ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 445 1. 5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Όμοια πολύγωνα Αν έχουμε δύο ομοιόθετα πολύγωνα, τότε το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου. Δύο πολύγωνα Π και Π που το ένα είναι μεγέθυνση ή σμίκρυνση του άλλου τα λέμε όμοια και συμβολίζουμε Π Π. Από τον προηγούμενο ορισμό προκύπτει ότι Τα ομοιόθετα πολύγωνα είναι όμοια. Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες, τότε είναι όμοια. Δύο οποιεσδήποτε αντίστοιχες πλευρές ομοίων πολυγώνων έχουν τον ίδιο λόγο γι αυτό λέγονται ομόλογες και ο λόγος τους λέγεται λόγος ομοιότητας. Αν δύο πολύγωνα είναι όμοια, τότε έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Ο λόγος των περιμέτρων δύο ομοίων πολυγώνων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητας τους. Δύο κανονικά πολύγωνα που έχουν το ίδιο πλήθος πλευρών είναι όμοια. Λόγος ομοιότητας-κλίμακα Η κλίμακα είναι ο λόγος της απόστασης στο χάρτη προς την αντίστοιχη πραγματική απόσταση, δηλαδή είναι ο λόγος ομοιότητας των δυο ομοίων σχημάτων. απόστασηστο χάρτη λ πραγματική απόσταση ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες. α) Δύο τετράγωνα είναι όμοια.. β) Δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα είναι όμοια.. γ) Αν δύο πολύγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες, τότε είναι όμοια.. δ) Δύο ρόμβοι είναι σχήματα όμοια.. ε) Αν δύο πολύγωνα είναι ίσα, τότε είναι όμοια.. στ) Δύο κανονικά πολύγωνα είναι όμοια..
446 ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ α) Η α είναι Σωστή (Σ), γιατί έχουν ίσες γωνίες (όλες 90 0 ) και τις πλευρές τους ανάλογες. β) Η β είναι Λάθος (Λ), γιατί δεν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες γ) Η γ είναι Λάθος (Λ), γιατί δεν έχουν τις γωνίες τους ίσες. δ) Η δ είναι Λάθος (Λ), γιατί ε) Η ε είναι Σωστή (Σ), το αντίστροφο δεν ισχύει. στ) Η στ είναι Λάθος (Λ), γιατί πρέπει να έχουν ίδιο αριθμό πλευρών.. Ποια από τα πολύγωνα αυτά είναι όμοια ; Παρατηρούμε ότι όμοια είναι τα πολύγωνα Π και Π 4, τα Π 1, Π 3 και Π 7 και τέλος τα Π 5 και Π 6. 3. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήματα να συμπληρώσετε τον πίνακα με τις διαστάσεις των αντιστοίχων ορθογωνίων παραλληλογράμμων και να βρείτε ποια απ αυτά είναι όμοια. ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΑΒΓΔ 3 ΑΕΖΗ 5 3 ΑΘΙΚ 6 4 ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΑΒΓΔ 4 ΕΖΗΘ 6 4 ΙΚΛΜ 9 6 Όμοια είναι τα ΑΒΓΔ και ΑΘΙΚ στο πρώτο. Όμοια είναι τα ΕΖΗΘ και ΙΚΛΜ στο δεύτερο.
ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 447 4. Αν τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και Α Β Γ Δ είναι όμοια, να συμπληρώσετε τις προτάσεις : α) Ο λόγος ομοιότητας του ΑΒΓΔ προς το Α Β Γ Δ είναι... β) Ο λόγος ομοιότητας του Α Β Γ Δ προς το ΑΒΓΔ είναι γ) Αν η γωνία ˆB είναι 110 0, τότε και η γωνία... είναι 110. Α Β + Β Γ + Γ Δ + Δ Α δ) Ο λόγος είναι ίσος με λ ε) Η πλευρά ΒΓ είναι ίση με cm. α) Ο ζητούμενος λόγος ομοιότητας είναι β) Ο ζητούμενος λόγος ομοιότητας είναι γ) Η γωνία ˆB είναι 110 0 ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ 8cm 1cm 1cm 8cm Α Β + Β Γ + Γ Δ + Δ Α 3 δ) Ο λόγος λ είναι ίσος με ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΑ ε) Η πλευρά ΒΓ είναι ίση με 15 cm 10cm. 3 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σε ποια από τις παρακάτω περιπτώσεις τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι όμοια ; Ναι αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α) β) 3 3
448 ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ α) Παρατηρούμε ότι όλες οι γωνίες είναι ίσες ως ορθές.ο λόγος των ΕΖ ΗΘ 5cm 5 αντιστοίχων πλευρών είναι : και ΑΒ ΓΔ 6cm 6 ΕΘ ΗΖ cm 4 5. Επειδή ΑΔ ΒΓ 3cm 3 3 6 6 Επομένως τα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ δεν είναι όμοια. 0 β) Παρατηρούμε ότι : Α Γ Ε Η 10 αφού οι απέναντι γωνίες του παραλληλογράμμου είναι ίσες και οι διαδοχικές παραπληρωματι- 0 κές. Παρόμοια είναι Β Γ Ζ Θ 60. Τέλος για τον λόγο των πλευρών έχουμε : ΕΖ ΗΘ 6cm ΕΘ ΗΖ 4cm και οπότε και οι πλευρές ΑΔ ΒΓ 9cm 3 ΑΒ ΓΔ 6cm 3 τους είναι ανάλογες επομένως τα παραλληλόγραμμα είναι όμοια. ΑΣΚΗΣΗ Αν τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ είναι όμοια, να βρείτε το x σε καθεμιά από τις περιπτώσεις α) β) ΑΔ ΔΓ 6,3cm 9cm 6,3cm 3 α) Είναι ή ή ή 3x 1,6cm ή ΘΗ ΗΖ x 6cm x x 4,cm β) Επειδή το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι 360 0 έ- χουμε : x 360 0 (90 0 + 90 0 +130 0 ) 360 0 310 0 50 0
ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 449 ΑΣΚΗΣΗ 3 Ένα παραλληλόγραμμο έχει πλευρές 4 cm και 18 cm.ένας μαθητής θέλοντας να κατασκευάσει ένα παραλληλόγραμμο όμοιο μ αυτό αλλά που να έχει τη μεγαλύτερη πλευρά 0 cm, σκέφτηκε να μειώσει και την άλλη πλευρά κατά 4 cm. Ήταν σωστή η σκέψη του; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Η σκέψη του μαθητή δεν είναι σωστή γιατί οι πλευρές δεν μειώνονται ή αυξάνονται κατά το ίδιο μήκος αλλά ανάλογα.έρεπε να υπολογίσει το μήκος της μικρότερης πλευράς x έχοντας υπόψη του ότι : 4cm 18cm 4 18cm ή ή 4x 360cm, ή x 15cm. Επομένως 0cm x 0 x έπρεπε να μειώσει την μικρότερη πλευρά κατά 3cm. ΑΣΚΗΣΗ 4 Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Κ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο που προκύπτει αν ενώσουμε τα μέσα των ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, ΚΔ είναι παραλληλόγραμμο όμοιο με το ΑΒΓΔ. Στο τρίγωνο ΑΚΒ είναι ΜΛ // ΑΒ Στο τρίγωνο ΔΓΚ είναι ΟΝ // ΔΓ. Επομένως ΜΛ//ΟΝ άρα το ΛΜΝΟ είναι παραλληλόγραμμο. ΜΛ ΝΜ ΟΝ ΟΛ 1 Είναι ΑΒ ΒΓ ΓΔ ΑΔ Επίσης λόγω των παραλλήλων οι γωνίες των δύο παραλληλογράμμων ΑΒΓΔ και ΛΜΝΟ είναι ίσες άρα αυτά είναι όμοια. Δ Α Ο Λ Κ Ν Μ Γ Β
