V. ΜΙΞΗ ΣΕ ΛΙΜΝΕΣ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΕΣ. 1. Εποχιακός Κύκλος

V. ΜΙΞΗ ΣΕ ΛΙΜΝΕΣ ΤΑΜΙΕΥΤΗΡΕΣ 1. Εποχιακός Κύκλος Οι διαδικασίες µίξης σε λίµνες και ταµιευτήρες διέπονται κυρίως απο τη δράση του ανέµου, απο τις θερµικές ανταλλαγές στην επιφάνεια λόγω ηλιακής ακτινοβολίας / µεταφοράς θερµότητας / εξάτµισης, και από τα εισρέοντα και εκρέοντα υδάτινα ρεύµατα / ποταµούς. Κυρίαρχο ρόλο έχει πάντοτε η κατανοµή της πυκνότητας ρ(x,y,z,t), η οποία εν προκειµένω εξαρτάται κυρίως από τη θερµοκρασία. Κατά κανόνα, η κατακόρυφη δοµή της πυκνότητας παρουσιάζει έναν ετήσιο κύκλο. Τον χειµώνα, τα επιφανειακά ύδατα ψύχονται και βυθίζονται προς τον πυθµένα ενώ παράλληλα οι άνεµοι συµβάλλουν στην οµογενοποίηση της λίµνης ρ (z) σταθ. Την άνοιξη, οι εισροές (λόγω τήξεως χιονιού, κυρίως, αλλά και µεταφοράς φερτών) είναι εν γένει βαρύτερες από το νερό της λίµνης και συγκεντρώνονται στον πυθµένα. Στη συνέχεια το καλοκαίρι η θέρµανση των επιφανειακών υδάτων οδηγεί βαθµιαία σε σηµαντικές διαφορές θερµοκρασίας άρα και πυκνότητας καθ ύψος της υγρής στήλης. Έτσι, στη λίµνη δηµιουργούνται (σχηµατικά) τρία στρώµατα: - το επιλίµνιο (θερµόµετρο / ελαφρύτερο) στην επιφάνεια - το υπολίµνιο (ψυχρότερο / βαρύτερο) στον πυθµένα - το µεταλίµνιο, ενδιάµεσα, όπου συµβαίνει βαθµιαία ή και απότοµη µεταβολή της θερµοκρασίας (θερµοκλινές) και της πυκνότητας (πυκνοκλινές). Το πάχος του επιλιµνίου προοδευτικά αυξάνεται µέχρι τέλους του καλοκαιριού / αρχές φθινοπώρου, λόγω της συνεχιζόµενης θέρµανσης της επιφάνειας και της δράσης των ανέµων, ενώ το πυκνοκλινές καθίσταται πιο απότοµο. Το φθινόπωρο, η ψύξη της επιφάνειας και η αυξανόµενη δράση των ανέµων που ευνοεί την κατακόρυφη ανάµιξη καταστρέφει βαθµιαία τη στρωµάτωση και έτσι τον χειµώνα η λίµνη γίνεται και πάλι οµογενής. Σηµείωση : (i) Επεισόδια ισχυρών καταιγίδων / ανέµων µπορούν να προκαλέσουν ανάµιξη / οµογενοποίηση οποτεδήποτε. (ii) Λόγω διαφορών βαθυµετρίας, εισροών, ηλιακής ακτινοβολίας, έντασης ανέµου κλπ, µπορούν εν γένει να υπάρχουν διαφορές στη στρωµάτωση κατά (x, y).. Χαρακτηριστικά Στρωµάτωσης Σύµφωνα µε τα προηγούµενα, σε µεγάλο µέρος του έτους οι λίµνες είναι τουλάχιστον µερικώς στρωµατωµένες, δηλ. εµφανίζουν διαφορές πυκνότητας καθ ύψος της υγρής στήλης. Σε κατάσταση ηρεµίας, οι ισόπυκνες ( ή ισόθερµες) καµπύλες είναι οριζόντιες. Γενικά η πυκνότητα µπορεί να εκφραστεί ως: 1

