ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2013"

Αλκιππη Κούνδουρος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 0 ΘΕΜΑ α) Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα x Ox για την απωστική δύναµη F x, > 0 και για ενέργεια Ε. β) Υλικό σηµείο µάζας m µπορεί να κινείται στον οριζόντιο άξονα x Ox υπό την επίδραση της δύναµης F a bx, όπου a, b µη µηδενικές σταθερές, i) να βρεθούν τα σηµεία ισορροπίας και η ευστάθειά τους. ii) Αν είναι m, a και b, να βρεθούν τα όρια της κίνησης αν αρχικά το σώµα βρίσκεται στη θέση x (0) µε ταχύτητα υ (0). (α) Είναι V x και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης δίνονται από την ανισότητα E E V 0 E+ x 0 x () Για E 0, η () ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας x Ox. Για Ε<0, η () δίνει E E x & x V E>0 V x x E<0 (β ) i) Σηµεία ισορροπίας F 0 a a a bx 0 x, x b b Άρα για b<0 δεν υπάρχουν σηµεία ισορροπίας ενώ για b>0 έχουµε δύο σηµεία ισορροπίας τα x και x. Για την ευστάθεια βρίσκουµε την δεύτερη παράγωγο του δυναµικού dv df dv bx dx dx dx ( ) dv a Άρα για το x βρίσκουµε b dx x b ba. Συνεπώς για a<0 έχουµε ελάχιστο, δηλαδή ευστάθεια, ενώ για a>0 έχουµε µέγιστο δηλαδή αστάθεια

2 dv Για το x βρίσκουµε dx ενώ για a>0 έχουµε ελάχιστο, δηλαδή ευστάθεια. x ba. Συνεπώς για a<0 έχουµε µέγιστο δηλαδή αστάθεια, b ii) Το δυναµικό είναι V x a x. Η ενέργεια του συστήµατος θα είναι b E mυ + x a x + 0 και άρα E V( x) 0 x x 0 x( x ) 0 x & 0 x Άρα, και λόγω της αρχικής συνθήκης (x(0)), το υλικό σηµείο θα κινείται στο διάστηµα (0, / ) ΘΕΜΑ Υλικό σηµείο µάζας m αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα από ύψος h πάνω από την επιφάνεια της Γης. α) Να αποδειχτεί ότι η απόκλιση του σηµείου από την κατακόρυφο προς Ανατολάς δίνεται από την σχέση y ωgt cosϕ, όπου φ το γεωγραφικό πλάτος του τόπου και ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της Γης. β) Να αποδειχτεί ότι η παραπάνω απόκλιση εκφράζεται συναρτήσει του ύψους υπό την ωcosϕ / µορφή y h. g * Να ορίσετε το σύστηµα συντεταγµένων που θα χρησιµοποιήσετε. Επειδή ω<< να αγνοηθούν οι όροι τάξεως ω. Θεωρούµε ένα µη αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων µε αρχή ένα σηµείο Ο της επιφάνειας της Γης και µε άξονες Οx (προς τον νότο) Οy (προς ανατολάς) και Οz κατακόρυφο ως προς την επιφάνεια της Γης στο σηµείο Ο. Στο σύστηµα αυτό η κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση του οµογενούς πεδίου βαρύτητας δίνεται από τις εξισώσεις && x ω sin ϕy& () && y ωcos ϕz& ωsin ϕx& () && z g+ ωcos ϕy& () Με αρχικές συνθήκες x(0) y(0) 0, z(0) h, x& (0) y& (0) z& (0) 0 α) Η ζητούµενη απόκλιση είναι αυτή κατά τον άξονα y.

3 () x ωsin ϕy+ c, (4) όπου c0 λόγω αρχικών συνθηκών (y0, x & 0 ) () z gt+ ωcos ϕy+ c, (5) όπου c0 λόγω αρχικών συνθηκών (t0,y0, z & 0 ) Αντικαθιστούµε τις (4) και (5) στην () και βρίσκουµε, θέτοντας ω 0, && y ωcos ϕ( gt) 4ω cos ϕy 4ω sin ϕy (ωgcos ϕ) t y& ωgcosϕt + c y ωgcosϕt + ct + c όπου c 0, c 0 λόγω αρχικών συνθηκών (t0, y & 0,y0). Άρα y ωgt cos ϕ (6) β) Αντικαθιστώντας την (6) στην (5) έχουµε z& gt+ ω gcos ϕt gt z gt + h (6) h Άρα το σώµα πέφτει στην επιφάνεια της Γης (z0) σε χρόνο t. Αντικαθιστώντας g ωcosϕ το χρόνο πτώσης στην (6) βρίσκουµε y h g / ΘΕΜΑ + (α) Υλικό σηµείο κινείται στο χώρο υπό την επίδραση της δύναµης F ( x y ) ˆ. αποδειχθεί ότι διατηρείται η συνιστώσα της στροφορµής µόνο κατά τον άξονα Oz. Να (β) Η τροχιά υλικού σηµείου µάζας m στο χώρο καθορίζεται από τη σχέση ˆ t () ti sin π π + t cos t ˆ + j+ ( t ) ˆ όπου t ο χρόνος. Να υπολογίσετε το έργο της δύναµης F y z 4xy iˆ+ xyz 4x y z ˆj+ xy z y ˆ ( ) ( ) ( ) που δρα στο σώµα για το χρονικό διάστηµα από t 0 έως t. (α) Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής είναι

