Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
|
|
|
- Τύχων Κοντόσταυλος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης Σπύρος Κοντογιάννης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών ευτέρα, 9 Ιανουαρίου 2016
2 Σκελετός Ομιλίας 1 Μερικές Στοιχειώδεις Λειτουργίες 2 Norm Minimization 3 Linear Fractional Programming 4 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [2 / 26]
3 LP-Feasibility Test LP Feasibility Problem: Ελεγχος αν είναι κενό το σύνολο: F := {x R n : Ax = a; Bx b} Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [3 / 26]
4 LP-Feasibility Test LP Feasibility Problem: Ελεγχος αν είναι κενό το σύνολο: F := {x R n : Ax = a; Bx b} Απάντηση μέσω επίλυσης κατάλληλου γ.π. (θυμηθείτε επίσης και το Λήμμα του Farkas): minimize t (LPF) s.t. : Ax = a 1t + Bx b t 0 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [3 / 26]
5 LP-Feasibility Test 1. if (LPF) ΜΗ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟ 2. then return(f = ) 3. else / (LPF): ΕΠΙΛΥΣΙΜΟ / 4. if η βέλτιστη λύση ( x, t) έχει κόστος t = 0 5. then return( x F ) 6. else return(f = ) Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [3 / 26] LP Feasibility Problem: Ελεγχος αν είναι κενό το σύνολο: F := {x R n : Ax = a; Bx b} Απάντηση μέσω επίλυσης κατάλληλου γ.π. (θυμηθείτε επίσης και το Λήμμα του Farkas): minimize t (LPF) s.t. : Ax = a 1t + Bx b t 0
6 Ελαχιστοποίηση Κυρτών Κατά Τμήματα Γραμμικών Συναρτήσεων minimize max {c i x + d i : i [k]} s.t. : Ax = a Bx b x J 0, J [n] f(x) x Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [4 / 26]
7 Ελαχιστοποίηση Κυρτών Κατά Τμήματα Γραμμικών Συναρτήσεων minimize max {c i x + d i : i [k]} s.t. : Ax = a Bx b x J 0, J [n] f(x) minimize v s.t. : Ax = a Bx b i [k], v c i x d i x J 0, J [n] x Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [4 / 26]
8 Σκελετός Ομιλίας 1 Μερικές Στοιχειώδεις Λειτουργίες 2 Norm Minimization 3 Linear Fractional Programming 4 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [5 / 26]
9 l 1 -Norm Minimization min. Cx d 1 s.t. : Ax = a Bx b x J 0, J [n] l 1 norm: z 1 = j [n] z j l 2 norm: z 2 = ( j [n] z 2 j ) 1 2 l norm: z = max j [n] z j Σημεία με τιμή νόρμας z p 1: z2 z 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [6 / 26]
10 l 1 -Norm Minimization min. Cx d 1 s.t. : Ax = a Bx b x J 0, J [n] min. 1 y s.t. : Ax = a Bx b y + Cx d y Cx d x J 0, J [n] l 1 norm: z 1 = j [n] z j l 2 norm: z 2 = ( j [n] z 2 j ) 1 2 l norm: z = max j [n] z j Σημεία με τιμή νόρμας z p 1: z2 z 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [6 / 26]
11 l 2 -Norm (aka Least-Squares) Minimization l 1 norm: z 1 = j [n] z j min. Cx d 2 Κλειστός τύπος για τη λύση (υποθέτοντας ότι rank(c) = n): l 2 norm: z 2 = ( j [n] z 2 j ) 1 2 l norm: z = max j [n] z j Σημεία με τιμή νόρμας z p 1: z2 x = (C C) 1 C d z 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [7 / 26]
12 l -Norm Minimization min. Cx d s.t. : Ax = a Bx b x J 0, J [n] l 1 norm: z 1 = j [n] z j l 2 norm: z 2 = ( j [n] z 2 j ) 1 2 l norm: z = max j [n] z j Σημεία με τιμή νόρμας z p 1: z2 z 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [8 / 26]
13 l -Norm Minimization min. Cx d s.t. : Ax = a Bx b x J 0, J [n] min. v s.t. : Ax = a Bx b 1v + Cx d 1v Cx d x J 0, J [n] l 1 norm: z 1 = j [n] z j l 2 norm: z 2 = ( j [n] z 2 j ) 1 2 l norm: z = max j [n] z j Σημεία με τιμή νόρμας z p 1: z2 z 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [8 / 26]
