17 Μαρτίου 2013, Βόλος
|
|
|
- Οκυροη Κανακάρης-Ρούφος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις 1ης Τάξης Σ Ε 1ης τάξης, Πεδία κατευθύνσεων, Υπαρξη και μοναδικότητα, ιαχωρίσιμες εξισώσεις, Ολοκληρωτικοί παράγοντες, Αντικαταστάσεις, Αυτόνομες εξισώσεις Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
2 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y)
3 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y)
4 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y) έστω ότι f(x, y) = f(x) y = f(x).
5 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y) έστω ότι f(x, y) = f(x) τότε y (x) d = y = f(x). f(x) dx + C, δηλαδή y(x) = f(x) dx + C.
6 Παράδειγμα Λύση y = e x2, y(0) = 1. x y(x) = 0 e s2 ds + 1.
7 Παράδειγμα 9 9yy = 4x. y(x)y (x)dx + 4 xdx = C
8 9 9 Παράδειγμα 9yy = 4x. y(x)y (x)dx + 4 xdx = C ydy + 4x 2 = C 9y 2 + 4x 2 = 2C
9 9 9 Παράδειγμα 9yy = 4x. y(x)y (x)dx + 4 xdx = C ydy + 4x 2 = C 9y 2 + 4x 2 = 2C Σχήμα : y x2 9 = C
10 Παράδειγμα y + yx = x.
11 Παράδειγμα y 1 y = x y + yx = x.
12 Παράδειγμα y + yx = x. y 1 y = x dy 1 y = xdx
13 Παράδειγμα y + yx = x. y 1 y = x dy 1 y = xdx ln 1 y = x2 2 + C
14 Παράδειγμα y + yx = x. y 1 y = x dy 1 y = xdx ln 1 y = x2 2 + C y = 1 + Ce x2 2
15 Παράδειγμα y + yx = x. y 1 y = x dy 1 y = xdx ln 1 y = x2 2 + C y = 1 + Ce x2 2
16 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y)
17 Σ Ε πρώτης τάξης dy dx = f(x, y) ή y = f(x, y) έστω ότι f(x, y) = f(y) dy dx = f(y) dx dy = 1 x(y) = 1 f(y) f(y). dy + C. Παραδείγματα y = ky y = Ce kx. dx dy y = C x 1 ή y = 0.
18 Παράδειγμα Πόσο μακριά θα έχει φθάσει ένα όχημα που κινείται με ταχύτητα e t/2 μέτρα το δευτερόλεπτο σε 2 δευτερόλεπτα και πόσο σε 10 δευτερόλεπτα; x = e t/2 x(t) = 2e t/2 + C. 0 = x(0) = 2e 0/2 + C = 2 + C C = 2. x(t) = e t/2 2. x(2) = 2e 2/ μέτρα, x(10) = 2e 10/ μέτρα.
19 Παράδειγμα Πού θα βρίσκεται ένα όχημα την χρονική στιγμή t = 10 αν επιταχύνει με ρυθμό t 2 s m και την χρονική στιγμή t 2 = 0 βρίσκεται σε απόσταση 1 μέτρου από την αρχική του θέση και κινείται με ταχύτητα 10 m s ; Αν θέσουμε x = v x = t 2, x(0) = 1, x (0) = 10. v = t 2, v(0) = 10, λύσουμε ως προς v, και κατόπιν ολοκληρώνουμε για να βρούμε το x.
20 Πεδία κατευθύνσεων y = f(x, y) τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y).
21 Πεδία κατευθύνσεων y = f(x, y) τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) = 0.2.
22 Πεδία κατευθύνσεων y = f(x, y) τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) =
23 Πεδία κατευθύνσεων y = f(x, y) τιμή της κλίσης της y σε κάθε σημείο του επιπέδου (x, y). Σχήμα : Το πεδίο κατευθύνσεων της y = xy και η λύση που ικανοποιεί τις συνθήκες y(0) = 0.2, y(0) = 0, και y(0) =
24 Είμαστε μηχανικοί Η/Υ Χρήση λογισμικού!
25 Υπαρξη και μοναδικότητα y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. (i) Υπάρχει λύση; (ii) Είναι η λύση μοναδική (εάν υπάρχει);
26 Υπαρξη και μοναδικότητα y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0. (i) Υπάρχει λύση; (ii) Είναι η λύση μοναδική (εάν υπάρχει); Παράδειγμα: y = 1 x, y(0) = 0 y = ln x + C.
27 Θεώρημα του Picard Θεώρημα Εάν η f(x, y) είναι συνεχής και εάν η παράγωγος f y υπάρχει και είναι συνεχής σε κάποια περιοχή γύρω από το (x 0, y 0 ), τότε η λύση του προβλήματος y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, υπάρχει (τουλάχιστον για κάποια x) και είναι μοναδική.
28 Θεώρημα του Picard Θεώρημα Εάν η f(x, y) είναι συνεχής και εάν η παράγωγος f y υπάρχει και είναι συνεχής σε κάποια περιοχή γύρω από το (x 0, y 0 ), τότε η λύση του προβλήματος y = f(x, y), y(x 0 ) = y 0, υπάρχει (τουλάχιστον για κάποια x) και είναι μοναδική. Παραδείγματα 1. y = 1 x, y(0) = 0 2. y = 2 y, y(0) = 0
29 Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 x, y(0) = 0 y = ln x + C.
30 Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 x, y(0) = 0 y = ln x + C. Σχήμα : Πεδίο διευθύνσεων της y = 1 x και της y = 2 y
31 Υπαρξη και μοναδικότητα Παράδειγμα: y = 1 x, y(0) = 0 y = ln x + C. Σχήμα : Πεδίο διευθύνσεων της y = 1 x και της y = 2 y
32 Προσοχή στον γορίλα y = y 2, y(0) = A,
33 Προσοχή στον γορίλα y = y 2, y(0) = A, x = 1 y 2,
34 Προσοχή στον γορίλα y = y 2, y(0) = A, x = 1 y 2, άρα x = 1 y + C,
35 Προσοχή στον γορίλα y = y 2, y(0) = A, x = 1 y 2, άρα συνεπώς x = 1 y + C, y = 1 C x.
36 Προσοχή στον γορίλα y = y 2, y(0) = A, x = 1 y 2, άρα συνεπώς οπότε x = 1 y + C, y = 1 C x. y(0) = A C = 1 A y = 1 1 A x.
37 ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην y = f(x, y),
38 ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην Εστω ότι y = f(x, y), f(x, y) = f(x)g(y),
39 ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην Εστω ότι Τότε y = f(x, y), f(x, y) = f(x)g(y), y = f(x)g(y),
40 ιαχωρίσιμες Εξισώσεις Πίσω στην Εστω ότι Τότε dy dx = f(x)g(y) y = f(x, y), f(x, y) = f(x)g(y), y = f(x)g(y), dy = f(x) dx g(y) dy g(y) = f(x) dx + C.
41 Παράδειγμα y = xy.
42 Παράδειγμα Μια λύση y = 0. y = xy.
43 Παράδειγμα Μια λύση y = 0. dy y = y = xy. x dx + C.
44 Παράδειγμα Μια λύση y = 0. dy y = y = xy. x dx + C. ln y = x2 2 + C
45 Παράδειγμα Μια λύση y = 0. dy y = y = xy. x dx + C. ln y = x2 2 + C y = e x2 2 +C = e x2 2 e C = De x2 2,
46 Παράδειγμα Μια λύση y = 0. dy y = y = xy. x dx + C. ln y = x2 2 + C y = e x2 2 +C = e x2 2 e C = De x2 2, y = De x2 2 D.
