Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων

Transcript

1 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Λόγος εμβαδών ομοίων σχημάτων Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας τους. Δηλαδή λ,όπου, τα εμβαδά των ομοίων σχημάτων και λ ο λόγος ομοιότητας τους. ΡΩΤΗΣΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ. Αν τα πολύγωνα ( Π ), ( Π ) είναι όμοια, να συμπληρώσετε τη σχέση που συνδέει τα εμβαδά τους, ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4 α) ίναι ή ή 4 6 β) ίναι ή 3 ή 9 γ) ίναι ή ή 4. Να συμπληρώσετε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις. α) Aν τριπλασιάσουμε κάθε πλευρά ενός τετραγώνου, τότε το εμβαδόν του γίνεται φορές μεγαλύτερο. β) Aν διπλασιάσουμε κάθε πλευρά ενός ισοπλεύρου τριγώνου, τότε το εμβαδόν του γίνεται. φορές μεγαλύτερο. γ) Αν ένας ρόμβος έχει πλευρά 6 c m και ένας άλλος όμοιός του ρόμβος έχει πλευρά 3 c m, τότε ο δεύτερος ρόμβος έχει εμβαδόν... φορές μικρότερο από το εμβαδόν του πρώτου ρόμβου. ΑΠΑΝΤΗΣΗ

2 464 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ α) Aν τριπλασιάσουμε κάθε πλευρά ενός τετραγώνου, τότε το εμβαδόν του γίνεται εννέα φορές μεγαλύτερο. β) Aν διπλασιάσουμε κάθε πλευρά ενός ισοπλεύρου τριγώνου, τότε το εμβαδόν του γίνεται τέσσερις φορές μεγαλύτερο. γ) Αν ένας ρόμβος έχει πλευρά 6 c m και ένας άλλος όμοιός του ρόμβος έχει πλευρά 3 c m, τότε ο δεύτερος ρόμβος έχει εμβαδόν τέσσερις.. φορές μικρότερο από το εμβαδόν του πρώτου ρόμβου. 3. Ένα ορθογώνιο ( Π ) είναι όμοιο με το ορθογώνιο ( Π ) με λόγο ομοιότητας. Ο Γιάννης ισχυρίζεται ότι το εμβαδόν του ( Π ) 5 είναι το 6 % του εμβαδού του ( Π ). Έχει δίκιο; ΑΠΑΝΤΗΣΗ άν και τα εμβαδά των δύο ορθογωνίων, τότε ή 6 %. Ο Γιάννης έχει δίκιο. ΠΡΟΤΙΝΟΜΝΣ ΑΣΚΗΣΙΣ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗ Στο διπλανό σχήμα είναι Δ // ΒΓ. ( ΑΔ ) Να υπολογίσετε το λόγο. ΑΒΓ ( ) Ο ζητούμενος λόγος είναι : ( ) ( ΑΒΓ) ΑΔ 3cm cm 5 5

3 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 465 ΑΣΚΗΣΗ Στο διπλανό σχήμα είναι Δ // ΒΓ. Αν το τρίγωνο ΑΔ έχει εμβαδόν 8 cm, τότε να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. Τα τρίγωνα ΑΔ και ΑΒΓ είναι όμοια επομένως έχουμε: ( ΑΔ ) 3 cm cm 9 Άρα έχουμε : ( ΑΒΓ) 5 cm 5 5 ( ΑΒΓ ) 5 9 (ΑΒΓ) 5 8cm 450 cm 450cm ή (ΑΒΓ) 50 cm 9 ΑΣΚΗΣΗ 3 Σε τραπέζιο ΑΒΓΔ με βάσεις ΑΒ cm και ΓΔ 5 cm, οι διαγώνιες ΑΓ και ΒΔ τέμνονται στο Ο. Να υπολογίσετε πόσες φορές το εμβαδόν του τριγώνου ΟΓΔ είναι μεγαλύτερο από το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ. ή Θα βρούμε τον λόγο των εμβαδών ( ΟΑΒ) ΑΒ cm ( ΟΓΔ) ΓΔ 5cm 5 5 ή (ΟΓΔ) 5 (ΟΑΒ). Άρα το εμβαδόν του ΟΓΔ είναι 5 φορές μεγαλύτερο από το εμβαδόν του ΟΑΒ. Δ Α Ο Β Γ ΑΣΚΗΣΗ 4 Aν Δ,, Ζ είναι τα μέσα των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ τριγώνου ΑΒΓ αντιστοίχως, τότε να υπολογίσετε τους λόγους ( ΑΖ) ( ΔΖ) α) β) ΑΒΓ) ΑΒΓ ( ( )

