ΔΦΦΦΦΦ. Μαθηματικά. Α Γυμνασίου

ΔΦΦΦΦΦ Μαθηματικά Α Γυμνασίου

Περιεχόμενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Φυσικοί αριθμ οί... 5 Α1.1 Φυσικοί αριθμ οί-διάταξη φυσικών-στρογγυλοποίηση... 5 Α1.2 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμ ός φυσικών αριθμ ών... 7 Α.1.3 Δυνάμ εις φυσικών αριθμ ών... 8 Α.1.4 Ευκλείδεια διαίρεση διαιρετότητα... 10 Α.1.5 Χαρακτήρες διαιρετότητας-μκδ-εκπ-ανάλυση σε γινόμ ενο πρώτων παραγόντων... 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα κλάσμ ατα... 13 Α.2.1. Η έννοια του κλάσμ ατος... 13 Α.2.2 Ισοδύναμ α κλάσμ ατα... 14 Α.2.3 Σύγκριση κλασμ άτων... 16 Α.2.4 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμ άτων... 17 Α.2.5 Πολλαπλασιασμ ός κλασμ άτων... 18 Α.2.6 Διαίρεση κλασμ άτων... 19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Δεκαδικοί αριθμ οί... 20 Α.3.1 Δεκαδικά κλάσμ ατα δεκαδικοί αριθμ οί.διάταξη δεκαδικών αριθμ ών- στρογγυλοποίηση.... 20 Α.3.2 Πράξεις μ ε δεκαδικούς αριθμ ούς - δυνάμ εις μ ε βάση δεκαδικό αριθμ ό... 21 Α.3.3 Υπολογισμ οί μ ε τη βοήθεια υπολογιστή τσέπης... 22 Α.3.4 Τυποποιημ ένη μ ορφή μ εγάλων αριθμ ών... 22 Α.3.5 Μονάδες μ έτρησης... 23 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Εξισώσεις και προβλήμ ατα... 26 Α.4.1 Η έννοια της εξίσωσης οι εξισώσεις :α+x=β,x-α=β, α-x=β, αx=β, α:x=β x:α =β,... 26 Α.4.2 Επίλυση προβλημ άτων... 27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5o Ποσοστά... 28 Α.5.1 Ποσοστά... 28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο Ανάλογα αντιστρόφως ανάλογα ποσά... 29 Α.6.1 Παράσταση σημ είων στο επίπεδο... 29 Α.6.2 Λόγος δύο αριθμ ών -αναλογία... 30 Α.6.3 Ανάλογα ποσά - Ιδιότητες ανάλογων ποσών... 31 Α.6.4 Γραφική παράσταση σχέση αναλογίας... 32 Α.6.5 Προβλήμ ατα αναλογιών... 32 Α.6.6 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά... 34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο Θετικοί και αρνητικοί αριθμ οί... 35 Α.7.1. Θετικοί και αρνητικοί αριθμ οί (ρητοί αριθμ οί)... 35 Α.7.2 Απόλυτη τιμ ή ρητού αντίθετοι ρητοί σύγκριση ρητών... 36 Α.7.3 Πρόσθεση ρητών αριθμ ών... 37 Α.7.4 Αφαίρεση ρητών αριθμ ών... 38 Α.7.5 Πολλαπλασιασμ ός ρητών αριθμ ών... 39 Α.7.6 Διαίρεση ρητών αριθμ ών... 40 Α.7.7 Δεκαδική μ ορφή ρητών αριθμ ών... 41 Α.7.8 Δυνάμ εις ρητών μ ε εκθέτη φυσικό... 42 Α.7.9 Δυνάμ εις ρητών μ ε εκθέτη ακέραιο... 43 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 2

Α.7.10 Τυποποιημ ένη μ ορφή μ εγάλων και μ ικρών αριθμ ών... 43 ΜΕΡΟΣ Β Γεωμ ετρια... 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο Βασικές γεωμ ετρικές έννοιες... 44 Β.1.1 Σημ είο - ευθύγραμμο τμ ήμ α - ευθεία ημ ιευθεία επίπεδοημ ιεπίπεδο... 44 Β.1.2 Γωνία-γραμμή-επίπεδα σχήμ ατα- ευθύγραμμα σχήμ ατα-ίσα σχήμ ατα... 46 Β.1.3 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράμμων τμ ημ άτων απόσταση σημ είων μ έσο ευθύγραμμου τμ ήμ ατος... 48 Β.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμ ημ άτων... 50 Β.1.5 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών διχοτόμ ος γωνίας... 51 Β.1.6 Είδη γωνιών κάθετες ευθείες... 52 Β.1.7 Εφεξής και διαδοχικές γωνίες άθροισμ α γωνιών... 53 Β.1.8 Παραπληρωμ ατικές - συμ πληρωμ ατικές -κατακορυφήν γωνίες... 54 Β.1.9 Θέσεις ευθειών στο επίπεδο... 55 Β.1.10 Απόσταση σημ είου από ευθεία απόσταση παράλληλων... 56 Β.1.11 ΚΥκλος και στοιχεία κύκλου... 57 Β.1.12 Επίκεντρη γωνία σχέση επίκεντρης γωνίας και αντίστοιχου τόξου μ έτρηση τόξου... 58 Β.1.13 Θέσεις ευθείας και κύκλου... 58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Συμμετρίες... 59 Β.2.1 Συμμετρία ως προς άξονα... 59 Β.2.2 Αξονας συμμετρίας... 60 Β.2.3 Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμ ήμ ατος... 60 Β.2.4 Συμμετρία ως προς σημ είο... 61 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 3

Β.2.5 Κέντρο συμμετρίας... 62 Β.2.6 Παράλληλες ευθείες που τέμ νονται από μ ια άλλη ευθεία... 63 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3... 64 Τρίγωνα-παραλληλόγραμμα -τραπέζια... 64 Β.3.1 Στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων... 64 Β.3.2 Αθροισμ α γωνιών τριγώνου - ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου... 66 Β.3.3 Παραλληλόγραμ μο- ορθογώνιο-ρόμ βος-τετράγωνο-τραπέζιοισοσκελές τραπέζιο... 67 Β.3.4 Ιδιότητες παραλληλογράμμου - ορθογωνίου - ρόμ βου - τετραγώνου - τραπεζίου - ισοσκελούς τραπεζίου... 69 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Φυσικοί αριθμοί Α1.1 Φυσικοί αριθμοί-διάταξη φυσικώνστρογγυλοποίηση 1. Ποιοί αριθμοί ονομάζονται φυσικοί; Φυσικοί αριθμοί ονομάζονται οι : 0,1,2,3,4,.. 2. Σε ποιές κατηγορίες χωρίζονται οι φυσικοί αριθμοί; Στους άρτιους και τους περιττούς. 3. Ποιοί λέγονται άρτιοι και ποιοί περιττοί; Άρτιοι λέγονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2. Π.χ. 2,4,6,,120, Περιττοί λέγονται οι αριθμοί που δεν διαιρούνται με το 2. Π.χ. 1,3,5,.,125, 4. Ποιά είναι τα σύμβολα ισότητας και ανισότητας; Το = που σημαίνει «ίσος με». Το > που σημαίνει «μεγαλύτερος από». Το < που σημαίνει «μικρότερος από». 5. Μπορούμε πάντα να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς μεταξύ τους; Ναι, μπορούμε πάντα να συγκρίνουμε δύο φυσικούς αριθμούς μεταξύ τους. 0<1<2<3<4,..<10<.<123<.. 6. Πως τοποθετούμε τους φυσικούς αριθμούς σε μία ευθεία γραμμή; Μαθηματικά Α Γυμνασίου 5

Διαλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο Ο της ευθείας, που το λέμε αρχή, για να παραστήσουμε τον αριθμό 0. Μετά δεξιά από το σημείο Ο διαλέγουμε ένα άλλο σημείο Α, που παριστάνει τον αριθμό 1. Τότε, με μονάδα μέτρησης το ΟΑ, βρίσκουμε τα σημεία που παριστάνουν τους αριθμούς: 2, 3, 4, 5,... 7. Ποια διαδικασία ονομάζεται στρογγυλοποίηση; Η διαδικασία κατά την οποία αντικαθιστούμε έναν αριθμό με ένα λίγο μικρότερο ή λίγο μεγαλύτερο του ονομάζεται στρογγυλοποίηση. Π.χ. 2,1 2 ή 5,9 6 8. Πως κάνουμε στρογγυλοποίηση; Προσδιορίζουμε την τάξη στην οποία θα γίνει η στρογγυλοποίηση. Εξετάζουμε το ψηφίο την αμέσως μικρότερης τάξης. o Αν αυτό είναι μικρότερο του 5 (0,1,2,3ή 4), το ψηφίο αυτό και όλα των μικρότερων τάξεων μηδενίζονται. o Αν αυτό είναι μεγαλύτερο ή ίσο του 5 (5,6,7,8 ή 9)), το ψηφίο αυτό και όλα των μικρότερων τάξεων μηδενίζονται και το ψηφίο της τάξης στρογγυλοποίησης αυξάνεται κατά 1. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 6

