Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Transcript

1 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό Το ονομάζεται τιμή της στο και συμβολίζεται με, δηλαδή ( ) χόλια: Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : : Το γράμμα που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το γράμμα που παριστάνει την τιμή της στο, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης συνήθως συμβολίζεται με D ( Domus = οίκος ) ή Τι λέμε σύνολο τιμών μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο ; ύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της για όλα τα Το σύνολο τιμών της στο συμβολίζεται με Είναι δηλαδή: / για κάποιο 3 Τι λέμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Γραφική παράσταση της λέμε το σύνολο των σημείων, οποία ισχύει, δηλαδή το σύνολο των σημείων, χόλια: Η γραφική παράσταση της και συμβολίζεται συνήθως με C του επιπέδου, για τα, με Η εξίσωση, επαληθεύεται μόνο από τα σημεία της C Επομένως, η είναι η εξίσωση της γραφικής παράστασης της Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C μιας συνάρτησης, τότε: α) Το πεδίο ορισμού της είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων της C Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

2 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου β) Το σύνολο τιμών της είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της C γ) Η τιμή της στο είναι η τεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας και της C = C (Α) C () C A(,()) O Α (α) O (β) O (γ) Όταν δίνεται η γραφική παράσταση C, μιας συνάρτησης μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι συμμετρική ως προς τον άξονα, της γραφικής παράστασης της, γιατί αποτελείται από τα σημεία, που είναι συμμετρικά των, ως προς τον άξονα (χ 9) β) Η γραφική παράσταση της αποτελείται από τα τμήματα της C που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά, ως προς τον άξονα, των τμημάτων της που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν (χ ) C O = () O Μ(,()) Μ (,()) =() =() =() 4 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων α) β), γ) 3,,, g, δ),, ε) Οι γραφικές παραστάσεις είναι οι παρακάτω: α) Η πολυωνυμική συνάρτηση O O O a> a< a= Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

3 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου β) Η πολυωνυμική συνάρτηση, O α> O α< γ) Η πολυωνυμική συνάρτηση 3, O O α> α< δ) Η ρητή συνάρτηση,, O O α> α<,, g, ε) Οι συναρτήσεις O O 5 Να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων: α),, β), γ) log, Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 3 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

4 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Οι γραφικές παραστάσεις είναι οι παρακάτω: α) οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις:,, O π π =ημ (α) O π π =συν (β) π/ O π/ 3π/ =εφ (γ) και, ενώ η συνάρτηση Υπενθυμίζουμε ότι, οι συναρτήσεις περίοδο είναι περιοδικές με είναι περιοδική με περίοδο β) Η εκθετική συνάρτηση, α α O O α> (α) <α< (β) Ιδιότητες: Υπενθυμίζουμε ότι: Αν, τότε: Αν, τότε: γ) Η λογαριθμική συνάρτηση log, Όταν e τη συμβολίζουμε ( ) ln Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 4 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

5 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου O α O α α> (α) <α< (β) Ιδιότητες: ) log log ) log και a 3) log και log log log log 4) 5) log log log log log 6) 7) Αν, τότε: log log, ενώ αν, log log 8) e ln ln, αφού e 6 Πότε δύο συναρτήσεις, g λέγονται ίσες; Δύο συναρτήσεις και g λέγονται ίσες όταν: Έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και Για κάθε ισχύει g Έστω τώρα, g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντιστοίχως και Γ ένα υποσύνολο των Α και Β Αν για κάθε ισχύει ( ) g( ), τότε λέμε ότι οι συναρτήσεις και g είναι ίσες στο σύνολο Γ Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις Ο Γ B A ( ) και g ( ), που έχουν πεδία ορισμού τα σύνολα A R {} και B R {} αντιστοίχως, είναι ίσες στο σύνολο Γ R {,}, αφού για κάθε ισχύει ( ) g( ) Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 5 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

6 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου 7 Πώς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης, γινομένου και πηλίκου δύο συναρτήσεων, g ; Ορίζουμε ως άθροισμα συναρτήσεων, g τις συναρτήσεις με τύπους g, διαφορά g, γινόμενο g και πηλίκο g δύο g g g g g g g g,,, Το πεδίο ορισμού των g, g και g είναι η τομή των πεδίων ορισμού και των συναρτήσεων και g αντιστοίχως, ενώ το πεδίο ορισμού της, εξαιρουμένων των τιμών του που μηδενίζουν τον παρονομαστή το σύνολο και, με g g είναι το g, δηλαδή 8 Τι λέμε σύνθεση της συνάρτησης με τη συνάρτηση g ; (A) B A () g(b) A g g g( ()) Αν, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού, αντιστοίχως, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την g, και την συμβολίζουμε με g go g χόλια:, τη συνάρτηση με τύπο α) Το πεδίο ορισμού της g αποτελείται από όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού της για τα οποία τα ανήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλαδή είναι το σύνολο Είναι φανερό ότι η go ορίζεται, αν, δηλαδή αν β) Γενικά, αν, g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι go και og, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 6 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

7 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου γ) Αν, g, h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η ho go τότε ορίζεται και η και ισχύει ho go hog o Τη συνάρτηση αυτή τη λέμε σύνθεση των, hog o g και h, τη συμβολίζουμε με hogo Η σύνθεση συναρτήσεων γενικεύεται και για περισσότερες από τρεις συναρτήσεις 9 Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα ; Η συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με ισχύει: (σχήμα α ) Η συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, με ( ) ( ) ισχύει: () () ( σχήμα β ) Ο Δ (a) Ο Δ (β) Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού λέμε ότι παρουσιάζει στο ολικό μέγιστο και πότε ολικό ελάχιστο; Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού θα λέμε ότι: Παρουσιάζει στο ( σχήμα α ) Παρουσιάζει στο ( σχήμα β ) (ολικό) μέγιστο, το, όταν για κάθε (ολικό) ελάχιστο, το, όταν για κάθε () C ( ) () () O O (β) (a) C Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 7 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