14 Σκελετός Ομιλίας 1 Μερικές Στοιχειώδεις Λειτουργίες 2 Norm Minimization 3 Linear Fractional Programming 4 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [9 / 26]
15 Linear Fractional Programming (I) min. c x+d f x+g s.t. : Ax = a Bx b f x g x J 0, J [n] Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [10 / 26]
16 Linear Fractional Programming (I) min. c x+d f x+g s.t. : Ax = a Bx b f x g x J 0, J [n] Ισοδύναμο μη-γραμμικό πρόγραμμα (για v c x+d f x+g ): (FLP) min. v s.t. : Ax = a Bx b f x g v f x + v g c x d x J 0, J [n] Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [10 / 26]
17 Linear Fractional Programming (II) Επίλυση με Χρήση Μεθόδου ιχοτόμησης (FLP_FEASIBILITY)(v) minimize 0 s.t. : Ax = a Bx b f x g v f x c x d v g x J 0, J [n] Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [11 / 26]
18 Linear Fractional Programming (II) Επίλυση με Χρήση Μεθόδου ιχοτόμησης (FLP_FEASIBILITY)(v) minimize 0 s.t. : Ax = a Bx b f x g v f x c x d v g x J 0, J [n] FLPBisection(A, a, B, b, c, d, f, g, ɛ) ΕΙΣΟ ΟΣ: L, U: Οριοθετούν ένα διάστημα τ.ώ.: v [L, U]. ɛ 0 := U L >0: Αρχική ανοχή σφάλματος. ɛ >0: Τελική ανοχή σφάλματος. ΨΕΥ ΟΚΩ ΙΚΑΣ: 1. repeat 2. Λύσε το (FLP_FEASIBILITY)(v) για v = L+U 2 3. if FEASIBLE. 4. then U := v 5. else / INFEASIBLE / L := v 6. until U L ɛ Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [11 / 26]
19 Linear Fractional Programming (III) FLPBisection(A, a, B, b, c, d, f, g, ɛ) ΕΙΣΟ ΟΣ: L, U: Οριοθετούν ένα διάστημα τ.ώ.: v [L, U]. ɛ 0 := U L >0: Αρχική ανοχή σφάλματος. ɛ >0: Τελική ανοχή σφάλματος. ΨΕΥ ΟΚΩ ΙΚΑΣ: 1. repeat 2. Λύσε το (FLP_FEASIBILITY)(v) για v = L+U 3. if FEASIBLE 4. then U := v 5. else / INFEASIBLE / L := v 6. until U L ɛ Το ΒΗΜΑ-2 επιλύει ένα γ.π.: η v εκλαμβάνεται ως σταθερά στο (FLP_FEASIBILITY)(v). 2. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [12 / 26]
20 Linear Fractional Programming (III) FLPBisection(A, a, B, b, c, d, f, g, ɛ) ΕΙΣΟ ΟΣ: L, U: Οριοθετούν ένα διάστημα τ.ώ.: v [L, U]. ɛ 0 := U L >0: Αρχική ανοχή σφάλματος. ɛ >0: Τελική ανοχή σφάλματος. ΨΕΥ ΟΚΩ ΙΚΑΣ: 1. repeat 2. Λύσε το (FLP_FEASIBILITY)(v) για v = L+U 3. if FEASIBLE 4. then U := v 5. else / INFEASIBLE / L := v 6. until U L ɛ Το ΒΗΜΑ-2 επιλύει ένα γ.π.: η v εκλαμβάνεται ως σταθερά στο (FLP_FEASIBILITY)(v). Η ακρίβεια «διπλασιάζεται» σε κάθε επανάληψη. 2. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [12 / 26]
21 Linear Fractional Programming (III) FLPBisection(A, a, B, b, c, d, f, g, ɛ) ΕΙΣΟ ΟΣ: L, U: Οριοθετούν ένα διάστημα τ.ώ.: v [L, U]. ɛ 0 := U L >0: Αρχική ανοχή σφάλματος. ɛ >0: Τελική ανοχή σφάλματος. ΨΕΥ ΟΚΩ ΙΚΑΣ: 1. repeat 2. Λύσε το (FLP_FEASIBILITY)(v) για v = L+U 3. if FEASIBLE 4. then U := v 5. else / INFEASIBLE / L := v 6. until U L ɛ Το ΒΗΜΑ-2 επιλύει ένα γ.π.: η v εκλαμβάνεται ως σταθερά στο (FLP_FEASIBILITY)(v). Η ακρίβεια «διπλασιάζεται» σε κάθε επανάληψη. Μέγιστο πλήθος επαναλήψεων; 2. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [12 / 26]
22 Linear Fractional Programming (III) FLPBisection(A, a, B, b, c, d, f, g, ɛ) ΕΙΣΟ ΟΣ: L, U: Οριοθετούν ένα διάστημα τ.ώ.: v [L, U]. ɛ 0 := U L >0: Αρχική ανοχή σφάλματος. ɛ >0: Τελική ανοχή σφάλματος. ΨΕΥ ΟΚΩ ΙΚΑΣ: 1. repeat 2. Λύσε το (FLP_FEASIBILITY)(v) για v = L+U 3. if FEASIBLE 4. then U := v 5. else / INFEASIBLE / L := v 6. until U L ɛ Το ΒΗΜΑ-2 επιλύει ένα γ.π.: η v εκλαμβάνεται ως σταθερά στο (FLP_FEASIBILITY)(v). Η ακρίβεια «διπλασιάζεται» σε κάθε επανάληψη. Μέγιστο πλήθος επαναλήψεων; k = log 2 ( ɛ0ɛ ). Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [12 / 26] 2.
