ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.
MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Άπειρα Σύνολα και Αριθμησιμότητα Βιβλίο ΕΡΡ: Κεφάλαιο 7 8 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Μερικά Παραδείγματα Άπειρων Συνόλων Ν = { 0, 1, 2, 3, 4,... } : Το σύνολο των φυσικών αριθμών (το πιο θεμελειώδες άπειρο σύνολο). Ζ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } : Το σύνολο των ακέραιων αριθμών. Ζ + ή Ν + = {1,2,3,4,...}: Το σύνολο των θετικών φυσικών αριθμών. 2Ζ ={..., -4, -2, 0, 2, 4,...} = { 2κ : κ Ζ } : Άρτιοι ακέραιοι αριθμοί. Ν+2 = { 2, 3, 4, 5,... } = { κ+2 : κ Ν } : Φυσικοί αριθμοί 2. 2Ζ + = { 2, 4, 6,...} = { 2κ : κ Ν } : Άρτιοι θετικοί φυσικοί αριθμοί. Q ={κ κ / λ : κ Ζ λ Ζ + } : Το σύνολο των ρητών αριθμών. Q + = { κ / λ : κ Ζ + λ Ζ + } : Το σύνολο των θετικών ρητών. R = Το σύνολο των πραγματικών αριθμών. 2 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Πληθικοί / ιατακτικοί Αριθμοί Συνόλων Πληθικός Αριθμός (ή πληθάριθμος) συνόλου: Το «πλήθος των στοιχείων» που περιλαμβάνει. ιατακτικός Αριθμός Στοιχείου σε ένα διατεταγμένο σύνολο: Η «σειρά ά εμφάνισης» του στοιχείου μέσα στο σύνολο, βάσει μιας συγκεκριμένης (σχέσης) ολικής διάταξης των στοιχείων του. ΕΡΩΤΗΣΗ: Πώς συγκρίνουμε τις πληθικότητες δυο συνόλων με άπειρα στοιχεία??? Π.χ., τι σχέση έχουν οι πληθικότητες η των ακόλουθων συνόλων? N, Z, 2Z, Q, Q +, [0,1], R 3 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Πληθικότητα Συνόλου ΟΡΙΣΜΟΣ CS.1 Πληθικότητα ή Πληθάριθμος Συνόλου. Για οποιαδήποτε σύνολα Α,Β: Πληθικότητα ή πληθάριθμος Α του Α ονομάζεται το πλήθος των στοιχείων (διακεκριμένων αντικειμένων) που περιλαμβάνει. Τα Α,Β έχουν την ίδια πληθικότητα ΑΝΝ υπάρχει συνάρτηση «1-1» και επί από το Α στο Β. 4 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Πεπερασμένα και Άπειρα Σύνολα ΟΡΙΣΜΟΣ CS.2 Άπειρα Αριθμήσιμα Σύνολα. Ένα σύνολο Α λέγεται: Πεπερασμένο ANN είναι το κενό σύνολο, ή υπάρχει Κ Ζ +, και «1-1» και επί συνάρτηση F : { 1, 2, 3,..., Κ } A. Ο πληθάριθμος ή πληθικότητα του Α είναι είτε το μηδέν (αν Α ), ή ο φυσικός αριθμός Κ (αν Α ). Αριθμήσιμα άπειρο ANN έχει τον ίδιο πληθάριθμο με το Z +, δηλαδή, υπάρχει «1-1» και επί συνάρτηση F :Z + A. Υπεραριθμήσιμο, ρ μ, ή μη αριθμήσιμα μ άπειρο ANN δεν είναι ούτε πεπερασμένο, ούτε αριθμήσιμα άπειρο: Α ΚΑΙ Β Ζ +, ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ «1-1» και επί συνάρτηση F :Β A. