Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα βελτιστοποίησης υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση υδρολογικών μοντέλων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα βελτιστοποίησης υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση υδρολογικών μοντέλων Παρουσίαση διδακτορικής διατριβής για κρίση Ανδρέας Ευστρατιάδης Ιανουάριος 2008

Ιστορικό της διατριβής Αναγνωρίσεις Διάρκεια: Οκτώβριος 2002 Νοέμβριος 2007 Τριμελής συμβουλευτική επιτροπή: Δ. Κουτσογιάννης, Αναπλ. Καθηγητής Ε.Μ.Π. (επιβλέπων) Μ. Μιμίκου, Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ν. Μαμάσης, Λέκτορας Ε.Μ.Π. Λοιπά μέλη εξεταστικής επιτροπής: Δ. Τολίκας, Καθηγητής Α.Π.Θ. Γ. Καρατζάς, Καθηγητής Πολυτεχνείου Κρήτης Ι. Ναλμπάντης, Eπίκουρος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Μ. Καρλαύτης, Eπίκουρος Καθηγητής Ε.Μ.Π. Το αντικείμενο της διατριβής εντάχθηκε σε ερευνητικό πρόγραμμα του έργου «Ηράκλειτος: Υποτροφίες Έρευνας με προτεραιότητα στη Βασική Έρευνα του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου». Υποβλήθηκαν 4 ενδιάμεσες ετήσιες εκθέσεις προόδου και παρήχθησαν 12 διεθνείς δημοσιεύσεις (4 σε άρθρα περιοδικών, 1 σε κεφάλαιο βιβλίου, 7 σε πρακτικά συνεδρίων). Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 2

Μέρος Α: Θεωρία βελτιστοποίησης και υπολογιστικά εργαλεία Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 3

Ορισμοί και παραδοχές Στοχική (objective) συνάρτηση: Μαθηματική έκφραση που αποτελεί το μέτρο της επίδοσης ενός συστήματος ως προς ένα ή περισσότερα κριτήρια ελέγχου στη γενική περίπτωση, οι τιμές των κριτηρίων υπολογίζονται μέσω ενός μοντέλου προσομοίωσης του εν λόγω συστήματος, οπότε η στοχική συνάρτηση δεν έχει αναλυτική έκφραση και είναι μη γραμμική ως προς τις μεταβλητές ελέγχου της. Περιορισμοί: Αφορούν στους φυσικούς και λειτουργικούς περιορισμούς του συστήματος, που είτε είναι ρητά ενταγμένοι στη στοχική συνάρτηση (ως μέτρα ποινής) ή ενσωματώνονται στο μοντέλο προσομοίωσης. Βαθμωτή βελτιστοποίηση: Συστηματική διαδικασία αναζήτησης ενός πεπερασμένου πλήθους σημείων και αποτίμησης αυτών στη βάση μιας βαθμωτής στοχικής συνάρτησης, με σκοπό τον εντοπισμό του σημείου εκείνου για το οποίο μεγιστοποιείται /ελαχιστοποιείται η τιμή της εν λόγω συνάρτησης. Πολυκριτηριακή βελτιστοποίηση: Η διαδικασία αναζήτησης των πλέον πρόσφορων ανταγωνισμών μεταξύ των συνιστωσών μιας διανυσματικής ή πολυστοχικής (multiobjective) συνάρτησης. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 4

Βελτιστοποίηση βαθμωτών και διανυσματικών στοχικών συναρτήσεων Μεταβλητές ελέγχου Στοχική συνάρτηση Πεδίο ορισμού Πεδίο τιμών Σύγκριση λύσεων (θεωρείται πρόβλημα ελαχιστοποίησης) Εφικτότητα απόλυτα βέλτιστης λύσης Βαθμωτή βελτιστοποίηση x = [x 1,, x n ] f(x) X R n F R Ηλύσηx 1 υπερτερεί της x 2 αν f(x 1 ) < f(x 2 ) Ηλύσηx * είναι ολικά βέλτιστη αν f(x * ) f(x) για κάθε x Χ Διανυσματική βελτιστοποίηση x = [x 1,, x n ] f(x) = [f 1 (x),, f m (x)] X R n F R m Ηλύσηx 1 υπερτερεί της x 2 αν f j (x 1 ) < f j (x 2 ) για κάθε συνιστώσα j = 1,, m Εφόσον τα κριτήρια είναι αντικρουόμενα, δεν υπάρχει εφικτό σημείο x * τέτοιο ώστε f j (x * ) f j (x) για κάθε x Χ και για κάθε j = 1,, m Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 5

Η έννοια της κυριαρχίας Το μέτωπο Pareto f 2 Περιοχή λύσεων που είναι αδιάφορες ως προς την Α (f A ~ f) Λύσεις επί των οποίων η Α κυριαρχεί ασθενώς (f A f) Περιοχή λύσεων επί των οποίων η Α κυριαρχεί (f A < f) Περιοχή λύσεων που κυριαρχούν επί της Α (f A > f) Ουτοπική ή ιδεατή λύση Σημείο (λύση) αναφοράς, Α Μέτωπο Pareto Όριο πεδίου αποτίμησης Περιοχή λύσεων που είναι αδιάφορες ως προς την Α (f A ~ f) f 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 6

Η έννοια του βέλτιστου Pareto Ορισμοί βελτίστου διανυσματικών συναρτήσεων (θεωρείται πρόβλημα ελαχιστοποίησης των κριτηρίων): Ένα εφικτό διάνυσμα x * Χ είναι βέλτιστο εφόσον δεν υπάρχει άλλο εφικτό διάνυσμα x Χ τέτοιο ώστε f(x) f(x * ). Ένα εφικτό διάνυσμα x * Χ είναι βέλτιστο αν δεν υπάρχει άλλο διάνυσμα x Χ που να μπορεί να βελτιώσει κάποιο κριτήριο f ι χωρίς ταυτόχρονα να χειροτερέψει τουλάχιστον ένα άλλο κριτήριο f j. Οι παραπάνω ορισμοί οδηγούν σε ένα σύνολο εφικτών λύσεων x* που καλούνται βέλτιστες Pareto ή μη κατώτερες (non inferior) ή μη κυριαρχούμενες (non dominated), συμβολίζεται με Χ * και καλείται σύνολο Pareto (Pareto set). Η απεικόνισή του F * ορίζει ένα υποσύνολο του πεδίου αποτίμησης F, που καλείται μέτωπο Pareto (Pareto front). Τα βέλτιστα Pareto σημεία μιας διανυσματικής συνάρτησης είναι μαθηματικά ισοδύναμα στηνπράξη, εφόσον απαιτείται η επιλογή μιας μοναδικής λύσης, προκύπτει η ανάγκη προσδιορισμού του καλύτερα συμβιβαστικού (best compromise) εξ αυτών, είτε κατά την κρίση του αναλυτή ή βάσει ενός βαθμωτού μέτρου συνάθροισης των κριτηρίων, που καλείται συνάρτηση χρησιμότητας (utility function). Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 7

Κλασικές τεχνικές πολυκριτηριακής ανάλυσης Επιδιώκεται η εύρεση μιας μεμονωμένης λύσης, βελτιστοποιώντας τη στοχική συνάρτηση ενός μονοκριτηριακού προβλήματος, που θεωρείται ότι ταυτίζεται με τη συνάρτηση χρησιμότητας του αρχικού. Τα χαρακτηριστικά της εν λόγω λύσης εκφράζονται με τη μορφή βαρών, τιμών στόχων ή προτεραιοτήτων, που προσδιορίζονται εκ των προτέρων (πριν τη βελτιστοποίηση), με τρόπο υποκειμενικό/εμπειρικό. Διαφοροποιώντας τη διατύπωση του μετασχηματισμένου προβλήματος και επαναλαμβάνοντας τη διαδικασία αναζήτησης, είναι δυνατός ο εντοπισμός εναλλακτικών μη κατώτερων λύσεων. Τα μειονεκτήματα της παραπάνω προσέγγισης είναι: Αυθαίρετη διατύπωση της συνάρτησης χρησιμότητας, που δεν αποκλείει την «καθοδήγηση» της διαδικασίας σε μια προαποφασισμένη επιλογή Βήμα προς βήμα προσέγγιση του μετώπου Pareto υπολογιστικός φόρτος Αριθμητικές δυσχέρειες (ευαισθησία στο σχήμα του μετώπου Pareto, αδυναμία εντοπισμού μη κυρτών περιοχών του, προβλήματα κλίμακας εξαιτίας της συνάθροισης μη συμμετρούμενων κριτηρίων, εισαγωγή περιορισμών) Αδυναμία αναγνώρισης των ανταγωνισμών των κριτηρίων. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 8

