ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΩΝ 2. ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΩΝ Ορισμός: Οι στατιστικοί αριθμοδείκτες είναι στατιστικά μέτρα με τα οποία συγκρίνουμε την τιμή μιας μεταβλητής, ή μιας ομάδας μεταβλητών μεταξύ δύο καταστάσεων. Ως επί το πλείστον οι δύο αυτές καταστάσεις είναι δύο χρονικές περίοδοι ή δύο γεωγραφικές περιοχές. Επισημαίνεται ότι οι αριθμοδείκτες είναι σχετικοί αριθμοί που εκφράζουν ποσοστιαίες σχέσεις μεταξύ των δύο καταστάσεων εκ των οποίων η μία αποτελεί τη βάση. Παρατήρηση: Οι στατιστικοί αριθμοδείκτες δεν πρέπει να συγχέονται με τους «αριθμοδείκτες» που χρησιμοποιούνται ευρέως στη λογιστική και τη χρηματοοικονομική ανάλυση αλλά με τελείως άλλο περιεχόμενο. Έτσι στη λογιστική και ιδιαίτερα στην ανάλυση ισολογισμών για παράδειγμα ο λόγος του κυκλοφορούντος ενεργητικού προς τις βραχυπρόθεσμες υποχρεώσεις μιας επιχείρησης καλείται αριθμοδείκτης γενικής ρευστότητας. Στη χρηματοοικονομική ανάλυση είναι ευρέως γνωστοί οι αριθμοδείκτες /E (λόγος της τιμής προς τα κέρδη ενός αξιογράφου), /B (λόγος της χρηματιστηριακής προς τη λογιστική αξία) κλπ. Στο παρόν θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με στατιστικούς αριθμοδείκτες (εφεξής αριθμοδείκτες). BETA

2.2 ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΩΝ Α) Ως προς τη φύση των δύο καταστάσεων (i) Χρονολογικοί αριθμοδείκτες: αναφέρονται σε συγκρίσεις δύο χρονικών περιόδων. (ii) Γεωγραφικοί αριθμοδείκτες: αναφέρονται σε συγκρίσεις δύο διαφορετικών γεωγραφικών περιοχών. Με τους γεωγραφικούς αριθμοδείκτες συναντάμε περισσότερες δυσκολίες στη συγκρισιμότητα των δεδομένων και την ερμηνεία των αποτελεσμάτων. Στο παρόν θα ασχοληθούμε με χρονολογικούς αριθμοδείκτες. Β) Ως προς τον αριθμό και το είδος των υπεισερχόμενων οικονομικών μεταβλητών (i) Ιδιαίτεροι αριθμοδείκτες: Αποτελούν την απλούστερη μορφή αριθμοδείκτη και αφορούν τη διαμόρφωση από περίοδο σε περίοδο ενός μόνο μεγέθους. Παράδειγμα: η παραγόμενη ποσότητα ενός αγαθού ή η τιμή του. (ii) Σύνθετοι αριθμοδείκτες: Προκύπτουν από το συνδυασμό πολλών επιμέρους ιδιαίτερων αριθμοδεικτών. Περαιτέρω διακρίνονται σε σταθμικούς και αστάθμητους. Παραδείγματα: Ο αριθμοδείκτης βιομηχανικής παραγωγής, ο αριθμοδείκτης τιμών χονδρικής. (iii) Σύμμεικτοι αριθμοδείκτες: Πρόκειται για αριθμοδείκτες που εξυπηρετούν ειδικούς σκοπούς και προκύπτουν από τη σύνθεση πολλών ανομοιογενών αριθμοδεικτών. Παράδειγμα: ο λεγόμενος αριθμοδείκτης οικονομικής δραστηριότητας που συντίθεται από πολλούς επιμέρους δείκτες όπως παραγωγής, απασχόλησης, τιμών, επιτοκίων, εισαγωγών, εξαγωγών, κλπ. Αναπόφευκτα τέτοιοι δείκτες έχουν το μειονέκτημα του μη σαφούς οικονομικού περιεχομένου τους, γεγονός που καθιστά δύσκολη την ακριβή ερμηνεία των μεταβολών τους. Επιπλέον η σταθμίσεις των επιμέρους δεικτών γίνεται κατά τρόπο αυθαίρετο. Οι γνωστότεροι και ιστορικά αρχαιότεροι αριθμοδείκτες είναι εκείνοι που εκφράζουν τις μεταβολές του γενικού επιπέδου των τιμών των αγαθών και υπηρεσιών στο στάδιο της λιανικής ή χονδρικής πωλήσεως και καλούνται τιμάριθμοι. Άρχισαν να χρησιμοποιούνται ήδη από τον 9 ο αιώνα με σκοπό τη μέτρηση των μεταβολών της αγοραστικής δυνάμεως του χρήματος. BETA 2

