1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 14 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A 1. A1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή το γράμμα Λ αν η πρόταση είναι λανθασμένη: α. Η διάμεσος ενός τραπεζίου ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων του. β. Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών κυρτού ν-γώνου είναι 4 ορθές. γ. Κάθε εγγεγραμμένη γωνία ισούται με την επίκεντρη γωνία που βαίνει στο ίδιο τόξο. δ. Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά. ε. Η ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτομένη. x=1 A. Πότε ένα τετράπλευρο ονομάζεται τραπέζιο; A3. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ Α. Α1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή το γράμμα Λαν η πρόταση είναι λανθασμένη: α. Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου ισούται με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών γωνιών του. β. Κάθε πλευρά τριγώνου είναι μικρότερη από το άθροισμα των δύο άλλων πλευρών του. γ. Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι ίσες.
Α. Να αντιγράψετε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις και να τις συμπληρώσετε με τις κατάλληλες λέξεις. i. Κάθε... της μεσοκαθέτου. τμήματος από τα του τμήματος. ii. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο. ίσες μία προς μία και τις σε αυτές γωνίες τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Μονάδες x=4 Α3. Να διατυπώσετε τις ιδιότητες του τετραγώνου. Α4. Να αποδείξετε ότι η διάμεσος του τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ Α 3. Α1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή το γράμμα Λ αν η πρόταση είναι λανθασμένη: α. Κάθε επίκεντρη γωνία ισούται με το μισό της εγγεγραμμένης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. β. Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ι- σαπέχουν από τις πλευρές της. γ. Όλες οι γωνίες του ρόμβου είναι ίσες μεταξύ τους. δ. Οι διαγώνιοι ενός ισοσκελούς τραπεζίου είναι ίσες μεταξύ τους. ε. Η διάκεντρος δύο τεμνόμενων κύκλων είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής τους. x=1 Α. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ορθές. Μονάδες 1 Α3. Διατυπώστε τα τρία κριτήρια ισότητας τριγώνων. ΘΕΜΑ Α 4. Α1. Να μεταφέρετε στην κόλλα απαντήσεων το γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση και δίπλα να σημειώσετε το γράμμα Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή το γράμμα Λ αν η πρόταση είναι λανθασμένη:
