Η ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΕΠΙ ΟΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ριάνα Θεοδούλου Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου, e-mail: rianath@hotmail.com Γεώργιος Φιλίππου Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής, Πανεπιστήµιο Κύπρου, e-mail: edphilip@ucy,ac,cy Περίληψη Στην έρευνα αυτή εξετάστηκε η ικανότητα των µαθητών να κατασκευάζουν προβλήµατα µε βάση ηµιδοµηµένες, δοµηµένες και ελεύθερες µαθηµατικές καταστάσεις σε συσχέτιση µε την επίδοσή τους στα µαθηµατικά. Εκατόν είκοσι µαθητές τετάρτης δηµοτικού κλήθηκαν να κατασκευάσουν προβλήµατα µε βάση πέντε διαφορετικού τύπου µαθηµατικές καταστάσεις. Τα προβλήµατα που κατασκεύασαν οι µαθητές εξετάστηκαν ως προς την ποιότητα και τη µαθηµατική τους πολυπλοκότητα. Όπως έδειξαν τα αποτελέσµατα, οι µαθητές κατασκεύασαν προβλήµατα υψηλής ποιότητας µε βάση τις ηµι-δοµηµένες και την ελεύθερη µαθηµατική κατάσταση, αλλά δυσκολεύτηκαν στην κατασκευή λογικών µαθηµατικών προβληµάτων µε βάση τις µαθηµατικές προτάσεις. Τα αποτελέσµατα έδειξαν στατιστικά σηµαντική συσχέτιση ανάµεσα στην ικανότητα κατασκευής προβλήµατος και την επίδοση στα µαθηµατικά. Όλοι οι µαθητές ανεξάρτητα από επίδοσή τους δήλωσαν προτίµηση στην κατασκευή προβλήµατος έναντι της επίλυσης προβλήµατος. 1. Θεωρητικό πλαίσιο Η κατασκευή προβλήµατος (ΚΜΠ) αναγνωρίζεται σήµερα ως ένα σηµαντικό στοιχείο του αναλυτικού προγράµµατος των µαθηµατικών που βρίσκεται στο επίκεντρο της µαθηµατικής σκέψης και δραστηριότητας (Brown & Walter, 1993 Silver et al., 1996 English, 1998). Μετά από µια δεκαετία ερευνών µε επίκεντρο την επίλυση προβλήµατος (ΕΜΠ), στο τέλος της δεκαετίας του 1980 το ενδιαφέρον στράφηκε στην ανάπτυξη της ικανότητας των µαθητών να κατασκευάζουν προβλήµατα, µια δραστηριότητα η οποία θεωρήθηκε ότι ανταποκρίνεται στη νέα φιλοσοφία «γνωρίζω µαθηµατικά σηµαίνει κάνω µαθηµατικά» (Leung & Silver, 1997). ιακεκριµένοι µαθηµατικοί παιδαγωγοί (Polya, 1954 Freudenthal, 1973 Kilpatrick, 1987 Silver,1994) επεσήµαναν ότι η ΚΜΠ αποτελεί σηµαντικό µέρος της µαθηµατικής εµπειρίας των µαθητών και υποστήριξαν την ανάγκη για ενσωµάτωση δραστηριοτήτων ΚΜΠ στη διδασκαλία. Το ενδιαφέρον για την ΚΜΠ είναι φανερό και από τις διακηρύξεις διεθνών οργανώσεων στα µαθηµατικά, όπως το Εθνικό Συµβούλιο ασκάλων των Μαθηµατικών των Ηνωµένων Πολιτειών (NCTM, 1989). Για παράδειγµα, στο Standards τονίζεται ότι οι µαθητές θα πρέπει να έχουν κάποια εµπειρία να αναγνωρίζουν και να κατασκευάζουν δικά τους προβλήµατα, µια δραστηριότητα που βρίσκεται στην καρδιά των µαθηµατικών (NCTM, 1989, σ. 138). Η µεγάλη σηµασία της παροχής ευκαιριών στα παιδιά να κατασκευάζουν προβλήµατα επαναβεβαιώθηκε στα Professional Standards for Teaching Mathematics (NCTM, 1991) στα οποία αναφέρεται ότι οι µαθητές πρέπει να έχουν την ευκαιρία να κατασκευάζουν δικά τους προβλήµατα τόσο από δοσµένες καταστάσεις όσο και από προβλήµατα.. Η ΚΜΠ, σύµφωνα µε τον Silver (1994) µπορεί να προκύψει σε τρεις περιπτώσεις µαθηµατικής δραστηριότητας: α) πριν από την ΕΜΠ κατά την οποία κάποιος κατασκευάζει ένα πρωτότυπο πρόβληµα από µια κατάσταση που του παρουσιάζεται ως ερέθισµα, β) κατά τη διάρκεια της ΕΜΠ κατά την οποία κάποιος τροποποιεί ένα σύνθετο πρόβληµα ενόσω το επιλύει και γ) µετά από την ΕΜΠ κατά την οποία ο λύτης αξιοποιεί την εµπειρία που απέκτησε για να κατασκευάσει άλλα όµοια προβλήµατα.
Κατασκευή Μαθηµατικού Προβλήµατος και Μαθηµατική Σκέψη Η έρευνα γύρω από την ικανότητα ΚΜΠ εξέτασε κατά καιρούς διάφορους παράγοντες οι οποίοι θεωρήθηκαν ότι σχετίζονται άµεσα µε την ικανότητα αυτή. Μερικοί από τους παράγοντες αυτούς είναι η δηµιουργικότητα, η ΕΜΠ, η µαθηµατική ικανότητα, και το πλαίσιο στο οποίο προκύπτει η κατασκευή προβλήµατος (English, 1998; Silver, 1994). Κατασκευή-Επίλυση Προβλήµατος, ηµιουργικότητα και Μαθηµατική Ικανότητα Αρχικά έγινε προσπάθεια συσχέτισης της ΚΜΠ µε τη δηµιουργικότητα. Η βασική παραδοχή ήταν ότι ο σχεδιασµός ενός νέου προβλήµατος περιέχει στοιχεία δηµιουργικής δραστηριότητας ή ενός ιδιαίτερου ταλέντου, και λογικά είχαν περιληφθεί έργα ΚΜΠ σε δοκίµια που είχαν σκοπό τη µέτρηση της δηµιουργικότητας (Silver, 1994). Παρά τη διαίσθηση ότι υπήρχε σχέση ανάµεσα στην ΚΜΠ και τη δηµιουργικότητα, η φύση της σχέσης ανάµεσα στις δύο αυτές ικανότητες παραµένει ασαφής (Haylock, 1987; Silver, 1994). Έρευνα της Leung (1993) ανάµεσα σε µελλοντικούς δασκάλους δεν έδειξε καµία ουσιαστική συσχέτιση ανάµεσα στην επίδοση των υποκειµένων σε δοκίµια µέτρησης δηµιουργικότητας και στην ικανότητά τους να κατασκευάζουν προβλήµατα. Από την άλλη, η έρευνα έδειξε ότι υπάρχει µια πιο ξεκάθαρη