Σήμερα οι αριθμοδείκτες τυγχάνουν πολύ ευρύτερης χρήσης για την παρακολούθηση της χρονικής εξέλιξης: Ι. Άλλων κατηγοριών τιμών Παραδείγματα: η αμοιβή της εργασίας, οι τιμές χρηματιστηριακών τιμών (π.χ. σύνθετοι χρηματιστηριακοί δείκτες όπως ο Γενικός Δείκτης του ΧΑΑ, ο δείκτης FTSE- του χρηματιστηρίου του Λονδίνου), οι ναύλοι (π.χ. δείκτης BDI) κλπ. ΙΙ. Όγκων ή ποσοτήτων Παραδείγματα: Η βιομηχανική παραγωγή, οι εισαγωγές, οι εξαγωγές, κλπ. ΙΙΙ. Αξιών Παραδείγματα: Αξία λιανικών πωλήσεων, αξία χονδρικών πωλήσεων κλπ. 2.3 ΙΔΙΑΙΤΕΡΟΙ ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΕΣ α) Σχετικές τιμές Σχετική τιμή είναι ο λόγος της τιμής ενός αγαθού( ) σε μια χρονική περίοδο, προς την τιμή του ίδιου αγαθού σε μια άλλη χρονική περίοδο που ονομάζεται περίοδος βάσης. Οι σχετικές τιμές εκφράζονται συνήθως σε ποσοστό επί τοις εκατό(%). Αν με συμβολίζουμε την τιμή ενός αγαθού στην περίοδο που παίρνουμε ως βάση και με την τιμή του ίδιου αγαθού σε μια άλλη περίοδο, τότε η σχετική τιμή στην περίοδο, με βάση την περίοδο, ορίζεται ως το πηλίκο % και συμβολίζεται με, δηλ.: % Η σχετική τιμή που αντιστοιχεί στην περίοδο βάσης θα είναι. Εφεξής, για λόγους ευκολίας, ο όρος αγαθό θα θεωρείται με την ευρύτερη έννοια και θα συμπεριλαμβάνει αγαθά και υπηρεσίες. BETA 3

Παράδειγμα Η τιμή πώλησης ενός προϊόντος κατά τα έτη 2 και 22 ήταν,48 και,5 ευρώ αντίστοιχα. Θεωρώντας το 2 ως έτος βάσης, να υπολογιστεί η σχετική τιμή (ο δείκτης σχετικής τιμής). Λύση:,5 Η σχετική τιμή θα είναι: % % 4,7%,48 Αυτό σημαίνει ότι το 22, με βάση το 2, η τιμή του προϊόντος αυξήθηκε κατά 4,7%. β) Σχετικές ποσότητες Πολλές φορές αντί να συγκρίνουμε τις τιμές ενός αγαθού, μπορούμε να συγκρίνουμε τις ποσότητες (ή τον όγκο του). Στην περίπτωση αυτή υπολογίζουμε σχετικές ποσότητες. Αν με q συμβολίσουμε την ποσότητα ενός αγαθού κατά την περίοδο (που παίρνουμε ως βάση) και με q την ποσότητα του ίδιου αγαθού στην περίοδο, τότε ο δείκτης σχετικής ποσότητας, με βάση την περίοδο, ορίζεται ως το πηλίκο q q % και συμβολίζεται με Q, δηλ.: Q q q % γ) Σχετικές αξίες Με βάση τα παραπάνω ο τύπος: μας παρέχει το δείκτη σχετικής αξίας. V q q % BETA 4

Παράδειγμα Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές (σε ευρώ) και οι ποσότητες (σε κιλά) ενός αγαθού κατά τα έτη 24 και 26 Έτη Τιμές Ποσότητες 24 26 32 4 62 68 Να υπολογιστεί ο δείκτης σχετικής αξίας για το έτος 26, με βάση το έτος 24. Λύση: Ο δείκτης σχετικής αξίας δίνεται απ τον τύπο: V q 4 68 6 888 % % % 33% q. 32 62 5. 84 Αυτό σημαίνει ότι το 26, με βάση το 24, η αξία του αγαθού αυξήθηκε κατά 33%. 2.4 ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΑΣΤΑΘΜΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΕΣ Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι οι τιμές των αγαθών έχουν συντελεστή στάθμισης τη μονάδα (ή, απλούστερα, δεν έχουν συντελεστή στάθμισης), δηλαδή ότι όλα τα αγαθά έχουν την ίδια βαρύτητα. Οι μέθοδοι υπολογισμού των δεικτών αυτών είναι: α) Μέθοδος των συνολικών τιμών Παριστάνουμε με (), στην περίοδο βάσης και (2), (), (3),..., (2), τις τιμές των αγαθών, 2, 3,..., Ν ( N ) (3),..., τις τιμές των αγαθών, 2, 3,..., Ν στην περίοδο. Έτσι ο δείκτης των συνολικών τιμών βρίσκεται υπολογίζοντας το παρακάτω πηλίκο: ( N ) + + + + () (2) (3) ( N )... () (2) (3) ( N ) + + +... + BETA 5

Επομένως ο απλός δείκτης των συνολικών τιμών είναι ο λόγος του αθροίσματος των τιμών Ν αγαθών στην περίοδο προς το άθροισμα των τιμών των ίδιων αγαθών σε μια άλλη χρονική περίοδο που παίρνουμε ως περίοδο βάσης. Ο παραπάνω δείκτης των συνολικών τιμών παρουσιάζει τα εξής μειονεκτήματα: () Δεν παίρνει υπόψη τις ποσότητες των αγαθών, (2) Επηρεάζεται από τις μονάδες μετρήσεως των αγαθών, (3) Υποθέτει ότι όλα τα αγαθά έχουν την ίδια βαρύτητα. Παράδειγμα Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι μέσες τιμές χονδρικής πώλησης τεσσάρων αγαθών κατά τα έτη 24 και 26: Αγαθά Α Β Γ Δ Τιμές αγαθών 24 26 24 3 36 2 3 36 39 8 Σύνολο 2 23 Να υπολογιστεί ο δείκτης των συνολικών τιμών για το έτος 26, με βάση το έτος 24. Λύση: Ο δείκτης των συνολικών τιμών θα είναι: 2 23,258 ή 2,58% Δηλαδή οι τιμές χονδρικής πώλησης κατά το έτος 26 είναι 2,58% μεγαλύτερες του 24. BETA 6