450 ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 5 Στο παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ είναι ΑΚ 1 ΑΓ, ΕΖ // ΑΔ και ΗΘ // 4 ΑΒ. Να αποδείξετε ότι α) Το παραλληλόγραμμο ΑΕΚΗ είναι όμοιο με το ΑΒΓΔ. β) Το παραλληλόγραμμο ΑΕΚΗ είναι όμοιο με το ΚΘΓΖ. α) Παρατηρούμε ότι τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΑΕΚΗ έχουν τις γωνίες ίσες προς μία αφού :η γωνία Α είναι κοινή, είναι ΕΚΗ Γ γιατί κάθε μία από αυτές ισούται με την Α ως απέναντι γωνίες παραλλη- λογράμμου και ΑΕΚ Β καθώς και ΑΗΚ Δ ως εντός εκτός και επί τα αυτά. Από την παραλληλία των ΑΔ, ΕΖ και ΒΓ προκύπτει ότι : ΑΕ ΑΚ 1. Επειδή ΗΚ ΑΕ και ΓΔ ΑΒ ως απέναντι πλευρές ΑΒ ΑΓ 4 ΑΕ ΗΚ 1 παραλληλογράμμου τελικά έχουμε :. ΑΒ ΓΔ 4 Παρόμοια από την παραλληλία των ΑΔ, ΕΖ και ΒΓ καθώς και την ισότητα των ΑΗ ΕΚ και ΑΔ ΒΓ ως απέναντι πλευρών παραλληλογράμμου προκύπτει :. Επομένως έχουν και τις ΕΚ ΑΗ ΑΚ 1 ΒΓ ΑΔ ΑΓ 4 αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες, άρα είναι όμοια. β) Από την απόδειξη της ισότητας των γωνιών των παραλληλογράμμων ΑΒΓΔ και ΑΕΚΗ προκύπτει η ισότητα των γωνιών και των παραλληλογράμμων ΑΒΓΔ και ΚΘΓΖ. Επειδή δε ΑΚ 1 4 ΑΓ, είναι ΚΓ 3 ΑΓ. Τότε όμως θα έχουμε : 4 ΚΘ ΑΒ ΓΘ ΓΒ ΓΖ ΓΔ ΖΚ ΑΔ ΚΓ 3 ΑΓ 4, Επομένως είναι και αυτά όμοια.
ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 451 ΑΣΚΗΣΗ 6 Ένας μαθητής ξεκίνησε το πρωί από το σπίτι του Μ και αφού ακολούθησε τη διαδρομή που φαίνεται στο σχέδιο, έφτασε στο σχολείο του Σ. Το μεσημέρι επέστρεψε σπίτι του από άλλο δρόμο προκειμένου να περάσει και από το σπίτι ενός φίλου του που βρισκόταν στο σημείο Φ. Αν η συνολική διαδρομή που έκανε ο μαθητής ήταν 640 m, να βρείτε πόσο απέχουν τα σπίτια των δυο φίλων. Ποια είναι η κλίμακα του σχεδίου ; Επειδή η συνολική διαδρομή που έκανε ο μαθητής είναι 640 m και είναι 16 ίσα ευθύγραμμα τμήματα το κάθε τμήμα είναι 40 m, Άρα τα σπίτια των δύο φίλων που είναι 3 ίσα τμήματα θα απέχουν 3.4010 m. Επειδή το μήκος της πλευράς των τετραγώνων του σχεδίου είναι 1 cm παρατηρούμε ότι η διαδρομή του μαθητή είναι 16 cm.επομένως :. 16 cm 16 cm 16 1 Η κλίμακα του σχεδίου είναι κ. 640 m 64000 cm 64000 4000
45 ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Β Όμοια τρίγωνα Δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες ίσες. Δηλαδή είναι: Α αν Α Α, Β Β, Γ Γ ΑΒ ΑΓ ΒΓ και τοτε Α Β Α Γ Β Γ Δ Δ ΑΒΓ Α Β Γ Β Α Γ Γ Β Δύο τρίγωνα όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες τότε είναι όμοια (δηλαδή έχουν και τις γωνίες τους ίσες). ΑΒ ΑΓ ΒΓ αν Α Β Α Γ Β Γ Δ Δ τότε ΑΒΓ Α Β Γ οπότε Α Α, Β Β, Γ Γ Για να είναι δύο τρίγωνα όμοια αρκεί να έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία (οπότε θα έχουν και την Τρίτη γωνία του ίση και τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες). ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1. Ποια από τα παρακάτω ζεύγη τριγώνων είναι όμοια ; α) β) γ) Όμοια είναι τα ζεύγη των τριγώνων των περιπτώσεων (α) και (γ), γιατί δύο από τις γωνίες του ενός εκ των τριγώνων ισούται με τις αντίστοιχες γωνίες του άλλου.
ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 453. Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα του διπλανού σχήματος είναι όμοια. Κάθε μία από τις γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ 0 0 0 180 30 150 0 είναι 75. Έτσι συμπεραίνουμε ότι τα δύο ισοσκελή τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία επομένως αυτά είναι όμοια. 3. Να γράψετε τους ίσους λόγους στα παρακάτω ζεύγη των ομοίων τρίγωνων. α) β) γ) α) ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΔΕ ΒΓ ΕΖ ΑΓ ΖΔ α) Πρώτα γράφουμε τις 3 κλασματικές γραμμές με ενδιάμεσα. Κατόπιν στους αριθμητές τοποθετούμε τις πλευρές του ενός τριγώνου με οποιανδήποτε σειρά εδώ του ΑΒΓ τις ΑΒ, ΒΓ, ΑΓ. Στους παρονομαστές τοποθετούμε τις πλευρές του άλλου τριγώνου ως εξής: Η ΑΒ στο τρίγωνο ΑΒΓ είναι απέναντι από την γωνία Γ αλλά Z Γ Z και η γωνία στο ΖΕΔ είναι απέναντι από την πλευρά ΔΕ. Η ΒΓ στο ΑΒΓ είναι απέναντι από την γωνία Α αλλά Α Δ και η γωνία Δ στο ΖΕΔ είναι απέναντι από την πλευρά ΕΖ. Η ΑΓ στο ΑΒΓ είναι απέναντι από την γωνία Β αλλά και η γωνία στο ΖΕΔ είναι απέναντι Β Ε Ε
454 ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ β) ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΔΖ ΒΓ ΖΕ γ) ΓΑ ΕΔ ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΔΖ ΒΓ ΔΕ ΓΑ ΕΖ από την πλευρά ΖΔ. β) Όμοια όπως στο προηγούμενο ερώτημα συμπληρώνουμε και εδώ τους ίσους λόγους έχοντας υπόψη μας ότι απέναντι από ίσες γωνίες σε όμοια τρίγωνα βρίσκονται ομόλογες πλευρές. γ) Όμοια όπως στο προηγούμενο ερώτημα συμπληρώνουμε και εδώ τους ίσους λόγους έχοντας υπόψη μας ότι απέναντι από ίσες γωνίες σε όμοια τρίγωνα βρίσκονται ομόλογες πλευρές. 4. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Σ), αν είναι σωστές ή με (Λ), αν είναι λανθασμένες α) Δύο ισόπλευρα τρίγωνα είναι όμοια. β) Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία οξεία γωνία ίση, είναι όμοια. γ) Δύο όμοια τρίγωνα έχουν τις ομόλογες πλευρές τους ανάλογες. δ) Δύο ορθογώνια και ισοσκελή τρίγωνα είναι όμοια. ε) Αν δύο ισοσκελή τρίγωνα έχουν μια γωνία 40, είναι όμοια. στ) Ο λόγος των περιμέτρων δυο ομοίων τριγώνων, είναι ίσος με το λόγο ομοιότητάς τους. α) Η α είναι Σωστή (Σ), γιατί έχουν ίσες γωνίες (όλες 60 0 ) β) Η β είναι Σωστή (Σ), γιατί θα έχουν και τις άλλες οξείες γωνίες ίσες. γ) Η γ είναι Σωστή (Σ) δ) Η δ είναι Σωστή (Σ), γιατί θα έχουν ίσες και τις οξείες γωνίες του (45 0 ) ε) Η ε είναι Λάθος (Λ), γιατί σε περίπτωση που η γωνία των 40 0 είναι η γωνία της κορυφής τα τρίγωνα είναι όμοια αν όμως στο ένα είναι η γωνία της κορυφής και στο άλλο γωνία βάσης τότε τα τρίγωνα δεν είναι όμοια. στ) Η στ είναι Σωστή (Σ) 5. α) Να εξηγήσετε γιατί τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΕΖΗ είναι όμοια. β) Αν δύο πολύγωνα αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό ομοίων τριγώνων, είναι πάντοτε όμοια ;
ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 455 α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖΗ είναι όμοια γιατί είναι ορθογώνια και ισοσκελή. β) Όχι δεν είναι πάντοτε όμοια, γιατί το πρώτο είναι τετράγωνο, ενώ το δεύτερο είναι παραλληλόγραμμο. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να βρείτε τον αριθμό x σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις. α) β) γ) Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ είναι όμοια γιατί έχουν δύο γωνίες αντίστοιχα ίσες, σε όλες τις περιπτώσεις που εξετάζουμε. α) Από την ομοιότητα των τριγώνων αυτών έχουμε : ΑΒ ΒΓ 6cm 9cm 3 9cm ή ή ή 3x 18cm ή x 6cm. ΑΔ ΔΕ 4cm x x β) Από την ομοιότητα των τριγώνων αυτών έχουμε : ΑΒ ΒΓ 16cm 8cm 4 8cm ή ή ή 4x 4cm ή x 6cm. ΑΔ ΔΕ 1cm x 3 x γ) ) Από την ομοιότητα των τριγώνων αυτών έχουμε : ΑΒ ΒΓ x + 6cm 1cm x + 6cm 3 ή ή ή x +1cm 18cm ή x ΑΔ ΔΕ 6cm 8cm 6cm 18cm 1cm 6cm ή x 3cm. ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α Λ 90 0 ) και ΑΔ το ύψος του. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ είναι όμοια. Αν ΔΒ 4cm και ΔΓ 9cm, να βρείτε το μήκος του τμήματος ΑΔ.
456 ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΔ 0 έχουμε ότι ΔΑΓ 90 Γ Β Επομένως τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΔΓ είναι όμοια α- φού δύο γωνίες του ενός είναι ίσες με τις αντίστοιχες γωνίες του άλλου. Από την ομοιότητα αυτή έχουμε ΑΔ ΔΓ ή (ΑΔ) (ΔΒ)(ΔΓ) ή ΔΒ ΑΔ (ΑΔ) (4cm)(9cm) ή (ΑΔ) 36cm ή ΑΔ 6cm. ΑΣΚΗΣΗ 3 Στις κάθετες πλευρές ΑΒ 8 cm και ΑΓ 1 cm ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε αντιστοίχως τα σημεία Δ και Ε, ώστε ΑΔ cm και ΑΕ 3 cm. Να αποδείξετε ότι: α) ΔΕ // ΒΓ και β) τα τρίγωνα ΑΔΕ, ΑΒΓ είναι όμοια. α) Παρατηρούμε ότι είναι: ΑΒ 8cm 4 (1) και ΑΔ cm Β ΑΓ 1cm 4 ().Από τις σχέσεις ΑΕ 3cm (1) και () που έχουν τα δεύτερα μέλη τους ίσα θα έχουν και τα πρώτα Δ ΑΒ ΑΓ Α Ε Γ.Επομένως είναι : οπότε ΑΔ ΑΕ συμπεραίνουμε την παραλληλία των ΔΕ και ΒΓ β) Από την παραλληλία των ευθειών αυτών προκύπτει ότι τα τρίγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ έχουν τις γωνίες τους αντίστοιχα ίσες, επομένως αυτά είναι όμοια. Γ Α Δ Β
ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 457 ΑΣΚΗΣΗ 4 Να βρείτε το πλάτος ΑΒ του ποταμού αν ΑΓ 1 m, ΓΔ 8,8 m, ΕΔ 60 m και ˆΑ ˆΔ 90. Παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΓΕ ότι έχουν και τις γωνίες ΑΓΒ και ΔΓΕ ίσες ως κατακορυφήν.επομένως έχουμε : ΑΒ ΑΓ ΑΒ 1m ΑΒ 3 ή ή ή 7,(ΑΒ) 180m ή ΑΒ 5m ΔΕ ΔΓ 60m 8,8m 60m 7, ΑΣΚΗΣΗ 5 Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΕΓ, ΒΕΔ είναι όμοια και να υπολογίσετε τον αριθμό x. Τα τρίγωνα ΑΕΓ και ΒΕΔ είναι όμοια αφού ΑΕΓ ΒΕΔ ως κατακορυφήν και Β Γ ως εγγεγραμμένες που βλέπουν στο ίδιο τόξο.τότε ΑΕ ΕΓ 3 x 6 έχουμε : ή ή 3x 48 ή x 16 ή x 4. ΔΕ ΕΒ 8 x ΑΣΚΗΣΗ 6 Μπροστά στο μάτι μας και σε απόσταση 0,4 m κρατάμε κατακόρυφα ένα ραβδί ΑΒ 0,5 m. Αν μετακινηθούμε και σταθούμε σε ένα σημείο Ζ τέτοιο, ώστε οι ευθείες ΟΑ, ΟΒ να καταλήγουν στη βάση και στην κορυφή της κεραίας ενός ραδιοφωνικού σταθμού, διαπιστώνουμε ότι η απόστασή μας από τη κεραία είναι ΓΖ 16,8 m. Μπορείτε να βρείτε το ύψος της κεραί-