συσχέτιση ανάµεσα στην ικανότητα ΚΜΠ και τη µαθηµατική ικανότητα. Σε µια µεγάλης κλίµακας έρευνα που έγινε από την Ellerton (1986), παιδιά έντεκα έως δεκατριών χρόνων που χωρίστηκαν σε δύο οµάδες ανάλογα µε την ικανότητά τους στα µαθηµατικά, κλήθηκαν να κατασκευάσουν προβλήµατα που θα ήταν δύσκολο για τους συµµαθητές τους να επιλύσουν. Βρέθηκε ότι οι πιο ικανοί µαθητές κατασκεύασαν προβλήµατα µε µεγαλύτερη λογιστική δυσκολία που χρειάζονταν περισσότερες πράξεις για να επιλυθούν από ότι οι λιγότερο ικανοί συµµαθητές τους. Παράλληλα, τα αποτελέσµατα της έρευνας έδειξαν ότι οι πιο ικανοί µαθητές σχεδίασαν πιο επισταµένα τα προβλήµατα που κατασκεύασαν και ήταν σε θέση να υπολογίσουν την απάντηση σε αυτά ενώ οι λιγότερο ικανοί µαθητές συνάντησαν δυσκολίες τόσο στο σχεδιασµό όσο και στη λύση των προβληµάτων που κατασκεύασαν. Η σχέση ανάµεσα στη µαθηµατική ικανότητα και την ικανότητα ΚΜΠ παρατηρήθηκε και σε ανάλογη έρευνα της Leung (1993) η οποία έδειξε µια ουσιαστική συσχέτιση ανάµεσα στην ποιότητα των προβληµάτων που κατασκευάστηκαν από µελλοντικούς δασκάλους και το επίπεδο των µαθηµατικών τους γνώσεων. Σε παρόµοια αποτελέσµατα κατέληξε και πρόσφατη έρευνα των Leung και Silver (1997). Βρήκαν ότι µελλοντικοί δάσκαλοι µε υψηλό επίπεδο µαθηµατικής γνώσης κατασκεύασαν προβλήµατα καλύτερης ποιότητας και µεγαλύτερης πολυπλοκότητας από τους συµφοιτητές τους που είχαν χαµηλό επίπεδο µαθηµατικής γνώσης. Το ερευνητικό ενδιαφέρον γύρω από την ΚΜΠ οφείλεται κυρίως στη θεωρούµενη συµβολή της ικανότητας αυτής στην ανάπτυξη της ικανότητας των παιδιών να λύνουν προβλήµατα (Brown, 1984; Silver, 1994). Παρά το προφανές της συσχέτισης ανάµεσα στην ικανότητα ΚΜΠ και την ικανότητα ΕΜΠ ωστόσο, η έρευνα δεν έχει ξεκαθαρίσει πλήρως το σκηνικό γύρω από τη συσχέτιση αυτή. Οι Silver και Cai (1996), σε έρευνά τους µε µαθητές πρώτης γυµνασίου, βρήκαν ότι οι µαθητές που ήταν πιο ικανοί στην ΕΜΠ κατασκεύασαν προβλήµατα που υπερείχαν σε µαθηµατική και συντακτική πολυπλοκότητα από τα προβλήµατα µαθητών που ήταν λιγότερο ικανοί στην ΕΜΠ. Το εύρηµα αυτό, σύµφωνα µε τους ερευνητές, υποδηλώνει µια στενή συσχέτιση ανάµεσα στην ικανότητα ΚΜΠ και την ικανότητα ΕΜΠ. Οι ερευνητικές διαπιστώσεις των Silver και Cai (1996) συµφωνούν µε τα ευρήµατα της English (1997b; 1998) η οποία σε µια σειρά ερευνών βρήκε ότι µαθητές µε διαφορετική επίδοση στην επίλυση πρωτότυπων
προβληµάτων επέδειξαν διαφορετικά µοτίβα απαντήσεων σε διάφορες δραστηριότητες ΚΜΠ. Αυτό ήταν φανερό τόσο από την πολυπλοκότητα της δοµής και όσο και από την πολυπλοκότητα των πράξεων στα προβλήµατα που κατασκεύασαν οι µαθητές (English, 1997 b). Υπάρχουν, ωστόσο, και κάποιες έρευνες που δεν διαπίστωσαν σηµαντική σχέση ανάµεσα στην ικανότητα ΚΜΠ και την ικανότητα ΕΜΠ, όπως η έρευνα των Silver και Mamona (1989) µε καθηγητές µαθηµατικών. Κατασκευή προβλήµατος µε βάση διάφορες µαθηµατικές καταστάσεις Μια πτυχή της ΚΜΠ που ερευνήθηκε αφορά στο είδος των µαθηµατικών καταστάσεων µε βάση τις οποίες οι µαθητές καλούνται να κατασκευάσουν προβλήµατα. Οι καταστάσεις αυτές µπορούν να διακριθούν σε τρεις κατηγορίες µε βάση τα δοµικά τους χαρακτηριστικά: (α) οµηµένες µαθηµατικές καταστάσεις: Στις καταστάσεις αυτές, δίνεται ένα συγκεκριµένο πρόβληµα ή η λύση ενός προβλήµατος και οι µαθητές καλούνται να κατασκευάσουν νέα προβλήµατα από το πρόβληµα αυτό (Menon, 1996; Gonzales, 1998). Η ΚΜΠ από δοσµένο πρόβληµα είναι η πιο συνηθισµένη δραστηριότητα ΚΜΠ και µπορεί να επιτευχθεί µε τη χρήση ποικίλων στρατηγικών. Ο Polya (1957) πρότεινε τρεις προσεγγίσεις που θα µπορούσε να ακολουθήσει κάποιος για να κατασκευάσει νέα προβλήµατα από ένα δοσµένο: (i) να κρατήσει σταθερά τα άγνωστα και να αλλάξει τα υπόλοιπα δεδοµένα και τους περιορισµούς του προβλήµατος, (ii) να κρατήσει σταθερά τα δεδοµένα και να αλλάξει τα άγνωστα και τους περιορισµούς και (iii) να αλλάξει τόσο τα άγνωστα όσο και τα δεδοµένα του προβλήµατος. Προεκτείνοντας τις ιδέες αυτές η Gonzales (1998) εισηγήθηκε κι άλλες στρατηγικές για την ΚΜΠ από την τροποποίηση δοσµένου προβλήµατος, όπως τις ακόλουθες: εναλλαγή γνωστών και αγνώστων, πρόσθεση πληροφοριών, γενίκευση ειδικών περιπτώσεων, τροποποίηση των τιµών των δεδοµένων, αποδοχή των δεδοµένων και των περιορισµών και τροποποίηση του έργου, αποδοχή των δεδοµένων και του έργου και τροποποίηση των περιορισµών, αλλαγή του περιεχοµένου ή του πλαισίου του προβλήµατος και αµφισβήτηση ενός ή περισσότερων µερών της κατάστασης του προβλήµατος (π.