23 Σκελετός Ομιλίας 1 Μερικές Στοιχειώδεις Λειτουργίες 2 Norm Minimization 3 Linear Fractional Programming 4 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [13 / 26]
24 ρομολόγια Πτήσεων Αεροπλάνων (Ι) Ε ΟΜΕΝΑ: Σύνολο M = [m] απευθείας πτήσεων legs (πχ, Αθήνα - Φρανκφούρτη). Σύνολο N = [n] πιθανών δρομολογίων routes. j [n]: A[*, j] {0, 1} n είναι το χαρακτηριστικό διάνυσμα του δρομολογίου j. cj R είναι το κόστος του δρομολογίου j. ΕΦΙΚΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ: Κάθε leg αξιοποιείται ακριβώς σε ένα δρομολόγιο. ΣΤΟΧΟΣ: Επιλογή συλλογής δρομολογίων ελάχιστου κόστους. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [14 / 26]
25 ρομολόγια Πτήσεων Αεροπλάνων (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης: { 1, επιλέγεται η διαδρομή j j [n], x j = 0, διαφορετικά Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [15 / 26]
26 ρομολόγια Πτήσεων Αεροπλάνων (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης: { 1, επιλέγεται η διαδρομή j j [n], x j = 0, διαφορετικά Μοντελοποίηση ως ακέραιο γραμμικό πρόγραμμα: minimize s.t. : nj=1 c j x j nj=1 A[i, j]x j = 1, i [m] x j {0, 1}, j [n] Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [15 / 26]
27 ρομολόγια Πτήσεων Αεροπλάνων (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης: { 1, επιλέγεται η διαδρομή j j [n], x j = 0, διαφορετικά Μοντελοποίηση ως ακέραιο γραμμικό πρόγραμμα: minimize s.t. : nj=1 c j x j nj=1 A[i, j]x j = 1, i [m] x j {0, 1}, j [n] Πρόκειται για παράδειγμα προβλήματος διαμέρισης (set-partitioning problem). Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [15 / 26]
28 ρομολόγια Πτήσεων Αεροπλάνων (ΙΙ) Μεταβλητές απόφασης: { 1, επιλέγεται η διαδρομή j j [n], x j = 0, διαφορετικά Μοντελοποίηση ως ακέραιο γραμμικό πρόγραμμα: minimize s.t. : nj=1 c j x j nj=1 A[i, j]x j = 1, i [m] x j {0, 1}, j [n] Πρόκειται για παράδειγμα προβλήματος διαμέρισης (set-partitioning problem). N P δύσκολο πρόβλημα (λόγω ακεραιότητας)!!! Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [15 / 26]
29 Χαλάρωση Ακέραιου Γ.Π. (Ι) Παράδειγμα ακέραιου γ.π. : (P) maximize ζ = 17x x 2 s.t. : 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1 N x 2 N Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [16 / 26]
30 Χαλάρωση Ακέραιου Γ.Π. (Ι) Παράδειγμα ακέραιου γ.π. και της χαλαρωμένης μορφής του: (P) maximize ζ = 17x x 2 s.t. : 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1 0 x 2 0 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [16 / 26]
31 Χαλάρωση Ακέραιου Γ.Π. (Ι) Παράδειγμα ακέραιου γ.π. και της χαλαρωμένης μορφής του: (P) maximize ζ = 17x x 2 s.t. : 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1 0 x 2 0 Q Πώς αξιοποιείται το χαλαρωμένο γ.π.; Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [16 / 26]
32 Χαλάρωση Ακέραιου Γ.Π. (Ι) Παράδειγμα ακέραιου γ.π. και της χαλαρωμένης μορφής του: (P) maximize ζ = 17x x 2 s.t. : 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1 0 x 2 0 Q Πώς αξιοποιείται το χαλαρωμένο γ.π.; A1 Παρέχει (άνω, αν είναι γ.π. μεγιστοποίησης, κάτω αν είναι γ.π. ελαχιστοποίησης) φράγμα στη βέλτιστη τιμή του ακέραιου γ.π. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [16 / 26]
33 Χαλάρωση Ακέραιου Γ.Π. (Ι) Παράδειγμα ακέραιου γ.π. και της χαλαρωμένης μορφής του: (P) maximize ζ = 17x x 2 s.t. : 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1 0 x 2 0 Q Πώς αξιοποιείται το χαλαρωμένο γ.π.; A1 Παρέχει (άνω, αν είναι γ.π. μεγιστοποίησης, κάτω αν είναι γ.π. ελαχιστοποίησης) φράγμα στη βέλτιστη τιμή του ακέραιου γ.π. A2 Χρησιοποιείται ως υπορουτίνα για εύρεση της βέλτιστης ακέραιας λύσης (πχ, με την τεχνική Branch & Bound). Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [16 / 26]