Α1.2 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών 1. Πως ονομάζουμε τους αριθμούς που προσθέτουμε και πως το αποτέλεσμα ; Τους αριθμούς που προθέτουμε τους ονομάζουμε προσθετέους και το αποτέλεσμα άθροισμα. Π.χ. 5+4=9 (5,4: προσθετέοι, 9: άθροισμα) 2. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης; α+0=0+α=α α+β=β+α αντιμεταθετική ιδιότητα α+(β+γ)=(α+β)+γ προσεταιριστική ιδιότητα 3. Πως ονομάζονται οι αριθμοί στην αφαίρεση; Μ-Α=Δ ή Μ=Α+Δ Μειωτέος Αφαιρετέος =Διαφορά 4. Πως ονομάζονται οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται και πως το αποτέλεσμα; Οι αριθμοί που πολλαπλασιάζονται ονομάζονται παράγοντες και το αποτέλεσμα τους γινόμενο. Π.χ. 2*3=6 (2,3: παράγοντες, 6: γινόμενο) 5. Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού; α 1=1 α=α αβ=βα αντιμεταθετική ιδιότητα α(βγ)=(αβ)γ προσεταιριστική ιδιότητα α(β+γ)=αβ +αγ επιμεριστική ως προς την πρόσθεση α(β-γ)=αβ αγ επιμεριστική ως προς την αφαίρεση. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 7

Α.1.3 Δυνάμεις φυσικών αριθμών 1. Τι ονομάζεται ν-οστή δύναμη του α και πως συμβολίζεται; Ν-οστή δύναμη του α ονομάζεται το γινόμενο α α α α α που έχει ν παράγοντες ίσους με α. Συμβολίζεται α ν α ν = α α α α α π.χ 2 4 = 2 2 2 2=16 --ν φορές-- 2. Στη δύναμη του α ν πως ονομάζεται το α και πως το ν; Το α ονομάζεται βάση και το ν εκθέτης. 3. Τι γνωρίζεις για την δύναμη του α στη δευτέρα ; Πως το ονομάζουμε διαφορετικά ; Τι εκφράζει γεωμετρικά; Η δύναμη του αριθμού α στην δευτέρα, δηλαδή το α 2 λέγεται διαφορετικά και α στο τετράγωνο. Εκφράζει το εμβαδό τετραγώνου πλευράς α. 4. Τι γνωρίζεις για την δύναμη του α στη τρίτη; Πως το ονομάζουμε διαφορετικά ;Τι εκφράζει γεωμετρικά; Η δύναμη του αριθμού στην τρίτη, δηλαδή το α 3 λέγεται και α στον κύβο. Εκφράζει τον όγκο ενός κύβου με ακμή α. 5. Τι γνωρίζεις για την δύναμη του α στην πρώτη ; α`1 =α π.χ 2 1 =2 3 1 =3 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 8

6. Τι γνωρίζεις για τις δυνάμεις του 1; 1`ν =1 π.χ 1 3 =1 1 10 =1 1 2012 =1 7. Τι ονομάζω αριθμητική παράσταση; Αριθμητική παράσταση ονομάζουμε κάθε σειρά αριθμών που συνδέονται μεταξύ τους με τα σύμβολα των πράξεων. Π.χ. 2+9-5+12 8. Με ποια σειρά γίνονται οι πράξεις στις αριθμητικές παραστάσεις; Η σειρά με την οποία γίνονται οι πράξεις είναι η εξής: α) Δυνάμεις. β) Πολλαπλασιασμοί διαιρέσεις. γ) Προσθέσεις αφαιρέσεις. ΕΚΤΟΣ αν υπάρχουν παρενθέσεις οπότε εκτελούμε τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις με την παραπάνω σειρά. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 9

Α.1.4 Ευκλείδεια διαίρεση Διαιρετότητα 1. Ποια διαίρεση λέγεται Ευκλείδεια; Αν Δ: Διαιρετέος δ:διαιρέτης π: πηλίκο,υ :υπόλοιπο τότε η σχέση Δ=δ π+υ με 0 υ<δ λέγεται Ευκλείδεια διαίρεση. Π.χ στη διαίρεση 16:3 έχουμε 16=3 5+1 0 1 3 2. Ποια διαίρεση λέγεται τέλεια; Η διαίρεση που έχει υπόλοιπο 0 ονομάζεται τέλεια. Δ= δ π π.χ 15=3 5+0 3. Στους φυσικούς αριθμούς η τέλεια διαίρεση αντιστροφή ποιάς πράξη είναι; Στους φυσικούς αριθμούς η τέλεια διαίρεση είναι αντιστροφή πράξη του πολλαπλασιασμού. 4. Μπορεί ο διαιρέτης μιας διαίρεσης να είναι 0; Όχι, δεν μπορεί ο διαιρέτης μιας διαίρεσης να είναι 0 (δ 0). 5. Όταν Δ=δ, τότε π=; π=1 (3:3=1). 6. Όταν δ=1 τότε π=; π=δ (3:1=3) 7. Όταν Δ=0, τότε π=; π=0 (0:3=0) Μαθηματικά Α Γυμνασίου 10

Α.1.5 Χαρακτήρες διαιρετότητας-μκδ-εκπ- Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων 1. Ποια είναι τα πολλαπλάσια ενός αριθμού α; Πολλαπλάσια ενός αριθμού α ονομάζονται οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του α με όλους τους φυσικούς αριθμούς. Δηλαδή : 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,. 2. Ποιοι είναι οι χαρακτήρες διαιρετότητας; Χαρακτήρες διαιρετότητας είναι: i) Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του. ii) Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται από έναν άλλο είναι πολλαπλάσιό του. Iii) Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί έναν άλλο θα διαιρεί και τα πολλαπλάσια του. 3. Τι ονομάζω ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών; Eλάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών [Ε.Κ.Π(α,β)] ονομάζω το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή περισσότερων αριθμών πλην του μηδενός. Π.χ Ε.Κ.Π.(2,6)=2 4. Ποια αριθμοί λέγονται διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α; Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού α λέγονται οι αριθμοί που τον διαιρούν ακριβώς. Κάθε αριθμός α έχει διαιρέτες τους αριθμούς 1 και α. 5. Ποιος αριθμός λέγεται πρώτος και ποιος σύνθετος; Πρώτος λέγεται ο αριθμός που διαιρείται από τον εαυτό του και την μονάδα. Π.χ το 11, 13,17 κ.α Σύνθετος λέγεται ο αριθμός που δεν είναι πρώτος και έχει τουλάχιστο 3 διαιρέτες Π.χ το 12,15,18 κ.α Μαθηματικά Α Γυμνασίου 11

6. Τι ονομάζεται μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο αριθμών; Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο αριθμών [Μ.Κ.Δ(α,β)] ονομάζεται ο μεγαλύτερος από τους κοινούς τους διαιρέτες. Π.χ. Μ.Κ.Δ.(3,9)=3 7. Πότε δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους; Δύο αριθμοί α,β λέγοντα πρώτοι μεταξύ τους όταν Μ.Κ.Δ(α,β)=1. 8. Τι ονομάζω κριτήρια διαιρετότητας; Κριτήρια διαιρετότητας ονομάζω τους κανόνες με τους οποίους μπορούμε να συμπεράνουμε, χωρίς να κάνουμε διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2,3,4,5,9,10 ή 25 9. Ποια κριτήρια διαιρετότητας γνωρίζεις; Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 10,100,1000,αν λήγει σε ένα, δύο, τρία μηδενικά αντίστοιχα. Π.χ ο αριθμός 230 διαιρείται με το 10 ο αριθμός 2300 με το 10 και το 100 ο αριθμός 23000 με το 10 το 100 και το 1000 Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, αν το τελευταίο του ψηφίο είναι : 0,2,4,6ή 8. Π.χ οι αριθμοί 6, 28, 374, 1350 διαιρούνται με το 2 Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι 0 ή 5. Π.χ οι αριθμοί 75, 105, 130, 300 διαιρούνται με το 5 Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα. Π.χ ο αριθμός 201 διαιρείται με το 3 γιατί 2+0+1=3, ενώ ο αριθμός 261 διαιρείται και με το 3 και με το 9 γιατί 2+6+1=9. Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 4 ή το 25 αν τα δύο τελευταία του ψηφία διαιρούνται με το 4 ή το 25 αντίστοιχα. Π.χ οι αριθμοί 132, 1116, 50024 διαιρούνται με το 4 και οι αριθμοί 175, 2050, 3125 διαιρούνται με το 25 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 12