8 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού λέγεται ; Μια συνάρτηση : λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, ισχύει η συνεπαγωγή: χόλια, τότε α) Μια συνάρτηση : λέγεται συνάρτηση, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε ισχύει η συνεπαγωγή:, πρόταση ), τότε ( Αντιθετοαντίστροφη Προσοχή να μη συγχέουμε με τον ορισμό της συνάρτησης, δηλαδή την ισοδυναμία: β) Από τον ορισμό προκύπτει ότι μια συνάρτηση είναι, αν και μόνο αν: Για κάθε στοιχείο του συνόλου τιμών της η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση ως προς Δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής της παράστασης με την ίδια τεταγμένη Αυτό σημαίνει ότι κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της το πολύ σε ένα σημείο Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που είναι αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες =() O, Παράδειγμα : Η συνάρτηση g,, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη είναι O =g() Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού αντιστρέφεται ; Πώς ορίζουμε την αντίστροφη συνάρτηση ; Μια συνάρτηση : αντιστρέφεται, αν και μόνο αν είναι Η αντίστροφη συνάρτηση της που συμβολίζεται με ορίζεται από τη σχέση Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 8 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

9 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου χόλια: α) Ισχύει ότι:, και, β) Η αντίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της, και σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού της γ) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων και ως προς τη ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες και : είναι συμμετρικές Ας πάρουμε μια συνάρτηση και ας θεωρήσουμε τις γραφικές παραστάσεις C και C των και της στο ίδιο σύστημα αξόνων Επειδή ( ) ( ), C M(α,β) M (β,α) αν ένα σημείο M ( α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση C της, τότε το σημείο Μ ( β, α) θα ανήκει στη γραφική παράσταση C της και αντιστρόφως Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες O και O = O C Ποια πρόταση συνδέει το όριο της στο και τα πλευρικά όρια της στο ; Ισχύει ότι: Αν μια συνάρτηση είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,,, τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim lim lim Παρατηρήσεις στο όριο α) Ισχύει ότι: i lim l lim l ii lim lim l h l h β) Τους αριθμούς l και l lim l l lim τους λέμε πλευρικά όρια της στο και συγκεκριμένα το l αριστερό όριο της στο, ενώ το l δεξιό όριο της στο Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 9 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

10 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου γ) Για να αναζητήσουμε το όριο της στο, πρέπει η να ορίζεται όσο θέλουμε «κοντά στο», δηλαδή η να είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,, ή ή,, Το μπορεί να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης ή να μην ανήκει σε αυτό Η τιμή της στο, όταν υπάρχει, μπορεί να είναι ίση με το όριό της στο ή διαφορετική από αυτό δ) Ισχύει ότι lim και lim c c Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση έχει κοντά στο μια ιδιότητα ; Μια συνάρτηση λέμε ότι έχει κοντά στο μια ιδιότητα, όταν ισχύει μια από τις παρακάτω τρεις συνθήκες: α) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,, έχει την ιδιότητα και το σύνολο αυτό β) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής,, έχει σ αυτό την ιδιότητα, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής γ) Η είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής, αλλά δεν ορίζεται σε σύνολο της μορφής,,, έχει σ αυτό την ιδιότητα, 3 Να γράψετε τις ιδιότητες των ορίων στο Για το όριο ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: α) Θεώρημα ο Αν lim, τότε Αν lim, τότε κοντά στο κοντά στο β) Θεώρημα ο Αν οι συναρτήσεις, g έχουν όριο στο lim lim g ( σχήμα α και β ) και ισχύει g κοντά στο, τότε Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

11 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου C C C g C g O α β O α β (a) (β) γ) Θεώρημα 3 ο Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων και g στο, τότε: i lim g lim lim g ii lim lim iii lim g lim lim g iv για κάθε σταθερά lim g lim, εφόσον lim g g v lim lim lim vi lim lim, εφόσον κοντά στο δ) θεώρημα 4 ο και Έστω τώρα το πολυώνυμο : ύμφωνα με τις ιδιότητες των ορίων έχουμε: Είναι τότε: lim lim lim lim lim lim lim lim lim Επομένως, lim Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

12 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Έστω η ρητή συνάρτηση, όπου, Q Q με Q Θα είναι τότε: lim, όπου Q Q πολυώνυμα του και Q ε) Θεώρημα 5 ο Κριτήριο παρεμβολής: Έστω οι συναρτήσεις, g, h Αν h g κοντά στο και lim h lim g l, C g C τότε lim l O C h α β στ) Ισχύει ότι:, για κάθε Η ισότητα ισχύει μόνο όταν lim lim lim lim 5 Έστω η ρητή συνάρτηση, όπου, Q Q και με Q Να δείξετε ότι: lim, όπου Q Q Έχουμε, lim lim lim Q lim Q Q Επομένως, πολυώνυμα του Q Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

13 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου lim Q εφόσον Q Q 6 Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο της σύνθετης συνάρτησης g στο σημείο, δηλαδή το lim g ) Θέτουμε u g, τότε εργαζόμαστε ως εξής: ) Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το u g lim και 3) Υπολογίζουμε (αν υπάρχει) το l u g Αν lim lim uu u κοντά στο, τότε το ζητούμενο όριο είναι ίσο με l, δηλαδή ισχύει: lim g u uu 7 Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων,,,, ισχύουν οι παρακάτω που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής ισοδυναμίες: α) lim lim lim β) lim lim lim γ) Αν lim κοντά στο δ) Αν lim lim, τότε κοντά στο, ενώ αν, τότε lim lim, ενώ αν lim, τότε, τότε ε) Αν lim ή, τότε lim Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 3 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

14 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου στ) Αν και lim και lim κοντά στο, τότε lim κοντά στο, τότε lim, ενώ αν ζ) Αν lim ή, τότε lim η) Αν lim, τότε lim k θ) i) lim και γενικά lim, ii) lim, και lim, * ι) Για το άθροισμα και το γινόμενο ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα: ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο αθροίσματος) Αν στο το όριο της είναι: και το όριο της g είναι: τότε το όριο της g είναι: ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γινομένου) Αν στο το όριο της είναι: και το όριο της g είναι: τότε το όριο της g είναι: α> α< α> α< ; ; χόλιο: Οι παρακάτω μορφές λέγονται απροσδιόριστες μορφές:,,,,, 8 Να γράψετε τις ιδιότητες για το όριο στο άπειρο α) Για τον υπολογισμό του ορίου στο ή ενός μεγάλου αριθμού συναρτήσεων χρειαζόμαστε το παρακάτω βασικά όρια: Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 4 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