β) Μέθοδος του αριθμητικού μέσου των σχετικών τιμών Είναι γνωστό ότι η σχετική τιμή ενός αγαθού είναι, αν όμως έχουμε Ν αγαθά και πάρουμε το άθροισμα ( ) και το διαιρέσουμε με το Ν, προκύπτει ο μέσος αριθμητικός των σχετικών τιμών, δηλαδή: () (2) ( N) ( i) () + (2) +... + ( N) ( i) () i () i N N N Σε σχέση με τον προηγούμενο ο παραπάνω δείκτης έχει το πλεονέκτημα ότι η τιμή του είναι ανεξάρτητη από τις μονάδες μετρήσεως των ποσοτήτων στις οποίες αναφέρονται οι τιμές. Έχει όμως και αυτός το μειονέκτημα ότι δε λαμβάνει υπόψη του τη σχετική σπουδαιότητα των διαφόρων αγαθών, αλλά δίνει ίση βαρύτητα (σπουδαιότητα) σε όλα τα αγαθά. Παράδειγμα Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις τιμές (σε ευρώ) ορισμένων αγαθών κατά τα έτη 27 και 28. Να υπολογιστεί ο μέσος αριθμητικός των σχετικών τιμών (τιμάριθμος) του έτους 28 με βάση το έτος 27. Αγαθά Α Β Γ Δ Ε Τιμές αγαθών 27 28 2 5 3 7 3 4 7 6 9 4 Σχετικές τιμές 2,4 2,28,33 Σύνολο 2 23 8, Λύση: Ο μέσος αριθμητικός των σχετικών τιμών θα είναι: 8,,62 5 () i () i N BETA 7

Είναι όμως δυνατό ο τιμάριθμος να υπολογισθεί όχι ως αριθμητικός αλλά ως γεωμετρικός ή αρμονικός μέσος των τιμών των Ν αγαθών. Στην περίπτωση αυτή ο τιμάριθμος θα δίνεται αντίστοιχα από τις σχέσεις:... () (2) ( N ) G N / () (2) ( N )... και H / N ( ) Άσκηση: Από τα δεδομένα του παραπάνω παραδείγματος να υπολογίσετε το μέσο γεωμετρικό και το μέσο αρμονικό και να επιβεβαιώσετε ότι: > > G H / / / 2.5 ΣΥΝΘΕΤΟΙ ΣΤΑΘΜΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΕΣ Ι. Σταθμικοί αριθμοδείκτες τιμών (τιμάριθμοι) Είναι φανερό ότι με τους αστάθμητους αριθμοδείκτες λαμβάνουμε υπόψη τις μεταβολές στις τιμές των αγαθών και μόνο. Η ίδια όμως ποσοστιαία μεταβολή τιμής σε διαφορετικά αγαθά δεν έχει γενικά την ίδια επίδραση στους καταναλωτές. Προφανώς για καταναλωτές που έχουν σταθερό διαθέσιμο εισόδημα η επίδραση της όποιας μεταβολής της τιμής ενός αγαθού θα είναι μεγαλύτερη όσο μεγαλύτερη είναι η δαπάνη τους για την αγορά του εν λόγω αγαθού. Συνεπώς ένας τρόπος να ληφθεί υπόψη η πραγματική επίδραση από τη μεταβολή της τιμής ενός αγαθού στους καταναλωτές είναι να σταθμίσουμε τις σχετικές τιμές με τις αντίστοιχες καταναλωτικές δαπάνες. Έστω q, q,..., q συμβολίζουν τις ποσότητες που () (2) ( N ) αγοράστηκαν για τα αγαθά, 2,...,Ν την περίοδο. Ο αποκαλούμενος αριθμοδείκτης Laseyres χρησιμοποιεί ως σταθμίσεις των σχετικών τιμών τις αντίστοιχες καταναλωτικές δαπάνες την περίοδο δηλαδή τα γινόμενα q και ορίζεται ως εξής: L / q ( ) και απλοποιώντας τον αριθμητή παίρνουμε: q BETA 8

L q ( ) / q Ο δείκτης αυτός προτάθηκε από τον Laseyres ήδη από το 864. Υπό την απλοποιημένη εκδοχή του ο δείκτης Laseyres εκφράζεται ως το πηλίκο της αξίας των ποσοτήτων αγαθών που αγοράστηκαν την περίοδο σε τιμές της περιόδου, προς την αξία των ίδιων αγαθών σε τιμές της περιόδου. Ένας άλλος τρόπος σταθμίσεως των σχετικών τιμών θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε τις ποσότητες της περιόδου και όχι αυτές της περιόδου βάσεως. Επομένως οι σταθμίσεις θα είναι τώρα τα γινόμενα q. Έτσι αν με q, q,..., q συμβολίσουμε () (2) ( N ) τις ποσότητες των αγαθών, 2,,Ν που αγοράστηκαν την περίοδο ο εναλλακτικός σταθμικός μέσος των σχετικών τιμών ορίζεται ως εξής: / q ( ) q Ο δείκτης αυτός ορίστηκε αρχικά από τον aasche (87) και καλείται δείκτης του aasche. Απλοποιώντας τον αριθμητή παίρνουμε: q q ( ) / Από πρακτική άποψη, λαμβάνοντας υπόψη ότι η εφαρμογή του αριθμοδείκτη του aasche απαιτεί τη συλλογή νέων στοιχείων ποσοτήτων για όλα τα αγαθά που απαρτίζουν το δείκτη για κάθε νέα τρέχουσα περίοδο, στην πράξη χρησιμοποιείται συχνότερα ο αριθμοδείκτης του Laseyres, αφού οι υπολογισμοί είναι ευκολότεροι. Όπως θα εξηγηθεί παρακάτω και οι δύο αυτοί αριθμοδείκτες τιμών (τιμάριθμοι) παρουσιάζουν ορισμένα μειονεκτήματα. Λόγω αυτών των μειονεκτημάτων προτάθηκε και τρίτος τιμάριθμος από τον Fisher (922) που είναι γνωστός ως ιδανικός δείκτης του Fisher και ορίζεται ως ο γεωμετρικός μέσος των δεικτών, Laseyres και aasche. Δηλαδή: F ( ) L ( ) ( ) q / / q q q BETA 9