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Τα κλάσματα Α.2.1. Η έννοια του κλάσματος 1. Tι δηλώνει η λέξη κλάσμα; πόσα μέρη πήραμε (αριμθητής) κλάσμα = πόσα μερη χωρίσαμε (παρονομαστής) 2. Τι είναι το 1 νιοστό; 1 νιοστό λέγεται το 1 από τα ν ίσα κομμάτια στα οποία χωρίσαμε την ακέραια μονάδα. Π.χ. 1 δεύτερο: 1 2. 3. Γίνεται ο αριθμητής να είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή; Ναι, μπορεί ο αριθμητής να είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μεγαλύτερο από 1. Π.χ 5 3,5 3,5 3 4. Γίνεται ο αριθμητής να είναι μικρότερος από τον παρονομαστή; Ναι, μπορεί ο αριθμητής να είναι μικρότερος από τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι μικρότερο από 1. Π.χ 1 3,1 3,1 3 5. Γίνεται ο αριθμητής να είναι ίσος με τον παρονομαστή; Ναι, μπορεί ο αριθμητής να είναι ίσος με τον παρονομαστή, τότε το κλάσμα είναι όσο με την 1. Π.χ 10 10,10 10,10 10 6. Μπορεί κάθε φυσικός αριθμός να γραφεί σαν κλάσμα; Ναι, κάθε φυσικός αριθμός γράφεται σαν κλάσμα με παρονομαστή τη μονάδα. Π.χ 3= 3,3= 3, 1 1 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 13

Α.2.2 Ισοδύναμα κλάσματα 1. *Πότε δύο κλάσματα είναι ίσα ή ισοδύναμα; Δυο κλάσματα είναι ίσα ή ισοδύναμα όταν εκφράζουν το ίδιο τμήμα ενός μεγέθους. 2. Πως διαπιστώνω ότι δύο κλάσματα είναι ίσα ή ισοδύναμα; Δύο κλάσματα είναι ίσα ή ισοδύναμα όταν τα χιαστί τους γινόμενα είναι ίσα. 3. Πως κατασκευάζω ίσα ή ισοδύναμα κλάσματα; Για να κατασκευάσω ίσα ή ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζω ή διαιρώ τους όρους του κλάσματος με τον ίδιο αριθμό( 0). 4. Πως ονομάζεται η διαδικασία με την οποία διαιρώ αριθμητή και παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό; Η διαδικασία με την οποία διαιρώ αριθμητή και παρονομαστή ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό ονομάζεται απλοποίηση. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 14

5. Πως ονομάζεται το κλάσμα που δεν απλοποιείται άλλο; Το κλάσμα που δεν απλοποιείται άλλο ονομάζεται ανάγωγο. Π.χ. 1 5. 6. Ποια κλάσματα λέγονται ομώνυμα και ποια ετερώνυμα; Ομώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή. Ετερώνυμα λέγονται τα κλάσματα που έχουν διαφορετικό παρονομαστή. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 15

Α.2.3 Σύγκριση κλασμάτων 1. Πως συγκρίνω κλάσματα; Αν τα κλάσματα είναι ομώνυμα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει τον μεγαλύτερο αριθμητή. 3 7 < 4 7 Αν τα κλάσματα είναι ετερώνυμα τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα. 12 < 20 24 24 Αν τα κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμητή μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει τον μικρότερο παρονομαστή. 9 21 < 9 15 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 16

Α.2.4 Πρόσθεση και Αφαίρεση κλασμάτων 1. Πως προσθέτω κλάσματα; Αν είναι ομώνυμα προσθέτουμε τους αριθμητές και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο. Αν είναι ετερώνυμα τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα 2. Πως αφαιρώ κλάσματα; Αν είναι ομώνυμα αφαιρούμε τους αριθμητές και παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο. Αν είναι ετερώνυμα τα μετατρέπουμε σε ομώνυμα. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 17

Α.2.5 Πολλαπλασιασμός κλασμάτων 1. Πως πολλαπλασιάζω κλάσματα; Πολλαπλασιάζω αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή. 2. Πως πολλαπλασιάζω φυσικό αριθμό με κλάσμα; Πολλαπλασιάζω τον φυσικό αριθμό με τον αριθμητή με παρονομαστή αφήνω τον ίδιο. 3 2 5 = 6 5 3. Ποια κλάσματα λέγονται αντίστροφα; Αντίστροφα λέγονται τα κλάσματα που έχουν γινόμενο 1. 9 2 και 2 9 3 1 και 1 3 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 18

Α.2.6 Διαίρεση κλασμάτων 1. Τι κάνουμε για να διαιρέσουμε δύο φυσικούς αριθμούς; Για να διαιρέσουμε δύο φυσικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη 3:2=3 1 2 2. Τι κάνουμε για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα; Για να διαιρέσουμε δύο κλάσματα πολλαπλασιάζουμε τον διαιρετέο με τον αντίστροφο του διαιρέτη 3. Ποιο κλάσμα λέγεται σύνθετο και πως το μετατρέπουμε σε απλό; Σύνθετο ονομάζεται το κλάσμα,του οποίου ένας τουλάχιστον όρος του είναι κλάσμα. Η μετατροπή γίνεται με διαίρεση Μαθηματικά Α Γυμνασίου 19

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Δεκαδικοί αριθμοί Α.3.1 Δεκαδικά κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί.διάταξη δεκαδικών αριθμών- στρογγυλοποίηση. 1. Ποιο κλάσμα λέγεται δεκαδικό; Δεκαδικό λέγεται το κλάσμα που έχει παρονομαστή δύναμη του 10. 2. Από ποια μέρη αποτελείται ένας δεκαδικός αριθμός; Ένας δεκαδικός αριθμός αποτελείται από τα ακέραιο και το δεκαδικό μέρος που διαχωρίζονται από την υποδιαστολή. 3. Ποιο κανόνα χρησιμοποιούμε για να συγκρίνουμε δύο αριθμούς; Αν οι δεκαδικοί : 43,3 < 43,5 Αν οι δεκαδικοί: 43,31 >4 3,308 4. Ποιο κανόνα χρησιμοποιούμε για να στρογγυλοποιήσουμε έναν αριθμό; Βλ. στρογγυλοποίηση σελ 1. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 20

Α.3.2 Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς - Δυνάμεις με βάση δεκαδικό αριθμό 1. Τι πρέπει να προσέχω στην πρόσθεση και η αφαίρεση δεκαδικών αριθμών; Στην πρόσθεση και η αφαίρεση δεκαδικών αριθμών πρέπει να φροντίζω ώστε να τοποθετώ τους αριθμούς τον έναν κάτω από τον άλλο έτσι ώστε οι υποδιαστολές να βρίσκονται στην ίδια στήλη. 2. Πως γίνεται ο πολλαπλασιασμό δεκαδικών αριθμών; Στον πολλαπλασιασμό δεκαδικών αριθμών πολλαπλασιάζω κανονικά όπως και στους φυσικούς και στο τέλος τοποθετούμε την υποδιαστολή τόσες θέσεις από τα δεξιά όσα είναι συνολικά τα δεκαδικά ψηφία των παραγόντων. 3. Πως γίνεται η διαίρεση δεκαδικών αριθμών; Στη διαίρεση δεκαδικών αριθμών πολλαπλασιάζω διαιρέτη και διαιρετέο με κατάλληλη δύναμη του 10 ώστε ο διαιρέτης να γίνει φυσικός και εκτελώ κανονικά τη διαίρεση όπως στους φυσικούς αριθμούς. 4. Πως πολλαπλασιάζω με 0,1 0,01 0,001 ένα δεκαδικό αριθμό; 267 0,1=26,7 267 0,01=2,67 267 0,001=0,267 5. Πως πολλαπλασιάζω με το 10 100 1000 ένα δεκαδικό αριθμό; 267 10=2670 267 100=26700 267 1000=267000 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 21

