Εισαγωγή Διάλεξη 9 Ανάλυση -οφέλους Η ανάλυση -οφέλους είναι ένα σύνολο πρακτικών μεθόδων και διαδικασιών που κατευθύνουν τη λήψη αποφάσεων σε προγράμματα δημόσιων δαπανών. 1 Παρούσα αξία Η αξιολόγηση επενδυτικών σχεδίων και προγραμμάτων γενικότερα απαιτεί συνήθως σύγκριση και οφελών από διαφορετικές χρονικές περιόδους. Χρηματικές μονάδες (π.χ. Ευρώ) που αναφέρονται σε διαφορετικές χρονικές περιόδους δεν είναι άμεσα συγκρίσιμα, λόγω πληθωρισμού αλλά και αποδόσεων στην αγορών. Ας υποθέσουμε ότι κάνετε σήμερα μια κατάθεση (επένδυση) 100 σε μια τράπεζα, με επιτόκιο 5%. Στο τέλος του έτους 1, η αξία της κατάθεσης είναι 0,05) x 100, ή 105. Στο τέλος του έτους, η αξία της κατάθεσης είναι 0,05) x 105, ή 110,5. Το επιτόκιο ανατοκίζεται διαχρονικά, δηλαδή και ο τόκος κερδίζει τόκο. 3 4 Ορισμός R=ποσό αρχικής επένδυσης r= επιτόκιο (απόδοση επένδυσης) = έτη κατάθεσης (επένδυσης) Η μελλοντική αξία (FV) της κατάθεσης είναι : Ας υποθέσουμε ότι κάποιος σας υπόσχεται 100 σε ένα έτος από σήμερα. Ποιο είναι το μέγιστο ποσό που θα ήσασταν διατεθειμένοι να πληρώσετε σήμερα για μια τέτοια υπόσχεση; Εκείνο που χάνετε είναι ο τόκος που θα κερδίζατε αν δανείζατε τα χρήματα. ( 1 ) FV = R + r 5 6 1
Η παρούσα αξία ενός μελλοντικού ποσού είναι το μέγιστο ποσό που θα ήσασταν διατεθειμένοι να πληρώσετε σήμερα για το δικαίωμα να εισπράξετε τα χρήματα στο μέλλον. Ορισμός R=ποσό αρχικής επένδυσης r= επιτόκιο (απόδοση επένδυσης) = έτη κατάθεσης (επένδυσης) Η παρούσα αξία (PV) της κατάθεσης (επένδυσης) είναι: 7 8 PV = R ( 1+ ) r Στην προηγούμενη εξίσωση, το r αναφέρεται συχνά ως επιτόκιο προεξόφλησης, και το - ως συντελεστής προεξόφλησης. Ας υποθέσουμε τέλος, μια υπόσχεση να καταβάλετε μια ροή χρημάτων, R 0 σήμερα, R 1 σε ένα έτος από σήμερα, και κ.ο.κ, για έτη. Τότε Η παρούσα αξία είναι μια πολύ σημαντική έννοια. Μια πληρωμή 1,000,000 σε 0 έτη από σήμερα, έχει αξία τώρα ίση με : 376,889 αν r=0,05 148,644 αν r=0,10 PV = R + 0 R + R 1 R ( 1+ ( 1+ ( 1+ 9 10 Πληθωρισμός Πληθωρισμός Ταονομαστικά ποσά αποτιμούνται ανάλογα με το επίπεδο των τιμών στα έτη που έχουμε τις αποδόσεις. ΤαΠραγματικά ποσά αποτιμούνται με βάση το επίπεδο τιμών σε ένα συγκεκριμένο έτος. Ο πληθωρισμός επηρεάζει τόσο τη ροή πληρωμών όσο και το συντελεστή προεξόφλησης και αυτά τα δύο αντισταθμίζουν το ένα το άλλο. Ας υποθέσουμε ότι ο ρυθμός πληθωρισμού είναιπ. Τότε π ) R1 π ) R PV = R0 + + π ) π ) Το γινόμενο π)=1+r+π+rπ Το rπ είναι αμελητέο σε μέγεθος, άρα Κατά προσέγγιση το επιτόκιο είναι r+π π ) R π ) 11 1