4 466 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ( ) α) ( ΑΒΓ) β) ( ) ( ΑΒΓ) ΑΖ Ζ, ΒΓ 4 ΔΖ Ζ ΒΓ 4 ΑΣΚΗΣΗ 5 Β Ζ Α Δ Γ Αν είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, ΔZ // ΒΓ και ΔH // ΑΓ, τότε να αποδείξετε ότι για τα εμβαδά,, 3 ισχύουν 9 4, 9 και 3. πειδή τα τρίγωνα ΑΔΖ και ΑΒΓ είναι όμοια έχουμε : ΑΔ 8cm 4 4 ή ΑΒ cm πειδή τα τρίγωνα ΔΒΗ και ΑΒΓ είναι όμοια έχουμε : ΔΒ 4cm ή. ΑΒ cm ίναι τώρα 3 ( + ) ΑΣΚΗΣΗ 6 Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε το ύψος ΑΔ που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα. Να υπολογίσετε τους λόγους ( ΑΒΔ) ( ΑΒΔ) α) β) ΑΓΔ ΑΒΓ ( ) ( )

5 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 467 α) Παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ είναι όμοια γιατί έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία (γιατί είναι συμπληρωματικές ίσων γωνιών), με λόγο ομοιότητας ΑΒ 4cm 4 ( ΑΒΔ) 4 6 λ. πομένως έχουμε :. ΑΓ 3cm 3 ( ΑΓΔ) 3 9 β) Παρόμοια συμπεραίνουμε ότι και τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΒΓ είναι όμοια. Για να βρούμε όμως τον λόγο ομοιότητας πρέπει να προσδιορίσουμε την υποτείνουσα ΒΓ του ΑΒΓ. ίναι δε (ΒΓ) (ΑΒ) + (ΑΓ) ( 4cm) +( 3cm) 6cm + 9cm 5cm.Άρα ΒΓ 5cm 5cm. πομένως ο λόγος ομοιότητας των ΑΒ 4cm 4 τριγώνων αυτών είναι. ΒΓ 5cm 5 ( ΑΒΔ) 4 6 ίναι λοιπόν. ( ΑΒΓ) 5 5 ΑΣΚΗΣΗ 7 Στο εσωτερικό τριγώνου ΑΒΓ παίρνουμε τυχαίο σημείο Ο. Αν Δ,, Ζ είναι αντιστοίχως τα μέσα των ΟΑ, ΟΒ, ΟΓ, τότε να αποδείξετε ότι α) το τρίγωνο ΔΖ είναι όμοιο με το τρίγωνο ΑΒΓ. β) το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας είναι ίσο με τα 4 3 του εμβαδού του τριγώνου ΑΒΓ. α) πειδή τα σημεία Δ και είναι τα μέσα των πλευρών ΟΑ και ΟΒ του τριγώνου ΟΑΒ το τμήμα Δ είναι παράλληλο προς την πλευρά ΑΒ του ΑΒΓ και ισούται με το μισό της. Παρόμοια συμπεραίνουμε ότι Ζ είναι παράλληλο και ίσο με το μισό της ΒΓ και το ΖΔ παράλληλο και όσο προς το μισό της ΑΓ. Τότε όμως τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΖ επειδή έχουν τις πλευρές τους παράλληλες θα έχουν και τις γωνίες τους ίσες επομένως αυτά είναι όμοια.ο λόγος ομοιότητας τους είναι. Δ ΑΒ