6. Τι γνωρίζεις για τις δυνάμεις δεκαδικών αριθμών; Το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων που έχει το αποτέλεσμα, προκύπτει από το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων της βάσης επί τον εκθέτη της δύναμης. Π.χ 0,001 2 =0,000001 Α.3.3 Υπολογισμοί με τη βοήθεια υπολογιστή τσέπης Α.3.4 Τυποποιημένη μορφή μεγάλων αριθμών 1. Τι είναι τυποποιημένη μορφή ενός αριθμού; Ένας μεγάλος αριθμός μπορεί να γραφεί στην μορφή α 10 ν με 1 α<1 Π.χ 500 000= 5 10 5 312 000 000=3,12 10 8 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 22

Α.3.5 Μονάδες μέτρησης 1. Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης του μήκους; Βασική μονάδα μέτρησης του μήκους είναι το μέτρο (Συμβ: m) 2. Ποιες είναι οι υποδιαιρέσεις και ποια τα πολλαπλάσια του μέτρου; Υποδιαιρέσεις: 1 dm=0,1 m 1 cm=0,01 1mm=0,001m Πολλαπλάσια 1Κm=1000m 3. Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης του μήκους στη ναυσιπλοΐα ; Βασική μονάδα μέτρησης του μήκους στη ναυσιπλοΐα το ναυτικό μίλι=1852m 4. Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης του εμβαδού; Βασική μονάδα μέτρησης του εμβαδού είναι το τετραγωνικό μέτρο (Συμβ: m 2 ) που είναι η επιφάνεια ενός τετραγώνου με πλευρά 1 m. Υποδιαιρέσεις: 1 dm 2 =0,01 m 2 1 cm 2 =0,0001 m 2 1mm 2 =0,000001m 2 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 23

5. Στην Ελλάδα ποιο είναι το πολλαπλάσιο του τετραγωνικού μέτρου που χρησιμοποιούμε; Στην Ελλάδα χρησιμοποιούμε το στρέμμα=1000m 2 6. Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης του όγκου; Βασική μονάδα μέτρησης του όγκου είναι το κυβικό μέτρο (Συμβ: m 3 ) που είναι ο όγκος ενός κύβου,ακμής 1 m. 1 dm 3 =0,001 m 3 1 cm 3 =0,000001 m 3 1mm 3 =0,000000001m 3 7. Για την μέτρηση του όγκου των υγρών ποια μονάδα μέτρησης χρησιμοποιούμε; Για την μέτρηση του όγκου των υγρών ποια μονάδα μέτρησης χρησιμοποιούμε: Το λίτρο(lt) 1lt=1dm 3 To χιλιοστόλιτρο 1 ml=1cm 3 προφανώς 1 ml= 0,001 lt 8. Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης του χρόνου; Βασική μονάδα μέτρησης του χρόνου είναι το δευτερόλεπτο (s) Πολλαπλάσια 1 λεπτό (min) =60 s 1ώρα (h) = 60 min = 60min 60=3600 s 1 ημέρα=24 h =24 h 60 =440 min =440min 60=86400s Μαθηματικά Α Γυμνασίου 24

9. Ποια είναι η βασική μονάδα μέτρησης της μάζας; Βασική μονάδα μέτρησης της μάζας χιλιόγραμμο ή κιλό (Κg) Υποδιαιρέσεις: 1 g=0,001κg 1 mg=0,001g=0,000001kg Πολλαπλάσια : 1 τόνος(t) =1000 Kg Μαθηματικά Α Γυμνασίου 25

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο Εξισώσεις και προβλήματα Α.4.1 Η έννοια της εξίσωσης Οι εξισώσεις :α+x=β,x-α=β, α-x=β, αx=β, α:x=β x:α =β, 1. Τι είναι εξίσωση; Εξίσωση είναι η ισότητα που έχει αριθμούς και ένα γράμμα (άγνωστος). x+3=5 2. Τι είναι λύση ή ρίζα της εξίσωσης; Λύση ή ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός που την επαληθεύει (την κάνει αληθινή).π.χ στη x+3=5 το x=2. 3. Τι ονομάζω επίλυση μιας εξίσωσης; Επίλυση είναι η διαδικασία κατά την οποία βρίσκω την λύση της εξίσωσης. 4. Ποτέ μια εξίσωση λέγεται ταυτότητα ή αόριστη; Αόριστη ή ταυτότητα λέγεται η εξίσωση στην οποία όλοι οι αριθμοί είναι λύσεις της. Είναι της μορφής 0x=0. 5. Πότε μια εξίσωση λέγεται αδύνατη; Αδύνατη είναι η εξίσωση στην οποία κανένας αριθμός δεν την επαληθεύει. Είναι της μορφής 0x=β, β 0 6. Πως λύνονται οι εξισώσεις α+x=β,x-α=β, α-x=β, αx=β, α:x=β,x:α =β α+x=β, x=β-α π.χ 2+x=5, x=5-2, x=3 x-α=β, x=β+α π.χ χ-5=4,x=4+5, x=9 α-x=β, x=α-β π.χ 4-x= 2,x=4-2, x=2 αx=β, x=β :α πχ 3x=9,x=9:3, x=3 α:x=β, x=α :β π.χ 6:x=2,x=6:2, x=3 x:α =β, x= α β π.χ x :2=3, x=6 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 26

Α.4.2 Επίλυση προβλημάτων 1. Τι είναι πρόβλημα τι είναι λύση και τι επίλυση του ; Πρόβλημα : Δύσκολη κατάσταση Λύση : Επίτευξη στόχου Επίλυση : Διαδικασία με την οποία οδηγούμαι στην λύση του προβλήματος 2. Τι κάνω για να λύσω ένα πρόβλημα με την βοήθεια των εξισώσεων; Έστω χ ο άγνωστος Εκφράζω τα στοιχεία του προβλήματος με την βοήθεια του αγνώστου. Περιγράφω το πρόβλημα με μια εξίσωση. Επιλύω την εξίσωση. Επαληθεύω την λύση. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 27

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο Α.5.1 Ποσοστά ΠΟΣΟΣΤΑ 1. Τι γνωρίζεις για το ποσοστό επί τις εκατό; α% = α 100 2. Τι γνωρίζεις για το ποσοστό επί τις χιλίοις; α / = α 1000 3. Πόσο είναι το ποσοστό α% του β; α% β = αβ 100 4. Τα κλάσματα μπορούν να γραφούν σαν ποσοστά; Ναι, τα κλάσματα μπορούν να γραφούν σαν ποσοστά. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 28

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ΑΝΑΛΟΓΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ Α.6.1 Παράσταση σημείων στο επίπεδο Ο: Αρχή των αξόνων, Οχ: Ημιάξονας τετμημένων Οy : Hμιάξονας τεταγμένων 1. Γιατί το παραπάνω ζευγάρι(2,4) ονομάζεται διατεταγμένο ζεύγος; Διατεταγμένο σημαίνει με τη σειρά το 2 πρώτο και το 4 δεύτερο. 2. Πως ονομάζω τους αριθμούς του διατεταγμένου ζεύγους; Τους αριθμούς του διατεταγμένου ζεύγους τους ονομάζω συντεταγμένες. Π.χ. (1,3) 3. Τι αντιστοιχεί σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος θετικών αριθμών; Σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος θετικών αριθμών αντιστοιχεί ένα σημείο 4. Τι αντιστοιχεί σε κάθε σημείο; Σε κάθε σημείο αντιστοιχεί ένα διατεταγμένο ζεύγος θετικών αριθμών; 5. Γιατί το σύστημα αξόνων που χρησιμοποιούμε λέγεται ορθοκανονικό; Ορθό: σημαίνει οι άξονες τέμνονται κάθετα Κανονικό: σημαίνει έχει οριστεί πάνω τους η ίδια μονάδα μέτρησης Μαθηματικά Α Γυμνασίου 29

Α.6.2 Λόγος δύο αριθμών -Αναλογία 1. Τι ορίζω σαν λόγο δυο ομοειδών μεγεθών; Σαν λόγο δυο ομοειδών μεγεθών ορίζω το πηλίκο των μέτρων τους. 2. Πως ονομάζεται η ισότητα των λόγων; Η ισότητα των λόγων ονομάζεται αναλογία. 3. Πότε λέμε ότι δύο σχήματα είναι όμοια; Δύο σχήματα λέγονται όμοια όταν το ένα αποτελεί σμίκρυνση ή μεγέθυνση του άλλου. 4. Τι ορίζω ως κλίμακα ενός χάρτη; Κλίμακα ορίζεται ως ο λόγος της απόστασης δυο σημείων της εικόνας προς την πραγματική απόσταση. 5. Οι λόγοι αντίστοιχων πλευρών δύο παραλληλογράμμων είναι ίσοι με το λόγο των περιμέτρων τους; Ναι, οι λόγοι αντίστοιχων πλευρών δύο παραλληλογράμμων είναι ίσοι με το λόγο των περιμέτρων τους 6. Τι γνωρίζεις για την ιδιότητα χιαστί; Κάθε σχέση αναλογίας a = είναι ισοδύναμη με τη σχέση αδ=βγ Μαθηματικά Α Γυμνασίου 30