Αποτίμηση επενδύσεων Αποτίμηση επενδύσεων Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο επενδυτικά σχέδια (προγράμματα), X και Y. Το κάθε σχέδιο συνεπάγεται κάποια οφέλη και κόστη, που τα συμβολίζουμε με B X, C X, B Y, και C Y. Βασικό ερώτημα: Είναι τα σχέδια αποδεκτά; Ποιο σχέδιο είναι προτιμότερο; Αποδεκτό: Είναι τα οφέλη μεγαλύτερα από τα κόστη; Προτιμότερο: Είναι τα καθαρά οφέλη τα μεγαλύτερα; Τα περισσότερα σχέδια συνεπάγονται μια ροή οφέλους και στη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου. 13 14 Αποτίμηση επενδύσεων (προγραμμάτων) του ιδιωτικού τομέα Αποτίμηση επενδύσεων 15 Ας ορίσουμε: B t i C t i = Όφελος από το σχέδιο i στο έτος t = Κόστος από το σχέδιο i στο έτος t Άρα, η παρούσα αξία του i είναι: ( 0 0) i i i PV = B C + i i ( B1 C1) 1 1 ( + i i ( B C) ( + 16 Τα κριτήρια της παρούσας αξίας για την αποτίμηση επενδυτικών σχεδίων: Ένα σχέδιο είναι αποδεκτό μόνο αν η παρούσα αξία του είναι θετική. Όταν δύο σχέδια αποκλείονται αμοιβαία, το σχέδιο που προτιμάται είναι εκείνο με τη μεγαλύτερη παρούσα αξία. Αποτίμηση επενδύσεων Αποτίμηση επενδύσεων Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει δύο διαφορετικά σχέδια (Ε&Α ή διαφήμιση). Το επιτόκιο προεξόφλησης παίζει ρόλο κλειδί στην απόφαση για το ποιο σχέδιο θα επιλεγεί, επειδή οι ταμειακές ροές συμβαίνουν σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. Όσο χαμηλότερο το επιτόκιο προεξόφλησης, τόσο μεγαλύτερη η αξία του οπισθοβαρούς σχεδίου. Ετήσια καθαρή απόδοση PV Έτος Ε&Α Διαφήμιση r = Ε&Α Διαφήμιση 0-1.000-1.000 0 150 00 1 600 0 0,01 18 165 0 0 0,03 86 98 3 550 1.00 0,05 46 37 0,07 10-1 17 18 3
Αποτίμηση επενδύσεων Εσωτερικός λόγος απόδοσης Μερικά άλλα κριτήρια χρησιμοποιούνται συχνά στην αξιολόγηση επενδυτικών σχεδίων, αλλά μπορεί να οδηγήσουν σε παραπλανητικές απαντήσεις. Εσωτερικός λόγος (ποσοστό) απόδοσης Λόγος οφέλους Ας πάρουμε ένα πρόγραμμα για το οποίο δαπανούμε 1 εκατομμύριο σήμερα και μετά από ένα έτος παίρνουμε 1,04 εκατ. Ποιος είναι ο λόγος (ποσοστό) απόδοσης ; Απάντηση 4%. Πώς το υπολογίσαμε; -1.000 + 1.040.000/ρ) = 0 Λύνοντας βρίσκουμε ρ = 0,04 ρ είναι ο εσωτερικός λόγος απόδοσης 19 0 Εσωτερικός λόγος απόδοσης Εσωτερικός λόγος απόδοσης 1 Ο εσωτερικός λόγος απόδοσης (IRR), ρ, ορίζεται ως το ρ που δίνει λύση στην εξίσωση: ( B1 C1) ( B C) 0= ( B0 C0) + ( 1+ ρ) ( 1+ ρ) Ο IRR είναι το επιτόκιο προεξόφλησης που κάνει την παρούσα αξία του προγράμματος ίση με το μηδέν. Αποδεκτό αν ρ > r Η λαθεμένη ανάλυση θα επέλεγε ένα αποδεκτό πρόγραμμα με τον μεγαλύτερο εσωτερικό λόγο απόδοσης αγνοώντας την κλίμακα του προγράμματος Ας υποθέσουμε ότι μια επιχείρηση μπορεί να δανειστεί με επιτόκιο 6% PV B C + 1+ ρ B3+ C + ρ) B C ρ) 3 = B1 C1 = Έργο Έτος 0 Έτος 1 ρ Κέρδος PV X - 100 110 10% 4 3,77 Y - 1.000 1.080 8% 0 18,87 0 Ο λόγος οφέλους- Ο λόγος οφέλους- 3 Ο λόγος οφέλους- διαιρεί την προεξοφλημένη ροή των ωφελειών με την προεξοφλημένη ροή του, οπότε αν B = ροή ωφελειών και C = ροή, τότε B= B + 0 C= C + 0 B 1 B ( 1+ ( 1+ C 1 C ( 1+ ( 1+ 4 B1 B B= B0+ + 1+ r C= C 0 C1 C + + 1+ r B C Λόγος - οφέλους = B/C 4
