Γρηγόριος ΜΑΝΟΥΚΑΣ 1, Ασημίνα ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ 2, Ιωάννης ΑΒΡΑΜΙΔΗΣ 3

Στατική Υπερωθητική Ανάλυση σε Χωρικά Συστήματα υπό Ταυτόχρονη Σεισμική Διέγερση σε Δύο Διευθύνσεις Static Pushover Analysis for Spatial Systems Under Bi-axial Seismic Excitation Γρηγόριος ΜΑΝΟΥΚΑΣ, Ασημίνα ΑΘΑΝΑΤΟΠΟΥΛΟΥ 2, Ιωάννης ΑΒΡΑΜΙΔΗΣ 3 Λέξεις κλειδιά: Στατική Υπερωθητική Ανάλυση, Ασύμμετρα Συστήματα, Χωρική Επαλληλία, Ανελαστική Δυναμική Ανάλυση, Ενέργεια Παραμόρφωσης ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Τα τελευταία χρόνια αναπτύχθηκε και βρήκε ευρεία εφαρμογή η Στατική Υπερωθητική Ανάλυση (ΣΥΑ), παρόλο που δεν θεωρείται αξιόπιστη για όλες τις κατηγορίες φορέων. Ένας από τους παράγοντες που εισάγουν πρόσθετα σφάλματα στην περίπτωση των χωρικών ασύμμετρων συστημάτων είναι η χρήση απλοποιητικών κανόνων χωρικής επαλληλίας, ενώ είναι γνωστό ότι κάτι τέτοιο στερείται θεωρητικής βάσης στην ανελαστική περιοχή συμπεριφοράς. Αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η πρόταση μιας μεθόδου η οποία παρακάμπτει την αναγκαιότητα διενέργειας χωρικής επαλληλίας, καθώς λαμβάνει υπόψη την επίδραση της ταυτόχρονης δράσης των δύο οριζόντιων συνιστωσών της σεισμικής διέγερσης τροποποιώντας κατάλληλα τις ιδιότητες του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Η προτεινόμενη μέθοδος, που είναι συμβατή με όλες τις γνωστές παραλλαγές της ΣΥΑ, εφαρμόζεται σε ένα μονώροφο ασύμμετρο κτίριο με ικανοποιητικά αποτελέσματα. ABSTRACT : Static Pushover Analysis is a widely accepted procedure despite the fact that it has many shortcomings and can t provide reasonable results for all kinds of structural systems. In the special case of asymmetric spatial systems additional errors are introduced due to the application of simplified formulas for taking into account multidirectional seismic effects. It is well known that this approach lacks a theoretical basis in the domain of inelastic response. The objective of this paper is the development of a method that takes into account multidirectional seismic effects by modifying the properties of the equivalent single degree of freedom system. The method, which is consistent with all known variants of SPA, is applied to a single storey asymmetric building and shows quite satisfactory results. Υποψήφιος Διδάκτορας, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, email: grman7@otenet.gr 2 Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, email: minak@civil.auth.gr 3 Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ, email: avram@civil.auth.gr

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια υπάρχει αυξημένο ενδιαφέρον τόσο των ερευνητών όσο και των μηχανικών της πράξης για τη διενέργεια ανελαστικών αναλύσεων στα πλαίσια του αντισεισμικού σχεδιασμού κατασκευών. Η ανελαστική δυναμική μέθοδος, η οποία αποτελεί το ακριβέστερο εργαλείο για τέτοιου είδους αναλύσεις, παρουσιάζει - πέραν του πολύ μεγάλου υπολογιστικού κόστους - μία σειρά δυσκολιών που καθιστούν την εφαρμογή της στη συμβατική δομική πράξη προβληματική. Για το λόγο αυτόν καταβλήθηκαν και συνεχίζουν να καταβάλλονται πολλές προσπάθειες διεθνώς για την εύρεση απλοποιημένων μεθόδων προσεγγιστικού υπολογισμού της ανελαστικής συμπεριφοράς κατασκευών. Καρπός αυτών των προσπαθειών υπήρξε η ανάπτυξη σε διάφορες παραλλαγές της Στατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης (ΣΥΑ), η οποία υιοθετήθηκε από διεθνή κανονιστικά ή προκανονιστικά κείμενα και εφαρμόζεται ευρέως στην πράξη. Ωστόσο, έχει εγκαίρως επισημανθεί από πολλούς ερευνητές (π.