Α.6.3 Ανάλογα ποσά ποσών - Ιδιότητες ανάλογων 1. Πότε δύο ποσά θα λέγονται ανάλογα; Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν: Πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με ένας αριθμό τότε πολλαπλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού με τον ίδιο αριθμό. χ 1 2 3 y 3 6 9 2. Τι γνωρίζω για το πηλίκο των αντίστοιχων ποσών δυο ανάλογων ποσών; Οι λόγοι y/x είναι πάντα ίσοι. Το πηλίκο αυτό λέγεται συντελεστής αναλογίας y/x=α Π.χ στο παραπάνω παράδειγμα 9/3=3, 6/2=3, 3/1=3 3. Ποια σχέση συνδέει δύο ανάλογα ποσά; Η σχέση y= αx συνδέει ανάλογα ποσά. Π.χ στο παραπάνω παράδειγμα y=3x Μαθηματικά Α Γυμνασίου 31

Α.6.4 Γραφική παράσταση σχέση αναλογίας 1. Τι σχήμα σχηματίζουν τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη δυο ανάλογων ποσών; Ημιευθεία με αρχή το Ο Μαθηματικά Α Γυμνασίου 32

Α.6.5 Προβλήματα αναλογιών Για να διαπιστώσουμε, εάν δυο ποσά είναι ανάλογα, χρησιμοποιούμε τα παρακάτω: Τι κάνουμε για να διαπιστώσουμε, εάν δυο ποσά είναι ανάλογα; 1. Τον ορισμό των ανάλογων ποσών 2. Τη σχέση y = α x y 3. Την σχέση = a x Μαθηματικά Α Γυμνασίου 33

Α.6.6 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά 1. Πότε δύο ποσά θα λέγονται αντιστρόφως ανάλογα; Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν: Πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με έναν αριθμό τότε διαιρούνται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού με τον ίδιο αριθμό χ 1 2 0,5 y 10 5 20 2. Τι γνωρίζω για το γινόμενο των αντίστοιχων ποσών δυο αντιστρόφως ανάλογων ποσών; Τα γινόμενα yx είναι πάντα ίσα. Συγκεκριμένα yx=α (α 0) Π.χ στο παραπάνω παράδειγμα 1 20=20, 2 10=20, 4 5=20 3. Ποια σχέση συνδέει δύο ανάλογα ποσά; Η σχέση y= α/x (x 0) συνδέει ανάλογα ποσά. Π.χ στο παραπάνω παράδειγμα είναι y=20/x 4. Τι συμβαίνει στην περίπτωση που α=1; Στην περίπτωση που α=1 οι χ και ψ είναι αντίστροφοι αριθμοί 5. Τι σχήμα σχηματίζουν τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη δυο αντιστρόφως ανάλογων ποσών; Υπερβολή 6. Η υπερβολή τέμνει τους άξονες; Όχι, η υπερβολή δεν τέμνει τους άξονες γιατί δεν παίρνει ποτέ την τιμή 0. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 34

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί Α.7.1. Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) 1. Τι γνωρίζεις για τα σύμβολα «+» και «-» Τα σύμβολα«+» και «-» λέγονται πρόσημα. Χαρακτηρίζουν τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς αντίστοιχα. 2. Το μηδέν είναι θετικός ή αρνητικός αριθμός; Το μηδέν δεν είναι θετικός,ούτε αρνητικός. 3. Ποιοι αριθμοί λέγονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι ; Ομόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν το ίδιο πρόσημο. Π.χ +3 και +5 Ετερόσημοι λέγονται οι αριθμοί που έχουν διαφορετικό πρόσημο. Π.χ +3 και -5 4. Ποιοι είναι οι ακέραιοι αριθμοί; Ακέραιοι είναι οι αριθμοί.-3,-2,-1,0,1,2,3,.. 5. Ποιοι αριθμοί είναι ρητοί ; Όλοι οι αριθμοί που γνωρίζουμε μέχρι τώρα: φυσικοί,κλάσματα,δεκαδικοί. Ρητοί είναι όλοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν με την μορφή κλάσματος. 6. Πως γίνεται η παράσταση των ρητών αριθμών πάνω σε μια ευθεία ; Μαθηματικά Α Γυμνασίου 35

Α.7.2 Απόλυτη τιμή ρητού Αντίθετοι ρητοί Σύγκριση ρητών 1. Τι είναι απόλυτη τιμή αριθμού; Απόλυτη τιμή αριθμού α είναι η απόσταση του αριθμού από την αρχή 0. Συμβ a 2. Ποιοι αριθμοί είναι αντίθετοι; Αντίθετοι είναι οι αριθμοί που έχουν την ίδια απόλυτη τιμή αλλά διαφορετικό πρόσημο. Ο αντίθετος του x είναι ο x. Π.χ +3 και -3 3. Τι γνωρίζεις για την απόλυτη τιμή θετικού, την απόλυτη τιμή αρνητικού αριθμού και τι για την απόλυτη τιμή του 0; 3 = 3 + αριθμός. Η απόλυτη τιμή θετικού είναι ο ίδιος ο 3 = 3 -. του Η απόλυτη τιμή αρνητικού είναι ο αντίθετος 0 = 0 0. Η απόλυτη τιμή του 0 είναι ο 4. Τι σχέση έχει το μηδέν με έναν θετικό αριθμό; Το μηδέν είναι μικρότερο από έναν φυσικό αριθμό. Π.χ. 0 < 3 5. Τι σχέση έχει το μηδέν με έναν αρνητικό αριθμό; Το μηδέν είναι μεγαλύτερο από έναν φυσικό αριθμό. Π.χ. 0 > -3 6. Από δυο αριθμούς γενικά ποιος είναι μεγαλύτερος ; Αυτός που βρίσκεται δεξιότερα στον άξονα. Π.χ 3 > 2 και -2 > -3 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 36

Α.7.3 Πρόσθεση ρητών αριθμών 1. Τι κάνουμε για να προσθέσουμε δυο ρητούς αριθμούς; Αν είναι ομόσημοι : o Προσθέτω τις απόλυτες τιμές και βάζω το κοινό τους πρόσημο. (+4)+(+6)= +10 (-4)+(-6)= -10 Αν είναι ετερόσημοι: o Αφαιρώ τις απόλυτες τιμές και βάζω το πρόσημο του αριθμού με την μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. (-4)+(+6)=+2 (+4)+(-6)=-2 2. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης ρητών αριθμών; α + 0 =0 + α =α α + β = β + α (αντιμεταθετική) α + ( β + γ ) = ( α + β) + γ (προσεταιριστική) α+(-α)= (-α)+(α)=0 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 37

Α.7.4 Αφαίρεση ρητών αριθμών 1. Τι γνωρίζεις για την αφαίρεση ρητών αριθμών α-β=α+(-β) Άρα στους ρητούς η αφαίρεση είναι πάντα δυνατή. 2. Ποιος είναι ο κανόνας με τον οποίο απαλείφουμε τις παρενθέσεις ; +(α+β-γ)= α+β-γ Π.χ +(+5-6+1-2)=+5-6+1-2 -(α+β-γ)= -α-β+γ Π.χ (+5-6+1-2)= -5+6-1+2 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 38

Α.7.5 Πολλαπλασιασμός ρητών αριθμών 1. Τι γνωρίζεις για τον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών ; Πολλαπλασιάζω τις απόλυτες τιμές και Αν είναι ομόσημοι βάζω το πρόσημο + (+4)(+6)= +24 (-4)(-6 ) =+24 Αν είναι ετερόσημοι βάζω το πρόσημο - (-4)(+6)= -24 (+4)(-6) =- 24 2. Ποιες είναι οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού ρητών αριθμών α 1 = 1 α =α α 0 = 0 α =0 α β = β α (αντιμεταθετική) α ( β γ ) = (α β ) γ (προσεταιριστική) α ( β +γ ) = α β + α γ (επιμεριστική ως προς την πρόσθεση ) α ( β -γ ) = α β - α γ (επιμεριστική ως προς την αφαίρεση ) 3. Πως ονομάζονται οι ρητοί αριθμοί α,β αν ισχύει α β=1 Οι ρητοί αριθμοί α,β αν ισχύει α β=1 ονομάζονται αντίστροφοι. 4. Πως υπολογίζουμε το γινόμενο πολλών παραγόντων; Πολλαπλασιάζω τις απόλυτες τιμές και i) αν το πλήθος των αρνητικών είναι άρτιο βάζω + (-2) (+4) (-2) (+5)=+80 ii) αν το πλήθος των αρνητικών είναι περιττό βάζω (-2) (-4) (-2) (+5)= -80 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 39