Σύγχρονες πολυκριτηριακές προσεγγίσεις Επιδιώκεται ο ταυτόχρονος εντοπισμός ενός αντιπροσωπευτικού δείγματος μη κατωτέρων λύσεων, με χρήση εξελικτικών αλγορίθμων. Διατηρούνται οι τυπικές παραγωγικές διαδικασίες (διασταύρωση, μετάλλαξη), ενώ η διαδικασία επιλογής γίνεται με βάση: ένα μέτρο κυριαρχίας, με το οποίο κάθε άτομο κατατάσσεται/ταξινομείται με βάση τη σχετική του θέση στο πεδίο αποτίμησης, εξασφαλίζοντας σύγκλιση του πληθυσμού προς το μέτωπο Pareto ένα μέτρο διασποράς, που ευνοεί την επιλογή ατόμων που έχουν λιγότερα άλλα μέλη του πληθυσμού στη γειτονιά τους, εξασφαλίζοντας μια ομοιόμορφη κατανομή του τελικού δείγματος στο μέτωπο Pareto. Συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει ένα μέτρο καταλληλότητας, βάσει του οποίου διαμορφώνεται μια τεχνητή επιφάνεια απόκρισης που αναπροσαρμόζεται σε κάθε γενιά η διαδικασία βελτιστοποίησης πραγματοποιείται πάνω στην εν λόγω επιφάνεια, όντας αντίστοιχη της αναζήτησης ακροτάτων μιας μη γραμμικής βαθμωτής συνάρτησης. Οι σύγχρονες προσεγγίσεις προσβλέπουν, επιπλέον, σε προστασία των καλών λύσεων, με την εφαρμογή σχημάτων εκλεκτισμού (elitism). Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 9

Παράδειγμα 1: Η μέθοδος NSGA (Non dominated Sorting Genetic Algorithm Srinivas & Deb, 1993) Ο πληθυσμός ομαδοποιείται σε μέτωπα (fronts), όπου το πρώτο περιλαμβάνει τις μη κατώτερες λύσεις του συνόλου του πληθυσμού, το δεύτερο τις μη κατώτερες λύσεις όλου του πληθυσμού πλην των μελών του πρώτου, κοκ. Σε κάθε μέτωπο αντιστοιχεί ένας κοινός δείκτης κατάταξης ή αλλιώς τάξη (rank). Η τάξη διαιρείται με ένα μέτρο πυκνότητας, που ορίζεται με βάση μια συνάρτηση συσσώρευσης (sharing function) της μορφής: f 2 Μέτωπο τάξης 2 Μέτωπο τάξης 3 s(d ij ) = 1 (d ij / σ s ) 2, αν d ij < σ s όπου d ij ηευκλείδεια απόσταση κάθε ζεύγους σημείων i, j και σ s παράμετρος γνωστή ως ακτίνα θύλακα. Μέτωπο τάξης 1 σ s f 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 10

Παράδειγμα 2: Η μέθοδος SPEA (Strength Pareto Evolutionary Algorithm Zitzler et al., 2001) Οι μη κατώτερες λύσεις διατηρούνται σε ένα εξωτερικό σύνολο δεδομένης χωρητικότητας, κάθε μέλος του οποίου αποτιμάται με βάση το πλήθος των ατόμων επί των οποίων κυριαρχεί (ισχύς, strength). Τα λοιπά μέλη του πληθυσμού αποτιμώνται με βάση την ισχύ των μελών του εξωτερικού συνόλου που κυριαρχούν επ αυτών. f 2 2/6 8/6 3/6 13/6 9/6 12/6 16/6 f 2 Διαμόρφωση τελικού εξωτερικού συνόλου, με επιλογή του κεντροειδούς κάθε θύλακα 3/6 11/6 Εξωτερικό σύνολο 2/6 f 1 f 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 11

Ο εξελικτικός αλγόριθμος ανόπτησης απλόκου Ευρετική μέθοδος ολικής βελτιστοποίησης που υλοποιεί: μια διαδικασία εξελικτικής αναζήτησης, για την παράλληλη διερεύνηση του εφικτούχώρουαπόέναδείγμα(πληθυσμό) σημείων ένα πλέγμα κανόνων εξέλιξης, που βασίζονται σε ένα τροποποιημένο σχήμα κατερχόμενου απλόκου (downhill simplex) και σε διαδικασίες μετάλλαξης που εγγυώνται αύξηση της διασποράς του πληθυσμού μια στρατηγική προσομοιωμένης ανόπτησης (simulated annealing), με ένα αυτορρυθμιζόμενο χρονοδιάγραμμα, για έλεγχο της τυχαιότητας κατά την αξιολόγηση της καταλληλότητας των μελών του πληθυσμού. Εισάγονται ένα εσωτερικό και ένα εξωτερικό εύρος των μεταβλητών ελέγχου, το πρώτο (χαλαρό) για τη γέννηση του αρχικού πληθυσμού και το δεύτερο (δεσμευτικό) για την οριοθέτηση του εφικτού χώρου. Η ενσωμάτωση στρατηγικών τοπικής και ολικής αναζήτησης σε ένα ενιαίο αλγοριθμικό σχήμα εξασφαλίζει: ευελιξία κινήσεων, για τον χειρισμό των γεωμετρικών ιδιομορφιών των μη κυρτών επιφανειών απόκρισης ταχεία διερεύνηση των κυρτών περιοχών των εν λόγω επιφανειών. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 12

Ο πολυκριτηριακός εξελικτικός αλγόριθμος ανόπτησης απλόκου (MEAS) Διαμορφώνεται ένα σύνθετο μέτρο ποινής, με συνιστώσες: έναν ακέραιο βαθμό τάξης, που αποτιμά τη σχετική επίδοση κάθε σημείου με βάση τον αριθμό των ατόμων επί των οποίων κυριαρχεί και τον αριθμό των ατόμων ως προς τα οποία κυριαρχείται έναν βαθμό τάξης που επιτρέπει τη σύγκριση ενός σημείου σε σχέση με αδιάφορες, ωςπροςαυτό, λύσεις (για προβλήματα 3 κριτηρίων και άνω) έναν όρο που εξαρτάται από την πυκνότητα του πληθυσμού στη γειτονιά κάθε σημείου, ήτοι το ποσοστό λύσεων που ανήκουν σε κοινούς θύλακες έναν όρο εφικτότητας, που εισάγει ποινή αν κάποια λύση βρίσκεται εκτός ενός επιθυμητού εύρους διακύμανσης των τιμών των κριτηρίων. Η αναζήτηση βασίζεται στο σχήμα ανόπτησης απλόκου, στο οποίο: εμποδίζονται κινήσεις «σύγκλισης» (π.χ. συρρίκνωση απλόκου), ώστε να μεγιστοποιείται η διασπορά του πληθυσμού διαμορφώνεται ένα μικτό σχήμα μετάλλαξης, για παραγωγή τόσο «κοντινών» όσο και «μακρινών» λύσεων εισάγεται η έννοια της «επανανόπτησης» (re annealing). Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 13

Ορισμός βαθμού τάξης Η αρχική ιδέα προέρχεται από τις μεθόδους SPEA και SPEA II. Εισάγεται η έννοια του μητρώου κυριαρχίας, που υπολογίζεται σε κάθε γενιά (μόνο τα στοιχεία πάνω από τη διαγώνιο). Το σχήμα αποτίμησης εξασφαλίζει εξαιρετικά μεγάλη ποικιλία τιμών, σε σύγκριση με άλλες γνωστές μεθόδους της βιβλιογραφίας. f 2 0(2) Τάξη, r = ολική ισχύς κυρίαρχων λύσεων 0 (4) 2(1) 18 (0) 4(2) 0 (4) 8(2) 7(1) 16 (0) Ισχύς, s = πλήθος κυριαρχούμενων 0 (3) λύσεων f 1 s = 1 s = 2 s = 3 s = 4 Η έννοια της κυριαρχίας γενικεύεται για προβλήματα 3 κριτηρίων και άνω, προσθέτοντας έναν δεκαδικό όρο, που εκφράζει το μέσο ποσοστό κριτηρίων έναντι των οποίων υπολείπεται κάθε άτομο, σε σχέση με τις αδιάφορες ως προς αυτό λύσεις (εξ ορισμού 0.5, σε προβλήματα 2 κριτηρίων). Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 14

