Κίνηση σε δύο διαστάσεις

ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 1 Κίνηση σε δύο διαστάσεις Διαδρομή του σώματος Τελική θέση Αρχική θέση Η κίνηση που κάνει το αυτοκίνητο καθώς στρίβει περιορίζεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο - Η αλλαγή στο διάνυσμα θέσης δίνεται από τη διανυσματική διαφορά των διανυσμάτων θέσης στις χρονικές στιγμές t f και t i r (t) r (t) r f " r i r (t + t) " r (t) # [ (t + t) " (t) ] i ˆ + [ (t + t) " (t) ] ˆ j

ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 Κίνηση σε διαστάσεις q Έστω ένα κινούμενο σώμα που περιγράφεται από το διάνυσμα θέσης r που γράφεται 0 0 r (t) (t)ˆ i + (t) ˆ j q Αν το σώμα κινείται με επιτάχυνση α(t) τότε μπορούμε να γράψουμε a (t) a ˆ i + a ˆ j d v dt Ø Με ολοκλήρωση θα πάρουμε dv a dt v " v d r d î + dt dt v d î + d ĵ dt dt dv dt a dt ˆ i + dv dt και ανάλογα v v ˆ i + v ˆ j ˆ j a dv dt v "#$ a dv dt a dt Ø Αν η επιτάχυνση είναι σταθερή (μέτρο και διεύθυνση) τότε α σταθ. και α σταθ. και έχουμε " # d dt î $ % & + d dt ĵ + " # d dt $ ĵ % & v a dt a t + c 1 v0 v a dt a t + c

ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 3 Κίνηση σε διαστάσεις Αντικαθιστώντας στα προηγούμενα έχουμε v v ˆ i + v ˆ j (a t + )ˆ i + (a t + ) ˆ j (ˆ i + ˆ j ) + (a ˆ i + a ˆ j )t v v 0 + a t Η ταχύτητα ενός σώματος κατά τη στιγμή t είναι το διανυσματικό άθροισμα της ταχύτητας και της πρόσθετης ταχύτητας αt που απέκτησε κατά το διάστημα t v v α t 0 α v t at v v 1 a v o t t 0 v o t v o t r 1 at 1 a t

ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 4 Ανεξαρτησία κάθετων μεταξύ των κινήσεων Εξαρτώνται οι τιμές των α, v και από τις τιμές των α, v και την ίδια ή κάποια άλλη χρονική στιγμή? Το ερώτημα που τίθεται είναι κατά πόσο η κίνηση στην μια κάθετη διεύθυνση επηρεάζει την κίνηση στην άλλη κάθετη διεύθυνση. Πειραματικά: Κάθετες κινήσεις είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους Οι κατακόρυφες κινήσεις των μπαλών είναι πανομοιότυπες Φθάνουν στο έδαφος την ίδια χρονική στιγμή Μπορούμε επομένως να αναλύσουμε την κίνηση σε κάθε άξονα ξεχωριστά

Κίνηση σε διαστάσεις-κίνηση βλήματος ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 5 Αν το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι σταθερό, διαλέγουμε ένα από τους άξονες συντεταγμένων να είναι η γραμμή που περιέχει το διάνυσμα της επιτάχυνσης ή κάποια παράλληλη διεύθυνση 0 h ma R Ø Διαλέγουμε την κατακόρυφη διεύθυνση (//) (Α) α 0 (έλλειψη επιτάχυνσης στο ) α - (επιτάχυνσης βαρύτητας) Ταχύτητα εφαπτόμενη της τροχιάς σε κάθε σημείο της τροχιάς v + a t v + a t t (B) Οι αρχικές συνθήκες: i 0 0 0 0 v i a 0 cos 0 sin 0 a *Αγνοούμε την αντίσταση του αέρα

ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 6 Κίνηση σε -διαστάσεις (Γ) v cos 0 "#$. v t sin" t 0 + t + 1 a t t ( cos 0 )t 0 + t + 1 a t sin 0 t " 1 t Παραμετρικές εξισώσεις κίνησης Εξίσωση τροχιάς () Απαλοιφή του χρόνου από τις δύο παραμετρικές εξισώσεις των συντεταγμένων ( cos 0 )t " t cos 0 tan 0 " 1 cos 0 Η εξίσωση της τροχιάς είναι ου βαθμού ως προς, δηλαδή η διαδρομή του σώματος στο χώρο είναι παραβολική a + b

ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 7 Κίνηση βλήματος Πόσο χρόνο χρειάζεται το βλήμα να φτάσει στο μέγιστο ύψος του και ποιο είναι το ύψος αυτό? (κίνηση στον -άξονα) Όταν h ma, 0 0 " 0 # t t hma " 0 Αντικαθιστώντας στη εξίσωση (t) 0 (t ma ) h ma 0 + 0 t ma " 1 t ma ( ) 0 sin" 0 sin" t hma " 0 sin# Πόσο μακριά θα πάει το βλήμα στo επίπεδο του εδάφους και πόσο χρόνο κάνει? (κίνηση στον -άξονα) # 1 $ 0 sin" ' & ) % ( ( ) h ma " sin# 0 Στο ma το σώμα έχει επιστρέψει και πάλι στη θέση h 0 0 0 0 0 + 0 t " 1 t ( 0 sin# )t " 1 t $ t 1 t sin" 0 H μέγιστη απόσταση στον -άξονα (βεληνεκές) θα είναι: 0 # ma 0 + 0 t ma 0 cos" 0 sin" & % ( $ ' ma " 0 sin# 0 προφανής t (t h ma )

ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 8 Βεληνεκές βλήματος ma " 0 sin Όταν θ45 0 τότε sinθ1 και έχουμε μέγιστο βεληνεκές Για συμπληρωματικές γωνίες το βεληνεκές είναι ίδιο (π.χ. θ30 και θ60 )

Κίνηση σε διαστάσεις ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 9 Η κίνηση στους άξονες X και Υ είναι ανεξάρτητη η µια από την άλλη Χωρίζουµε την κίνηση σε άξονες και µελετούµε την κίνηση σε κάθε άξονα ξεχωριστά σα να έχουµε µονοδιάστατη κίνηση

Κίνηση σε διαστάσεις ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 10 Διανύσµατα θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης av r f " r 0 t f " t 0 -διεύθυνση f " 0 av. t f " t 0 -διεύθυνση f " 0 av. t f " t 0 av av. + av. a av f " 0 t f " t 0 a av. f " 0 t f " t 0 a av. f " 0 t f " t 0 a av a av. + a av. ( t) 0 + o t + 1 a t ( t) 0 + o t + 1 a t ( t) o + a t ( t) o + a t + ( t) o + a " ( t) + a " o

Κίνηση σε διαστάσεις ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 11 Μια µπάλα κυλά σε οριζόντιο δάπεδο µε 5m/s. Κατόπιν συναντά κεκλιµένο επίπεδο γωνίας 5 ο. Μετά από 0.5sec η µπάλα έχει ταχύτητα 3m/s. Ποιό είναι το µέτρο της αλλαγής της ταχύτητας. -διεύθυνση i 5m / s ( ) " ( 3m / s)cos 5 0 " 3cos( 5 0 ) # 5 #.8m / s -διεύθυνση i 0m / s ( ) ( ) 1.7m / s " ( 3m / s)sin 5 0 " 3sin 5 0 " " + " (#.8) + 1.7.6m / s Ποιά είναι η µέση επιτάχυνση -διεύθυνση a.8 5.56m / s 0.5 -διεύθυνση a 1.7.54m / s 0.5 3 m/s f 5 m/s a a + a 5.1m / s f

ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 1 Μπάλα σε καρότσι σε κεκλιμένο επίπεδο υ θ υ θ sinθ Μπάλα εκτοξεύεται προς τα επάνω σε ορθή γωνία µέσα από καρότσι που αφήνεται να γλυστρήσει προς τη βάση κεκλιµένου επιπέδου. Η µπάλα µετά πέφτει. Ξαναπέφτει μέσα στο καρότσι? cosθ A Μέθοδος Θεωρούµε το σύστηµα συντεταγµένων του οποίου οι άξονες είναι παράλληλος προς το κεκλιµένο επίπεδο και κάθετος σ αυτό. Αναλύουµε το διάνυσµα της επιτάχυνσης της βαρύτητας σε συνιστώσες ως προς τους άξονες και. Η µπάλα και το καρότσι ξεκινούν µε ταχύτητα v χ 0 στη διεύθυνση και δέχονται την ίδια επιτάχυνση sinθ στην διεύθυνση µ" 0 + 1 sin# t "#$ 0 + 1 sin% t "#$ 0 µ" 0 Ίδια και άρα η μπάλα πέφτει ξανά στο καρότσι