ΙΙ. Σταθμικοί αριθμοδείκτες όγκου. Κατ αντιστοιχία με τους τιμαρίθμους (αριθμοδείκτες τιμών) μπορούν να ορισθούν και αριθμοδείκτες όγκου. Έτσι στον αριθμοδείκτη όγκου Laseyres, οι σχετικές ποσότητες σταθμίζονται με τις αντίστοιχες αξίες κατά την περίοδο βάσης, ενώ στον αριθμοδείκτη όγκου aasche οι σχετικές ποσότητες σταθμίζονται με τις αξίες των ποσοτήτων βάσης αλλά με τιμές της περιόδου. Επομένως: L q q q q ( q) / q q q q q ( q) / q q q ενώ ο ιδανικός δείκτης όγκου Fisher ορίζεται ως: F ( q) L ( q) ( q) q / / q q q Πρόταση 2.5. Αποδεικνύεται ότι κάτω από γενικές συνθήκες ισχύει: L ( )> ( ) και L ( q) > ( q) / / / / ΙΙΙ. Σταθμικοί αριθμοδείκτες αξίας Έστω,,..., και () (2) ( N ) q, q,..., q οι τιμές και οι ποσότητες αντιστοίχως των () (2) ( N ) αγαθών, 2,,Ν κατά την περίοδο μηδέν. Η καταναλωτική δαπάνη V για τα ως άνω αγαθά θα είναι: V q Ομοίως για την περίοδο η καταναλωτική δαπάνη για την αγορά των ως άνω αγαθών θα είναι: V q Η διαφοροποίηση της καταναλωτικής δαπάνης την περίοδο συγκριτικά με την περίοδο θα εκφράζεται τότε με τον αριθμοδείκτη αξίας: BETA

V / q q Πρόταση 2.5.2. Ο αριθμοδείκτης αξίας μεταξύ δύο καταστάσεων και δύναται να αναλυθεί ως ένα γινόμενο του τιμαρίθμου Laseyres επί τον αριθμοδείκτη όγκου aasche, ή, ισοδύναμα, ως ένα γινόμενο του τιμαρίθμου aasche επί τον αριθμοδείκτη όγκου Laseyres. Δηλαδή: V L ( ) ( q) ( ) L ( q) / / / / / Απόδειξη Διαδοχικά θα έχουμε (ο πολ/μος με παραλείπεται): q q q ( ) ( ) ή q q q V L q / / / q q q ( ) ( ) q q q V L q / / / Πόρισμα Ο δείκτης αξιών όταν απαρτίζεται από περισσότερα από ένα αγαθά δε δύναται να αναλυθεί σε δείκτες τιμών και όγκου του αυτού είδους (πάντα με αναφορά τους δείκτες Laseyres και aasche). Παράδειγμα Στον παρακάτω Πίνακα δίνονται οι τιμές λιανικής και οι αντίστοιχες ποσότητες πέντε ειδών διατροφής για τα έτη 995, 996. ΑΓΑΘΟ ΤΙΜΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΑΞΙΕΣ 995 996 995 996 95 q95 96 q96 Α 4 6 2 5 568 84 Β 3 4 49 53 637 742 Γ 23 22 6 9 368 48 Δ 89 2 2 22 869 2244 Ε 94 25 47 44 448 55 ΣΥΝΟΛΟ 886 744 BETA

Ο αριθμοδείκτης αξίας θα είναι: V q 96 96 96 / 95 q 95 95.744 2,3 8.86 Συνεπώς μεταξύ των ετών 996 και 995 παρατηρείται σημαντική αύξηση της καταναλωτικής δαπάνης κατά 2,3%. Έστω ότι θα θέλαμε να ερευνήσουμε περαιτέρω τη συνεισφορά των τιμών και των όγκων στην αύξηση αυτή. Θα πρέπει επομένως να υπολογίσουμε τις συνιστώσες μεταβολές τιμών και όγκου. Σύμφωνα με την Πρόταση 2.5.2 αρκεί να βρούμε έναν εκ των σταθμικών σύνθετων αριθμοδεικτών, έστω τον τιμάριθμο Laseyres. Οι σχετικοί υπολογισμοί φαίνονται στον Πίνακα που ακολουθεί. ΠΙΝΑΚΑΣ Υπολογισμός τιμαρίθμου Laseyres για τα πέντε είδη διατροφής ΑΓΑΘΟ ΤΙΜΕΣ ΠΟΣΟΤΗΤΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΤΙΜΕΣ 995 996 995 96 95 ΑΞΙΕΣ 95 q 95 95 (σταθμίσεις) ΓΙΝΟΜΕΝΑ 96 95 q95 95 Α 4 6 2,43 568 792 Β 3 4 49,77 637 686 Γ 23 22 6,957 368 352 Δ 89 2 2,46 869 242 Ε 94 25 47,33 448 5876 ΣΥΝΟΛΟ 886 848 Από τα στοιχεία του Πίνακα ο δείκτης Laseyres υπολογίζεται ως εξής: L 96 / 95 96 q 95 95 95.848 ( ) 22,4 q 886 95 95 Το ανωτέρω αποτέλεσμα δηλώνει ότι ο τιμάριθμος κατά Laseyres το 996 ήταν κατά 22,4 % μεγαλύτερος σε σχέση με το 995. BETA 2