6 468 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ( ΔΖ) Τότε όμως. πομένως (ΔΖ) (ΑΒΓ). ( ΑΒΓ) 4 4 β) άν συμβολίσουμε με το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας τότε ( ΑΒΓ ) ( ΔΖ ) (ΑΒΓ ) 4 (ΑΒΓ) 4 3 (ΑΒΓ). ΑΣΚΗΣΗ 8 Έχουμε σχεδιάσει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν 40 cm. Να βρείτε το εμβαδόν του ορθογωνίου που θα προκύψει, αν το φωτοτυπήσουμε με α) μεγέθυνση 0 % β) σμίκρυνση 75 %. Παρατηρούμε ότι το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που θα προκύψει σε μία από τις περιπτώσεις που θα φωτοτυπήσουμε θα είναι όμοιο με το αρχικό και σε κάθε μία από τις περιπτώσεις θα είναι : α) άν α το ζητούμενο εμβαδόν, επειδή ο λόγος ομοιότητας των δύο ορθογωνίων είναι λ α, τότε α 6, cm τότε α 40cm 88 cm 57,6cm β) Αντίστοιχα επειδή ο λόγος λ β, για το ζητούμενο εμβαδόν 00 4 Β ή Β 40cm 90 cm,5cm. 6 4 β, έχουμε 40cm ΑΣΚΗΣΗ 9 Αν αυξήσουμε κάθε πλευρά ενός τετραγώνου κατά 30 %, τότε να βρείτε πόσο % αυξάνεται το εμβαδόν του. άν συμβολίσουμε με α την πλευρά του αρχικού τετραγώνου τότε η πλευρά αυτού που θα προκύψει μετά την αύξηση θα είναι εάν την 30 3 συμβολίσουμε β α + α α. Ο λόγος ομοιότητας των δύο τε τραγώνων θα είναι λ α 0.άν συμβολίσουμε α και β τα 3α 3 0

7 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 469 εμβαδά των δύο τετραγώνων, τότε θα έχουμε : α β ή 69 β α. πομένως η διαφορά των εμβαδών των δύο τετραγώνων είναι β α α α α.άρα το εμβαδόν αυξάνεται κατά % ΑΣΚΗΣΗ 0 Οι διαστάσεις ενός ορθογωνίου οικοπέδου μειώθηκαν κατά 0 %, γιατί αυξήθηκε το πλάτος των διπλανών δρόμων.να βρείτε πόσο % μειώθηκε το εμβαδόν του οικοπέδου. 80 Αφού οι διαστάσεις μειώθηκαν κατά 0% το μήκος ΑΚ (ΑΒ) ή 00 ΑΚ 80 4 ΑΜ Παρόμοια βρίσκουμε ότι. Τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα ΑΚΛΜ και ΑΒΓΔ είναι όμοια με λόγο ΑΒ 00 5 ΑΔ 00 5 ομοιότητας λ 5 4. άν συμβολίσουμε ΑΚΛΜ και ΑΒΓΔ τα εμβαδά των δύο ΑΚΛΜ παραλληλογράμμων τότε. Άρα ΑΚΛΜ ΑΒΓΔ. ΑΒΓΔ Το εμβαδόν μειώνεται κατά 6 9 ΑΒΓΔ ΑΚΛΜ ΑΒΓΔ ΑΒΓΔ ΑΒΓΔ,δηλαδή 5 5 κατά 9 36 ή 36% του εμβαδού του ΑΒΓΔ. 5 00