Α.7.6 Διαίρεση ρητών αριθμών 1. Τι γνωρίζεις για την διαίρεση ρητών αριθμών; Διαιρώ τις απόλυτες τιμές και Αν είναι ομόσημοι βάζω το πρόσημο +(+24):(+6)= +4 (-24)(-6 ) =+4 Αν είναι ετερόσημοι βάζω το πρόσημο - (+24):(-6)= -4 (-24)(+6 ) =-4 Προσοχή! Διαίρεση με διαιρέτη το 0 δεν ορίζεται! Μαθηματικά Α Γυμνασίου 40

Α.7.7 Δεκαδική μορφή ρητών αριθμών 1.Ποιο το αποτέλεσμα της διαίρεσης 5:3; Τον αριθμό που βρήκαμε παραπάνω τους ονομάζουμε περιοδικό δεκαδικό αριθμό Το πλήθος των επαναλαμβανομένων δεκαδικών ψηφίων κάθε περιοδικού αριθμού ονομάζεται περίοδος. Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να έχει τη μορφή δεκαδικού ή περιοδικού δεκαδικού αριθμού και συμβολίζεται όπως φαίνεται στα παραδείγματα. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 41

Α.7.8 Δυνάμεις ρητών με εκθέτη φυσικό 1. Τι ορίζεται ως δύναμη ρητού αριθμού με εκθέτη φυσικό αριθμό; Το γινόμενο α α α α. α =α ν α: βάση ν: εκθέτης ν παράγοντες Για ν=1 α 1 =α α 2 : λέγεται άλφα στο τετράγωνο α 3 : λέγεται άλφα στο κύβο 2. Με ποιο τρόπο γίνεται ο υπολογισμός του πρόσημου μιας δύναμης; Πολλαπλασιάζω τις απόλυτες τιμές και (1) αν το πλήθος των αρνητικών είναι άρτιο βάζω + Π.χ (-2) 4 =(-2) (-2) (-2) (-2)= +16 (2) αν το πλήθος των αρνητικών είναι περιττό βάζω Π.χ (-2) 3 =(-2) (-2) (-2) = -8 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάμεων; α μ α ν = α μ+ν 2 5 2 3 =2 5+3 =2 8 α μ : α ν = α μ-ν 2 5 : 2 3 = 2 5-3 =2 2 α ν β ν = (α β ) ν 2 5 3 5 = (2 3) 5 =6 5 α ν : β ν = (α :β ) ν 6 3 : 2 3 = (6:3) 3 = 2 3 (α μ ) ν =α μ ν (2 2 ) 3 = 2 6 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 42

Α.7.9 Δυνάμεις ρητών με εκθέτη ακέραιο 1. Πως ορίζεται ως δύναμη ρητού αριθμού με εκθέτη ακέραιο αρνητικό αριθμό ή μηδέν ; (α) -ν = 1/α ν 2-3 =1/2 3 α 0 =1 2 0 =1 (α/β) -ν =(β/α) ν (2/3) -2 =(3/2) 2 Α.7.10 Τυποποιημένη μορφή μεγάλων και μικρών αριθμών 1. Πως μπορεί να γραφεί ένας μεγάλος αριθμός σε τυποποιημένη μορφή ; Ένας μεγάλος αριθμός μπορεί να γραφεί στην μορφή α 10 ν με 1 α<10 Π.χ 150 000 000= 1,5 10 8 Ένας μικρός αριθμός μπορεί να γραφεί στην μορφή α 10 -ν με 1 α<10 Π.χ 0,00000063= 6,3 10-7 Μαθηματικά Α Γυμνασίου 43

ΜΕΡΟΣ Β ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ1ο Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία Ημιευθεία Επίπεδο- Ημιεπίπεδο 1. Tι είναι το σημείο; Την έννοια του σημείου μας την δίνει η μύτη ενός μολυβιού. 2. Τι γνωρίζεις για το ευθύγραμμο τμήμα; Την έννοια του ευθύγραμμου τμήματος μας δίνει μια τεντωμένη κλωστή. 3. Τι γνωρίζεις για την ευθεία ; Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Αν προεκτείνουμε απεριόριστα με την βοήθεια του χάρακα και προς το Α και προς το Β παίρνουμε ένα νέο σχήμα το οποίο ονομάζουμε ευθεία. Η ευθεία δε έχει ούτε αρχή ούτε τέλος. Συμβ xx ή ΑΒ ή ΒΑ 4. Από ένα σημείο πόσες ευθείες διέρχονται; Από ένα σημείο διέρχονται άπειρες ευθείες. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 44

5. Από δύο σημεία πόσες ευθείες διέρχονται; Από δύο σημεία διέρχεται μόνο μία ευθεία. 6. Τι γνωρίζεις για την ημιευθεία; Έστω ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Αν προεκτείνουμε απεριόριστα με την βοήθεια του χάρακα μόνο προς το Β παίρνουμε ένα νέο σχήμα το οποίο ονομάζουμε ημιευθεία ΑΒ. Η ημιευθεία έχει αρχή δεν έχει τέλος. Συμβ. Αx ή ημιευθεία ΑΒ 7. Ποιες ευθείες λέγονται αντικείμενες; Έστω μια ευθεία x x και O ένα σημείο πάνω αυτή, τότε με αρχή το O ορίζονται δυο ημιευθείες η Ox και η Oy, οι οποίες λέγονται αντικείμενες ημιευθείες. 8. Τι είναι επίπεδο; Επίπεδο είναι η επιφάνεια στην οποία εφαρμόζει τέλεια η ευθεία γραμμή και φυσικά εκτείνεται απεριόριστα. Συμβ. Π 9. Τι γνωρίζεις για το ημιεπίπεδο; Κάθε ευθεία χωρίζει το επίπεδο δε δυο ημιεπίπεδα. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 45

Β.1.2 Γωνία-Γραμμή-Επίπεδα σχήματα- Ευθύγραμμα σχήματα-ίσα σχήματα 1. Τι είναι η γωνία; Έστω δυο ημιευθείες Ox και Οy με κοινή αρχή το Ο. Οι ημιευθείες χωρίζουν το επίπεδε σε δύο περιοχές Π1και Π2 καθεμία από τις οποίες ονομάζεται γωνία. Την μικρότερη Π1 την ονομάζουμε κυρτή και την μεγαλύτερη Π2 μη κυρτή Το Ο το ονομάζουμε κορυφή Τις Ox και Οy: πλευρές 2. Τι γνωρίζεις για τις γωνίες ενός τριγώνου ; Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ. Α, Β, Γ λέγονται γωνίες του τριγώνου ΑΒ, ΑΓ ΒΓ λέγονται πλευρές του τριγώνου Η γωνία Α είναι περιεχόμενη των πλευρών ΑΒ και ΑΓ Ενώ στην πλευρά ΑΓ είναι προσκείμενες οι γωνίες Α και Γ 3. Τι είναι τεθλασμένη γραμμή; Μαθηματικά Α Γυμνασίου 46

Τεθλασμένη γραμμή είναι μια πολυγωνική γραμμή, που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα,τα οποία δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. 4. Ποια τεθλασμένη γραμμή ονομάζεται κυρτή και ποια μη κυρτή; Κυρτή ονομάζεται η τεθλασμένη γραμμή της οποίας η προέκταση κάθε πλευράς της αφήνει όλες τις άλλες πλευρές στo ίδιο ημιεπίπεδο. Μη κυρτή ονομάζεται η τεθλασμένη γραμμή η οποία δεν είναι κυρτή. 5. Ποιο σχήμα ονομάζεται ευθύγραμμο; Ευθύγραμμο σχήμα ονομάζεται κάθε τεθλασμένη γραμμή της οποίας τα άκρα συμπίπτουν. 6. Ποια σχήματα ονομάζονται ίσα; Δυο ευθύγραμμα σχήματα λέγονται ίσα αν συμπίπτουν, όταν τοποθετηθούν το ένα πάνω στο άλλο με κατάλληλο τρόπο. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 47