χ. Krawinkler et al., 998) ότι η ΣΥΑ στερείται θεωρητικής βάσης και δεν παρέχει πάντα ικανοποιητική ακρίβεια αποτελεσμάτων, ιδιαίτερα μάλιστα στην περίπτωση εφαρμογής της σε ασύμμετρα χωρικά συστήματα. Ένας από τους παράγοντες που εισάγουν πρόσθετα σφάλματα σε αυτή την περίπτωση είναι η χρήση απλοποιητικών κανόνων χωρικής επαλληλίας (SRSS ή ποσοστιαίοι συνδυασμοί) για τη συνεκτίμηση της ταυτόχρονης σεισμικής διέγερσης σε δύο διευθύνσεις, ενώ είναι γνωστό ότι στην ανελαστική περιοχή συμπεριφοράς δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας. Αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η πρόταση μιας μεθόδου η οποία παρακάμπτει την αναγκαιότητα διενέργειας χωρικής επαλληλίας, καθώς λαμβάνει υπόψη την επίδραση της ταυτόχρονης δράσης των δύο οριζόντιων συνιστωσών της σεισμικής διέγερσης τροποποιώντας κατάλληλα τις ιδιότητες του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Αρχικά παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο, οι παραδοχές και η διαδικασία εφαρμογής της μεθόδου αυτής. Κατόπιν παρουσιάζεται ένα παράδειγμα εφαρμογής σε ένα μονώροφο ασύμμετρο κτίριο από οπλισμένο σκυρόδεμα. Στη συγκεκριμένη εφαρμογή χρησιμοποιείται μια παραλλαγή της ΣΥΑ, η οποία αναπτύχθηκε και παρουσιάστηκε πρόσφατα από τους συγγραφείς (Manoukas et al., 2008/ Μανούκας κ.α., 2008a) και βασίζεται στην εξίσωση του εξωτερικού έργου των φορτίων που εφαρμόζονται στο πολυβάθμιο με την ενέργεια παραμόρφωσης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Ωστόσο, η προτεινόμενη μέθοδος είναι συμβατή με όλες τις γνωστές παραλλαγές της ΣΥΑ. Τα αποτελέσματα που προκύπτουν συγκρίνονται με αυτά της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης που κατά κοινή παραδοχή θεωρούνται ακριβή. 2

ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Έστω τυχαίο ελαστικό Ν-ώροφο και 3Ν-βάθμιο σύστημα που υποβάλλεται ταυτόχρονα σε δύο σεισμικές διεγέρσεις της βάσης του ü g (t) Χ και ü g (t) Υ κατά τις δύο οριζόντιες διευθύνσεις Χ και Υ αντίστοιχα. Η κίνησή του, με βάση την αρχή της επαλληλίας, μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα των αποκρίσεών του ξεχωριστά για κάθε μία διέγερση, οι οποίες περιγράφονται από τα παρακάτω συστήματα εξισώσεων (Αναστασιάδης, 2004/ Chopra, 2007): Μu& & (t), Χ + Cu& (t), Χ + Ku(t), Χ = -Mδ, Χ & u& g (t) Χ () Μu& & (t), Υ + Cu& (t), Υ + Ku(t), Υ = -Mδ, Υ & u& g (t) Υ (2) όπου, κατά τα γνωστά, Μ το 3Νx3 διαγώνιο μητρώο μάζας, C και K τα 3Νx3 συμμετρικά μητρώα απόσβεσης και δυσκαμψίας αντίστοιχα, δ, Χ και δ, Υ τα διανύσματα των στερεοστατικών μετακινήσεων για διέγερση κατά Χ και Υ αντίστοιχα και u(t), Χ και u(t), Υ τα 3Νx διανύσματα των σχετικών ως προς τη βάση μετακινήσεων των 3Ν βαθμών ελευθερίας για διέγερση κατά Χ και Υ αντίστοιχα (Σημ.: Παρακάτω ο δείκτης (t) παραλείπεται χάριν ευκολίας). Προσθέτοντας κατά μέλη τα παραπάνω συστήματα εξισώσεων καταλήγουμε στο παρακάτω σύστημα που εκφράζει τη συνολική απόκριση του φορέα: Μu& & + Cu& + Ku = -Mδ Χ & u& g Χ -Mδ Υ & u& gυ (3) όπου: u = u, Χ + u, Υ u& = u&, Χ + u&, Υ (4) u& & = u& &, Χ + u& &, Υ Με την παραδοχή ότι & u& gυ = κ & u& g Χ = κ & u& g η Εξίσωση 3 μπορεί να γραφεί ως εξής: Μu& & + Cu& + Ku = -M(δ, Χ + κδ, Υ ) & u& g = -Mδ, ΧΥ & u& g (5) όπου δ, ΧΥ = δ, Χ + κδ, Υ. Το μητρώο u και το μητρώο των ελαστικών δυνάμεων επαναφοράς F s = Ku μπορούν να αναλυθούν σε άθροισμα των 3Ν ιδιομορφικών τους συνιστωσών (Σημ.: Ο όρος δύναμη χρησιμοποιείται υπό γενικευμένη έννοια, δηλ. μπορεί να περιλαμβάνει και ροπές): u = u i = φ iqi (6) 3