3 α. Το μέτρο μιας εγγεγραμμένης γωνίας ισούται με το μέτρο του αντίστοιχου τόξου. β. Ορθόκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των διχοτόμων του τριγώνου. γ. Δύο αμβλείες γωνίες που έχουν τις πλευρές τους παράλληλες μία προς μία είναι ίσες. δ. Ο κύκλος (Λ,ρ) και ο κύκλος (Κ,R) εφάπτονται εξωτερικά αν και μόνο αν δ= ρ+r,όπου δ η διάκεντρος των δύο κύκλων. ε. Κάθε τετράγωνο είναι ρόμβος. Μονάδες 1 Α. Πότε μία γωνία λέγεται εγγεγραμμένη γωνία ενός κύκλου; Α3. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίση με το μισό της. Μονάδες 1 ΘΕΜΑ Α 5. Α1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση, χωρίς δικαιολόγηση, στις παρακάτω προτάσεις : i. Το σημείο τομής των διαμέσων ενός τριγώνου λέγεται : α. Ορθόκεντρο β. Περίκεντρο γ. Βαρύκεντρο δ. Έγκεντρο ii. Η διάκεντρος τεμνομένων κύκλων είναι : α. Κοινή τους εφαπτομένη β. Μεσοκάθετη της κοινής τους χορδής γ. Διάμετρος του ενός κύκλου δ. Κοινή τους χορδή iii. Το άθροισμα των γωνιών κυρτού ν γώνου είναι : α. ν ορθές γωνίες β. (ν 3) ορθές γωνίες γ. (ν + ) ορθές γωνίες δ. (ν 4) ορθές γωνίες iv. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο όταν : α. απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές β. Οι απέναντι γωνίες του είναι οξείες γ. διαδοχικές πλευρές του είναι ίσες δ. διαδοχικές γωνίες του είναι ορθές Moνάδες 3x=6
4 Α. Να μεταφέρετε στην κόλλα σας τις παρακάτω προτάσεις σωστά συμπληρωμένες: α. Κάθε της διχοτόμου μιας γωνίας... από τις πλευρές της. β. Αν δύο τρίγωνα έχουν μία.. ίση και τις.. σε αυτή γωνίες μία προς μία τότε τα τρίγωνα είναι ίσα. Moνάδες x=4 Α3. Να δώσετε τον ορισμό του ρόμβου. Α4. Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και μόνο αν τα αποστήματά τους είναι ίσα. Μονάδες 1
5 A ΣΚΗΣΕΙΣ 1 1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με βάση την ΒΓ και έστω Δ σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ, τέτοιο ώστε : ΑΒ = ΑΓ. Γ1. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές. Γ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα. Μονάδες 6 Μονάδες 7 Γ3. Αν η προέκταση της ΑΔ τέμνει τη βάση ΒΓ στο σημείο Μ, να αποδείξετε ότι το Μ είναι μέσον της ΒΓ. Μονάδες 6 Γ4. Στην προέκταση της ΑΔ παίρνουμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΔΜ = ΜΕ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΒΔΓΕ είναι ρόμβος. Γ1. Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, άρα την υπόθεση έχουμε ότι τις σχέσεις (1) και () προκύπτει ότι Μονάδες 6 ΑΒΓ= ΑΓΒ (1). Αλλά από ΑΒ = ΑΓ () οπότε αφαιρώντας κατά μέλη ΒΓ= ΓΒ. Άρα το τρίγωνο ΔΒΓ είναι ισοσκελές. Γ. Τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ έχουν AB = AΓ (υπόθεση), ΒΔ = ΔΓ ( από Γ1) και ΑΔ κοινή. Άρα έχουν και τις τρεις πλευρές τους ίσες, άρα είναι ίσα. Γ3. Επειδή τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι ίσα έχουν και τα υπόλοιπα στοιχεία τους ίσα, άρα ΒΑ =ΓΑ, άρα ΑΔ διχοτόμος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, συνεπώς και διάμεσος.