Ο λόγος οφέλους- Προβλήματα με το λόγο οφέλους- 5 Η αποδοχή με χρήση του λόγου -οφέλους απαιτεί : B C > 1 Ο λόγος αυτός πάντως είναι σχεδόν άχρηστος για συγκρίσεις μεταξύ αποδεκτών προγραμμάτων. Ο λόγος αυτός μπορεί να παραποιηθεί με το να υπολογίζουμε τα οφέλη ως αρνητικά κόστη και το αντίθετο. 6 Π.χ. Δύο μέθοδοι απόθεσης τοξικών αποβλήτων Μέθοδος B C B/C I 50 100,5 II 00 100,0 I: Αφαιρώ κατά λάθος 40 από B I: Προσθέτω κατά λάθος 40 στο C 10 100,1 50 140 1,79 Πολλές από τις αποφάσεις που παίρνει το κράτος συνεπάγονται υπολογισμούς παρούσας αξίας. Τα κόστη, τα οφέλη και τα προεξοφλητικά επιτόκια είναι κάπως διαφορετικά απ ότι στον ιδιωτικό τομέα. Για το ποιο πρέπει να είναι το προεξοφλητικό επιτόκιο για το Δημόσιο δεν υπάρχει ομοφωνία. Μια δυνατότητα μπορεί να είναι το επιτόκιο του ιδιωτικού τομέα. Αυτό υποθέτει ότι όλα τα χρηματικά ποσά που εισπράττει το κράτος και τα χρησιμοποιεί για επένδυση θα επενδύονταν στον ιδιωτικό τομέα. 7 8 Στην πραγματικότητα η χρηματοδότηση των δημόσιων έργων γίνεται με χρήματα που προέρχονται από διάφορες πηγές επενδύσεις, κατανάλωση. Τα χρήματα που προέρχονται από κατανάλωση πρέπει να προεξοφλούνται με προεξοφλητικό επιτόκιο μετά το φόρο. Στην πράξη δύσκολο να προσδιορίσει κανείς ποια αναλογία προέρχεται από την κατανάλωση και ποια από επενδύσεις Ας υποθέσουμε ότι τα τελευταία 1.000 μιας ιδιωτικής επένδυσης δίνει μια ετήσια απόδοση 16%. Αν το κράτος παίρνει τα 1.000 από τον ιδιωτικό τομέα και γίνεται εις βάρος των ιδιωτικών επενδύσεων, η κοινωνία χάνει 160. Άρα, το κόστος ευκαιρίας είναι 16% και αυτό το επιτόκιο είναι το κατάλληλο για την προεξόφληση του έργου. 9 30 5
Αν το κράτος χρηματοδοτεί ένα έργο με κεφάλαια που προέρχονται εν μέρει από ιδιωτικές επενδύσεις και εν μέρει από κατανάλωση, τότε τα πράγματα αλλάζουν. Έστω ότι το 75% των κεφαλαίων προέρχονται από ιδιωτική κατανάλωση. Αν η απόδοση (16%) φορολογείται με 50%, η μετά φόρο απόδοση είναι 8%. Ένας σωστός τρόπος ίσως είναι ένας σταθμικός μέσος των κεφαλαίων από κατανάλωση και επένδυση. Σε μια τέτοια περίπτωση το κατάλληλο επιτόκιο είναι : (1/4) x 16% + (3/4) x 8% = 10%. 31 3 Μια άλλη δυνατότητα είναι το κοινωνικό επιτόκιο προεξόφλησης το οποίο μετρά την αποτίμηση που κάνει η κοινωνία για την κατανάλωση που θυσιάζεται σήμερα. Διαφέρει από την απόδοση της αγοράς επειδή αυτό: Λαμβάνει υπόψη του το ενδιαφέρον της κοινωνίας για τις μελλοντικές γενιές. Έχει στοιχεία πατερναλισμού Μπορεί να επιλύσει κάποιες αναποτελεσματικότητες της αγοράς, όπως π.