ΦΥΣ Διαλ Σύνοψη εννοιών. Κινηµατική: Περιγραφή της κίνησης ενός σώµατος. Θέση και µετατόπιση Ταχύτητα Μέση Στιγµιαία Επιτάχυνση Μέση

Transcript

1 Κινηµατική

2 ΦΥΣ Διαλ.04 2 Σύνοψη εννοιών Κινηµατική: Περιγραφή της κίνησης ενός σώµατος Θέση και µετατόπιση Ταχύτητα Μέση Στιγµιαία Επιτάχυνση Μέση Στιγµιαία

3 Κίνηση - Τροχιές ΦΥΣ Διαλ.04 3! Πετάξετε ένα αντικείµενο στον αέρα και µετρήστε την θέση του σε πολλές διαδοχικές χρονικές στιγµές Θέλουµε ένα ρολόι για µέτρηση χρόνου και µια µονάδα µήκους για µέτρηση του x Σύστηµα συντεταγµένων άξονας x (χρόνος) - άξονας y (θέση) y 4 y 3 2 Γράφημα θέσης-χρόνου y µετατόπιση Αρχικός χρόνος: t i Τελικός χρόνος: t f Αρχική θέση: y i Τελική θέση: y f y 1 Το γράφηµα δίνει τη θέση συναρτήσει του χρόνου Μετατόπιση = αλλαγή στη θέση του σώµατος (0,0) t 1 t 2 t 3 t 4 t Ανεξάρτητη της διαδροµής Δy = y f y i Διαφορετική από το διάστηµα, d, που κάλυψε το σώµα

4 Μέση ταχύτητα ΦΥΣ Διαλ.04 4 x f H κλίση του διανύσματος ΑΒ δίνει τη μέση ταχύτητα v = Δ x Μέση ταχύτητα πηγαίνοντας από το t f "t i : Δt [ L] Μονάδες μέτρησης [ T ] = m / s Β x B # διανυσµατικό µέγεθος # Σε αντίθεση µε < v > = διαδροµη Δt που είναι βαθµωτό C Δx C x i Α D O A D t i Δt = t f t i t f H τροχιά πρέπει να ναι συνεχής, ομαλή και μονότιμη H μετατόπιση και η μέση ταχύτητα μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές Θετική τιµή συνεπάγεται ότι το σώµα κινείται στη θετική διεύθυνση του x

5 Μετατόπιση και Μέση ταχύτητα ΦΥΣ Διαλ.04 5 Ένας κοµήτης πλησιάζει τον ήλιο. Τη στιγµή t 1, βρίσκεται στη θέση x 1 =3.0x10 12 m ενώ ένα χρόνο µετά βρίσκεται στη θέση x 2 = 2.1x10 12 m. Να βρεθεί η µετατόπιση και η µέση διανυσµατική ταχύτητα του κοµήτη. Η µετατόπιση του κοµήτη είναι: Δx = x 2 x 1 = = m Η µέση διανυσµατική ταχύτητα του κοµήτη είναι:! υ = Δ! x ( Δt = x 2 x 1 ) ˆx ( m) ˆx = sec sec = m / s = 28.5km / s 1 έτος = 365 ηµέρες, 1 ηµέρα = 24 ώρες, 1 ώρα = 60 λεπτά, 1 λεπτό = 60 sec, Δ x! = ( Δx) ˆx = ( x 2 x 1 ) ˆx ( ) ˆx 1 έτος = 365 x 24 x 60 x 60 = 3.16 x 10 7 sec # Τόσο η µετατόπιση όσο και η µέση διανυσµατική ταχύτητα του κοµήτη είναι αρνητικές µια και ο κοµήτης κινείται προς µικρότερες τιµές του x