6 Επομένως το σημείο Μ, στο οποίο η ΑΔ τέμνει τη βάση ΒΓ, είναι μέσον της ΒΓ. Γ4. Οι διαγώνιο ΔΕ και ΒΓ του τετραπλεύρου ΒΔΓΕ διχοτομούνται και τέμνονται κάθετα ( η διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ είναι και ύ- ψος), άρα το τετράπλευρο ΒΔΓΕ είναι ρόμβος.. Δίνεται ρόμβος ΑΒΓΔ και έστω Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ. Γ1. Αν Ε το μέσον της πλευράς ΑΒ, να αποδείξετε ότι : ΟΕ // Α. Γ. Αν Ζ το μέσον της πλευράς ΑΔ, να αποδείξετε ότι : Μονάδες 8 Α ΟΖ =. Μονάδες 8 Γ3. Αν Ε και Ζ τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΕΟΖ είναι ρόμβος. Μονάδες 9 Γ1. Στο τρίγωνο ΑΒΔ το Ο είναι μέσον της πλευράς του ΒΔ (οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούνται) και το Ε είναι μέσον της πλευράς ΑΒ, οπότε Α OE / /A και ΟΕ =. Γ. Στο τρίγωνο ΑΒΔ το Ο είναι μέσον της πλευράς του ΒΔ ( οι διαγώνιοι του ρόμβου διχοτομούνται) και το Ζ είναι μέσον της πλευράς ΑΔ, οπότε ΑΒ O Ζ/ /AΒ και ΟΖ =. Α Αλλά ΑΒ = Α ( ΑΒΓΔ ρόμβος ), άρα ΟΖ =
7 Γ3. Από τα προηγούμενα ερωτήματα προκύπτει ότι OE / /AΖ και O Ζ// Ε A, άρα το ΑΕΟΖ είναι παραλληλόγραμμο. Α Α Επίσης ΟΕ = και ΟΖ =, άρα OΖ = ΟΕ, οπότε το ΑΕΟΖ είναι ρόμβος. 3. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Β= ˆ 45, Γ= ˆ 3 και έστω ΑΔ το ύψος του και Μ το μέσον της πλευράς του ΑΓ. Γ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνίας ˆΑ. Μονάδες 4 Γ. Να αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΔΒΜ είναι ισοσκελές. Γ3. Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΔΒΜ. Μονάδες 13 Μονάδες 8 Γ1. Είναι ˆ ˆ ˆ 18 ˆ 45 3 18 ˆ 15 Α+Β+Γ= Α+ + = Α=. Γ. Το τρίγωνο ΔΒΑ είναι ισοσκελές ορθογώνιο, οπότε ΒΔ = ΑΔ (1). Ε- πίσης το τρίγωνο ΔΑΓ είναι ορθογώνιο με ˆ ΑΓ Γ= 3, οπότε Α = () ΑΓ και ΔΜ διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα, οπότε Μ = (3). Από τις σχέσεις () και (3) προκύπτει ότι ΑΔ = ΔΜ (4). Τελικά από τις σχέσεις (1) και (4) έχουμε ότι ΒΔ = ΑΔ, άρα το τρίγωνο ΔΒΜ είναι ισοσκελές. Γ3. Το τρίγωνο ΑΔΜ είναι ισόπλευρο, άρα Α Μ = 6, οπότε είναι Επομένως ΒΜ = ΜΒ= 15. Β Μ = 9 + 6 = 15.
4. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ και έστω Μ τυχαίο σημείο της διαμέσου του ΑΔ. Στην πλευρά ΑΒ θεωρούμε σημείο Ε και στην πλευρά ΑΓ σημείο Ζ, τέτοια ώστε ΑΕ = ΑΖ. Αν οι ΜΕ και ΜΖ τέμνουν την ΒΓ στα Κ και Λ αντίστοιχα, Γ1. να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΜΕ και ΑΜΖ είναι ίσα. Γ. να αποδείξετε ότι ΒΚ = ΓΛ. Γ3. να αποδείξετε ότι ΚΓ = ΒΛ. 8 Μονάδες 8 Μονάδες 1 Γ1. Τα τρίγωνα ΑΜΕ και ΑΜΖ έχουν ΑΕ = ΑΖ (υπόθεση), ΑΜ κοινή πλευρά και ΕΑΜ =ΜΑΖ( ΑΔ διάμεσος του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ άρα και διχοτόμος της γωνίας Α ˆ. Συνεπώς από το κριτήριο Π-Γ-Π τα τρίγωνα είναι ίσα. Γ. Συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΒΕΚ και ΓΖΛ. Έχουν: ΕΒΚ =ΖΓΛ, ως παραπληρώματα των ίσων γωνιών ˆΒ και ˆΓ. ΚΕΒ=ΓΖΛ, ως κατακορυφήν των γωνιών ΑΕΜ =ΑΖΜ (Γ1) ΒΕ = ΓΖ, αφού ΑΒ = ΑΓ και ΑΕ = ΑΖ. Άρα τα τρίγωνα ΒΕΚ και ΓΖΛ από Γ-Π-Γ είναι ίσα, οπότε ΒΚ = ΓΛ. Γ3. Είναι ΚΓ = ΚΒ + ΒΓ = ΓΛ + ΒΓ = ΒΛ. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με ΒΓ = ΑΒ. Αν Μ, Λ, Ν και Δ είναι τα μέσα των ΒΓ, ΑΓ, ΒΜ και ΑΜ αντίστοιχα, τότε : Γ1. Να αποδείξετε ότι Ν // ΛΜ και Ν = ΛΜ.
