Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά"

Transcript

1 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

2 Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

3 Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

4 Η εκφραστική δυνατότητα της προτασιακής λογικής είναι περιορισμένη. Για τη διατύπωση μαθηματικών προτάσεων χρειαζόμαστε μία λογική με μεγαλύτερη εκφραστική δυνατότητα. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

5 Στα μαθηματικά οι προτάσεις που διατυπώνουμε αναφέρονται σε αντικείμενα (π.χ. αριθμούς) και περιγράφουν ιδιότητες των αντικειμένων αυτών ή σχέσεις μεταξύ των αντικειμένων. Στην προτασιακή λογική χρησιμοποιούμε προτασιακές μεταβλητές για να αναπαραστήσουμε συμβολικά τις προτάσεις. Ωστόσο το αντικείμενο στο οποίο αναφέρεται μία πρόταση και η ιδιότητα που αποδίδεται στο αντικείμενο αυτό, δεν αποτυπώνονται στη συμβολική αναπαράσταση της πρότασης. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

6 Παράδειγμα Εστω ότι οι προτάσιακές μεταβλητές p, q, r συμβολίζουν τις παρακάτω προτάσεις: p: ο αριθμός 2 είναι πρώτος q: ο αριθμός 3 είναι πρώτος r: ο αριθμός 2 είναι άρτιος Οι προτάσεις p και r αναφέρονται στον ίδιο αριθμό, ενώ οι προτάσεις p και q αποδίδουν την ίδια ιδιότητα σε δύο αριθμούς. Ωστόσο η πληροφορία αυτή χάνεται κατά την αναπαράσταση των προτάσεων αυτών με προτασιακές μεταβλητές. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

7 Στα μαθηματικά διατυπώνουμε καθολικές προτάσεις, οι οποίες δηλώνουν ότι κάτι είναι αληθεύει για οποιοδήποτε αντικείμενο. Στην προτασιακή λογική δεν μπορούμε γενικά να αναπαραστήσουμε μία καθολική πρόταση η οποία δηλώνει ότι κάθε αντικείμενο έχει μία ιδιότητα με τρόπο που να απεικονίζει τη σχέση αυτής της πρότασης με τις αντίστοιχες επιμέρους προτάσεις, κάθε μία από τις οποίες δηλώνει ότι ένα συγκεκριμένο αντικείμενο έχει την ιδιότητα αυτή. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

8 Παράδειγμα Εστω ότι οι προτάσιακές μεταβλητές p 0, p 1, p 2,... συμβολίζουν αντίστοιχα τις προτάσεις ο αριθμός 0 έχει την ιδιότητα I, ο αριθμός 1 έχει την ιδιότητα I, ο αριθμός 2 έχει την ιδιότητα I,.... Πώς θα μπορούσαμε να αναπαραστήσουμε την πρόταση κάθε αριθμός έχει την ιδιότητα I ως μία πρόταση φ της προτασιακής λογικής έτσι ώστε η φ να είναι αληθής αν και μόνο αν η προτάσεις p 0, p 1, p 2,... είναι όλες αληθείς; Η απάντηση είναι ότι κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

9 Παράδειγμα (συνέχεια) Πράγματι, για οποιαδήποτε πρόταση φ της προτασιακής λογικής υπάρχει κάποια προτασιακή μεταβλητή p i ανάμεσα στις p 0, p 1, p 2,... που δεν εμφανίζεται στη φ (το πλήθος των μεταβλητών που εμφανίζεται στην φ θα πρέπει να είναι πεπερασμένο, ενώ οι προτασιακές μεταβλητές p 0, p 1, p 2,... είναι άπειρες). Εστω v η ανάθεση αληθοτιμών η οποία αναθέτει την τιμή A σε κάθε προτασιακή μεταβλητή και v η ανάθεση αληθοτιμών που αναθέτει την τιμή Ψ στην p i και την τιμή A σε όλες τις υπόλοιπες προτασιακές μεταβλητές. Επειδή οι v και v διαφέρουν μόνο στην τιμή της p i η οποία δεν εμφανίζεται στη φ, ισχύει v(φ) = v (φ). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

10 Παράδειγμα (συνέχεια) Αν v(φ) = Ψ, τότε η φ δεν έχει την επιθυμητή ιδιότητα (καθώς οι προτάσεις p 0, p 1, p 2,... όλες αληθείς με βάση τη v, ενώ η φ είναι ψευδής). Αν v(φ) = A, τότε ισχύει επίσης v (φ) = A. Και σε αυτή την περίπτωση η φ δεν έχει την επιθυμητή ιδιότητα (καθώς η πρόταση p i είναι ψευδής με βάση τη v και άρα δεν ισχύει ότι οι προτάσεις p 0, p 1, p 2,... είναι όλες αληθείς, ενώ η φ είναι αληθής). Συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει πρόταση φ της προτασιακής λογικής η οποία να είναι αληθής αν και μόνο αν η προτάσεις p 0, p 1, p 2,... είναι όλες αληθείς Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