χ. χρήση της στρατηγικής «τι θα γινόταν αν»). (β) Ηµι-δοµηµένες µαθηµατικές καταστάσεις: Οι καταστάσεις αυτές αναφέρονται σε µαθηµατικά πλούσια περιβάλλοντα από την άποψη ότι περιέχουν δεδοµένα και πληροφορίες, αλλά δεν υπάρχει έργο. εν υπάρχει ενσωµατωµένη ερώτηση ή πρόβληµα& ο µαθητής αφήνεται να κατασκευάσει µια ερώτηση ή να υποβάλει ένα πρόβληµα εµπνευσµένο από τα δεδοµένα και τις πληροφορίες (Gonzales, 1998, σελ. 451). Οι µαθητές καλούνται να αναλύσουν και να συνθέσουν τις πληροφορίες που δίνονται χρησιµοποιώντας γνώσεις από προηγούµενες εµπειρίες τους, ώστε να κατασκευάσουν δικές τους ερωτήσεις, µετατρέποντας µε τον τρόπο αυτό την κατάσταση σε πρόβληµα (Menon, 1996). Εκτός από τις λεκτικές µαθηµατικές καταστάσεις, ευκαιρίες για ΚΜΠ παρέχουν οι γραφικές παραστάσεις οι οποίες βρίσκονται σε εφηµερίδες, περιοδικά και το διαδίκτυο, καθώς επίσης και οι εικόνες. (γ) Ελεύθερες µαθηµατικές καταστάσεις: Στις περιπτώσεις αυτές δεν δίνεται έτοιµο πρόβληµα ή µαθηµατική κατάσταση, αλλά οι µαθητές καλούνται να βρουν οι ίδιοι µαθηµατικές καταστάσεις και να κατασκευάσουν προβλήµατα µε βάση τις καταστάσεις αυτές. Με την υποβολή ερωτήσεων όπως: «Φτιάξε ένα δύσκολο πρόβληµα» ή «Κατασκεύασε ένα πρόβληµα κατάλληλο για ένα µαθηµατικό διαγώνισµα», οι µαθητές µπορούν να ανακαλέσουν και να µαθηµατικοποιήσουν προϋπάρχουσες εµπειρίες τους. Όπως εισηγείται ο Menon (1996), ο δάσκαλος µπορεί να επιλέξει ένα θέµα και να αναθέσει στους µαθητές να εργαστούν σε οµάδες για να κατασκευάσουν ένα πρόβληµα. Οι
µαθητές προτείνουν µια µέθοδο επίλυσης του συγκεκριµένου προβλήµατος και στη συνέχεια το δίνουν στο δάσκαλο ο οποίος το ελέγχει και το διαµοιράζει στις υπόλοιπες οµάδες. Η English (1998) προτείνει µια διαφορετική κατηγοριοποίηση που περιλαµβάνει τυπικές και άτυπες µαθηµατικές καταστάσεις. Στις τυπικές µαθηµατικές καταστάσεις εντάσσει µαθηµατικές προτάσεις και στις άτυπες µαθηµατικές καταστάσεις εικόνες, λεκτικές µαθηµατικές καταστάσεις, λογοτεχνικά κείµενα κτλ. Σε έρευνά της µε µαθητές τρίτης δηµοτικού, η English (1998) βρήκε ότι οι µαθητές δυσκολεύτηκαν περισσότερο στην ΚΜΠ µε βάση τις τυπικές µαθηµατικές καταστάσεις, σε αντίθεση µε τις άτυπες µαθηµατικές καταστάσεις. Επιπλέον, τα παιδιά µε διαφορετική επίδοση στην επίλυση προβλήµατος και την αισθητοποίηση αριθµών παρουσίασαν διαφορετικά µοτίβα απαντήσεων, όπως φάνηκε από τη µαθηµατική και συντακτική πολυπλοκότητα των προβληµάτων που κατασκεύασαν. Παρά τη σηµασία που αποδίδεται στην ΚΜΠ και το ενδιαφέρον που επιδεικνύεται, αρκετοί ερευνητές θεωρούν ότι η προσπάθεια διερεύνησης της ικανότητας των µαθητών να κατασκευάζουν προβλήµατα δεν έχει φωτίσει επαρκώς όλες τις πτυχές της ικανότητας αυτής (English, 1998 Silver, 1994). Η English (1997a) εκτιµά ότι δεν γνωρίζουµε αρκετά για την ικανότητα των παιδιών να κατασκευάζουν προβλήµατα µε βάση διάφορες µαθηµατικές καταστάσεις ούτε και για το βαθµό στον οποίο η ικανότητα αυτή σχετίζεται µε την ικανότητά τους σε άλλους τοµείς, όπως για παράδειγµα την αισθητοποίηση των αριθµών. Αναφέρεται ακόµη ότι οι έρευνες εστιάστηκαν περισσότερο στη διερεύνηση της διδακτικής επάρκειας για την ΚΜΠ παρά στη µέτρηση της ποιότητας των προβληµάτων που κατασκεύασαν οι µαθητές (Leung & Silver, 1997). Έχοντας υπόψη τα πιο πάνω, η παρούσα έρευνα διερευνά την ικανότητα των µαθητών να κατασκευάζουν προβλήµατα µε βάση ηµι-δοµηµένες, δοµηµένες και ελεύθερες µαθηµατικές καταστάσεις σε συσχέτιση µε την επίδοσή τους στα µαθηµατικά και τις στάσεις τους ως προς την ΚΜΠ και την ΕΜΠ. Για κάθε µαθηµατική κατάσταση εξετάστηκε η ποιότητα και η µαθηµατική πολυπλοκότητα των προβληµάτων που κατασκεύασαν οι µαθητές. Ειδικότερα, µε την έρευνα αυτή επιχειρήθηκε να δοθεί απάντηση στα πιο κάτω ερωτήµατα: 1. Πόσο ικανοί είναι οι µαθητές να κατασκευάζουν προβλήµατα µε βάση διάφορες µαθηµατικές καταστάσεις (εικόνα, λεκτική µαθηµατική κατάσταση, γραφική παράσταση, µαθηµατικές προτάσεις, ελεύθερη µαθηµατική κατάσταση); 2. Ποια επίδραση έχει το είδος της µαθηµατικής κατάστασης στην ποιότητα και τη µαθηµατική πολυπλοκότητα των προβληµάτων που κατασκευάζουν οι µαθητές; 3. Ποιες διαφορές παρουσιάζουν οι µαθητές µε υψηλή και χαµηλή επίδοση στα µαθηµατικά στην ΚΜΠ; 4. Ποιες είναι οι στάσεις των µαθητών απέναντι στην ΚΜΠ; 2. Μεθοδολογία Τα υποκείµενα της έρευνας αποτέλεσαν 120 µαθητές από πέντε τµήµατα τετάρτης τάξης δηµοτικού που φοιτούσαν σε αστικά σχολεία της Λάρνακας. Αρχικά, δόθηκε στους µαθητές δοκίµιο ΚΜΠ και εξετάστηκαν τα προβλήµατα που κατασκεύασαν ως προς την ποιότητα και τη µαθηµατική τους πολυπλοκότητα. Σε δεύτερο στάδιο, ζητήθηκε από τους δασκάλους των µαθητών η επίδοση των µαθητών µε βάση την οποία χωρίστηκαν οι µαθητές σε δύο οµάδες, υψηλής και χαµηλής επίδοσης στα µαθηµατικά, για να εξεταστούν οι διαφορές τους ως προς την ικανότητα ΚΜΠ.
