ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Γρηγόριος ΜΑΝΟΥΚΑΣ 1, Ασηµίνα ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ 2, Ιωάννης ΑΒΡΑΜΙ ΗΣ 3

3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισµικής Μηχανικής & Τεχνικής Σεισµολογίας 5 7 Νοεµβρίου, 2008 Άρθρο 1794 Στατική Υπερωθητική Ανάλυση σε Χωρικά Συστήµατα - Κανονιστικές ιατάξεις και Προβλήµατα Εφαρµογής Static Pushover Analysis for Spatial Systems - Code Provisions and Application Problems Γρηγόριος ΜΑΝΟΥΚΑΣ 1, Ασηµίνα ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ 2, Ιωάννης ΑΒΡΑΜΙ ΗΣ 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ : H Στατική Υπερωθητική Ανάλυση (ΣΥΑ) είναι µια διαδεδοµένη µέθοδος για την προσεγγιστική εκτίµηση της ανελαστικής συµπεριφοράς των κατασκευών, η οποία τα τελευταία χρόνια υιοθετήθηκε από αντισεισµικούς κανονισµούς και προκανονιστικά κείµενα διεθνώς µε την ονοµασία Ανελαστική Στατική Μέθοδος. Η εφαρµογή της µάλιστα επιτρέπεται αδιακρίτως τόσο σε επίπεδα, όσο και σε χωρικά συστήµατα (ασύµµετρα κτίρια). Ωστόσο, στην τελευταία περίπτωση η ακρίβεια της µεθόδου δεν είναι ικανοποιητική. Επιπλέον, κατά την πρακτική εφαρµογή της ΣΥΑ σε χωρικά συστήµατα τίθενται µια σειρά ερωτηµάτων, στα οποία οι κανονισµοί άλλοτε απαντούν µέσω συγκεκριµένων διατάξεων και άλλοτε αφήνουν περιθώρια πολλαπλών ερµηνειών. Στόχος της παρούσας εργασίας είναι ο εντοπισµός των κυριότερων αδυναµιών της ΣΥΑ και ειδικότερα της παραλλαγής της που υιοθετεί ο EC-8, για εφαρµογή σε χωρικά συστήµατα. ABSTRACT : Static Pushover Analysis is a widespread method for the approximate evaluation of the inelastic behaviour of structures and is recently adopted by seismic codes worldwide (Nonlinear Static Procedure, NSP). NSP is permitted to both 2D and 3D structures. However, in the last case its accuracy is not satisfactory. In addition, the code provisions for the specific case of spatial models are not clear enough. The objective of this paper is to identify the most important shortcomings of NSP and particularly of its EC-8 variant, when it is applied to spatial models. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η στατική υπερωθητική ανάλυση (ΣΥΑ), γνωστή και ως Pushover Analysis, είναι µια διαδεδοµένη µέθοδος προσεγγιστικής εκτίµησης της ανελαστικής σεισµικής απόκρισης κατασκευών, η οποία κατά την τελευταία δεκαετία υιοθετήθηκε από αντισεισµικούς κανονισµούς και προκανονιστικά κείµενα διεθνώς µε την ονοµασία Ανελαστική Στατική Μέθοδος. Η εφαρµογή της µάλιστα επιτρέπεται αδιακρίτως τόσο σε επίπεδα, όσο και σε χωρικά συστήµατα (ασύµµετρα κτίρια). Ωστόσο, στην τελευταία περίπτωση, όπως προέκυψε από µελέτες πολλών ερευνητών, η ακρίβεια της µεθόδου δεν είναι ικανοποιητική (Αναστασιάδης 2004). Επίσης, κατά την πρακτική εφαρµογή της ΣΥΑ σε χωρικά συστήµατα τίθενται µια σειρά ερωτηµάτων (π.χ. σχετικά µε την κατανοµή και τη θέση εφαρµογής των 1 Υποψήφιος ιδάκτορας, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, email: grman7@otenet.gr 2 Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, email: minak@civil.auth.gr 3 Καθηγητής, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, email: avram@civil.auth.gr