ρ = ρ + ρ (z) + ρ'(x, y, z, t) (1) e όπου ρ ο η πυκνότητα του νερού σε µια µέση θερµοκρασία, ρ e (z) η διαφορά από την ρ ο σε απουσία κίνησης ρ (x,y,z,t) η επιπλέον διακύµανση λόγω κίνησης. Η κλίση της πυκνότητας χαρακτηρίζεται από την παράµετρο ε : 1 dρe ε = () ρ dz και από την παράµετρο Ν: N g dρ e 1/ = gε = ( ) () ρ dz Η Ν έχει διαστάσεις (χρόνου) -1 και λέγεται συχνότητα στρωµάτωσης ή συχνότητα Brunt Vaiala (βλ. Κεφάλαιο Στρωµατωµένων Ροών). Εκφράζει τη συχνότητα ταλάντωσης ρευστού στοιχείου που αποµακρύνεται από τη θέση ισορροπίας του µέσα σε στρωµατωµένο υγρό. Εν προκειµένω η Ν αποτελεί τη συχνότητα (στάσιµων) εσωτερικών κυµατισµών που αναπτύσσονται σε στρωµατωµένο υγρό άπειρων διαστάσεων λόγω απόκλισης των ισόθερµων / ισόπυκνων από την οριζόντια (εξαιτίας π.χ. της δράσης ανέµου ή άλλου αιτίου). Αν το υδάτινο σώµα έχει πεπερασµένο µήκος L και βάθος Η, τότε η συχνότητα της αρµονικής ταλάντωσης είναι: N ω = (4) L 1/ (1 + ) ενώ άλλες αρµονικές προκύπτουν αν θεωρήσουµε ότι το δοχείο χωρίζεται σε x m τµήµατα: N ω = (5) m L (1 + )

Στάσιµα κύµατα σε στρωµατωµένο υγρό: (α) Άπειρες διαστάσεις (β) Πεπερασµένο µήκος (γ) Πεπερασµένο µήκος και ύψος (δ) Ανώτερες αρµονικές Σε περίπτωση συστήµατος δύο στρωµάτων (δηλ. δύο οµογενή στρώµατα µε διεπιφάνεια µικρού πάχους), η συχνότητα των εσωτερικών ταλαντώσεων προκύπτει N' 1 ρ ρ h( h) 1/ = (g ) (6) L όπου ρ η διαφορά πυκνότητας µεταξύ των στρώσεων, Η το ολικό βάθος και h το πάχος του πάνω στρώµατος. Όσον αφορά τη διατηρησιµότητα των εσωτερικών κυµάτων, βασικό παράγοντα αποτελεί η σχέση του χρόνου «διάχυσης» της ενέργειας τους καθ ύψος της υγρής στήλης προς την περίοδο του κύµατος. Ο πρώτος είναι ανάλογος της ποσότητας /ν (βλ. κεφάλαιο διάχυσης), όπου ν η κινηµατική συνεκτικότητα του υγρού, ενώ η περίοδος κύµατος είναι ανάλογη του Ν -1. Ο λόγος 4 / v N = (7) N v Gr ' ( ) = 1 λέγεται αριθµός Grah εσωτερικών κυµάτων. Αν Gr < 1 οι ταλαντώσεις αποσβέννυνται γρήγορα, ενώ αν Gr > 1 η απόσβεση είναι βραδεία. Σε λίµνες µεγάλων διαστάσεων µπορεί να έχει σηµαντική επίδραση η περιστροφή της γης. Αυτή χαρακτηρίζεται από τον αδιάστατο αριθµό Rby: U R = (8) L Ω

