ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος-1-)

Transcript

1 ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι.Ι (τεύχος--)

2 .. Μια χρήσιμη ανασκόπηση... Δυνάμεις Πραγματικών Αριθμών Ο συνοπτικός τρόπος για να εκφράσουμε το γινόμενο : 2*2*2*2 4 είναι να το γράψουμε: 2. Ο αριθμός 4 είναι η δύναμη στην οποία «υψώνεται» ο αριθμός 2 ο οποίος ονομάζεται βάση. Εάν ο αριθμός-βάση-υψώνεται σε άρτια δύναμη το αποτέλεσμα είναι αριθμός θετικός. Εάν ο αριθμός-βάση-υψώνεται σε περιττή δύναμη το αποτέλεσμα είναι αριθμός αρνητικός. Ιδιότητες των δυνάμεων 0 k και k k, 0 και ( ) ( k )*( )*( )*( ) k ( k k k * * * ) * * *, με 0, 0, 0, 0 ( ), Ρίζες πραγματικών αριθμών και Ιδιότητες των ριζών Ο πραγματικός αριθμός είναι η νιοστή ρίζα του πραγματικού αριθμού εάν : αριθμός. Ιδιότητες των ριζών b. Η δύναμη είναι φυσικός 0 0 Γ. Ι. Ξανθός 2

3 ( ) m m m * * ( )*( )*( ) *( )... Εκθετικές συναρτήσεις Η εκθετική συνάρτηση είναι μια έκφραση όπου ένας σταθερός αριθμός (βάση) έχει υψωθεί στη δύναμη που μεταβάλλεται. Ο σταθερός αριθμός είναι αριθμός μεγαλύτερος από το μηδέν και διαφορετικός από την μονάδα. Γράφουμε:,με 0και. Εάν η βάση είναι ιση με e, τότε : e. Η τιμή της βάση e είναι κατά προσέγγιση ιση με 2,78 και προκύπτει από το όριο της ( ) όταν Δηλαδή: e lm ( )..4. Λογάριθμοι Ο λογάριθμος δεν είναι τίποτα άλλο από ένα εκθέτη στον οποίο υψώνεται μια βάση (συνήθως 0 ή e ) για να προκύψει ως αποτέλεσμα μια αριθμητική τιμή. Για παράδειγμα Αν λοιπόν γράψουμε log αναφερόμαστε στον αριθμό στον οποίο υψώνεται η βάση 0 για να μας δώσει την τιμή 000. Συνοπτικά λοιπόν : Εάν log000 τότε Εάν αντί για βάση το 0 Οι λογάριθμοι με βάση το 0 ονομάζονται δεκαδικοί και γράφουμε log000 παραλείποντας να γράψουμε την βάση 0 Γ. Ι. Ξανθός

4 επιλέξουμε βάση το e έχουμε τους φυσικούς ή νεπέριους λογαρίθμους και γράφουμε: l 000 Ιδιότητες λογαρίθμων Για κάθε βάση έχουμε τις παρακάτω ιδιότητες log 0 και log A log log A log B B log ( A* B) log A log log B log..5. Λογαριθμική συνάρτηση B B Η Λογαριθμική συνάρτηση είναι μια έκφραση όπου η ανεξάρτητη μεταβλητή εκφράζεται με τον λογάριθμό της. Δηλαδή: log με 0, και 0,..6. Εκθετικές και Λογαριθμικές συναρτήσεις : Παράγωγος και Ρυθμοί Μεταβολής Η παράγωγος της είναι log 0 και η παράγωγος της log είναι 0 τότε e είναι d με: 0, d d με αν d log d φυσικά 0. Η παράγωγος της d d e d. Η παράγωγος της l d φυσικά 0. Η παράγωγος d είναι d μετρά τον d Γ. Ι. Ξανθός 4