οριζόντιων φορτίων, την εκλογή των διευθύνσεων της σεισµικής διέγερσης, την επιρροή της στρέψης, τον ρόλο των ανώτερων ιδιοµορφών, τον τρόπο χωρικής επαλληλίας των αποτελεσµάτων κ.ά.), στα οποία οι κανονισµοί άλλοτε απαντούν µέσω συγκεκριµένων διατάξεων και άλλοτε αφήνουν περιθώρια πολλαπλών ερµηνειών. Στην παρούσα εργασία επιχειρείται µια συνολική κριτική της ΣΥΑ για χωρικά συστήµατα. Η κριτική επικεντρώνεται στην παραλλαγή της ΣΥΑ που υιοθετεί ο EC-8, καθώς σύντοµα θα είναι υποχρεωτική η εφαρµογή του στη χώρα µας. Ωστόσο, οι παρατηρήσεις που γίνονται αφορούν κατά το µάλλον ή ήττον σε όλες τις παραλλαγές της µεθόδου αυτής. Στόχος είναι να εντοπιστούν τα σηµαντικότερα προβλήµατα που παρουσιάζονται στην πράξη κατά την εφαρµογή της ΣΥΑ σε χωρικούς φορείς, είτε αυτά οφείλονται σε εγγενείς αδυναµίες της µεθόδου είτε σε ασάφειες των κανονιστικών διατάξεων. Αρχικά γίνεται µια συνοπτική περιγραφή της διαδικασίας εφαρµογής της Ανελαστικής Στατικής Μεθόδου σύµφωνα µε τον EC-8. Στη συνέχεια γίνεται σχολιασµός των κυριότερων θεωρητικών αδυναµιών της µεθόδου και των δυσχερειών που παρουσιάζονται στην πράξη, ειδικά κατά την εφαρµογή σε χωρικά συστήµατα. Τέλος, η εργασία κλείνει µε εφαρµογές σε µονώροφα ασύµµετρα κτίρια από οπλισµένο σκυρόδεµα και σχολιασµό των αποτελεσµάτων. ΣΤΑΤΙΚΗ ΥΠΕΡΩΘΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑ EC-8 Προϋποθέσεις και Περιορισµοί Εφαρµογής Η µόνη προϋπόθεση που θέτει ο EC-8 για την εφαρµογή της ΣΥΑ αφορά στο επίπεδο γνώσης των δεδοµένων (διαστάσεις, ποιότητα υλικών, λεπτοµέρειες όπλισης) υφισταµένων κατασκευών, το οποίο θα πρέπει να είναι τουλάχιστον κανονικό. Κατά τα άλλα δεν υπάρχει κανένας περιορισµός σχετικά µε το ρόλο των ανώτερων ιδιοµορφών, τη µορφολογία του δοµικού συστήµατος ή το είδος του προσοµοιώµατος (επίπεδο ή χωρικό), τόσο για τις υφιστάµενες, όσο και για τις νέες κατασκευές. Προσοµοίωση Φορέα Χρησιµοποιείται γενικά τρισδιάστατο προσοµοίωµα. Εναλλακτικά επιτρέπεται κατά τον EC-8 η χρήση επίπεδου προσοµοιώµατος, αν το κτίριο είναι κανονικό σε κάτοψη ή αν πληρούνται όλες οι παρακάτω προϋποθέσεις: α) το κτίριο έχει σχετικά δύσκαµπτα και οµοιόµορφα κατανεµηµένα διαχωριστικά (π.χ. τοιχοποιίες), β) το ύψος του κτιρίου δεν υπερβαίνει τα 10 µέτρα, γ) ο λόγος του ύψους προς το µήκος και κατά τις δύο κύριες διευθύνσεις (όπου ως κύριες διευθύνσεις νοούνται οι κατασκευαστικοί άξονες) δεν υπερβαίνει το 0,4, δ) τα διαφράγµατα είναι απαραµόρφωτα και ε) το κτίριο δεν είναι στρεπτικά ευαίσθητο. Το προσοµοίωµα δεν απαιτείται να περιλαµβάνει τα δευτερεύοντα φέροντα στοιχεία και εφόσον υπάρχουν επαρκή τοιχώµατα, ούτε και τα µη φέροντα. Για τη µόρφωσή του ακολουθούνται οι βασικές αρχές προσοµοίωσης που ισχύουν και για την ελαστική ανάλυση, µε µια πρόσθετη απαίτηση: θα πρέπει να εντοπιστούν οι θέσεις στις οποίες αναµένεται να αναπτυχθεί ανελαστική συµπεριφορά και να προσοµοιωθούν κατάλληλα. Αυτό επιτυγχάνεται µε τη χρήση διγραµµικών σχέσεων ροπής στροφής χορδής που αναπαριστούν τη συµπεριφορά κάθε κρίσιµης περιοχής δοµικού στοιχείου. 2

Καµπύλη Ικανότητας Το προσοµοίωµα, ήδη φορτισµένο µε τα φορτία βαρύτητας του σεισµικού συνδυασµού, υποβάλλεται σε προοδευτικά αυξανόµενα οριζόντια στατικά φορτία (υπερωθητική ανάλυση). Απαιτείται η εφαρµογή τουλάχιστον δύο διαφορετικών καθ ύψος κατανοµών φορτίων: µιας οµοιόµορφης (φορτία ανάλογα µε τις µάζες των ορόφων) και µιας ιδιοµορφικής (φορτία ανάλογα µε τις δυνάµεις που προκύπτουν από ελαστική ανάλυση). Κάθε φορά που σχηµατίζεται µία πλαστική άρθρωση (ή περισσότερες ταυτόχρονα), το προσοµοίωµα τροποποιείται µε την εισαγωγή αντίστοιχων µηχανικών αρθρώσεων και η επαυξητική διαδικασία συνεχίζεται. Το