Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ

Transcript

1 1 Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ά ( ύ ) έ ί ύ σ ύ ό ά, ύ ό ά ΓΝΗΣΙΩΣ ΦΘΙΝΟΥΣΑΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ά ( ύ ) έ ί ύ σ ύ ό ά, ύ ό ά ΤΟΠΙΚΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ά ( ύ ) έ 1 ά ό έ ό ό ά ή 1 1 ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ά ( ύ ) έ ά ό ά ό ά ή ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ό έ ά ύ ά ό ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ή, g έ ό ύ ύ ή lm l lm g l ό l, l ί ί ό ύ lm 1 1 g l l 1

2 ή, g έ ό ύ ύ ή lm l lm g l ό l, l ί ί ό ύ lm 1 1 g l l 1 ά έ ό ό ό ή lm l, l ό ό k ό ύ lm k kl 1 lm, l g l ή, g έ ό ύ ύ ή lm l lm g l ό l, l ί ί l!!! ό ύ l 1 1 ά έ ό ό ό ή lm l, l ό ό ό ύ lm l * ά έ ό ό ό ή lm l, l ό ό l!!! lm ό ύ l ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ά ί ύ έ ή ά ύ lm *

3 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Έ ά D D ί ύ D ά ό lm ί ό ό ό ά ί ί ί ύ lm ά ί ά D D ί ύ ί ί ί D ά έ C ί ή, / / yy ή ύ ί ί ά ί ί ί ί έ C ί ή, // yy ή ύ C Ρυθμός μεταβολής μια συνάρτησης στο σημείο ο Ρυθμός μεταβολής μια συνάρτησης στο σημείο ο είναι η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο ο δηλ. Ρυθμός μεταβολής της στο σημείο ο = ( ο ) ΤΑΧΥΤΗΤΑ-ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Αν = (t) είναι η συνάρτηση θέσης κινητού την χρονική στιγμή t τοτε θα έχω υ(t) = (t) και α(t) = (t)=υ (t) υ(t) Η ταχύτητα του κινητού την χρονική στιγμή t α(t) Η επιτάχυνση του κινητού την χρονική στιγμή t

4 4 g g g g, ά g g g g g, g g g g g g c c ά, 1 a a 1 a e e 1 ln, 1,, 1,, a a1 a

5 5 e e ln, ln,,,,,!!! 1, a a,,, *

6 6 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΣΤΟΥΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ 1. ί c ό c έ ό ό ό έ ώ ά c ό c έ ό ό ό Ό " ά έ " ά ί c c c lm lm ήά lm ί ό ό ά ί ί ύ lm. c c ί 1

7 έ ώ ά ά ί ή ά " έ " 1 lm lm1 1 ή ά lm ί ό ό ά ί ί ύ lm έ ί ώ ά 7 ά ό ά ώ ό ή ί!!! lm lm ή ά lm ί ό ό ά ί ί ύ lm

8 8 4. ά ί ί ό ά c ί ί ύ c c ό c ά ή ά ί ί έ έ lm ώ ά F c F ί ό ά ό ά c ά c F F c c c c lm lm c lm c lm c F F ήά lm ί ό ό ά F ί ί ύ F F F lm c F c F c c c 5. ή, g ί ί ό ά g ί ί ύ g g

9 9 ή ά ί ί έ lm ή ά g ί ί έ g g g lm ώ ά F g έ F F F ί ά ή g g g g g ύ έ ά ό ά ά ό g g g F F g g lm lm lm g g lm g g lm lm g F F ήά lm ί ό ό ά F ί ί ύ F F F lm g F g g F g g g