11 Παράδειγμα (συνέχεια) Στην πραγματικότητα η ζητούμενη πρόταση φ θα πρέπει να οριστεί ως η άπειρη σύζευξη όλων των προτασιακών μεταβλητών p 0, p 1, p 2,..., η οποία ωστόσο δεν αποτελεί πρόταση της προτασιακής λογικής. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

12 Τέλος ορισμένοι αποδεικτικοί κανόνες που εφαρμόζουμε στις μαθηματικές αποδείξεις δεν μπορούν να εφαρμοστούν στην προτασιακή λογική. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

13 Παράδειγμα Από τις προτάσεις κάθε πρώτος αριθμός μεγαλύτερος του 2 είναι περιττός και ο 5 είναι πρώτος αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ο 5 είναι περιττός αριθμός. Ωστόσο ο παραπάνω συλλογισμός δεν μπορεί να γίνει στην προτασιακή λογική. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

14 Στη συνέχεια θα περιγράψουμε την πρωτοβάθμια λογική (αρχικά άτυπα και στη συνέχεια τυπικά) η οποία μας επιτρέπει να διατυπώσουμε προτάσεις με συμβολικό τρόπο, στον οποίο αποτυπώνονται τα αντικείμενα που εμπλέκονται στην πρόταση καθώς και οι μεταξύ τους σχέσεις που καθορίζονται από την πρόταση. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

15 Στην πρωτοβάθμια λογική χρησιμοποιούμε όρους για να ανπαραστήσουμε τα αντικείμενα για το οποία μας ενδιαφέρει να διατυπώσουμε προτάσεις. Οι μεταβλητές και οι σταθερές είναι απλοί όροι. Σύνθετοι όροι σχηματίζονται χρησιμοποιώντας συναρτησιακά σύμβολα (ή τελεστές), το οποία παίρνουν ως ορίσματα όρους. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

16 Παράδειγμα όρων: 0, 1, π, ɛ, (σταθερές) x, y, w (μεταβλητές) f (x, 1), sin π, w ɛ, x (σύνθετοι όροι) Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

17 Οι όροι είναι συντακτικά αντικείμενα. Για να μπορέσουμε να ερμηνεύσουμε τους όρους (δηλαδή να προσδιορίσουμε το αντικείμενο το οποίο αναπαριστά ένα όρος) θα πρέπει: να ορίσουμε ένα σύνολο αναφοράς να ερμηνεύσουμε τις σταθερές ως στοιχεία του συνόλου αναφοράς να αναθέσουμε τιμές από το σύνολο αναφοράς στις μεταβλητές να ερμηνεύσουμε τα συναρτησικά σύμβολα ως συναρτήσεις με πεδίο τιμών το σύνολο αναφοράς. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

18 Οι απλές (ή ατομικές) προτάσεις σχηματίζονται χρησιμοποιώντας σύμβολα καταγορημάτων, το οποία παίρνουν ως ορίσματα όρους. Παράδειγμα ατομικών προτάσεων: odd(n) p(x, y, x) x = y 1 > y Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

19 Για να καθοριστεί αν μία ατομική πρόταση είναι αληθής ή ψευδής χρειάζεται να ερμηνευτούν τα σύμβολα κατηγορημάτων. Τα σύμβολα κατηγορημάτων με ένα όρισμα ερμηνεύονται ως υποσύνολα του συνόλου αναφοράς, έτσι ώστε το υποσύνολο που αντιστοιχεί σε ένα σύμβολο κατηγορήματος να περιέχει τα αντικείμενα για τα οποία αληθεύει το κατηγόρημα. Τα σύμβολα κατηγορημάτων με περισσότερα από ένα ορίσματα ερμηνεύονται ως σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του συνόλου αναφοράς. Αν η γλώσσα της πρωτοβάθμιας λογικής περιέχει το σύμβολο = τότε αυτό ερμηνεύεται πάντοτε ως ισότητα στο σύνολο αναφοράς. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

20 Οι προτάσεις της πρωτοβάθμιας λογικής σχηματίζονται από ατομικές προτάσεις χρησιμοποιώντας τους λογικούς συνδέσμους (όχι), (καί), (ή), (συνεπάγεται), (ισοδυναμεί) και τους ποσοδείκτες (για κάθε), (υπάρχει). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

21 Κάθε πρόταση της πρωτοβάθμιας λογικής μπορεί να χαρακτηριστεί ως αληθής η ψευδής, με βάση: τις αληθοτιμές των ατομικών προτάσεων που την συνθέτουν την ερμηνεία των λογικών συνδέσμων που είναι πάντα η ίδια και ταυτίζεται με αυτή που γνωρίζουμε από την προτασιακή λογική την ερμηνεία των ποσοδεικτών που είναι επίσης πάντα η ίδια και θα εξεταστεί στη συνέχεια. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