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ CS.1: Νδο το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών είναι ένα άπειρα αριθμήσιμο σύνολο. Η συνάρτηση Φ : Z + Ν που ορίζεται ως Φ(κ) = κ 1 είναι «1-1» και επί. 5 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Πληθικότητα: Μια Σχέση Ισοδυναμίας ΠΡΟΤΑΣΗ CS.1: Η σχέση «το Χ έχει ίδια πληθικότητα με το Υ» είναι μια σχέση ισοδυναμίας στο σύνολο όλων των συνόλων αντικειμένων. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ανακλαστικότητα: Για κάθε σύνολο Α, η (προφανώς «1-1» και επί) ταυτοτική συνάρτηση Ι Α : Α Α αποδεικνύει ότι Α = Α. Συμμετρικότητα: Για κάθε ζεύγος διαφορετικών συνόλων Α, Β, ΕΣΤΩ «1-1» και επί συνάρτηση φ Α : Α Β που δείχνει ότι Α = Β. ΤΟΤΕ η φ Β : Β Α τ.ώ. φ Β = φ -1 Α αποδεικνύει ότι Β = Α. Μεταβατικότητα: Έστω σύνολα Α, Β, Γτ.ώ. οι «1-1» και επί συναρτήσεις φ ΑΒ : Α Β και φ ΒΓ : Β Γ που αποδεικνύουν την ταύτιση της πληθικότητας του Αμε αυτή του Β και του Βμε αυτή του Γ. Τότε η συνάρτηση φ ΑΓ = φ ΒΓ ο φ ΑΒ είναι «1-1» και επί και αποδεικνύει την τάυτιση της πληθικότητας του Αμε αυτή του Γ. 6 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
«Παραξενιές» των Άπειρων Συνόλων (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ CS.2: Να συγκρίνετε τις πληθικότητες των συνόλων Ζ (ακέραιοι) και 2Ζ (άρτιοι ακέραιοι). Θδο είναι «1-1» και επί η συνάρτηση Φ : Ζ 2Ζ που ορίζεται ως εξής: κ Ζ, Φ(κ) = 2κ «1-1»: κ Ζ μ Ζ [ κ μ Φ(κ) = 2κ Φ(μ) = 2μ ] επί: λ 2Ζ κ Ζ [ λ = 2κ = Φ(κ) ] // ορισμός του 2Z ΑΡΑ: Ζ = 2Ζ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Ένα άπειρο σύνολο ενδέχεται να έχει την Ι ΙΑ ΠΛΗΘΙΚΟΤΗΤΑ με ένα γνήσιο υποσύνολό του. 7 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) «Παραξενιές» των Άπειρων Συνόλων (ΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ CS.3: ώστε παράδειγμα συναρτήσεων μεταξύ άπειρων συνόλων Α,Β με ίδια πληθικότητα, που να είναι: 1. είναι «1-1» 1», αλλά δεν είναι «επί». 2. δεν είναι «1-1», αλλά είναι «επί». Ήδη γνωρίζουμε ότι οι πληθικότητες των 2Ζ και Ζ ταυτίζονται. Όμως: 1. Η συνάρτηση (επέκταση της ταυτοτικής Ι 2Ζ ) φ : 2Ζ Ζ που ορίζεται ως φ(κ) = κ, κ 2Ζ, προφανώς είναι «1-1» αλλά δεν είναι επί. 2. Η συνάρτηση χ : Ζ 2Ζ που ορίζεται ως χ(κ) = 2 κ/2, κ Ζ είναι επί αλλά δεν είναι «1-1» 1» (πχ, χ(3) = 2 και χ(2) = 2). ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αντιδιαστείλετε αυτό το παράδειγμα με την Πρόταση REL.2 ότι οποιαδήποτε πεπερασμένα σύνολα Α,Β με ίδια πληθικότητα είναι «1-1» ΑΝΝ είναι επί. 8 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Έλεγχος Αριθμησιμότητας Συνόλων (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ CS.4: Νδο το σύνολο Ζ των ακέραιων αριθμών είναι ένα άπειρα αριθμήσιμο σύνολο. Πρέπει να βρούμε μια απαρίθμηση του Ζ, δλδ, μια «1-1» και επί συνάρτηση φ : Z + Z. ηλαδή, θέλουμε να «καταμετρήσουμε» όλους τους ακέραιους αριθμούς, χρησιμοποιώντας ΜΟΝΟ του θετικούς ακέραιους αριθμούς!!! Ορίζουμε τη διμελή σχέση φ από το Z + στο Z : φ(1) ) = 0 λ 1, φ(2λ) = -λ, φ(2λ+1) = λ ΓΙΑΤΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ? ΓΙΑΤΙ «1-1»? ΓΙΑΤΙ επί? 9 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Έλεγχος Αριθμησιμότητας Συνόλων (ΙΙ) ΓΙΑΤΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ? ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ: Κάθε θετικός φυσικός αριθμός γράφεται με ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΕΝΑΝ ΤΡΟΠΟ ως άρτιος ή ως περιττός. κ Ζ + λ Ν [ κ = 2λ κ = 2λ+1 ]: Ένας εκ των κ/2, (κ 1)/2 είναι o ζητούμενος αριθμός λ (πιο αυστηρή απόδειξη με μαθηματική επαγωγή στην τιμή του κ) ΙΣΧΥΡΙΣΜΟΣ 2: Κάθε θετικός φυσικός αριθμός γράφεται με ΤΟ ΠΟΛΥ ΕΝΑΝ ΤΡΟΠΟ, είτε ως άρτιος ή ως περιττός αριθμός. 1. κ Ζ + λ Ν μ Ν, ( κ = 2λ κ = 2μ ) ( κ = 2λ+1 κ = 2μ+1 ) λ = μ 2. κ Ζ + λ Ν μ Ν, [ κ = 2λ κ = 2μ+1 ] [ λ 1/2 = μ (ΨΕΥ ΕΣ) ] ΑΡΑ: κ Ζ + λ Ν μ Ν [ κ 2λ κ 2μ+1] 10 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Έλεγχος Αριθμησιμότητας Συνόλων (ΙΙΙ) ΓΙΑΤΙ «1-1»? Θδο κ,μ Ζ + [ κ μ φ(κ) φ(μ) ] : ΕΣΤΩ λ 1, λ 2 Ζ + : κ = 2λ 1 +1 μ = 2λ 2 +1 Ή κ = 2λ 1 μ = 2λ 2 ΤΟΤΕ λ 1 λ 2 ΚΑΙ φ(κ) {-λ 1, λ 1 } ΚΑΙ φ(μ) {-λ 2, λ 2 }. ΑΡΑ: φ(κ) φ(μ). ΕΣΤΩ λ 1, λ 2 Ζ + : κ = 2λ 1 +1 μ = 2λ 2. ΤΟΤΕ φ(κ) = λ 1 φ(μ) = -λ 2 // διαφορετικά πρόσημα ΓΙΑΤΙ επί? Θδο λ Ζ κ Ζ + [ φ(κ) = λ ] : ΑΝ λ 0 ΤΟΤΕ [ λ < 0 φ(2(-λ)) = λ ] [ λ > 0 φ(2λ+1) = λ ] ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ λ = 0 Φ(1) = 0. 11 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Έλεγχος Αριθμησιμότητας Συνόλων (ΙV) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ CS.5: Νδο το σύνολο Q + των θετικών ρητών αριθμών είναι αριθμήσιμα άπειρο. ημιουργούμε ένα «πλέγμα» που αντιστοιχεί στο Ζ + Z Z +, (σύνολο ύ λ διατεταγμένων ζευγών θετικών ακεραίων). Υπάρχει επί συνάρτηση Φ 1 : Ζ + Z + Q + από το πλέγμα τους ρητούς. Κάνουμε την Φ 1 και «1-1» 1», διαγράφοντας από το πλέγμα Ζ + Z + ζεύγη που αφορούν επαναλήψεις ρητών. ής αριθμητή «Απαριθμούμε» τα στοιχεία του πλέγματος (αποφεύγοντας τα διαγραμμένα), με στοιχεία του Ζ +. Η συνάρτηση Φ + + + 2 : Z Ζ Z που προκύπτει είναι «1-1» 1» (και επί στο Ζ + Z + δίχως τα διαγραμμένα στοιχεία). Η Φ + + 2 ο Φ 1 : Ζ Q είναι «1-1» 1» και επί (ως σύνθεση δυο «1-1» 1» και επί συναρτήσεων) και αποδεικνύει την αριθμησιμότητα του Q +. 