4 iˆ ˆj ˆ dl F x y z ( yx y ) iˆ ( x xy ) ˆj+ 0. ˆ dt 0 0 x y Εποµένως µόνο η χρονική παράγωγος της οπότε dl dt (β) Η δύναµη z 0 L σταθ. F z L z προέρχεται από δυναµικό γιατί iˆ ˆj ˆ F x y z συνιστώσας της στροφορµής µηδενίζεται, y z 4xy xyz 4x y z xy z y ( 6xyz + 6xyz ) iˆ ( y z + y z ) ˆj + ( yz 8xy + yz + 8xy) ˆ 0 Εποµένως υπάρχει συνάρτηση δυναµικού V( x, y, z ), ώστε F V( x, y, z), η οποία υπολογίζεται ως εξής: Fx y z 4 xy V( x, y, z) xy z + x y + c ( y, z ), x x c Fy xyz 4x y z xyz 4 x y c( y, z) yz + c( z), y y c Fz xy z y xy z y c ( z) z+ c. z z Οπότε V( x, y, z) xy z + x y + yz+ z. Για τη θέση του κινητού έχουµε: για t 0 ˆ 0iˆ ˆ + j+, και για t iˆ+ ˆj+ 0ˆ. Οπότε το έργο της δύναµης W είναι W V(0,, ) V(,, 0) 0 8. ΘΕΜΑ 4 Στο πρόβληµα των δυο σωµάτων θεωρούµε δυο σηµειακές µάζες m, m που βρίσκονται αντίστοιχα σε θέσεις R, R ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα συντεταγµένων µε αρχή το σηµείο Ο. Τα δυο υλικά σηµεία ασκούν το ένα στο άλλο δυνάµεις οι οποίες υπακούουν στο τρίτο αξίωµα του Νεύτωνα. Αν R το διάνυσµα θέσης του κέντρου µάζας των δυο σωµάτων ως προς το Ο, το διάνυσµα θέσης της µάζας ως προς την m, και, αντίστοιχα τα διανύσµατα θέσης των µαζών m, m ως προς το κέντρο µάζας τους, να δείξετε αναλυτικά ότι η στροφορµή του συστήµατος: m

5 L R mu R m u όπου u R &, u R &, µπορεί να γραφτεί ως L R mu + µ u όπου m m+ m, u R & mm, µ και u & m + m + (α) Από τον ορισµό του κέντρου µάζας (ΚΜ) και το m σχήµα της εκφώνησης έχουµε: mr + mr R, R R. () m+ m Λύνοντας τη σχέση () ως προς R, R m R παίρνουµε: R m m R R, R R+ R () m+ m m+ m από όπου συµπεραίνουµε ότι: m m, O. () m+ m m+ m Παραγωγίζοντας τις () και () έχουµε: u u + u, u u + u, (4) m u u, u m u. m+ m m+ m Από τις () και (5) έχουµε: m + m 0, mu + mu 0. Οπότε για τη στροφορµή έχουµε: (),(),(4) L R mu + R mu ( R+ ) m( u + u) + ( R+ ) m( u + u) R mu + R mu + mu + mu + + R mu + R mu + mu + mu R m + m u + R mu + m u + m + m u + mu + m u ( ) ( ) ( ) mm mm R mu u+ u m+ m m+ m () R mu + ( ) µ u R mu + µ u. (5),(6) (5) (6)

Σχετικά έγγραφα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Συστήµατα Υλικών Σηµείων 1. Να βρεθεί το δυναµικό που οφείλεται σε δύο ακίνητα ελκτικά κέντρα µε µάζες 1 και. Γράψτε την εξίσωση της κίνησης ενός υλικού σηµείου µάζας στο παραπάνω δυναµικό.