Γ. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΔΛΜΝ είναι ρόμβος. 9 Μονάδες 1 Μονάδες 1 Γ3. Αν Κ το σημείο τομής των ΑΝ και ΒΔ,να δικαιολογήσετε γιατί ΒΚ = Κ. Γ1. Στο τρίγωνο ΜΑΒ το Δ είναι μέσον της πλευράς ΑΜ και το Ν μέσον ΑΒ της ΜΒ οπότε Ν // ΑΒ και Ν = (1). Ομοίως στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι Μ μέσον της ΒΓ και Λ μέσον της ΑΓ, οπότε ΑΒ ΜΛ // ΑΒ και ΜΛ = (). Από τις σχέσεις (1) και () έχουμε Ν // ΛΜ και Ν = ΛΜ. Γ. Από ερώτημα Γ1 έχουμε ότι το τετράπλευρο ΔΛΜΝ έχει τις απέναντι πλευρές του ΔΝ και ΛΜ παράλληλες και ίσες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. ΒΓ Επίσης ΑΒ = = ΒΜ, οπότε: ΑΒ ΒΜ Ν = = = ΝΜ, άρα το παραλληλόγραμμο ΔΛΜΝ είναι ρόμβος. Γ3. Στο τρίγωνο ΑΒΜ οι ΑΝ και ΒΔ είναι διάμεσοι, άρα το σημείο τομής τους Κ είναι το κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΜ, οπότε ΒΚ = ΚΔ. 6. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και η διάμετρός του ΑΒ. Προεκτείνουμε την διάμετρο ΑΒ προς το μέρος του Β κατά τμήμα ΒΓ = R και από το σημείο Γ φέρουμε την εφαπτομένη ΓΔ του κύκλου. Γ1. Να αποδείξετε ότι Β = R.
Γ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΒΓΔ είναι ίσα. 1 Μονάδες 15 Μονάδες 1 Γ1. Η εφαπτομένη ΓΔ του κύκλου και η ακτίνα ΟΔ στο σημείο επαφής είναι κάθετες, άρα το τρίγωνο ΟΔΓ είναι ορθογώνιο. Η ΔΒ είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου ΔΟΓ, άρα ΟΓ Β = Β = OB Β = R Γ. Τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΒΓΔ έχουν : ΟΑ = ΟΔ = ΒΔ = ΒΓ Από το προηγούμενο ερώτημα Γ1 προκύπτει ότι το τρίγωνο ΟΔΒ είναι ισόπλευρο, άρα ΟΒ= 6, οπότε ΟΑ= 1. Επίσης είναι ΒΓ = 1, άρα ΟΑ= ΒΓ. Επομένως τα τρίγωνα ΟΑΔ και ΒΓΔ είναι ίσα ( Π Γ Π ). 7. Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ // ΓΔ και ΑΔ = ΑΒ + ΓΔ. Η διχοτόμος της γωνίας Δ τέμνει την ΒΓ στο Ε και την προέκταση της ΑΒ στο Ζ. Να αποδείξετε ότι Γ1. το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές. Γ. ΔΓ = ΒΖ. Γ3. Ε είναι το μέσον της ΒΓ. Μονάδες 6 Μονάδες 9 Μονάδες 1
11 Γ1. Είναι ΑΖ // Γ άρα 1 =Ζ (εντός εναλλάξ) και επειδή είναι, 1 = έχουμε =Ζ, άρα το τρίγωνο ΑΔΖ είναι ισοσκελές. Γ. Από το προηγούμενο ερώτημα Γ1 προκύπτει ότι ΑΔ = ΑΖ, άρα ΑΔ = ΑΒ + ΒΖ (1). Αλλά ΑΔ = ΑΒ + ΓΔ () από υπόθεση, άρα από τις σχέσεις (1) και () προκύπτει ότι ΓΔ = ΒΖ. Γ3. Είναι ΒΖ // ΔΓ ( ΑΒΓΔ τραπέζιο ) και ΒΖ = ΔΓ ( από Γ ), άρα το τετράπλευρο ΒΖΓΔ είναι παραλληλόγραμμο, επομένως οι διαγώνιοί του ΒΓ και ΔΖ διχοτομούνται. Άρα το σημείο Ε είναι μέσον της ΒΓ. 8. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με Α= 9, Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΑΒ και Μ, Ν, Ρ τα μέσα των ΒΓ, ΒΔ και ΓΔ αντίστοιχα. Γ1. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΝΔΡ είναι παραλληλόγραμμο. Μονάδες 9 Γ. Να αποδείξετε ότι ΑΡ = ΡΔ Μονάδες 7 Γ3. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΜΝΑΡ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Μονάδες 9 Γ1. Στο τρίγωνο ΓΔΒ είναι το Ρ μέσον της ΓΔ και το Μ μέσον της ΓΒ, Β άρα ΡΜ = = Ν και ΡΜ // Ν, οπότε το τετράπλευρο ΡΜΝΔ είαι παραλληλόγραμμο.