10 1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (Ι) Η παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ Αν (ΙΙ) () > για κάθε σημείο εσωτερικό του διαστήματος Δ Τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ (Δ=Διάστημα δηλ. ένα σύνολο της μορφής [α,β],[α,β),(α,β),(α,β],(α,+ ), [α,+ ),(, α), (,α],(,+ ) (Ι) Η παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ Αν (ΙΙ) () < για κάθε σημείο εσωτερικό του διαστήματος Δ Τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ (Δ=Διάστημα δηλ. ένα σύνολο της μορφής [α,β],[α,β),(α,β),(α,β],(α,+ ), [α,+ ),(, α), (,α],(,+ ) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ όταν για κάθε 1, єδ με 1 < θα έχω ( 1 ) < ( ) Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ όταν για κάθε 1, єδ με 1 < θα έχω ( 1 ) > ( ) Μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ όταν είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν () > για κάθε єδ τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ.Το αντίστροφο δεν ισχύει π.χ. η συνάρτηση () = 3 είναι γνησίως αύξουσα αλλά ισχύει () γιατί Αν 1 < < ( 1 )<( ).Άρα η είναι γνησίως αύξουσα Όμως () =( 3 ) = 3 Αν () < για κάθε єδ τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.Το αντίστροφο δεν ισχύει π.χ. η συνάρτηση () = 3 είναι γνησίως φθίνουσα αλλά ισχύει () γιατί Αν 1 < < > ( 1 )>( ). Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα Όμως () =( 3 ) = 3 Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ θα ισχύει () για κάθε єδ Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ και παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ θα ισχύει () για κάθε єδ Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει () για κάθε єδ δεν έπεται ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ!!! Π.χ Για την συνάρτηση ()=1 ισχύει η είναι παραγωγίσιμη στο IR με ()= χωρίς η να είναι γνησίως αύξουσα στο IR

11 11 Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και ισχύει () για κάθε єδ δεν έπεται ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ!!! Π.χ Για την συνάρτηση ()=1 ισχύει η είναι παραγωγίσιμη στο IR με ()= χωρίς η να είναι γνησίως φθίνουσα στο IR ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ (Ι) () > για κάθε є(α, )U(,β) όπου εσωτερικό σημείο του (α,β) Αν (ΙΙ) ( )= Τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο (α, β) (Ι) () < για κάθε є(α, )U(,β) όπου εσωτερικό σημείο του (α,β) Αν (ΙΙ) ( )= Τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο (α, β) ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Έστω η συνάρτηση Α ΙR(ΑΤο πεδίο ορισμού της ) και για κάθε єα ισχύει () ( ο ) με ο єα τότε η συνάρτηση έχει μέγιστο ή ολικό μέγιστο στη θέση ο τον αριθμό ( ο ) Έστω η συνάρτηση Α ΙR(ΑΤο πεδίο ορισμού της ) και για κάθε єα ισχύει () ( ο ) με ο єα τότε η συνάρτηση έχει ελάχιστο ή ολικό ελάχιστο στη θέση ο τον αριθμό ( ο ) Το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης καλούνται ακρότατα της ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Ι) Αν μια συνάρτηση έχει τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο αυτό δεν σημαίνει ότι το τοπικό μέγιστο είναι μεγαλύτερο από το τοπικό ελάχιστο Υ τ.ε Χ Ο(,) Χ τ.μ Υ Συνεπώς δεν μπορώ να συγκρίνω τοπικά ακρότατα

12 1 ΙΙ) Μια συνάρτηση μπορεί να έχει πολλά τοπικά ακρότατα αλλά να μην έχει ακρότατο τ.μ Υ Χ Ο(,) Χ τ.ε Υ α ο β + + Αν (Ι) ( ) = (ΙΙ) () > για κάθε,, Τότε η συνάρτηση δεν έχει τοπικό ακρότατο στη θέση α ο β Αν (Ι) ( ) = (ΙΙ) () < για κάθε,, Τότε η συνάρτηση έχει τοπικό ακρότατο στη θέση ο