αποτέλεσµα της υπερωθητικής ανάλυσης είναι η παραγωγή της καµπύλης ικανότητας της κατασκευής, η οποία αναπαριστά τη µετακίνηση δ ενός χαρακτηριστικού σηµείου (κόµβου ελέγχου) κατά τη διεύθυνση εφαρµογής του φορτίου συναρτήσει της τέµνουσας βάσης V (καµπύλη V δ). Ως κόµβος ελέγχου λαµβάνεται κατά κανόνα το κέντρο βάρους του ανώτατου ορόφου. Για υπολογιστικούς λόγους απαιτείται η εξιδανίκευση της πρωτογενούς καµπύλης σε µια διγραµµική. Για το σκοπό αυτό δίνεται κατάλληλη µεθοδολογία στο παράρτηµα του EC-8. Μετακίνηση Στόχος Ο σεισµός σχεδιασµού υπεισέρχεται στους υπολογισµούς µέσω της απαιτούµενης µετακίνησης του κόµβου ελέγχου (µετακίνηση - στόχος). Η µετακίνηση αυτή µπορεί να υπολογιστεί µε τη βοήθεια ενός ισοδύναµου µονοβάθµιου συστήµατος µε ιδιοπερίοδο που προσδιορίζεται από την καµπύλη ικανότητας. Για τον υπολογισµό χρησιµοποιείται το ελαστικό φάσµα σχεδιασµού και η µετακίνηση που προκύπτει διορθώνεται κατάλληλα, ώστε να ληφθούν υπόψη η διαφορά ελαστικής ανελαστικής µετακίνησης, η διαφορά της µετακίνησης του µονοβάθµιου συστήµατος από τη µετακίνηση του πραγµατικού φορέα και η στρεπτική επιπόνηση. Έλεγχοι Κριτηρίων Αποδοχής Για µετακίνηση του κόµβου ελέγχου ίση µε τη µετακίνηση - στόχο υπολογίζονται τα απαιτούµενα µεγέθη έντασης και παραµόρφωσης των δοµικών στοιχείων. Όλη η παραπάνω διαδικασία οφείλει να επαναληφθεί για φόρτιση µε την ίδια κατανοµή, αλλά µε αντίθετο πρόσηµο. Για κάθε διατοµή κρατείται η δυσµενέστερη απαίτηση από τις δύο αναλύσεις. Τέλος, ο έλεγχος των κριτηρίων αποδοχής θα πρέπει να γίνεται για ταυτόχρονη δράση των δύο οριζόντιων συνιστωσών του σεισµού σχεδιασµού. Τα τελικά µεγέθη έντασης και παραµόρφωσης προκύπτουν συνήθως µε εµπειρικούς κανόνες χωρικής επαλληλίας. Για πλάστιµους τρόπους συµπεριφοράς και αστοχίας ο έλεγχος γίνεται σε όρους µετακινήσεων / παραµορφώσεων, ενώ για ψαθυρούς σε όρους εντασιακών µεγεθών. Τα κριτήρια αποδοχής ορίζονται ανάλογα µε το επιθυµητό επίπεδο επιτελεστικότητας της κατασκευής για το σεισµό σχεδιασµού. 3

Κατανοµή Οριζόντιων Φορτίων Α ΥΝΑΜΙΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Η καθ ύψος κατανοµή των οριζόντιων φορτίων που επιβάλλονται στο προσοµοίωµα θα πρέπει να είναι τέτοια, ώστε να προσεγγίζει την κατανοµή των σεισµικών δυνάµεων που αναµένεται να εµφανιστεί σε µια πραγµατική σεισµική διέγερση. Όπως είναι γνωστό, στη γενική περίπτωση των ασύµµετρων κτιρίων υπό τυχαία µεταφορική σεισµική διέγερση εµφανίζονται δυνάµεις όχι µόνο κατά τη διεύθυνση της διέγερσης, αλλά και κάθετα σ αυτήν. Επιπλέον, εµφανίζονται και ροπές στρέψης γύρω από τον κατακόρυφο άξονα. Στη σχετική διάταξη του EC-8 κάτι τέτοιο δεν αναφέρεται ρητώς, ούτε όµως και αποκλείεται, τουλάχιστον στην περίπτωση της ιδιοµορφικής κατανοµής. Σηµειώνεται ότι η επιλογή της κατανοµής φορτίων επηρεάζει καθοριστικά τόσο τη µορφή της ικανοτικής καµπύλης, όσο και τη διαδικασία υπολογισµού της µετακίνησης - στόχου. Έτσι, τυχόν διαφορετικές ερµηνείες της συγκεκριµένης διάταξης του EC-8 µπορεί να οδηγήσουν σε τελείως διαφορετικά αποτελέσµατα. Επιλογή ιευθύνσεων Σεισµικής ιέγερσης Σύµφωνα µε τον EC-8 τα οριζόντια φορτία θα πρέπει να εφαρµόζονται σε όλες τις διευθύνσεις που υπάρχουν κατακόρυφα στοιχεία δυσκαµψίας (πλαίσια, τοιχώµατα) και στις κάθετές τους. Στην ειδική, αλλά συνήθη, περίπτωση κτιρίων µε κατακόρυφα στοιχεία δυσκαµψίας σε δύο κάθετες µεταξύ τους διευθύνσεις η σεισµική διέγερση επιτρέπεται να εφαρµόζεται