 8( ) 90( 5) ( ) 9( 0 5) , που είναι η εξίσωση μιας έλλειψης Να βρείτε τη γραμμή που παριστά η εξίσωση (), καθώς και τα στοιχεία της. (Βασική άσκηση) Λύση Η () γράφεται: ( ) ( 4) 9 36 [( )] ( ) 9 36 ( ) (). 9 4 Θέτουμε και, δηλαδή μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο σημείο Ο (, 0), οπότε η () στο νέο σύστημα αξόνων Ο ΧΥ παίρνει τη μορφή. 9 4 Άρα, η εξίσωση () παριστά υπερβολή C με κέντρο το σημείο Ο (, 0), εστίες στον άξονα Χ Χ (δηλαδή στον άξονα ) και με α=3, β=, οπότε Στάμου Γιάννης Σελίδα 0

204 Στο σύστημα Ο ΧΥ έχουμε: Στο σύστημα Ο έχουμε: Εστίες: ( 3, 0) ( 3, 0) Εστίες: ( 3, 0) ( 3, 0) ( 3,0) Κορυφές: (3,0) 3 Ασύμπτωτες: 3 (,0) Κορυφές: (5,0) ( ) 3 Ασύμπτωτες: ( ) 3 ( ) 3 Y C Χ Α E O O Α E X ( ) 3 Y 5. Δίνεται η εξίσωση (). α. Να δείξετε ότι η () παριστά παραβολή. β. Να βρείτε την εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο της Μ(3, -7). (Βασική άσκηση) Λύση Η () γράφεται: ( 3) 4 4 ( 3) 4( ) () Θέτουμε και 3, δηλαδή μεταφέρουμε την αρχή των αξόνων στο σημείο Ο (-, -3), οπότε η () γίνεται 4 (3). Στάμου Γιάννης Σελίδα 03