47 Κάπως ποιο προσεκτικά dy dx = f(x)g(y)
48 Κάπως ποιο προσεκτικά dy dx = f(x)g(y) Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. Όμως και η dx dy είναι συνάρτηση του x!
49 Κάπως ποιο προσεκτικά dy dx = f(x)g(y) Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. Όμως και η dx dy είναι συνάρτηση του x! 1 g(y) dy dx = f(x)
50 Κάπως ποιο προσεκτικά dy dx = f(x)g(y) Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. Όμως και η dx dy είναι συνάρτηση του x! 1 g(y) dy dx = f(x) Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη ως προς x. 1 g(y) dy dx dx = f(x) dx + C.
51 Κάπως ποιο προσεκτικά dy dx = f(x)g(y) Η y = y(x) είναι συνάρτηση του x. Όμως και η dx dy είναι συνάρτηση του x! 1 g(y) dy dx = f(x) Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη ως προς x. 1 g(y) dy dx dx = Αλλαγή μεταβλητών 1 g(y) dy = f(x) dx + C. f(x) dx + C.
52 Εμμεσες Λύσεις y = xy y
53 y y Εμμεσες Λύσεις dy = y = xy y ( y + 1 ) dy = x dx y
54 y y Εμμεσες Λύσεις y = xy y ( dy = y + 1 ) dy = x dx y y ln y = x2 2 + C
55 y y Εμμεσες Λύσεις y = xy y ( dy = y + 1 ) dy = x dx y y ln y = x2 2 + C y ln y = x 2 + C. Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση!
56 y y Εμμεσες Λύσεις y = xy y ( dy = y + 1 ) dy = x dx y y ln y = x2 2 + C y ln y = x 2 + C. Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση! ( y 2y + 2 ) = 2x. y
57 y y Εμμεσες Λύσεις y = xy y ( dy = y + 1 ) dy = x dx y y ln y = x2 2 + C y ln y = x 2 + C. Εμμεση λύση. Επιβεβαίωση! ( y 2y + 2 ) = 2x. y Υπάρχει βεβαίως και η ιδιάζουσα λύση y(x) = 0.
58 Παράδειγμα x 2 y = 1 x 2 + y 2 x 2 y 2, y(1) = 0
59 Παράδειγμα x 2 y = 1 x 2 + y 2 x 2 y 2, y(1) = 0 x 2 y = (1 x 2 )(1 + y 2 ).
60 Παράδειγμα x 2 y = 1 x 2 + y 2 x 2 y 2, y(1) = 0 x 2 y = (1 x 2 )(1 + y 2 ). y 1 + y 2 = 1 x2 x 2 y 1 + y 2 = 1 x 2 1, arctan(y) = 1 x x + C, y = tan ( 1 x x + C ). Από την αρχική συνθήκη, 0 = tan( 2 + C) έχουμε C = 2 (ή 2 + π,... ) και καταλήγουμε ( ) 1 y = tan x x + 2.
61 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε;
62 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dt dt = k(a T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95.
63 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dt dt 1 dt A T dt = k = k(a T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = 95.
64 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dt dt = k(a T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = dt A T dt = k ln(a T) = kt+c A T = D e kt, T = A D e kt ηλαδή T = 10 D e kt 100 = T(0) = 10 D D = 90
65 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dt dt = k(a T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = A T ηλαδή T = 10 D e kt 100 = T(0) = 10 D D = 90 dt dt = k ln(a T) = kt+c A T = D e kt, T = A D e kt T = e kt 95 = T(1) = e k k = ln
66 Παράδειγμα Φτιάχνουμε καφέ χρησιμοποιώντας βραστό νερό (100 o C). Μετά απο 1 η θερμοκρασία T του καφέ είναι 95 o C. Η θερμοκρασία A του περιβάλοντος είναι 10 o C και προτιμούμε τον καφέ μας στους 70 o C. Πόσο πρέπει να περιμένουμε; dt dt = k(a T), A = 10, T(0) = 100, T(1) = A T ηλαδή T = 10 D e kt 100 = T(0) = 10 D D = 90 dt dt = k ln(a T) = kt+c A T = D e kt, T = A D e kt T = e kt 95 = T(1) = e k k = ln = e 0.06t t = ln , 8 λεπτά.
67 Γραμμικές εξισώσεις Πρώτης τάξης y + p(x)y = f(x). (1)
68 Γραμμικές εξισώσεις Πρώτης τάξης y + p(x)y = f(x). (1) Ιδιότητες Η λύση υπάρχει αρκεί να ορίζονται οι p(x) και f(x) Η ομαλότητα της λύσης ταυτίζεται με την ομαλότητα των p(x) και f(x)
69 Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f(x). (2)
70 Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f(x). (2) r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ].
71 Μεθοδολογία επίλυσης Παρατηρήστε ότι y + p(x)y = f(x). (2) r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ]. d [ ] r(x)y = r(x)f(x). dx
72 Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f(x). (2) r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ]. d [ ] r(x)y = r(x)f(x). dx Παρατηρήστε ότι το δεξιό μέρος δεν εξαρτάται από το y το αριστερό μέρος είναι η αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης μπορούμε να λύσουμε ως προς y
73 Μεθοδολογία επίλυσης y + p(x)y = f(x). (2) r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ]. d [ ] r(x)y = r(x)f(x). dx Παρατηρήστε ότι το δεξιό μέρος δεν εξαρτάται από το y το αριστερό μέρος είναι η αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης μπορούμε να λύσουμε ως προς y αν γνωρίζουμε την r(x)!
74 Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r(x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x).
75 Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r(x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x). r(x) = e p(x)dx
76 Ολοκληρωτικός Παράγοντας Βρές r(x) τέτοια ώστε εάν την παραγωγίσουμε, θα πάρουμε την ίδια την συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με p(x). r(x) = e p(x)dx Μένει να κάνουμε ανιαρές πράξεις. y + p(x)y = f(x), e p(x)dx y + e p(x)dx p(x)y = e p(x)dx f(x), d [ e p(x)dx y ] = e dx p(x)dx f(x), e p(x)dx y = e p(x)dx f(x) dx + C, y = e p(x)dx ( e p(x)dx f(x) dx + C ).
77 Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f(x).
78 Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f(x). r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ].
79 Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f(x). r(x)y + r(x)p(x)y = dx[ d ] r(x)y. r (x) = p(x)r(x) r(x) = e p(x)dx
80 Γραμμικές εξισώσεις y + p(x)y = f(x). r(x)y + r(x)p(x)y = d dx[ r(x)y ]. r (x) = p(x)r(x) r(x) = e p(x)dx y + p(x)y = f(x), e p(x)dx y + e p(x)dx p(x)y = e p(x)dx f(x), d [ e p(x)dx y ] = e dx p(x)dx f(x), y = e ( p(x)dx e p(x)dx y = e p(x)dx f(x) dx + C e ) p(x)dx f(x) dx + C.
81 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1.
82 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1. p(x) = 2x, f(x) = e x x2, r(x) = e p(x) dx = e x 2.
83 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1. p(x) = 2x, f(x) = e x x2, r(x) = e p(x) dx = e x 2. e x2 y + 2xe x2 y = e x x2 e x2, d [ e x 2 y ] = e dx x.
84 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1. p(x) = 2x, f(x) = e x x2, r(x) = e p(x) dx = e x 2. e x2 y + 2xe x2 y = e x x2 e x2, d [ e x 2 y ] = e dx x. Ολοκληρώνουμε e x2 y = e x + C, y = e x x2 + Ce x2.