όπου U,L χαρακτηριστική ταχύτητα και µήκος του πεδίου και Ω η συχνότητα περιστροφής της γής. Η επίδραση της περιστροφής της γής στην κίνηση καθίσταται σηµαντική αν R < 1 (µεγάλα L, µικρά U). Αντίστοιχα, τα εσωτερικά κύµατα µπορούν να επηρεαστούν από την περιστροφή της γής αν ω/ω < 1.. Κατακόρυφη µίξη στο Επιλίµνιο Η πιο σηµαντική διαδικασία µίξης στις λίµνες είναι η κατακόρυφη µίξη στο επιφανειακό στρώµα (επιλίµνιο), που δέχεται την άµεση επίδραση του ανέµου και των ανταλλαγών θερµότητας µε την ατµόσφαιρα. Η µεταφορά θερµότητας (θερµικής ενέργειας) µέσω της επιφάνειας διακρίνεται σε 5 συνιστώσες: την µεταφορά αισθητής θερµότητας (enible heat) που εξαρτάται από τη διαφορά θερµοκρασίας επιφάνειας λίµνης- ατµόσφαιρας, την απώλεια λόγω εξάτµισης Η L, την εισροή θερµότητας λόγω ακτινοβολίας µεγάλου και µικρού µήκους κύµατος, Η 1 και w αντίστοιχα, και την απώλεια λόγω ακτινοβολίας από την επιφάνεια Η. [Για σχετικές ποσοτικές εκφράσεις βλ. Fiher et al.]. Οι περισσότερες από αυτές τις ανταλλαγές θερµότητας επηρεάζουν ένα λεπτό επιφανειακό στρώµα ~ 1 m, πλην της w. Ας υποθέσουµε κατ αρχήν κατάσταση άπνοιας και οµογενές υγρό, πυκνότητας ρ ο, και έστω ότι η επιφάνεια της λίµνης ψύχεται µε ρυθµό (w/m ). Καθώς το λεπτό επιφανειακό στρώµα καθίσταται βαρύτερο, δηµιουργούνται θερµικά πλούµια που διεισδύουν προς τα βαθύτερα στρώµατα, προκαλώντας µια διαδικασία µίξης που ονοµάζεται διεισδυτική µεταφορά (penetrative nvetin). Εφαρµόζοντας το ισοζύγιο της θερµότητας στο σύνολο της λίµνης προκύπτει ο µέσος ρυθµός µεταβολής της θερµοκρασίας: dt A = (9) ρ V p όπου Α η επιφάνεια της λίµνης που ψύχεται, V ο όγκος της λίµνης, Τ η µέση θερµοκρασία της λίµνης και p η ειδική θερµότητα του νερού. Η µείωση της θερµοκρασίας Τ συνεπάγεται µείωση του όγκου (συστολή του υγρού) και άρα του βάθους της λίµνης: d = α (10) ρ p όπου α ο συντελεστής θερµικής διαστολής του νερού. Συνακόλουθα, η δυναµική ενέργεια P της λίµνης µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση dp = α g A ( z) (11) p όπου z το κ. βάρους του υδάτινου όγκου. Η µεταφορά ενέργειας από τη µέση ενέργεια της λίµνης προς τα θερµικά πλούµια επιτρέπει τη συνέχιση της διεισδυτικής µεταφοράς. 4

Σχηµατική παράσταση διεισδυτικής µεταφοράς Η χαρακτηριστική ταχύτητα της διεισδυτικής µεταφοράς µπορεί να εκτιµηθεί (βλ. Fiher et al): u αg = (1) ρ 1/ ( ) p Αν η λίµνη δεν είναι οµογενής, το µέτωπο των κατερχόµενων πλουµίων φθάνοντας στη διεπιφάνεια (θερµοκλινές) ([βλ. σχήµα] προκαλεί κίνηση προς τα πάνω των εκεί ευρισκοµένων υδάτινων µαζών µε συνέπεια τη βάθυνση του άνω στρώµατος δηλαδή την προώθηση της διεπιφάνειας προς τα κάτω. Αν ο ρυθµός µεταβολής του πάχους h του πάνω στρώµατος είναι dh/, το απαιτούµενο έργο είναι αg Τρ (h / )(dh / ). Θεωρώντας τώρα το συνολικό ισοζύγιο µεταβολών δυναµικής και κινητικής ενέργειας προκύπτει η σχέση: dh φ ( Tu + α Tgh) = u (1 ) (1) u T είναι συντελεστής που ποικίλλει από λίµνη σε λίµνη, µε τιµές της τάξεως του 0,5 και φ εκφράζει τις απώλειες ενέργειας. Αντί της παρένθεσης στο β µέλος της εξ (1) µπορεί να εισαχθεί ο συντελεστής αποδοτικότητας φ = (1 ) (14) u µε τιµές της τάξεως του 0,1 0,15. Η εξ (1) επιτρέπει τον υπολογισµό του ρυθµού διάβρωσης (δηλ. της προς τα κάτω προώθησης) της διεπιφάνειας / θερµοκλινούς που οφείλεται µόνο στη διεισδυτική µεταφορά. Αν συγχρόνως υπάρχει πνοή ανέµου, µέσω των ασκούµενων διατµητικών τάσεων στην επιφάνεια προσφέρεται επιπλέον ενέργεια στο σύστηµα που οδηγεί σε εντονότερη ανάµιξη. 5