µόνο κατ αυτές. Όµως, πρόσφατες έρευνες (Μπάλλας 2001, Μπούτος 2004) έχουν δείξει ότι τα µέγιστα µεγέθη απόκρισης (µετακίνηση στόχος, εντατικά µεγέθη κτλ.) εµφανίζονται για εφαρµογή των φορτίων όχι παράλληλα µε τους κύριους άξονες ελαστικότητας των κατακόρυφων στοιχείων δυσκαµψίας, αλλά υπό τυχαίες γωνίες. Επιρροή Στρέψης Κατά τη σεισµική επιπόνηση των ασύµµετρων κτιρίων εµφανίζονται στρεπτικά φαινόµενα που επηρεάζουν καθοριστικά τη σεισµική τους απόκριση. Στον EC-8 υπάρχουν δύο διατάξεις που έχουν στόχο τη συνεκτίµηση των φαινοµένων αυτών κατά την εφαρµογή της ΣΥΑ. Η πρώτη αφορά στη θέση εφαρµογής των οριζόντιων δυνάµεων. Συγκεκριµένα, καθορίζεται ότι το οριζόντιο φορτίο κάθε ορόφου θα πρέπει να εφαρµόζεται εκατέρωθεν του κέντρου βάρους του σε αποστάσεις ίσες µε την τυχηµατική εκκεντρότητα. Με τον τρόπο αυτό λαµβάνονται υπόψη στροφές που προκαλούνται από στρεπτική διέγερση της βάσης και από αποκλίσεις της πραγµατικής κατανοµής µάζας, δυσκαµψίας και αντοχής, σε σχέση µε την κατανοµή που έγινε δεκτή στο υπολογιστικό προσοµοίωµα. Η διάταξη αυτή οδηγεί σε διόγκωση των υπολογισµών, καθώς απαιτούνται συνολικά 2 (κατανοµές φορτίου) x 2 (διευθύνσεις σεισµικής διέγερσης) x 2 (θέσεις εφαρµογής των φορτίων) x 2 (κατευθύνσεις των φορτίων) = 2 4 = 16 στατικές υπερωθητικές αναλύσεις. Έτσι, αίρεται σε µεγάλο βαθµό το βασικό πλεονέκτηµα της ΣΥΑ έναντι της Ανελαστικής υναµικής Ανάλυσης, δηλαδή ο περιορισµός του υπολογιστικού όγκου. Η δεύτερη σχετική µε τη στρέψη διάταξη του EC-8 επιβάλλει τον πολλαπλασιασµό των µετακινήσεων στη δύσκαµπτη πλευρά εύστρεπτων κτιρίων µε αυξητικό συντελεστή που 4

προκύπτει από ιδιοµορφική ανάλυση του κτιρίου. Ως εύστρεπτα κτίρια νοούνται εκείνα που η πρώτη ή δεύτερη ιδιοµορφή τους έχει δεσπόζοντα στρεπτικό χαρακτήρα. Πρόκειται για καθαρά εµπειρική προσέγγιση που βασίζεται σε αποτελέσµατα µελετών, που έδειξαν ότι σε τέτοια κτίρια η ΣΥΑ µπορεί να υποεκτιµήσει σηµαντικά τις µετακινήσεις στη δύσκαµπτη πλευρά. Η διάταξη αυτή, αφενός δεν είναι θεωρητικά τεκµηριωµένη και αφετέρου δεν είναι σαφής στη διατύπωσή της, σχετικά µε τον υπολογισµό του αυξητικού συντελεστή. Σηµειώνεται, τέλος, ότι τόσο στη ΣΥΑ, όσο και στην Ελαστική Στατική Μέθοδο του EC-8, δεν υπάρχει η έννοια των ισοδύναµων στατικών εκκεντροτήτων του ΕΑΚ µε τις οποίες λαµβάνονται κατάλληλα υπόψη οι στρεπτικές ταλαντώσεις των ασύµµετρων κτιρίων που προκαλούνται από µεταφορική διέγερση της βάσης τους (λόγω δοµικών εκκεντροτήτων). Επιρροή Ανώτερων Ιδιοµορφών Η Ανελαστική Στατική Μέθοδος του EC-8, αλλά και άλλων κανονισµών και προκανονιστικών κειµένων διεθνώς, είναι µια απλοποιηµένη µονο-ιδιοµορφική παραλλαγή της ΣΥΑ. Έτσι, η ακρίβεια της µεθόδου σε φορείς µε µεγάλη επιρροή των ανώτερων ιδιοµορφών δεν είναι ικανοποιητική (Krawinkler et al. 1998). Το πρόβληµα εµφανίζεται και σε πολυώροφα επίπεδα συστήµατα, αλλά είναι εντονότερο στα χωρικά, που έχουν ούτως ή άλλως περισσότερες ιδιοµορφές και παρουσιάζουν γενικώς πιο σύνθετη συµπεριφορά σε σχέση µε τα επίπεδα. Χωρική Επαλληλία Ο έλεγχος των κριτηρίων αποδοχής στην Ανελαστική Στατική Μέθοδο του EC-8 γίνεται για ταυτόχρονη δράση των δύο οριζόντιων συνιστωσών του σεισµού σχεδιασµού. Το κτίριο αναλύεται ξεχωριστά σε δύο διευθύνσεις και εφαρµόζεται ο κανόνας της απλής τετραγωνικής επαλληλίας, τόσο για τα εντασιακά µεγέθη, όσο και για τις µετακινήσεις. Εναλλακτικά, µπορεί να εφαρµοστεί ο εµπειρικός κανόνας των ποσοστιαίων