85 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1. p(x) = 2x, f(x) = e x x2, r(x) = e p(x) dx = e x 2. e x2 y + 2xe x2 y = e x x2 e x2, d [ e x 2 y ] = e dx x. Ολοκληρώνουμε e x2 y = e x + C, y = e x x2 + Ce x2. Από τις αρχικές συνθήκες 1 = y(0) = 1 + C C = 2.
86 Παράδειγμα y + 2xy = e x x2 y(0) = 1. p(x) = 2x, f(x) = e x x2, r(x) = e p(x) dx = e x 2. e x2 y + 2xe x2 y = e x x2 e x2, d [ e x 2 y ] = e dx x. Ολοκληρώνουμε e x2 y = e x + C, y = e x x2 + Ce x2. Από τις αρχικές συνθήκες 1 = y(0) = 1 + C C = 2. y = e x x2 2e x2.
87 Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού Μπορούμε να γράψουμε το f(x) dx + C ως εξής x x 0 f(t) dt + C.
88 Ορισμένα Ολοκληρώματα y + p(x)y = f(x), y(x 0 ) = y 0.
89 Ορισμένα Ολοκληρώματα y + p(x)y = f(x), y(x 0 ) = y 0. ( y(x) = e x ) x0 p(s) ds x e t x0 p(s) ds f(t) dt + y 0. x 0 Μπορούμε να υλοποιήσουμε τον παραπάνω τύπο στον υπολογιστή για να πάρουμε την τιμή της λύσης σε όποιο σημείο επιθυμούμε.
90 Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει;
91 Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t x (ρυθμός εισαγωγής συγκέντρωση εισαγωγής) t (ρυθμός εξαγωγής συγκέντρωση εξαγωγής) t.
92 Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t x dx dt = (ρυθμός εισαγωγής συγκέντρωση εισαγωγής) t (ρυθμός εξαγωγής συγκέντρωση εξαγωγής) t. (ρυθμός εισαγωγής συγκέντρωση εισαγωγής) (ρυθμός εξαγωγής συγκέντρωση εξαγωγής).
93 Παράδειγμα Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) : αλάτι στη δεξαμενή την στιγμή t x dx dt = dx dt (ρυθμός εισαγωγής συγκέντρωση εισαγωγής) t (ρυθμός εξαγωγής συγκέντρωση εξαγωγής) t. (ρυθμός εισαγωγής συγκέντρωση εισαγωγής) (ρυθμός εξαγωγής συγκέντρωση εξαγωγής). ( = (5 0.1) 3 x t ) dx dt t x = 0.5.
94 Παράδειγμα (συνέχεια) dx dt t x = 0.5.
95 ( r(t) = exp Παράδειγμα (συνέχεια) dx dt t x = 0.5. ) ( ) t dt = exp 2 ln(60 + 2t) = (60 + 2t) 3/2.
96 ( r(t) = exp Παράδειγμα (συνέχεια) dx dt t x = 0.5. ) ( ) t dt = exp 2 ln(60 + 2t) (60 3/2 dx + 2t) dt + (60 + 2t)3/ t x = 0.5(60 + 2t)3/2, d [ dt (60 + 2t) 3/2 x ] = 0.5(60 + 2t) 3/2, (60 + 2t) 3/2 x = 0.5(60 + 2t) 3/2 dt + C, = (60 + 2t) 3/2.
97 ( r(t) = exp Παράδειγμα (συνέχεια) dx dt t x = 0.5. ) ( ) t dt = exp 2 ln(60 + 2t) (60 3/2 dx + 2t) dt + (60 + 2t)3/ t x = 0.5(60 + 2t)3/2, d [ dt (60 + 2t) 3/2 x ] = 0.5(60 + 2t) 3/2, (60 + 2t) 3/2 x = 0.5(60 + 2t) 3/2 dt + C, = (60 + 2t) 3/2. x = (60 + 2t) 3/2 (60 + 2t) 3/2 2 dt + C(60 + 2t) 3/2, x = (60 + 2t) 3/ (60 + 2t)5/2 + C(60 + 2t) 3/2
98 ( r(t) = exp Παράδειγμα (συνέχεια) dx dt t x = 0.5. ) ( ) t dt = exp 2 ln(60 + 2t) (60 3/2 dx + 2t) dt + (60 + 2t)3/ t x = 0.5(60 + 2t)3/2, d [ dt (60 + 2t) 3/2 x ] = 0.5(60 + 2t) 3/2, (60 + 2t) 3/2 x = 0.5(60 + 2t) 3/2 dt + C, = (60 + 2t) 3/2. x = (60 + 2t) 3/2 (60 + 2t) 3/2 2 dt + C(60 + 2t) 3/2, x = (60 + 2t) 3/ (60 + 2t)5/2 + C(60 + 2t) 3/2
99 Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = t 10 + C(60 + 2t) 3/2.
100 Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = t 10 + C(60 + 2t) 3/2. 10 = x(0) = 6 + C(60) 3/2 C = 4(60 3/2 )
101 Παράδειγμα (συνέχεια) Μια δεξαμενή 100λ περιέχει 10κ αλατιού διαλυμένα σε 60λ νερού. ιάλυμα νερού και αλατιού πυκνότητας 0.1κ/λ εισάγεται στο δοχείο με ρυθμό 5λ το λεπτό και εξάγεται από το δοχείο με ρυθμό 3λ το λεπτό. Πόσο αλάτι θα περιέχει η δεξαμενή όταν θα έχει γεμίσει; x(t) = t 10 + C(60 + 2t) 3/2. 10 = x(0) = 6 + C(60) 3/2 C = 4(60 3/2 ) εξαμενή γεμάτη όταν t = 100, δηλ. όταν t = 20 x(20) (100) 3/
102 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2.
103 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2. v = x y + 1 v = 1 y, y = 1 v.
104 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2. v = x y + 1 v = 1 y, y = 1 v. 1 v = v 2 v = 1 v v 2 dv = dx 1 2 ln v + 1 v 1 = x+c,
105 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2. v = x y + 1 v = 1 y, y = 1 v. 1 v = v 2 v = 1 v v 2 dv = dx 1 2 ln v + 1 v 1 = x+c, v + 1 v 1 = e2x+2c v + 1 v 1 = De2x
106 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2. v = x y + 1 v = 1 y, y = 1 v. 1 v = v 2 v = 1 v v 2 dv = dx 1 2 ln v + 1 v 1 = x+c, v + 1 v 1 = e2x+2c v + 1 v 1 = De2x x y+2 x y = De 2x και y = x, και y = x + 2.
107 Παράδειγμα y = (x y + 1) 2. v = x y + 1 v = 1 y, y = 1 v. 1 v = v 2 v = 1 v v 2 dv = dx 1 2 ln v + 1 v 1 = x+c, v + 1 v 1 = e2x+2c v + 1 v 1 = De2x x y+2 x y = De 2x και y = x, και y = x + 2. x y + 2 = (x y)de 2x y = Dxe2x x 2 De 2x 1.
108 Μαντεψιές Όταν δεις δοκίμασε yy y 2 y 2 y y 3 (cos y)y sin y (sin y)y cos y y e y e y
109 Εξισώσεις Bernoulli Μαντεψιά: v = y 1 n y + p(x)y = q(x)y n.
110 Παράδειγμα xy + y(x + 1) + xy 5 = 0, y(1) = 1. Αντικατάσταση v = y 1 5 = y 4, v = 4y 5 y y 5 4 v = y.