22 Καθολικός ποσοδείκτης: Η πρόταση x φ (διαβάζεται για κάθε x φ) είναι αληθής αν και μόνο αν η πρόταση φ αληθεύει, ανεξάρτητα από την τιμή που θα ανατεθεί στη μεταβλητή x (δηλαδή για οποιαδήποτε τιμή της x από το σύνολο αναφοράς). Παράδειγμα: x (x x < x x < 1) Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

23 Υπαρξιακός ποσοδείκτης: Η πρόταση x φ (υπάρχει x τέτοιο ώστε φ) είναι αληθής αν και μόνο αν η πρόταση φ αληθεύει, για τουλάχιστον μία τιμή μεταβλητής x (δηλαδή για κάποια τιμή της x από το σύνολο αναφοράς). Παράδειγμα: x (x > 0 x < 1) Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

24 Μία πρόταση της πρωτοβάθμιας ονομάζεται έγκυρη αν αληθεύει για οποιαδήποτε ερμηνεία των συμβόλων (σταθερών, συναρτήσεων, κατηγορημάτων και μεταβλητών). Εγκυρες προτάσεις μπορούν να σχηματιστούν, αν αντικαταστήσουμε σε μία ταυτολογία τις προτασιακές μεταβλητές με προτάσεις της πρωτοβάθμιας λογικής. Υπάρχουν ωστόσο έγκυρες προτάσεις που δεν προκύπτουν από ταυτολογίες και η εγκυρότητά τους οφείλεται στη σχέση μεταξύ των ποσοδεικτών. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

25 Δύο προτάσεις φ και ψ της πρωτοβάθμιας λογικής ονομάζονται λογικά ισοδύναμες (συμβολισμός φ ψ) αν έχουν την ίδια αληθοτιμή για οποιαδήποτε ερμηνεία των συμβόλων. Παρατηρούμε ότι οι προτάσεις φ και ψ είναι λογικά ισοδύναμες αν και μόνο αν η πρόταση φ ψ είναι έγκυρη. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

26 Η πρόταση φ συνεπάγεται λογικά την ψ, αν η ψ αληθεύει για οποιαδήποτε ερμηνεία των συμβόλων αληθεύει η φ. Παρατηρούμε ότι οι φ συνεπάγεται λογικά την ψ αν και μόνο αν η πρόταση φ ψ είναι έγκυρη. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

27 Παρατήρηση 1: Συνήθως στις καθολικές και υπαρξιακές προτάσεις που διατυπώνουμε, η ποσοδεικτούμενη μεταβλητή εμφανίζεται στην πρόταση που ακολουθεί τον ποσοδείκτη. Ωστόσο οι προτάσεις x φ και x φ είναι συντακτικά ορθές και μπορεί να τους αποδοθεί αληθοτιμή ακόμη και στην περίπτωση που η x δεν εμφανίζεται στην φ. Σε αυτή την περίπτωση το κατά πόσο η πρότάση φ είναι αληθής δεν εξαρτάται από την τιμή της μεταβλητής x και οι προτάσεις x φ και x φ είναι ισοδύναμες με την φ. Για παράδειγμα οι προτάσεις x 1 > 0 και x 1 > 0 είναι ισοδύναμες με την 1 > 0. Ομοίως οι προτάσεις x p(,, ) και x p(,, ) είναι ισοδύναμες με την p(,, ). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

28 Παρατήρηση 2: Συνήθως στις καθολικές και υπαρξιακές προτάσεις x φ και x φ που διατυπώνουμε, η x δεν βρίσκεται στην εμβέλεια κάποιου άλλου ποσοδείκτη εντός της φ. Ωστόσο οι προτάσεις x φ και x φ είναι συντακτικά ορθές και μπορεί να τους αποδοθεί αληθοτιμή ακόμη και στην περίπτωση που κάποιες εμφανίσεις της x βρίσκονται στην εμβέλεια άλλων ποσοδεικτών μέσα στη φ. Για παράδειγμα στην πρόταση x (x 0 x (x > 100)), η μεταβλητή x στην πρόταση x > 100 βρίσκεται στην εμβέλεια του υπαρξιακού ποσοδείκτη. Σε τέτοιες περιπτώσεις ο εξωτερικός ποσοδείκτης επηρεάζει μόνο τις ελεύθερες εμφανίσεις της x (αυτό διατυπώνεται με ακρίβεια στον τυπικό ορισμό της σημασιολογίας). Η παραπάνω πρόταση μπορεί να γραφτεί ισοδύναμα x (x 0 y (y > 100)). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

29 Παρατήρηση 3: Εστω ότι για κάθε στοιχείο a του συνόλου αναφοράς υπάρχει ένας όρος t a χωρίς μεταβλητές η ερμηνεία του οποίο είναι το a (δηλαδή κάθε στοιχείο του συνόλου αναφοράς έχει συντακτική αναπαράσταση). Τότε, με βάση την εν λόγω ερμηνεία, η πρόταση x φ είναι αληθής αν και μόνο αν για κάθε όρο t χωρίς μεταβλητές αληθεύει η πρόταση φ[x t], η οποία προκύπτει αν αντικαταστήσουμε κάθε ελεύθερη εμφάνιση της μεταβλητής x με τον όρο t. Αντίστοιχα, με βάση την εν λόγω ερμηνεία, η πρόταση x φ είναι αληθής αν και μόνο αν η πρόταση φ[x t] αληθεύει για κάποιον όρο t χωρίς μεταβλητές. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