2 F s = F si = Ku i = Kφ iqi = ω q ι i Μφi (7) όπου φ i το ιδιοδιάνυσμα της ιδιομορφής i και q i η κύρια συντεταγμένη (που εξαρτάται από το χρόνο και τη διέγερση). Η ποσότητα: V ΧΥi = δ, ΧΥ Τ F si = ω i 2 q i δ, ΧΥ Τ Μφ i = ω i 2 q i L ΧΥi = ω i 2 q i (L Χi + κl Υi ) = V Χi + κv Υi (8) όπου L Χi και L Υi οι συντελεστές διέγερσης της ιδιομορφής i για διέγερση κατά Χ και Υ αντίστοιχα, παριστάνει το άθροισμα της ιδιομορφικής τέμνουσας βάσης κατά Χ (V Χi ) και της ιδιομορφικής τέμνουσας βάσης κατά Υ πολλαπλασιασμένης με κ (κv Υi ). Εισάγοντας τις Εξισώσεις 6 και 7 στην Εξίσωση 5, πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με φ Τ i και εκμεταλλευόμενοι τις σχέσεις ορθογωνικότητας των ιδιομορφών, καταλήγουμε σε 3Ν ανεξάρτητες εξισώσεις της μορφής: 2 Μ i & q& i + 2Μ i ω i ζ i q& i + Μ i ω i q i = - L ΧΥi u& 2 & g & q& i + 2ω i ζ i q& i + ω i q i = - ν ΧΥi & u& g (9) όπου Μ i και ζ i η γενικευμένη μάζα και το ποσοστό απόσβεσης της ιδιομορφής i, ν ΧΥi = L ΧΥi /Μ i = (L Χi + κl Υi )/Μ i = ν Χi + κν Υi και ν Χi, ν Υi οι συντελεστές συμμετοχής της ιδιομορφής i για ανεξάρτητη διέγερση κατά Χ και Υ αντίστοιχα. Θέτοντας στις Εξισώσεις 8 και 9 q i = ν ΧΥi D i και πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της Εξίσωσης 9 με L ΧΥi έχουμε: Μ ΧΥi *.. i V ΧΥi = ω i 2 ν ΧΥi D i L ΧΥi = ω i 2 Μ ΧΥi * D i (0) D + 2Μ *. ΧΥi ω i ζ i D i + ω 2 i Μ * ΧΥi D i =- Μ * ΧΥi ü g * Μ.. ΧΥi D i + 2Μ *. ΧΥi ω i ζ ii D + V ΧΥi = - Μ * ΧΥi ü g () όπου: Μ ΧΥi * = ν ΧΥi L ΧΥi = (ν Χi + κν Υi ) (L Χi + κl Υi ) = ν Χi L Χi + ν Χi κl Υi + κν Υi L Χi + κν Υi κl Υi = Μ Χi * + κ(ν Χi L Υi + ν Υi L Χi ) + κ 2 Μ Υi * (2) (Μ * * Χi, Μ Υi οι δρώσες μάζες της ιδιομορφής i για ανεξάρτητη διέγερση κατά Χ και Υ αντίστοιχα). Από την Εξίσωση προκύπτει το συμπέρασμα ότι η απόκριση ενός 3Ν-βάθμιου συστήματος που υποβάλλεται ταυτόχρονα σε διεγέρσεις & u& gχ και & u& gυ = κ & u& gχ = κ & u& g κατά Χ και Υ αντίστοιχα μπορεί να προκύψει με επαλληλία των αποκρίσεων 3Ν μονοβάθμιων συστημάτων που υποβάλλονται σε διέγερση & u& g. Καθένα από τα μονοβάθμια συστήματα αντιστοιχεί σε μια ιδιομορφή και έχει μάζα ίση με Μ * ΧΥi και ελαστική δύναμη επαναφοράς ίση με την ποσότητα V ΧΥi. Η V ΧΥi ταυτίζεται με το άθροισμα της ιδιομορφικής τέμνουσας βάσης κατά Χ και της ιδιομορφικής τέμνουσας βάσης κατά Υ πολλαπλασιασμένης με κ. 4

AΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Για τη μη γραμμική περιοχή συμπεριφοράς γίνεται η θεμελιώδης παραδοχή ότι η απόκριση ενός 3Ν-βάθμιου συστήματος μπορεί να αναλυθεί, όπως και στην ελαστική περιοχή, σε επαλληλία αποκρίσεων 3Ν «ιδιομορφών» με «ιδιοδιανύσματα» φ i (Σημ.: Τα εισαγωγικά υποδηλώνουν ότι οι όροι χρησιμοποιούνται καταχρηστικά, αφού προέρχονται από τη γραμμική ανάλυση). Οι μετακινήσεις u i θεωρούνται ανάλογες των φ i και οι δυνάμεις επαναφοράς F si ανάλογες του γινομένου Μφ i. Τα φ i μάλιστα θεωρούνται χρονικώς αμετάβλητα, παρά τη διαδοχική πλαστικοποίηση διατομών του συστήματος. Βέβαια, δεν ισχύουν πλέον οι Εξισώσεις 4, ωστόσο είναι εύλογο να θεωρηθεί