34 Χαλάρωση Ακέραιου Γ.Π. (ΙΙ) Βέλτιστη λύση για το (P): [ x 1 ; x 2 ; ζ ] = [ 1.67; 3.33; ]. x x1 + 7x Ρ x1 + x2 5 Βέλτιστη Λύση Χαλαρωμένου ΓΠ x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [17 / 26]
35 Χαλάρωση Ακέραιου Γ.Π. (ΙΙ) Βέλτιστη λύση για το (P): [ x 1 ; x 2 ; ζ ] = [ 1.67; 3.33; ]. Στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη ακέραια λύση [2; 3; 70] μη εφικτή λύση. x x1 + 7x Ρ x1 + x2 5 Βέλτιστη Λύση Χαλαρωμένου ΓΠ x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [17 / 26]
36 Χαλάρωση Ακέραιου Γ.Π. (ΙΙ) Βέλτιστη λύση για το (P): [ x 1 ; x 2 ; ζ ] = [ 1.67; 3.33; ]. Στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη ακέραια λύση [2; 3; 70] μη εφικτή λύση. Γεωμετρικά πλησιέστερη εφικτή ακέραια λύση: [ 1; 3; 53 ] μη βέλτιστη ακέραια λύση. x x1 + 7x Ρ 0 1 x1 + x2 5 Βέλτιστη Λύση Χαλαρωμένου ΓΠ x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [17 / 26]
37 Χαλάρωση Ακέραιου Γ.Π. (ΙΙ) Βέλτιστη λύση για το (P): [ x 1 ; x 2 ; ζ ] = [ 1.67; 3.33; ]. Στρογγυλοποίηση στην πλησιέστερη ακέραια λύση [2; 3; 70] μη εφικτή λύση. Γεωμετρικά πλησιέστερη εφικτή ακέραια λύση: [ 1; 3; 53 ] μη βέλτιστη ακέραια λύση. x x1 + 7x Ρ 0 1 x1 + x2 5 Βέλτιστη Λύση Χαλαρωμένου ΓΠ x 1 Βέλτιστη ακέραια λύση: [ x 1 ; x 2 ; ζ ] = [ 4; 0; 68 ]. Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [17 / 26]
38 Μέθοδος Branch & Bound (Ι) Q Στο χαλαρωμένο γ.π. ισχύει ότι: x 1 = Πώς θα μπορούσαμε να αξιοποιήσουμε αυτή την πληροφορία, για επακριβή επίλυση του ακέραιου γ.π.; Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [18 / 26]
39 Μέθοδος Branch & Bound (Ι) Q Στο χαλαρωμένο γ.π. ισχύει ότι: x 1 = Πώς θα μπορούσαμε να αξιοποιήσουμε αυτή την πληροφορία, για επακριβή επίλυση του ακέραιου γ.π.; A Υπάρχουν δυο αμοιβαία αποκλειόμενες περιπτώσεις για τη βέλτιστη ακέραια λύση x : x 1 1, ή x 1 2 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [18 / 26]
40 Μέθοδος Branch & Bound (Ι) Q Στο χαλαρωμένο γ.π. ισχύει ότι: x 1 = Πώς θα μπορούσαμε να αξιοποιήσουμε αυτή την πληροφορία, για επακριβή επίλυση του ακέραιου γ.π.; A Υπάρχουν δυο αμοιβαία αποκλειόμενες περιπτώσεις για τη βέλτιστη ακέραια λύση x : x 1 1, ή x 1 2 BRANCH & BOUND: Λύνουμε δυο διαφορετικά χαλαρωμένα γ.π., ως υποπεριπτώσεις του (P): Το (P1) με τον επιπλέον περιορισμό x 1 1, και το (P2) με τον περιορισμό x 1 2: { (P1) x1 1 (P) (P2) x 1 2 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [18 / 26]
41 Μέθοδος Branch & Bound (ΙΙ) Λύση του (P1): [1; 4; 65]. x x1 + 7x Ρ 1 1 Ρ 2 x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [19 / 26]
42 Μέθοδος Branch & Bound (ΙΙ) Λύση του (P1): [1; 4; 65]. Βέλτιστη λύση κατά σύμπτωση ακέραια! x x1 + 7x Ρ 1 Ρ 2 x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [19 / 26]
43 Μέθοδος Branch & Bound (ΙΙ) Λύση του (P1): [1; 4; 65]. Βέλτιστη λύση κατά σύμπτωση ακέραια! STOP x x1 + 7x Ρ 1 Ρ 2 x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [19 / 26]
44 Μέθοδος Branch & Bound (ΙΙ) Λύση του (P1): [1; 4; 65]. Βέλτιστη λύση κατά σύμπτωση ακέραια! STOP Λύση του (P2): [2; 2.86; 68.29]. Μεγαλύτερο (χαλαρωμένο) κέρδος από αυτό της καλύτερης ακέραιας λύσης ως τώρα, από το (P1). x x1 + 7x Ρ 1 Ρ 2 1 x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [19 / 26]
45 Μέθοδος Branch & Bound (ΙΙ) Λύση του (P1): [1; 4; 65]. Βέλτιστη λύση κατά σύμπτωση ακέραια! STOP Λύση του (P2): [2; 2.86; 68.29]. Μεγαλύτερο (χαλαρωμένο) κέρδος από αυτό της καλύτερης ακέραιας λύσης ως τώρα, από το (P1). x x1 + 7x Ρ 1 Ρ 2 1 x1 + x2 5 BRANCH { & BOUND: (P3) : x (P2) 1 2 x 2 2 Μη επιλύσιμο : x 1 2 x 2 3 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [19 / 26]
46 Μέθοδος Branch & Bound (ΙΙΙ) x2 Λύση του (P3): [2.6; 2; 68.2] Μεγαλύτερο (χαλαρωμένο) κέρδος από αυτό της καλύτερης ακέραιας λύσης ως τώρα, από το (P1) x1 + 7x Ρ 1 Ρ 3 1 x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [20 / 26]