6 Μετατόπιση και Μέση ταχύτητα ΦΥΣ Διαλ.04 6 Στο αγώνισµα των 100m, καλύπτετε την απόσταση των 50m µε µέση διανυσµατική ταχύτητα 10m/s και τα επόµενα 50m µε µέση διανυσµατική ταχύτητα 8m/s. Ποια η µέση διανυσµατική ταχύτητά σας στο αγώνισµα αυτό; Η ολική µετατόπιση είναι: Δ x! = x 2 ˆx x 1 ˆx = ( 100m) ˆx Χρειάζεται να βρούµε τον ολικό χρόνο κίνησης t ολ : είναι ο χρόνος Δt 1 για τα πρώτα 50m και ο Δt 2 για τα τελευταία 50m: Δt ολ = Δt 1 + Δt 2 Για να βρούµε τον χρόνο Δt 1 και Δt 2 χρησιµοποιούµε τον ορισµό της µέσης διανυσµατικής ταχύτητας:! υ = Δ! x Δx Δt = Δt υ Αντικαθιστώντας την ταχύτητα για τα πρώτα 50m και αυτή για τα τελευταία 50m έχουµε: Δt 1 = Δx 1 = 50m υ 1 10m / s Δt 1 = 5sec και αντίστοιχα: Δt 2 = Δx 2 = 50m υ 2 8m / s = 6.25sec O ολικός χρόνος κίνησης είναι: Δt ολ = = 11.25sec H µέση διανυσµατική ταχύτητα για το αγώνισµα αυτό ήταν:! υ = Δ! x Δt = 100 ˆx 11.25! υ = ( 8.89m / sec) ˆx

7 Μετατόπιση και Μέση ταχύτητα ΦΥΣ Διαλ.04 7 Δυο τρένα που βρίσκονται σε απόσταση 75km κινούνται σε αντίθετη κατεύθυνση µε µέση ταχύτητα 15km/h. Ένα πουλί πετά µε µέση ταχύτητα 20km/h µεταξύ των 2 τρένων από το ένα στο άλλο και µετά επιστρέφει και πάλι προς το άλλο τρένο. Ποια η απόσταση που θα έχει διανύσει το πουλί όταν τα 2 τρένα συναντηθούν; Σύµφωνα µε την σχέση που δίνει τη µέση ταχύτητα: υ = Δs Δt Δs = υδt = ( 20km / h)δt O συνολικός χρόνος που πετά το πουλί είναι ο χρόνος που χρειάζεται µέχρι να συναντηθούν τα 2 τρένα. Τα 2 τρένα κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις µε ταχύτητα 15km/h και εποµένως η απόστασή τους ελαττώνεται µε ρυθµό 30 km ανά ώρα. # Tα τρένα θα καλύψουν την αρχική τους απόσταση σε χρόνο: Δt = 75km 30km / h = 2.5h Σε αυτό το χρoνικό διάστηµα το πουλί θα έχει καλύψει απόσταση: Δs = ( 20km / h)2.5h = 50km

8 Στιγµιαία ταχύτητα Ορίζεται ως Δx v = lim Δt 0 Δt = d x dt ΦΥΣ Διαλ.04 8 Διαφορικός λογισμός v είναι η κλίση της εφαπτομένης τoυ γραφήματος θέση-χρόνος στα διάφορα σημεία. x B C Στο Α dx dt > 0! v A > 0 A Στο B dx dt = 0! v B =! 0 t Στο C dx dt < 0! v B < 0 # Η στιγμιαία ταχύτητα έχει ίδιο πρόσημο με το πρόσημο της Δx

9 Στιγµιαία ταχύτητα Η θέση ενός σώµατος συναρτήσει του χρόνου δίνεται από το διπλανό γράφηµα. (α) Ποια η στιγµιαία ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή t = 2sec. (β) Πότε αποκτά την µέγιστη ταχύτητα; (γ) Πότε η ταχύτητά του είναι 0; x 2 x 1 ΦΥΣ Διαλ.04 9 Σχηµατίζουµε την εφαπτοµένη του γραφήµατος θέσης - χρόνου για την χρονική στιγµή t = 2sec. Υπολογίζουµε την κλίση της ευθείας αυτής θεωρώντας 2 χρονικές στιγµές και βρίσκοντας τις αντίστοιχες τιµές του x που βρίσκονται πάνω στην εφαπτοµένη Έστω t 1 =2sec και t 2 =5sec. H θέσεις που αντιστοιχούν είναι x 1 =4m και x 2 =8.5m Η κλίση της ευθείας της εφαπτοµένης ισούται µε την στιγµιαία ταχύτητα οπότε: υ( t = 2) = tanϕ = Δx Δt = ( 8.5 4)m = 1.5m / sec ( 5 2)sec Από το γράφηµα παρατηρούµε ότι: # η µέγιστη κλίση (εποµένως και στιγµιαία ταχύτητα) εµφανίζεται για t=4sec # η κλίση (εποµένως και στιγµιαία ταχύτητα) είναι 0 για t = 0 και t = 6sec