Έλεγχος πυκνότητας πληθυσμού Διαμορφώνεται ένα πλέγμα προκαθορισμένης πυκνότητας, με βάση το εύρος διακύμανσης του τρέχοντος πληθυσμού, και σε κάθε «υπερ κιβώτιο» (θύλακα) αποδίδεται ένας μοναδικός κωδικός. Μεβάσητονενλόγωκωδικό, μπορεί εύκολα να εντοπιστεί το πλήθος ατόμων που μοιράζονται το ίδιο θύλακα, συναρτήσει του οποίου ορίζεται ένα μέτρο πυκνότητας. Το εν λόγω μέτρο, που εκφράζει το ποσοστό των γειτόνων κάθε ατόμου, εξασφαλίζει προστασία των απομονωμένων λύσεων, που βρίσκονται σε ακραίους θύλακες, και στα τελικά στάδια της εξελικτικής διαδικασίας κινδυνεύουν με αφανισμό, αν ληφθεί υπόψη αποκλειστικά η σχέση κυριαρχίας του με τον υπόλοιπο πληθυσμό. f 2 f 2 max f 2 min f 1 min 7 8 9 4 5 6 1 2 3 Κωδικός θύλακα f 1 max f 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 15

Οι έννοιες της εφικτότητας στα πεδία αναζήτησης και αποτίμησης Εφικτότητα πεδίου αναζήτησης: Θεσπίζεται ένα διπλό εύρος μεταβολής των μεταβλητών ελέγχου, που αντιπροσωπεύουν τα φυσικά και επιθυμητά τους όρια, αντίστοιχα ο αρχικός πληθυσμός γεννάται στα εσωτερικά όρια, αλλά μπορεί να εξελιχθεί μέχρι τα εξωτερικά. Εφικτότητα πεδίου αποτίμησης: Ορίζονται άνω όρια τιμών των (προς ελαχιστοποίηση) κριτηρίων, εξασφαλίζοντας την παραγωγή πρόσφορων, στην πράξη, βέλτιστων Pareto λύσεων. f 2 Ομαλό μέτωπο Pareto, που υποδηλώνει πλήρως αποδεκτούς συμβιβασμούς των επιμέρους κριτηρίων f 2 Απότομη περιοχή, μη αποδεκτών συμβιβασμών e 2 Εφικτό πεδίο αποτίμησης f 1 Όριο εφικτότητας e 1 f 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 16

Επιλογή μέσω προσομοιωμένης ανόπτησης Σε κάθε γενιά παράγεται ένας και μόνο απόγονος, αντικαθιστώντας το μέλος του πληθυσμού στο οποίο αποδίδεται η μικρότερη πιθανότητα επιβίωσης, μεβάσητοστοχαστικόκριτήριο: φ (x) = φ(x) + r T όπου φ(x) η συνάρτηση ποινής, T ητρέχουσα«θερμοκρασία» και r τυχαίος αριθμός που παράγεται από ομοιόμορφη κατανομή [0, 1]. Η φ (x) αποτελεί την προς ελαχιστοποίηση στοχική συνάρτηση ενός μετασχηματισμένου προβλήματος ολικής βελτιστοποίησης. Η «θερμοκρασία» του συστήματος: τίθεται αρχικά ίση με τη μέγιστη διαφορά τιμών της συνάρτησης ποινής στον αρχικό πληθυσμό μειώνεται κατά έναν παράγοντα λ κάθε φορά που εντοπίζεται μια βελτιωμένη λύση (τυπικό εύρος λ = 0.95 0.99) δεν επιτρέπεται να υπερβεί ένα πολλαπλάσιο β τηςμέγιστηςδιαφοράςτης συνάρτησης ποινής στον πληθυσμό (τυπικό εύρος β = 1 2) κάθε φορά που φτάνει σε μια προκαθορισμένη ελάχιστη τιμή Τ min αυξάνει μέχρι την τιμή 1 (τυπική τιμή Τ min =0.1). Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 17

Εξέλιξη μέσω ενός γενικευμένου σχήματος κατερχόμενου απλόκου: Ανάκλαση x 2 Συμβατικά χειρότερη κορυφή (με βάση την τροποποιημένη συνάρτηση φ ) Περιοχή γέννησης νέου σημείου, από ομοιόμορφη κατανομή Αντικειμενικά καλύτερη κορυφή (με βάση την αρχική συνάρτηση ποινής, φ) Κεντροειδές Θέση γεωμετρικής ανάκλασης x 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 18

Εξέλιξη μέσω ενός γενικευμένου σχήματος κατεχόμενου απλόκου: Πολλαπλή επέκταση x 2 Δοκιμή 0 (ανάκλαση) Δοκιμή 1 Δοκιμή 2 Συμβατικά χειρότερη κορυφή Θέση γεωμετρικής ανάκλασης Κατεύθυνση βελτίωσης της τιμής της φ Αντικειμενικά καλύτερη κορυφή x 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 19

Εξέλιξη μέσω ενός γενικευμένου σχήματος κατεχόμενου απλόκου: Εξωτερική συμπίεση x 2 Συμβατικά χειρότερη κορυφή Δοκιμή 0 (ανάκλαση) Θέση γεωμετρικής ανάκλασης Περιοχή γέννησης νέου σημείου, από ομοιόμορφη κατανομή Αντικειμενικά καλύτερη κορυφή x 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 20

Εξέλιξη μέσω ενός γενικευμένου σχήματος απλόκου: Εσωτερική συμπίεση και έλξη προς την καλύτερη κορυφή x 2 x 2 Περιοχή γέννησης νέου σημείου Περιοχή γέννησης νέου σημείου Εσωτερική συμπίεση προς το κεντροειδές x 1 Έλξη στην κατεύθυνση της καλύτερης κορυφής x 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 21

Εξέλιξη μέσω μετάλλαξης Τερματισμός Αν κανένας από τους μετασχηματισμούς εξωτερικής επέκτασης του απλόκου (ανάκλαση, πολλαπλή επέκταση, εξωτερική συμπίεση) δεν οδηγήσει σε βελτιωμένη λύση, τότε ο απόγονος γεννάται είτε στο εσωτερικό του απλόκου είτε μέσω μετάλλαξης, με συχνότητες 1 p m και p m, αντίστοιχα (τυπική τιμή p m = 10%). Εφαρμόζονται δύο εναλλακτικές συναρτήσεις μετάλλαξης, με ίση πιθανότητα 50% η πρώτη (μετάλλαξη μεγάλης κλίμακας) αποσκοπεί στη γέννηση τυχαίων λύσεων στατιστικά μακριά από το κέντρο βάρους του πληθυσμού, ενώ η δεύτερη (μετάλλαξη μικρής κλίμακας) παράγει λύσεις στη «γειτονιά» του προς αντικατάσταση ατόμου. H χρήση μικτών τελεστών μετάλλαξης εξασφαλίζει ευελιξία σε επιφάνειες απόκρισης με διαφορετικά χαρακτηριστικά. Η εξελικτική διαδικασία τερματίζεται όταν ικανοποιούνται ταυτόχρονα τα ακόλουθα κριτήρια: όλα τα μέλη του πληθυσμού είναι εφικτά στο πεδίο αποτίμησης όλα τα μέλη του πληθυσμού είναι βέλτιστα Pareto το πλήθος των δοκιμών έχει ξεπεράσει μια οριακή τιμή. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 22

Συγκριτική αξιολόγηση αλγορίθμων Αξιολογήθηκαν οι μέθοδοι NSGA, SPEA και MEAS με βάση 11 τυπικές συναρτήσεις ελέγχου (test functions) δύο κριτηρίων, που διαφοροποιούνται ως προς το πλήθος των μεταβλητών ελέγχου και τη γεωμετρία του μετώπου Pareto (συνεχές ή μη, κυρτό ή μη κυρτό, συνδεδεμένο ή μη). Κάθε πρόβλημα επιλύθηκε 10 φορές, για διαφορετικούς αρχικούς πληθυσμούς 100 τυχαίων σημείων, με όριο δοκιμών τις 10 000. Ο μέσος όρος των μη κατωτέρων λύσεων και των απαιτούμενων δοκιμών αποτέλεσαν μέτρα επίδοσης της ακρίβειας και ταχύτητας, αντίστοιχα. Διερευνήθηκαν εναλλακτικές δομές των αλγορίθμων NSGA και SPEA: με δυαδική ή πραγματική κωδικοποίηση των μεταβλητών ελέγχου με μήκος συμβολοσειράς 10 ή 100, αν η κωδικοποίηση είναι δυαδική με μονόπλευρη (ανταλλαγή συντεταγμένων) ή ομοιόμορφη διασταύρωση των γονέων, αν η κωδικοποίηση είναι πραγματική. Για τη μέθοδο MEAS διερευνήθηκαν διαφορετικές τιμές των παραμέτρων λ και β του χρονοδιαγράμματος ανόπτησης και της συχνότητας μετάλλαξης p m η μέθοδος αποδείχθηκε ευαίσθητη μόνο όσον αφορά στα δυσχερή προβλήματα, όπου προτείνεται η θεώρηση υψηλής τιμής της p m. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 23