ότι οι επιβαλλόμενες εξωτερικές σεισμικές δυνάμεις δίνονται και πάλι από το άθροισμα του δευτέρου μέλους της Εξίσωσης 3. Με την επιπλέον παραδοχή ότι & u& gυ = κ & u& g Χ = κ & u& g, η κίνηση του συστήματος περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα εξισώσεων (Αναστασιάδης, 2004/ Chopra, 2007): Μu& & + Cu& + F s = -M(δ, Χ + κδ, Υ ) & u& g = -Mδ, ΧΥ & u& g (3) Η μόνη διαφορά του Συστήματος Εξισώσεων 3 από το 5 είναι ότι οι δυνάμεις επαναφοράς F s δεν είναι πλέον γραμμικές συναρτήσεις των μετακινήσεων με σταθερούς συντελεστές τους όρους του μητρώου δυσκαμψίας Κ. Πάντως, λόγω των παραπάνω παραδοχών, οι F s μπορούν να αναλυθούν σε «ιδιομορφικές» συνιστώσες: F s = F si = αiμφi (4) όπου α i είναι μια υστερητικού τύπου συνάρτηση που εξαρτάται από τη γενικευμένη συντεταγμένη q i και την ιστορία της φόρτισης. Η ποσότητα: V ΧΥi = δ, ΧΥ Τ F si = α i δ, ΧΥ Τ Μφ i = α i L ΧΥi = α i (L Χi + κl Υi ) = V Χi + κv Υi (5) παριστάνει, όπως και στην ελαστική περιοχή, το άθροισμα της ιδιομορφικής τέμνουσας βάσης κατά Χ (V Χi ) και της ιδιομορφικής τέμνουσας βάσης κατά Υ πολλαπλασιασμένης με κ (κv Υi ). Εισάγοντας τις Εξισώσεις 6 και 4 στο Σύστημα Εξισώσεων 3, πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με φ Τ i και εκμεταλλευόμενοι τις σχέσεις ορθογωνικότητας των «ιδιομορφών», καταλήγουμε σε 3Ν ανεξάρτητες εξισώσεις της μορφής: & q&i + 2ω i ζ i q& i + α i = - ν ΧΥi & u& g (6) Θέτοντας στην Εξίσωση 6 q i = ν ΧΥi D i και πολλαπλασιάζοντας τα δύο μέλη της με L ΧΥi έχουμε: L ΧΥi ν ΧΥi D & i + L ΧΥi 2ω i ζ i ν ΧΥi D & i + L ΧΥi α i = -L ΧΥi ν ΧΥi u& & g 5

* Μ ΧΥi D & i + 2Μ * ΧΥi ω i ζ i D & i + V ΧΥi = - Μ * ΧΥi u& & g (7) Από την Εξίσωση 7 προκύπτει το συμπέρασμα ότι η μη γραμμική απόκριση ενός 3Ν-βάθμιου συστήματος που υποβάλλεται ταυτόχρονα σε διεγέρσεις & u& gχ και & u& gυ = κ & u& gχ = κ & u& g κατά Χ και Υ αντίστοιχα λόγω των παραδοχών που αναφέρθηκαν προηγουμένως μπορεί να προκύψει με επαλληλία των αποκρίσεων 3Ν μονοβάθμιων συστημάτων που υποβάλλονται σε διέγερση & u& g. Καθένα από τα μονοβάθμια συστήματα αντιστοιχεί σε μια «ιδιομορφή», έχει μάζα ίση με Μ * ΧΥi και μη γραμμική δύναμη επαναφοράς ίση με την ποσότητα V ΧΥi. Η V ΧΥi ταυτίζεται με το άθροισμα της «ιδιομορφικής» τέμνουσας βάσης κατά Χ και της «ιδιομορφικής» τέμνουσας βάσης κατά Υ πολλαπλασιασμένης με κ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΩΝ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ως γνωστόν, κατά την εφαρμογή της ΣΥΑ ο πολυβάθμιος φορέας υποκαθίσταται με ένα ή περισσότερα ισοδύναμα μονοβάθμια συστήματα, ανάλογα με το αν εφαρμόζεται κάποια από τις απλοποιημένες μονο-ιδιομορφικές ή τις πιο σύνθετες πολύ-ιδιομορφικές παραλλαγές της μεθόδου. Το ή τα ισοδύναμα μονοβάθμια συστήματα υποβάλλονται στη δεδομένη σεισμική διέγερση, η οποία περιγράφεται με τη μορφή φάσματος ή επιταχυνσιογραφήματος. Από τη μέγιστη μετακίνησή του (των) μονοβάθμιου(ων) συστήματος(ων) προκύπτει η μετακίνηση στόχος του πολυβάθμιου συστήματος και κατόπιν τα υπόλοιπα μεγέθη απόκρισης. Η απόκριση των ισοδύναμων μονοβάθμιων συστημάτων εξαρτάται από την ιδιοπερίοδο Τ και τον απαιτούμενο συντελεστή συμπεριφοράς τους R, δηλαδή το πηλίκο της απαιτούμενης αντοχής για απεριόριστα ελαστική συμπεριφορά προς την πραγματική αντοχή διαρροής του συστήματος. Για τον υπολογισμό των παραπάνω μεγεθών απαιτείται ο προσδιορισμός της μάζας τους και του διαγράμματος δύναμης - μετακίνησης V i -D i. Στον παρακάτω Πίνακα δίνονται συνοπτικά οι προαναφερθείσες ιδιότητες των ισοδύναμων μονοβάθμιων συστημάτων για την περίπτωση μονοαξονικής και διαξονικής διέγερσης, όπου u i η μετακίνηση του πολυβάθμιου συστήματος στο σημείο που αναφέρεται η μετακίνηση στόχος (συνήθως μετακίνηση κορυφής). Τα ισοδύναμα μονοβάθμια συστήματα θα μπορούσαν βέβαια να οριστούν και διαφορετικά, π.