χ. θετικές εξωτερικότητες. Στην πραγματικότητα, ζητείται από τους δημόσιους φορείς να χρησιμοποιούν ένα πραγματικό επιτόκιο, π.χ. 5%, με βάση την υπόθεση ότι αυτό μετρά την προ φόρων απόδοση του ιδιωτικού τομέα. Μερικοί άλλοι χρησιμοποιούν ένα επιτόκιο, π.χ. %, το οποίο θεωρείται ότι εκφράζει την απόδοση μετά το φόρο. 33 34 Όταν εισάγεται ένας νέος φόρος ή γίνεται μια νέα δαπάνη, τότε αναλύονται οι επιδράσεις τους για μια περίοδο 5 με 10 ετών για να δούμε αν θα επηρεάσει το ισοζύγιο του κρατικού προϋπολογισμού. Αυτή όμως η προσέγγιση Αγνοεί την προεξόφληση Τα κόστη (οφέλη) που δεν είναι άμεσα υπολογίσιμα δεν λαμβάνονται υπόψη στον υπολογισμό του ελλείμματος ή πλεονάσματος του προϋπολογισμού. Ας θυμηθούμε ότι για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας πρέπει να ξέρουμε τα οφέλη, τα κόστη και το προεξοφλητικό επιτόκιο ενός επενδυτικού σχεδίου. Για μια ιδιωτική επιχείρηση : Οφέλη = έσοδα Κόστη = πληρωμές της επιχείρησης για εισροές 35 36 6
Για το δημόσιο τομέα, οι τιμές της αγοράς μπορεί να μην εκφράζουν κοινωνικά οφέλη και κόστη. Π.χ. Εξωτερικότητες Υπάρχουν διάφοροι τρόποι μέτρησης οφέλους και Τιμές αγορές (είναι P=MSC;) Προσαρμοσμένες τιμές αγορές (σκιώδεις τιμές, P=MSC) Μονοπώλια, φόροι, ανεργία Πλεόνασμα καταναλωτή Συλλογισμοί με βάση την οικονομική συμπεριφορά Αποτίμηση άϋλων στοιχείων Τιμές της αγοράς Σε μια ανταγωνιστική αγορά που λειτουργεί ομαλά, η τιμή ενός αγαθού εκφράζει ταυτόχρονα το οριακό κοινωνικό του κόστος παραγωγής και και το οριακό του κοινωνικό όφελος για τον καταναλωτή. Η προσέγγιση αυτή αγνοεί τις ατέλειες της αγοράς Είναι εύκολο να βρούμε αυτές τις τιμές 37 38 Προσαρμοσμένες τιμές αγοράς Αν οι αγορές είναι ατελείς, τότε οι τιμές γενικά δεν αντανακλούν το αληθινό οριακό κοινωνικό κόστος Σκιώδης τιμή ενός αγαθού είναι το αληθινό οριακό κοινωνικό κόστος, το οποίο μερικές φορές μπορεί να εκτιμηθεί. Υπάρχουν παραδείγματα όπου μπορούμε να έχουμε κάποιες ιδέες για τις τιμές των μονοπωλίων, για τους φόρους και την ανεργία. Πλεόνασμα καταναλωτή Τα επενδυτικά σχέδια του δημόσιου τομέα μπορεί να είναι μεγάλης κλίμακας και να επηρεάζουν τις τιμές της αγοράς. Το πιο κάτω διάγραμμα μετρά τη μεταβολή στο πλεόνασμα του καταναλωτή από ένα κρατικό αρδευτικό έργο, το οποίο μειώνει το κόστος της αγροτικής παραγωγής. 39 40 Τιμές της αγοράς Προσαρμοσμένες τιμές της αγοράς Σκιώδης τιμή Μονοπώλιο Φόροι Ανεργία Πλεόνασμα καταναλωτή Τιμή ανά κιλό ε.89 β γ 1.35 δ ζ S a S a Στο διάγραμμα, ημεταβολή στο πλεόνασμα του καταναλωτή είναι η περιοχή βγζδ. Με την υπόθεση ότι το κράτος μπορεί να μετρήσει με ακρίβεια την καμπύλη ζήτησης, το όφελος από την επένδυση μπορεί να μετρηθεί από αυτή τη μεταβολή. D a 41 A 0 A 1 Κιλά ανά έτος 4 7