12 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Πληθικότητες Αριθμήσιμα Άπειρων Συνόλων ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το Q + αν και μοιάζει να είναι «πυκνότερο» (πχ, στην ευθεία των πραγματικών) από το Ζ +, στην πραγματικότητα έχει επίσης την ίδια πληθικότητα με αυτό ( όπως και τα Ζ, 2Ζ )!!! ΓΕΝΙΚΑ: Όλα τα αριθμήσιμα άπειρα σύνολα έχουν την Ι ΙΑ πληθικότητα. η Πχ, Ζ + = Ν = 2Ζ = Q. Το χρησιμοποιείται για να εκφράσει έναν «αριθμό» μεγαλύτερο από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Χρησιμοποιούμε το 0 για να εκφράσουμε ακριβώς αυτή την κοινή πληθικότητα των αριθμήσιμα άπειρων συνόλων (που ισούται με την πληθικότητα των θετικών φυσικών αριθμών). ΕΡΩΤΗΣΗ: Υπάρχουν πράγματι μεγαλύτερα, δηλαδή «περισσότερο άπειρα» σύνολα από τα αριθμήσιμα άπειρα σύνολα? ΑΠ.: ΝΑΙ, τα μη αριθμήσιμα άπειρα σύνολα!!! 13 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μη Αριθμήσιμα Άπειρα Σύνολα (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ CS.2: Tο (ανοικτό) υποσύνολο πραγματικών αριθμών (0,1) = { x R : 0<x<1}είναι μη αριθμήσιμα άπειρο. ΑΠΟ ΕΙΞΗ [Μέθοδος διαγωνοποίησης του Cantor] Με απαγωγή σε άτοπο. Έστω «1-1» και επί συνάρτηση φ : Ζ + (0,1) που αποδείκνυε δί την αριθμησιμότητα του (0,1). Παραθέτουμε ΟΛΑ τα στοιχεία του (0,1) με τη σειρά που ορίζει η φ, χρησιμοποιώντας τη δεκαδική τους αναπαράσταση. Θδο υπάρχει αριθμός στο (0,1) που δεν εμφανίζεται στη λίστα (πράγμα που αναιρεί την ύπαρξη της φ): 1 : φ(1) = 0,a Έστω β = 0,b 1 b 2 b 3 (0,1) τ.ώ.: 11 a 12 a 13 a 1κ 2 : φ(2) = 0,a 21 a 22 a 23 a 2κ κ 1, ΑΝ a κκ 1 ΤΟΤΕ b κ = 1 ΑΛΛΙΩΣ b κ = 2 κ : φ(κ) =0,a κ1 a κ2 a κ3 a κκ ΑΛΛΑ: ΓΙΑ ΚΑΘΕ κ 1, β 0,a κ1 a κ2 a κ3 a κκ ΗΛΑ Η: Ο β (0,1) δεν εμφανίζεται στην απαρίθμηση που ορίζει η φ για όλα τα στοιχεία του (0,1). (ΑΤΟΠΟ) 14 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Μη Αριθμήσιμα Άπειρα Σύνολα (ΙΙ) ΕΡΩΤΗΣΗ: Για ποιο λόγο το ίδιο ερώτημα δεν αποδεικνύει την «μη αριθμησιμότητα» των ρητών αριθμών ανάμεσα σο0 στο 0 και το 1??? Αν δοκιμάσουμε τη μέθοδο της διαγωνοποίησης για το σύνολο Q + (0,1), ο αριθμός βπου θα κατασκευάσουμε θα είναι ένας πραγματικός αριθμός στο (0,1) που όμως δεν μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι είναι και ρητός. Στην πραγματικότητα, αποδείξαμε ότι αυτό δε μπορεί να ισχύει,, αφού το σύνολο των θετικών ρητών αριθμών είναι αριθμήσιμα άπειρο. 15 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ιδιότητες (μη) Αριθμησιμότητας (Ι) ΠΡΟΤΑΣΗ CS.3: Κάθε υποσύνολο Β ενός αριθμήσιμα άπειρου συνόλου Α είναι είτε πεπερασμένο, ή αριθμήσιμα άπειρο. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Από αριθμησιμότητα του Α, υπάρχει «1-1» και επί συνάρτηση φ : Ζ + Α. Έστω Β Α είναι άπειρο σύνολο (αν το Β είναι πεπερασμένο, τότε αριθμήσιμο). Ο ακόλουθος αλγόριθμος παράγει τη σχέση χ : Ζ + Β. Θδο είναι «1-1» και επί συνάρτηση: [1] λ = 1; ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ: Για κάθε μ Ζ + [2] FORALL κ Ζ + DO κάποια στιγμή θα ισχύει ότι λ=μ, [3] IF φ(κ) Β (αλλιώς το Β έχει πληθάριθμο < μ). [4] ΤΗΕΝ { χ(λ) = φ(κ); λ = λ + 1 } Τη «χρονική ή στιγμή κ» της εξέτασης του λ=μ, το χ(μ)=φ(κ) ορίζεται μοναδικά. Η αύξηση του λ από μ σε μ+1 εξασφαλίζει ότι υπάρχει ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ εικόνα για το μ. «1-1» : ιαφορετικοί φυσικοί αριθμοί μ 1,μ 2 Ζ + εξετάζονται σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, άρα έχουν διαφορετικές εικόνες. Επί : Για κάθε β Β, υπάρχει «χρονική ή στιγμή» κ Ζ Ζ + τ.ώ. φ(κ) ( ) = β. Τη στιγμή κ, για κάποιο λ {1,...,κ} ισχύει χ(λ) = β. 16 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Ιδιότητες (μη) Αριθμησιμότητας (ΙΙ) ΠΡΟΤΑΣΗ CS.4: Κάθε σύνολο που έχει κάποιο μη αριθμήσιμα άπειρο υποσύνολο, είναι επίσης μη αριθμήσιμα άπειρο. ΑΠΟ ΕΙΞΗ Με την αποδεικτική τεχνική της αντιθετοαναστροφής. Στη γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων με επιπλέον μονομελές κατηγόρημα COUNTABLE(*) που ελέγχει τα αριθμησιμότητα συνόλων: Γράφουμε στη γλώσσα μας την Πρόταση CS.3: Α{ COUNTABLE(A) Β[ Β Α COUNTABLE(B) ] } // ΑΝ το Α αριθμήσιμο ΤΟΤΕ όλα τα υποσύνολα του Α αριθμήσιμα Α{ Β[ Β Α COUNTABLE(B) ] COUNTABLE(A) } // Ν.Αντιθετοαναστροφής: ΑΝ δεν ισχύει ότι όλα τα υποσύνολα του Α είναι αριθμήσιμα ΤΟΤΕ το Α είναι μη αριθμήσιμο Α{ Β [ [ Β Α COUNTABLE(B) ] COUNTABLE(A) } // Άρνηση ποσοδείκτη Α{ Β[ Β Α COUNTABLE(B) ] COUNTABLE(A) } // Άρνηση συνεπαγωγής: ΑΝ υπάρχει μη αριθμήσιμο υποσύνολο του Α ΤΟΤΕ το Α είναι μη αριθμήσιμο 17 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Ιδιότητες (μη) Αριθμησιμότητας (ΙΙΙ) ΠΡΟΤΑΣΗ CS.5: Το σύνολο R των πραγματικών αριθμών έχει την ίδια πληθικότητα με το εξής (ανοικτό) ύποσύνολό του : (0,1) = { x R : 0 <x<1 } ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αναπαριστούμε το (0,1) ως ευθύγραμμο τμήμα με αρχή το 0 και τέλος το 1 (τα 0,1 δεν συμπεριλαμβάνονται). Μετατρέπουμε το ευθύγραμμο τμήμα α 1/8 7/8 σε κύκλο, ενώνοντας τα σημεία 0,1. Το 1/4 3/4 σημείο α του κύκλου ΕΝ ανήκει στο (0,1). Θεωρούμε τον άξονα των πραγματικών αριθμών. 3/8 5/8-3/2-1 -1/2 0 1/2 1 3/2 ημιουργούμε την «1-1» και επί πραγματικοί αριθμοί συνάρτηση F : (0,1) R ως εξής: Για κάθε x (0,1), F(x) είναι το μοναδικό σημείο τομής της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία α και x του κύκλου με την ευθεία των πραγματικών αριθμών. 18 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) 1/2 x F(x)