8 470 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΓΝΙΚΣ ΑΣΚΗΣΙΣ ου ΚΦΑΛΑΙΟΥ. Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔ του διπλανού σχήματος είναι ισοσκελή, να αποδείξετε ότι ΒΔ Γ. πειδή το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ ΑΓ, οι γωνίες οι προσκείμενες στην βάση ΒΓ είναι ίσες.πομένως ΑΒΓ ΑΓΔ (). Παρόμοια όμως από το ισοσκελές τρίγωνο ΑΔ στο οποίο ΑΔ Α είναι ΑΔ ΑΔ, τότε όμως και οι παραπληρωματικές τους γωνίες θα είναι ίσες οπότε ΑΔΒ ΑΓ ().Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΑΓ έχουν δύο από τις γωνίες τους ίσες μία προς μία., ε- πομένως θα έχουν και τις τρίτες, δηλαδή. ΒΑΔ ΑΓ (3). Τότε όμως τα τρίγωνα ΑΒΔ και ΑΓ θα είναι ίσα επειδή ικανοποιούν τις απαιτήσεις του κριτηρίου Π Γ Π, αφού ΑΒ ΑΓ, ΑΔ Α και οι μεταξύ αυτών περιεχόμενες γωνίες είναι ίσες όπως φαίνεται από την σχέση (). Άρα θα έχουν και τις πλευρές ΒΔ και Γ ίσες.. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημεία Ζ, των πλευρών ΑΒ και ΒΓ αντιστοίχως, τέτοια ώστε ΑΖ Β. Να αποδείξετε ότι α) ΔΖ Α β) ΔΖ Α. α) Παρατηρούμε ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΒ και ΑΔΖ είναι ίσα γιατί έχουν τις κάθετες πλευρές τους ίσες μία προς μία. πομένως έ- χουν και τις υποτείνουσες, άρα ΔΖ Α. β) Παρατηρούμε τώρα ότι ΔΑ ΑΒ () ως εντός εναλλάξ.πειδή όμως ΑΒ Ζ () όπως προκύπτει από την ισότητα των τριγώνων,θα είναι και ΔΑ Ζ, όπως συμπεραίνουμε από τις σχέσεις () και ().

9 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 47 0 Θα είναι δε ΑΔΖ+ ΔΑ ΑΔΖ+ Ζ 90 ως άθροισμα οξειών γωνιών ορθογωνίου τριγώνου. Από την σχέση αυτή όμως προκύπτει ότι ΔΖ Α. 3. Σε ευθεία (ε) να πάρετε τα διαδοχικά σημεία Α, Β και Γ. Προς το ίδιο μέρος της ευθείας να κατασκευάσετε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΖ και ΒΓΗ. Να αποδείξετε ότι ΑΗ ΓΖ. Θα δείξουμε ότι τα τρίγωνα ΑΒΗ και ΒΓΖ είναι ίσα. Αυτά έχουν : ΑΒ ΒΖ ως πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ. ΒΗ ΒΓ ως πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου ΗΒΓ, και τέλος ΑΒΗ ΖΒΓ αφού ΑΒΗ ΑΒΖ+ ΖΒΗ. Άρα ΖΒΗ ΖΒΗ+ ΗΒΓ ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Π Γ Π επομένως τα τρίγωνα είναι ίσα, οπότε και ΑΗ ΓΖ. Ζ Η Α Β Γ ε 4. Σε δύο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ΒΓ Β Γ, Β Β και οι διχοτόμοι ΒΜ και Β Μ είναι ίσες. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι ίσα. Α Α Λ Λ Μ Μ Παρατηρούμε ότι Β Γ Γ Β ΜΒΓ Μ Β Γ (),αφού κάθε μία από αυτές είναι ίση με το μισό των ίσων μεταξύ τους γωνιών Β και Β. Τότε όμως τα τρίγωνα ΜΒΓ και Μ Β Γ είναι ίσα αφού έχουν ΒΓ Β Γ, ΒΜ