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις ελέγχου (1) x 2 f 2 = n x i 0.8 + 5 sin(x i3 ) f 2 Συνάρτηση Kursawe (1991), 3 μεταβλητών x 1 f 1 f 1 = 10 exp[ 0.2 (x 12 + x 22 ) 0.5 ] x 2 f 2 Συνάρτηση Poloni (1997), 2 μεταβλητών x 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 24 f 1

Χαρακτηριστικές συναρτήσεις ελέγχου (2) x 2 f 2 Συνάρτηση Fonseca II (1995), 3 μεταβλητών x 1 f 1 x 2 f 2 Συνάρτηση Zitzler, Deb & Thiele III (2000), 2 μεταβλητών x 1 f 1 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 25

Αποτελέσματα συναρτήσεων ελέγχου Μέσο πλήθος δοκιμών για παραγωγή 100 μη κατωτέρων λύσεων (με όριο τις 10 000) 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 MEAS SPEA NSGA SCH 1 SCH 2 FON 1 FON 2 ZDT 1 ZDT 2 ZDT 3(2) ZDT 3(10) ZDT 6 POL KUR Μέσο πλήθος μη κατωτέρων λύσεων, με όριο 10 000 δοκιμές 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 MEAS SPEA NSGA SCH 1 SCH 2 FON 1 FON 2 ZDT 1 ZDT 2 ZDT 3(2) ZDT 3(10) ZDT 6 POL KUR Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 26

Αποσύνθεση μητρώων συνδιασπορών: Τοποθέτηση του προβλήματος Σε γραμμικά στοχαστικά μοντέλα της μορφής Y = a Z + b V ζητείται ο προσδιορισμός του μητρώου b, το οποίο δίνεται από μια σχέση της μορφής c = b b T, όπου c μητρώο που περιέχει τις συνδιασπορές των Υ και Ζ. Το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις αν το c είναι θετικά ορισμένο, διαφορετικά δεν έχει λύση επιπλέον, επειδή οι συντελεστές ασυμμετρίας των μεταβλητών ανανέωσης V είναι συνάρτηση του b, ήτοι μ 3 [V] = ξ(b), αν κάποια στοιχεία του ξ λάβουν σχετικά υψηλές τιμές, δεν είναι δυνατή η αναπαραγωγή των ασυμμετριών από τις γεννήτριες τυχαίων αριθμών. Με βάση τα παραπάνω, διατυπώθηκε ένα πρόβλημα δύο αντικρουόμενων κριτηρίων, όπου το πρώτο αποσκοπεί στην ελαχιστοποίηση του σφάλματος αναπαραγωγής των δειγματικών συνδιασπορών και το δεύτερο στην ελαχιστοποίηση της ασυμμετρίας του λευκού θορύβου. Η εφαρμογή έγινε για ένα περιοδικό σχήμα αυτοπαλινδρόμησης πρώτης τάξης 8 «θέσεων», που αναφέρονται στις μεταβλητές βροχόπτωσης και απορροής των ταμιευτήρων της ΕΥΔΑΠ για το μήνα Ιούνιο. Για το εν λόγω πρόβλημα, το πλήθος των στοιχείων του μητρώου b είναι 8 8 = 64. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 27

Αποσύνθεση μητρώων συνδιασπορών: Πολυκριτηριακή ανάλυση Εκτιμήθηκαν οι ακραίες και μια ενδιάμεση (συμβιβαστική) λύση Pareto, με ολική βελτιστοποίηση μιας σταθμισμένης συνάρτησης των δύο κριτηρίων. Στη συνέχεια, έγιναν 5 ανεξάρτητες επιλύσεις του πολυκριτηριακού προβλήματος με τις μεθόδους SPEA (σχήμα κάτω δεξιά) και MEAS (σχήμα κάτω αριστερά), για πληθυσμό 100 ατόμων και με όριο τις 40 000 δοκιμές. ΗμέθοδοςMEAS, με υψηλή (50%) συχνότητα μετάλλαξης, παράγει εμφανώς πιο αντιπροσωπευτικά μέτωπα Pareto σε σχέση με την SPEA. 1 000 000 000 100 000 000 10 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1 000 Ελάχιστο σφάλμα αναπαραγωγής συνδιασπορών (f 1 min = 0.091) Μέθοδος SPEA Run 1 Run 2 Run 3 Run 4 Run 5 Single optim. Ελάχιστη ασυμμετρία λευκού θορύβου (f 2 min = 153.2) 1 000 000 000 100 000 000 10 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1 000 Μέθοδος MEAS Συμβιβαστική λύση Pareto (10.39, 6300) Run 1 Run 2 Run 3 Run 4 Run 5 Single optim. 100 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 100 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 28

Αποσύνθεση μητρώων συνδιασπορών: Διαμόρφωση υπομετώπων Pareto 1 000 000 000 100 000 000 10 000 000 1 000 000 Ελάχιστο σφάλμα συνδιασπορών Run 1 Run 2 Run 3 Run 4 Run 5 Single optim. 10 000 9 000 8 000 7 000 6 000 5 000 100 000 10 000 1 000 4 000 3 000 2 000 1 000 Run 1 Run 2 Run 3 Run 4 Run 5 Single optim. Συμβιβαστική λύση Pareto 100 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1 000 000 Run 1 1 000 Run 1 Run 2 Run 3 Run 2 Run 3 100 000 Run 4 Run 5 Run 4 Run 5 10 000 Συμβιβαστική λύση Pareto Single optim. Single optim. 1 000 100 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 100 Ελάχιστη ασυμμετρία V 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 29

Μέρος Β: Υδρολογικές εφαρμογές Το πρόβλημα βαθμονόμησης υδρολογικών μοντέλων Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 30

Πολυκριτηριακή ανάλυση συστημάτων υδατικών πόρων Αν και οι υδατικοί πόροι αποτελούν προνομιακό πεδίο εφαρμογής της πολυκριτηριακής ανάλυσης, παρατηρείται περιορισμένη διάδοση των σύγχρονων εξελικτικών τεχνικών, γεγονός που αποδίδεται: στην εμπειροτεχνική (χωρίς βελτιστοποίηση) προσέγγιση αρκετών εφαρμογών στη ευρεία χρήση τυποποιημένων μεθόδων (π.χ. δυναμικός προγραμματισμός), που δεν επιδέχονται αλλαγές στη μαθηματική τους δομή στην ανάγκη προσδιορισμού μιας μοναδικής βέλτιστης λύσης, και όχι μιας πληθώρας συμβιβαστικών λύσεων Pareto. Εξετάστηκαν, συνοπτικά, τρεις κατηγορίες τεχνολογικών προβλημάτων, όπου έχουν υιοθετηθεί σύγχρονες πολυκριτηριακές προσεγγίσεις (ιδιαίτερα στις κατηγορίες 2 και 3): διαχείριση ταμιευτήρων πολλαπλού σκοπού έλεγχος ποιότητας υδροφορέων σχεδιασμός και αποκατάσταση δικτύων ύδρευσης. Στην παρούσα έρευνα, η έμφαση δόθηκε στη εκτίμηση (βαθμονόμηση) των παραμέτρων υδρολογικών μοντέλων, γνωστή ως αντίστροφο πρόβλημα. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 31

Αυτόματη βαθμονόμηση υδρολογικών μοντέλων Κλασική προσέγγιση Συνιστώσες διαδικασίας: Επιλογή δείγματος μετρημένων/παρατηρημένων αποκρίσεων Διατύπωση καθολικού μέτρου προσαρμογής, που είναι στατιστικά συνεπές με τα χαρακτηριστικά των σφαλμάτων Επιλογή παραμέτρων και εκτίμηση εφικτών ορίων τους Εφαρμογή αλγορίθμου βελτιστοποίησης Επαλήθευση σε μια ανεξάρτητη χρονική περίοδο. Η βέλτιστη λύση που εντοπίζει μια πλήρως αυτοματοποιημένη πρακτική δεν εγγυάται επαρκή προγνωστική ικανότητα του μοντέλου, ήτοι: ικανοποιητική αναπαραγωγή των παρατηρημένων αποκρίσεων κατά την περίοδο επαλήθευσης συνέπεια των βελτιστοποιημένων παραμέτρων ως προς το φυσικό υπόβαθρο ρεαλιστική δίαιτα των μη ελεγχόμενων (από μετρήσεις) αποκρίσεων. Τα σύγχρονα μοντέλα, που χαρακτηρίζονται από υψηλές απαιτήσεις σε δεδομένα, έντονο υπολογιστικό φόρτο και μεγάλο αριθμό παραμέτρων, η εφαρμογή της διαδικασίας καθίσταται, στην πράξη, προβληματική. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 32