Το οκίµιο ΚΜΠ: Το δοκίµιο ΚΜΠ αποτελούνταν από δύο µέρη. Το πρώτο µέρος περιλάµβανε πέντε έργα, τα οποία εξέταζαν την ικανότητα ΚΜΠ µε βάση τρεις ηµι-δοµηµένες (εικόνα, λεκτική µαθηµατική κατάσταση, γραφική παράσταση), µία δοµηµένη (µαθηµατικές προτάσεις) και µία ελεύθερη µαθηµατική κατάσταση (κατασκευή ενός προβλήµατος που θα ήταν δύσκολο για ένα συµµαθητή να το επιλύσει). Τα προβλήµατα που κατασκεύασαν οι µαθητές, εξετάστηκαν ως προς την ποιότητα και τη µαθηµατική τους πολυπλοκότητα. Στο δεύτερο µέρος του δοκιµίου, τα υποκείµενα καλούνταν να απαντήσουν στις ακόλουθες τρεις ερωτήσεις που αφορούσαν τις στάσεις τους απέναντι στην ΚΜΠ: (α) Ποιο από τα πιο πάνω έργα (1,2,3,4 ή 5) σου άρεσε περισσότερο και γιατί; (β) Ποιο από τα πιο πάνω έργα (1,2,3,4 ή 5) σου άρεσε λιγότερο και γιατί; (γ) Σου αρέσει περισσότερο να λύνεις ή να κατασκευάζεις προβλήµατα; ικαιολόγησε την απάντησή σου. Κωδικοποίηση δεδοµένων: Για την ανάλυση της ποιότητας και της µαθηµατικής πολυπλοκότητας των προβληµάτων που κατασκεύασαν οι µαθητές χρησιµοποιήθηκε το µοντέλο των Leung και Silver (1997). Κάθε απάντηση των παιδιών ταξινοµήθηκε αρχικά ως πρόβληµα ή ως απλή δήλωση και στη συνέχεια εξετάστηκε η ποιότητα των προβληµάτων µε µια διαδικασία τριών σταδίων. Κάθε πρόβληµα ταξινοµήθηκε ως µαθηµατικό ή µη µαθηµατικό και µετά κάθε µαθηµατικό πρόβληµα κατηγοριοποιήθηκε σε λογικό ή µη λογικό. Λογικά µαθηµατικά προβλήµατα θεωρήθηκαν τα προβλήµατα που το περιεχόµενό τους δεν περιείχε αταίριαστες πληροφορίες και η κατάσταση που περιγραφόταν σ αυτά ήταν εφικτή. Τέλος, τα λογικά µαθηµατικά προβλήµατα κατηγοριοποιήθηκαν σ εκείνα που είχαν επαρκείς πληροφορίες (δηλαδή εκείνα που µπορούσαν να λυθούν µε βάση τις πληροφορίες που βρίσκονταν µέσα στο πρόβληµα που κατασκεύαζε ο µαθητής) και σ εκείνα που δεν είχαν επαρκείς πληροφορίες. Η µαθηµατική πολυπλοκότητα των προβληµάτων κρίθηκε µε βάση τον αριθµό των πράξεων που χρειάζονταν για την επίλυσή τους. Συγκεκριµένα, τα προβλήµατα κατηγοριοποιήθηκαν σε προβλήµατα δύο ή περισσοτέρων πράξεων, σε προβλήµατα µιας πράξης και σε προβλήµατα καµίας πράξης, που µπορούσαν να απαντηθούν χωρίς αριθµητική πράξη. Στατιστικές τεχνικές: Η ανάλυση των δεδοµένων έγινε µε τη βοήθεια του στατιστικού προγράµµατος SPSS. Για την ανάλυση της επίδοσης των µαθητών στα πέντε έργα ΚΜΠ, χρησιµοποιήθηκε περιγραφική στατιστική και για να εξεταστούν οι διαφορές ανάµεσα στους µαθητές ανάλογα µε την επίδοσή τους χρησιµοποιήθηκε επαγωγική στατιστική και συγκεκριµένα το κριτήριο t-test pairs. 3. Αποτελέσµατα 3.1. Κατασκευή προβληµάτων µε βάση διάφορες µαθηµατικές καταστάσεις Ένας πρώτος στόχος της έρευνας ήταν να διερευνήσει την ικανότητα των µαθητών να κατασκευάζουν προβλήµατα µε βάση διάφορες µαθηµατικές καταστάσεις. Για το σκοπό αυτό έγινε ανάλυση της ποιότητας και της µαθηµατικής πολυπλοκότητας των προβληµάτων που κατασκεύασαν οι µαθητές. 3.1.1. Κατασκευή προβληµάτων µε βάση τις ηµι-δοµηµένες µαθηµατικές καταστάσεις Τα τρία πρώτα έργα του δοκιµίου αφορούσαν στην ΚΜΠ µε βάση ηµι-δοµηµένες µαθηµατικές καταστάσεις (εικόνα, λεκτική µαθηµατική κατάσταση, γραφική παράσταση). Οι απαντήσεις των µαθητών µε βάση τις καταστάσεις αυτές παρουσιάζονται αναλυτικά στον Πίνακα 1.
Κατασκευή προβληµάτων µε βάση την εικόνα Το πρώτο έργο του δοκιµίου αφορούσε στην ΚΜΠ µε βάση µια εικόνα που παρουσίαζε τη βιτρίνα ενός περιπτέρου µε τις τιµές διαφόρων προϊόντων. Όπως φαίνεται από τον Πίνακα 1, οι µαθητές κατασκεύασαν προβλήµατα υψηλής ποιότητας µε βάση την εικόνα. Συγκεκριµένα, δόθηκαν 344 απαντήσεις από τις οποίες το 86,34% ταξινοµήθηκαν ως µαθηµατικά προβλήµατα, το 84,88% ως λογικά µαθηµατικά προβλήµατα και το 84,3% ως λογικά µαθηµατικά προβλήµατα µε επαρκείς πληροφορίες. Ποσοστό 12,8% του συνόλου των απαντήσεων των µαθητών ήταν απλές δηλώσεις, δηλαδή σχόλια για την εικόνα χωρίς ερώτηση (π.χ. «Το µολύβι στοιχίζει 10 σεντ και η ρίγα 20 σεντ»). Όσον αφορά στη µαθηµατική πολυπλοκότητα, παρατηρήθηκε ότι το µεγαλύτερο ποσοστό των απαντήσεων των µαθητών (47,67%) ήταν προβλήµατα δύο ή περισσοτέρων πράξεων (π.χ. «Έχω 50 σεντ. Θέλω να αγοράσω δύο ξύστρες και ένα κουτί χρωµατιστά. Πόσα χρειάζοµαι ακόµα;»). Ένα σηµαντικό ποσοστό των απαντήσεων που δόθηκαν (34,59%) ήταν προβλήµατα µιας πράξης (π.χ. «Είχα 1 και αγόρασα ένα κουτί χρωµατιστά. Πόσα µου έµειναν;») ενώ ένα πολύ µικρό ποσοστό ήταν προβλήµατα µηδενικών βηµάτων (2,03%), δηλαδή προβλήµατα που µπορούσαν να απαντηθούν άµεσα από την εικόνα, χωρίς να απαιτείται µαθηµατική πράξη (π.χ. «Πήγα στο βιβλιοπωλείο και αγόρασα ένα κουτί χρωµατιστά. Πόσα πλήρωσα;») Κατασκευή προβληµάτων µε βάση τη λεκτική µαθηµατική κατάσταση Το δεύτερο έργο αφορούσε στην ΚΜΠ µε βάση µια µικρή µαθηµατική ιστορία από την οποία έλειπε η ερώτηση («Η Μαρία έχει κάποια χρήµατα στην τσέπη της. Έχει διπλάσια χρήµατα από την Ελένη. Η Ελένη έχει 20 σεντ περισσότερα από τον Κώστα. Ο Κώστας έχει 30 σεντ».) Όπως φαίνεται στον Πίνακα 1, οι µαθητές ήταν σε θέση να κατασκευάσουν προβλήµατα υψηλής ποιότητας µε βάση τη λεκτική µαθηµατική κατάσταση. Από τις 328 απαντήσεις, το 97,02% ταξινοµήθηκαν ως µαθηµατικά προβλήµατα, το 87,5% ως λογικά µαθηµατικά προβλήµατα και το 86,59% ως λογικά µαθηµατικά προβλήµατα µε επαρκείς πληροφορίες. Ένα ποσοστό 7,01% των απαντήσεων των µαθητών ήταν απλές δηλώσεις (π.χ. «Ο Κώστας έχει τα πιο λίγα λεφτά»). Μόνο ένα πολύ µικρό ποσοστό (0,91%) απαντήσεων ταξινοµήθηκαν ως µη µαθηµατικά προβλήµατα. Αξιοσηµείωτο είναι το γεγονός ότι τα προβλήµατα αυτά αναφέρονταν κυρίως σε ζητήµατα ηθικής, π.χ. «Γιατί η Μαρία έχει περισσότερα από την Ελένη;» Όσον αφορά στη µαθηµατική πολυπλοκότητα, το µεγαλύτερο ποσοστό των απαντήσεων (60,67%) ήταν προβλήµατα δύο πράξεων και άνω (π.χ. «Πόσα χρήµατα έχουν και τα τρία παιδιά µαζί;»). Ένα ποσοστό 19,82% ήταν προβλήµατα µιας πράξης (π.χ. «Πόσα χρήµατα έχει η Ελένη;») ενώ ένα µικρό ποσοστό (6,1%) ήταν προβλήµατα µηδενικών βηµάτων (π.χ. «Πόσα χρήµατα έχει ο Κώστας;») Κατασκευή προβληµάτων µε βάση τη γραφική παράσταση Το τρίτο έργο ΚΜΠ είχε ως βάση µια γραφική παράσταση η οποία αφορούσε στο τηλεοπτικό πρόγραµµα που προτιµούν τα παιδιά ενός δηµοτικού σχολείου Όπως φαίνεται από τον Πίνακα 1, οι µαθητές κατασκεύασαν προβλήµατα υψηλής ποιότητας, αλλά χαµηλής µαθηµατικής πολυπλοκότητας µε βάση τη γραφική παράσταση. Όσον αφορά στην ποιότητα των προβληµάτων, το 90,48% από τις 336 απαντήσεις ήταν µαθηµατικά προβλήµατα, το 88,69% λογικά µαθηµατικά προβλήµατα και το 88,09% λογικά µαθηµατικά προβλήµατα µε επαρκείς πληροφορίες. Ένα ποσοστό 7,78% του συνόλου των απαντήσεων αφορούσε δηλώσεις (π.χ. «Τις κυπριακές σειρές τις προτιµούν οι περισσότεροι»).