111 Παράδειγμα xy + y(x + 1) + xy 5 = 0, y(1) = 1. Αντικατάσταση v = y 1 5 = y 4, v = 4y 5 y y 5 4 v = y. xy + y(x + 1) + xy 5 = 0, xy 5 4 v + y(x + 1) + xy 5 = 0, x 4 v + y 4 (x + 1) + x = 0, x 4 v + v(x + 1) + x = 0, v 4(x + 1) v = 4. x
112 Παράδειγμα (συνέχεια) v 4(x + 1) v = 4. x
113 Παράδειγμα (συνέχεια) 4(x v + 1) x v = 4. ( ) 4(x + 1) r(x) = exp dx = e x 4x 4 ln(x) = e 4x x 4 = e 4x x 4.
114 Παράδειγμα (συνέχεια) 4(x v + 1) x v = 4. ( ) 4(x + 1) r(x) = exp dx = e x 4x 4 ln(x) = e 4x x 4 = e 4x x 4. [ d e 4x ] dx x 4 v = 4 e 4x x 4, e 4x x x 4 v = 4 e 4s 1 s 4 ds + 1, v = e 4x x (4 4 x 1 e 4s s 4 ds + 1 ).
115 Παράδειγμα (συνέχεια) 4(x v + 1) x v = 4. ( ) 4(x + 1) r(x) = exp dx = e x 4x 4 ln(x) = e 4x x 4 = e 4x x 4. [ d e 4x ] dx x 4 v = 4 e 4x x 4, e 4x x x 4 v = 4 e 4s 1 s 4 ds + 1, v = e 4x x (4 4 x 1 e 4s s 4 ds + 1 ). x y 4 = e 4x x (4 4 e 4s 1 s 4 ds + 1 e y x = x ( 4 x e 4s ds + 1 ) 1/4. ),
116 Ομογενείς εξισώσεις Μετασχηματισμός v = y x y = F ( y). x y = v + xv.
117 Ομογενείς εξισώσεις Μετασχηματισμός v = y x y = F ( y). x y = v + xv. v+xv = F(v) xv = F(v) v Εμμεση λύση 1 dv = ln x + C. F(v) v v F(v) v = 1 x.
118 Παράδειγμα x 2 y = y 2 + xy, y(1) = 1.
119 Παράδειγμα x 2 y = y 2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x) 2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x
120 Παράδειγμα x 2 y = y 2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x) 2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x xv = v 2 + v v = v 2,
121 Παράδειγμα x 2 y = y 2 + xy, y(1) = 1. y = (y/x) 2 + y/x. Μετασχηματισμός v = y/x xv = v 2 + v v = v 2, 1 dv = ln x + C, v2 1 v = ln x + C, v = 1 ln x + C.
122 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C.
123 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 = y(1) = 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C. 1 ln 1 + C = 1 C.
124 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 = y(1) = 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C. y = 1 ln 1 + C = 1 C. x ln x 1.
125 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C.
126 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 = y(1) = 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C. 1 ln 1 + C = 1 C.
127 Παράδειγμα (συνέχεια) 1 = y(1) = 1 y/x = ln x + C, x y = ln x + C. y = 1 ln 1 + C = 1 C. x ln x 1.
128 Αυτόνομες Εξισώσεις dx dt = f(x).
129 Αυτόνομες Εξισώσεις dx dt = f(x). Μοντέλα Το πρόβλημα του καφέ dx dt = k(x A). Πληθυσμιακό μοντέλο (βακτηρίδια) dp dt = kp.
130 Αυτόνομες Εξισώσεις dx dt = f(x). Μοντέλα Το πρόβλημα του καφέ dx dt = k(x A). Πληθυσμιακό μοντέλο (βακτηρίδια) dp dt = kp. Ορισμοί Τα σημεία του x άξονα στα οποία έχουμε f(x) = 0 τα λέμε κρίσιμα σημεία. Αποτελούν λύσεις των αυτόνομων εξισώσεων και τις λέμε λύσεις ισορροπίας.
131 Παραδείγματα Σχήμα : Πληθυσμιακό μοντέλο.
132 Παραδείγματα Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και γραφική παράσταση μερικών λύσεων των εξισώσεων x = 0.3(x 5) και x = 0.1x(5 x). -5
133 Ευσταθείς Λύσεις Μιά λύση (ή ένα κρίσιμο σημείο) λέγετε ευσταθής όταν μικρές διαταραχές στο x δεν οδηγούν σε ουσιαστικά διαφορετικές λύσεις για αρκετά μεγάλο t.
134 Παράδειγμα - Λογιστική Εξίσωση dx = kx(m x), dt Πληθυσμιακό μοντέλο εάν γνωρίσουμε ότι ο πληθυσμός ενός είδους δεν μπορεί να υπερβεί τον αριθμό M.
135 Παράδειγμα - Λογιστική Εξίσωση dx = kx(m x), dt Πληθυσμιακό μοντέλο εάν γνωρίσουμε ότι ο πληθυσμός ενός είδους δεν μπορεί να υπερβεί τον αριθμό M. lim t x(t) = 5 αν x(0) >0, 0 αν x(0) = 0, Υ ή αν x(0) <0.
136 ιάγραμμα Φάσης Συμπεριφορά της λύσης σε βάθος χρόνου y = 5 y = 0
137 ιάγραμμα Φάσης Συμπεριφορά της λύσης σε βάθος χρόνου y = 5 y = 0 Γενικά ασταθής ευσταθής
138 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων
139 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων Εστω Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. x πλήθος ζώων (χιλιάδες) t χρόνος (έτη). M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. k >0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων.
140 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων Εστω Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. x πλήθος ζώων (χιλιάδες) t χρόνος (έτη). M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. k >0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων. dx dt = kx(m x) h.
141 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση Μια ομάδα ανθρώπων βασίζει την επιβιωσή της εκτρέφοντας μια αγέλη ζώων Εστω Τα καταναλώνει με ρυθμό h ζώα τον χρόνο. x πλήθος ζώων (χιλιάδες) t χρόνος (έτη). M ελάχιστος πληθυσμός κάτω από τον οποίο δεν επιτρέπεται η κατανάλωση ζώων. k >0 σταθερά αναπαραγωγής των ζώων. dx dt = kx(m x) h. Κρίσιμα σημεία: A, B = km± (km) 2 4hk 2k.
142 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση (h 1, 1.6) Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και μερικές λύσεις των εξισώσεων x = 0.1x(8 x) 1 και x = 0.1x(8 x) 1.6.
143 Λογιστική Εξίσωση με Κατανάλωση (h 2) Σχήμα : Πεδία κατευθύνσεων και μερικές λύσεις των εξισώσεων x = 0.1x(8 x) 2.
14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εισαγωγή Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 14 Φεβρουαρίου 2014, Βόλος ιαδικαστικά Θέματα Ο τελικός βαθμός προτείνω να υπολογισθεί
Γραμμική Ανεξαρτησία. Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. 17 Μαρτίου 2013, Βόλος
Γραμμικές Συνήθεις ιαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης Γραμμικές Σ Ε 2ης τάξης Σ Ε 2ης τάξης με σταθερούς συντελεστές Μιγαδικές ρίζες Γραμμικές Σ Ε υψηλότερης τάξης Γραμμική Ανεξαρτησία Μανόλης Βάβαλης
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Εκθετικά πινάκων. 9 Απριλίου 2013, Βόλος
ιαφορικές Εξισώσεις Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, Ιδιοτιμές με πολλαπλότητα, Ατελείς ιδιοτιμές Εκθετικά πινάκων Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Τηλεπικοινωνιών και ικτύων Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9 Απριλίου
Μετασχηματισμοί Laplace. Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
ιαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμοί Laplace Μανόλης Βάβαλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Βόλος, 11 Μαΐου 2015 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace Ορισμός μετασχηματισμού
Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ
15 Επίλυση ειδικών μορφών ΣΔΕ Σε αυτό το κεφάλαιο θα δούμε κάποιες ειδικές μορφές ΣΔΕ για τις οποίες υπάρχει μέθοδος επίλυσης. Περισσότερες μπορεί να δει κανείς στο Kloeden and Plaen (199), 4.-4.4. Θα
Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α 0. Η παραβολή ψ = αχ 2. Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α 0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση.