Οι έννοιες της αβεβαιότητας και ισοδυναμίας Η διαδικασία βαθμονόμησης διέπεται από πληθώρα αβεβαιοτήτων, που αλληλεπιδρούν και ανακυκλώνονται κατά τη βελτιστοποίηση, ήτοι: Δομικά σφάλματα μοντέλου (λόγω υπό ή υπερ παραμετροποίησης). Τυπικά σφάλματα πρωτογενών και επεξεργασμένων δεδομένων. Μη αντιπροσωπευτικότητα παρατηρημένης πληροφορίας. Αδυναμία προσδιορισμού αρχικών και οριακών συνθηκών του μοντέλου. Στατιστική ακαταλληλότητα ή/και μεροληψία μέτρων προσαρμογής. Λανθασμένη θεώρηση ορίων εφικτότητας των παραμέτρων. Εγγενείς δυσχέρειες βελτιστοποίησης, εξαιτίας της δημιουργίας εξαιρετικά τραχειών επιφανειών απόκρισης (τοπικά ακρότατα, σε διάφορες κλίμακες). Παραγωγή πολλαπλών αποκρίσεων, μη ελεγχόμενων από μετρήσεις. Διαχρονική μεταβολή χαρακτηριστικών λεκάνης ανθρωπογενείς επεμβάσεις. Εξαιτίας των εγγενών αβεβαιοτήτων, ένα μοντέλο μπορεί να διατυπωθεί με πολλαπλές δομές και για κάθε δομή μπορούν να εντοπιστούν εναλλακτικές βέλτιστες τιμές παραμέτρων, που είναι εξίσου αποδεκτές ( behavioral ) από υδρολογική άποψη, χαρακτηριστικό που αποτελεί το υπόβαθρο της υπόθεσης της ισοδυναμίας (equifinality). Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 33

Η βαθμονόμηση ως μαθηματικό «παιχνίδι» Πρωτογενείς μετρημένες φορτίσεις, x m Επεξεργασμένες φορτίσεις, x(x m ) Αρχικές συνθήκες, s 0 Πραγματικές φορτίσεις, x * Πραγματικές αποκρίσεις, y * Μοντέλο προσομοίωσης, y = h(s 0, x, θ) θ Αλγόριθμος βελτιστοποίησης Πρωτογενείς μετρημένες αποκρίσεις, y m Προσομοιωμένες αποκρίσεις, y Επεξεργασμένες αποκρίσεις, y(y m ) Συνάρτηση προσαρμογής, g(y, y ) Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 34

Πολυκριτηριακή οπτική της ισοδυναμίας Στη γενική περίπτωση, το πρόβλημα βαθμονόμησης διατυπώνεται ως: min e(θ) = { e 1 (θ), e 2 (θ),, e Τ (θ) }, θ Θ όπου e t η διαφορά μεταξύ προσομοιωμένων και μετρημένων αποκρίσεων σε κάθε χρονικό βήμα t και θ διάνυσμα παραμέτρων στον εφικτό χώρο Θ. Συνδυάζοντας την έννοια της ισοδυναμίας με τη θεμελιώδη αρχή της κυριαρχίας, προκύπτει ότι δεν υπάρχει μια ολικά βέλτιστη λύση του προβλήματος, παρά άπειροι συνδυασμοί των παραμέτρων θ που είναι βέλτιστοι κατά Pareto. θ 2 Πεδίο ορισμού, Θ y(θ) Αρχική αβεβαιότητα Τελική αβεβαιότητα Σύνολο Pareto, Θ * θ 1 Παρατηρημένη απόκριση t Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 35

Χειρισμός σύνθετων υδρολογικών μοντέλων Αρχές σχηματοποίησης και παραμετροποίησης Διάκριση χωρικής κλίμακας αναπαράστασης των διεργασιών και ορισμού των παραμέτρων, στην κατεύθυνση της διατύπωσης όσο πιο φειδωλών σχημάτων Καθορισμός της λεπτομέρειας της σχηματοποίησης αποκλειστικά από τις ανάγκες της μελέτης και τους περιορισμούς στο φόρτο της προσομοίωσης Συσχέτιση φυσικών χαρακτηριστικών λεκάνης και παραμέτρων, το πλήθος των οποίων εξαρτάται από τη διαθέσιμη πληροφορία (υδρολογική και γεωγραφική). Έλεγχος πολλαπλών κριτηρίων Προσαρμογή σε πολλαπλές αποκρίσεις και πολλαπλές πτυχές κάθε απόκρισης Διατήρηση μιας εύλογης αναλογίας, της τάξης του 5:1, μεταξύ του αριθμού των παραμέτρων και κριτηρίων, στη διατύπωση του προβλήματος βαθμονόμησης Μεγιστοποίηση της πληροφορίας που εισάγεται στην προσαρμογή του μοντέλου, με αξιοποίηση ακόμα και σποραδικών μετρήσεων αλλά και κάθε τύπου γνώσης περί του συστήματος, με τη μορφή εμπειρικών κριτηρίων. Στρατηγική βαθμονόμησης Διαδραστική παρακολούθηση της διαδικασίας βελτιστοποίησης από τον χρήστη «Χειροκίνητη» απόρριψη λύσεων ανεπαρκούς προγνωστικής ικανότητας ή ακραίας συμπεριφοράς (ως προς την ανταγωνιστικότητα των κριτηρίων). Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 36

Εφαρμογή στη λεκάνη του Β. Κηφισού Πηγές Λιλαίας Κεφαλόβρυσου Μέτωπα διαφυγών (Μαλιακός) Αρδευτικές γεωτρήσεις Υδρευτικές γεωτρήσεις Πηγές Αγ. Παρασκευής Πηγές Πολυγύρας Έκταση: 1956 km 2 Μέσο υψόμετρο: 481 m Κύριος κλάδος: 102 km Μέση βροχόπτωση: 875 mm Μέση απορροή: 146 mm Κύριος γεωλογικός σχηματισμός: ασβεστόλιθοι (40%) Μέτωπα διαφυγών (Β. Ευβοϊκός) Πηγές Μαυρονερίου Πηγές Μέλανα Υδραγωγείο Μόρνου Πηγές Έρκυνα Αρδευτικές απολήψεις (Κωπαΐδα) Σήραγγα Καρδίτσας Λίμνη Υλίκη Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 37

Ζητούμενα μοντελοποίησης Χαρακτηριστικό υδροσυστήματος Πληθώρα καρστικών πηγών, σημαντική συνεισφορά βασικής ροής (~ 50%) Εκτεταμένα μέτωπα διαφυγών προς την Υλίκη και την θάλασσα Σημαντικές απώλειες λόγω διήθησης, το καρστ ανατροφοδοτείται από ανάντη νερά Ανταγωνιστικές χρήσεις νερού, συνδυασμένες απολήψεις επιφανειακών και υπόγειων νερών, άγνωστης κατανομής Οι απολήψεις από επιφανειακά και υπόγεια νερά επηρεάζουν δραστικά τη δίαιτα της λεκάνης και του υδροφορέα Μέρος της αρδευτικής ζήτησης καλύπτεται απόαντλούμενανεράτηςυλίκης Έντονη ετερογένεια ως προς τα φυσικά χαρακτηριστικά της λεκάνης (γεωλογία) Συστηματικές αλλά και σποραδικές μετρήσεις, σεδιάφορεςθέσειςτηςλεκάνης Απαιτήσεις υδρολογικού μοντέλου Συνδυασμένη αναπαράσταση επιφανειακών και υπόγειων διεργασιών Μοντελοποίηση απωλειών εκτός λεκάνης, χωρικέςκαιποσοτικέςεκτιμήσεις Μοντελοποίηση μηχανισμού διήθησης, ποσοτικές εκτιμήσεις, χωρική κατανομή Ποσοτικοποίηση των υδατικών αναγκών, περιγραφή των πρακτικών διαχείρισης, με βάση εύλογες υποθέσεις Συνδυασμένη αναπαράσταση φυσικών υδρολογικών διεργασιών και ανθρωπογενών επεμβάσεων Αναπαράσταση «εξωτερικών» εισροών Διερεύνηση της επίδρασης των εν λόγω χαρακτηριστικών στις διεργασίες Βέλτιστη προσαρμογή μοντέλου, με αξιοποίηση του συνόλου των μετρήσεων Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 38