Μια Εφαρμογή Αριθμησιμότητας (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ CS.6: Νδο το σύνολο των όλων των προγραμμάτων μιας γλώσσας Γμε πεπερασμένο πλήθος συμβόλων Σ είναι αριθμήσιμα άπειρο. { 0, 1 }* : Το σύνολο των δυαδικών συμβολοσειρών του δυαδικού αλφαβήτου. Κ : Σ {01}* 0,1 : Μια «1-1» 1» συνάρτηση κωδικοποίησης των (πεπερασμένων στο πλήθος) συμβόλων της Γ, με δυαδικές συμβολοσειρές σταθερού μήκους. Ρ : Το σύνολο όλων των προγραμμάτων στη γλώσσα Γ (προφανώς πρόκειται για άπειρο σύνολο). 19 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μια Εφαρμογή Αριθμησιμότητας (ΙΙ) π Ρ, «μεταγράφουμε» το πσε μια δυαδική συμβολοσειρά (χρησιμοποιώντας την κωδικοποίηση Κ για τα σύμβολα της Γ). «ιατάσσουμε» τα προγράμματα του Ρ ως εξής: Κατά μη φθίνουσα σειρά ως προς το πλήθος συμβόλων που χρησιμοποιούν. Μεταξύ προγραμμάτων με ίδιο πλήθος συμβόλων, κατ αύξουσα σειρά των κωδικοποιήσεών τους (ως δυαδικοί αριθμοί με ίδιο πλήθος ψηφίων). Η συγκεκριμένη διάταξη των προγραμμάτων του Ρ ορίζει μια «1-1» και επί συνάρτηση απαρίθμησης φ : Ζ + Ρ. 20 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Εφαρμογές της ιαγωνοποίησης (Ι) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ CS.7: Νδο το σύνολο Τ των συναρτήσεων γ : Ζ + { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } είναι μη αριθμήσιμα άπειρο. Το S = [0,1] περιλαμβάνει αριθμούς που σε δεκαδική αναπαράσταση γράφονται ως α = 0,α 1 α 2 α 3... Η δεκαδική αναπαράσταση είναι μοναδική, εκτός από τους αριθμούς με ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ δεκαδικά ψηφία, που μπορούν επίσης να έχουν μια ισοδύναμη δεκαδική αναπαράσταση με κατάληξη μια άπειρη ακολουθία από 9. Πχ, η αναπαράσταση 0,34599999... υποδεικνύει τον ίδιο αριθμό με την αναπαράσταση 0,346. Επιτρέπουμε ΜΟΝΟ την αναπαράσταση αυτών των αριθμών με άπειρα δεκαδικά ψηφία, εκτός του 0 που λογίζεται ως 0,0000000.... 21 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Εφαρμογές της ιαγωνοποίησης (ΙΙ) Ορίζουμε τη συνάρτηση φ : S Τπου ορίζεται ως εξής: x = 0,α 1 α 2 α 3 [0,1], φ(x) = γ Τ τ.