30 Παράδειγμα Εστω ότι το σύνολο αναφοράς είναι οι φυσικοί αριθμοί και ότι η γλώσσα της πρωτοβάθμιας λογικής περιέχει ένα κατηγόρηρμα p και ένα σύμβολο σταθεράς για κάθε αριθμό (για ευκολία μπορούμε να θεωρήσουμε την ακολουθία των ψηφίων που περιγράφουν έναν αριθμό στο δεκαδικό σύστημα ως ένα μοναδικό σύμβολο, η ερμηνεία του οποίου είναι ο αντίστοιχος αριθμός). Τότε η πρόταση x p(x) είναι αληθής αν και μόνο αν όλες οι προτάσεις p(0), p(1), p(2),..., p( ),... είναι αληθείς. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

31 Παράδειγμα Εστω ότι το σύνολο αναφοράς είναι οι φυσικοί αριθμοί και ότι η γλώσσα της πρωτοβάθμιας λογικής περιέχει ένα κατηγόρηρμα p, δύο σύμβολα σταθεράς 0 και 1 (με την προφανή ερμηνεία) και τον τελεστή + (επίσης με την προφανή ερμηνεία). Τότε η πρόταση x p(x) είναι αληθής αν και μόνο κάποια από τις προτάσεις p(0), p(1), p(1 + 1), p( ),... είναι αληθής. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

32 Σημειώνεται οτι δεν είναι απαραίτητο να έχει κάθε στοιχειο του συνόλου αναφοράς συντακτική αναπαράσταση. Το πλήθος των όρων που μπορούμε να σχηματίσουμε από ένα αριθμήσιμο σύνολο συμβόλων είναι επίσης αριθμήσιμο, ενώ αντίθετα το σύνολο αναφοράς ενδέχεται να εχει μεγαλύτερη πληθυκότητα (γνωρίζουμε για παράδειγμα ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν είναι αριθμήσμο). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

33 Ενδέχεται επίσης να μην υπάρχει συντακτική αναπαράσταση όλων των στοιχείων του συνόλου αναφοράς, ακόμη και σε περιπτώσεις που το σύνολο αυτό είναι αριθμήσιμο ή ακόμη και πεπερασμένο. Αυτό για παράδειγμα μπορεί να συμβεί αν η γλώσσα της πρωτοβάθιας λογικής δεν περιέχει κανένα σύμβολο σταθεράς. Συνεπώς στη γενική περίπτωση είναι αδόκιμο να θεωρήσουμε την πρόταση φ[x a] όταν το a είναι ένα στοιχείο του συνόλου αναφοράς (και όχι όρος). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

34 Παρατήρηση 4: Εστω ότι το σύνολο αναφοράς είναι ένα πεπρασμένο σύνολο {a 1, a 2,..., a n } με n στοιχεία και για κάθε στοιχείο a i του συνόλου αναφοράς υπάρχει ένας όρος t i χωρίς μεταβλητές η ερμηνεία του οποίο είναι το a i. Τότε, μέ βάση την εν λόγω ερμηνεία η πρόταση x φ είναι αληθής αν και μόνο αν η πρόταση φ[x t 1 ] φ[x t 2 ] φ[x t n ] είναι αληθής. Αντίστοιχα η πρόταση x φ είναι αληθής αν και μόνο αν η πρόταση φ[x t 1 ] φ[x t 2 ] φ[x t n ] είναι αληθής. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

35 ΠΡΟΣΟΧΗ: Οι προτάσεις x φ και φ[x t 1 ] φ[x t 2 ] φ[x t n ] δεν είναι λογικά ισοδύναμες και ενδέχεται να έχουν διαφορετική τιμή αλήθειας ακόμη και αν το σύνολο αναφοράς έχει ακριβώς n > 1 στοιχεία. Ανάλογη παρατήρηση ισχύει και για τις προτάσεις και x φ και φ[x t 1 ] φ[x t 2 ] φ[x t n ]. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

36 Στη συνέχεια εξετάζουμε ορισμένες λογικές ισοδυναμίες και λογικές συνεπαγωγές που εμπλέκουν ποσοδείκτες. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

37 Άρνηση καθολικής πρότασης. Η πρόταση x φ είναι λογικά ισοδύναμη με την x φ. Πράγματι, έστω μία ερμηνεία των συμβόλων. Τοτε: η πρόταση x φ είναι αληθής ανν η πρόταση x φ δεν είναι αληθής ανν δεν ισχύει ότι η πρόταση φ αληθεύει για όλες τις τιμές του της x από το σύνολο αναφοράς ανν η πρόταση φ είναι ψευδής για κάποια τιμή του x από το σύνολο αναφοράς ανν η πρόταση φ είναι αληθής για κάποια τιμή του x από το σύνολο αναφοράς ανν η πρόταση x φ είναι αληθής. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