Συλλογισμοί με βάση την οικονομική συμπεριφορά. Πολλές φορές ένα τέτοιο αγαθό δεν ανταλλάσσεται στις αγορές και επομένως δεν υπάρχει τιμή αγοράς γι αυτό. Παραδείγματα: Αποτίμηση του χρόνου Αποτίμηση της ζωής Αποτίμηση του χρόνου Στην ανάλυση -οφέλους η ανάγκη για αποτίμηση του χρόνου διευκολύνεται με τη θεωρία της επιλογής μεταξύ ανάπαυσης και εισοδήματος. Συχνά χρησιμοποιείται ο μισθός μετά το φόρο. Η επιλογή όμως των ωρών εργασίας δεν είναι θέμα «επιλογής» και όλες οι χρήσεις του χρόνου πέρα από το επάγγελμα δεν είναι ισοδύναμες. 43 44 Οι ερευνητές έχουν μελετήσει την αξία του χρόνου με βάση τις επιλογές για το χρόνο που αφιερώνει το άτομο στο ταξίδι. Τα τραίνα είναι πιο ακριβά, αλλά πηγαίνουν στον προορισμό τους σε λιγότερο χρόνο απ ότι τα φτηνότερα λεωφορεία. Το ίδιο ισχύει και τις απ ευθείας πτήσεις έναντι των πτήσεων με ενδιάμεση στάση. Εκτιμήσεις που έχουν γίνει αποτιμούν το χρόνο ταξιδιού στο μισό του προ φόρου ωρομισθίου. Αξία της ζωής Η άποψη ότι η «ζωή είναι ανεκτίμητη» δημιουργεί προφανείς δυσκολίες στην ανάλυση -οφέλους. Αν το όφελος από τη διάσωση μιας ζωής είναι άπειρα μεγάλο, κάθε επένδυση που οδηγεί στη διάσωση έστω και μιας ζωής έχει απείρως μεγάλη παρούσα αξία. 45 46 Οι οικονομολόγοι χρησιμοποιούν δύο μεθόδους για να δώσουν πεπερασμένη αξία στην ανθρώπινη ζωή: Απώλεια εισοδήματος: Η καθαρή παρούσα αξία των μετάφόρων εισοδημάτων του ατόμου σε όλη του τη ζωή. Σημαίνει αυτό ότι δεν υπάρχει απώλεια στην περίπτωση των ηλικιωμένων, αναπήρων, κ.α.; Πιθανότητα θανάτου : Αρκετά προγράμματα επηρεάζουν την πιθανότηταθανάτου (π.χ.έρευνα για τη θεραπεία του καρκίνου). Οι άνθρωποι είναι πρόθυμοι να δεχτούν αύξηση στην πιθανότητα θανάτου για ένα πεπερασμένο ποσό χρήματος. 47 48 8
Παραδείγματα: Η αγορά ενός πιο ακριβού και πιο ασφαλούς αυτοκινήτου μειώνει την πιθανότητα θανάτου σε σχέση με ένα πιο φτηνό και λιγότερο ασφαλές αυτοκίνητο. Επιλογή επαγγέλματος: Με όλα τα άλλα τα ίδια, το πιο επικίνδυνο επάγγελμα έχει μεγαλύτερη αμοιβή. Η προθυμία πληρωμής για αγορά συσκευών που μειώνουν τον κίνδυνο, π.χ. Ανιχνευτές καπνού, κ.λ.π. Εκτιμήσεις που έχουν γίνει στις ΗΠΑ υπολογίζουν την αξία μιας ζωής μεταξύ 4,000,000-9,000,000 Μπορούμε να αντιπαραθέσουμε μια τέτοια εκτίμηση με το κόστος μιας ζωής που σώζεται; Τα φώτα κινδύνου στο πάτωμα των αεροπλάνων κοστίζουν περί τα 900,000 ανά ζωή που διασώζεται. Η αφαίρεση αμιάντου από τα κτίρια υπολογίστηκε στις ΗΠΑ ότι κόστιζε περί τα 100,000,000 ανά διασωθείσα ζωή. 49 50 «Παιχνίδια» με την ανάλυση οφέλους Αποτίμηση αύλων Εθνικό κύρος, κ.