13 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είναι ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για (Ι) το σχεδιασμό διαδικασίας συλλογής δεδομένων (ΙΙ) τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσιάση τους (ΙΙΙ) την ανάλυση και εξαγωγή αντίστοιχων συμπερασμάτων Ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται με το το σχεδιασμό διαδικασίας συλλογής δεδομένων λέγεται σχεδιασμός πειραμάτων Ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσιάση τους λέγεται περιγραφική στατισστική Ο κλάδος της Στατιστικής που ασχολείται με την ανάλυση και εξαγωγή αντίστοιχων συμπερασμάτων λέγεται επαγωγική στατιστική ή στατιστική συμπερασματολογία Πληθυσμός είναι ένα σύνολο του οποίου εξετάζουμε τα στοιχεία ως προς ένα ή περισσότερα χρακτηριστικά του Άτομο ή άστομο είναι κάθε στοιχείου του πληθυσμού Το πλήθος των ατόμων ενός πληθυσμού ονομάζεται μέγεθος του πληθυσμού Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε ένα πληθυσμό καλούνται μεταβλητές Οι δυνατές διακεκριμένες τιμές που μπορεί να πάρει λέγονται τιμές της μεταβλητής και τις συμβολίζουμε με 1,,, κ Στατιστικά δεδομένα ή παρατηρήσεις ονομάζονται τα δεδομάνα που προκύπτουν από την διαδοχική εξέταση των ατόμων ενός πληθυσμού ως προς ένα χαρακτηριστικό τους και τα συμβολίζουμε με t 1,t,,t ν Ποσοτικά χαρακτηριστικά είναι εκείνα τα οποία μπορούν να μετρηθούν Ποιοτικά χαρακτηριστικά είναι εκείνα τα οποία δεν επιδέχονται μέτρηση Διακριτές μεταβλητές είναι εκείνες που κάθε άτομο του πληθυσμού παίρνει μόνο διακεκριμένες τιμές Συνεχείς μεταβλητές είναι εκείνες που μπορούν μια οποιαδήποτε τιμή σε ένα διάστημα πραγματικών αριθμών Απογραφή πληθυσμού ονομάζεται η μέθοδος συλλογής των δεδομένων κατά την οποία η συλλογή πληροφοριών γίνεται από όλα τα άτομα(στοιχεία) του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει Δείγμα είναι ένα υποσύνολο του πληθυσμού το οποίο εξετάζεται ως προς το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει Αντιπροσωπευτικό ονομάζεται ένα δείγμα ενός πληθυσμού, εάν έχει επιλεγεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε μονάδα του πληθυσμού 13

14 14 να έχει την ίδια δυνατότητα να ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τους στατιστικούς πίνακες τους χωρίζουμε σε α)γενικούς πίνακες β)ειδικούς Πίνακες ΓΕΝΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Οι γενικοί πίνακες περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα και αποτελούν τις πηγές των στατιστικών πληροφοριών στη διάθεση των ερευνητών για παραπέρα ανάλυση και εξαγωγή συμπερασμάτων ΕΙΔΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Είναι συνοπτικοί πίνακας και απλού περιεχομένου Κάθε πίνακας που έχει κατασκευαστεί σωστά πρέπει να περιέχει α)τον τίτλο που γράφεται στο πάνω μέρος του πίνακα και δηλώνει με σαφήνεια και συνοπτικά το περιεχόμενο του πίνακα β)τις επικεφαλίδες των γραμμών και στηλών που δείχνουν συνοπτικά τη φύση και της μονάδες μέτρησης των δεδομένων γ)το κύριο σώμα που περιέχει διαχωρισμένα μέσα στις γραμμές και στήλες τα στατιστικά δεδομένα δ)την πηγή που γράφεται στο κάτω μέρος του πίνακα και δείχνει την προέλευση των στατιστικών στοιχείων ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 1. Έγινε δειγματοληπτική έρευνα για το βάρος των εμπορευμάτων μιας αποθήκης λαχανικών και βρέθηκαν ότι τα βάρη σε κιλά 1 κιβωτίων ήταν 17,1,1,15,18,,4,5,19,. Να βρεθούν Ι) ο πληθυσμός ΙΙ) τα άτομα ΙΙΙ) η μεταβλητή ΙV) οι τιμές της μεταβλητής Ι)Ο πληθυσμός είναι όλα τα κιβώτια της αποθήκης ΙΙ) Αν με κ 1,κ,,κ 1 συμβολίσουμε τα 1 κιβώτια τότε τα κ 1,κ,,κ 1 είναι τα άτομα του πληθυσμού ΙΙΙ) Η μεταβλητή του πληθυσμού είναι το βάρος των κιβωτίων ΙV) Οι τιμές της μεταβλητής είναι οι αριθμοί 1,15,17,18,19,,,4,5. Μελετούμε τους κατοίκους της Θεσσαλονίκης ως προς τις ιδιότητες α) ηλικία β) ανάστημα γ) εισόδημα δ) επάγγελμα ε) μορφωτικό επίπεδο Ποιες από τις παραπάνω ιδιότητες είναι ποιοτικές και ποιες είναι ποσοτικές ;;; Ποιοτικές είναι το επάγγελμα και το μορφωτικό επίπεδο Ποσοτικές είναι η ηλικία, το ανάστημα και το εισόδημα