Β.1.3 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα ευθυγράμμων τμημάτων Απόσταση σημείων Μέσο ευθύγραμμου τμήματος 1. Τι ονομάζουμε μέτρηση; Μέτρηση είναι η σύγκριση ενός μεγέθους με την αντίστοιχη μονάδα μέτρησης. 2. Ποια είναι η μονάδα μέτρησης του μήκους; Μονάδα μέτρησης το μήκους είναι το 1 μέτρο (m). 3. Τι κάνουμε όμως όταν έχουμε να μετρήσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα πολύ μεγαλύτερο ή πολύ μικρότερο από το 1 m; Χρησιμοποιούμε πολλαπλάσια η υποδιαιρέσεις του μέτρου. 1Κm=1000m 1m=10 dm=100cm=1000mm 4. Ποιο όργανο χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να μετρήσουμε σχετικά μικρά μήκη; Για να μετρήσουμε σχετικά μικρά μήκη χρησιμοποιούμε το υποδεκάμετρο (1/10)του μέτρου. 5. Ποιο όργανο χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να μετρήσουμε σχετικά μεγάλα μήκη; Για να μετρήσουμε σχετικά μεγάλα μήκη χρησιμοποιούμε την μετροταινία. 6. Ποιο όργανο χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να μετρήσουμε πολύ μικρά μήκη; Για να μετρήσουμε πολύ μικρά μήκη χρησιμοποιούμε ο παχύμετρο ή το μικρόμετρο Μαθηματικά Α Γυμνασίου 48

7. Τι ορίζω ως απόσταση δύο σημείων Α και Β; Απόσταση δύο σημείων Α και Β είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα ενώνει. Συμβ,(ΑΒ) αλλά πιο απλά ΑΒ 8. Τι ορίζω ως μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ; Μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζουμε το μοναδικό σημείο O του τμήματος,που απέχει εξίσου από τα άκρα του. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 49

Β.1.4 Πρόσθεση και αφαίρεση ευθυγράμμων τμημάτων 1. Τι κάνουμε για να προσθέσουμε δυο ευθύγραμμα τμήματα; Τα τοποθετούμε διαδοχικά.το τμήμα που έχει άκρα την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου είναι το άθροισμα τους. Π.χ ΑΔ= ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ 2. Τι κάνουμε για να αφαιρέσουμε δυο ευθύγραμμα τμήματα; Για να αφαιρέσουμε δυο ευθύγραμμα τμήματα,αρχικά, τα τοποθετούμε με κοινή αρχή.το τμήμα που έχει αρχή το τέλος του μικρότερου και πέρας το τέλος του μεγαλύτερου είναι η διαφορά τους. Π.χ ΓΔ= ΑΔ - ΑΓ 3. Ποιο είναι το μήκος μιας τεθλασμένης γραμμής; Η τεθλασμένη γραμμή έχει μήκος το άθροισμα των μηκών των ευθυγράμμων τμημάτων από τα οποία αποτελείται. 4. Τι σχέση έχει το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος με το μήκος κάθε τεθλασμένης γραμμής με τα ίδια άκρα; Είναι μικρότερο. 5. Τι ορίζω ως περίμετρο ενός ευθύγραμμου σχήματος; Περίμετρος ενός ευθύγραμμου σχήματος ονομάζω το άθροισμα μηκών των πλευρών του. Π= ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΕ+ΕΑ Μαθηματικά Α Γυμνασίου 50

Β.1.5 Μέτρηση, σύγκριση και ισότητα γωνιών Διχοτόμος γωνίας 1. Με ποιο όργανο μετράμε τις γωνίες; Για να μετρήσω γωνίες χρησιμοποιώ το μοιρογνωμόνιο 2. Πως ονομάζεται ο αριθμός που προκύπτει από την μέτρηση της γωνίας; Ο αριθμός που προκύπτει από την μέτρηση της γωνίας ονομάζεται μέτρο της γωνίας. 3. Ποια η μονάδα μέτρησης της γωνίας; Και ποιες οι υποδιαιρέσεις της 1 μοίρα: 1 ο 1 ο =60 1 =60 4. Τι γνωρίζουμε για τις γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου; Είναι ίσες Π.χ Β=Γ 5. Τι είναι διχοτόμος μιας γωνίας; Διχοτόμος μιας γωνίας είναι η ημιευθεία που χωρίζει τη γωνία σε 2 ίσες γωνίες. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 51

Β.1.6 Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Πόσα είδη γωνιών γνωρίζεις; Ορθή = 90 ο Οξεία < 90 ο Αμβλεία > 90 ο Ευθεία = 180 ο Μη κυρτή 180 ο < x <360 ο Μηδενική = 0 ο Πλήρης = 360 ο 2. Πότε δύο ευθείες λέμε ότι είναι κάθετες; Δύο ευθείες λέγονται κάθετες όταν οι γωνίες που σχηματίζουν αυτές όταν τέμνονται είναι ορθές.συμβ. _ _ Μαθηματικά Α Γυμνασίου 52

Β.1.7 Εφεξής και διαδοχικές γωνίες Άθροισμα γωνιών 1. Ποιες γωνίες λέγονται εφεξής; Εφεξής λέγονται δύο γωνίες που έχουν την κοινή κορυφή, μία κοινή πλευρά και κανένα άλλο κοινό σημείο 2. Ποιες γωνίες λέγονται διαδοχικές; Διαδοχικές λέγονται περισσότερες από δυο γωνίες που κάθε μια με την προηγούμενη και την επόμενη είναι εφεξής. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 53

Β.1.8 Παραπληρωματικές - Συμπληρωματικές - Κατακορυφήν γωνίες 1. Ποιες γωνίες λέγονται παραπληρωματικές; Παραπληρωματικές ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 180 ο Π.χ ω+φ=180 0 2. Ποιες γωνίες λέγονται συμπληρωματικές; Συμπληρωματικές ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν άθροισμα 90 ο Π.χ α+β=90 0 3. Ποιες γωνίες λέγονται κατακορυφήν; Τι σχέση έχουν; Κατακορυφήν ονομάζονται δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους κοινή και τις πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες. Ίσες Μαθηματικά Α Γυμνασίου 54

Β.1.9 Θέσεις ευθειών στο επίπεδο 1. Πότε δυο ευθείες ε1 και ε2 είναι παράλληλες; Παράλληλες είναι οι ευθείες ε1 και ε2 αν δεν έχουν κοινό σημείο όσο κι αν προεκταθούν.συμβε1 // ε2 2. Ποια είναι η θέση που μπορεί να έχουν δύο ευθείες στο επίπεδο; Δύο ευθείες στο επίπεδο μπορεί να είναι τεμνόμενες ή παράλληλες. 3. Πότε δυο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται παράλληλα; Όταν βρίσκονται πάνω σε παράλληλες ευθείες. 4. Πότε δυο ευθείες είναι παράλληλες; Δύο ευθείες είναι παράλληλες όταν είναι και οι δύο κάθετες στη ίδια ευθεία. 5. Πόσες παράλληλες μπορούμε να φέρουμε από ένα σημείο εκτός ευθείας; Από ένα σημείο εκτός ευθείας μπορούμε να φέρουμε μόνο μία παράλληλη. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 55

Β.1.10 Απόσταση σημείου από ευθεία απόσταση παράλληλων 1. Τι ορίζουμε ως απόσταση σημείου από ευθεία; Το μήκος του κάθετου ευθύγραμμου τμήματος ΑΑΟ από το σημείο Α στην ευθεία. 2. Τι ορίζουμε απόσταση δυο παράλληλων ευθειών; Το μήκος οποιουδήποτε κάθετου ευθύγραμμου τμήματος με τα άκρα του πάνω στις ευθείες. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 56

Β.1.11 Κύκλος και στοιχεία κύκλου 1. Τι είναι κύκλος; Τι είναι ακτίνα κύκλου πως συμβολίζεται ; Κύκλος ονομάζεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθερό σημείο Ο. Ακτίνα λέγεται η σταθερή αυτή απόσταση. 2. Με ποιο γεωμετρικό όργανο χαράσσουμε κύκλους; Χαράσσουμε κύκλους με το διαβήτη. 3. Πότε δυο κύκλοι είναι ίσοι; Δύο κύκλοι είναι ίσοι όταν έχουν ίσες ακτίνες. 4. Τι είναι η χορδή του κύκλου; Χορδή ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία του κύκλου. 5. Τι είναι η διάμετρος σε ένα κύκλο; Διάμετρος ονομάζεται κάθε χορδή που περνάει από το κέντρο του κύκλου. 6. Τι είναι τόξο; Τόξο ονομάζεται το τμήμα ενός κύκλου. 7. Τι είναι κυκλικός δίσκος; Κυκλικός δίσκος είναι ο κύκλος μαζί με το μέρος του επιπέδου που περικλείει. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 57