συνδυασµών. Ωστόσο, είναι γνωστό ότι στην ανελαστική περιοχή συµπεριφοράς δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας. Έτσι, είναι εξαιρετικά αµφίβολο αν και κατά πόσο οι παραπάνω προσεγγίσεις δίνουν ρεαλιστικά αποτελέσµατα. Γενικά ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Για την αξιολόγηση της ακρίβειας της Ανελαστικής Στατικής Μεθόδου του EC-8, αλλά και για να εκτιµηθούν οι διαφοροποιήσεις των αποτελεσµάτων που προκύπτουν από τυχόν διαφορετικές ερµηνείες ορισµένων διατάξεων, έγινε εφαρµογή της µε το πρόγραµµα SAP 2000/v.10.0.1 σε µια σειρά µονώροφων µονοσυµµετρικών κτιρίων µε µεταβλητή δοµική εκκεντρότητα, για τα φάσµατα απόκρισης δεκαέξι σεισµικών διεγέρσεων. Συγκεκριµένα, για κάθε ένα από τα κτίρια αυτά διενεργήθηκε υπερωθητική ανάλυση δύο φορές, µε την επιβολή οριζόντιας δύναµης εκατέρωθεν του Κ.Β. σε αποστάσεις ίσες µε την τυχηµατική εκκεντρότητα και σε διεύθυνση κάθετη στον άξονα συµµετρίας. Ισοδύναµες στατικές εκκεντρότητες δεν ελήφθησαν υπόψη. Σηµειώνεται ότι στην περίπτωση των µονώροφων κτιρίων - και εφόσον δεν επιβάλλεται και στατική ροπή στρέψης - οι δύο κατανοµές φορτίων που προτείνει ο EC-8 ταυτίζονται. Επίσης, επειδή αγνοείται η επιρροή των κατακόρυφων φορτίων, δεν απαιτείται η επιβολή της δύναµης µε εναλλασσόµενη φορά. 5

Η µετακίνηση - στόχος υπολογίστηκε για κάθε περίπτωση µε ανελαστική δυναµική ανάλυση του ισοδύναµου µονοβάθµιου συστήµατος και διόρθωση µε τον συντελεστή Γ, µέσω του οποίου λαµβάνεται υπόψη η διαφορά στη µετακίνηση του πραγµατικού πολυβάθµιου συστήµατος σε σχέση µε αυτήν του ισοδύναµου µονοβάθµιου. Αυτό κρίθηκε αναγκαίο, γιατί οι τιµές που προτείνει ο EC-8 για τον συντελεστή που εκφράζει την επιρροή της ανελαστικής συµπεριφοράς βασίζονται σε στατιστική επεξεργασία δεδοµένων µε µεγάλη διασπορά και σε περιπτώσεις εφαρµογής της ΣΥΑ για φάσµατα απόκρισης πραγµατικών σεισµών (όπως στην παρούσα εργασία) ενδέχεται να προκύψουν µεγάλες ανακρίβειες (Μανούκας κ.α. 2006). Η τιµή του Γ εξαρτάται από το διάνυσµα Φ που έχει διαστάσεις ίσες µε τον αριθµό των βαθµών ελευθερίας και είναι κανονικοποιηµένο ως προς το βαθµό ελευθερίας που αντιστοιχεί στη µετακίνηση κορυφής (µετακίνηση - στόχο). Σύµφωνα µε τον EC-8, οι όροι του Φ προκύπτουν αναλογικά από την κατανοµή των οριζόντιων φορτίων, χωρίς όµως να καθορίζεται επακριβώς ο τρόπος. Στην προκειµένη περίπτωση του µονώροφου µονοσυµµετρικού κτιρίου µε διέγερση κάθετη στον άξονα συµµετρίας, όπου το Φ έχει δύο όρους (µετακίνηση κέντρου βάρους, στροφή πατώµατος), ακολουθήθηκαν δύο εναλλακτικές προσεγγίσεις: Επειδή το οριζόντιο φορτίο που επιβλήθηκε περιλαµβάνει µόνο δύναµη και όχι στρεπτική ροπή, ο όρος που αντιστοιχεί στη στροφή πατώµατος ελήφθη καταρχάς ίσος µε το µηδέν, δηλαδή Φ Α τ = [1 0]. Ωστόσο, λόγω της έκκεντρης επιβολής της φόρτισης F, προκύπτουν εµµέσως στρεπτικές ροπές ως προς το κέντρο βάρους ίσες µε ± e τ F, όπου e τ η τυχηµατική εκκεντρότητα, δηλαδή Φ Β τ = [1 ± e τ ]. Μια ακόµη ασαφής διάταξη του EC-8 που επιχειρήθηκε να διερευνηθεί, αφορά στη διόρθωση των µετακινήσεων στη δύσκαµπτη πλευρά εύστρεπτων κτιρίων, µε κατάλληλο διορθωτικό συντελεστή που προκύπτει από ιδιοµορφική ανάλυση του κτιρίου. Και εδώ χρησιµοποιήθηκαν δύο διαφορετικοί τρόποι για τον υπολογισµό του: Θεωρήθηκε καταρχάς ότι οι µετακινήσεις στη δύσκαµπτη πλευρά (δ ) και στο κέντρο βάρους (δ t ) της κάτοψης είναι ανάλογες µε τις αντίστοιχες ιδιοµορφικές συντεταγµένες