15 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου lim και lim,, ά lim και, ό * lim, * β) Για την πολυωνυμική συνάρτηση lim lim και lim lim, με ισχύει: γ) Για τη ρητή συνάρτηση,, ισχύει: lim lim και lim lim δ) Για το όριο εκθετικής - λογαριθμικής συνάρτησης ισχύει ότι: Αν (χ 6), τότε lim, lim =a =log a limlog, lim log O Αν (χ 6), τότε lim, lim limlog, lim log =a O χόλια: =log a Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο, πρέπει η να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής, Για να αναζητήσουμε το όριο μιας συνάρτησης στο, πρέπει η να είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής, Για τα όρια στο, ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες των ορίων στο με την προϋπόθεση ότι: - οι συναρτήσεις είναι ορισμένες σε κατάλληλα σύνολα και - δεν καταλήγουμε σε απροσδιόριστη μορφή Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 5 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

16 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της, όταν lim χόλια: α) ύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν: i) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή ii) Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, στο σημείο β) Μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, συνεχής συνάρτηση γ) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής, αφού για κάθε ισχύει lim Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής, αφού για κάθε του πεδίου ορισμού της Q ισχύει lim Q Οι συναρτήσεις Q και g ισχύει lim και lim Οι συναρτήσεις και g log, είναι συνεχείς αφού για κάθε είναι συνεχείς Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων Για τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις: Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 6 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

17 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου g, c, όπου c, g,, και με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε g ένα διάστημα που περιέχει το 3 Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Για τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο, και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα, και πότε στο κλειστό διάστημα, ; Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, και επιπλέον lim και lim 5 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία του Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν: Η είναι συνεχής στο, και, επιπλέον, ισχύει, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε, Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα, χόλια: Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα ( σχήμα α και β ) Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 7 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

18 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου ()> O a β O a ()< β (α) (β) Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Bolzano το διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης στο [ α, β] Επειδή τα σημεία A ( α, ( α)) και B ( β, ( β)) βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σημείο σε ένα τουλάχιστον (β) O (a) a Α(α,(α)) β B(β,(β)) Θεώρημα 6 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν: Η είναι συνεχής στο, και (β) η (a) Α(α,(α)) B(β,(β)) =η Τότε, για κάθε αριθμό μεταξύ των και υπάρχει ένας, τουλάχιστον,, τέτοιος, ώστε O a β Ας υποθέσουμε ότι Τότε θα ισχύει θεωρήσουμε τη συνάρτηση g,, (χ 67) Αν, παρατηρούμε ότι: Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 8 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

19 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Η g είναι συνεχής στο, και g g, Αφού g και g Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει, οπότε χόλια: τέτοιο, ώστε, α) Η εικόνα ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα β) Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι,, όπου lim και lim Αν, όμως, η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο,, το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι Γεωμετρική ερμηνεία του ΘΕΤ:, τότε Η οριζόντια ευθεία = n τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης τουλάχιστον μια φορά 7 Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης - ελάχιστης τιμής Το θεώρημα μέγιστης - ελάχιστης τιμής διατυπώνεται ως εξής: Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο,, τότε η παίρνει στο, μια μέγιστη τιμή και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν,, τέτοια, ώστε, αν m και m, για κάθε, χόλιο:, να ισχύει Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το, είναι το κλειστό διάστημα m,, όπου m η ελάχιστη τιμή και η μέγιστη τιμή της Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 9 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

20 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Πότε μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της; Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνο αν υπάρχει το lim αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο lim και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο και συμβολίζεται με Δηλαδή: χόλια α) Αν, τώρα, στην ισότητα h lim h h lim θέσουμε h, τότε έχουμε β) Αν το είναι εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είναι παραγωγίσιμη στο, αν και μόνο αν υπάρχουν στο lim, lim και είναι ίσα τα όρια Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο, να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της Η εξίσωση της εφαπτομένης της χόλιο: C στο σημείο της, C στο σημείο της, Την κλίση της εφαπτομένης στο, ή κλίση της στο είναι: θα τη λέμε κλίση της C στο Θεώρημα Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

21 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου 3 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Για έχουμε lim lim lim lim αφού η είναι παραγωγίσιμη στο συνεχής στο χόλιο:, οπότε θα είναι: Επομένως, lim, δηλαδή η είναι Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Ισχύει όμως ότι: Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σ ένα σημείο, τότε, δεν μπορεί να είναι παραγωγίσιμη στο Ορισμός 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται: α) Παραγωγίσιμη στο σύνολο β) Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, γ) Παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα, Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Θα λέμε ότι: α) Η είναι παραγωγίσιμη στο ή, απλά, παραγωγίσιμη, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο β) Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα, του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο, γ) Η είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα, του πεδίου ορισμού της, όταν είναι παραγωγίσιμη στο, και επιπλέον ισχύει: lim και lim Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

22 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου 5 Να αποδείξετε ότι: α) Αν c, τότε β) Αν, τότε γ) Αν, με,, τότε δ) Αν, τότε α) Για ισχύει: Επομένως,, c c lim, β) Για ισχύει ότι: Επομένως, δηλαδή c lim lim, δηλαδή γ) Αν είναι ένα σημείο του, τότε για ισχύει:, δηλαδή δ) Αν είναι ένα σημείο του,, τότε για ισχύει: οπότε: lim lim, δηλαδή, χόλια Τύποι: Έστω συνάρτηση, δηλαδή Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

