Συμπλήρωμα 1 2 ος νόμος του Νεύτωνα σε 3 διαστάσεις

Transcript

1 Συμπλήρωμα 1 ος νόμος του Νεύτωνα σε 3 διαστάσεις = iˆ+ j ˆ+ kˆ F = Fiˆ+ F ˆj+ Fkˆ ˆk F ος Νόμος του Νεύτωνα d = F î O ĵ ( ˆ) d iˆ+ j ˆ+ k = Fiˆ ˆ ˆ + F j+ Fk d d d iˆ+ ˆj+ kˆ= Fiˆ ˆ ˆ + F j+ Fk d ˆ d ˆ d F ˆ i + F j+ F k d d d = F = F = F Οι εξισώσεις αυτές προϋποθέτουν ότι έχουμε επιλέξει τρεις άξονες (,,) και την αρχή τους O. Έχει σημασία που επιλέγουμε την αρχή των αξόνων, και ποια κατελυθυνση επιλέγουμε για τους άξονες; 1. Θα δείξουμε ότι το O μπορεί να είναι οπουδήποτε:

2 ' k ˆ ' i ˆ' O ˆ ' j ˆk î a O ĵ F (,,) (,, ) ' O: = iˆ+ j ˆ+ kˆ F = Fiˆ+ F ˆj+ Fkˆ O : = ' iˆ' + ' ˆj' + ' kˆ ' F = F ' iˆ' + F ' ˆj' + F' kˆ ' Όπου: ' = a, F = F ' ' ' ' =, F = F ' =, F = F ' Ερώτηση: Aν ο ος νόμος του Νεύτωνα ισχύει για τον Ο (δηλ. ο Ο είναι αδρανειακός παρατηρητής): d = F,, d = F d = F μπορεί ο Ο να γράψει ' ' ' d = F ', d = F ', d = F ' ; Απάντηση: Η απάντηση είναι καταφατική, αν α=σταθ. Έχουμε: d d d da = ( a) = da a = σταθ. = 0 d d d d ' = = d d ' ' = = F = F Για τις άλλες δυο συνιστώσες, η απόδειξη είναι τετριμμένη. Επίσης, η γενίκευση για ' = a, ' = β, ' = -γ, είναι προφανής. Άρα, δεν παίζει ρόλο σε ποιο σταθερό σημείο θα τοποθετήσουμε την αρχή των αξόνων. Παρατήρηση: Αν a σταθ., τα παραπάνω δεν ισχύουν εν γένει.

3 Π.χ. (i) Αν α=υ, όπου υ=σταθ., ισχύουν τα ίδια (ii) Αν π.χ. α=3, ή, γενικά, α=f() (με διαστάσεις μήκους), τότε: [ ()] d ' d f d d d d df( = = [ ()] = f d d f ' d f() F = F ) = Δηλ. ο Ο επιταχύνεται (συνεπώς δεν είναι αδρανειακός παρατηρητής), και πρέπει να προσθέσει και άλλους όρους στην εξίσωση του Νεύτωνα.. Θα δείξουμε ότι και η διεύθυνση των αξόνων μπορεί να είναι οποιαδήποτε (αλλά σταθερή) ' P(,) (, ) ' = cosθ + sinθ ' = cosθ sinθ ' = και ' O θ ' ' F = F cosθ + F sinθ ' F = F cosθ F sinθ F ' ' = F Ερώτηση: Aν ο ος νόμος του Νεύτωνα ισχύει για τον Ο (δηλ. ο Ο είναι αδρανειακός παρατηρητής): d = F,, d = F d = F μπορεί ο Ο να γράψει d ' d ' d ' = F ', = F ', = F ', και υπό ποιες συνθήκες; Απάντηση: 1. Εστω θ=σταθ.

4 Τότε d ' d d d ( ) = cosθ + sinθ = cosθ + sinθ = F cosθ + F sinθ = F ' Όμοια για τις άλλες συνιστώσες Αρα, οι διευθύνσεις των αξόνων (εφόσον είναι σταθερές), δεν παίζουν κανένα ρόλο. Εστω θ=f(). Τότε: d ' d d d = ( cosθ + sinθ) = ( cos f( ) sin f( ) ) + = d d dcos f( ) d dsin f( ) cos f( ) sin f( ) = d d d cos f ( ) d cos f ( ) d d cos f ( ) cos f( ) sin f( ) ' d d dsin f( ) dsin f( ) d d sin f( ) = d d cos f( ) + sin f( ) + όροι με διαστάσεις δύναμης= cos f( ) F + sin f( ) F + όροι με διαστάσεις δύναμης= F + όροι με διαστάσεις δύναμης

5 Συμπλήρωμα Δυνάμεις τριβής αντίσταση του αέρα Εφαρμογή: Βολές με τριβή (αντίσταση) αέρα Έστω ότι η δύναμη της τριβής του αέρα είναι Fa = υ. Τότε, η εξίσωση κίνησης ενός βλήματος κοντά στην επιφάνεια της γης είναι: d ˆ d = gk, ή, ισοδύναμα, g î ˆk ˆj d d = d d = d d = g Δηλαδή, dυ = υ dυ = υ dυ = g υ (1) () (3) Επίλυση της (1): dυ dυ dυ = υ = A υ = + υ ln υ + A A e e e e A A υ e e 1 1 υ () = Ae, όπου Α, σταθερά ln υ = + = = = Προχωράμε σε άλλη μια ολοκλήρωση για να βρούμε τη ():

6 d d υ = = A1e = A1e d = A1e d = A1e + A = A1 e d + A = Ae + A όπου, η Α σταθερά. 1 Επίλυση της (): Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε ότι 1 1 υ () = Be, όπου B σταθερά ()= Be + 1 B, όπου B σταθερά Επίλυση της (3): d υ g dυ dυ + = g υ = = υ υ d υ d υ g + = = υ υ ln υ + C C ln υ =+ C e = e = e e C υ = e e υ = Ce 1, όπου C1 σταθερά g υ = + Ce 1 Προχωράμε σε άλλη μια ολοκλήρωση για να βρούμε τη (): d g g υ = = + C1e d = + C1e g g () = + Ce 1 + C () = Ce 1 + C Για να προσδιορίσουμε τις σταθερές A 1, A, B 1, B,C 1,C χρησιμοποιούμε τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος.

7 Παράδειγμα: Έστω ότι το σώμα ξεκινά από την αρχή των αξόνων τη χρονική στιγμή =0, με αρχική ταχύτητα υ ο κατακόρυφα προς τα πάνω. Τότε, για =0, έχουμε: (0)=0, (0)=0, (0)=0 υ (0)=0, υ (0)=0, υ (0)=υ ο Οπότε, από τις εξισώσεις που βρήκαμε προηγουμένως, θέτοντας =0, εύκολα βρίσκουμε ότι: A 1 = A = B 1 = B =0 και g C1 = υο + g C = υο + Συνεπώς, η λύση είναι: g g g () = υο + e + υο +.