Όσον αφορά στη µαθηµατική πολυπλοκότητα, το µεγαλύτερο ποσοστό των απαντήσεων (40,47%) ήταν προβλήµατα µιας πράξης (π.χ. «Πόσα περισσότερα παιδιά προτιµούν τις κυπριακές σειρές από τις ταινίες;»). Ένα αρκετά µεγάλο ποσοστό (30,65%) ήταν προβλήµατα µηδενικών βηµάτων (π.χ. «Πόσα παιδιά προτιµούν τα κινούµενα σχέδια;») ενώ µόνο το 16,96% ήταν προβλήµατα δύο πράξεων και άνω (π.χ. «Πόσα είναι όλα τα παιδιά του σχολείου;»). Αυτό δεν είναι σύµφωνο µε τις δύο προηγούµενες µαθηµατικές καταστάσεις στις οποίες τα περισσότερα προβλήµατα που κατασκευάστηκαν ήταν δύο πράξεων και άνω. 3.1.2. Κατασκευή προβλήµατος που θα ήταν δύσκολο για ένα συµµαθητή να το λύσει Όπως φαίνεται στον Πίνακα 2, οι µαθητές κατασκεύασαν προβλήµατα υψηλής ποιότητας µε βάση την ελεύθερη µαθηµατική κατάσταση. Από τις 107 απαντήσεις, το 88,78% ήταν µαθηµατικά προβλήµατα, το 79,44% λογικά µαθηµατικά προβλήµατα και το 72,89% λογικά µαθηµατικά προβλήµατα µε επαρκείς πληροφορίες. Όσον αφορά στη µαθηµατική πολυπλοκότητα, το µεγαλύτερο ποσοστό των απαντήσεων ήταν προβλήµατα µιας πράξης (43,92%). Ένα 27,1% ήταν προβλήµατα δύο πράξεων και άνω τα οποία, ωστόσο, περιλάµβαναν κυρίως διαδοχικές προσθέσεις και αφαιρέσεις. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το είδος των προβληµάτων που κατασκεύασαν οι µαθητές. Η πλειοψηφία των µαθητών κατασκεύασε προβλήµατα ακεραίων, ενώ σε ελάχιστες περιπτώσεις κατασκευάστηκαν προβλήµατα µε κλάσµατα. Ένα πολύ µικρό ποσοστό µαθητών προσπάθησε να κατασκευάσει προβλήµατα διαδικασίας παρόµοια ή ίδια µε αυτά που διδάχθηκαν στην τάξη (π.χ. «Έχω ένα κουβά των 5 λίτρων και ένα κουβά των 3 λίτρων. Τι πρέπει να κάνω για να πάρω 4 λίτρα νερό;»). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση ενός µαθητή που έθεσε ένα πρόβληµα χωρίς λύση: «Όταν πήγα πέρσι το καλοκαίρι στην κατασκήνωση, προσπάθησα να µετρήσω τα αστέρια. Εσύ µπορείς να µετρήσεις τ αστέρια;» Χαρακτηριστικό είναι επίσης το γεγονός ότι η πλειοψηφία των µαθητών χρησιµοποίησε µεγάλους ή δύσκολους αριθµούς στα προβλήµατα που κατασκεύασε. Το αποτέλεσµα αυτό δείχνει ότι οι περισσότεροι µαθητές φάνηκε να θεωρούν ότι δύσκολα προβλήµατα είναι αυτά που έχουν µεγάλους και δύσκολους αριθµούς και όχι αυτά που χρειάζονται πολλά στάδια για να επιλυθούν. 3.1.3. Κατασκευή προβληµάτων µε βάση τις µαθηµατικές προτάσεις Το πέµπτο έργο του δοκιµίου αφορούσε στην ΚΜΠ από µαθηµατικές προτάσεις. Στη συγκεκριµένη περίπτωση δεν έγινε ανάλυση της µαθηµατικής πολυπλοκότητας, καθώς αυτή υπαγορευόταν από τις ίδιες τις µαθηµατικές προτάσεις. Όπως φαίνεται από τον Πίνακα 3, οι µαθητές δυσκολεύτηκαν στην ΚΜΠ από µαθηµατικές προτάσεις, καθώς το επίπεδο της ποιότητας των προβληµάτων που κατασκεύασαν ήταν αρκετά χαµηλό. Ένα σηµαντικό ποσοστό των απαντήσεων (31,90%) ταξινοµήθηκαν ως µη λογικά προβλήµατα, καθώς δεν ανταποκρίνονταν στη µαθηµατική πρόταση η οποία δινόταν. Το φαινόµενο αυτό παρατηρήθηκε κυρίως στην τρίτη µαθηµατική πρόταση η οποία περιλάµβανε δύο πράξεις (25+5)Χ30). Στο έργο αυτό, πολλοί µαθητές είτε έγραφαν προβλήµατα τα οποία αφορούσαν άλλες πράξεις από αυτές που περιλαµβάνονταν στη µαθηµατική πρόταση, είτε έγραφαν προβλήµατα πολλαπλασιασµού µιας πράξης, αφού εκτελούσαν την πρόσθεση της παρένθεσης και έβαζαν το άθροισµα των δύο παραγόντων ως δεδοµένο του προβλήµατος (π.χ. «Η βιβλιοθήκη µου έχει 30 ράφια. Σε κάθε ράφι έχω 30 βιβλία. Πόσα είναι όλα τα βιβλία στη βιβλιοθήκη µου;»). Επίσης, οι περισσότεροι µαθητές έγραφαν πάνω στο δοκίµιο το αποτέλεσµα της µαθηµατικής πρότασης, έστω κι αν αυτό δεν τους ζητήθηκε. 3.2. Επίδραση του είδους της µαθηµατικής κατάστασης στην ΚΜΠ
Το δεύτερο ερώτηµα της έρευνας αφορούσε στην επίδραση του είδους της µαθηµατικής κατάστασης στην ΚΜΠ. Για το σκοπό αυτό, έγινε µια σύγκριση της ποιότητας και της µαθηµατικής πολυπλοκότητας των προβληµάτων που κατασκεύασαν οι µαθητές µε βάση τέσσερις από τις µαθηµατικές καταστάσεις (εικόνα, λεκτική µαθηµατική κατάσταση, γραφική παράσταση, µαθηµατικές προτάσεις). Όπως έδειξαν τα αποτελέσµατα, οι µαθητές κατασκεύασαν πιο υψηλής ποιότητας προβλήµατα µε βάση τη γραφική παράσταση. Ποσοστό 88,09% των προβληµάτων που κατασκευάστηκαν µε βάση την κατάσταση ήταν λογικά µαθηµατικά προβλήµατα. Τα προβλήµατα που κατασκευάστηκαν µε βάση την εικόνα υστερούσαν σε ποιότητα από τα προβλήµατα µε βάση τη λεκτική µαθηµατική κατάσταση και τη γραφική παράσταση ενώ τα προβλήµατα χαµηλότερης ποιότητας κατασκευάστηκαν µε βάση τις µαθηµατικές προτάσεις. Όσον αφορά στη µαθηµατική πολυπλοκότητα, οι µαθητές κατασκεύασαν το µεγαλύτερο αριθµό προβληµάτων πολλών πράξεων µε βάση τη λεκτική µαθηµατική κατάσταση (60,67%). Το αντίστοιχο ποσοστό για την εικόνα ήταν 47,67%, ενώ για τη γραφική παράσταση ήταν πολύ µικρότερο (16,96%). 3.3. Συσχέτιση ανάµεσα στην ικανότητα ΚΜΠ και την επίδοση στα µαθηµατικά Ο τρίτος στόχος της έρευνας ήταν η εξέταση της συσχέτισης ανάµεσα στην ικανότητα ΚΜΠ και την επίδοση στα µαθηµατικά. Για το σκοπό αυτό, έγινε ανάλυση των διαφορών µεταξύ των µαθητών µε υψηλή επίδοση (ΥΕ) και χαµηλή επίδοση στα µαθηµατικά (ΧΕ) µε τη χρήση του στατιστικού κριτηρίου t. Από τη µελέτη του Πίνακα 4 προκύπτει ότι οι µαθητές µε υψηλή επίδοση στα µαθηµατικά υπερείχαν των µαθητών µε χαµηλή επίδοση στα µαθηµατικά, τόσο στην ποιότητα όσο και στη µαθηµατική πολυπλοκότητα των προβληµάτων που κατασκεύασαν. Η διαφορά αυτή ήταν στατιστικά σηµαντική και στα τέσσερα έργα ΚΜΠ. Από τον Πίνακα 4 προκύπτει επίσης ότι τόσο οι µαθητές µε ΥΕ όσο και οι µαθητές µε ΧΕ κατασκεύασαν τα περισσότερα λογικά µαθηµατικά προβλήµατα µε επαρκείς πληροφορίες µε βάση τη γραφική παράσταση. Οι µαθητές µε ΥΕ κατασκεύασαν προβλήµατα µεγαλύτερης µαθηµατικής πολυπλοκότητας µε βάση την εικόνα ( Χ=2,19) ενώ οι µαθητές µε ΧΕ κατασκεύασαν προβλήµατα µεγαλύτερης µαθηµατικής πολυπλοκότητας µε βάση τη λεκτική µαθηµατική κατάσταση ( Χ =0,71). 