χ. με μάζα κάποια άλλη ποσότητα και ελαστική δύναμη επαναφοράς μια αντίστοιχη συνάρτηση της V Χi ή V ΧΥi. Πίνακας. Ιδιότητες ισοδύναμων μονοβάθμιων συστημάτων Ιδιότητα Διαξονική Μονοαξονική Διέγερση Διέγερση & & u& gχ = & u& u& gχ = & u& g g & u& gυ = κ & u& g Μάζα * Μ Χi * Μ ΧΥi Δύναμη Επαναφοράς V Χi V ΧΥi Μετακίνηση D i = u i /ν Χi φ i D i = u i /ν ΧΥi φ i 6

Γενικά ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η προτεινόμενη μεθοδολογία για τη συνεκτίμηση της ταυτόχρονης δράσης των δύο οριζόντιων συνιστωσών της σεισμικής διέγερσης εφαρμόζεται σε ένα μονώροφο ασύμμετρο κτίριο από οπλισμένο σκυρόδεμα, για το φάσμα απόκρισης μιας συνιστώσας του σεισμού του El Centro, πολλαπλασιασμένο με τρεις συντελεστές κλιμάκωσης. Όπως προαναφέρθηκε, η προτεινόμενη μέθοδος είναι συμβατή με όλες τις γνωστές παραλλαγές της ΣΥΑ. Στη συγκεκριμένη εφαρμογή χρησιμοποιείται μια παραλλαγή της ΣΥΑ, η οποία αναπτύχθηκε και παρουσιάστηκε πρόσφατα από τους συγγραφείς και βασίζεται στην εξίσωση του εξωτερικού έργου των φορτίων που εφαρμόζονται στο πολυβάθμιο με την ενέργεια παραμόρφωσης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Οι μετακινήσεις κορυφής στο κέντρο μάζας του ορόφου (μετακίνηση - στόχος) που προκύπτουν από τις παραπάνω αναλύσεις συγκρίνονται με αυτές που προκύπτουν από ανελαστική δυναμική ανάλυση με το αντίστοιχο για κάθε φάσμα επιταχυνσιογράφημα. Μεθοδολογία Η παραλλαγή της ΣΥΑ που εφαρμόζεται εδώ (Manoukas et al., 2008/ Μανούκας κ.α., 2008a) ακολουθεί τα βήματα της γνωστής μεθόδου τροποποίησης της μετακίνησης (Ανελαστική Στατική Μέθοδος κατά ΚΑΝΕΠΕ, Coefficient Method κατά FEMA 356/440), διαφοροποιείται όμως στη διαδικασία υπολογισμού των χαρακτηριστικών του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Συγκεκριμένα, ο υπολογισμός βασίζεται στην εξίσωση του έργου των επιβαλλόμενων στο πολυβάθμιο προσομοίωμα οριζόντιων φορτίων με την ενέργεια παραμόρφωσης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Σημαντικό χαρακτηριστικό της μεθόδου είναι η δυνατότητα θεώρησης περισσότερων της μίας ιδιομορφών, πράγμα που κρίνεται απαραίτητο στις περιπτώσεις εφαρμογής της ΣΥΑ σε ασύμμετρα χωρικά συστήματα, στα οποία η επιρροή των ανώτερων ιδιομορφών είναι ισχυρή. Παρακάτω δίνεται συνοπτικά η βήμα προς βήμα διαδικασία εφαρμογής της υπόψη παραλλαγής: Βήμα : Μόρφωση υπολογιστικού προσομοιώματος. Βήμα 2: Επιβολή στο προσομοίωμα οριζόντιας επαυξητικής φόρτισης με κατανομή ανάλογη με το διάνυσμα Mφ i της ελαστικής ιδιομορφής i και σχεδίαση του διαγράμματος έργου των εξωτερικών φορτίων - μετακίνησης κορυφής (Ε i - u i ) του πολυβάθμιου συστήματος. Βήμα 3: Διαίρεση των τετμημένων του διαγράμματος Ε i -u i με την ποσότητα ν i φ Νi = u Νi /D i και σχεδίαση του διαγράμματος ενέργειας παραμόρφωσης - μετακίνησης (Ε i -D i ) του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Στην περίπτωση χωρικών συστημάτων υπό διαξονική διέγερση ν i = ν ΧΥi = ν Χi + ν Υi. Βήμα 4: Υπολογισμός για κάθε διακριτό βήμα μεταξύ του διαδοχικού σχηματισμού πλαστικών αρθρώσεων της δύναμης επαναφοράς του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος και σχεδίαση του διαγράμματος δύναμης επαναφοράς - 7