Η παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ Σελίδα 1 από 10 Παραβολή ψ=αχ 2 +βχ+γ, α0 Γενικά : Κάθε συνάρτηση της μορφής ψ=αχ 2 + βχ +γ, α0 λέγεται τετραγωνική συνάρτηση. Η παραβολή ψ = αχ 2 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης
Η εξίσωση Black-Scholes
8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το
Αναγνώριση Προτύπων. Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις
Αναγνώριση Προτύπων Σήμερα! Λόγος Πιθανοφάνειας Πιθανότητα Λάθους Πιθανότητα Λάθους Κόστος Ρίσκο Bayes Ελάχιστη πιθανότητα λάθους για πολλές κλάσεις 1 Λόγος Πιθανοφάνειας Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να ταξινομήσουμε
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Ιστόγραμμα Παράθυρα Parzen Εξομαλυμένη Kernel Ασκήσεις 1 Μη Παραμετρικός Υπολογισμός πυκνότητας με εκτίμηση Κατά τη
Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein Πηγή:
Ας πούμε και κάτι για τις δύσκολες μέρες που έρχονται Το κράτος είναι φτιαγμένο για τον άνθρωπο και όχι ο άνθρωπος για το κράτος. A. Einstein 1879-1955 Πηγή: http://www.cognosco.gr/gnwmika/ 1 ΚΥΚΛΙΚΟΣ
ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 27 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-3, να γράψετε στο τετράδιό
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Δευτέρα 8 Μαΐου 0 Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1
Ασκήσεις Ανάλυση Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) ύο καράβια αναχωρούν από το ίδιο λιµάνι. Το ένα κινείται µε 5 Km/h προς τα νότια και το άλλο µε Km/h προς τα ανατολικά. Να εκϕράσετε
Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις
14 Στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις 14.1 Γενικά Στοχαστική διαφορική εξίσωση λέμε μια εξίσωση της μορφής dx = µ(, X ) d + σ(, X ) db, X = x, (14.1) με µ, σ : [, ) R R μετρήσιμες συναρτήσεις, x R, και B
2. Κατάθεσε κάποιος στην Εθνική Τράπεζα 4800 με επιτόκιο 3%. Μετά από πόσο χρόνο θα πάρει τόκο 60 ; α) 90 ημέρες β) 1,5 έτη γ) 5 μήνες δ) 24 μήνες
20 Φεβρουαρίου 2010 1. Ένας έμπορος αγόρασε 720 κιλά κρασί προς 2 το κιλό. Πρόσθεσε νερό, το πούλησε προς 2,5 το κιλό και κέρδισε 500. Το νερό που πρόσθεσε ήταν σε κιλά: α) 88 β) 56 γ) 60 δ) 65 2. Κατάθεσε
Ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης Ι διαλέγει πρώτος την τυχαιοποιημένη στρατηγική (x 1, x 2 ), x 1, x2 0,
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Ερευνα Εαρινό Εξάμηνο 2015 Μ. Ζαζάνης Πρόβλημα 1. Να διατυπώσετε το παρακάτω παίγνιο μηδενικού αθροίσματος ως πρόβλημα γραμμικού
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή.
Αποδεικτικές Διαδικασίες και Μαθηματική Επαγωγή. Mαθηματικό σύστημα Ένα μαθηματικό σύστημα αποτελείται από αξιώματα, ορισμούς, μη καθορισμένες έννοιες και θεωρήματα. Η Ευκλείδειος γεωμετρία αποτελεί ένα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 1. Εστω η στοίβα S και ο παρακάτω αλγόριθμος επεξεργασίας της. Να καταγράψετε την κατάσταση
ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. Ονοματεπώνυμο Τμήμα
Σελίδα 1 ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΗ ΚΙΝΗΣΗ ΤΡΙΩΡΗ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις
Εισαγωγικά. 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία
1 Εισαγωγικά 1.1 Η σ-αλγεβρα ως πληροφορία Στη θεωρία μέτρου, όταν δουλεύει κανείς σε έναν χώρο X, συνήθως έχει διαλέξει μια αρκετά μεγάλη σ-άλγεβρα στον X έτσι ώστε όλα τα σύνολα που εμφανίζονται να ανήκουν
21/11/2005 Διακριτά Μαθηματικά. Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ Δ Ι. Γεώργιος Βούρος Πανεπιστήμιο Αιγαίου
Γραφήματα ΒΑΣΙΚΗ ΟΡΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΝΟΠΑΤΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ A Ε B Ζ Η Γ K Θ Δ Ι Ορισμός Ένα (μη κατευθυνόμενο) γράφημα (non directed graph) Γ, είναι μία δυάδα από σύνολα Ε και V και συμβολίζεται με Γ=(Ε,V). Το σύνολο
Ταξινόμηση των μοντέλων διασποράς ατμοσφαιρικών ρύπων βασισμένη σε μαθηματικά κριτήρια.
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ταξινόμηη των μοντέλων διαποράς ατμοφαιρικών ρύπων βαιμένη ε μαθηματικά κριτήρια. Μοντέλο Ελεριανά μοντέλα (Elerian) Λαγκρατζιανά μοντέλα (Lagrangian) Επιπρόθετος διαχωριμός Μοντέλα
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg)
Οι γέφυρες του ποταμού... Pregel (Konigsberg) Β Δ Β Δ Γ Γ Κύκλος του Euler (Euler cycle) είναι κύκλος σε γράφημα Γ που περιέχει κάθε κορυφή του γραφήματος, και κάθε ακμή αυτού ακριβώς μία φορά. Για γράφημα
Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο.
2 Μέτρα 2.1 Μέτρα σε μετρήσιμο χώρο Εστω X σύνολο και A μια σ-άλγεβρα στο X. Ονομάζουμε το ζεύγος (X, A) μετρήσιμο χώρο. Ορισμός 2.1. Μέτρο στον (X, A) λέμε κάθε συνάρτηση µ : A [0, ] που ικανοποιεί τις
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Την ευθύνη του εκπαιδευτικού υλικού έχει ο επιστημονικός συνεργάτης των Πανεπιστημιακών Φροντιστηρίων «ΚOΛΛΙΝΤΖΑ», οικονομολόγος συγγραφέας θεμάτων ΑΣΕΠ, Παναγιώτης Βεργούρος.
2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 2 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 16 Απριλίου, 2006 Ώρα: 10:30-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίµιο αποτελείται από τρία (3) µέρη µε σύνολο δώδεκα (12) θέµατα. 2) Επιτρέπεται
Διανυσματικές Συναρτήσεις
Κεφάλαιο 5 Διανυσματικές Συναρτήσεις 51 Διανυσματατικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση με τιμές στοr n, n>1 λέγεται διανυσματική συνάρτηση Τις διανυσματικές συναρτήσεις ϑα τις συμβολίζουμε με παχειά γράμματα,
ΑΣΕΠ 2000 ΑΣΕΠ 2000 Εμπορική Τράπεζα 1983 Υπουργείο Κοιν. Υπηρ. 1983
20 Φεβρουαρίου 2010 ΑΣΕΠ 2000 1. Η δεξαμενή βενζίνης ενός πρατηρίου υγρών καυσίμων είναι γεμάτη κατά τα 8/9. Κατά τη διάρκεια μιας εβδομάδας το πρατήριο διέθεσε τα 3/4 της βενζίνης αυτής και έμειναν 4000
Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων.