15 15 ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Σε κάθε τιμή της μεταβλητής Χ αντιστοιχίζεται ο φυσικός αριθμός που δηλώνει πόσα άτομα του πληθυσμού έχουν την τιμή αυτή.ο φυσικός αυτός αριθμός συμβολίζεται με ν και λέγεται συχνότητα της τιμής.to άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος Έ έ ή ή ί ό,,, ό 1 1 έ ί ό ή ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Έστω 1 οι τιμές της ποσοτικής μεταβλητής Χ και 1,,, οι αντίστοιχες συχνότητες των 1,,, τότε ο λόγος της συχνότητας της τιμής προς το μέγεθος του δείγματος λέγεται σχετική συχνότητα της τιμής και συμβολίζεται με, 1,,,, 1,,, ή ό ή ό ή Για την σχετική συχνότητα ισχύουν οι σχέσεις ή, 1,,, έ 1 1, 1,,, 1 ΑΠΟΔΕΙΞΗ

16 16 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Έστω 1 οι τιμές της ποσοτικής μεταβλητής Χ και 1,,, οι αντίστοιχες συχνότητες των 1,,, τότε ο άθροισμα όλων των συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με το ονομάζεται συχνότητα της τιμής και συμβολίζεται με, 1,,,,, 1,,, ή ό ή ό ή Για την αθροιστική συχνότητα ισχύει η σχέση,,,, ΑΠΟΔΕΙΞΗ,, ΣΧΕΤΙΚΗ ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Έστω 1 οι τιμές της ποσοτικής μεταβλητής Χ και 1,,, οι αντίστοιχες συχνότητες των 1,,, τότε ο άθροισμα όλων των σχετικών συχνοτήτων των τιμών που είναι μικρότερες ή ίσες με το ονομάζεται σχετική αθροιστική συχνότητα τιμής και συμβολίζεται με F, 1,,, F, F, 1,,, F ή ό ή ή ό ή Για την σχετική αθροιστική συχνότητα ισχύει η σχέση F, F F,,, ΑΠΟΔΕΙΞΗ,, ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Έστω ότι έχουμε ένα δείγμα 1,,, μεγέθους ν τότε ονομάζουμε μέση τιμή της μεταβλητής και τη συμβολίζεται με το πηλίκο του αθροίσματος όλων

17 17 των τιμών της μεταβλητής δια το πλήθος 1,,, ί έ ή 1 έ ή ή 1 Π ΡΟΣΟΧΗ!!! (Ι)Η μέση τιμή επηρεάζεται πολύ από τις ακραίες τιμές (ΙΙ)Η μέση μπορεί να μην είναι τιμή της μεταβλητής ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Έστω 1 οι τιμές της ποσοτικής μεταβλητής Χ και 1,,, οι αντίστοιχες συχνότητες των 1,,, τότε η μέση τιμή της μεταβλητής Χ δίνεται από την σχέση 1, 1 11, 1 έ ή ί,,, ί ό,,, 1 1 ό ή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ Η ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Έστω 1 οι τιμές της ποσοτικής μεταβλητής Χ και 1,,, οι αντίστοιχες σχετικές συχνότητες των 1,,, τότε η μέση τιμή της μεταβλητής Χ δίνεται από την σχέση έ ή ί,,, ί έ ό,,, 1 1 ή ό ή