23 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Έστω η συνάρτηση ισχύει Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και, δηλαδή Έστω η συνάρτηση e ισχύει Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και e, δηλαδή e e Έστω η συνάρτηση ln Αποδεικνύεται ότι η είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει, δηλαδή ln Θεώρημα 6 Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g g Για, ισχύει: g g g g g g g Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g lim lim lim δηλαδή g g g, χόλια Τύποι: Α) Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, τότε η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο επομένως ότι: και ισχύει: g g g g είναι Ισχύει - Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα, τότε για κάθε ισχύει: g g g - Αν είναι παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα και c, επειδή c, σύμφωνα με το θεώρημα () έχουμε: c c Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 3 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

24 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Β) Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: g g g g Ισχύει επομένως ότι: και g, τότε και η Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες σ ένα διάστημα, και για κάθε g g ισχύει g, τότε για κάθε έχουμε: g g * Γ) Έστω η συνάρτηση και ισχύει,, Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο δηλαδή * Πράγματι, για κάθε * έχουμε: Δ) - Έστω η συνάρτηση Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει, δηλαδή Πράγματι, για κάθε έχουμε: - Έστω η συνάρτηση Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει, δηλαδή Θεώρημα Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 4 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

25 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου 7 Αν η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και η είναι παραγωγίσιμη στο g, τότε η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει g g g χόλια: Γενικά, αν μια συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και η είναι παραγωγίσιμη στο g, τότε η συνάρτηση g g g Δηλαδή, αν u g, τότε u και u g της αλυσίδας, έχουμε τον τύπο g είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει u u u Με το συμβολισμό του Leibniz, αν d d du που είναι γνωστός ως κανόνας d du d Θεώρημα 8 Να αποδείξετε ότι: α) Η συνάρτηση, Q είναι παραγωγίσιμη στο, β) Η συνάρτηση, ln, γ) Η συνάρτηση * ln είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ln, είναι παραγωγίσιμη στο, και ισχύει * και ισχύει α) Πράγματι, αν ln και θέσουμε u ln e u u ln e e u e β) Πράγματι, αν ln e ln, τότε έχουμε και θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u e e u e ln ln u e Επομένως, u e Επομένως, γ) Πράγματι,, τότε ln ln - αν ενώ Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 5 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

26 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου, τότε ln ln, οπότε, αν θέσουμε ln - αν και u, έχουμε ln u Επομένως, ln u u και άρα ln u 9 Τι λέμε ρυθμό μεταβολής του μεγέθους ως προς το μέγεθος για, αν είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση; Αν δύο μεταβλητά μεγέθη, συνδέονται με τη σχέση, όταν είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του ως προς το στο σημείο την παράγωγο Να διατυπώσετε το θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική ερμηνεία Το θεώρημα του Rolle διατυπώνεται ως εξής: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα, παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, και Μ(ξ,(ξ)) Α(α,(α)) Β(β,(β)) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε O α ξ ξ β Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,,, εφαπτομένη της C στο τέτοιο, ώστε η να είναι παράλληλη στον άξονα των Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέσης τιμής διαφορικού λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Αν μια συνάρτηση είναι: Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 6 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

27 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου συνεχής στο κλειστό διάστημα, και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, M(ξ,(ξ)) Β(β,(β)) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της στο σημείο, παράλληλη της ευθείας A(a,(a)) Ο a ξ ξ τέτοιο, ώστε η να είναι β Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Αν η είναι συνεχής στο και για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, Αν Αν μέσης τιμής, τότε προφανώς, τότε στο διάστημα, ισχύει Επομένως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε Πράγματι η ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος είναι εσωτερικό σημείο του, ισχύει, οπότε, λόγω της (), είναι Αν, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι () Επειδή το ε όλες, Θεώρημα 3 Έστω δύο συναρτήσεις, g ορισμένες σε ένα διάστημα Αν οι, g είναι συνεχείς στο και g για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει: g c Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 7 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

28 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Η συνάρτηση g είναι συνεχής και για κάθε εσωτερικό σημείο ισχύει g g Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση g είναι σταθερή στο Άρα, υπάρχει σταθερά C τέτοια, ώστε για κάθε να ισχύει g c, οπότε g c χόλιο: =g()+c =g() O Τα παραπάνω θεωρήματα (3 και 4) ισχύουν σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων 4 Πρόταση (χωρίς απόδειξη) Αν για μια συνάρτηση ισχύει ότι για κάθε, τότε ce κάθε χόλια: Αντί του μπορούμε να έχουμε τυχαίο διάστημα Η απόδειξη της πρότασης είναι καλή μεθοδολογία για την εύρεση σταθεράς c σε σχέση ύνω ως προς c, θεωρώ συνάρτηση αποδεικνύω ότι έχει παράγωγο μηδέν και με μια τυχαία τιμή βρίσκω το c Επίσης ισχύει : ( ) ( ) για κάθε, τότε ce για κάθε για Θεώρημα 5 Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που είναι Έστω, με Θα δείξουμε ότι Πράγματι στο διάστημα, τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει, τέτοιο, ώστε, οπότε έχουμε και Επειδή, έχουμε, οπότε η ικανοποιεί Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 8 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

29 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου την περίπτωση που είναι εργαζόμαστε αναλόγως χόλιο: Το αντίστροφο του παραπάνω θεωρήματος δεν ισχύει Δηλαδή, αν η είναι γνησίως αύξουσα (αντιστοίχως γνησίως φθίνουσα) στο, η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική (αντιστοίχως αρνητική) στο εσωτερικό του 6 Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο και πότε τοπικό ελάχιστο; α) Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει, Το τοπικό μέγιστο της, τέτοιο ώστε: για κάθε λέγετε θέση ή σημείο τοπικού μέγιστου, ενώ το β) Μια συνάρτηση, με πεδίο ορισμού, θα λέμε ότι παρουσιάζει στο τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει, Το τοπικό ελάχιστο της χόλιο:, τέτοιο ώστε: για κάθε λέγετε θέση ή σημείο τοπικού ελάχιστου, ενώ το α) Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο, τότε αυτό θα είναι μεγαλύτερο από τα τοπικά μέγιστα, ενώ αν παρουσιάζει, ελάχιστο, τότε αυτό θα είναι μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα β) Το μεγαλύτερο όμως από τα τοπικά μέγιστα μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε μέγιστο αυτής Επίσης το μικρότερο από τα τοπικά ελάχιστα μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε ελάχιστο της συνάρτησης Θεώρημα Fermat 7 Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα και ένα εσωτερικό σημείο του Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι: Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 9 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