Συνεπώς ο αριθμοδείκτης όγκου aasche βρίσκεται εύκολα ως εξής: q V 2,3 L ( ) 22,4 96 / 95 ( ) 99, 96 / 95 96 / 95 Ο δείκτης aasche δείχνει ότι οι ποσότητες που καταναλώθηκαν είναι κατά,9% μικρότερες το 996 σε σχέση με το 995. Συνεπώς η κατά 22,4 % αύξηση της καταναλωτικής δαπάνης μεταξύ των ετών 996 και 995 οφείλεται εξ ολοκλήρου στην άνοδο των τιμών. IV. Αριθμοδείκτης αγοραστικής δυνάμεως του χρήματος Ο αριθμοδείκτης αγοραστικής δυνάμεως του χρήματος ορίζεται ως ο αντίστροφος ενός τιμαρίθμου. Αν λοιπόν επιλέξουμε τον τιμάριθμο του Laseyres τότε ο αντίστοιχος αριθμοδείκτης αγοραστικής δυνάμεως θα δίνεται από τη σχέση: / L/( ) q q 2.6 ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΩΝ Σε προηγούμενες ενότητες αναφερθήκαμε έστω και ακροθιγώς σε κάποια συγκριτικά πλεονεκτήματα ή μειονεκτήματα που εμφανίζουν οι διάφοροι αριθμοδείκτες. Στην ενότητα αυτή θα ασχοληθούμε συστηματικότερα με το θέμα. Για την αξιολόγηση των επιμέρους αριθμοδεικτών, ο στατιστικός Ι. Fisher πρότεινε διάφορα κριτήρια. Εδώ θα αναφέρουμε τα κυριότερα εξ αυτών και θα εξετάσουμε αν οι διάφοροι αριθμοδείκτες τα πληρούν. (α) Το κριτήριο της αντιστροφής ως προς το χρόνο Ένα εκ των σπουδαιοτέρων κριτηρίων είναι το κριτήριο της αντιστροφής στο χρόνο το οποίο για να πληρούται από έναν αριθμοδείκτη θα πρέπει να ισχύει (χωρίς πολ/μο επί ): / ή / / / Το ως άνω κριτήριο είναι φανερό ότι ισχύει για τους ιδιαίτερους αριθμοδείκτες. Για τους αστάθμητους σύνθετους αριθμοδείκτες εύκολα μπορεί να αποδειχθεί ότι το κριτήριο αυτό ικανοποιείται μόνο από το γεωμετρικό μέσο. BETA 3

Πράγματι για το γεωμετρικό μέσο ισχύει:...... () (2) ( N ) () (2) ( N ) G G N N / / () (2) ( N) () (2) ( N)...... A A Ενώ για τον αριθμητικό μέσο:. / / H H Ομοίως και για τον αρμονικό μέσο:. / / Από τους σταθμικούς σύνθετους αριθμοδείκτες Laseyres, aasche και Fisher ο μόνος που ικανοποιεί το κριτήριο της αντιστροφής στο χρόνο είναι ο ιδανικός δείκτης του Fisher. Πράγματι, για να ικανοποιείται το κριτήριο από τον ιδανικό δείκτη Fisher, έστω όγκου, θα πρέπει: F ( q) F ( q) (χωρίς πολ/μο με ) Διαδοχικά θα έχουμε: F ( q) F ( q) L ( q) ( q) L ( q) ( q) / / / / q q q q q q q q ο.ε.δ. Εξάλλου, εύκολα προκύπτει ότι το κριτήριο της αντιστροφής στο χρόνο πληροί και ο σύνθετος αριθμοδείκτης αξίας. (β) Το κριτήριο της αντιστροφής των παραγόντων Το κριτήριο αυτό ικανοποιείται όταν το γινόμενο ενός τιμαρίθμου επί τον αντίστοιχο δείκτη όγκου μας παρέχει τον αριθμοδείκτη αξίας. Από τους σταθμικούς σύνθετους αριθμοδείκτες βάσει του πορίσματος της πρότασης 2.5.2 γνωρίζουμε ότι ούτε ο αριθμοδείκτης Laseyres αλλά ούτε και ο αριθμοδείκτης aasche πληρούν το ως άνω κριτήριο. Αντίθετα το κριτήριο αντιστροφής των παραγόντων πληρούται από τον ιδανικό δείκτη Fisher. Πράγματι, για να ικανοποιεί ο ιδανικός δείκτης Fisher το κριτήριο αυτό θα πρέπει να ισχύει: F ( ) F ( q) V / Διαδοχικά θα έχουμε: F ( ) F ( q) L ( ) ( ) L ( q) ( q) / / / / q q q q V V V q q q q / / / ο.ε.δ. BETA 4