Μπάλα-καρότσι Β Μέθοδος ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 13 -(t) υcosθ θ (t) υ υsinθ θ cos" sin" + sin" cos" t # sin" Οι συντεταγµένες της µπάλας δίνονται από ( t) ( sin" )t ( t) ( cos" )t # 1 t Η µπάλα χτυπά ξανά στο επίπεδο τη χρονική στιγµή 1 t tan "(t) ($ cos#)t " (t) "tan# ($ sin#)t 1 sin" cos" t # sin" t " cos# " sin# cos# cos# sin# " (1) t $ sin# Την στιγµή επαφής της µε το επίπεδο έχει οριζόντια µετατόπιση (t): ( t) ( sin" ) # & $ % cos" ' ( tan" που αντιστοιχεί στη θέση: του κεκλιµένου επιπέδου (t) cos" # sin" cos " Το καρότσι κινείται στο κεκλιµένο επίπεδο εξαιτίας της : θ 1 ( sin # " & d 1 ( )% ( sin )t d " sin# $ cos ' cos # Ακριβώς ίδιες θέσεις

h Παράδειγµα οριζόντιας βολής s d σίτα με τρύπα Αρχικές συνθήκες: ˆ 0 h 0 0 ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 14 ˆ Βλήµα βάλλεται µε ταχύτητα από την ταράτσα ενός κτιρίου ύψους h και πρέπει να περάσει µέσα από την τρύπα πού βρίσκεται σε ύψος d από το 0 και απόσταση s από 0. Ποια είναι η Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις παραπάνω συνθήκες για να φτιάξουµε µια µονοχρωµατική δέσµη ατόµων π.χ. άτοµα µε ίδια ταχύτητα Βρίσκουµε το χρόνο t όταν το βλήµα βρίσκεται σε θέση βληµ s (t) t t " s Τη στιγµή αυτή το ύψος του βλήµατος πρέπει να είναι ίσο µε το ύψος στο οποίο βρίσκεται η τρύπα (t) d h " 1 t h 1 " % s $ ' # & (h " d) 1 # & s % ( $ ' (h " d) # & s % ( $ ' s (h " d) Ας εξετάσουµε µερικές ακραίες τιµές: d h è s 0 è 0

Σκιέρ: Αλµα µε σκί (1) v isin 1 " 1 v i cos 1 v i t " 1 t (3) tan v i cos 1 ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 15 Σκιέρ αφήνει την πλαγιά µε v i 11m/s και γωνία θ 1 3 ο ως προς τoν ορίζοντα και µετά προσγειώνεται στην πλαγία που έχει κλίση θ 55 ο. Πού και πότε προσγειώνεται Λύση Διαλέγουµε πρώτα ένα σύστηµα συντεταγµένων και αναλύουµε την v i Ο χρόνος που κινείται η σκιέρ στο -άξονα είναι ίδιος µε αυτό στο -άξονα: (v i cos" 1 )t # t (1) v i cos" 1 Στο σηµείο προσγείωσης οι συντεταγµένες της τροχιάς της σκιέρ ( Σ, Σ ) και οι συντεταγµένες του σηµείου της πλαγιάς ( πλ, πλ ) είναι ίδιες: "# $ "# $ () (0,0) -3 0 Από τη κλίση της πλαγιάς έχουµε " " tan# (3) Η εξίσωση θέσης της σκιέρ στην -διεύθυνση δίνει (από 1 & & 3) v i θ 1 θ tan" tan" 1 # 1 v i cos " 1 Λύνουµε την τελευταία ως προς και αντικαθιστούµε στην (3) για v i (,)

Ελεύθερη πτώση ΦΥΣ 131 - Διαλ.07 16 Ο Γιώργος και η Μαρία στέκονται στην άκρη ενός λόφου.o Γιώργος ρίχνει µια µπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω ενώ την ίδια στιγµή η Μαρία ρίχνει µια µπάλα µε την ίδια ταχύτητα κατακόρυφα προς τα κάτω. Ποιά µπάλα φθάνει στο έδαφος πρώτη (A) Του Γιώργου (Β) Της Μαρίας (Γ) Ίδιος χρόνος 0 + 0 t + 1 at Γιώργος: Μαρία: 0 H + 0 t " 1 t 0 H " 0 t 1 t Ποιά µπάλα φθάνει µε τη µεγαλύτερη ταχύτητα (A) Του Γιώργου (Β) Της Μαρίας (Γ) Ίδια ταχύτητα f " i # $ f " i H Μαρία Γιώργος " f " i + H H v A v B