ώ. κ Ζ +, γ(κ) = α κ. Η φ είναι «1-1» 1 (εξ ορισμού). Η φ είναι και «επί», γιατί κάθε πρόγραμμα του Τπαράγει κάποια (άπειρη) ακολουθία δεκαδικών ψηφίων, που είναι βέβαια το δεκαδικό μέρος ένός αριθμού στο [0,1]. To T είναι μη αριθμήσιμα άπειρο: S = T, αφού η φ : S T είναι «1-1» 1» και επί. Το (0,1) είναι μη αριθμήσιμα άπειρο. Το S έχει μη αριθμήσιμα άπειρο υποσύνολο. 22 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Μια Εφαρμογή Μη Αριθμησιμότητας (ΙΙΙ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ CS.8: Νδο για κάθε γλώσσα προγραμματισμού Γ με πεπερασμένο πλήθος συμβόλων, υπάρχει συνάρτηση γ* : Z + {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } για την οποία ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ κανένα πρόγραμμα της Γ που να την υπολογίζει. Το σύνολο Τ των συναρτήσεων γ : Z + {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} είναι μη αριθμήσιμα άπειρο. Το σύνολο Ρ των προγραμμάτων της Γ (με πεπερασμένο πλήθος συμβόλων) είναι αριθμήσιμα άπειρο. ΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ «1-1» και επί αντιστοιχία του μη αριθμήσιμα άπειρου συνόλου Τ συναρτήσεων στο αριθμήσιμα άπειρο σύνολο Ρτων προγραμμάτων. εν επαρκεί το πλήθος των προγραμμάτων π Ρ της γλώσσας για να υπολογίσουν (ένα πρόγραμμα για καθεμιά) όλες τις συναρτήσεις γ Τ. ηλαδή, κάποιες συναρτήσεις στο Τ δεν είναι δυνατόν να υπολογιστούν από προγράμματα του Ρ. 23 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015) Μερικές Ασκήσεις Αριθμησιμότητας ΑΣΚΗΣΗ: Να δειχθεί ότι: (ι) Η ένωση δυο αριθμήσιμα άπειρων συνόλων Α,Β είναι αριθμήσιμο σύνολο. (ιι) Η ένωση δυο πεπερασμένων συνόλων Α,Β είναι πεπερασμένο σύνολο. (ιιι) Η διαφορά Α Β μη αριθμήσιμου συνόλου Β από αριθμήσιμο σύνολο Α είναι αριθμήσιμο σύνολο. ( μόνο για το (ι) ) Θέλουμε να κατασκευάσουμε απαρίθμηση ψ για το Α Β = Α (Β Α). Έστω φ : Ζ + Α και χ : Ζ + Β Α οι απαριθμήσεις των Α και Β Α. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Α: ΤΟ Β Α είναι πεπερασμένο. Έστω Κ = Β Α. ψ(1) = χ(1), ψ(2) = χ(2),..., ψ(κ)= χ(κ). α Α, ψ(α) = Κ + φ(α). ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Β: Το Β Α είναι αριθμήσιμα άπειρο. Χρησιμοποιούμε τους περιττούς φυσικούς για τα στοιχεία του Α και τους άρτιους φυσικούς για τα στοιχεία του Β Α: λ Ν, Ν ψ(2λ+1) = φ(λ+1) Α και ψ(2λ+2) = χ(λ+1) Β Α. 24 Τμήμα Μηχ. Η/Υ & Πληροφορικής Παν/μίου Ιωαννίνων / ΜΥΥ204: ιακριτά Μαθηματικά Ι (2015)
Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289.
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής. «Διακριτά Μαθηματικά Ι. Θεωρία συνόλων». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://ecourse.uoi.gr/course/view.php?id=1289. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.