(γ) Το κριτήριο της κυκλικότητας (κυκλικό κριτήριο) Σύμφωνα με το κριτήριο της κυκλικότητας το γινόμενο της τιμής ενός αριθμοδείκτη για την περίοδο 2 ως προς περίοδο βάσης την περίοδο επί την τιμή του αριθμοδείκτη για την περίοδο ως προς περίοδο βάσης ισούται με την τιμή του αριθμοδείκτη για την περίοδο 2 ως προς περίοδο βάσης το. Δηλαδή για έναν αριθμοδείκτη W 2/ αν ικανοποιείται το ως άνω κριτήριο θα ισχύει: W2/ W2/ W/ Το κριτήριο αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό για τους λεγόμενους αλυσωτούς αριθμοδείκτες για τους οποίους σε κάθε νέα τρέχουσα περίοδο ο υπολογισμός γίνεται ως προς περίοδο βάσης την αμέσως προηγούμενη περίοδο. Παρακάτω συνοψίζονται προτάσεις που αφορούν την ικανοποίηση ή μη του κυκλικού κριτηρίου από τους διάφορους αριθμοδείκτες και αποδεικνύονται εύκολα. Πρόταση 2.6. Εκ των αστάθμητων σύνθετων αριθμοδεικτών μόνο ο γεωμετρικός μέσος ικανοποιεί το κυκλικό κριτήριο. Πρόταση 2.6.2 Ουδείς εκ των αριθμοδεικτών: Laseyres, aasche, ιδανικός Fisher, ικανοποιεί το κυκλικό κριτήριο. Πρόταση 2.6.3 Οι δείκτες αξίας ικανοποιούν το κυκλικό κριτήριο. 2.7 ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗΣ ΤΟΥΣ Ι. Η σημασία της περιόδου βάσεως Όπως προαναφέρθηκε (Πρόταση 2.5.4), ουδείς εκ των αριθμοδεικτών: Laseyres, aasche, ιδανικός Fisher, ικανοποιεί το κυκλικό κριτήριο. Άρα τα αποτελέσματά μας εξαρτώνται και από την επιλογή της περιόδου βάσεως. Συνεπώς η περίοδος βάσεως αποκτά ιδιαίτερη σπουδαιότητα και για το λόγο αυτό στην πράξη λαμβάνεται μέριμνα BETA 5

ώστε η περίοδος βάσεως να επιλέγεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε τόσο οι τιμές όσο και οι ποσότητες που αναφέρονται σε αυτή να μην είναι ακραίες (δηλαδή ούτε πολύ υψηλές ούτε πολύ χαμηλές). Υπό αυτές τις προϋποθέσεις η πρακτική εμπειρία έχει δείξει ότι διαφορές που οφείλονται σε διαφορετική επιλογή περιόδου βάσης και αφορούν περιόδους που δεν απέχουν πολύ από την περίοδο βάσης είναι κατά κανόνα μικρές για την πλειοψηφία των περιπτώσεων. Εξαίρεση αποτελούν οι περιπτώσεις εκείνες για τις οποίες τόσο οι τιμές όσο και οι όγκοι υπόκεινται λόγω της φύσης των αγαθών σε έντονες κυμάνσεις από περίοδο σε περίοδο. Χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιας περιπτώσεως αποτελούν οι τιμές και οι ποσότητες των γεωργικών προϊόντων όπου παρατηρούνται μεγάλες μεταβολές από έτος σε έτος. Προς επίρρωση, από τα στοιχεία του πίνακα που ακολουθεί και εμφανίζει την εξέλιξη του Δείκτη Τιμών Καταναλωτή (εκατοστιαίες μεταβολές σε σχέση με την αντίστοιχη περίοδο του προηγουμένου έτους) για την Ελλάδα είναι φανερό ότι οι εντονότερες κυμάνσεις παρατηρούνται στον Ειδικό Δείκτη Νωπών Οπωροκηπευτικών. BETA 6

Ένας πρακτικός τρόπος αντιμετώπισης τέτοιων περιπτώσεων με έντονες μεταβολές έστω των όγκων, σε ένα δείκτη τιμών Laseyres είναι να χρησιμοποιηθεί ο μέσος αριθμητικός (ή ακόμη και ο μέσος γεωμετρικός για την περίπτωση πολύ ακραίων τιμών) των ποσοτήτων λαμβάνοντας υπόψη έναν αριθμό διαδοχικών περιόδων αντί για την ποσότητα της περιόδου βάσης. Ακόμη ως τιμή της περιόδου βάσης θα μπορούσε να τεθεί ένας μέσος κατ αντιστοιχία με τα ανωτέρω, ή ακόμη και να χρησιμοποιηθούν μέσοι τόσο για τις τιμές όσο και για τις ποσότητες. Συνεπώς ο σχετικός τύπος της ενότητας 2.5 τροποποιείται ως εξής: L L L q q ( ) / q q ( ) / ( ) / q q, ή, ή ακόμη και, όπου ως q ή δύναται να είναι είτε ο αριθμητικός είτε ο γεωμετρικός μέσος. Αντίστοιχες διορθώσεις μπορούν να γίνουν και για τους αριθμοδείκτες όγκου. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η εκλογή του τύπου που θα χρησιμοποιηθεί εξετάζεται κατά περίπτωση και βέβαια υπόκειται στην κρίση του ερευνητή. ΙΙ. Εναρμόνιση - σύνδεση αριθμοδεικτών Μερικές φορές παρατηρείται το φαινόμενο για το ίδιο οικονομικό μέγεθος να υπάρχουν περισσότεροι του ενός αριθμοδείκτες του αυτού είδους και μάλιστα ο καθένας εξ αυτών να καλύπτει χρονολογίες που μερικώς μόνο επικαλύπτονται. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν για παράδειγμα οι αριθμοδείκτες κατασκευάζονται και στη συνέχεια δημοσιοποιούνται από διαφορετικές δημόσιες υπηρεσίες, ερευνητικούς ή ιδιωτικούς φορείς. Σε τέτοιες περιπτώσεις συνιστάται η εναρμόνιση και εν συνεχεία η σύνδεση των αριθμοδεικτών αυτών ώστε να συνθέσουν ένα συνεχή αριθμοδείκτη που να καλύπτει το χρονολογικό διάστημα που κάλυπταν όλοι οι αρχικοί αριθμοδείκτες μαζί. Απαραίτητες προϋποθέσεις για να είναι κάτι τέτοιο εφικτό είναι: BETA 7