18 18 ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Έστω 1,,, οι τιμές της ποσοτικής μεταβλητής Χ και w1, w,, w οι συντελεστές στάθμευσης (βαρύτητας) των 1,,, τότε ο σταθμικός μέσος της μεταβλητής Χ δίνεται από την σχέση w1 1 w w w w w 1 w1 1 w w w w w 1 ό έ ί,,, ί έ ά w, w,, w 1 1 w ή ά ή ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Με το νέο σύστημα για την εισαγωγή ενός μαθητή στην τριτοβάθμια εκπαίδευση θα συνυπολογίζεται ο βαθμός 1 του απολυτηρίου με συντελεστή (βάρος) w 1 7,5, ο βαθμός στο τέστ δεξιοτήτων με συντελεστή w 1, ο βαθμός 3 στο 1 ο βασικό μάθημα με συντελεστή w3 1και ο βαθμός 4 στο ο βασικό μάθημα με συντελεστή w 4,5.Εάν ο μαθητής πάρει τους βαθμούς 1 16,5, 18, 3 17, 4 16,6 τότε ο σταθμικός μέσος της επίδοσης θα είναι w1 1 w w3 3 w 1,65 7, ,6,5 w w w w 7,5 11, ,

19 19 ΔΙΑΜΕΣΟΣ (Ι)Διάμεσος ενός δείγματος ν τιμών που έχουν διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά και το ν είναι περιττός αριθμός ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση (ΙΙ)Διάμεσος ενός δείγματος ν τιμών που έχουν διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά και το ν είναι άρτιος αριθμός ορίζεται ως το ημιάθροισμα των δυο μεσαίων τιμών ή ί ί 1 ή, Ά ή 1 ή, ό ά ΠΡΟΣΟΧΗ!!! (Ι)Για να βρούμε την διάμεσο θα πρέπει το δείγμα διαταχθεί κατά αύξουσα σειρά (ΙΙ)Η διάμεσος δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Τα μέτρα θέσης μας δίνουν την θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα ΤΑ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΕΙΝΑΙ (Ι)μέση τιμή (ΙΙ)διάμεσος ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Τα μέτρα διασποράς μας δίνουν την διασπορά των παρατηρήσεων δηλαδή πως επεκτείνονται γύρω απο το «κέντρο» τους ΤΑ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΕΙΝΑΙ (Ι)εύρος (ΙΙ)Διακύμανση (ΙΙΙ)Τυπική απόκλιση (ΙV)Συντελεστής μεταβολής

20 ΕΥΡΟΣ Το εύρος ή κύμανση ορίζεται ως η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης απο την μεγαλύτερη παρατήρηση Εύρος R=(Μεγαλύτερη παρατήρηση) (Μικρότερη παρατήρηση) ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Το εύρος ως μέτρο διασποράς εξαρτάται μόνο από την μικρότερη και την μεγαλύτερη παρατήρηση ΔΙΑΣΠΟΡΑ Διασπορά (s )ονομάζουμε τη συγκέντρωση ή την απομάκρυνση των στατιστικών δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή ΔΙΑΣΠΟΡΑ ή ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ Έστω ότι έχουμε ένα δείγμα 1,,, μεγέθους ν με μέση τιμή τότε ορίζουμε μέτρο διασποράς ή διακύμανσης το s όπου 1 1 s,,,, ί έ ή 1 έ ή ή s ί έ ά ή ύ ή s 1, 1 ΔΙΑΣΠΟΡΑ ή ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΚΑΙ Η ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Έστω 1 οι τιμές της ποσοτικής μεταβλητής Χ και 1,,, οι αντίστοιχες συχνότητες των 1,,, με μέση τιμή τότε ορίζουμε μέτρο διασποράς ή διακύμανσης το s όπου 1 1 s, 1 11