30 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Ας υποθέσουμε ότι η παρουσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είναι εσωτερικό σημείο του και η παρουσιάζει σ αυτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει τέτοιο, ώστε:, και, για κάθε, επιπλέον, η είναι παραγωγίσιμη στο, ισχύει lim lim Επομένως, - αν,, τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε lim - αν, (), τότε, λόγω της (), θα είναι, οπότε θα έχουμε lim (3) Έτσι, από τις () και (3) έχουμε Η απόδειξη για το τοπικό ελάχιστο είναι ανάλογη () Επειδή, 8 α) Ποια λέγονται κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα ; β) Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις ακροτάτων μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα ; α) Κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης στο διάστημα λέγονται τα εσωτερικά σημεία του, στα οποία η δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν β) Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα είναι: Τα εσωτερικά σημεία του στα οποία η παράγωγος της μηδενίζεται Τα εσωτερικά σημεία του στα οποία η δεν παραγωγίζεται 3 Τα άκρα του (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της) 9 Πως βρίσκουμε τα ολικά ακρότατα σε μια συνεχή συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα; Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 3 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

31 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Για την εύρεση του μέγιστου και ελάχιστου της συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα εργαζόμαστε ως εξής: Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία της Υπολογίζουμε τις τιμές της στα σημεία αυτά και στα άκρα των διαστημάτων 3 Από αυτές τις τιμές η μεγαλύτερη είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο της Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα,, με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η είναι συνεχής Αν στο και στο, τότε το μέγιστο της, Αν η διατηρεί πρόσημο στο,,, τότε το τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο, Επειδή για κάθε, και η είναι συνεχής αύξουσα στο, Έτσι έχουμε, για κάθε, για κάθε, και η είναι συνεχής στο Έτσι έχουμε:, για κάθε φθίνουσα στο, > <, είναι τοπικό δεν είναι, η είναι γνησίως () Επειδή, η είναι γνησίως () >, < ( ) () O a β O a β Επομένως, λόγω των () και (), ισχύει:, για κάθε, ότι το είναι μέγιστο της στο, Έστω ότι, για κάθε,, και άρα τοπικό μέγιστο αυτής, που σημαίνει > > > > O a β O a β Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 3 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

32 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Επειδή η είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα, και, Επομένως, για ισχύει Άρα το τώρα, ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο δεν είναι τοπικό ακρότατο της Θα δείξουμε,, Πράγματι, έστω,, - Αν,,, επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο, - Αν,,, επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο, - Τέλος, αν, τότε όπως είδαμε με, θα ισχύει, θα ισχύει Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει αύξουσα στο, Ομοίως, αν, για κάθε,,, οπότε η είναι γνησίως Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα ; Η συνάρτηση λέγεται κυρτή ή ότι στρέφει τα κοίλα άνω σ ένα διάστημα όταν είναι συνεχής στο και η είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Η συνάρτηση λέγεται κοίλη ή ότι στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο, αν είναι συνεχής στο και η είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Να διατυπώσετε το θεώρημα που αφορά τα κοίλα και το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου της Ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστημα και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Αν για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είναι κυρτή στο Αν για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η είναι κοίλη στο 3 Πότε το σημείο, λέγεται σημείο καμπής μιας συνάρτησης ; Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 3 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

33 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Το σημείο, όταν: ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της, Η είναι κυρτή στο, και κοίλη στο, C έχει εφαπτομένη στο σημείο, η χόλιο: Όταν το, είναι σημείο καμπής της καμπή και το λέγεται θέση σημείου καμπής, ή αντιστρόφως, και C, τότε λέμε ότι η παρουσιάζει στο 4 Ποιο θεώρημα αφορά τα σημεία καμπής μιας συνάρτησης που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη ; Για τα σημεία καμπής ισχύει το επόμενο θεώρημα: Αν το, είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της και η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ; Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα είναι: Τα εσωτερικά σημεία του στα οποία η μηδενίζεται Τα εσωτερικά σημεία του στα οποία δεν υπάρχει η Μέθοδος - Κριτήριο: Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του και Ορίζεται εφαπτομένη της τότε το, C στο,, και, είναι σημείο καμπής της C, Αν 5 Πότε λέμε ότι η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C ; Η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της, αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim, lim είναι ή Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 33 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

34 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου 6 Πότε λέμε ότι η ευθεία l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (αντιστοίχως στο ); Η ευθεία l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο (αντιστοίχως στο ), όταν lim l (αντιστοίχως lim l ) 7 Πότε η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, αντιστοίχως στο ; Η ευθεία λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, αντιστοίχως στο, αν lim, αντιστοίχως αν lim 8 Με ποιες σχέσεις (τύπους) βρίσκουμε τις ασύμπτωτες της μορφής ; Ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της στο, αντιστοίχως στο, αν και μόνο αν αντιστοίχως: lim Χρήσιμα σχόλια: Αποδεικνύεται ότι: lim και και lim lim, - Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δεν έχουν ασύμπτωτες - Οι ρητές συναρτήσεις Q, με βαθμό του αριθμητή μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δύο του βαθμού του παρονομαστή, δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες ύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς, ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης αναζητούμε: - τα άκρα των διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η δεν ορίζεται - τα σημεία του πεδίου ορισμού της, στα οποία η δεν είναι συνεχής - το,, εφόσον η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα της μορφής,, αντιστοίχως, Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 34 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