μετακίνησης (V i -D i ). Η δύναμη αυτή επαναφοράς είναι ένα ιδεατό μέγεθος που υπολογίζεται μονοσήμαντα από το διάγραμμα Ε i -D i και οι τιμές του είναι τέτοιες, ώστε να εξασφαλίζεται η ισότητα της ενέργειας παραμόρφωσης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος με το έργο των εξωτερικών φορτίων που επιβάλλονται στο πολυβάθμιο προσομοίωμα. Βήμα 5: Εξιδανίκευση του διαγράμματος V i -D i σε μια διγραμμική καμπύλη και υπολογισμός της ιδιοπεριόδου και του απαιτούμενου συντελεστή συμπεριφοράς του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος. Για τον υπολογισμό απαιτείται η τιμή της δρώσας μάζας Μ i * της ιδιομορφής i. Στην προκειμένη περίπτωση ισχύει: Μ i * = Μ ΧΥi * = Μ Χi * + ν Χi L Υi + ν Υi L Χi + Μ Υi *. Βήμα 6: Υπολογισμός για την ιδιομορφή i της μετακίνησης - στόχου και των υπολοίπων μεγεθών απόκρισης που ενδιαφέρουν το μελετητή. Για τον υπολογισμό της μετακίνησης στόχου χρησιμοποιείται κάποιος από τους γνωστούς τύπους των κανονισμών (π.χ. ΚΑΝΕΠΕ Σ5.8 ή ASCE4-06 Eq 3-4). Βήμα 7: Επανάληψη των βημάτων έως 6 για επαρκή αριθμό ιδιομορφών. Βήμα 8: Υπολογισμός των ακραίων τιμών των μεγεθών απόκρισης με τη βοήθεια κάποιου από τους γνωστούς τρόπους ιδιομορφικής επαλληλίας. Δεδομένα Κτιρίου Η προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόζεται σε ένα μονώροφο ασύμμετρο κτίριο από οπλισμένο σκυρόδεμα (Σχήμα ). Το κτίριο αποτελείται από πέντε υποστυλώματα προβόλους τα οποία συνδέονται μέσω απαραμόρφωτου διαφράγματος. Στον Πίνακα 2 δίνονται τα δυναμικά χαρακτηριστικά του για τις δύο πρώτες ιδιομορφές, οι οποίες και λαμβάνονται υπόψη στους υπολογισμούς. K K2 Υ Χ Σχήμα. Δεδομένα κτιρίου K4 K.Β. K5 K3 Εμβαδόν κάτοψης: 24m 2 Ύψος ορόφου: 3m Σκυρόδεμα: C6/20 Στηρίξεις: Πλήρεις πακτώσεις Υποστυλώματα: 25x50cm Μάζα: 24t Μαζική ροπή αδράνειας: 04 t m 2 Φορτία βαρύτητας: Αγνοούνται Η πλάκα οροφής θεωρείται απαραμόρφωτη και η μάζα συγκεντρωμένη στο Κ.Β. της κάτοψης 8

Πίνακας 2. Δυναμικά χαρακτηριστικά κτιρίου Χαρακτηριστικά η Ιδιομορφή 2 η Ιδιομορφή Ιδιοδιάνυσμα φ Τ i = [ φ x, φ y, θ z ] [, -0.0, -0.2] [, 5.809, 0.853] Ποσοστό απόσβεσης ζ i (%) 5 5 Ελαστική ιδιοπερίοδος Τ i (sec) 0.25 0.204 Συντελεστής συμμετοχής 0.845.044 Σεισμική Διέγερση ν ΧΥi Δρώσα μάζα Μ ΧΥi * (t) 8.227 29.360 Η εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας γίνεται για μία συνιστώσα του σεισμού του El Centro (940 El Centro S) η οποία χρησιμοποιήθηκε πολλαπλώς στη διεθνή βιβλιογραφία για τη συγκριτική διερεύνηση παραλλαγών της ΣΥΑ και της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης. Ειδικότερα, θεωρείται ότι η σεισμική διέγερση δρα ταυτόχρονα κατά τις δύο οριζόντιες διευθύνσεις με την ίδια ένταση, δηλαδή κ= και & u& g,υ = & u& g,χ. Η διέγερση πολλαπλασιάζεται με τρεις συντελεστές κλιμάκωσης (0.5,.0,.5). Στο Σχήμα 2 δίνονται το επιταχυνσιογράφημα και το φάσμα απόκρισής της για ποσοστό απόσβεσης ζ=5%. Επιτάχυνση εδάφους (m/sec²) 3.00 2.00.00 0.00 -.00-2.00-3.00-4.00 0 4 8 2 6 20 24 28 32 Χρόνος (sec) Φασματική Επιτάχυνση (m/sec²) 8.00 6.00 4.00 2.00 0.00 0 2 3 4 5 Περίοδος (sec) Σχήμα 2. Επιταχυνσιογράφημα και φάσμα απόκρισης επιταχύνσεων (ζ=5%) σεισμικής συνιστώσας 940 El Centro S 9