38 Άρνηση υπαρξιακής πρότασης. Η πρόταση x φ είναι λογικά ισοδύναμη με την x φ. Πράγματι x φ x ( φ) ( x φ) x φ Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

39 Καθολικός ποσοδείκτης σε σύζευξη δύο προτάσεων. Η πρόταση x (φ ψ) είναι λογικά ισοδύναμη με την x φ x ψ. Πράγματι, έστω μία ερμηνεία των συμβόλων. Τότε η πρόταση x (φ ψ) είναι αληθής ανν η πρόταση φ ψ είναι αληθής για όλες τις τιμές της x από το σύνολο αναφοράς ανν η πρόταση φ είναι αληθής για όλες τις τιμές της x από το σύνολο αναφοράς και η πρόταση ψ είναι αληθής για όλες τις τιμές του x από το σύνολο αναφοράς ανν οι προτάσεις x φ και ψ είναι αληθείς ανν η πρόταση x φ x ψ είναι αληθής Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

40 Υπαρξιακός ποσοδείκτης σε σύζευξη δύο προτάσεων. Η πρόταση x (φ ψ) δεν είναι λογικά ισοδύναμη με την x φ x ψ. Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε ως σύνολο αναφοράς τους ακέραιους αριθμούς και ερμηνεύσουμε τα σύμβολα με τον συνήθη τρόπο, τότε η πρόταση x (x > 0 x < 0) δεν είναι αληθής, ενώ η πρόταση x x > 0 x x < 0 είναι αληθής. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

41 Ωστόσο η πρόταση x φ x ψ είναι λογική συνέπεια της x (φ ψ). Πράγματι, έστω μία ερμηνεία των συμβόλων. Τότε η πρόταση x (φ ψ) είναι αληθής η πρόταση φ ψ είναι αληθής για κάποια τιμή της x από το σύνολο αναφοράς η πρόταση φ είναι αληθής για κάποια τιμή της x από το σύνολο αναφοράς και η πρόταση ψ είναι αληθής για κάποια τιμή της x από το σύνολο αναφοράς οι προτάσεις x φ και x ψ είναι αληθείς η πρόταση x φ x ψ είναι αληθής Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

42 Ποσοδείκτης σε διάζευξη δύο προτάσεων. Άσκηση: Ποια είναι η σχέση των προτάσεων x (φ ψ) και x φ x ψ (είναι ισοδύναμες, συνεπάγεται κάποια από τις δύο την άλλη); Ποια είναι η σχέση των προτάσεων x (φ ψ) και x φ x ψ; Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

43 Διαδοχικοί υπαρξιακοί ποσοδείκτες. Η πρόταση x y φ είναι λογικά ισοδύναμη με την y x φ. Πράγματι, έστω μία ερμηνεία των συμβόλων. Τότε η πρόταση x y φ είναι αληθής ανν η πρόταση y φ είναι αληθής για κάποια τιμή της x από το σύνολο αναφοράς ανν η πρόταση φ είναι αληθής για κάποιες τιμές των x και y από το σύνολο αναφοράς ανν η πρόταση x φ είναι αληθής για κάποια τιμή της y από το σύνολο αναφοράς ανν η πρόταση y x φ είναι αληθής Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

44 Διαδοχικοί καθολικοί ποσοδείκτες. Η πρόταση x y φ είναι λογικά ισοδύναμη με την y x φ. Μπορούμε να αποδείξουμε αυτό το αποτέλεσμα με παρόμοιο τρόπο όπως για τον υπαρξιακό ποσοδείκτη. Εδώ δίνουμε μία εναλλακτική απόδειξη που χρησιμοποιεί γνωστές λογικές ισοδυναμίες. x y φ x ( y φ) x ( y φ) x y φ y x φ y ( x φ) y ( x φ) y x φ Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

45 Διαδοχικοί ποσοδείκτες διαφορετικού είδους. Η πρόταση x y φ δεν είναι λογικά ισοδύναμη με την y x φ. Για παράδειγμα αν θεωρήσουμε ως σύνολο αναφοράς τους φυσικούς αριθμούς και ερμηνεύσουμε τα σύμβολα με τον συνήθη τρόπο, τότε η πρόταση x y x > y δεν είναι αληθής, ενώ η πρόταση y x x > y είναι αληθής. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