35 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου 9 Να διατυπώσετε τους κανόνες de L Hospital ος Κανόνας Αν g g lim, lim,,, σε περιοχή του εξαίρεση ίσως το και υπάρχει το lim lim g g ος Κανόνας lim g (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: Αν g g με lim, lim,,, σε περιοχή του με εξαίρεση ίσως το και υπάρχει το lim lim g g χόλιο: lim g (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε: α) Οι παραπάνω τύποι απαιτούν προσοχή κατά την εφαρμογή τους β) τις υποθέσεις είναι απαραίτητο να συμπληρώνουμε την g σε μια περιοχή του, με εξαίρεση ίσως το Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 35 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

36 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα ; Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο ονομάζουμε κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει: F, για κάθε Θεώρημα Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Αν F είναι μια παράγουσα της στο, να αποδείξετε ότι: Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G F c, c, είναι παράγουσες της στο Κάθε άλλη παράγουσα G της στο παίρνει τη μορφή G F c, c Κάθε συνάρτηση της μορφής G F c, όπου c, είναι μια παράγουσα της στο, αφού G F c F, για κάθε Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της στο Τότε, για κάθε ισχύουν οι σχέσεις F και G, οπότε: G F Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε G F c, για κάθε, για κάθε 3 Να δώσετε τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα, Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο, Με τα σημεία χωρίζουμε το διάστημα, σε ισομήκη O a= ξ ξ υποδιαστήματα μήκους τη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα,,, και σχηματίζουμε το άθροισμα,, για κάθε S το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: S Το όριο του αθροίσματος S, δηλαδή το =() ξk v- ξv v=β Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 36 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

37 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου lim σημείων Το παραπάνω όριο ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς υπάρχει στο και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων συνάρτησης από το στο, συμβολίζεται με d και διαβάζεται «ολοκλήρωμα της από το στο» Δηλαδή, lim d 4 Να γράψετε τις ιδιότητες του ολοκληρώματος α) Ισχύει ότι: d d d d Αν για κάθε,, τότε d β) Έστω, g συνεχείς συναρτήσεις στο, και, d d g d d g d και γενικά g d d g d Τότε ισχύουν: γ) Αν η είναι συνεχής σε ένα διάστημα και,,, τότε ισχύει d d d δ) Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα, Αν για κάθε, και η συνάρτηση δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε d 5 Να γράψετε την παράγωγο της συνάρτησης, είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα Ισχύει ότι: χόλια: F t dt, για κάθε Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 37 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: F d, όπου

38 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου α) Γενικότερα έχουμε το εξής θεώρημα: Αν είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και είναι ένα σημείο του, τότε η συνάρτηση, είναι μια παράγουσα της στο Δηλαδή ισχύει: t dt για κάθε F t dt, β) Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα παραγώγισης σύνθετης συνάρτησης g προκύπτει ότι: t dt g g, με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα Θεώρημα 5 Έστω μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα, Αν G είναι μια παράγουσα της στο,, να αποδείξετε ότι: t dt G G ύμφωνα με το γνωστό θεώρημα, η συνάρτηση F t dt είναι μια παράγουσα της στο, Επειδή και η G είναι μια παράγουσα της στο,, θα υπάρχει c τέτοιο, ώστε G F c () Από την (), για, έχουμε G F c t dt c c Επομένως, G F G, οπότε, για, έχουμε, οπότε c G και άρα t dt G G G F G t dt G 6 Να γράψετε τους τύπους της παραγοντικής ολοκλήρωσης και της αντικατάστασης για το ορισμένο ολοκλήρωμα α) Ισχύει ότι: g d g g d, όπου, g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο, u β) Ισχύει ότι: g g d u du, όπου, g είναι συνεχείς συναρτήσεις, du u g d και u g u g, Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 38 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

39 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου 7 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε, και η συνάρτηση είναι συνεχής Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα, και για κάθε, τότε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα είναι d 8 Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς στο, με g για κάθε, τότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και δίνεται από τον τύπο: g d =() =() Ω =g() Ω =g() Ω O (α) O (β) Έστω δύο συναρτήσεις και g συνεχείς στο διάστημα κάθε, O (γ), με g για και το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες Παρατηρούμε ότι και (χ 8α) d g d g d Επομένως, g d () 9 Να αποδείξετε ότι αν για τις συναρτήσεις, g είναι g για κάθε, τότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και δίνεται από τον τύπο: g d Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 39 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

40 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Επειδή οι συναρτήσεις, g είναι συνεχείς στο,, θα υπάρχει αριθμός c τέτοιος, ώστε c g c, για κάθε, έχει το ίδιο εμβαδόν με το χωρίο Είναι φανερό ότι το χωρίο (χα) =()+c Ω =() Ω =g()+c α O β α O β =g() (α) (β) Επομένως, σύμφωνα με τον τύπο (), έχουμε: c g cd g d Άρα χόλια: g d α)όταν η διαφορά g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημα στο,, τότε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των, g και τις ευθείες και είναι ίσο με g d β) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τον άξονα, τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g, με, και τις ευθείες και είναι ίσο με: g για κάθε g d Πράγματι, επειδή ο άξονας είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, έχουμε g d g d g d Επομένως, αν για μια συνάρτηση g ισχύει g για κάθε, g d, τότε: O α Ω β =g() Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 4 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

41 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου ΘΕΜΑ ο Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως μονότονη στο, τότε η γνησίως μονότονη στο με ίδιο είδος μονοτονίας με την είναι Επειδή η είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της, έπεται ότι η είναι συνάρτηση, οπότε η έχει αντίστροφη συνάρτηση και το πεδίο ορισμού της είναι το Έστω ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, θα δείξουμε ότι η στο είναι γνησίως αύξουσα Υποθέτουμε ότι η, με δεν είναι γνησίως αύξουσα στο και, τότε θα υπάρχουν Έχουμε όμως * : άτοπο αφού (*) (αφού Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η, για κάθε ) είναι γνησίως αύξουσα στο Ομοίως αποδεικνύεται ότι αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο, τότε και η γνησίως φθίνουσα στο είναι Από όλα τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι αν η είναι γνησίως μονότονη στο, τότε και η είναι γνησίως μονότονη στο με το ίδιο είδος μονοτονίας με την ΘΕΜΑ ο Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως αύξουσα στο, να δείξετε ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση Έστω μια ρίζα της εξίσωσης, τότε θα ισχύει : της προκύπτει ότι, και ( αφού Έχουμε : Θα δείξουμε ότι Από ) Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 4 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