47 Μέθοδος Branch & Bound (ΙΙΙ) x2 Λύση του (P3): [2.6; 2; 68.2] Μεγαλύτερο (χαλαρωμένο) κέρδος από αυτό της καλύτερης ακέραιας λύσης ως τώρα, από το (P1) x1 + 7x Ρ 1 Ρ 3 1 x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ x 1 BRANCH & BOUND: (P3) { (P4) : x1 2 x 2 2 (P5) : x 1 3 x 2 2 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [20 / 26]
48 Μέθοδος Branch & Bound (IV) Λύση του (P4): [2; 2; 58]. Βέλτιστη λύση κατά σύμπτωση ακέραια! x x1 + 7x Ρ 1 Ρ 4 Ρ x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ 4, Ρ 5 x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [21 / 26]
49 Μέθοδος Branch & Bound (IV) Λύση του (P4): [2; 2; 58]. Βέλτιστη λύση κατά σύμπτωση ακέραια! STOP x x1 + 7x Ρ 1 Ρ 4 Ρ x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ 4, Ρ 5 x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [21 / 26]
50 Μέθοδος Branch & Bound (IV) Λύση του (P4): [2; 2; 58]. Βέλτιστη λύση κατά σύμπτωση ακέραια! STOP Λύση του (P5): [3; 1.43; 68.14]. Μεγαλύτερο (χαλαρωμένο) κέρδος από αυτό της καλύτερης ακέραιας λύσης ως τώρα, από το (P1). x x1 + 7x Ρ 1 Ρ 4 Ρ x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ 4, Ρ 5 x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [21 / 26]
51 Μέθοδος Branch & Bound (IV) Λύση του (P4): [2; 2; 58]. Βέλτιστη λύση κατά σύμπτωση ακέραια! STOP Λύση του (P5): [3; 1.43; 68.14]. Μεγαλύτερο (χαλαρωμένο) κέρδος από αυτό της καλύτερης ακέραιας λύσης ως τώρα, από το (P1). x x1 + 7x Ρ 1 Ρ 4 Ρ x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ 4, Ρ 5 x 1 BRANCH { & BOUND: (P6) : x (P5) 1 3 x 2 1 Μη επιλύσιμο : x 1 3 x 2 2 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [21 / 26]
52 Μέθοδος Branch & Bound (V) x2 Λύση του (P6): [3.3; 1; 68.1]. Μεγαλύτερο (χαλαρωμένο) κέρδος από αυτό της καλύτερης ακέραιας λύσης ως τώρα, από το (P1). BRANCH & BOUND: (P6) x1 + 7x Ρ 1 Ρ 4 Ρ x1 + x2 5 Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ 4, Ρ 6 { (P7) : x1 = 3 x 2 = 1 (P8) : x 1 = 4 x 2 = 1 x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [22 / 26]
53 Μέθοδος Branch & Bound (VI) Λύση του (P7): [3; 1; 63]. Βέλτιστη λύση ακέραια! STOP Λύση του (P8): [4; 0; 68]. Βέλτιστη λύση ακέραια! STOP x x1 + 7x Βέλτιστες Λύσεις των Ρ 1, Ρ 4, Ρ 7, Ρ 8 Ρ 1 Ρ 4 Ρ 7 Ρ x1 + x2 5 x 1 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [23 / 26]
54 Μέθοδος Branch & Bound (VII) Βέλτιστη ακέραια λύση αρχικού ακέραιου γραμμικού προγράμματος; P 0 : x 1 =1.67, x 2 =3.33 ζ=68.33 x 1 <1 x 1 >2 P 1 : x 1 =1, x 2 =4 ζ=65 x 2 <2 P 2 : x 1 =2, x 2 =2.86 ζ=68.29 x 2 >3 P 3 : x 1 =2.6, x 2 =2 ζ=68.2 x 1 <2 x 1 >3 P 4 : x 1 =2, x 2 =2 ζ=58 P 5 : x 1 =3, x 2 =1.43 ζ=68.14 x 2 <1 x 2 >2 P 6 : x 1 =3.3, x 2 =1 ζ=68.1 x 1 <3 x 1 >4 P 7 : x 1 =3, x 2 =1 ζ=63 P 8 : x 1 =4, x 2 =0 ζ=68 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [24 / 26]
55 Μέθοδος Branch & Bound (VII) Βέλτιστη ακέραια λύση αρχικού ακέραιου γραμμικού προγράμματος; P 0 : x 1 =1.67, x 2 =3.33 ζ=68.33 x 1 <1 x 1 >2 P 1 : x 1 =1, x 2 =4 ζ=65 x 2 <2 P 2 : x 1 =2, x 2 =2.86 ζ=68.29 x 2 >3 Η ακέραια λύση με τη βέλτιστη τιμή, μεταξύ αυτών που ανακάλυψε η BRANCH & BOUND τεχνική: [ x 1 ; x 2 ; ζ ] = [ 4; 0; 68 ] P 3 : x 1 =2.6, x 2 =2 ζ=68.2 x 1 <2 x 1 >3 P 4 : x 1 =2, x 2 =2 P 5 : x 1 =3, x 2 =1.43 ζ=58 ζ=68.14 x 2 <1 x 2 >2 P 6 : x 1 =3.3, x 2 =1 ζ=68.1 x 1 <3 x 1 >4 P 7 : x 1 =3, x 2 =1 ζ=63 P 8 : x 1 =4, x 2 =0 ζ=68 Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [24 / 26]