(α) οι διαφορετικοί αριθμοδείκτες να έχουν δημοσιευμένες τιμές (και) για κοινές χρονικές περιόδους. (β) Να είναι κατά το δυνατόν ομοιογενείς δηλαδή: να αναφέρονται στο ίδιο οικονομικό-χρηματοοικονομικό μέγεθος, να έχουν όσο το δυνατόν περισσότερες κοινές συνιστώσες, και οι διαφορές στις σταθμίσεις των συνιστωσών αυτών να είναι όσο το δυνατόν μικρότερες. Εφόσον πληρούνται οι ως άνω προϋποθέσεις τότε για τη δημιουργία ενός συνεχούς νέου «συνεπούς» αριθμοδείκτη από, έστω δύο, υπάρχοντες ακολουθούμε τα παρακάτω δύο βήματα: (ι) Εκφράζουμε και τους δύο αριθμοδείκτες ως προς την ίδια χρονική περίοδο συγκρίσεως (βάση) που θα είναι μία από τις χρονικές περιόδους που είναι κοινές και στους δύο αριθμοδείκτες. (ιι) Για τις υπόλοιπες χρονικές περιόδους που είναι κοινές και στους δύο αριθμοδείκτες η τιμή του νέου δείκτη θα ισούται με τον αριθμητικό ή το γεωμετρικό μέσο των τιμών των δύο υπαρχόντων δεικτών. Ο γεωμετρικός μέσος χρησιμοποιείται όταν οι αρχικές τιμές των υπαρχόντων δεικτών που αναφέρονται στην ίδια χρονική περίοδο αφίστανται σημαντικά μεταξύ τους. Σε ορισμένες περιπτώσεις που οι τιμές των δύο δεικτών για τις κοινές χρονικές περιόδους διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους θα μπορούσε να κατασκευασθεί και ο λεγόμενος «ακριβής» συνεχής αριθμοδείκτης στον οποίο οι τιμές του για τις κοινές χρονικές περιόδους ταυτίζονται με τις τιμές εκείνου του αριθμοδείκτη του οποίου η χρονολογία σταθμίσεως βρίσκεται πλησιέστερα. Τονίζεται και πάλι ο υποκειμενικός χαρακτήρας των αποφάσεων, κατά την κρίση του ερευνητή. Το παράδειγμα που ακολουθεί βοηθά στην κατανόηση του τρόπου εναρμόνισης και σύνδεσης αριθμοδεικτών. Παράδειγμα Στις στήλες (2) και (3) του παρακάτω πίνακα φαίνονται οι τιμές δύο αριθμοδεικτών (α/δ/νο και α/δνο 2 αντίστοιχα) που αναφέρονται στο ίδιο οικονομικό μέγεθος και έχουν επικάλυψη για τις χρονικές περιόδους των ετών 23, 24 και 25. Στις στήλες (4) και (5) οι δύο αυτοί αριθμοδείκτες εναρμονίζονται ώστε να έχουν κοινή περίοδο βάσης (με τιμή ) το έτος 24. Στη στήλη (6) ο νέος συνεχής αριθμοδείκτης που κατασκευάσθηκε για τα έτη 23 και 25 έχει ως τιμή το μέσο αριθμητικό των δύο εναρμονισμένων δεικτών για τα δύο αυτά έτη. Άρα ο νέος αυτός BETA 8

αριθμοδείκτης είναι «συνεπής». Τέλος στη στήλη (7) ο νέος συνεχής αριθμοδείκτης που κατασκευάσθηκε για τα έτη 23 και 25 έχει ως τιμή του την τιμή του εναρμονισμένου δείκτη η οποία βρίσκεται πλησιέστερα στην περίοδο στάθμισης του αρχικού αριθμοδείκτη. Άρα ο νέος αυτός αριθμοδείκτης είναι «ακριβής». ΕΝΑΡΜΟΝΙΣΗ ΚΑΙ ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΡΙΘΜΟΔΕΙΚΤΩΝ () (2) (3) (4) (5) (6) (7) ΕΝΑΡΜΟΝΙΣΗ ΝΕΟΣ ΣΥΝΕΧΗΣ α/δ ΕΤΟΣ α/δ Νο α/δ Νο 2 Εα/δ Νο Εα/δ Νο 2 ΣΥΝΕΠΗΣ ΑΚΡΙΒΗΣ 2 89,29 89,29 89,29 2 3 9,96 9,96 9,96 22 4 92,86 92,86 92,86 23 7 95,54 95,24 95,39 95,24 24 2 5,,,, 25 4 6,79,95,37,95 26 9 3,8 3,8 3,8 27 3 7,62 7,62 7,62 ΙΙΙ. Αποπληθωρισμός Αξιών. Πολλές φορές τα διαθέσιμα δεδομένα υπό μορφή χρονολογικών σειρών αφορούν αξίες, συνεπώς οι μεταβολές από περίοδο σε περίοδο δυνατόν να οφείλονται στις μεταβολές στις τιμές, στους όγκους, ή και στα δύο. Αν μας ενδιαφέρει η διαχρονική εξέλιξη των όγκων τότε θα πρέπει να απομονωθεί η επίδραση των τιμών. Η πλήρης όμως εξάλειψη της επίδρασης των τιμών είναι δυσχερής δεδομένων όντων ότι: (α) οι ποσότητες και οι τιμές συσχετίζονται, επομένως η ερμηνεία των μεταβολών των όγκων δε μπορεί να είναι πλήρως ανεξάρτητη από τις μεταβολές στις τιμές (β) Η αποτελεσματικότητα του αποπληθωρισμού των τιμών που είναι απαραίτητη ώστε η εξέλιξη του όγκου να αντιστοιχεί σε νομισματικές μονάδες σταθερής αξίας εξαρτάται από την καταλληλότητα του δείκτη τιμών που χρησιμοποιούμε ως αποπληθωριστή, αλλά και τον τρόπο υπολογισμού του. Σημειώνεται ότι πέραν του ορισμού που δόθηκε στην ενότητα 2.5, ο αριθμοδείκτης της αγοραστικής δυνάμεως του χρήματος μπορεί να ορισθεί και ως ο αριθμητικός μέσος των σχετικών αγοραστικών δυνάμεων του χρήματος που αναφέρονται στα επιμέρους αγαθά ενός τιμαρίθμου. Στην περίπτωση αυτή η αγοραστική δύναμη του χρήματος ως προς ένα αγαθό μπορεί να ορισθεί ως το αντίστροφο της τιμής του αγαθού αυτού. Συνεπώς η αγοραστική αξία του χρήματος κατά Laseyres θα μπορούσε να ορισθεί και ως: BETA 9