A A N A B P Y T A Άρθρο στους Μιγαδικούς Αριθμούς 9 5 0 Η ανισότητα α β α±β α + β με α, β C και η χρήση της στην εύρεση ακροτάτων. Δρ. Νίκος Σωτηρόπουλος, Μαθηματικός Εισαγωγή Το άρθρο αυτό γράφεται με
τους στην Κρυπτογραφία και τα
Οι Ομάδες των Πλεξίδων και Εφαρμογές τους στην Κρυπτογραφία και τα Πολυμερή Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών ΕΜΠ Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Λαμπροπούλου Σοφία Ιούλιος, 2013 Περιεχόμενα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΜΑΘΗΜΑ: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο
Μονάδες 5 1.2.α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συµπληρωµένο.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΧΗΜΕΙΑ - ΒΙΟΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ
Κεφάλαιο Η εκθετική κατανομή. Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση (1.1) f(x) = 0 αν x < 0.
Κεφάλαιο Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Η εκθετική κατανομή Η πυκνότητα πιθανότητας της εκθετικής κατανομής δίδεται από την σχέση f(x) = λe λx αν x, αν x
ιάσταση του Krull Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, / 27
ιάσταση του Krull Χ. Χαραλάμπους Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη Ιανουάριος, 2017 Χ. Χαραλαμπους (ΑΠΘ) ιάσταση του Krull Ιανουάριος, 2017 1 / 27 Ορισμοί Εστω R (αντιμεταθετικός) δακτύλιος. Ορισμός Η διάσταση του Krull
{ i f i == 0 and p > 0
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Φθινοπωρινό εξάμηνο 014-015 Λύσεις 1ης Σειράς Ασκήσεων
Εκφωνήσεις και Λύσεις των Θεμάτων
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Τετάρτη 23 Μαΐου 2012 Εκφωήσεις και Λύσεις
ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ ΑΠΟΦΑΣΗ. Άσκηση με θέμα τη μεγιστοποίηση της χρησιμότητας του καταναλωτή
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 07 08 ΛΕΥΚΑΔΑ ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Η ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Β ΤΑΞΗ. ΘΕΜΑ 1ο
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε
HY 280. θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Γεώργιος Φρ.
HY 280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελικές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργκόπουλος μέρος Α Εισγωγή, κι η σική θεωρί των πεπερσμένων
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι
Επιχειρησιακή Ερευνα Ι Μ. Ζαζάνης Κεφάλαιο 1 Τετραγωνικές μορφές στον R n και το ϑεώρημα του Taylor Ορισμός 1. Εστω a 11 a 1n A =.. a n1 a nn συμμετρικός πίνακας n n με στοιχεία στους πραγματικούς αριθμούς.
Εφαρμογές στην κίνηση Brown
13 Εφαρμογές στην κίνηση Brown Σε αυτό το κεφάλαιο θέλουμε να κάνουμε για την πολυδιάστατη κίνηση Brown κάτι ανάλογο με αυτό που κάναμε στην Παράγραφο 7.2 για τη μονοδιάστατη κίνηση Brown. Δηλαδή να μελετήσουμε
5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις
5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 5.1 Μετρήσιμες συναρτήσεις Ορισμός 5.1. Εστω (Ω, F ), (E, E) μετρήσιμοι χώροι. Μια συνάρτηση f : Ω E λέγεται F /Eμετρήσιμη αν f 1 (A) F για κάθε A E. (5.1) Συμβολίζουμε το σύνολο
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Bias (απόκλιση) και variance (διακύμανση) Ελεύθεροι Παράμετροι Ελεύθεροι Παράμετροι Διαίρεση dataset Μέθοδος holdout Cross Validation Bootstrap Bias (απόκλιση) και variance
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2017-2018 Φροντιστήριο 3 - Λύσεις 1. Εστω ο πίνακας Α = [12, 23, 1, 5, 7, 19, 2, 14]. i. Να δώσετε την κατάσταση
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α. 1η σειρά ασκήσεων
Δ Ι Α Κ Ρ Ι Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α 1η σειρά ασκήσεων Ονοματεπώνυμο: Αριθμός μητρώου: Ημερομηνία παράδοσης: Μέχρι την Τρίτη 2 Απριλίου 2019 Σημειώστε τις ασκήσεις για τις οποίες έχετε παραδώσει λύση: 1
Σχέσεις και ιδιότητές τους
Σχέσεις και ιδιότητές τους Διμελής (binary) σχέση Σ από σύνολο Χ σε σύνολο Υ είναι ένα υποσύνολο του καρτεσιανού γινομένου Χ Υ. Αν (χ,ψ) Σ, λέμε ότι το χ σχετίζεται με το ψ και σημειώνουμε χσψ. Στην περίπτωση
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Εκτίμηση Πυκνότητας με k NN k NN vs Bayes classifier k NN vs Bayes classifier Ο κανόνας ταξινόμησης του πλησιέστερου γείτονα (k NN) lazy αλγόριθμοι O k NN ως χαλαρός
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 12 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ): ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ
Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση
Η Θεωρια Αριθμων στην Εκπαιδευση Καθηγητὴς Ν.Γ. Τζανάκης Εφαρμογὲς τῶν συνεχῶν κλασμάτων 1 1. Η τιμὴ τοῦ π μὲ σωστὰ τὰ 50 πρῶτα δεκαδικὰ ψηφία μετὰ τὴν ὑποδιαστολή, εἶναι 3.14159265358979323846264338327950288419716939937511.
Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018
ΕΚΠΑ, Τμήμα Φυσικής Εξέταση Ηλεκτρομαγνητισμού Ι 2 Φεβρουαρίου 2018 ΘΕΜΑ 1 Γραμμική κατανομή φορτίου εκτείνεται από h έως +h κατά μήκος του άξονα z με ετερογενή πυκνότητα λ 0 < 0 για h z < 0 και λ 0 >
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Εαρινό Εξάμηνο
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ31: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 017-018 Φροντιστήριο 5 1. Δικαιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας. i. Δώστε τις 3 βασικές ιδιότητες ενός AVL δένδρου.
"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ".