46 Ωστόσο η πρόταση y x φ είναι λογική συνέπεια της x y φ. Πράγματι, έστω μία ερμηνεία των συμβόλων. Τότε η πρόταση x y φ είναι αληθής η πρόταση y φ είναι αληθής για κάποια τιμή a της x από το σύνολο αναφοράς η πρόταση φ είναι αληθής για κάποια τιμή a της x και για οποιαδήποτε τιμή της y από το σύνολο αναφοράς για οποιαδήποτε τιμή της y από το σύνολο αναφοράς η πρόταση φ είναι αληθής για κάποια τιμή της x για οποιαδήποτε τιμή της y από το σύνολο αναφοράς η πρόταση x φ είναι αληθής η πρόταση y x φ είναι αληθής Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

47 Διαισθητικά, η διαφορά των δύο προτάσεων είναι ότι στην y x φ η επιλογή της τιμής της x μπορεί να είναι διαφορετική για κάθε τιμή της y έτσι ώστε να ικανοποιείται η φ, ενώ αντίθετα στην x y φ η επιλογή της τιμής της x θα πρέπει να είναι η ίδια για όλες τις τιμές της y. Ο δεύτερος περιορισμός είναι πιο αυστηρός από το πρώτο και άρα όταν ικανοποιείται ο δεύτερος περιορισμός, τότε ικανοποιείται και ο πρώτος. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

48 Άρνηση πρότασης που περιέχει διαδοχικούς ποσοδείκτες. Εστω μία πρόταση τη μορφής Q 1 x 1 Q 2 x 2 Q k x k φ, όπου Q 1, Q 2,..., Q k είναι ποσοδείκτες ( ή ). Με βάση τις ισοδυναμίες που έχουμε δείξει για την άρνηση καθολικής και υπαρξιακής πρότασης, η άρνηση Q 1 x 1 Q 2 x 2 Q k x k φ της παραπάνω πρότασης είναι ισοδύναμη με την πρόταση Q 1 x 1 Q2 x 2 Q k x k φ όπου { αν Q = Q = αν Q = Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

49 Παράδειγμα Εστω φ η λογική πρόταση x y z (x < z z < y). Τότε φ x y z (x < z z < y) x y z ( (x < z) (z < y)) Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

50 Υπάρχουν ορισμένες μαθηματικές προτάσεις, οι οποίες χρησιμοποιούν τύπους ποσοδεικτών οι οποίοι δεν περιέχονται στο αλφάβητο της πρωτοβάθμιας λογικής. Τέτοιου είδους προτάσεις μπορούν να διατυπωθούν στην πρωτοβάθμια λογική με έμμεσο τρόπο. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

51 Ο ποσοδείκτης μοναδικότητας. Στα μαθηματικά πολλές φορές διατυπώνονται προτάσεις όπως η παρακάτω: υπάρχει μοναδική τιμή της x τέτοια ώστε x + x = 0. Η πρόταση αυτή μπορεί να γραφτεί σε συμβολική μορφή με χρήση του ποσοδείκτη μοναδικότητας! (υπάρχει μοναδική τιμή της x):!x x + x = 0. Η σύνταξη της πρωτοβάθμιας λογικής δεν περιλαμβάνει τον ποσοδείκτη!, ωστόσο μπορούμε να κατασκευάσουμε μία πρόταση που να είναι ισοδύναμη με την!x φ. Άσκηση: κατασκευάστε μία πρόταση της πρωτοβάθμιας λογικής η οποία να είναι ισοδύναμη με την!x φ. Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

52 Ποσοδείκτες με περιορισμένο πεδίο ορισμού. Στα μαθηματικά μπορούμε να διατυπώνουμε καθολικές ή υπαρξιακές προτάσεις στις οποίες το σύνολο των τιμών στις οποίες αναφέρεται ο ποσοδείκτης είναι υποσύνολο του συνόλου αναφοράς. Παραδείγματα τέτοιων προτάσεων δίνονται παρακάτω: Για κάθε άρτιο αριθμό x υπάρχει y τέτοιο ώστε x = 2y. Υπάρχει άρτιος αριθμός x ο οποίος είναι πρώτο αριθμός. x > 0 (x x > 0) x < 0 (x x = 2) x P φ x P φ Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

53 Η σύνταξη της πρωτοβάθμιας λογικής δεν υποστηρίζει άμεσα τη χρήση ποσοδείκτη με περιορισμένο πεδίο ορισμού, ωστόσο οι μαθηματικές προτάσεις που περιέχουν τέτοιους ποσοδείκτες μπορούν να αναπαρασταθούν με έμμεσο τρόπο στην πρωτοβάθμια λογική. Ας θεωρήσουμε πρώτα ότι το περιορισμένο πεδίο ορισμού του ποσοδείκτη προσδιορίζεται από μία πρόταση φ της πρωτοβάθμιας λογικής (όπως για παράδειγμα στην πρόταση x > 0 (x 2 > 0)) Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

54 Εστω μία μαθηματική πρόταση της μορφής: για κάθε x για το οποίο ισχύει η φ, ισχύει η ψ. Στην πρωτοβάθμια λογική η πρόταση αυτή γράφεται με τον παρακάτω τρόπο: x(φ ψ) Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