3.4. Στάσεις των µαθητών απέναντι στην ΚΜΠ Στο δεύτερο µέρος του δοκιµίου ΚΜΠ, τα υποκείµενα κλήθηκαν να αναφέρουν ποιο από τα έργα του δοκιµίου προτιµούσαν περισσότερο και ποιο λιγότερο, δικαιολογώντας την απάντησή τους. Το µεγαλύτερο ποσοστό των µαθητών (46,67%) έδειξε προτίµηση προς την εικόνα ενώ ένα µικρότερο ποσοστό δήλωσε ότι προτιµά τη λεκτική µαθηµατική κατάσταση (15%) ή τη γραφική παράσταση (15%). Το µικρότερο ποσοστό προτίµησης συγκέντρωσαν η ελεύθερη µαθηµατική κατάσταση (12,5%) και οι µαθηµατικές προτάσεις (10,83%). Όσον αφορά στο έργο που προτιµήθηκε λιγότερο, αυτό είναι οι µαθηµατικές προτάσεις (31,67%). Ένα 21,67% των µαθητών δήλωσε ότι προτιµά λιγότερο την ελεύθερη µαθηµατική κατάσταση ενώ ένα µικρότερο ποσοστό δήλωσε ότι προτιµά λιγότερο την εικόνα (17,5%) ή τη γραφική παράσταση (15,83%). Το έργο µε τις λιγότερες αρνητικές προτιµήσεις ήταν η λεκτική µαθηµατική κατάσταση (14,16%). Το τρίτο ερώτηµα που τέθηκε στους µαθητές ήταν κατά πόσο προτιµούν την ΚΜΠ ή την ΕΜΠ. Όπως φάνηκε από τις απαντήσεις των µαθητών, η πλειοψηφία (52,5%) προτιµά περισσότερο την ΚΜΠ από ότι την ΕΜΠ (35,83%). Η προτίµηση αυτή είναι φανερή τόσο στους µαθητές µε υψηλή επίδοση (54,84%) όσο και στους µαθητές µε χαµηλή επίδοση (45,83%) στα µαθηµατικά. Ένα ποσοστό 5,83% των µαθητών δήλωσε ότι προτιµά και τις δύο δραστηριότητες.
Η προτίµησή των µαθητών στην ΚΜΠ, όπως φάνηκε από τις απαντήσεις τους, οφείλεται στο ότι τη θεωρούν πιο εύκολη, πιο δηµιουργική και πιο ενδιαφέρουσα από την ΕΜΠ. Χαρακτηριστικά σχόλια για την προτίµηση στην ΚΜΠ ήταν τα εξής: «γιατί είναι πιο εύκολο από το να λύνω προβλήµατα», «γιατί για να κατασκευάζεις προβλήµατα χρειάζεται φαντασία ενώ για να λύνεις χρειάζονται πράξεις», «γιατί δεν θα είναι ανάγκη να τα λύνω και δεν µου αρέσει να λύνω προβλήµατα», «γιατί θα κατασκευάζω προβλήµατα που θα είναι εύκολα και θα τα καταλαβαίνω». Αιτιολογώντας την προτίµηση τους στην ΕΜΠ, αρκετοί µαθητές ανέφεραν ότι είναι µια εύκολη διαδικασία που τους δίνει την ευκαιρία να µάθουν περισσότερα («Μου αρέσει περισσότερο να λύνω προβλήµατα γιατί είναι πιο εύκολο από το να κατασκευάζεις δικά σου», «Να λύνω προβλήµατα γιατί έτσι µαθαίνω περισσότερα.»). Ορισµένοι µαθητές έδειξαν να ταυτίζουν την ΕΜΠ µε την εκτέλεση αριθµητικών πράξεων («Μου αρέσει περισσότερο να λύνω γιατί µου αρέσει η πρόσθεση, η αφαίρεση, ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση»). 5. Συζήτηση Το πρώτο ερώτηµα της έρευνας ήταν να διερευνήσει την ικανότητα των µαθητών δηµοτικού να κατασκευάζουν προβλήµατα µε βάση ηµι-δοµηµένες, δοµηµένες και ελεύθερες µαθηµατικές καταστάσεις. Όπως έδειξαν τα αποτελέσµατα της έρευνας, οι µαθητές ήταν σε θέση να κατασκευάζουν προβλήµατα υψηλής σχετικά ποιότητας µε βάση τις ηµι-δοµηµένες µαθηµατικές καταστάσεις και την ελεύθερη µαθηµατική κατάσταση ενώ παρουσίασαν µεγάλη δυσκολία στην κατασκευή λογικών µαθηµατικών προβληµάτων µε βάση τις µαθηµατικές προτάσεις. Το εύρηµα ότι οι µαθητές συνάντησαν µεγαλύτερη δυσκολία στην ΚΜΠ µε βάση µαθηµατικές προτάσεις συµφωνεί µε τα ευρήµατα της English (1998) η οποία βρήκε ότι τα παιδιά τρίτης δηµοτικού δυσκολεύονται περισσότερο να κατασκευάσουν προβλήµατα µε βάση τυπικές µαθηµατικές καταστάσεις παρά µε βάση καταστάσεις χωρίς µαθηµατικό συµβολισµό. Μια ερµηνεία για το εύρηµα αυτό είναι ότι καθώς οι µαθητές δεν ενθαρρύνονται να συνδέουν τα µαθηµατικά του σχολείου µε τις εµπειρίες τους, συχνά δυσκολεύονται να αντιληφθούν τις τυπικές µαθηµατικές προτάσεις ως αναπαραστάσεις λεκτικών προβληµάτων (English, 1998). Η αποσύνδεση των άτυπων µαθηµατικών γνώσεων των µαθητών από τα τυπικά µαθηµατικά του σχολείου, µπορεί να «απαγορεύσει» τις προσπάθειές τους να κατασκευάζουν προβλήµατα µε βάση τυπικές µαθηµατικές καταστάσεις. Παρόλο που η πλειοψηφία των µαθητών ήταν σε θέση να κατασκευάζει προβλήµατα υψηλής ποιότητας µε βάση τις ηµι-δοµηµένες και την ελεύθερη µαθηµατική κατάσταση, θα πρέπει να επισηµανθεί ότι υπήρχε ένα ποσοστό των µαθητών που έκανε απλές δηλώσεις µε βάση τις διάφορες µαθηµατικές καταστάσεις ή κατασκεύαζε µη λογικά µαθηµατικά προβλήµατα. Ανάλογη συµπεριφορά επέδειξαν και µελλοντικοί δάσκαλοι σε έρευνα των Leung και Silver (1997). Το µεγαλύτερο ποσοστό δηλώσεων παρατηρήθηκε στην περίπτωση της εικόνας ενώ ένα µικρότερο ποσοστό παρατηρήθηκε στην περίπτωση της λεκτικής µαθηµατικής κατάστασης και της γραφικής παράστασης. Το αποτέλεσµα αυτό εισηγείται ότι υπάρχει περιθώριο για βελτίωση της ικανότητας ΚΜΠ αν υπάρξει µια συστηµατική διδασκαλία που να στοχεύει στην ανάπτυξη της ικανότητας αυτής. Όσον αφορά στη µαθηµατική πολυπλοκότητα των προβληµάτων που κατασκευάστηκαν, παρατηρήθηκε ότι στην περίπτωση της εικόνας και της λεκτικής µαθηµατικής κατάστασης τα πιο πολλά προβλήµατα που κατασκεύασαν οι µαθητές ήταν προβλήµατα πολλών πράξεων, ενώ στην περίπτωση της γραφικής παράστασης και της ελεύθερης µαθηµατικής κατάστασης ήταν προβλήµατα µιας πράξης. Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι στην περίπτωση της εικόνας, ακόµα κι αν τα περισσότερα προβλήµατα ήταν προβλήµατα πολλών πράξεων, ένα σηµαντικό ποσοστό των