Εφαρμογή Τόσο η προτεινόμενη μεθοδολογία, όσο και η ανελαστική δυναμική ανάλυση, πραγματοποιούνται με το πρόγραμμα SAP2000 v0.0.7. Η προσομοίωση του εξεταζόμενου κτιρίου βασίζεται στις εξής παραδοχές: Η διατμητική αστοχία αποκλείεται. Οι ανελαστικές παραμορφώσεις (πλαστικές αρθρώσεις) εντοπίζονται στους πόδες των υποστυλωμάτων. Οι πλαστικές αρθρώσεις προσομοιώνονται μέσω διγραμμικών ελαστικών - ιδανικά πλαστικών διαγραμμάτων ροπών - στροφών (Μ-θ) με ροπή διαρροής M y = 50km και με διαθέσιμη πλαστική στροφή θ p =0.04rad. Η αλληλεπίδραση ροπών - αξονικών δυνάμεων αγνοείται. Το προσομοίωμα υποβάλλεται σε επαυξητική φόρτιση με κατανομή ανάλογη με το διάνυσμα Mφ και Mφ 2 και σχεδιάζονται τα διαγράμματα έργου εξωτερικών φορτίων - μετακίνησης κορυφής (Ε i -u i ) του πολυβάθμιου συστήματος για τις δύο πρώτες ιδιομορφές. Κατόπιν, οι τετμημένες των διαγραμμάτων διαιρούνται με τις ποσότητες ν φ Ν και ν 2 φ Ν2 αντίστοιχα και έτσι προκύπτουν τα διαγράμματα ενέργειας παραμόρφωσης - μετακίνησης για κάθε ιδιομορφή. Επισημαίνεται ότι η ιδιομορφική συντεταγμένη φ Νi αφορά στο βαθμό ελευθερίας που αντιστοιχεί στη μετακίνηση - στόχο ο οποίος μπορεί να επιλέγεται ελεύθερα μεταξύ των τριών διαθέσιμων βαθμών ελευθερίας. Με βάση τα διαγράμματα ενέργειας παραμόρφωσης - μετακίνησης και με τη χρήση κατάλληλης τεχνικής εξιδανίκευσης προκύπτουν οι διγραμμικές καμπύλες δύναμης επαναφοράς - μετακίνησης του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος για κάθε ιδιομορφή. Στο σημείο αυτό κανονικά θα έπρεπε να υπολογιστεί η μετακίνηση - στόχος με τη βοήθεια του φάσματος απόκρισης και με χρήση κάποιου από τους γνωστούς τύπους των κανονισμών. Ωστόσο, οι διορθωτικοί συντελεστές που υπάρχουν σε αυτούς τους τύπους βασίζονται σε στατιστική επεξεργασία δεδομένων με μεγάλη διασπορά και στις περιπτώσεις εφαρμογής της ΣΥΑ, για φάσματα απόκρισης φυσικών καταγραφών μπορεί να προκύψουν μεγάλες ανακρίβειες σε σχέση με τα αποτελέσματα της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης (Μανούκας κ.α. 2006). Έτσι, στην προκειμένη περίπτωση υπολογίζεται η μετακίνηση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιομορφή με ανελαστική δυναμική ανάλυση, η οποία πολλαπλασιάζεται με την ποσότητα ν i φ Νi ώστε να προκύψει η μετακίνηση - στόχος κάθε ιδιομορφής και κατόπιν οι ιδιομορφικές τιμές όλων των μεγεθών απόκρισης. Οι ακραίες τιμές των μεγεθών απόκρισης υπολογίζονται με τη χρήση του κανόνα της απλής τετραγωνικής επαλληλίας (SRSS). Στον Πίνακα 3 δίνονται οι μετακινήσεις του κέντρου βάρους της κάτοψης για τα τρία επίπεδα σεισμικής διέγερσης και το σφάλμα (%) ως προς τα αποτελέσματα της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης του πολυβάθμιου φορέα. Το θετικό πρόσημο των σφαλμάτων σημαίνει ότι η ΣΥΑ υπερεκτιμά τις μετακινήσεις, ενώ αντίθετα το αρνητικό ότι τις υποεκτιμά. Δεδομένου ότι, λόγω των παραδοχών στις οποίες βασίζεται, η ΣΥΑ είναι εκ φύσεως μια προσεγγιστική 0