της πρώτης ιδιοµορφής φ 1 και φ 1t =1 (εφόσον το ιδιοµορφικό διάνυσµα είναι κανονικοποιηµένο ως προς τη µετακίνηση του κέντρου βάρους) αντίστοιχα: φ1 = δt = φ1 δt = C δt (1) φ1t δ 1 Εναλλακτικά, αντί για άµεση χρήση των φ 1 και φ 1t =1, έγινε επαλληλία µε τις αντίστοιχες ιδιοµορφικές συντεταγµένες της δεύτερης συζευγµένης ιδιοµορφής που ενεργοποιείται για µεταφορική διέγερση κάθετα στον άξονα συµµετρίας. Η επαλληλία βασίστηκε στον τύπο της απλής τετραγωνικής επαλληλίας, λαµβάνοντας υπόψη και τους συντελεστές συµµετοχής κάθε ιδιοµορφής: 6

2 2 2 2 ( ν 1 φ1 ) + ( ν 2φ 2 ) ( ν 1φ 1 ) + ( ν 2φ 2 ) = δt = δt = C δt (2) 2 2 2 2 ( ν 1φ 1t) + ( ν 2φ 2t) ν 1 + ν 2 δ 2 Τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από όλες τις αναλύσεις συγκρίθηκαν µεταξύ τους θεωρώντας ως λύση αναφοράς τα αποτελέσµατα ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης. Τα µεγέθη που συγκρίθηκαν είναι οι µετακινήσεις του κέντρου βάρους, της εύκαµπτης και της δύσκαµπτης πλευράς. εδοµένα Εξεταζόµενων Κτιρίων Για τις εφαρµογές χρησιµοποιήθηκε µια σειρά από µονώροφα µονοσυµµετρικά (άξονας συµµετρίας Χ) κτίρια από οπλισµένο σκυρόδεµα, µε ύψος ορόφου 4m και κάτοψη που φαίνεται στο Σχήµα 1. Το δοµικό τους σύστηµα αποτελείται από τρία υποστυλώµατα που συνδέονται µέσω απαραµόρφωτου διαφράγµατος. Με τη βοήθεια αυξητικού συντελεστή, µε τον οποίο πολλαπλασιάζεται η δυσκαµψία του στοιχείου Κ1 (δύσκαµπτη πλευρά), µετατοπίζεται το κέντρο ελαστικής στροφής πάνω στον άξονα Χ έτσι, ώστε να επιτυγχάνονται προκαθορισµένες τιµές ανηγµένης στατικής εκκεντρότητας e/r, όπου r η ακτίνα αδράνειας του πατώµατος. Οι τιµές αυτές δίνονται στον ακόλουθο Πίνακα 1 µαζί µε τις ιδιοπεριόδους και τα ποσοστά συµµετοχής των δύο συζευγµένων ιδιοµορφών που ενεργοποιούνται για µεταφορική σεισµική διέγερση κάθετα στον άξονα συµµετρίας. Σηµειώνεται ότι η πρώτη ιδιοµορφή έχει δεσπόζοντα µεταφορικό χαρακτήρα, ενώ η δεύτερη δεσπόζοντα στρεπτικό. Είναι φανερό ότι µε την αύξηση της εκκεντρότητας οι στρεπτικές ταλαντώσεις γίνονται όλο και πιο έντονες. 6,00m 3,00m Σχήµα 1. Κάτοψη Εξεταζόµενων Κτιρίων 7

Πίνακας 1. Χαρακτηριστικά Εξεταζόµενων Κτιρίων Ανηγµένη Εκκεντρότητα e/r Τ 1 (sec) Τ 2 (sec) Ε 1 (%) Ε 2 (%) 0.00 0.330 0.261 100.00 0.00 0.05 0.325 0.254 99.37 0.63 0.10 0.322 0.247 97.80 2.20 0.15 0.319 0.240 95.72 4.28 0.20 0.316 0.232 93.46 6.54 0.30 0.313 0.217 89.14 10.86 0.50 0.309 0.188 82.56 17.44 0.75 0.307 0.153 77.49 22.51 1.00 0.306 0.120 74.37 25.63 1.25 0.305 0.083 72.30 27.70 Σεισµικές ιεγέρσεις Οι δυναµικές και στατικές µη γραµµικές αναλύσεις των εξεταζόµενων κτιρίων έγιναν µε τα επιταχυνσιογραφήµατα και τα αντίστοιχα φάσµατα απόκρισης δώδεκα σεισµικών καταγραφών του ελληνικού χώρου και τεσσάρων τεχνητών σεισµικών διεγέρσεων (Α1 ως Α4) που αναπτύχθηκαν πρόσφατα από το ΙΤΣΑΚ και τα φάσµατά τους σχεδόν ταυτίζονται µε το φάσµα σχεδιασµού του ΕΑΚ 2000/2003 για κατηγορία εδάφους Β. Στον Πίνακα 2 δίνονται οι µέγιστες εδαφικές (PGA) και φασµατικές (PSA) επιταχύνσεις τους. Όπως φαίνεται, η µέγιστη φασµατική επιτάχυνση της ασθενέστερης διέγερσης (4,455 m/sec 2 ) ξεπερνά τη φασµατική επιτάχυνση του σταθερού κλάδου του φάσµατος σχεδιασµού του ΕΑΚ για τη ζώνη σεισµικής επικινδυνότητας Ι (3,924 m/sec 2 ), στην οποία ανήκει και το µεγαλύτερο µέρος του ελληνικού χώρου. Το γεγονός αυτό, σε συνδυασµό µε τις τιµές των ροπών διαρροής των υποστυλωµάτων, εξασφαλίζει προχωρηµένη πλαστικοποίηση των