προβληµάτων ήταν προβλήµατα µιας πράξης. Τα ευρήµατα αυτά δείχνουν ότι υπάρχει ακόµα µεγάλο περιθώριο βελτίωσης της ικανότητας ΚΜΠ από τους µαθητές. Μια ενδιαφέρουσα παρατήρηση που προκύπτει από τα αποτελέσµατα είναι ότι η πλειοψηφία των µαθητών χρησιµοποίησε µεγάλους ή δύσκολους αριθµούς στα προβλήµατα που κατασκεύασε µε βάση την ελεύθερη µαθηµατική κατάσταση. Το αποτέλεσµα αυτό δείχνει ότι οι περισσότεροι µαθητές θεωρούν ότι δύσκολα προβλήµατα είναι αυτά που έχουν µεγάλους και δύσκολους αριθµούς και όχι αυτά που χρειάζονται πολλά στάδια για να επιλυθούν. Τα πιο πάνω ευρήµατα παρέχουν κάποιες χρήσιµες ενδείξεις για τη διδασκαλία της κατασκευής προβλήµατος στην τάξη. Συγκεκριµένα, τα ευρήµατα αυτά εισηγούνται ότι θα ήταν προτιµότερο η διδασκαλία ΚΜΠ να ξεκινά πρώτα µε δραστηριότητες κατά τις οποίες τα παιδιά να κατασκευάζουν δικές τους ερωτήσεις από εικόνες, λεκτικές µαθηµατικές καταστάσεις και γραφικές παραστάσεις και να επεκτείνεται σε δραστηριότητες ΚΜΠ από πιο δοµηµένες µαθηµατικές καταστάσεις. Ανάλογη εισήγηση έχουν κάνει και οι Silver et al. (1996) ενώ η Gonzales (1998) έχει επίσης προτείνει αυτή τη σειρά δραστηριοτήτων στις πέντε φάσεις που εισηγείται για µια αποτελεσµατική διδασκαλία ΚΜΠ. Επιπλέον, τα παραπάνω ευρήµατα εισηγούνται ότι οι δάσκαλοι µπορούν και θα πρέπει να εκµεταλλευτούν όλες τις καταστάσεις που προκύπτουν στα πλαίσια των µαθηµατικών του σχολείου (εικόνες, λεκτικές µαθηµατικές καταστάσεις, γραφικές παραστάσεις, µαθηµατικές προτάσεις) για την προώθηση δραστηριοτήτων ΚΜΠ. Με τη διαπίστωση αυτή συµφωνεί και η English (1998), η οποία αναφέρει ότι χρειάζεται να διευρύνουµε τους τύπους των προβληµάτων που παρουσιάζουµε στα παιδιά και να τα βοηθήσουµε να συνδέσουν τις εµπειρίες τους µε τα µαθηµατικά του σχολείου ενθαρρύνοντας καθηµερινά την ΚΜΠ. Όπως αναφέρουν οι Silverman et al. (1992), κάθε µαθηµατική διδασκαλία θα πρέπει να ενθαρρύνει τους µαθητές να κατασκευάζουν προβλήµατα από όλες τις εµπειρίες που προκύπτουν στο πλαίσιο των µαθηµατικών του σχολείου ή ακόµα και στην καθηµερινή ζωή. Ένα από τα σηµαντικότερα ευρήµατα της έρευνας ήταν ότι υπάρχει στενή συσχέτιση ανάµεσα στην ικανότητα ΚΜΠ και την επίδοση στα µαθηµατικά. Οι µαθητές µε υψηλή επίδοση στα µαθηµατικά κατασκεύασαν προβλήµατα υψηλότερης ποιότητας και µαθηµατικής πολυπλοκότητας από τους µαθητές µε χαµηλή επίδοση στα µαθηµατικά και η διαφορά αυτή ήταν στατιστικά σηµαντική στα διάφορα έργα ΚΜΠ. Το εύρηµα αυτό συµφωνεί µε τα ευρήµατα ανάλογων ερευνών όπως για παράδειγµα της Ellerton (1986) η οποία σε έρευνά της µε µαθητές γυµνασίου βρήκε ότι οι πιο ικανοί µαθητές κατασκεύασαν προβλήµατα που χρειάζονταν περισσότερες πράξεις για να επιλυθούν από ότι οι λιγότερο ικανοί συµµαθητές τους. Ανάλογα ήταν και τα ευρήµατα των Leung και Silver (1997) τα οποία έδειξαν µια ουσιαστική συσχέτιση ανάµεσα στην ποιότητα των προβληµάτων που κατασκευάστηκαν από µελλοντικούς δασκάλους και το επίπεδο των µαθηµατικών τους γνώσεων. Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα ευρήµατα της έρευνας ήταν ότι όλοι οι µαθητές να προτιµούν τη διαδικασία ΚΜΠ έναντι της ΕΜΠ καθώς τη θεωρούν µια πιο εύκολη, δηµιουργική και ενδιαφέρουσα δραστηριότητα. Το εύρηµα αυτό συµφωνεί µε την άποψη των Brown και Walter (1990) καθώς και του Menon (1996) ότι η ΚΜΠ είναι µια λιγότερο «απειλητική» διαδικασία για τους µαθητές από ότι η ΕΜΠ και ότι η ενσωµάτωση δραστηριοτήτων ΚΜΠ στη διδασκαλία µπορεί να συµβάλει στην ανάπτυξη του ενδιαφέροντος των µαθητών απέναντι στα µαθηµατικά. Το εύρηµα αυτό µπορεί παράλληλα να ερµηνευθεί µε βάση την άποψη των Moses et al. (1990) ότι οι µαθητές είναι πιο πρόθυµοι να συµµετάσχουν σε δραστηριότητες ΚΜΠ καθώς σε αυτές δεν
υπάρχει µία και µόνο ορθή απάντηση, αλλά οι µαθητές αφήνονται ελεύθεροι να δηµιουργήσουν προβλήµατα µε βάση τις δικές τους εµπειρίες και ενδιαφέροντα. Αναφορές Brown, S. I. (1984). The logic of problem generation: From morality and solving to de-posing and rebellion. For the Learning of Mathematics, 4 (1), 9-20. Brown, S. I. & Walter, M. I. (1990). The art of problem posing. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Brown, S. I. & Walter, M. I. (Eds.). (1993). Problem posing: Reflections and applications. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Ellerton, N. F. (1986). Children s made up mathematics problems - A new perspective on talented mathematicians. Educational Studies in Mathematics, 17, 261-271. English, L. D. (1997 a). The development of fifth-grade children s problem posing abilities. Educational Studies in Mathematics, 34, 183-217. English, L. D. (1997 b). Development of seventh-grade students problem posing. In E. Pehkonen (Ed.), Proceedings of the twenty-first annual meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Volume II (pp.241-248). University of Helsinki, Lahti Research and Training Center. English, L. D. (1998). Children s problem posing within formal and informal contexts. Journal for Research in Mathematics Education, 29 (1), 83-106. Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: Reidel. Gonzales, N. (1998). A blueprint for problem posing. School Science and Mathematics, 98 (8), 448-453. Haylock, D. W. (1987). A framework for assessing mathematical creativity in school children. Educational Studies in Mathematics, 18, 59-74. Kilpatrick, J. (1987). Problem formulating: Where do good problems come from? In A. H. Schoenfeld (Ed.), Cognitive science and mathematics education (pp.123-147). Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Leung, S. S. (1993). Mathematical problem posing: the influence of task formats, mathematics knowledge, and creative thinking. In I. Hirabayashi, N. Nahda, K. Shigematsu, & F. Lin (Eds.), Proceedings of the seventeenth annual meeting of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Volume III (pp. 33-40). Tsukuba, Japan. Leung, S. S. & Silver, E.A. (1997). The role of task format, mathematics knowledge, and creative thinking on the arithmetic problem posing of prospective elementary school teachers. Mathematics Education Research Journal, 2 (1), 5-24. Menon, R. (1996). Mathematical communication through student-constructed questions. Teaching Children Mathematics, 2 (9), 530-533. Moses, B., Bjork, E., & Goldenberg, E. P. (1990). Beyond problem solving: problem posing. In T. Cooney & C. Hirsch (Eds.), Teaching and learning mathematical problem solving in the 1990 s (pp. 1-11). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. NCTM (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA: Author. NCTM (1991). Professional standards for teaching mathematics. Reston, VA: Author. Polya, G. (1954). Mathematics and plausible reasoning. Princeton, NJ: Princeton University Press. Polya, G. (1957). How to solve it (2 nd ed.). New York: Doubleday. Silver, E. A. (1994). On mathematical problem posing. For the Learning of Mathematics, 14 (1), 19-28. Silver, E. A. & Mamona, J. (1989). Problem posing by middle school teachers. In C. Maher, G. Goldin & R. Davis (Eds.), Proceedings of the eleventh annual meeting of the North American chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp.263-269). New Brunswick, NJ. Silver, E. A. & Cai, J. (1996). An analysis of arithmetic problem posing by middle school students. Journal for Research in Mathematics Education, 27 (5), 521-539. Silver, E. A. et al. (1996). Posing mathematical problems: An exploratory study. Journal for Research in Mathematics Education, 27 (3), 293-309. Silverman, F., Winograd, K., & Strohauer, D. (1992). Student-generated story problems. Arithmetic Teacher, 42, 6-12.
Abstract In the present study, we examined fourth grade students problem posing abilities within structured, semi-structured and free mathematical situations, in relation to their achievement in mathematics. One hundred and twenty students were asked to pose problems from five different mathematical situations. The problems posed by the students were examined according to their quality and mathematical complexity. As the results have shown, the students posed problems of high quality and mathematical complexity from the semi-structured and the free mathematical situation, but had difficulty in posing plausible mathematical problems from mathematical sentences. The results have also shown a statistically significant relationship between students problem posing ability and their achievement in mathematics. All the students, regardless of their achievement in mathematics, stated that they prefer problem posing to problem solving activities.
Πίνακας 1 Ποιότητα και πολυπλοκότητα των προβληµάτων που κατασκευάστηκαν µε βάση τις ηµιδοµηµένες µαθηµατικές καταστάσεις Εξέταση των απαντήσεων Κατηγορίες απαντήσεων Εικόνα Μαθηµατική κατάσταση Λεκτική µαθηµατική κατάσταση Γραφική παράσταση Ν % Ν % Ν % Προβλήµατα 300 87,21 305 92,99 310 92,22 Απλές ηλώσεις 44 12,79 23 7,01 26 7,78 Μαθηµατικά προβλήµατα 297 86,34 302 92,07 304 90,48 Μη µαθηµατικά προβλήµατα 3 0,87 3 0,91 6 17,86 Ποιότητα Λογικά µαθηµατικά προβλήµατα 292 84,88 287 87,5 298 88,69 Μη λογικά µαθηµατικά προβλήµατα 5 1,45 15 4,57 6 17,86 Λογικά µαθηµατικά προβλήµατα µε 290 84,30 284 86,59 296 88,09 επαρκείς πληροφορίες Λογικά µαθηµατικά προβλήµατα µε µη επαρκείς πληροφορίες 2 0,58 3 0,91 2 0,6 Προβλήµατα δύο πράξεων και άνω 164 47,67 199 60,67 57 16,96 Μαθηµατική Προβλήµατα µιας πράξης 119 34,59 65 19,82 136 40,47 Πολυπλοκότητα Προβλήµατα µηδενικών βηµάτων 7 2,03 20 6,1 103 30,65 Πίνακας 2 Ποιότητα και πολυπλοκότητα των προβληµάτων που κατασκευάστηκαν µε βάση την ελεύθερη µαθηµατική κατάσταση Εξέταση των απαντήσεων Κατηγορίες απαντήσεων Ν % Προβλήµατα 101 94,39 Απλές ηλώσεις 6 5,61 Μαθηµατικά προβλήµατα 95 88,78 Μη µαθηµατικά προβλήµατα 6 5,61 Ποιότητα Λογικά µαθηµατικά προβλήµατα 85 79,44 Μη λογικά µαθηµατικά προβλήµατα 10 9,34 Λογικά µαθηµατικά προβλήµατα µε 78 72,89 επαρκείς πληροφορίες Λογικά µαθηµατικά προβλήµατα µε µη επαρκείς πληροφορίες 7 6,54 Προβλήµατα δύο πράξεων και άνω 29 27,1 Μαθηµατική Προβλήµατα µιας πράξης 47 43,92 πολυπλοκότητα Προβλήµατα µηδενικών βηµάτων 2 1,87
Πίνακας 3 Η ποιότητα των προβληµάτων που κατασκευάστηκαν από τις µαθηµατικές προτάσεις Κατηγοριοποίηση απαντήσεων ως προς την ποιότητα Ν % Προβλήµατα 269 96,42 Απλές ηλώσεις 10 3,58 Μαθηµατικά προβλήµατα 269 96,42 Μη µαθηµατικά προβλήµατα 0 0 Λογικά µαθηµατικά προβλήµατα 180 64,51 Μη λογικά µαθηµατικά προβλήµατα 89 31,90 Πίνακας 4 Σύγκριση της ικανότητας ΚΜΠ µαθητών µε υψηλή και χαµηλή επίδοση στα µαθηµατικά Έργο Οµάδα Λογικά προβλήµατα µε επαρκείς πληροφορίες Εικόνα Προβλήµατα δύο πράξεων και άνω Χ t Χ t ΥΕ 2,87 4,813* 2,19 6,445* ΧΕ 1,58 0,63 Λεκτική µαθ. κατάσταση Γραφική παράσταση Μαθηµατικές προτάσεις * p 0,01 ΥΕ 2,97 7,028* 2,10 6,194* ΧΕ 1,21 0,71 ΥΕ 2,90 5,890* 0,65 2,679* ΧΕ 1,29 0,21 ΥΕ 1,68 5,190* ----------- -------- ΧΕ 0,38 ------------ --------