"Η απεραντοσύνη του σύμπαντος εξάπτει τη φαντασία μου. Υπάρχει ένα τεράστιο σχέδιο, μέρος του οποίου ήμουν κι εγώ". "Ότι ανόητο είπα μπορεί και να είναι ένα ρέψιμο κάποιου ξεχασμένου αστέρα..." "Δεν κάνει
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου. Άλγεβρα Β λυκείου. 13 Οκτώβρη 2016
Γενικό Λύκειο Μαραθοκάμπου Σάμου Άλγεβρα Β λυκείου Εργασία2 η : «Συναρτήσεις» 13 Οκτώβρη 2016 Ερωτήσεις Θεωρίας 1.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςάυξουσασεέναδιάστημα του πεδίου ορισμού της; 2.Πότελέμεότιμιασυνάρτησηfείναιγνησίωςφθίνουσασεέναδιάστημα
Αναλυτικές ιδιότητες
8 Αναλυτικές ιδιότητες 8. Βαθμός συνέχειας* Ξέρουμε ότι η κίνηση Brown είναι συνεχής και θα δείξουμε αργότερα ότι είναι πουθενά διαφορίσιμη. Πόσο ομαλή είναι λοιπόν; Μια ασθενέστερη μορφή ομαλότητας είναι
602. Συναρτησιακή Ανάλυση. Υποδείξεις για τις Ασκήσεις
602. Συναρτησιακή Ανάλυση Υποδείξεις για τις Ασκήσεις Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 2018 Περιεχόμενα 1 Χώροι με νόρμα 1 2 Χώροι πεπερασμένης διάστασης 23 3 Γραμμικοί τελεστές και γραμμικά
E n. (, ) Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, έχει την µορφή ˆ
Πρόβλημα ΓενικέςΈννοιεςΚβαντομηχανικήςα(ΓΕΚα Σε ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα να δειχθεί ότι η γενική λύση της χρονοεξαρτώμενης εξίσωσης Schrödiger είναι της μορφής Ψ ( x,t c ( x e i E t, όπου τα E
CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα
Θέματα Αλγορίθμων Αλγόριθμοι και Εφαρμογές στον Πραγματικό Κόσμο CSE.UOI : Μεταπτυχιακό Μάθημα 10η Ενότητα: Χρονικά Εξελισσόμενες ικτυακές Ροές Σπύρος Κοντογιάννης kntg@cse.ui.gr Τμήμα Μηχανικών Η/Υ &
- 1 - Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή αγαθών, ορισμένες φορές, είναι δύσκολο να
- 1 - Ο παράξενος πραματευτής Ανθολόγιο Ε & Στ τάξης: 277-279 Οικονομικές έννοιες Ανταλλαγή Αντιπραγματισμός Εμπόριο Ερωτήσεις Ποιοι κερδίζουν από το εμπόριο αγαθών και υπηρεσιών; Γιατί η άμεση ανταλλαγή
Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός
Φυσική Β Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Παναγόπουλος Γιώργος Φυσικός gior.panagopoulos@gmail.com Βουλδής Άγγελος Φυσικός angelos_vouldis@hotmail.com Μεντζελόπουλος Λευτέρης Φυσικός MSc Περιβαλλοντολογία
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ / ΕΤΥ : Μεταπτυχιακό Μάθημα 4η Ενότητα: Γραμμικά Συστήματα Εξισωσεων και Pivots Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr) Τμήμα Μηχανικών
Ο τύπος του Itô. f (s) ds (12.1) f (g(s)) dg(s). (12.2) t f (B s ) db s + 1 2
12 Ο τύπος του Itô Για συνάρτηση f : R R με συνεχή παράγωγο, έχουμε d f (s) = f (s) ds που σε ολοκληρωτική μορφή σημαίνει f (b) f (a) = b a f (s) ds (12.1) για κάθε a < b. Αν επιπλέον και η g : R R έχει
«ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ»
HY 118α «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ» ΣΚΗΣΕΙΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ εώργιος Φρ. εωργακόπουλος ΜΕΡΟΣ (1) ασικά στοιχεία της θεωρίας συνόλων. Π. ΚΡΗΤΗΣ ΤΜ. ΕΠ. ΥΠΟΛΟΙΣΤΩΝ «ΔΙΚΡΙΤ ΜΘΗΜΤΙΚ». Φ. εωργακόπουλος
1. Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί 2 2 πίνακες, δηλαδή, a 21 a, και ανάλογα για τους B, C. Υπολογίστε τους πίνακες (A B) C και A (B C) και
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Εαρινό Εξάμηνο 0 Ασκήσεις για προσωπική μελέτη Είναι απολύτως απαραίτητο να μπορείτε να τις λύνετε, τουλάχιστον τις υπολογιστικές! Εστω ότι A, B, C είναι γενικοί πίνακες,
Συναρτήσεις. Σημερινό μάθημα
Συναρτήσεις Σημερινό μάθημα C++ Συναρτήσεις Δήλωση συνάρτησης Σύνταξη συνάρτησης Πρότυπο συνάρτησης & συνάρτηση Αλληλο καλούμενες συναρτήσεις συναρτήσεις μαθηματικών Παράμετροι συναρτήσεων Τοπικές μεταβλητές
Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου. Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10
Φροντιστήριο 2: Ανάλυση Αλγόριθμου Εκλογής Προέδρου με O(nlogn) μηνύματα Νικόλας Νικολάου ΕΠΛ432: Κατανεμημένοι Αλγόριθμοι 1 / 10 Περιγραφικός Αλγόριθμος Αρχικά στείλε μήνυμα εξερεύνησης προς τα δεξιά
Συντάκτης: Παναγιώτης Βεργούρος, Οικονομολόγος Συγγραφέας βιβλίων, Μικρο μακροοικονομίας διαγωνισμών ΑΣΕΠ
Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υ- πουργείου Οικονομικών και στοχεύοντας στην όσο το δυνατό πληρέστερη
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων Σημερινό Μάθημα Η κατάρα της διαστατικότητας Μείωση διαστάσεων εξαγωγή χαρακτηριστικών επιλογή χαρακτηριστικών Αναπαράσταση έναντι Κατηγοριοποίησης Ανάλυση Κυρίων Συνιστωσών PCA Γραμμική
Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες
5 Κατασκευή της κίνησης Brown και απλές ιδιότητες 51 Ορισμός, ύπαρξη, και μοναδικότητα Ορισμός 51 Μια στοχαστική ανέλιξη { : t } ορισμένη σε έναν χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και με τιμές στο R λέγεται (μονοδιάστατη)
Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος
Αφιερώνεται στους Μαθητές μας Άγγελος Βουλδής Γιώργος Παναγόπουλος Λευτέρης Μεντζελόπουλος Είτε είμαστε άνθρωποι είτε είμαστε αστρική σκόνη, όλοι μαζί χορεύουμε στη μελωδία ενός αόρατου ερμηνευτή. A. Einstein
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο. Αλυσίδες
ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 1α ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Οι επιστήμονες ταξινομούν τους οργανισμούς σε ομάδες ανάλογα με τα κοινά τους χαρακτηριστικά. Τα πρώτα συστήματα ταξινόμησης βασιζόταν αποκλειστικά στα μορφολογικά
Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο
4 Ανελίξεις σε συνεχή χρόνο Σε αυτό το κεφάλαιο είναι συγκεντρωμένοι ορισμοί και αποτελέσματα από τη θεωρία των στοχαστικών ανελιξεων συνεχούς χρόνου. Με εξαίρεση την Παράγραφο 4.1, η οποία είναι εντελώς
Pointers. Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2
Pointers 1 Σημερινό Μάθημα! Χρήση pointer Τελεστής * Τελεστής & Γενικοί δείκτες Ανάκληση Δέσμευση μνήμης new / delete Pointer σε αντικείμενο 2 1 Μνήμη μεταβλητών Κάθε μεταβλητή έχει διεύθυνση Δεν χρειάζεται
Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα.