κρίσιµων διατοµών των κτιρίων για όλες τις σεισµικές διεγέρσεις. Πίνακας 2. Σεισµικές ιεγέρσεις Σεισµική ιέγερση PGA(m/sec 2 ) PSA (m/sec 2 ) Αίγιο 1995 (διαµήκης) 4.918 12.099 Αίγιο 1995 (εγκάρσια) 5.326 14.157 Θεσσαλονίκη 1978 (διαµήκης) 1.389 4.477 Θεσσαλονίκη 1978 (εγκάρσια) 1.430 4.809 Αλκυονίδες 1981 (διαµήκης) 2.336 6.023 Αλκυονίδες 1981 (εγκάρσια) 2.989 8.155 Καλαµάτα 1986 (διαµήκης) 2.170 6.648 Καλαµάτα 1986 (διαµήκης) 2.913 10.125 Πάτρα 1993 (διαµήκης) 1.402 4.455 Πάτρα 1993 (εγκάρσια) 3.936 12.151 Πύργος 1993 (διαµήκης) 1.466 5.887 Πύργος 1993 (εγκάρσια) 4.455 7.705 Α1 3.5316 9.440 Α2 3.5316 9.179 Α3 3.5316 9.798 Α4 3.5316 9.439 8

Αποτελέσµατα Στα παρακάτω Σχήµατα 2 ως 4 δίνεται το µέσο σφάλµα (ως προς τα αποτελέσµατα της ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης για τις δεκαέξι εξεταζόµενες σεισµικές διεγέρσεις) των µετακινήσεων του κέντρου βάρους, της εύκαµπτης και της δύσκαµπτης πλευράς (χωρίς τη χρήση διορθωτικού συντελεστή) αντίστοιχα κάθε εξεταζόµενου κτιρίου. Σηµειώνεται ότι, λόγω της µορφής των κτιρίων, οι γωνιακές παραµορφώσεις (drifts) και οι πλαστικές στροφές των κρίσιµων διατοµών είναι µεγέθη µονοσήµαντα εξαρτηµένα από τις µετακινήσεις οροφής, συνεπώς η καταγραφή και παρουσίασή τους στερείται νοήµατος. Οι απεικονιζόµενες µετακινήσεις προκύπτουν ως οι µέγιστες κατ απόλυτη τιµή από τις δύο επιλύσεις για εφαρµογή των φορτίων εκατέρωθεν του κέντρου βάρους. Σε κάθε σχήµα υπάρχουν δύο καµπύλες, µία για κάθε τιµή του Φ. Στα Σχήµατα 5 και 6 δίνεται το µέσο σφάλµα των µετακινήσεων της δύσκαµπτης πλευράς κάθε κτιρίου µε τη χρήση των διορθωτικών συντελεστών C 1 και C 2 για τις δύο τιµές του Φ. Σηµειώνεται ότι το θετικό πρόσηµο σηµαίνει ότι οι µετακινήσεις που προκύπτουν από τη ΣΥΑ είναι µεγαλύτερες από αυτές της ανελαστικής δυναµικής ανάλυσης. Αντίθετα, το αρνητικό πρόσηµο σηµαίνει ότι οι µετακινήσεις υποεκτιµούνται. 50.00 40.00 Μέσο Σφάλµα (%) 30.00 20.00 10.00 0.00-10.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40-20.00-30.00-40.00 Ανηγµένη Εκκεντρότητα e/r ΦA ΦB Σχήµα 2. Μέσο σφάλµα µετακινήσεων κέντρου βάρους (%) 140.00 120.00 Μέσο Σφάλµα (%) 100.00 80.00 60.00 40.00 20.00 ΦA ΦB 0.00 0.00-20.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 Ανηγµένη Εκκεντρότητα e/r Σχήµα 3. Μέσο σφάλµα µετακινήσεων εύκαµπτης πλευράς (%) 9

Μέσο Σφάλµα (%) 100.00 80.00 60.00 40.00 20.00 0.00-20.000.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40-40.00-60.00-80.00 Ανηγµένη Εκκεντρότητα e/r ΦA ΦB Σχήµα 4. Μέσο σφάλµα µετακινήσεων δύσκαµπτης πλευράς (%) 700.00 Μέσο Σφάλµα (%) 500.00 300.00 100.00 C1 C2 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40-100.00 Ανηγµένη Εκκεντρότητα e/r Σχήµα 5. Μέσο σφάλµα µετακινήσεων δύσκαµπτης πλευράς ιορθωτικός Συντελεστής Φ Α (%) 400.00 300.00 Μέσο Σφάλµα (%) 200.00 100.00 0.00 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40-100.00 Ανηγµένη Εκκεντρότητα e/r C1 C2 Σχήµα 6. Μέσο σφάλµα µετακινήσεων δύσκαµπτης πλευράς ιορθωτικός Συντελεστής Φ Β (%) 10