10 47 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Β Μ και τις μεταξύ αυτών περιεχόμενες γωνίες ίσες όπως προκύπτει από την σχέση (), οπότε ικανοποιούν τις απαιτήσεις του κριτηρίου Π Γ Π.Τα τρίγωνα τότε αυτά θα έχουν και τις γωνίες Γ και Γ ίσες. Τέλος θα είναι και τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ ίσα αφού έχουν ΒΓ Β Γ και τις προσκείμενες στις γωνίες αυτές πλευρές αντίστοιχα ίσες αφού Β Β και Γ Γ, οπότε ικανοποιούνται οι απαιτήσεις του κριτηρίου Γ Π Γ. 5. Στο διπλανό σχήμα είναι ΒΔ // ΑΓ και Δ // ΓΒ. α) Να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΟΔ και Ο. β) Να αποδείξετε ότι ΟΒ ΟΑ Ο. ΟΑ ΑΒ,ή ΟΓ ΓΔ 5 3cm 8, ή 5(ΓΔ) 8cm, ή ΓΔ cm, ή ΓΔ 3,6cm. 6 ΓΔ 5 α) Από την παραλληλία των ΑΓ και ΒΔ έχουμε : 5cm 3cm,ή 6cm ΓΔ Τότε όμως ΟΔ ΟΓ+ΓΔ 6cm + 3,6cm 9,6cm. Από την παραλληλία των ΒΓ και Δ έχουμε : ΟΒ ΟΓ 8cm 6cm Β 3,6cm ή 4 3 Β 3,6cm, ή 3(Β) 4,4cm ή Β 4,4 cm, ή 3 Β 4,8cm.πομένως Ο 5cm + 3cm + 4,8cm,8cm. ΟΑ β) Από την παραλληλία των ΑΓ και ΒΔ έχουμε : ΟΓ ΟΑ ΟΒ ΟΓ ΟΔ σχέση (). Β ΓΔ ΟΒ ΟΔ Παρόμοια από την παραλληλία των ΒΓ και ΟΒ Ο ΟΒ ΟΓ Δ έχουμε : ή σχέση (). Από τις σχέσεις () ΟΓ ΟΔ Ο ΟΔ και () οι οποίες έχουν τα δεύτερα μέλη τους ίσα συμπεραίνουμε ότι θα έχουν και τα πρώτα : ΟΑ ΟΒ ή (ΟΒ) (ΟΑ)(Ο) ΟΒ Ο,ή ή

11 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει πλευρά 6 cm. Nα βρείτε την πλευρά ενός άλλου ισοπλεύρου τριγώνου που έχει διπλάσιο εμβαδόν. άν συμβολίσουμε με α την πλευρά του δοσμένου τριγώνου και β την ζητουμένη τότε α 6cm. πειδή δύο ισόπλευρα τρίγωνα είναι πάντοτε όμοια με λόγο ομοιότητας τον λόγο των πλευρών τους, και ο λόγος των εμβαδών ισούται με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητας α έχουμε : β 6cm ή β ή 36cm β ή β 7cm β 7cm 7cm 36 cm 36 cm 6 cm. 7. Οι διαγώνιοι τετραγώνου ΑΒΓΔ τέμνονται στο σημείο Ο. Από το μέσον Μ του ΟΒ να φέρετε Μ ΑΔ και ΜΖ ΓΔ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τετραγώνου ΜΔΖ. ή Παρατηρούμε ότι το ΔΜΖ είναι τετράγωνο και ότι η διαγώνιος του ΔΜ 4 3 ΔΒ. πομένως ο λόγος ομοιότητας των δύο τετραγώνων είναι ΔΜ ΔΒ 3 4. Τότε έχουμε : ΔΜΖ ΑΒΓΔ 3 4 ή ΔΜΖ (8cm) 6 ΔΜΖ 576cm 576 ή ΔΜΖ cm 36cm 6 9 6,ή ΔΜΖ 64cm 9 6 ή 8. Με πλευρά τη διαγώνιο ΑΓ, τετραγώνου ΑΒΓΔ πλευράς x, να σχηματίσετε το τετράγωνο ΑΓΖ. α) Να υπολογίσετε το λόγο ( ΑΓΖ ) ( ΑΒΓΔ). β) Αν ( ΑΓΖ) 00 cm, να υπολογίσετε