10 Εύρεση της ταχύτητας σε ένα x-t γράφηµα # Μεταξύ των σημείων Α και Β x < 0 αλλά αυξάνει # H κλίση αυξάνει συνεχώς και άρα το σώμα κινείται με αυξάνουσα ταχύτητα προς θετικά x # Στο Β η κλίση και επομένως η ταχύτητα έχουν τις μέγιστες τιμές # Μεταξύ Β και C η κλίση καi ταχύτητα ελαττώνονται αλλά εξακολουθεί να κινείται στην +x διεύθυνση # Στο σημείο C η κλίση και ταχύτητα είναι 0 # Από το σημείο C μέχρι το Ε, x>0 αλλά ελαττώνεται και επομένως η κλίση και ταχύτητα είναι αρνητικές ΦΥΣ Διαλ # Στο σημείο Ε, η κλίση και ταχύτητα $0 καθώς το x$0

11 Μέση επιτάχυνση ΦΥΣ Διαλ x x 0 Σταθερή κλίση φ Δt Δx t V x =σταθ. v x = tanφ = Δx Δt = x x 0 v x = x x 0 t t 0 t x = x 0 +v x t! Στην πραγματικότητα x(t) μπορεί να μην είναι γραμμική: x(t)=f(t) = at 2 +bt+c Tότε v x δεν είναι σταθερή αλλά εξαρτάται από το χρόνο t # Πόσο γρήγορα όμως μεταβάλλεται η ταχύτητα με το χρόνο? Η μέση τιμή της μεταβολής από t i "t f a = Δ v(t) Δt = v(t + Δt) v(t) (t + Δt) t H κλίση είναι η μέση επιτάχυνση = v(t + Δt) v(t) Δt Η μέση επιτάχυνση είναι διάνυσμα v v(t i ) t f = t i + Δt Δv v(t f ) Δt t i t f t

12 x Στιγµιαία επιτάχυνση Όταν Δt$0 A v < 0 B v = 0 a t ( ) = lim Δt 0 C v > 0 α x > 0 v t + Δt ( ) v ( t) Δt = d v( t) dt x ΦΥΣ Διαλ με μονάδες: [ L] T v = 0 α x < 0 B v > 0 C v < 0 A [ ] 2 = m / s2 t Από το Α στο Β το σώµα κινείται προς x. Το µέτρο της ταχύτητας ελαττώνεται αλλά Δ v! > 0 και η! επιτάχυνση είναι θετική. Εποµένως v και a! έχουν αντίθετη κατεύθυνση Από το Β στο C το σώµα κινείται προς +x. Το µέτρο της ταχύτητας αυξάνει και Δ v! > 0 Η επιτάχυνση είναι θετική όπως και η ταχύτητα, δηλαδή έχουν ίδια κατεύθυνση. t Από το Α στο Β το σώµα κινείται προς +x. Το µέτρο της ταχύτητας ελαττώνεται και Δ!!! v < 0 και άρα Εποµένως v και! a < 0 a έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Από το Β στο C το σώµα κινείται προς -x. Το µέτρο της ταχύτητας αυξάνει! και Δ v!! < 0 και άρα Άρα v και a! a < 0 έχουν ίδια κατεύθυνση

13 Εύρεση της επιτάχυνσης σε ένα v - t γράφηµα # Από το Α στο Β, v < 0 αλλά αυξάνει (αλγεβρικά) ωστόσο το μέτρο της ελαττώνεται), η κλίση άρα και επιτάχυνση είναι θετικές # Το σωματίδιο φρενάρει μέχρι το Β όπου v = 0 (σταματά στιγμιαία) αλλά εξακολουθεί να δέχεται επιτάχυνση αφού η κλίση είναι μη μηδενική ΦΥΣ Διαλ # Από το Β στο C, v > 0 και αυξάνει, η κλίση και επιτάχυνση είναι θετικές αλλά ελαττώνεται # Στο C, v = max αλλά η επιτάχυνση είναι 0 # Από το C στο D, v > 0, τo μέτρο της μειώνεται και η επιτάχυνση είναι αρνητική. To σώμα επιταχύνεται προς τα αρνητικά x # Στο D, v = 0 και σταματά αλλά εξακολουθεί να δέχεται αρνητική επιτάχυνση # Από το D στο Ε, v < 0 και το μέτρο της αυξάνει. Η επιτάχυνση είναι αρνητική. Το σώμα επιταχύνει

14 Quiz ΦΥΣ Διαλ # Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας Έτοιµοι