Κατ αρχήν η ασκούµενη διατµητική τάση λόγω ανέµου δίνεται από τη σχέση τ = DραW (15) όπου W η ταχύτητα του ανέµου (µετρούµενη σε ύψος 10 m πάνω από την ελεύθερη επιφάνεια), ρ α η πυκνότητα του ανέµου, και C D συντελεστής που είναι κατ αρχήν συνάρτηση του W, µε τιµές 10 - για W < 5 m/e, αυξανόµενη µέχρι 1,5 10 - για W = 15 m/e. Η δράση του ανέµου µπορεί καλύτερα να εκφραστεί µε την ταχύτητα διάτµησης u = τ / ρ, όπου ρ ο η πυκνότητα του νερού. Λαµβάνοντας υπόψη ότι το παραγόµενο έργο από τον άνεµο θα είναι ανάλογο του γινοµένου τu w, όπου u w η ταχύτητα του προκαλούµενου επιφανειακού ρεύµατος, και ότι οι u w και u θα πρέπει να είναι της ίδιας τάξης µεγέθους, συνάγεται ότι το προσδιδόµενο έργο στο σύστηµα θα είναι ανάλογο του u. Εισάγοντας έναν συντελεστή αποδοτικότητας και υποθέτοντας επαλληλία της επίδρασης του ανέµου και της διεισδυτικής µεταφοράς, προκύπτει το ενεργειακό ισοζύγιο κατ επέκταση της εξ (1) ως εξής: dh + u (16) ( Tq α Τgh) = u + όπου q εκφράζει τη µέση τυρβώδη ταχύτητα που προκύπτει από το συνδυασµό του ανέµου και της ψύξης της επιφάνειας και δίνεται από τη σχέση = u n u (17) q + όπου ο συντελεστής n = / (18) Eποµένως τελικά η (16) γράφεται: dh ( Tq = + α Τgh) q (19) Η εξ (19) δεν λαµβάνει υπόψη τη ροή του πάνω στρώµατος που προκαλείται από τη επίδραση του ανέµου. Η ταχύτητα του πάνω στρώµατος ή (ακριβέστερα) η διαφορά ταχύτητας µεταξύ πάνω και κάτω στρώµατος - προκαλεί διάβρωση του θερµοκλινούς λόγω διάτµησης (βλ. και Κεφάλαιο Στρωµατωµένων Ροών). Αυτή η διαφορά ταχύτητας είναι σηµαντική, ιδιαίτερα για ισχυρούς ανέµους. Τότε, θα πρέπει να προστεθεί στο β µέλος της εξ (19) ο επιπλέον όρος ( u) dh / όπου u η διαφορά ταχύτητας των δύο στρωµάτων και συντελεστής µε τιµή της τάξεως του 0,5. Όταν ο όρος αυτός γίνει πολύ σηµαντικός σε σχέση µε τη διεισδυτική µεταφορά, η εξίσωση του µε τον ο όρο του πρώτου µέλους της εξίσωσης οδηγεί στη σχέση h = ( u) / α Τg (0) 6

Σηµαντική παράµετρος για την ευστάθεια και την όλη δυναµική του πάνω στρώµατος είναι ο αριθµός Rihardn (βλ. και Κεφάλαιο Στρωµατωµένων Ροών), που εδώ ορίζεται ως ρ g h α Τgh ρ Ri = = (1) u u όπου h το πάχος του στρώµατος και ρ η διαφορά πυκνότητας. Σύµφωνα µε τον Spigel, διακρίνονται 4 καθεστώτα διαδικασιών βάθυνσης του στρώµατος υπό την επίδραση του ανέµου, που σχηµατικά παρουσιάζονται στο επόµενο σχήµα, και εξαρτώνται από την τιµή του R i. (Α) Ri (L / h). Ισχυρή στρωµάτωση & ασθενείς άνεµοι. Έντονο θερµοκλινές, βραδεία βάθυνση. (Β) ( L / h) Ri (L / h). Κυρίαρχο χαρακτηριστικό οι εσωτερικοί κυµατισµοί, µε σποραδικούς στροβίλους (billw), αρκετά ταχεία απόσβεση τους και σχετικά βραδεία βάθυνση. (C) 1 Ri (L / h). ιάχυτη (όχι σαφής) διεπιφάνεια µε σηµαντική κλίση και στροβιλισµούς (billw). Μίξη κυρίως λόγω διάτµησης και αρκετά ταχεία βάθυνση. (D) Ri 1. Πολύ ταχεία βάθυνση, διεπιφάνεια ασαφής, έντονη κατακόρυφη µίξη. Αντιστοιχεί σε ασθενή στρωµάτωση και ισχυρούς ανέµους. Μια ανάλογη ταξινόµηση µπορεί να γίνει µε βάση τον αριθµό Wedderburn ρ g ρ = Ri () u L L W d = Στην περιοχή (Α) είναι W d >>1, ενώ στην (D) είναι W d <<1. 7