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΣΧΟΛΙΑ Με βάση τα παραπάνω σχήµατα προκύπτουν τα εξής συµπεράσµατα: Η διαφορετική ερµηνεία διαφόρων διατάξεων του EC-8 µπορεί να οδηγήσει σε πολύ µεγάλη διαφοροποίηση των αποτελεσµάτων, χωρίς ωστόσο να προκύπτει σαφής υπεροχή κάποιας ερµηνευτικής προσέγγισης έναντι των άλλων για όλα τα κτίρια και για όλα τα εξεταζόµενα µεγέθη. Σε ό,τι αφορά στη µετακίνηση του κέντρου βάρους, φαίνεται ότι η χρήση του διανύσµατος Φ Α (σφάλµατα 5 ως 45% περίπου µε αυξητική τάση µε αύξηση της εκκεντρότητας) υπερέχει της χρήσης του Φ Β, η οποία, παρότι µπορεί να δώσει µικρότερα κατ απόλυτη τιµή σφάλµατα (-35 ως -15% περίπου), είναι µη συντηρητική σε όλο το φάσµα των ανηγµένων εκκεντροτήτων που εξετάστηκαν. Σε ό,τι αφορά στη µετακίνηση της εύκαµπτης πλευράς, φαίνεται ότι, µε την εξαίρεση ενός κτιρίου, το µέσο σφάλµα και για τις δύο επιλογές του Φ είναι περίπου σταθερό ανεξαρτήτως εκκεντρότητας. Ωστόσο, στην περίπτωση του Φ Α κυµαίνεται σε πολύ υψηλότερα επίπεδα (55 ως 75% έναντι -10 ως 5% του Φ Β ). Σε ό,τι αφορά στη µετακίνηση της δύσκαµπτης πλευράς, προκύπτει ότι η ΣΥΑ αδυνατεί πλήρως να την εκτιµήσει µε ανεκτή ακρίβεια χωρίς τη χρήση διορθωτικού συντελεστή. Αλλά και µε τη χρήση διορθωτικού συντελεστή, αυτό επιτυγχάνεται µόνο για µικρές εκκεντρότητες και µόνο για την περίπτωση Φ Α. Στην περιοχή των µεγάλων εκκεντροτήτων η χρήση του συντελεστή C 1 (που βασίζεται µόνο στην πρώτη ιδιοµορφή) οδηγεί σε σηµαντική υποεκτίµηση της µετακίνησης (σφάλµατα µέχρι -85%), ενώ αντίθετα η χρήση του C 2 (που βασίζεται σε δύο ιδιοµορφές) οδηγεί σε µεγάλη υπερεκτίµηση (ως και 700% περίπου). Λαµβάνοντας υπόψη τη συγκεχυµένη εικόνα των παραπάνω αποτελεσµάτων, σε συνδυασµό µε ανακρίβειες που µπορεί να προκύψουν από άλλους παράγοντες που ήδη επισηµάνθηκαν χωρίς να διερευνηθούν περαιτέρω, προκύπτει ότι η Ανελαστική Στατική Μέθοδος του EC-8 µε τη σηµερινή της µορφή απέχει πολύ από το να χαρακτηριστεί αξιόπιστη. Συνεπώς, απαιτούνται σηµαντικές διορθωτικές τροποποιήσεις και εν γένει βελτιώσεις, ώστε να µπορεί στο µέλλον να χρησιµοποιηθεί µε ασφάλεια στην πράξη. ΑΝΑΦΟΡΕΣ ή ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αναστασιάδης Κ.Κ., (2004), Προσεγγιστικές µέθοδοι εκτίµησης ανελαστικής απόκρισης κτιρίων, Πανεπιστηµιακές σηµειώσεις Π.Μ.Σ. Αντισεισµικός Σχεδιασµός Τεχνικών Έργων, Τµήµα Πολ. Μηχ. ΑΠΘ. European Committee for Standardization, (2002), Eurocode 8: Design of Structures for Earthquake Resistance Part 1: General Rules, Seismic Actions and Rules for Buildings. European Committee for Standardization, (2003), Eurocode 8: Design of Structures for Earthquake Resistance Part 3: Strengthening and Repair of Buildings. Krawinkler H., and Seneviratna G.D.P.K., (1998), Prons and cons of a pushover analysis of seismic performance evaluation, Engineering Structures, Vol. 20, Nos 4-6, pp. 452 464. Μανούκας Γ.Η., Αθανατοπούλου Α.Μ., και Αβραµίδης Ι.Ε. (2006), Συγκριτική διερεύνηση παραλλαγών της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης βάσει σύγχρονων κανονιστικών κειµένων (FEMA 356-440, EC-8, ΚΑΝ.ΕΠΕ.), Πρακτικά 15 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Οπλισµένου Σκυροδέµατος, Αλεξανδρούπολη. 11

Μπάλλας Ε., (2001), Παραµετρική Μελέτη της Επιρροής της ιεύθυνσης της Σεισµικής ιέγερσης στην Απόκριση των Κτιρίων κατά την Εφαρµογή της Απλοποιηµένης Φασµατικής Μεθόδου του ΕΑΚ 2000, Μεταπτυχιακή ιπλωµατική Εργασία, Π.Μ.Σ. Αντισεισµικός Σχεδιασµός Τεχνικών Έργων, Τµήµα Πολ. Μηχ. ΑΠΘ. Μπούτος Π., (2004), Υπερωθητική Ανάλυση Επιρροή της ιεύθυνσης και του Σηµείου Εφαρµογής της ύναµης σε Χωρικά Συστήµατα, ιπλωµατική Εργασία, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών ΑΠΘ. Οργανισµός Αντισεισµικού Σχεδιασµού και Προστασίας, (2000/2003), Ελληνικός Αντισεισµικός Κανονισµός (ΕΑΚ 2000/2003). 12