Το μοντέλο ΥΔΡΟΓΕΙΟΣ Επιφανειακή απορροή Υδατικές ανάγκες, κόστη Βροχόπτωση, δυνητική εξατμοδιαπνοή Μοντέλο επιφανειακής υδρολογίας Μοντέλο υπόγειας υδρολογίας Κατείσδυση Υπόγεια απορροή Μοντέλο λειτουργίας υδροσυστήματος Υδατικό ισοζύγιο (παροχές, απολήψεις) Εξατμοδιαπνοή Αντλήσεις, διηθήσεις Μοντέλο επιφανειακής υδρολογίας Ημικατανεμημένη σχηματοποίηση, παραμετροποίηση ανά μονάδα υδρολογικής απόκρισης (ΜΥΑ) Μοντέλο υπόγειας υδρολογίας Πολυκυτταρικό σχήμα επίλυσης ισοδύναμο των πεπερασμένων όγκων, εξίσωση ροής γραμμική (Darcy) ή μη γραμμική Μοντέλο λειτουργίας υδροσυστήματος Αναπαράσταση υδροσυστήματος ως μοντέλου δικτυακού προγραμματισμού Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 39

Σχηματοποίηση και παραμετροποίηση 5 υπολεκάνες, 4 κλάδοι 2 3 = 6 ΜΥΑ Υδρογραφικό δίκτυο Υπολεκάνες Μονάδες υδρολογικής απόκρισης Γραβιά Αμφίκλεια Δαύλεια Ορχομενός Σήραγγα Καρδίτσας 1 2 3 4 5 28 κύτταρα, 2 εικονικά, 6 πηγές 7 Γεωτρήσεις άνω ρου 8 Γεωτρήσεις μέσου ρου Δίστομο 6 Γεωτρήσεις ΕΥΔΑΠ Έργα εκτροπής κάτω ρου Υδραγωγείο Υλίκης 9 11 10 Γεωτρήσεις κάτω ρου Γεωτρήσεις Ακοντίου Γεωτρήσεις Κωπαΐδας Αρδευτικά κανάλια Κωπαΐδας Αντλήσεις Υλίκης Κύτταρα υδροφορέα Σχηματική διάταξη υδροσυστήματος Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 40

Πρόβλημα «ολικής» βαθμονόμησης Περίοδος ελέγχου (μηνιαία προσομοίωση) Οκτ. 1984 Σεπ. 1990 (βαθμονόμηση), Οκτ. 1990 Σεπ. 1994 (επαλήθευση) Μεταβλητές ελέγχου 99 μεταβλητές ελέγχου (μετά από ενοποίηση ή μηδενισμό ορισμένων παραμέτρων), για την ερμηνεία των οποίων απαιτείται εύλογο πλήθος κριτηρίων Κριτήρια προσαρμογής (σταθμισμένα) Αποτελεσματικότητα (efficiency) και μεροληψία μέσης τιμής μηνιαίων υδρογραφημάτων στην έξοδο της λεκάνης και κατάντη των έξι πηγών Εμπειρικό μέτρο ελέγχου αναπαραγωγής περιόδων στείρευσης της παροχής Εμπειρικό μέτρο ελέγχου υπερετήσιας διακύμανσης της στάθμης των δεξαμενών υπόγειου νερού (έλεγχος τάσης, βασισμένος στη δοκιμή Mann Kendall). Διαδικασία βαθμονόμησης Ημιαυτόματη στρατηγική τριών σταδίων: (α) Γενική εικόνα εφικτού χώρου, εκτίμηση βέλτιστων τιμών ανά κριτήριο (β) Αδρομερής βελτιστοποίηση συνόλου κριτηρίων (γ) Βήμα προς βήμα βελτίωση επιμέρους πτυχών βέλτιστης λύσης. Βελτιστοποίηση ομάδων παραμέτρων, με εξελικτική μέθοδο ανόπτησης απλόκου Αναπροσαρμογή συντελεστών βάρους και ορίων εφικτού χώρου, ώστε να «κατευθυνθεί» η διαδικασία προς ένα αποδεκτό συμβιβασμό των κριτηρίων Έλεγχος προσαρμογής στην επαλήθευση, εμπειρική αξιολόγηση αληθοφάνειας παραμέτρων και μη μετρούμενων αποκρίσεων (εξατμοδιαπνοή, διαφυγές). Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 41

Σύνοψη αποτελεσμάτων Μηνιαία απορροή Έξοδος λεκάνης Πηγές Λιλαίας Κεφαλόβρυσου Πηγές Μαυρονερίου Πηγές Αγίας Παρασκευής Πηγές Έρκυνα Περίοδος βαθμονόμησης Αποτελεσματικότητα 0.870 0.806 0.693 0.724 0.431 Μεροληψία μέσης τιμής 0.054 0.068 0.106 0.063 0.039 Περίοδος επαλήθευσης Αποτελεσμα τικότητα 0.756 0.607 0.601 0.458 Μεροληψία μέσης τιμής 0.107 0.108 0.315 0.068 Πηγές Μέλανα 0.265 0.008 0.095 0.112 Πηγές Πολυγύρας 0.372 0.006 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 42

Χαρακτηριστικά υδρογραφήματα 40.0 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 Προσοµοιωµένη Παρατηρηµένη 0.0 Οκτ-84 Απρ-85 Οκτ-85 Απρ-86 Οκτ-86 Απρ-87 Οκτ-87 Απρ-88 Οκτ-88 Απρ-89 Οκτ-89 Απρ-90 Οκτ-90 Απρ-91 Οκτ-91 Απρ-92 Οκτ-92 Απρ-93 Οκτ-93 Απρ-94 Οκτ-84 Απρ-85 Οκτ-85 Απρ-86 Οκτ-86 Απρ-87 Οκτ-87 Απρ-88 Οκτ-88 Απρ-89 Οκτ-89 Απρ-90 Οκτ-90 Απρ-91 Οκτ-91 Απρ-92 Οκτ-92 Απρ-93 Οκτ-93 Απρ-94 Μηνιαία παροχή (m 3 /s) 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 Προσοµοιωµένη Παρατηρηµένη 0.0 Έξοδος λεκάνης (e cal = 87.0%, e val = 75.6%) Πηγές Λιλαίας Κεφαλόβρυσου (e cal = 80.6%, e val = 60.7%) 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 Προσοµοιωµένη Παρατηρηµένη 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 Προσοµοιωµένη Παρατηρηµένη Πηγές Μαυρονερίου (e cal = 69.3%, e val = 60.1%) Πηγές Μέλανα (e cal = 26.5%, e val = 9.5%) Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 43 Μηνιαία παροχή (m 3 /s) Μηνιαία παροχή (m 3 /s) Οκτ-84 Απρ-85 Οκτ-85 Απρ-86 Οκτ-86 Απρ-87 Οκτ-87 Απρ-88 Οκτ-88 Απρ-89 Οκτ-89 Απρ-90 Οκτ-90 Απρ-91 Οκτ-91 Απρ-92 Οκτ-92 Απρ-93 Οκτ-93 Απρ-94 Οκτ-84 Απρ-85 Οκτ-85 Απρ-86 Οκτ-86 Απρ-87 Οκτ-87 Απρ-88 Οκτ-88 Απρ-89 Οκτ-89 Απρ-90 Οκτ-90 Απρ-91 Οκτ-91 Απρ-92 Οκτ-92 Απρ-93 Οκτ-93 Απρ-94 Μηνιαία παροχή (m 3 /s)

Πολυκριτηριακές αναλύσεις Βελτιστοποίηση 18 κύριων παραμέτρων μοντέλου Χωρητικότητες δεξαμενών εδαφικής υγρασίας Συντελεστές στείρευσης για παραγωγή κατείσδυσης Υδραυλικές αγωγιμότητες κυττάρων που αναπαριστούν πηγές. Διατύπωση πολυκριτηριακών προβλημάτων Πρόβλημα 1: Σφάλμα (= 1 efficiency) υδρογραφήματος εξόδου, αθροιστικό σφάλμα υδρογραφημάτων πηγών (2 κριτήρια) Πρόβλημα 2: Διαχωρισμός πηγών σε κύριες (Λιλαίας Κεφαλόβρυσου, Μαυρονερίου, Μέλανα) και δευτερεύουσες (3 κριτήρια) Πρόβλημα 3: Πλήρης διαχωρισμός υδρογραφημάτων (7 κριτήρια). Κατηγορίες προβλημάτων Τύπου Α: Χωρίς περιορισμούς εφικτότητας κριτηρίων Τύπου Β: Με όρια εφικτότητας, ώστε να εντοπιστούν συμβιβαστικές λύσεις. Αποτελέσματα αναλύσεων (μέθοδος MEAS, 100 σημεία, 5000 δοκιμές) Μέτωπα Pareto ή χαρακτηριστικές τομές αυτών (για προβλήματα 2 3) Όρια συνόλων Pareto (= όρια αβεβαιότητας παραμέτρων) Συσχέτιση καθολικού κριτηρίου βαθμονόμησης και επαλήθευσης. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 44