12 474 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ την πλευρά x. α) Από το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε : (ΑΓ) (ΑΒ) +(ΒΓ) x + x x. πομένως ΑΓ x x. ίναι τώρα : ( ΑΓΖ ) ( ΑΒΓΔ) β) ( ) ΑΓ ΑΒ x ( ) x 00cm ή (ΑΒΓΔ) 00cm ή (ΑΒΓΔ) 00cm και x0 cm. ΑΒΓΔ 9. Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι Δ // ΒΓ και (ΑΔ) 6 9 (ΑΒΓ). Να υπολογίσετε το x.. Παρατηρούμε ότι τα τρίγωνα ΑΔ και ΑΒΓ είναι όμοια με λόγο ο- ΑΔ 3cm μοιότητας. Από την δοσμένη σχέση έχουμε : ΑΒ x + 3cm ( ΑΔ) 9 ΑΔ 3cm 3cm 3, ή ή 3x +9cm cm ή ( ΑΒΓ) 6 ΑΒ x + 3cm x + 3cm 4 3x cm 9cm 3cm ή x cm.

13 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Στο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος είναι Δ // ΒΓ, ΔΖ // ΑΓ και Η // ΑΒ. Να αποδείξετε ότι α) ΒΖ ΓΗ 6 β) (ΔΖΗ) ( ΑΒΓ ). 49 α) πειδή ΔΖ // ΑΓ τα τρίγωνα ΒΔΖ και ΑΒΓ έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία, οπότε αυτά είναι όμοια. Ο λόγος ομοιότητας των δύο τριγώνων είναι : ΒΖ ΒΔ cm σχέση (). ΒΓ ΒΑ 5cm 5 Το τετράπλευρο ΔΗΒ είναι παραλληλόγραμμο επειδή έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες, οπότε είναι και Η ΔΒ cm. Από την παραλληλία των Η και ΑΒ προκύπτει η ομοιότητα των τριγώνων ΓΗ Η cm ΓΗ και ΑΒΓ, από την οποία έχουμε σχέση () ΒΓ ΑΒ 5cm 5 ΒΖ ΓΗ.Από τις σχέσεις () και () έχουμε : σχέση (3). πειδή στην ΒΓ ΒΓ σχέση (3) έχουμε ίσα κλάσματα με ίσους παρονομαστές τα κλάσματα αυτά θα έχουν και ίσους αριθμητές, άρα ΒΖ ΓΗ. β) πειδή όπως είδαμε παραπάνω είναι Η ΔΒ, Γ ΔΖ και ΓΗ ΒΖ τα τρίγωνα ΗΓ και ΔΒΖ είναι ίσα.ακόμα έχουμε : ( ΒΔΖ) 4 4. Τότε όμως (ΒΔΖ) (ΑΒΓ). ίναι τώρα ( ΑΒΓ) (ΔΗΖ) (ΑΒΓ) (ΔΒΖ) (ΗΓ) (ΑΒΓ) (ΔΒΖ) 4 7 (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) 5 5

14 476 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΘΜΑΤΑ. α) Να σχεδιάσετε δύο πολύγωνα (Π ) και (Π 3 ) όμοια προς το (Π ) των οποίων ο λόγος ομοιότητας τους προς το (Π ) είναι και 3 αντιστοίχως. Π β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα Πολύγωνο Π Πολύγωνο Π Πολύγωνο Π 3 Περίμετρος Περίμετρος Περίμετρος μβαδόν.. μβαδόν.. μβαδόν.. γ) Αν ενός πολυγώνου διατηρήσουμε σταθερές τις γωνίες και διπλασιάσουμε το μήκος των πλευρών του, τότε η περίμετρος..και το εμβαδόν.. Τριπλασιάσουμε το μήκος των πλευρών του, τότε η περίμετρος..και το εμβαδόν.. α) Π Π Π 3 β) Πολύγωνο Π Πολύγωνο Π Πολύγωνο Π 3 Περίμετρος 9 Περίμετρος 8 Περίμετρος 7 μβαδόν 3.. μβαδόν.. μβαδόν 7.. γ) διπλασιάσουμε το μήκος των πλευρών του, τότε η περίμετρος διπλασιάζεται και το εμβαδόν τετραπλασιάζεται.