56 Μέθοδος Branch & Bound (VIII) 1 (P σ ) = το χαλαρωμένο γ.π. του ακέραιου γ.π. (IP σ ) που επιθυμούμε να λύσουμε 2 if (P σ ) μη επιλύσιμο then return «(IP σ ): μη επιλύσιμο» if η βέλτιστη λύση του (P t ) έχει κόστος μεγαλύτερο του κόστους της καλύτερης ακέραιας λύσης μέχρι στιγμής then return «(IP σ ) : υποβέλτιστο κόστος» 3 BRANCH: Οι κλάδοι (P σ0 ) και (P σ1 ) έχουν τους ίδιους περιορισμούς με το (P σ ), συν δυο αμοιβαία αποκλειόμενους περιορισμούς (έναν για κάθε κλάδο) για την πρώτη μεταβλητή με μη ακέραια τιμή, x k x k, στη βέλτιστη λύση x του (P σ ): x i x i και x i x i. 4 BOUND: x σ0 = Β&Β(P σ0 ) x σ1 = Β&Β(P σ1 ) return arg min{ c x σ0, c x σ1 } Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [25 / 26]
57 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Ερωτήσεις / Σχόλια ; Σ. Κοντογιάννης ΠΜΣ/ΕΤΥ : Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση (Φθινόπωρο 2016) 8η ενότητα [26 / 26]
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 2η Ενότητα: Μοντελοποίηση Προβλημάτων ως ΓΠ, Ισοδυναμες Μορφές ΓΠ, Γεωμετρία Χωρου Λύσεων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ / ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 4η Ενότητα: Γραμμικά Συστήματα Εξισωσεων και Pivots Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών
CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ-ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cse.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 9η Ενότητα: Προβλήματα ικτυακών Ροών Σπύρος Κοντογιάννης kontog@cse.uoi.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 1η Ενότητα: Εισαγωγικά
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση Μεταπτυχιακό Μάθημα ΠΜΣ/ΕΤΥ 1η Ενότητα: Εισαγωγικά Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
Τρίτη, 05 Ιουνίου 2001 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 Α. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα αλήθειας δύο προτάσεων
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Επίλυση δικτύων διανομής
ΑστικάΥδραυλικάΈργα Υδρεύσεις Επίλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης & Ανδρέας Ευστρατιάδης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατύπωση του προβλήματος Δεδομένου ενός δικτύου αγωγών
Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα
Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ
Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Ενότητα 1: Υδρολογική προσομοίωση 1.2. Βελτιστοποίηση (Βαθμονόμηση) Υδρολογικών Μοντέλων Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Μαθηματικών Μ.Δ.Ε. : Μαθηματικά των Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Ακαδημαϊκό Έτος
Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών. Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π.
Δήμος Σωτήριος Υ.Δ. Εργαστήριο Λογικής & Επιστήμης Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. Θεωρία Παιγνίων (;) αυτά είναι video παίγνια...... αυτά δεν είναι θεωρία παιγνίων
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη επιβλεπόμενη εκπαίδευση (Clustering) Μη παραμετρική Μη επιβλεπόμενη εκπαίδευση Μέτρα εγγύτητας Αλγόριθμος k means ISODATA Ιεραρχικό ρ clustering Δεντρογράμματα 1
17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης
Εφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού
Ring Routing and Wavelength Conversion. Γιώργος Ζώης
Ring Routing and Wavelength Conversion Γιώργος Ζώης Ενότητες της παρουσίασης 1. Directed Ring Routing Wavelength Conversion σε WDM δίκτυα. 2. Wavelength Conversion σε shortest path δρομολογήσεις. 3. Επιπλέον
Συναρτήσεις ΙΙ. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις ΙΙ 1 Σημερινό μάθημα Εμβέλεια Εμφωλίαση Τύπος αποθήκευσης Συναρτήσεις ως παράμετροι Πέρασμα με τιμή Πολλαπλά return Προκαθορισμένοι ρ Παράμετροι ρ Υπερφόρτωση συναρτήσεων Inline συναρτήσεις
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική
Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2
Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται
5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Ψηφιακή Εικόνα. Σημερινό μάθημα!