Αθροιστικό σφάλµα παροχής πηγών Αθροιστικό σφάλµα παροχής πηγών 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 Πρόβλημα 1Α: Χαρακτηριστικά διαγράμματα Αρχικός πληθυσµός Τελικός πληθυσµός 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Σφάλµα παροχής εξόδου Μέτωπο Pareto Τελικός πληθυσµός Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Ημιαυτόματη βαθμονόμηση 0.100 0.105 0.110 0.115 0.120 0.125 0.130 0.135 0.140 Σφάλµα παροχής εξόδου Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 45 Αδιαστατοποιηµένη παράµετρος 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.100 Αθροιστικό σφάλµα επαλήθευσης 3.900 3.700 3.500 3.300 3.100 2.900 2.700 2.500 Αποδεκτή προγνωστική ικανότητα 2.300 Όρια συνόλου Pareto Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Τελικός πληθυσµός Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Ημιαυτόματη βαθμονόμηση Ημιαυτόματη βαθμονόμηση 2.500 2.750 3.000 3.250 3.500 3.750 4.000 Αθροιστικό σφάλµα βαθµονόµησης

Πρόβλημα 2Β: Εντοπισμός συμβιβαστικής λύσης Αθροιστικό σφάλµα παροχής πηγών Λιλαίας- Κεφαλόβρυσου, Μαυρονερίου και Μέλανα Αθροιστικό σφάλµα παροχής πηγών Αγ. Παρασκευής, Έρκυνα και Πολυγύρας 1.50 1.45 1.40 1.35 1.30 1.25 1.20 1.15 1.10 1.75 1.70 1.65 1.60 1.55 1.50 1.45 1.40 Τελικός πληθυσµός Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Επιλογή από σύνολο Pareto Ημιαυτόματη βαθμονόμηση 0.110 0.115 0.120 0.125 0.130 0.135 0.140 0.145 0.150 Σφάλµα παροχής εξόδου Τελικός πληθυσµός Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Επιλογή από σύνολο Pareto 0.110 0.115 0.120 0.125 0.130 0.135 0.140 0.145 0.150 0.155 0.160 Σφάλµα παροχής εξόδου Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 46 Αθροιστικό σφάλµα παροχής πηγών Αγ. Παρασκευής, Έρκυνα και Πολυγύρας Συμβιβαστική επιλογή από το σύνολο Pareto Αθροιστικό σφάλµα επαλήθευσης 3.40 3.30 3.20 3.10 3.00 2.90 2.80 2.70 2.60 2.50 2.40 2.30 1.75 1.70 1.65 1.60 1.55 1.50 1.45 1.40 Συμβιβαστική 2.20 επιλογή από το σύνολο Pareto Τελικός πληθυσµός Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Επιλογή από σύνολο Pareto 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30 1.35 1.40 1.45 1.50 Αθροιστικό σφάλµα παροχής πηγών Λιλαίας-Κεφαλόβρυσου, Μαυρονερίου και Μέλανα Ημιαυτόματη βαθμονόμηση Τελικός πληθυσµός Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Επιλογή από σύνολο Pareto 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00 3.05 3.10 3.15 3.20 3.25 3.30 Αθροιστικό σφάλµα βαθµονόµησης

Πρόβλημα 3Α: Ανταγωνισμοί κριτηρίων Σφάλµα παροχής πηγών Λιλαίας- Κεφαλόβρυσου 0.200 0.195 0.190 0.185 0.180 0.175 0.170 0.165 0.160 0.155 Τελικός πληθυσµός Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Επιλογή από σύνολο Pareto 2B Σφάλµα παροχής πηγών Πολυγύρας 0.90 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 0.60 0.55 Τελικός πληθυσµός Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Επιλογή από σύνολο Pareto 2B 0.150 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.50 0.500 0.700 0.900 1.100 1.300 1.500 1.700 1.900 2.100 Σφάλµα παροχής εξόδου Σφάλµα παροχής πηγών Μέλανα 0.90 2.10 Σφάλµα παροχής πηγών Μαυρονερίου 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 Τελικός πληθυσµός Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Επιλογή από σύνολο Pareto 2B Σφάλµα παροχής πηγών Μέλανα 1.90 1.70 1.50 1.30 1.10 0.90 0.70 Τελικός πληθυσµός Ηµιαυτόµατη βαθµονόµηση Επιλογή από σύνολο Pareto 2B 0.10 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 Σφάλµα παροχής εξόδου 0.50 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 Σφάλµα παροχής εξόδου Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 47

Σύγκριση βέλτιστων λύσεων (1984 1994) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 Ημιαυτόματη βαθμονόμηση Συμβιβαστική λύση Pareto 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 Ημιαυτόματη βαθμονόμηση Συμβιβαστική λύση Pareto Έξοδος λεκάνης Πηγές Λιλαίας Κεφαλόβρυσου Πηγές Μαυρονερίου Πηγές Αγ. Παρασκευής Πηγές Έρκυνα Πηγές Μέλανα Πηγές Πολυγύρας Έξοδος λεκάνης Πηγές Λιλαίας Κεφαλόβρυσου Πηγές Μαυρονερίου Πηγές Έρκυνα Πηγές Μέλανα Αποτελεσματικότητα Αποτελεσματικότητα 600 500 400 300 200 100 0 Ημιαυτόματη βαθμονόμηση Συμβιβαστική λύση Pareto Χωρητικότητα υγρασίας (mm) ΜΥΑ 1 ΜΥΑ 2 ΜΥΑ 3 ΜΥΑ 4 ΜΥΑ 5 ΜΥΑ 6 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 Ημιαυτόματη βαθμονόμηση Συμβιβαστική λύση Pareto Συντελεστής στείρευσης κατείσδυσης ΜΥΑ 1 ΜΥΑ 2 ΜΥΑ 3 ΜΥΑ 4 ΜΥΑ 5 ΜΥΑ 6 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 Ημιαυτόματη βαθμονόμηση Συμβιβαστική λύση Pareto Λιλαία Μαυρονέρι Αγ. Παρασκευή Έρκυνα Μέλανας Πολυγύρα Υδραυλική αγωγιμότητα πηγής (m/s) Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 48

Μακροχρόνιος έλεγχος μοντέλου (1907 2003) Χρονοσειρές επιφανειακής βροχόπτωσης: 1969 2000: Μέθοδος Thiessen και υψομετρική αναγωγή, για τις 5 υπολεκάνες Λοιπά έτη: Οργανική συσχέτιση με Αλίαρτο, Γραβιά και Λειβαδιά. Χρονοσειρά δυνητικής εξατμοδιαπνοής: 1984 1994: Μέθοδος Penman (ενιαία χρονοσειρά για όλη τη λεκάνη) Λοιπά έτη: Προσαρμογή ημιεμπειρικού μοντέλου στο δείγμα Penman και επέκτασή του με είσοδο την μέση μηνιαία θερμοκρασία στην Αλίαρτο. Χρονοσειρές αρδευτικών αναγκών: 1980 2003: Σταθερές, με βάση τις καλλιεργούμενες εκτάσεις 1907 1979: Θεώρηση ρυθμού ετήσιας μείωσης 1%. Χρονοσειρές παροχής: 1907 2003: Πλήρες δείγμα μέσης μηνιαίας παροχής στην έξοδο της λεκάνης Πρόσφατες υδρομετρήσεις ΙΓΜΕ (1980 2000) Παλαιές μετρήσεις ΥΠΔΕ, Οργανισμού Κωπαΐδας και άλλων φορέων. Αρχικές στάθμες δεξαμενών υπόγειου νερού: Ίσες με τις στάθμες της 1/10/1984 (επισφαλής παραδοχή, δεδομένου ότι υπάρχει συστηματική εκμετάλλευση του υδροφορέα επί μακρό χρονικό διάστημα). Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 49