Γ. Η ΑΡ είναι διάμεσος του ορθογωνίου τριγώνου ΑΓΔ, άρα 1 Γ ΑΡ = ΑΡ = Ρ (1). Γ3. Το ΡΜΝΑ είναι τραπέζιο, αφού ΡΜ//ΑΒ. Επίσης στο ερώτημα Γ1 αποδείχτηκε ότι το ΡΜΝΔ είναι παραλληλόγραμμο, άρα ΜΝ = Ρ (). Από τις σχέσεις (1) και () προκύπτει ότι ΜΝ = ΡΑ Άρα το ΡΜΝΑ είναι ισοσκελές τραπέζιο. 9. Στο σχήμα, που δίνεται, το Ο είναι το κέντρο του κύκλου, η ΓΔ είναι διάμετρός του και τόξο ΑΒ = 9 και τόξοβγ = 45. Γ1. Να υπολογίσετε το τόξο Α. Γ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Γ3. Να υπολογίσετε τις γωνίες του ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ. Γ1. Είναι τόξο Α = 18 9 45 = 45. Μονάδες 1 Μονάδες 8 Γ. Φέρουμε την ΒΔ, οπότε ΑΒ =Β Γ( εγγεγραμμένες που βαίνουν σε ίσα τόξα ), άρα ΑΒ//ΔΓ (γιατί οι εντός εναλλάξ είναι ίσες ), οπότε το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο. Αλλά ΑΔ = ΒΓ (χορδές ίσων τόξων), άρα το ΑΒΓΔ είναι ισοσκελές τραπέζιο. Γ3. Η γωνία είναι εγγεγραμμένη και βαίνει στο τόξο ΑΒΓ.
13 Αλλά τόξο ΑΒΓ = 9 + 45 = 135, άρα είναι 135 = = 67,5. Επίσης Γ= (ως προσκείμενες στη βάση ΔΓ του ισοσκελούς τραπεζίου ΑΒΓΔ), άρα Ομοίως Γ= 67,5 και Β= 11,5. Α= 11,5 ( ως παραπληρωματική της ). 1. Δίνεται κύκλος (Ο,R) και η διάμετρός του ΑΒ. Προεκτείνουμε την διάμετρο ΑΒ προς το μέρος του Β κατά τμήμα ΒΓ = R και από το σημείο Γ φέρουμε την εφαπτομένη ΓΔ του κύκλου. Γ1. Να αποδείξετε ότι Γ= 3 Γ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές.. Μονάδες 8 Μονάδες 9 Γ3. Αν η κάθετη από το Δ προς την ΑΒ τέμνει τον κύκλο στο Ε, τότε να αποδείξετε ότι η ΓΕ εφάπτεται στον κύκλο (Ο, R). Μονάδες 8 Γ1. Η εφαπτομένη ΓΔ του κύκλου και η ακτίνα ΟΔ στο σημείο επαφής είναι κάθετες, άρα το τρίγωνο ΟΔΓ είναι ορθογώνιο. Στο τρίγωνο ΟΔΓ είναι ΟΓ O =, άρα Γ= 3. Γ. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΔΓ είναι ΟΓ= 6, οπότε η γωνία Α= 3 ( γιατί κάθε εγγεγραμμένη ισούται με το μισό της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο ), άρα το τρίγωνο ΔΑΓ είναι ισοσκελές.
14 Γ3. Τα τρίγωνα ΔΟΓ και ΕΟΓ έχουν: ΟΔ = ΟΕ (ως ακτίνες) ΟΓ κοινή ΟΓ=ΕΟΓ ( το τρίγωνο ΟΔΕ είναι ισοσκελές και η ευθεία ΟΓ είναι κάθετη στο ΔΕ, άρα η ΟΓ διχοτομεί τη γωνία Άρα τα τρίγωνα ΔΟΓ και ΕΟΓ είναι ίσα, άρα ΟΕΓ= 9. Επομένως η ΓΕ είναι εφαπτόμενη του κύκλου (Ο,R). ΟΕ.