Ψηφιακή Εικόνα Σημερινό μάθημα! Ψηφιακή Εικόνα Αναλογική εικόνα Ψηφιοποίηση (digitalization) Δειγματοληψία Κβαντισμός Δυαδικές δ έ (Binary) εικόνες Ψηφιακή εικόνα & οθόνη Η/Υ 1 Ψηφιακή Εικόνα Μια ακίνητη
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
Αναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών
1 Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζουμε ένα από τα σημαντικότερα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων, τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών. Η διατύπωση που θα αποδείξουμε
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα
ΣΥΝΟΛΑ (προσέξτε τα κοινά χαρακτηριστικά των παρακάτω προτάσεων) Οι άνθρωποι που σπουδάζουν ΤΠ&ΕΣ και βρίσκονται στην αίθουσα Τα βιβλία διακριτών μαθηματικών του Γ.Β. Η/Υ με επεξεργαστή Pentium και χωρητικότητα
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του αποκτά πρόσβαση στο περιβάλλον του ιατρού που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΙΑΤΡΕΙΟ Ο ιατρός αφού διαπιστώσει εάν το πρόσωπο που προσέρχεται για εξέταση είναι το ίδιο με αυτό που εικονίζεται στο βιβλιάριο υγείας και ελέγξει ότι είναι ασφαλιστικά ενήμερο (όπως ακριβώς γίνεται
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ. (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ
ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΣΟΡΜΙΣΗΣ, ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ, ΠΡΥΜΝΟΔΕΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΕΛΛΙΜΕΝΙΣΜΟΥ ΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΘΑΛΑΣΣΙΕΣ ΠΕΡΙΟΧΕΣ (ΛΙΜΑΝΙΑ κ.λπ.) ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΡΜΟΔΙΟΤΗΤΑΣ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΔΗΜΟΤΙΚΩΝ ΛΙΜΕΝΙΚΩΝ ΤΑΜΕΙΩΝ Επιμέλεια Άγγελου Αργυρακόπουλου
Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι
Σημειώσεις στα πλαίσια του μαθήματος: Βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Υδροπληροφορική Θεμελιώδεις έννοιες βελτιστοποίησης και κλασικές μαθηματικές μέθοδοι Ανδρέας Ευστρατιάδης & Χρήστος Μακρόπουλος
Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
1. Η συγκεκριμένη εφαρμογή της λειτουργίας για τη λήψη φορολογικής ενημερότητας βρίσκεται στην αρχική σελίδα της ιστοσελίδας της Γ.Γ.Π.Σ.
ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 23 η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 10 Ιουλίου 2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΔΙΚΑΙΟΣΥΝΗΣ, ΔΙΑΦΑΝΕΙΑΣ ΚΑΙ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΔΙΚΑΙΩΜΑΤΩΝ ΣΥΝΤΟΝΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Αριθμ. Πρωτ. 153 ΣΥΜΒΟΛΑΙΟΓΡΑΦΙΚΩΝ ΣΥΛΛΟΓΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ Α Θ Η Ν
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ
Μ Π Σ Λ Θ Α Υ m l ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΑ ΣΧΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗΣ Δ Ε Γεώργιος Ζώης Επιβλέπων: Σταύρος Γ. Κολλιόπουλος, Επ. Καθηγητής, Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ε.Κ.Π.Α. Αθήνα, Μάρτιος
Μη επιβλεπόμενη εκπαίδευση (Clustering) Μη παραμετρική Μη επιβλεπόμενη εκπαίδευση Μέτρα εγγύτητας Αλγόριθμος k means ISODATA Ιεραρχικό clustering
Clustering Σημερινό Μάθημα Μη επιβλεπόμενη εκπαίδευση (Clustering) Μη παραμετρική Μη επιβλεπόμενη εκπαίδευση Μέτρα εγγύτητας Αλγόριθμος k means ISODATA Ιεραρχικό clustering Δεντρογράμματα Demos Επιβλεπόμενη
Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση.
Αναγνώριση Προτύπων Η κατάρα της διαστατικότητας Ο όρος εισήχθηκε το 1961 από τον Bellman Αναφέρεται στο πρόβλημα της ανάλυσης δεδομένων πολλών μεταβλητών καθώς αυξάνει η διάσταση. Η κατάρα της διαστατικότητας
Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming)
Σελίδα 1 Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Μηχανικών Μηχανολογίας και Κατασκευαστικής ΜΜΚ 452: Μηχανικές Ιδιότητες και Κατεργασία Πολυμερών Εργαστηριακή Άσκηση Θερμομόρφωση (Thermoforming) Σελίδα 2 Εισαγωγή: Η
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018
ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 >
Ανεξαρτησία Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές
10 Ανεξαρτησία 10.1 Ανεξαρτησία για οικογένειες συνόλων και τυχαίες μεταβλητές Στην παράγραφο αυτή δουλεύουμε σε χώρο πιθανότητας (Ω, F, P). Δίνουμε καταρχάς τον ορισμό της ανεξαρτησίας για ενδεχόμενα,
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα. Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α. Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
Προτεινόμενα θέματα στο μάθημα Αρχές Οικονομικής Θεωρίας ΟΜΑΔΑ Α Στις προτάσεις από Α.1. μέχρι και Α10 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της καθεμιάς και δίπλα σε κάθε αριθμό την ένδειξη Σωστό, αν
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Πολυκριτηριακή ανάλυση
Διαχείριση Υδατικών Πόρων Πολυκριτηριακή ανάλυση Ανδρέας Ευστρατιάδης & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τυπικά κριτήρια που διέπουν τη διαχείριση
Η εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
(13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο»
(13 ο ) ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΙII: «βέλτιστο στατικό ευρετήριο» Βέλτιστο στατικό «μεροληπτικό» ευρετήριο «Ευρετήρια» ονομάζουμε δομές οι οποίες μας διευκολύνουν να εντοπίζουμε τα καταχωρισμένα στοιχεία
Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10
Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά
τεσσάρων βάσεων δεδομένων που θα αντιστοιχούν στους συνδρομητές
Σ Υ Π Τ Μ Α 8 Ιουνίου 2010 Άσκηση 1 Μια εταιρία τηλεφωνίας προσπαθεί να βρει πού θα τοποθετήσει τις συνιστώσες τηλεφωνικού καταλόγου που θα εξυπηρετούν τους συνδρομητές της. Η εταιρία εξυπηρετεί κατά βάση
602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις
(3 ο ) Εξαντλητική αναζήτηση I: μεταθέσεις & υποσύνολα (4 o ) Εξαντλητική αναζήτηση II: συνδυασμοί, διατάξεις & διαμερίσεις Είναι πράγματι τα «προβλήματα» τόσο δύσκολα; Είδαμε (σύντομα) στα προηγούμενα
21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α.Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ - Εισαγωγικές έννοιες - Ταξινόμηση προβλημάτων - Παραδείγματα ΠΕΡΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Επιλογή Χαρακτηριστικών Feature selection Αντικειμενική συνάρτηση Φίλτρα Wrappers Διαδικασία Αναζήτησης Σειριακοί αλγόριθμοι Εκθετικοί αλγόριθμοι Τυχαίοι αλγόριθμοι
Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
τους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
Η Πληροφορική στο Δημοτικό Διδακτικές Προσεγγίσεις Αδάμ Κ. Αγγελής Παιδαγωγικό Ινστιτούτο
Η Πληροφορική στο Δημοτικό Διδακτικές Προσεγγίσεις Αδάμ Κ. Αγγελής Παιδαγωγικό Ινστιτούτο Α) Το γενικό πλαίσιο.ε.π.π.σ. και Α.Π.Σ. Β) Ο Υπολογιστής στην τάξη Γ) Ενδεικτικές ραστηριότητες Α) Το γενικό πλαίσιο.ε.π.π.σ.