15 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 477 Τριπλασιάσουμε το μήκος των πλευρών του, τότε η περίμετρος τριπλασιάζεται και το εμβαδόν εννεαπλασιάζεται.. Σχεδιάστε ένα τετράγωνο με πλευρά, διπλασιάστε, τριπλασιάστε,.. την πλευρά του και σχεδιάστε τα τετράγωνα που προκύπτουν. Υπολογίστε το εμβαδόν των τετραγώνων που σχεδιάσατε και βάλτε το σε ένα πίνακα. α) Να συγκρίνετε το λόγο των εμβαδών δύο τυχαίων τετραγώνων με το λόγο ομοιότητάς τους. Τι διαπιστώνετε; β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τμήματος που περιέχεται μεταξύ δύο διαδοχικών τετραγώνων. Τι διαπιστώνετε; Μπορείτε να διατυπώσετε μια εικασία; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πλευρά μβαδόν Διαφορά εμβαδού από το προηγούμενο Τ -0 Τ Τ Τ Τ ν ν ν Τ ν+ ν+ (ν+) (ν+) -ν ν+ α) Αν συγκρίνουμε το λόγο των εμβαδών δύο τυχαίων τετραγώνων με το λόγο ομοιότητάς τους παρατηρούμε ότι είναι ίσος με το τετράγωνό του. Τ Για παράδειγμα 6 4 Τ β) Παρατηρούμε ότι τα διαδοχικά εμβαδά των τμημάτων που περιέχονται μεταξύ δύο διαδοχικών τετραγώνων δημιουργούν τους περιττούς αριθμούς.

16 478 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΦΑΛΑΙΟ ο ΜΡΟΥΣ Β (ΓΩΜΤΡΙΑ) ΠΡΟΧΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΦΑΛΑΙΟ ΘΜΑ Ο : Α..Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο τυχαίων τριγώνων.. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθυγράμμου τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του. Β..Πότε δύο τρίγωνα είναι όμοια. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Θαλή. ΘΜΑ Ο : 0 Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( A 90 ) έχει ΑΒ 4cm και ΑΓ 3cm.Πάνω στην πλευρά ΑΒ παίρνουμε σημείο έτσι ώστε Α ΑΒ και πάνω στην ΑΓ παίρνουμε σημείο Ζ ώστε ΑΖ0,75 cm. α) Να δείξετε ότι η Ζ είναι παράλληλη της ΒΓ. β) Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΖ είναι όμοια. γ) Να υπολογίσετε τις πλευρές ΒΓ και Ζ. 4

17 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 479 ΚΦΑΛΑΙΟ ο ΜΡΟΥΣ Β (ΓΩΜΤΡΙΑ) ΠΡΟΧΙΡΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ο ΚΦΑΛΑΙΟ ΘΜΑ Ο : Α.. Να διατυπώσετε τα κριτήρια ισότητας δύο ορθογωνίων τριγώνων.. Να αποδείξετε ότι κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της. Β. Πότε δύο πολύγωνα είναι όμοια;. Με τι είναι ίσος ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων; ΘΜΑ Ο : Στο διπλανό σχήμα Δ//ΒΓ. Α α) Να βρείτε δύο τρίγωνα που είναι όμοια ΑΔ β) Αν και Δ 4 ποιο είναι ΑΒ 3 Δ το μήκος της ΒΓ; γ) Αν Δ ΒΓ ποια είναι η θέση των σημείων Δ και στις Β Γ πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα.