α. Μια τέτοια αποτίμηση μπορεί να αξιοποιηθεί για την ανατροπή κάθε είδους ανάλυση οφέλους Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε τη διαφορά -οφέλους για να έχουμε ένα επιχείρημα για το ποια αξία των αύλων θα κάνει ένα πρόγραμμα αποδεκτό. Παιχνίδι αλυσιδωτής αντίδρασης Συμπεριλαμβάνουμε δευτερογενή οφέλη χωρίς να συμπεριλαμβάνουμε δευτερογενή κόστη για να γίνει το επενδυτικό πρόγραμμα πιο ελκυστικό. Παιχνίδι με την εργασία Οι μισθοί θεωρούνται συχνά ως όφελος ενώ είναι κόστος Παιχνίδι διπλού υπολογισμού Συχνά οφέλη υπολογίζονται, λαθεμένα, δύο φορές. Π.χ. Άρδευση μη καλλιεργούμενης γης (αξία γης, μεγαλύτερη παραγωγή) 51 5 Θέματα διανομής Αβεβαιότητα Το κριτήριο Hicks-Kaldor criterion υποστηρίζει ότι η επιλογή επενδυτικών προγραμμάτων πρέπει να γίνεται με βάση το αν υπάρχει δυνητικά βελτίωση κατά Pareto Πολλά επιβάλλουν κόστη σε μερικούς, αλλά επιφέρουν μεγαλύτερα οφέλη σε άλλους Άλλοι θεωρούν ότι κάποιες ομάδες του πληθυσμού «αξίζουν καλύτερη μεταχείριση» και ισχυρίζονται ότι αυτό πρέπει να λαμβάνεται υπόψη στην αξιολόγηση. Τα αποτελέσματα πολλών έργων είναι αβέβαια (π.χ. Έρευνα για εμβόλιο κατά του AIDS). Στα προγράμματα με κίνδυνο, τα οφέλη και τα κόστη πρέπει να μετατραπούν σε βέβαια ισοδύναμα το ποσό του βέβαιου εισοδήματος το οποίο ένα άτομο θα αντάλλαζε με ένα σύνολο αβέβαιων εισοδημάτων που δημιουργεί το επενδυτικό πρόγραμμα. 53 54 9
Αβεβαιότητα Αβεβαιότητα Έργο Όφελος Πιθανότητα Προσδοκώμ ενη αξία X 1.000 1,00 1.000 Y 0 0,50.000 0,50 1.000 Απαιτεί πληροφόρηση για τη διανομή των αποδόσεων και την αποστροφή κινδύνων. Το πιο κάτω διάγραμμα δείχνει ένα επικίνδυνο έργο (E, E+y) και ένα βέβαιο έργο (C) που δίνουν την ίδια προσδοκώμενη χρησιμότητα. Το κάθε αποτέλεσμα έχει πιθανότητα 1/ Βέβαια ισοδύναμα 55 56 Αβεβαιότητα Αβεβαιότητα Το όφελος του έργου είναι το ποσό που θα ήταν διατεθειμένο να πληρώσει το άτομο. Ποιο είναι αυτό το ποσό; Η απάντηση φυσιολογικά είναι y/, η προσδοκώμενη αύξηση εισοδήματος. Η τιμή αυτή όμως είναι πολύ μεγάλη, επειδή αγνοεί το ότι είναι αβέβαια. Άρα, αν το άτομο αποστρέφεται τον κίνδυνο, τότε θα ήταν διατεθειμένο να θυσιάσει κάποιο μέρος εισοδήματος για να έχει μεγαλύτερη ασφάλεια. Το διάγραμμα πιο κάτω διευκρινίζει κάποια από αυτά τα θέματα. Προσδοκώμενο εισόδημα Ε+y/. ( I) στο διάγραμμα. Το άτομο όμως ενδιαφέρεται για την προσδοκώμενη χρησιμότητα [1/ U(E) + 1/ U(E+y) ] U Το βέβαιο ισοδύναμο είναι C. o C είναι μικρότερο από το I Το άτομο είναι διατεθειμένο να πληρώσει ένα ασφάλιστρο για τη βεβαιότητα I- C 57 58 59 Υπολογισμός της βέβαιης ισοδύναμης αξίας Χρησιμότητα U(E + y) U* U(E) E C I* E + y Βέβαιο ισοδύναμο Προσδοκώμενο εισόδημα E+y/ U Ετήσιο εισόδημα 60 Σύνοψη της ανάλυσης οφέλους Παρούσα αξία Αξιολόγηση σχεδίων ιδιωτικού τομέα «Παιχνίδια» με την ανάλυση -οφέλους Θέματα διανομής Αβεβαιότητα 10