Β.1.12 Επίκεντρη γωνία Σχέση επίκεντρης γωνίας και αντίστοιχου τόξου Μέτρηση τόξου 1. Τι είναι επίκεντρη γωνία και τι αντίστοιχο τόξο; Τι ορίζω ως μέτρο τόξου; Επίκεντρη είναι η γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου Αντίστοιχο τόξο ονομάζεται το τόξο στο οποίο βαίνει η γωνία. Μέτρο τόξου ονομάζεται το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας 2. Τι σχέση έχουν οι επίκεντρες γωνίες με τα αντίστοιχα τόξα τους; Ίσες επίκεντρες γωνίες αντιστοιχούν σε ίσα τόξα στον ίδιο κύκλο ή σε ίσους κύκλους. Β.1.13 Θέσεις ευθείας και κύκλου 1. Ποιες οι σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου; Μια ευθεία είναι εξωτερική του κύκλου (κανένα κοινό σημείο) Μια ευθεία είναι εφαπτόμενη στον κύκλο ( 1 κοινό σημείο) Μια ευθεία είναι τέμνουσα του κύκλου (2 κοινά σημεία) Μαθηματικά Α Γυμνασίου 58

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Β.2.1 Συμμετρία ως προς άξονα 1. Τι γνωρίζετε για το συμμετρικό σημείο Γ ενός σημείου Β ως προς ευθεία ε; Όταν διπλώνοντας το φύλλο σχεδίασης κατά μήκος της ε το Β συμπίπτει με το Γ. 2. Πότε δυο σχήματα είναι συμμετρικά ως προς μια ευθεία ε; Όταν διπλώνοντας το φύλλο σχεδίασης κατά μήκος της ε συμπίπτουν. Άρα είναι ίσα Μαθηματικά Α Γυμνασίου 59

Β.2.2 Άξονας συμμετρίας 1. Πότε μια ευθεία είναι άξονας συμμετρίας; Άξονας συμμετρίας είναι η ευθεία κατά μήκος της οποίας αν διπλώσουμε το φύλλο σχεδίασης το σχήμα χωρίζεται σε δυο μέρη τα οποία συμπίπτουν Β.2.3 Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος 1. Τι είναι Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τιμήματος και τι ιδιότητες έχει; Μεσοκάθετος είναι η ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος κάθετα. Ιδιότητες : Kάθε σημείο της μεσοκαθέτου ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος. Η Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι άξονας συμμετρίας. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 60

Β.2.4 Συμμετρία ως προς σημείο 1. Πότε δυο σημεία Μ και Μ λέγονται συμμετρικά ως προς σημείο Ο; Δυο σημεία Μ και Μ λέγονται συμμετρικά ως προς σημείο Ο όταν το Ο είναι μέσο του ΜΜ. 2. Πότε δυο σχήματα είναι συμμετρικά ως προς σημείο Ο; Δυο σχήματα είναι συμμετρικά ως προς σημείο Ο όταν κάθε σημείο του ενός είναι συμμετρικό ενός σημείου του άλλου ως προς Ο. 3. Τι σχέση έχουν τα συμμετρικά σχήματα; Τα συμμετρικά σχήματα είναι ίσα. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 61

Β.2.5 Κέντρο συμμετρίας 1. Τι είναι κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος ; Κέντρο συμμετρίας ενός σχήματος είναι το σημείο Ο γύρω από το οποίο αν περιστραφεί το σχήμα κατά 180 0, συμπίπτει με το αρχικό. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 62

Β.2.6 Παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια άλλη ευθεία Εντός Εκτός Επί τα αυτά Εναλλάξ δ, γ, ε, ζ α, β, θ, η α, δ, ε, θ και β, γ,ζ,η δ,ζ και γ,ε 1. Τι σχέση έχουν οι εντός εναλλάξ γωνίες; Ίσες (δ=ζ και γ=ε) 2. Τι σχέση έχουν οι εντός εκτός και επιταυτά γωνίες; Ίσες (ζ=β και γ=η και δ=θ και α=ε) 3. Τι σχέση έχουν οι εντός και επιταυτά γωνίες; Παραπληρωματικές (γ+ζ=180 0 και δ+ε=180 0 ) 4. Ποσό άθροισμα έχουν οι γωνίες ενός τριγώνου; Οι γωνίες ενός τριγώνου έχουν άθροισμα 180 0. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 63

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΡΙΓΩΝΑ-ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ -ΤΡΑΠΕΖΙΑ Β.3.1 Στοιχεία τριγώνου Είδη τριγώνων 1. Ποια είναι τα κύρια και ποια τα δευτερεύοντα στοιχεία ενός τριγώνου; Κύρια στοιχεία =πλευρές, γωνίες Δευτερεύοντα στοιχεία = διάμεσος ύψος, διχοτόμος Διάμεσος =το ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από την κορυφή και καταλήγει στο μέσο της απέναντι πλευράς Διχοτόμος= ευθύγραμμο τμήμα που ξεκινά από την κορυφή καταλήγει στην της απέναντι πλευρά και χωρίζει την γωνία σε δυο ίσες γωνίες Ύψος = η απόσταση της κορυφής από την ευθεία της απέναντι πλευράς. 2. Ποια είδη τριγώνων γνωρίζεις ως προς τις πλευρές; Τα τρίγωνα ως προς τις πλευρές τους διακρίνονται σε σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 64

3. Ποια είδη τριγώνων γνωρίζεις ως προς τις γωνίες; Τα τρίγωνα ως προς τις γωνίες τους διακρίνονται σε αμβλυγώνιο, ορθογώνιο, οξυγώνιο Μαθηματικά Α Γυμνασίου 65

Β.3.2 Άθροισμα γωνιών τριγώνου - Ιδιότητες ισοσκελούς τριγώνου 1. Ποιο τρίγωνο λέγεται ισοσκελές ; Τι ιδιότητες έχει; Ισοσκελές ονομάζεται το τρίγωνο που έχει δυο ίσες πλευρές. Έχει ίσες τις γωνίες της βάσης ίσες. Η διάμεσος της βάσης είναι ύψος και διχοτόμος και άξονας συμμετρίας. 2. Ποιο τρίγωνο λέγεται ισόπλευρο ; Τι ιδιότητες έχει; Ισόπλευρο λέγεται το τρίγωνο που έχει όλες τις πλευρές ίσες. Έχει ίσες όλες τις γωνίες= 60 0. Κάθε διάμεσος είναι ύψος και διχοτόμος και άξονας συμμετρίας. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 66

Β.3.3 Παραλληλόγραμμο- Ορθογώνιο-Ρόμβος- Τετράγωνο-Τραπέζιο-Ισοσκελές τραπέζιο 1. Ποιο σχήμα λέγεται παραλληλόγραμμο; Παραλληλόγραμμο είναι το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές παράλληλες Κάθε πλευρά του παραλληλογράμμου μπορεί να ονομαστεί βάση του παραλληλογράμμου. Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλευρά λέγεται ύψος του παραλληλογράμμου. 2. Ποιο παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο ; Ορθογώνιο ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει όλες οι γωνίες του ορθές. 3. Ποιο παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος; Ρόμβος ονομάζεται το παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις πλευρές ίσες Μαθηματικά Α Γυμνασίου 67

4. Ποιο σχήμα λέγεται τετράγωνο; Ένα παραλληλόγραμμο που έχει όλες τις γωνίες του ορθές και όλες τις πλευρές του ίσες λέγεται τετράγωνο. 5. Ποιο σχήμα λέγεται τραπέζιο; Το τετράπλευρο με δυο μόνο παράλληλες πλευρές ονομάζεται τραπέζιο. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 68

Β.3.4 Ιδιότητες Παραλληλογράμμου - Ορθογωνίου - Ρόμβου - Τετραγώνου - Τραπεζίου - Ισοσκελούς τραπεζίου 1. Ποιες οι ιδιότητες του παραλληλογράμμου; Απέναντι πλευρές ίσες. Απέναντι γωνίες ίσες. Οι διαγώνιοι διχοτομούνται. Το σημείο τομής των διαγωνίων κέντρο συμμετρίας. 2. Ποιες οι ιδιότητες του ορθογωνίου; Οι διαγώνιοι ίσες. Οι μεσοκάθετοι των πλευρών άξονες συμμετρίας. 3. Ποιες οι ιδιότητες του ρόμβου; Οι ευθείες των διαγωνίων άξονες συμμετρίας. Οι διαγώνιες κάθετες και διχοτόμοι των γωνιών. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 69

4. Ποιες οι ιδιότητες του τετραγώνου ; Όλες τις παραπάνω. 5. Ποιες οι ιδιότητες του ισοσκελούς τραπεζίου; Οι προσκείμενες στη βάση γωνίες ίσες. Οι μεσοκάθετες των βάσεων άξονες συμμετρίας. Μαθηματικά Α Γυμνασίου 70