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα
Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Βελτίωση Εικόνας. Σήμερα!
Βελτίωση Εικόνας Σήμερα! Υποβάθμιση εικόνας Τεχνικές Βελτίωσης Restoration (Αποκατάσταση) Τροποποίηση ιστογράμματος Ολίσθηση ιστογράμματος Διάταση (stretching) Ισοστάθμιση του ιστογράμματος (histogram
Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων
Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εισαγωγή στη βελτιστοποίηση συστημάτων υδατικών πόρων Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Η βελτιστοποίηση για απλή πραγματική στοχική συνάρτηση
όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]
![όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]](/thumbs/54/34649982.jpg "όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]")
Bayes Classifiers Θεώρημα Bayes Tο θώ θεώρημα Bayes εκφράζεται ως: όπου ω j η κλάση j και x το διάνυσμα χαρακτηριστικών Ένας τυπικός κανόνας απόφασης είναι να επιλέγουμε την κλάση με τη μέγιστη P[ω j x]
ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983
20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000
(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά);
(1 ο ) Γιατί «αλγόριθμοι» (υποχρεωτικά); Γιατί πρέπει να μελετήσουμε την περιοχή των «αλγορίθμων»; Ο φοιτητής και η φοιτήτρια που καλείται να παρακολουθήσει ένα μάθημα σαν το «αλγόριθμοι & πολυπλοκότητα»
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΤΩΝ ΕΠΙΤΗΡΗΤΩΝ ΣΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΧΑΝΙΑ 2007 ΦΥ ΑΝΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ
Μαθηματικά Πληροφορικής
Πανεπιστήμιο Αθηνών Μαθηματικά Πληροφορικής Ηλίας Κουτσουπιάς Αθήνα, Οκτώβριος 2009 Περιεχόμενα Περιεχόμενα 1 Σύνολα... 5 ΆλλαΣύμβολα... 6 1 Υποθέσεις και Θεωρήματα 9 1.1 Παρατήρηση-Υπόθεση-Απόδειξη...
Διανυσματικές Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,
Συναρτήσεις & Κλάσεις
Συναρτήσεις & Κλάσεις Overloading class member συναρτήσεις/1 #include typedef unsigned short int USHORT; enum BOOL { FALSE, TRUE}; class Rectangle { public: Rectangle(USHORT width, USHORT
Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη ΙΙ
Εισαγωγή στην Οικονομική Επιστήμη ΙΙ Νικόλαος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2015-2016 Εαρινό Εξάμηνο 1/12 Ημέρες/ Ωρες ιδασκαλίας &
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
Μία χρονοσειρά (time serie) είναι μια ακολουθία
Matching Βάση Χρονοσειρών Μία χρονοσειρά (time serie) είναι μια ακολουθία πραγματικών αριθμών, που αντιπροσωπεύουν μετρήσεις μιας πραγματικής μεταβλητής σε ίσα χρονικά διαστήματα πχ Οι τιμές των μετοχών
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε
Επιλογή Χαρακτηριστικών Feature selection Αντικειμενική συνάρτηση Φίλτρα Wrappers Διαδικασία Αναζήτησης Σειριακοί αλγόριθμοι Εκθετικοί αλγόριθμοι
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Επιλογή Χαρακτηριστικών Feature selection Αντικειμενική συνάρτηση Φίλτρα Wrappers Διαδικασία Αναζήτησης Σειριακοί αλγόριθμοι Εκθετικοί αλγόριθμοι Τυχαίοι αλγόριθμοι
(5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ
(5 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: η βάση μιας αξιολόγησης Ι (6 ο ) Η «πλοκή» ενός αλγορίθμου: ο Ο Ω Θ συμβολισμός ΙΙ Έχουμε συγκεκτρώσει τα στοιχεία που χρειαζόμαστε για να μπορέσουμε να πούμε περί αλγορίθμων
ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