458 ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ας ; Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ είναι όμοια επειδή έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, αφού η γωνία Ο είναι κοινή στα δύο τρίγωνα και οι άλλες είναι ανά δύο αντίστοιχα ίσες ως εντός ε- κτός και επί τα αυτά. ΟΑ ΑΒ Έχουμε τώρα (1). ΟΓ ΓΔ Χαράζουμε στη συνέχεια την ΟΕΖ κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Ε και στην ΓΔ στο σημείο Ζ.Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΕΑ και ΟΖΓ είναι όμοια αφού εκτός από την ορθή γωνία έχουν ίσες και τις γωνίες Γ και Α. ΟΑ ΟΕ 0,4m 1 Επομένως είναι (). Από τις σχέσεις (1)και ΟΓ ΟΖ 16,8m 4 ΑΒ 1 0,5m 1 () προκύπτει ότι ή ή ΓΔ 4 0,5m 1m. ΓΔ 4 ΓΔ 4 ΑΣΚΗΣΗ 7 Στο τραπέζιο ΑΒΓΔ είναι ΕΖ // ΔΓ, ΒΗ // ΑΔ και ΕΘ // ΑΔ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΗΕ, ΕΘΓ είναι όμοια και να υπολογίσετε τον αριθμό x. Τα τρίγωνα ΒΗΕ και ΕΘΓ είναι όμοια είναι ΗΒΕ ΘΕΓ καθώς και ΗΕΒ ΘΓΕ ως εντός εναλλάξ. Είναι τώρα ΗΕ ΕΖ ΖΗ x 1cm και ΓΘ ΓΔ ΘΔ 8cm x. Από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε : ΗΕ ΒΕ x 1cm 9cm 3 ή ή 5 ( x 1cm ) 3 (8cm x) ή ΘΓ ΕΓ 8cm x 15cm 5 5x 60cm 84cm 3x ή 5x +3x 84cm + 60cm ή 8x 144cm ή 144 x cm 18cm 8
ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 459 ΑΣΚΗΣΗ 8 Ο γιος έχει ύψος 1,35 m. Ποιο είναι το ύψος του πατέρα του ; Εάν συμβολίσουμε με x το ύψος του πατέρα, από τα όμοια τρίγωνα 1,35m 3 5,4 του σχήματος έχουμε : ή 3x 5,4m ή x m 1,8m x 4 3 Ένα θέμα από την ιστορία των Μαθηματικών. H θεωρία των ομοίων σχημάτων ήταν γνωστή από τα μέσα του 7 ου αιώνα π.χ. Με τη βοήθεια της θεωρίας αυτής ο Θαλής ο Μιλήσιος (64-547 π.χ.), ένας από τους επτά σοφούς της αρχαιότητας, κατόρθωσε να υ- πολογίσει το ύψος της μεγάλης πυραμίδας του Χέοπος από το μήκος της σκιάς της αποσπώντας το θαυμασμό του βασιλιά της Αιγύπτου, του Άμασι. Δε γνωρίζουμε ακριβώς τις τεχνικές που χρησιμοποίησε ο Θαλής σ αυτό το επίτευγμά του. Ο Πλούταρχος, ωστόσο, μάς διηγείται τα εξής : «Αφού έστησε το ραβδί του ο Θαλής στο τέλος της σκιάς της πυραμίδας από τα δύο όμοια τρίγωνα που προκύπτουν από την επαφή της ακτίνας του ήλιου, απέδειξε ότι ο λόγος που είχε η σκιά της πυραμίδας προς τη σκιά της ράβδου ήταν ο ίδιος με το λόγο που είχε το ύψος της πυραμίδας προς το μήκος της ράβδου». Ο Διογένης ο Λαέρτιος, μάλιστα, ισχυρίζεται ότι ο Θαλής μέτρησε τη σκιά της πυραμίδας, όταν το μήκος της ράβδου έγινε ίσο με το μήκος της.