42 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Έστω ότι, τότε θα είναι ή Υποθέτουμε ότι :, τότε θα έχουμε, ΑΤΟΠΟ, αφού, υποθέσαμε ότι Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι, οπότε ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης εξίσωσης είναι και ρίζα της εξίσωσης Αντιστρόφως Έστω μια ρίζα της εξίσωσης προκύπτει ότι και Από την 3 έχουμε Επομένως είναι Άρα κάθε ρίζα της, τότε θα ισχύει :3 ( αφού ) : 4 Από 3 και 4 προκύπτει ότι εξίσωσης Επομένως κάθε ρίζα της εξίσωσης εξίσωσης Από την 3 Άρα ο αριθμός είναι ρίζα της Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι εξισώσεις και ισοδύναμες είναι και ρίζα της είναι ΘΕΜΑ 3 ο Αν για τις συναρτήσεις, : lim g Επειδή είναι, τότε είναι και lim g g ισχύει g lim κοντά στο και είναι έπεται ότι ισχύει g κοντά στο Ακόμα δόθηκε ότι ισχύει g κοντά στο Έτσι κοντά στο ισχύει g κοντά στο ισχύει: : g, οπότε Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 4 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

43 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Είναι ότι lim και lim lim g ( αφού lim g οπότε, λόγω της, προκύπτει Επειδή είναι lim lim και ισχύει, δηλαδή lim κοντά στο, έπεται ότι ημείωση: Αν ισχύει g κοντά στο και είναι lim lim g, τότε και ΘΕΜΑ 4 ο Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος και ισχύει είναι αύξουσα στο Έστω, με εσωτερικό του και είναι παραγωγίσιμη στο για κάθε εσωτερικό σημείο του, τότε η Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα, παραγωγίσιμη στο,, έπεται ότι η είναι συνεχής στο,,,, άρα υπάρχει, ώστε : Είναι όμως και, οπότε η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο και (αφού ) οπότε έχουμε: Επομένως για κάθε, με αύξουσα στο ισχύει, οπότε η είναι ημείωση: Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του και για κάθε εσωτερικό σημείο του ισχύει είναι φθίνουσα στο διάστημα, τότε η Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 43 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

44 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου ΘΕΜΑ 5 ο Αν η συνάρτηση :, όπου διάστημα, είναι συνεχής στο και ισχύει για κάθε και t dt Θεωρώ την συνάρτηση g με,, τότε είναι t dt, ( σταθερό σημείο του ) Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα έπεται ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο με g, για κάθε Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα και ισχύει για κάθε έπεται ότι η διατηρεί στο σταθερό πρόσημο, οπότε θα είναι για κάθε ή για κάθε, δηλαδή θα είναι g για κάθε ή g κάθε για Επομένως η g θα είναι γνησίως αύξουσα στο ή γνησίως φθίνουσα στο Έτσι, η g ως γνησίως μονότονη στο, είναι συνάρτηση Έχουμε, t dt t dt t dt Άρα είναι g t dt t dt t dt g t dt ( ί g ί ά ) ΘΕΜΑ 6 ο Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο d Θεωρώ την συνάρτηση g t dt,,,, τότε υπάρχει, ώστε Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 44 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

45 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Επειδή η είναι συνεχής στο, έπεται ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο, με g για κάθε,, υπάρχει,, ώστε, οπότε η g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο ( αφού η g είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, ) Επομένως g g t dt t dt g t dt t dt ΘΕΜΑ 7 ο Αν οι συναρτήσεις, g:, είναι συνεχείς και ισχύει g κάθε, τότε d g d για Θεωρώ τη συνάρτηση h g,, Η h είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων Ακόμα για κάθε, ισχύει g g h Επειδή η h είναι συνεχής στο h d g d, και ισχύει h για κάθε, d g d Βασικές ανισότητες d g d, έπεται ότι ), για κάθε ( η ισότητα ισχύει μόνο αν ) ) e (μία από τις αποδείξεις στο θέμα ) ( η ισότητα ισχύει μόνο αν ) 3) ln, για κάθε ( η ισότητα ισχύει μόνο αν ) 4), για κάθε, ( η ισότητα ισχύει μόνο αν ) 5), για κάθε ( η ισότητα ισχύει μόνο αν ) Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 45 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

46 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου 6) Αν m M, για κάθε τότε m M m M mm ΘΕΜΑ 8 ο Αν η συνάρτηση :, ( : διάστημα ), είναι παραγωγίσιμη και ισχύει για κάθε, τότε η είναι συνάρτηση Υποθέτουμε ότι η ΔΕΝ είναι συνάρτηση, τότε θα υπάρχουν, με και Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα και συνεχής στο και παραγωγίσιμη,, Ακόμη είναι,, οπότε υπάρχει, ώστε, έπεται ότι η είναι Άρα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ Rolle στο, ΑΤΟΠΟ, αφού δόθηκε ότι για κάθε Επομένως η είναι συνάρτηση ΘΕΜΑ 9 ο Αν η συνάρτηση :, ( : διάστημα ), είναι συνεχής και, τότε η είναι γνησίως μονότονη στο Έστω ότι η ΔΕΝ είναι γνησίως μονότονη στο, τότε δεδομένου ότι η είναι συνάρτηση, θα υπάρχουν,, 3 με 3 και 3 ή 3 ή 3 ή 3 Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 46 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