5 στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής. Ενδιαφέρον συνήθως παρουσιάζει ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής. Από προκύπτει ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής. Για παράδειγμα εάν ρυθμός μεταβολής είναι : και αφού Εάν ) r ke τότε ο ποσοστιαίος d d r rke τότε r k( r ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής p είναι : d αφού : K( r) l( r) τότε: l( r). d Ιδιότητες ποσοστιαίων ρυθμών μεταβολής. και Για τις συναρτήσεις (, z(, h( θα έχουμε Εάν ( z( * h( τότε ο ποσοστιαίος ρυθμός του γινομένου των συναρτήσεων είναι ισος με το άθροισμα των επιμέρους ποσοστιαίων ρυθμών. Δηλαδή: p p z p Εάν ( z( / h( τότε ο ποσοστιαίος ρυθμός του πηλίκου των συναρτήσεων είναι ισος με την διαφορά των επιμέρους ποσοστιαίων ρυθμών. Δηλαδή: p p z h p Εάν ( z( h( τότε ο ποσοστιαίος ρυθμός του αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ισος με το σταθμικό άθροισμα των επιμέρους ποσοστιαίων ρυθμών. Δηλαδή: p p z z( p z( h( h h( z( h( h Γ. Ι. Ξανθός 5

6 ..7. Συμβολισμός αθροισμάτων Συχνά ασχολούμαστε με αθροίσματα όπως το Το άθροισμα γράφεται : και σημαίνει το άθροισμα των αριθμών από τον πρώτο ( ) έως και τον νιοστό ( ) Ιδιότητες Αθροισμάτων Εάν είναι ποσότητα σταθερή,τότε ( b) b. Με b σταθερή ποσότητα ( * b) b Με b σταθερή ποσότητα ( b ) b και ( b ) b.. Εάν η άθροιση αφορά ποσότητα με δύο δείκτες j, γράφουμε : m j j για κατανόηση του αθροίσματος με δύο δείκτες ας δούμε το παρακάτω αριθμητικό παράδειγμα =Γραμμές,2, j και στήλες j,2,, 4 j j 2 j j 4 2 2,,2,, ,, 2,2 2,, 2,4, ,2 Γ. Ι. Ξανθός 6

7 Το άθροισμα όλων των αριθμών μέσα στα κελιά είναι: =44. Δηλαδή: 4 j j ( 2 4 ) Αριθμητική Πρόοδος Εάν στην ακολουθία αριθμών,...,, 2, κάθε όρος εκτός από τον πρώτο, προκύπτει από τον προηγούμενο με την πρόσθεση ενός σταθερού και ίδιου αριθμού,τότε η ακολουθία αριθμών αποτελεί μια αριθμητική πρόοδο. Το σταθερό όρο που προσθέτουμε για να προκύψει ο επόμενος όρος της ακολουθίας ονομάζουμε λόγο της αριθμητικής προόδου. Επομένως ο γενικός όρος της αριθμητικής προόδου είναι ίσος με,όπου είναι ο λόγος της αριθμητικής προόδου. Επίσης ισχύει για το γενικό όρο ( ). Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι τρεις διαδοχικοί αριθμοί οι, b, c, όροι αριθμητική προόδου πρέπει 2 b c. Ο αριθμός b καλείται αριθμητικός μέσος. Το άθροισμα των πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου δίνεται από τον τύπο η από τον τύπο S S ( ) * 2 [ 2 ( ) ]. 2 Γ. Ι. Ξανθός 7

8 ..9. Γεωμετρική Πρόοδος Εάν στην ακολουθία αριθμών,...,, 2, κάθε όρος εκτός από τον πρώτο, προκύπτει από τον προηγούμενο με πολλαπλασιασμό με ένα σταθερό και ίδιο αριθμό,τότε η ακολουθία αριθμών αποτελεί μια γεωμετρική πρόοδο. Το σταθερό όρο που πολλαπλασιάζουμε για να προκύψει ο επόμενος όρος της ακολουθίας ονομάζουμε λόγο της γεωμετρικής προόδου. Επομένως ο γενικός όρος με της γεωμετρικής προόδου είναι ίσος *,όπου είναι ο λόγος της αριθμητικής προόδου. Επίσης ισχύει για το γενικό όρο *.Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι τρεις διαδοχικοί αριθμοί οι, b, c, όροι γεωμετρικής προόδου πρέπει b 2 * c. Ο αριθμός b καλείται γεωμετρικός μέσος. Το άθροισμα των πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου εάν ο λόγος είναι διαφορετικός από την μονάδα, δίνεται από τον τύπο S ( ) η από τον τύπο S. Εάν για το λόγο ισχύει 0 τότε η γεωμετρική πρόοδος είναι φθίνουσα και το άθροισμα των όρων της είναι ίσο κατά προσέγγιση με S. Γ. Ι. Ξανθός 8