21 1,,, ί έ ή ί 1 ό,,, 1 έ ή ή s ί έ ά ή ύ ή ό ή s , 1 ΔΙΑΣΠΟΡΑ ή ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΧΩΡΙΣ ΤΗΝ ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Έστω 1 οι τιμές της ποσοτικής μεταβλητής Χ και 1,,, οι αντίστοιχες συχνότητες των 1,,, τότε ορίζουμε μέτρο διασποράς ή διακύμανσης το s όπου 1 1 s, 1 1,,, ί έ ή ί 1 ό,,, 1 s ί έ ά ή ύ ή ό ή s s 1 1, 1 1 ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΚΑΙ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Αν s με s η διακύμανση της ποσοτικής μεταβλητής Χ τότε η τυπική απόκλιση της ποσοτικής μεταβλητής Χ δίνεται από την σχέση

22 s s s ύ ί ή s ή ό ί ή s s s, ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ή ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑΣ Αν s τυπική απόκλιση και η μέση τιμή της ποσοτικής μεταβλητής Χ τότε ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας ορίζεται από τον λόγο CV s 1% s ή ό ί ή έ ή ί ή CV ή ή ή ή ό ί ή s CV 1% ΠΡΟΣΟΧΗ!!! (Ι)Ο συντελεστής μεταβολής εκφράζεται επι τοις εκατό (ΙΙ) Ο συντελεστής μεταβολής είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης (ΙΙΙ)Ένα δείγμα θα είναι ομοιογενές όταν ισχύει CV 1% (ΙV)Ένα δείγμα Α έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από ένα δείγμα Β όταν CV CV ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Τα μέτρα διασποράς μας δείχνουν την διασπορά των παρατηρήσεων δηλ. τη συγκέντρωση ή την απομάκρυνση των στατιστικών δεδομένων γύρω από τη μέση τιμή ΤΑ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΕΙΝΑΙ (Ι)εύρος (ΙΙ) διασπορά ή διακύμανση (ΙΙΙ)τυπική απόκλιση (V)Συντελεστή μεταβολής ή συντελεστή μεταβλητότητας

23 3 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΣ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Έστω ότι έχουμε ένα δείγμα, 1,,, της μεταβλητής με μέση τιμη και τυπική απόκλιση s.τότε το δείγμα y c, 1,,, θα έχει μέση τιμή y c και τυπική απόκλιση s s y c, 1,,, ό y c s s y y Έστω ότι έχουμε ένα δείγμα, 1,,, της μεταβλητής με μέση τιμη και τυπική απόκλιση s.τότε το δείγμα y c, 1,,, θα έχει μέση τιμή y c και τυπική απόκλιση s c s y y c, 1,,, ό y c s c s y Έστω ότι έχουμε ένα δείγμα, 1,,, της μεταβλητής με μέση τιμη και τυπική απόκλιση s.τότε το δείγμα y, 1,,, θα έχει μέση τιμή y και τυπική απόκλιση s s y, 1,,, ό y s s y y

24 4 ΠΩΣ ΚΑΤΑΝΕΜΕΤΑΙ Ο ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΣΕ ΜΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Έ ή X έ ή ή ό s 68% ή X ί ά s, s 95% ή X ί ά s, s 99,7% ή X ί ά 3 s, 3s., ά V R 6, s R ύ V ή ί ή X ί έ 68% 95% 99,7% 3 3

25 5 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ έ ώ ό έ ώ έ ώ ό ή ί ώ 1, 1,,, ό 1 Έ ώ,,, ό,,, ί 1 1 ώ ό. ί ό ό 1,,,,,,, 1,,,, V ό V V 1 1,,, ύ ώ ό ή 1 ό ό ή ό ί ά ύ ό, ί ί ή έ ύ ό ό, ί ί ή έ ύ ό ύ ό

26 6 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ 1. ό, ί ί ή έ ύ ό ύ,, Έ έ ώ ό,, ί. ή έ., ί ό ό ύ Έ,,,, έ ώ ό,,, ί. ό έ

27 7 3. ί ό ύ 1 Α Α Ω

28 8 ή έ ή έ ί ό, ύό έ, Έ έ ώ ό, ί. ή έ Ω Β Α

29 9 5. Έ ώ,,, ό,,, ί,,, ό 1 1 ώ ό. ό ί έ 1 1 Έ ώ,,, ό,,, ί ώ ό ό ύ έ ό 1 ή,,, ί ώ ό ώ,,, ύ ί ό, ύ έ

30 3 ή ύ Έ