Σύγκριση βέλτιστων λύσεων (1907 2003) Μηνιαία απορροή Δείγμα (μήνες) Ημιαυτόματη βαθμονόμηση Μεροληψία μέσης τιμής Συμβιβαστική λύση Pareto Αποτελεσματικότητα Αποτελεσματικότητα Μεροληψία μέσης τιμής Έξοδος λεκάνης 1152 0.723 0.027 0.732 0.041 Πηγές Λιλαίας Κεφαλόβρυσου 297 0.538 0.266 0.597 0.184 Πηγές Μαυρονερίου 245 0.745 0.163 0.632 0.317 Πηγές Αγίας Παρασκευής 62 0.377 0.226 0.048 0.555 Πηγές Έρκυνα 171 0.100 0.189 0.099 0.194 Πηγές Μέλανα 166 0.292 0.114 0.606 0.178 Πηγές Πολυγύρας 83 6.795 0.675 7.766 0.734 Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 50

Αναπαραγωγή υδρογραφήματος εξόδου 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Προσομοιωμένη Παρατηρημένη Οκτ 07 Οκτ 09 Οκτ 11 Οκτ 13 Οκτ 15 Οκτ 17 Οκτ 19 Οκτ 21 Οκτ 23 Οκτ 25 Οκτ 27 Οκτ 29 Οκτ 31 Οκτ 33 Οκτ 35 Οκτ 37 Οκτ 39 Οκτ 41 Οκτ 43 Οκτ 45 Οκτ 47 Οκτ 49 Οκτ 51 Οκτ 53 Οκτ 55 Μέση μηνιαία παροχή (m 3 /s) 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Περίοδος βαθμονόμησης Προσομοιωμένη Παρατηρημένη Οκτ 56 Οκτ 58 Οκτ 60 Οκτ 62 Οκτ 64 Οκτ 66 Οκτ 68 Οκτ 70 Οκτ 72 Οκτ 74 Οκτ 76 Οκτ 78 Οκτ 80 Οκτ 82 Οκτ 84 Οκτ 86 Οκτ 88 Οκτ 90 Οκτ 92 Οκτ 94 Οκτ 96 Οκτ 98 Οκτ 00 Οκτ 02 Μέση μηνιαία παροχή (m 3 /s) Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 51

Αναπαραγωγή υδρογραφημάτων πηγών 8.0 7.0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 0.0 Προσομοιωμένη Παρατηρημένη Πηγές Λιλαίας Κεφαλόβρυσου Σεπ 33 Σεπ 36 Σεπ 39 Σεπ 42 Σεπ 45 Σεπ 48 Σεπ 51 Σεπ 54 Σεπ 57 Σεπ 60 Σεπ 63 Σεπ 66 Σεπ 69 Σεπ 72 Σεπ 75 Σεπ 78 Σεπ 81 Σεπ 84 Σεπ 87 Σεπ 90 Σεπ 93 Σεπ 96 Σεπ 99 Σεπ 02 Μέση μηνιαία παροχή (m 3 /s) 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 Παρατηρημένη Προσομοιωμένη Πηγές Μαυρονερίου Μαϊ 81 Μαϊ 82 Μαϊ 83 Μαϊ 84 Μαϊ 85 Μαϊ 86 Μαϊ 87 Μαϊ 88 Μαϊ 89 Μαϊ 90 Μαϊ 91 Μαϊ 92 Μαϊ 93 Μαϊ 94 Μαϊ 95 Μαϊ 96 Μαϊ 97 Μαϊ 98 Μαϊ 99 Μαϊ 00 Μαϊ 01 Μαϊ 02 Μαϊ 03 Μέση μηνιαία παροχή (m 3 /s) Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 52

Συμπεράσματα (1) Ηκλασική, «βαθμωτή» προσέγγιση των προβλημάτων βελτιστοποίησης: αποκρύπτει τους ανταγωνισμούς των κριτηρίων επιτρέπει την καθοδήγηση της διαδικασίας σε προαποφασισμένες λύσεις είναι πιο δύσκολη στην εφαρμογή της, σε σχέση με την πολυκριτηριακή. Οι εξελικτικοί αλγόριθμοι πολυκριτηριακής βελτιστοποίησης: παρουσιάζουν ραγδαία ανάπτυξη, την τελευταία δεκαετία χρησιμοποιούν τους παραγωγικούς μηχανισμούς των γενετικών αλγορίθμων, χωρίς προσαρμογή στα χαρακτηριστικά του διανυσματικού προβλήματος αξιολογούν τις λύσεις αποκλειστικά με βάση την έννοια της κυριαρχίας. ΗμέθοδοςMEAS: εμπεριέχει αρκετά καινοτόμα στοιχεία που εγγυώνται τον εντοπισμό αντιπροσωπευτικών λύσεων Pareto, με σχετικά μικρό υπολογιστικό φόρτο είναι πλήρως συγκρίσιμη των καταξιωμένων βιβλιογραφικών τεχνικών εστιάζει στις ιδιαιτερότητες των υδρολογικών εφαρμογών, αναζητώντας πρόσφορους συμβιβασμούς των κριτηρίων. Στα προβλήματα βελτιστοποίησης συστημάτων υδατικών πόρων: υπάρχει υστέρηση στη διάδοση των σύγχρονων πολυκριτηριακών εργαλείων δεν είναι σαφής η επιχειρησιακή αξιοποίηση των αποτελεσμάτων τους. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 53

Συμπεράσματα (2) Ησύγχρονηοπτικήστηβαθμονόμησηυδρολογικώνμοντέλων: απορρίπτει τη λογική μιας αυτοματοποιημένης αλγοριθμικής διαδικασίας αποδέχεται την ύπαρξη πολλών ισοδύναμα αποδεκτών λύσεων, ως συνέπεια των εγγενών αβεβαιοτήτων σε όλα τα στάδια διαμόρφωσης ενός μοντέλου Η ευρεία διάδοση όλο και πιο σύνθετων μοντέλων έρχεται σε αντίφαση: με τη θεμελιώδη απαίτηση διατύπωσης σχημάτων φειδωλών σε παραμέτρους με την (διεθνώς παρατηρούμενη) υποβάθμιση της μέριμνας για μετρήσεις. Η ευρωστία ενός μοντέλου εξασφαλίζεται όταν: η σχηματοποίηση και παραμετροποίησή του αντικατοπτρίζει τη διαθέσιμη γνώση για την υπό μελέτη λεκάνη αξιοποιείται κάθε τύπου πληροφορία καθώς και η υδρολογική εμπειρία, στην κατεύθυνση της παραγωγής ρεαλιστικών αποτελεσμάτων για κάθε πτυχή του. Η εφαρμογή πολυκριτηριακών προσεγγίσεων στη βαθμονόμηση: είναι αναγκαία για την «ερμηνεία» σχημάτων με μεγάλο αριθμό παραμέτρων επιτρέπει ταυτόχρονη προσαρμογή σε πολλαπλές αποκρίσεις της λεκάνης βοηθά στην ανίχνευση αβεβαιοτήτων και δομικών σφαλμάτων συμβάλλει στον εντοπισμό πρόσφορων συμβιβαστικών λύσεων, με σχετικά μικρό φόρτο συγκριτικά με μια στρατηγική υβριδικής βελτιστοποίησης. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 54

Προτάσεις για περαιτέρω έρευνα Μέθοδος MEAS Εμβάθυνση στις υπολογιστικές διαδικασίες και αλγοριθμικές παραμέτρους Αξιολόγηση με βάση θεωρητικές συναρτήσεις περισσότερων των δύο κριτηρίων Βελτίωση αποδοτικότητας, στην περίπτωση χρήσης περιορισμών εφικτότητας. Εκτίμηση παραμέτρων στοχαστικών μοντέλων Πολυκριτηριακή προσέγγιση, για διάφορες εκδοχές στοχαστικών σχημάτων Κριτήρια αξιολόγησης υδρολογικά αποδεκτών λύσεων. Στρατηγική βαθμονόμησης σύνθετων μοντέλων Μερική αυτοματοποίηση υβριδικής διαδικασίας, με διαδραστική επέμβαση του χρήστη στη βελτιστοποίηση Ανάλυση ευαισθησίας για διάφορα επίπεδα χωρικής ανάλυσης των διεργασιών και παραμέτρων, καθώς και λεπτομέρειας των δεδομένων εισόδου. Προοπτικές πολυκριτηριακής βαθμονόμησης Ανάπτυξη πλαισίου αξιολόγησης βέλτιστων Pareto λύσεων, με βάση την προγνωστική τους ικανότητα Παράλληλη επεξεργασία αποτελεσμάτων, για εξοικονόμηση φόρτου Σύζευξη μεθόδων βελτιστοποίησης και ποσοτικοποίησης της αβεβαιότητας, με χρήση πιθανοτικών προσεγγίσεων. Α. Ευστρατιάδης, Μη γραμμικές μέθοδοι σε πολυκριτηριακά προβλήματα υδατικών πόρων, με έμφαση στη βαθμονόμηση μοντέλων 55