18 480 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο Β Μέρους ΤΣΤ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ. Δύο. λέγονται όμοια όταν έχουν τις τους ίσες..τις πλευρές τους.. Αν δύο τρίγωνα έχουν μία. ίση και τις στην. αυτή.. ίσες μία προς μία,τότε είναι. 3. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις.ίσες μία προς μία,τότε είναι ίσα. 4. Σε κάθε..τρίγωνο οι της βάσης του είναι ίσες. 5. Κάθε σημείο της.ενός ευθυγράμμου τμήματος..από τα.. 6. Κάθε σημείο της.. μιας.. ισαπέχει από τις πλευρές της. 7. Ο λόγος δύο ευθυγράμμων τμημάτων είναι. με το λόγο των.. τους εφόσον έχουν μετρηθεί με την.... μέτρησης. 8. Δύο ομοιόθετα ευθύγραμμα τμήματα που δεν βρίσκονται στην.. ευθεία είναι.. 9. Δύο. πολύγωνα που έχουν το.. πλήθος.. είναι όμοια 0.Ο λόγος των.. δύο. σχημάτων είναι ίσος με το. του λόγου

19 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 48 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο Β Μέρους ΤΣΤ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΠΙΛΟΓΩΝ. Ποια από τις παρακάτω γωνίες είναι η περιεχομένη γωνία των πλευρών ΑΓ και ΒΓ σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ: Α Β. Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΖ.Αφού φτιάξετε ένα σχήμα για κάθε περίπτωση, να βρείτε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις τα τρίγωνα είναι ίσα. α) ΑΒΔ, ΑΓΔΖ, ΒΓΖ β) ΑΒΔ, γ) ΑΓΔΖ, Α Δ, Γ Ζ, δ) ΑΒΔ, ΒΓΖ ε) Γ Α Δ, Β, Γ Ζ Α Δ,Β, Γ Ζ στ) ΑΒΑΓ, ΔΖ, Α 3. Στο διπλανό σχήμα είναι Δ Ζ. Ποιο από τα παρακάτω ισχύει; Γ Β, Δ Α, Δ Γ Δ, Γ Β Ζ, Κανένα από αυτά Β Ζ Α Β 4. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο λόγος ομοιότητας των κύβων Α και Β; Α Β, 9 3,,, κανένας από αυτούς αcm 3 β3cm 5. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι ο λόγος των επιφανειών των παραπάνω κύβων; 4 3, 6 8 4,,, κανένας από αυτούς 8 5 9

20 48 ΜΡΟΣ Β.6 ΛΟΓΟΣ ΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ: Ο Κεφάλαιο Β Μέρους ΤΣΤ ΔΙΑΖΥΚΤΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΗΣ Η ΤΥΠΟΥ «ΣΩΣΤΟ- ΛΑΘΟΣ» Από τις παρακάτω προτάσεις μερικές είναι σωστές και μερικές λάθος. Βάλτε σε κύκλο το Σ για τις σωστές και το Λ για τις λανθασμένες.. α) Όλα τα τετράγωνα είναι όμοια Σ Λ β) Όλα τα ορθογώνια είναι όμοια Σ Λ. α) Δύο τρίγωνα ίσα είναι και όμοια Σ Λ β) Δύο τρίγωνα όμοια είναι και ίσα Σ Λ. α) Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ίσες και μια γωνία ίση είναι ίσα Σ Λ β) Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις γωνίες τους ίσες είναι ίσα. Σ Λ 3. Ο λόγος των εμβαδών δύο ομοίων σχημάτων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητάς τους Σ Λ 4. Το ομοιόθετο ενός τετραγώνου είναι τετράγωνο Σ Λ 5. Ο λόγος της ακτίνας ενός κύκλου προς την διάμετρό του είναι Σ Λ 6. Ο λόγος της περιμέτρου ενός τετραγώνου προς την πλευρά του είναι 4 Σ Λ 7. Ο λόγος των περιμέτρων δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με το λόγο ομοιότητάς τους. Σ Λ 8. Αν προσθέσουμε cm σε κάθε πλευρά τριγώνου το νέο τρίγωνο είναι όμοιο με το αρχικό Σ Λ 9. Αν δύο ορθογώνια τρίγωνα έχουν μία πλευρά ίση και δύο αντίστοιχες γωνίες ίσες μία προς μία είναι ίσα. Σ Λ