και όχι ακριβής μέθοδος, αποκλίσεις αυτής της τάξεως (μέσο σφάλμα ± 23%) θεωρούνται αποδεκτές, ιδιαίτερα μάλιστα στην περίπτωση των ασύμμετρων χωρικών συστημάτων. Πίνακας 3.Μετακινήσεις και σφάλμα μετακινήσεων Κ.Β. Διεύθυνση Χ Διεύθυνση Υ Σεισμική Διέγερση Μετακίνηση (cm) Σφάλμα (%) Μετακίνηση (cm) Σφάλμα (%) 0.5 x El Centro S 0.66-7.93 0.579 36.85.0 x El Centro S.442-32.49.59 0.09.5 x El Centro S 4.22-20.69 3.58 22.58 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία αναπτύχθηκε μια μεθοδολογία με τη χρήση της οποίας παρακάμπτεται η αναγκαιότητα της διενέργειας χωρικής επαλληλίας κατά την εφαρμογή της ΣΥΑ σε χωρικούς φορείς που υποβάλλονται σε διαξονική σεισμική διέγερση. Αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία, καθώς η καταχρηστική χρήση προσεγγιστικών τύπων χωρικής επαλληλίας στην ανελαστική περιοχή συμπεριφοράς (όπου ως γνωστόν δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας) είναι μια από τις κύριες πηγές σφαλμάτων της ΣΥΑ (Μανούκας κ.α. 2006b). Σύμφωνα με την προτεινόμενη μεθοδολογία, η απόκριση ενός πολυβάθμιου συστήματος που υποβάλλεται σε ταυτόχρονη σεισμική διέγερση κατά τους δύο οριζόντιους άξονες μπορεί να υπολογιστεί με βάση την απόκριση ενός κατάλληλου ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος υπό μονοαξονική διέγερση. Μόνη προϋπόθεση γι αυτό είναι οι δύο συνιστώσες της σεισμικής διέγερσης να είναι ανάλογες, πράγμα εύλογο σύμφωνα και με τους ισχύοντες αντισεισμικούς κανονισμούς. Η μεθοδολογία αυτή είναι συμβατή με όλες τις γνωστές παραλλαγές της ΣΥΑ και η ακρίβεια των αποτελεσμάτων που προκύπτουν είναι καταρχάς ικανοποιητική. Βέβαια, η γενίκευση του συμπεράσματος αυτού είναι παρακινδυνευμένη, αφού κάτι τέτοιο θα απαιτούσε τη διενέργεια εκτεταμένων παραμετρικών αναλύσεων μεγάλης ποικιλίας δομικών φορέων για επαρκή αριθμό σεισμικών διεγέρσεων. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Αναστασιάδης, Κ.Κ., «Προσεγγιστικές μέθοδοι εκτίμησης ανελαστικής απόκρισης κτιρίων», Πανεπιστημιακές σημειώσεις Μ.Π.Σ. Α.Π.Θ. Αντισεισμικός Σχεδιασμός Τεχνικών Έργων (2004) Chopra, A.K., «Dynamics of Structures Theory and Applications to Earthquake Engineering», Third Edition, Pearson Prentice Hall, ew Jersey, USA (2007) Κανονισμός Επεμβάσεων (ΚΑΝΕΠΕ) Σχέδιο Κειμένου 3, ΟΑΣΠ (2006)

Krawinkler H., and Seneviratna G.D.P.K. (998). Prons and cons of a pushover analysis of seismic performance evaluation, Engineering Structures 20, 452 464 Μανούκας, Γ.Η., Αθανατοπούλου, Α.Μ., & Αβραμίδης Ι.Ε., Συγκριτική διερεύνηση παραλλαγών της στατικής υπερωθητικής ανάλυσης βάσει σύγχρονων κανονιστικών κειμένων, Πρακτικά 5 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Σκυροδέματος (Αλεξ/πολη Οκτώβριος 25-27, 2006), ΤΕΕ/ΕΤΕΚ, Αλεξ/πολη, (2006) 40-42 Manoukas, G.E., Athanatopoulou, A.M., & Avramidis, I.E., Static pushover analysis based on an energy-equivalent SDOF system, in Proceedings of the 4th World Conference on Earthquake Engineering (Beijing China October 2-7, 2008) Paper o 4-0047 Μανούκας, Γ.Η., Αθανατοπούλου, Α.Μ., & Αβραμίδης Ι.Ε., Αξιολόγηση Στατικής Υπερωθητικής Ανάλυσης Βασισμένης σε Εργικά Ισοδύναμο Μονοβάθμιο Σύστημα, Πρακτικά 3 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Αντισεισμικής Μηχανικής και Τεχνικής Σεισμολογίας (Αθήνα Νοέμβριος 5-7, 2008a), Εργαστήριο Εδαφομηχανικής ΕΜΠ/ΤΕΕ/ΕΤΑΜ, Αθήνα, (2008a) 207 Μανούκας, Γ.Η., Αθανατοπούλου, Α.Μ., & Αβραμίδης Ι.Ε., Στατική Υπερωθητική Ανάλυση σε Χωρικά Συστήματα - Κανονιστικές Διατάξεις και Προβλήματα Εφαρμογής, Πρακτικά 3 ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Αντισεισμικής Μηχανικής και Τεχνικής Σεισμολογίας (Αθήνα Νοέμβριος 5-7, 2008b), Εργαστήριο Εδαφομηχανικής ΕΜΠ/ΤΕΕ/ΕΤΑΜ, Αθήνα, (2008b) 3 Seismic Rehabilitation of Existing Buildings, ASCE/SEI 4-06 Standard (2008) 2