L / q ( ) q Είναι φανερό ότι: q q q q Σημειώνεται ότι στην πράξη οι διαφορές που προκύπτουν από τη χρήση διαφορετικού τύπου αριθμοδείκτη αποπληθωρισμού είναι κατά κανόνα πολύ μικρές. 2.8 ΠΡΟΣΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 2. Η καταναλωτική δαπάνη μιας κατηγορίας αγαθών ήταν 23 εκατ. ευρώ για το έτος 2 και 76 εκατ. ευρώ για το έτος 25. Ο όγκος της κατανάλωσης σημείωσε αύξηση κατά 6,3% σύμφωνα με το δείκτη Laseyres και 4,8% σύμφωνα με το δείκτη aasche. Να βρεθεί η ποσοστιαία μεταβολή των τιμών της παραπάνω κατηγορίας αγαθών σύμφωνα με τον ιδανικό δείκτη του Fisher. Λύση Σύμφωνα με τον ιδανικό δείκτη του Fisher η ποσοστιαία μεταβολή των τιμών θα δίνεται από τον τύπο: F L 5/ ( ) ( ) ( ) 5/ 5/ Συνεπώς θα πρέπει να υπολογίσουμε τους τιμαρίθμους Laseyres και aasche. Ο δείκτης αξίας θα είναι: 76 V 5/ 43, 23 Από την πρόταση 2.5.2 θα έχουμε: BETA 2

V L 5/ ( ) 23 5/ και L 5/ V 43, ( q) 6,3 5/ ( ) 24,7 5/ 5/ 43, ( q) 4,8 Αντικαθιστώντας έχουμε F 5/ ( ) 23, 24,7 23,8 Άρα σύμφωνα με τον ιδανικό δείκτη Fisher το επίπεδο των τιμών της ως άνω κατηγορίας αγαθών μεταξύ των ετών 25 και 2 παρουσίασε άνοδο κατά 23,8%. 2. Ο αριθμοδείκτης μέσων τιμών μιας κατηγορίας εισαγόμενων αγαθών για το 994 σε σχέση με το 992 υπολογίστηκε με το δείκτη aasche σε 2,2. Να βρεθεί η σχετική μεταβολή του όγκου των εισαγόμενων αγαθών της ως άνω κατηγορίας μεταξύ 994-992 αν γνωρίζουμε ότι η αξία τους το 993 ως προς το 992 μειώθηκε κατά 28,3%, ενώ κατά το 994 ως προς το 993 αυξήθηκε κατά 32,8%. Λύση Σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε: V 28, 3 7, 7% 93/ 92 V + 32, 8 32, 8% 94 / 93 Εξάλλου σύμφωνα με την Πρόταση 2.5.5 οι δείκτες αξίας ικανοποιούν το κυκλικό κριτήριο και επομένως: V V V 32,8 7,7 94 / 93 93/ 92 94 / 92 95,2% Τέλος από την Πρόταση 2.5.2 έχουμε: V 94 / 92 L ( q) ( ) 94 / 92 94 / 92 Επομένως, L V 95, 2 q ( ) 2,3 94 / 92 ( ) 84,8 94 / 92 94 / 92 BETA 2

Άρα μεταξύ των ετών 994 και 992 ο όγκος των εισαγωγών της υπό εξέταση κατηγορίας αγαθών μειώθηκε κατά -84,85,2% με βάση το δείκτη όγκου Laseyres. 3. Δίνονται τα παρακάτω στοιχεία τιμών (χιλ. ευρώ) και ποσοτήτων (τόννοι) που καταναλώθηκαν για τέσσερα αγαθά τα έτη 99 και 995. ΑΓΑΘΟ ΕΤΟΣ 99 995 ΤΙΜΗ ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΤΙΜΗ Α 24 322 28 Β 4 89 4 Γ 36 52 48 Δ 78 9 74 Να υπολογισθεί η αγοραστική δύναμη του χρήματος μεταξύ των ετών 995 και 99: (α) μέσω της χρήσης τιμαρίθμου και (β) απευθείας από τα παραπάνω στοιχεία. Τι παρατηρείτε; ` BETA 22