460 ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Μπορείτε να εξηγήσετε πώς ο Θαλής υπολόγισε τελικά το ύψος της πυραμίδας, αφού μπορούσε να μετρήσει το μήκος της πλευράς της τετραγωνικής βάσης της πυραμίδας και της σκιάς ΔΑ ; Παρατηρούμε ότι το τμήμα ΑΔ το οποίο είναι εσωτερικό της πυραμίδας ισούται με το μισό της τετραγωνικής πλευράς της βάσης της πυραμίδας. Επομένως προσθέτοντας στο ΔΑ το οποίο μετράτε, το μισό της βάσης της πυραμίδας βρίσκουμε το ΑΑ και στη συνέχεια παίρνοντας τους λόγους από την ομοιότητα των τριγώνων έχουμε : Α Β Α Γ.Από την σχέση αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος ΑΒ αφού γνωρίζουμε τα μήκη των υπολοίπων τμημάτων ΑΒ ΑΓ. 1 0 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ
ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 461 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ-ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 1 0 Αν τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα A Β ΑΒΓΔ και Α Β Γ Δ είναι όμοια και ο Α 6 cm λόγος ομοιότητας του ΑΒΓΔ προς το 6 cm 3 Α Β Γ Δ είναι, τότε να Δ Γ Δ συμπληρώσετε τις παρακάτω προτάσεις: α) Ο λόγος ομοιότητας του Α Β Γ Δ προς το ΑΒΓΔ είναι:. β) Η πλευρά ΑΒ είναι ίση με..cm. γ) Η πλευρά Β Γ είναι ίση με..cm. Περίμετρος Α Β Γ Δ δ) Ο λόγος είναι ίσος με. Περίμετρος ΑΒΓΔ (6 Μονάδες) Β Γ ΘΕΜΑ 0 α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ είναι όμοια και να γράψετε τους ίσους λόγους. Ε (4 Μονάδες) β) Να βρείτε το λόγο ομοιότητας του ΔΕΖ προς το ΑΒΓ. ( Μονάδες) ΘΕΜΑ 3 0 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ 8cm και ΑΓ 6 cm. Αν από το μέσο Δ της ΑΒ φέρουμε ΔΕ κάθετη στην υποτείνουσα ΒΓ, τότε : α) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ είναι όμοια και να γράψετε τους ίσους λόγους. (5 Μονάδες) β) Να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΒΓ, ΒΕ, και ΔΕ. (3 Μονάδες) Γ 100 50 Δ 5 Β Δ Α Ε 50 Ζ Α 30 Γ Β 0 ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ-ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ
46 ΜΕΡΟΣ Β 1.5 ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑ 1 0 Τετράγωνο ΑΒΓΔ έχει πλευρά α cm και τετράγωνο έχει πλευρά β cm. Π1 α) Ο λόγος των περιμέτρων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητας τους Π β) Ο λόγος των εμβαδών τους ομοιότητάς τους. Ε Ε 1 είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου (6 Μονάδες) ΘΕΜΑ 0 Οι πλευρές ενός τετραπλεύρου είναι 8 cm, 7 cm, 6 cm, 4 cm. Η μικρότερη πλευρά ενός άλλου τετραπλευρου όμοιου προς το πρώτο είναι cm. Να βρείτε τις άλλες πλευρές του τετραπλεύρου. (6 Μονάδες) ΘΕΜΑ 3 0 Ο λόγος ομοιότητας δύο ομοίων πολυγώνων είναι 3 και η περίμετρος του μικρότερου είναι 40 cm. Να βρείτε την περίμετρο του άλλου πολυγώνου. (8 Μονάδες)