47 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Έστω 3, τότε επειδή η είναι συνεχής στο, 3, ώστε και επειδή η είναι και ισχύει έπεται, λόγω του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών, ότι υπάρχει 3 προκύπτει ότι 3, ΑΤΟΠΟ, αφού 3 Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε και στις υπόλοιπες περιπτώσεις Επομένως η είναι γνησίως μονότονη στο ΘΕΜΑ ο Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα και εξίσωση έχει διαφορετικές ρίζες τουλάχιστον ρίζες στο Έστω,,, με έχει στο, τότε η εξίσωση οι στο πλήθος ρίζες τις εξίσωσης Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο έπεται ότι η είναι συνεχής στα διαστήματα,,, 3,,,,,, 3,,, και παραγωγίσιμη στα διαστήματα Ακόμη είναι, αφού οι αριθμοί,, είναι οι ρίζες της εξίσωσης Άρα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ Rolle σε καθένα από τα διαστήματα,,,,,, 3 Επομένως υπάρχουν,,, 3,,,,,,, οπότε η εξίσωση ρίζες στο διάστημα ώστε έχει τουλάχιστον ΘΕΜΑ ο Για κάθε πραγματικό ισχύει e και το ίσον ισχύει μόνο όταν Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου γνωρίζουμε ότι, για όλους τους θετικούς αριθμούς ισχύει ln και το ίσον ισχύει μόνο για Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 47 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

48 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Αντικαθιστούμε στην όπου το e (αφού είναι θετικός), ln e e e άρα e Το ίσον ισχύει όταν το e δηλαδή όταν δηλαδή ΘΕΜΑ ο (μηδενική επί φραγμένη) Αν οι συναρτήσεις, g είναι ορισμένες στο και ισχύει και τότε g lim lim Είναι, g g m g m για όλα τα Άρα για όλα τα ισχύει g m m g m lim m m lim m m και Όμως lim m m lim m m από το Κριτήριο Παρεμβολής έπεται ότι g lim ΘΕΜΑ 3 ο Αν :, συνεχής και στο,, τότε η έχει μια τουλάχιστον ρίζα Επειδή ή θα είναι ή θα είναι Διακρίνουμε περιπτώσεις: i) Αν ισχύει η σχέση, γνωρίζουμε ότι η είναι συνεχής στο, Θεώρημα Bolzano η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, ii) Αν ισχύει η σχέση, τότε έχουμε ή, οπότε από το : ί ί ή : ί ί Άρα η εξίσωση έχει ρίζες το ή το Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 48 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

49 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου υνολικά από τις περιπτώσεις i και ii παίρνουμε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο, ΘΕΜΑ 4 ο (πρόταση που λύνουμε ανισώσεις εξισώσεις) α) Μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα, αν, και μόνο αν, για κάθε, ισχύει η ισοδυναμία β) Μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, αν, και μόνο αν, για κάθε, ισχύει η ισοδυναμία γ) Αν συνάρτηση είναι στο σύνολο, αν, και μόνο αν, για κάθε, ισχύει η ισοδυναμία α) Ευθύ: Ισχύει από τον ορισμό της γν αύξουσας συνάρτησης Αντίστροφο: Έστω Έστω για κάθε,, θα δείξουμε ότι, τότε από τον ορισμό της συνάρτησης έχουμε, επειδή η είναι γνησίως αύξουσα ισχύει Έστω, ΑΤΟΠΟ, αφού, ΑΤΟΠΟ, αφού Οπότε από τον νόμο της τριχοτομίας έπεται ότι, οπότε ισχύει η ισοδυναμία β) Αντίστοιχα με το (α) γ) Ευθύ: Ισχύει με τον ορισμό της Αντίστροφο: Αν, τότε από τον ορισμό της συνάρτησης έχουμε, (δεν μπορεί το ίδιο να αντιστοιχίζεται σε διαφορετικό, η αντίστοιχη σε αυτή την περίπτωση δεν θα ήταν συνάρτηση) Οπότε ισχύει η ισοδυναμία ΘΕΜΑ 5 ο α) Μια γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μια ρίζα Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 49 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

50 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου β) Έστω μια γνησίως μονότονη συνάρτηση στο, τότε η εξίσωση k, έχει μια το πολύ λύση στο α) Έστω μια γνησίως μονότονη συνάρτηση, τότε η είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα και σε κάθε περίπτωση είναι Έστω ότι η εξίσωση έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές ρίζες τις, τότε : ΑΤΟΠΟ Οπότε η εξίσωση έχει το πολύ μια ρίζα ΘΕΜΑ 6 ο Αν για μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, τότε μεταξύ δύο οποιωνδήποτε διαφορετικών ριζών της βρίσκεται μία τουλάχιστον ρίζα της παραγώγους της, δηλαδή της Έστω δύο ρίζες της στο Η είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, και ισχύει, άρα ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του Θ Rolle στο,, επομένως υπάρχει, τέτοιο ώστε, άρα η εξίσωση, δηλαδή μεταξύ των δύο διαφορετικών ριζών της εξίσωσης λύση στο, έχει μια τουλάχιστον ΘΕΜΑ 7 ο Αν μια συνεχή συνάρτηση ορισμένη σε ένα ανοικτό διάστημα, έχει την ιδιότητα lim, lim (η αντίστροφα), τότε το σύνολο τιμών της είναι το Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό είναι τιμή της Επειδή lim, ώστε η θα παίρνει και τιμές μικρότερες του, δηλαδή θα υπάρχει Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 5 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637

51 Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Επειδή lim ώστε, η θα παίρνει και τιμές μεγαλύτερες του, δηλαδή θα υπάρχει Προφανώς και από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών θα υπάρχει στο διάστημα με άκρα τα, τέτοιο ώστε Επομένως το είναι τιμή της ΘΕΜΑ 8 ο Ισχύει η ισοδυναμία: lim lim Γνωρίζουμε ότι,, όμως από το Κριτήριο Παρεμβολής έπεται το ζητούμενο lim lim, οπότε ΘΕΜΑ 9 ο α) Οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις : με την ιδιότητα είναι της μορφής ce, όπου c σταθερά β) Οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις : με την ιδιότητα m είναι της m μορφής ce, όπου cm, σταθερά α) Εφαρμογή σχολικού βιβλίου β) Έχουμε διαδοχικά για κάθε, m m m m e me m e m Άρα η συνάρτηση g e m m τέτοια ώστε c e δηλαδή, είναι σταθερή στο, οπότε έχει σταθερά c ce Πολυχώρος ΓΝώΗς Φροντιστήριο ΜΕ 5 Μακρυγιάννη 56 Άγιος Δημήτριος - Τηλ: 99637