2 Δεσμευμένη μέση τιμή 2.1 Ορισμός Παντού σε αυτό το κεφάλαιο, αν δεν αναφέρεται κάτι διαφορετικό, δουλεύουμε σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω, F, P) και η G F είναι μια σ-άλγεβρα. Ορισμός 2.1. Για X : Ω R τυχαία
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε (X = = (X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών
Martingales. 3.1 Ορισμός και παραδείγματα
3 Martingales 3.1 Ορισμός και παραδείγματα Εστω χώρος πιθανότητας (Ω, F, P). Διήθηση σε αυτό τον χώρο λέμε μια αύξουσα ακολουθία (F n ) n 0 σ-αλγεβρών, η καθεμία από τις οποίες είναι υποσύνολο της F. Δηλαδή,
α 0. α ν x ν +α ν 1 x ν α 1 x+α 0 α ν x ν,α ν 1 x ν 1,...,α 1 x,α 0, ...,α 1,α 0,
Άλγεβρα Β Λυκείου - Πολυώνυμα: Θεωρία, Μεθοδολογία και Λυμένες ασκήσεις Κώστας Ράπτης Μάιος 2011 Μέρος I Πολυώνυμα 1 Πολυώνυμα 1.1 Στοιχεία ϑεωρίας Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφήςαx ν,
Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής
Αφιερώνεται στο Δάσκαλο μου Χρήστο Αλεξόπουλο, για την πολύτιμη βοήθεια που μου προσέφερε στα μαθητικά μου χρόνια Άγγελος Βουλδής Αφιερώνεται στους Δασκάλους μας, που μας βοήθησαν να φτάσουμε μέχρι εδώ
This work is licensed under the Creative Commons To view a copy of this license, visit
Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις... για μηχανικούς Μανόλης Βάβαλης 6 Μαΐου 4 Το κείμενο αυτό μορφοποιήθηκε σε L A TEX. Copyright c,, 4 Μανόλης Βάβαλης This work is licensed under the Creative Commons
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ. Με την πιστοποίηση του έχει πρόσβαση στο περιβάλλον του φαρμακείου που παρέχει η εφαρμογή.
ΣΤΟ ΦΑΡΜΑΚΕΙΟ Ο ασθενής έχοντας μαζί του το βιβλιάριο υγείας του και την τυπωμένη συνταγή από τον ιατρό, η οποία αναγράφει τον μοναδικό κωδικό της, πάει στο φαρμακείο. Το φαρμακείο αφού ταυτοποιήσει το
ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ
ΚΛΑΔΟΣ: ΠΕ11 ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΓΩΓΗΣ Μάθημα: Ενόργανη Γυμναστική Χρήσιμα θεωρία στο κεφάλαιο της ενόργανης γυμναστικής για το γνωστικό αντικείμενο ΠΕ11 της Φυσικής Αγωγής από τα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια Κολλίντζα.
Kατάτμηση εικόνας. Σήμερα!
Kατάτμηση εικόνας Σήμερα! Κατωφλίωση (binarization) Καθολικό ό( (global) κατώφλι LocalΤhresholding Φωτισμός και Ανακλαστικότητα Τεχνικές ανίχνευσης ακμών Τελεστές κλίσης (gradient operators) (gradient
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων. Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Εισαγωγικές Διαλέξεις στην Θεωρία των Αλυσίδων Markov και των Στοχαστικών Ανελίξεων Μιχάλης Ζαζάνης Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κεφάλαιο Αλυσίδες Markov σε Συνεχή Χρόνο Αλυσίδες Markov
Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση. (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)
Εισαωή στη Μιαδική Ανάλυση Σημειώσεις (Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή) Ε. Στεφανόπουλος Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αιαίου Καρλόβασι Καλοκαίρι 26 Πρόλοος Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξερασίας
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = = P(X = = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 24 ΙΟΥΝΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ): ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ : ΕΞΙ
Ευρωπαϊκά παράγωγα Ευρωπαϊκά δικαιώματα
17 Ευρωπαϊκά παράγωγα 17.1 Ευρωπαϊκά δικαιώματα Ορισμός 17.1. 1) Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς σε μία μετοχή είναι ένα συμβόλαιο που δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να αγοράσει μία μετοχή από τον εκδότη
ΕΙΣΑΓΩΓΗ. H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ------------------------------------------------------------------------------------- H λογική ασχολείται με δύο έννοιες, την αλήθεια και την απόδειξη. Oι έννοιες αυτές έχουν γίνει αντικείμενο
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση
Αλγόριθμοι & Βελτιστοποίηση ΠΜΣ/ΕΤΥ: Μεταπτυχιακό Μάθημα 8η Ενότητα: Γραμμικός Προγραμματισμός ως Υπορουτίνα για Επίλυση Προβλημάτων Χρήστος Ζαρολιάγκης (zaro@ceid.upatras.gr) Σπύρος Κοντογιάννης (kontog@cs.uoi.gr)
Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά
1/35 Το υπόδειγμα IS-LM: Εισαγωγικά Νίκος Γιαννακόπουλος Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2014-2015 Εαρινό Εξάμηνο Τι γνωρίζουμε; 2/35 Αγορά αγαθών και
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6)
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1.1 έως 1.3, να γράψετε στο τετράδιό
Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
13 Χαρακτηριστικές συναρτήσεις 13.1 Μετασχηματισμός Fourier μέτρου πιθανότητας στο R Εστω (Ω, F, µ) χώρος μέτρου και f : Ω C Borel-μετρήσιμη συνάρτηση. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f, που τα
Κληρονομικότητα. Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading
Κληρονομικότητα Σήμερα! Κλάση Βάσης Παράγωγη κλάση Απλή κληρονομικότητα Protected δεδομένα Constructors & Destructors overloading 2 1 Κλάση Βάση/Παράγωγη Τα διάφορα αντικείμενα μπορούν να έχουν μεταξύ
Αναγνώριση Προτύπων. Σημερινό Μάθημα
Αναγνώριση Προτύπων 1 Σημερινό Μάθημα Βασικό σύστημα αναγνώρισης προτύπων Προβλήματα Πρόβλεψης Χαρακτηριστικά και Πρότυπα Ταξινομητές Classifiers Προσεγγίσεις Αναγνώρισης Προτύπων Κύκλος σχεδίασης Συστήματος
Μεγάλες αποκλίσεις* 17.1 Η έννοια της μεγάλης απόκλισης
7 Μεγάλες αποκλίσεις* 7. Η έννοια της μεγάλης απόκλισης Εστω (X ) ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές ώστε P(X = ) = P(X = ) = /2 και S = k= X k το άθροισμα των πρώτων από αυτές. Ο νόμος των μεγάλων
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΘΕΜΑ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή : Θετικών Επιστημών Τμήμα : Μαθηματικών Μ.Δ.Ε. : Μαθηματικά των Φυσικών και Βιομηχανικών Εφαρμογών Ακαδημαϊκό Έτος
Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία
Eισηγητής: Μουσουλή Μαρία Τεχνική φλοπ Φορά Σκοπός της φοράς είναι να αναπτυχθεί μια ιδανική για τον κάθε αθλητή ταχύτητα και ταυτόχρονα να προετοιμάσει το πάτημα. Το είδος της φοράς του Fosbury ήτα, μια
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Πρώτη Γραπτή Εργασία. Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2012-13 Πρώτη Γραπτή Εργασία Εισαγωγή στους υπολογιστές Μαθηματικά
Αρτιες και περιττές συναρτήσεις
Μελέτη Συναρτήσεων: άρτιες, περιττές συναρτήσεις - μονοτονία - ακρότατα Κωνσταντίνος Α. Ράπτης Άρτιες και περιττές συναρτήσεις Ὁι ψυχολόγοι κάνουν λόγο για δύο επίπεδα συλλογιστικής και μνήμης: το αρχαϊκό
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΜΑΘΗΜΑ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Tα Πανεπιστημιακά Φροντιστήρια «ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ» προετοιμάζοντας σε ολιγομελείς ομίλους τους υποψήφιους για τον επικείμενο διαγωνισμό του Υπουργείου Οικονομικών, με κορυφαίο επιτελείο