55 Η πρόταση x(φ ψ) είναι αληθής αν και μόνο αν για οποιαδήποτε τιμή του x από το σύνολο αναφοράς, η συνεπάγωγή φ ψ είναι αληθής. Συνεπώς για οποιαδήποτε τιμή της x από το σύνολο αναφοράς για την οποία η φ αληθεύει θα πρέπει να αληθεύει και η ψ, ενώ για οποιαδήποτε τιμή της x από το σύνολο αναφοράς για την οποία η φ δεν αληθεύει, η ψ μπορεί να είναι είτε αληθής είτε ψευδής. Το τελευταίο αποτελεί πιο αναλυτική διατύπωση της αρχικής μαθηματικής πρότασης. Για παράδειγμα η πρόταση x > 0 (x x > 0) γράφεται x (x > 0 x x > 0) Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

56 Εστω τώρα μία μαθηματική πρόταση της μορφής: υπάρχει x για το οποίο ισχύει η φ, τέτοιο ώστε να ισχύει η ψ Στην πρωτοβάθμια λογική η πρόταση αυτή γράφεται με τον παρακάτω τρόπο: x(φ ψ) Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

57 Εστω τώρα μία πρόταση της μορφής: υπάρχει x για το οποίο ισχύει η φ, τέτοιο ώστε να ισχύει η ψ Η πρόταση x(φ ψ) είναι αληθής αν και μόνο αν υπάρχει τιμή του x από το σύνολο αναφοράς, για την οποία η σύζευξη φ ψ είναι αληθής. Συνεπώς υπάρχει τιμή του x από το σύνολο αναφοράς για την αληθεύουν και η φ και η ψ. Το τελευταίο αποτελεί επαναδιατύπωση της αρχικής μαθηματικής πρότασης. Για παράδειγμα η πρόταση x < 0 (x x = 2) γράφεται x (x < 0 x x = 2) Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

58 Αν θέλουμε να περιορίσουμε τις τιμές ενός ποσοδείκτη σε ένα σύνολο P ( x P ή x P) τότε θα πρέπει η πρωτοβάθμια γλώσσα να περιέχει ένα σύμβολο κατηγορήματος p με ένα όρισμα, η ερμηνεία του οποίου θα είναι το σύνολο P, έτσι ώστε το x P να αναπαρίσταται στις προτάσεις της πρωτοβάθμιας λογική από την πρόταση p(x). Με βάση την παραπάνω παραδοχή η πρόταση x P φ γράφεται x (p(x) φ) και η πρόταση x P φ γράφεται x (p(x) φ). Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 58

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60

Περιεχόμενα 1 Πρωτοβάθμια Λογική Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων ) / 60 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε

Κατηγορηµατική Λογική Προτασιακή Λογική: πλαίσιο διατύπωσης και µελέτης επιχειρηµάτων για πεπερασµένο πλήθος «λογικών αντικειµένων». «Λογικό αντικείµε Στοιχεία Κατηγορηµατικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα.

, για κάθε n N. και P είναι αριθμήσιμα. ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΔΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Διδάσκοντες: Δ.Φωτάκης Θ. Σούλιου η Γραπτή Εργασία Ημ/νια παράδοσης 5/4/8 Θέμα (Διαδικασίες Απαρίθμησης.

Διαβάστε περισσότερα

\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

\5. Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) \5 Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) 51 Αντικείμενα Ιδιότητες και Σχέσεις Θεωρείστε την παρακάτω εξαγωγή συμπεράσματος: Κανένας ακέραιος δεν είναι μεγαλύτερος από το τετράγωνό του Το 1 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική A Ενδιάμεση εξέταση Μάρτιος 2014 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Ιουλίου 2015 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2017 Οργάνωση Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες Συνεπαγωγή Αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Γιάννης Εμίρης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών http://eclass.uoa.gr/ Οκτώβριος 2018 Οργάνωση και περιεχόμενα Μαθήματος Προτασιακή Λογική, Αποδείξεις Κατηγορήματα και ποσοδείκτες

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 15/02/2018 Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε Αντώνης διαφάνειες Α. Αργυρός του Kees van e-mail: argyros@csd.uoc.gr Deemter, από το University of Aberdeen 15-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.

d k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i. Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)

Προτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1

ψ φ2 = k χ φ2 = 4k χ φ1 = χ φ1 + χ φ2 + 3 = 4(k 1 + k 2 + 1) + 1 ψ φ1 = ψ φ1 + χ φ2 = k k = (k 1 + k 2 + 1) + 1 Ασκήσεις στο μάθημα της Λογικής 15 Οκτωβρίου 2015 Άσκηση 1. Να δειχτεί ότι δεν υπάρχουν τύποι μήκους 2,3,6 αλλά κάθε άλλο (θετικό ακέραιο) μήκος είναι δυνατό (άσκηση 2, σελίδα 39) Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Να διατυπώσετε τον πιο κάτω συλλογισμό στον Προτασιακό Λογισμό και να τον αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο της Επίλυσης. Δηλαδή, να δείξετε ότι αν ισχύουν οι πέντε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης. 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 5ο μέρος σημειώσεων: Κατηγορηματικός Λογισμός (Predicate Calculus) Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος

Προτασιακή Λογική. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος Προτασιακή Λογική (Propositional Logic) Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ ΤΕΙ Ηπείρου Γκόγκος Χρήστος - 2015 Λογική Λογική είναι οι κανόνες που διέπουν τη σκέψη. Η λογική αφορά τη μελέτη των διαδικασιών

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 01/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών

Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Ισότητα, Αλγεβρικές και Αναλυτικές Ιδιότητες Πραγματικών Ακολουθιών Συμβολισμοί Σε αναλογία με τους ορισμούς συμβολίζουμε μια ακολουθία: 1 είτε μέσω του διανυσματικού ορισμού, παραθέτοντας αναγκαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων.

Δώστε έναν επαγωγικό ορισμό για το παραπάνω σύνολο παραστάσεων. Εισαγωγή στη Λογική Α Τάξης Σ. Κοσμαδάκης Συντακτικό τύπων Α τάξης Α Θεωρούμε δεδομένο ένα λεξιλόγιο Λ, αποτελούμενο από (1) ένα σύνολο συμβόλων για σχέσεις, { R, S,... } (2) ένα σύνολο συμβόλων για συναρτήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5

Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF

Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF Συνέπεια, Εγκυρότητα, Συνεπαγωγή, Ισοδυναμία, Κανονικές μορφές, Αλγόριθμοι μετατροπής σε CNF-DNF 1 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Πέμπτη 15/02/2018 Κρεατσούλας Κωνσταντίνος Ασυνεπές σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», «

Ας θεωρήσουμε δύο πραγματικούς αριθμούς. Είναι γνωστό ότι:,. Αυτό σημαίνει ότι: «=», « .1 Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη διατύπωση μαθηματικών εννοιών, προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019

Επανάληψη. ΗΥ-180 Spring 2019 Επανάληψη Έχουμε δει μέχρι τώρα 3 μεθόδους αποδείξεων του Προτασιακού Λογισμού: Μέσω πίνακα αληθείας για τις υποθέσεις και το συμπέρασμα, όπου ελέγχουμε αν υπάρχουν ερμηνείες που ικανοποιούν τις υποθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Θεωρία συνόλων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ : Λογική στην Πληροφορική Δείγμα Ενδιάμεσης Εξέτασης Σκελετοί Λύσεων Άσκηση [0 μονάδες] α Να αναφέρετε τρεις μεθόδους μέσω των οποίων μπορούμε να αποφασίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Προτασιακός Λογισμός. Προηγούμενη φορά. Βάσεις της Μαθηματικής Λογικής. 02 Προτασιακός Λογισμός HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen Προηγούμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά

ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση μεγιστοποιήσει την πιθανότητά ΠΑΙΓΝΙΑ Παιχνίδια Γενική Θεώρηση: Έστω ότι έχουμε τους παίκτες Χ και Υ. Ο κάθε παίκτης, σε κάθε κίνηση που κάνει, προσπαθεί να μεγιστοποιήσει την πιθανότητά του να κερδίσει. Ο Χ σε κάθε κίνηση που κάνει

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Προτασιακή Λογική ιδακτικές Σημειώσεις EPP : Παράγραφοι 1.1 1.2 Rosen: Παράγραφοι 1.1 1.3 1 η +2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 08/02/2018 Το υλικό των Αντώνης διαφανειών Α. Αργυρός έχει βασιστεί σε διαφάνειες του e-mail: Kees argyros@csd.uoc.gr van Deemter, από το University of Aberdeen 08-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 16/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 17-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1 Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017

Αποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017 HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF

Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF Βασικές Ισοδυναμίες με Άρνηση, Πίνακες Αληθείας, Λογική Συνεπαγωγή, Ταυτολογίες, Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής CNF 2 ο φροντιστήριο ΗΥ180 Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Τετάρτη 28/02/2018 Κρεατσούλας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις

ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2016 3 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω p(x) και q(x) κατηγορήματα με πεδίο ορισμού Ω με σύνολα αλήθειας Α και Β αντίστοιχα (Σύνολα αλήθειας:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Κατηγορηματική Λογική Πρώτης Τάξεως και Λογικά Προγράμματα Λέξεις Κλειδιά Μαθηματική Λογική, Προτασιακή Λογική, Κατηγορηματική Λογική, Προτάσεις Horn, Λογικά Προγράμματα Περίληψη Το κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 20/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 20-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.

Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017. HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 11: Λογική πρώτης τάξης Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 2 Λύσεις

Φροντιστήριο 2 Λύσεις Φροντιστήριο 2 Λύσεις Άσκηση 1 1. p ( p r) προϋπόθεση 2. r προϋπόθεση 3. q προσωρινή υπόθεση 4. p προσωρινή υπόθεση 5. p r ΜP 6. p προσωρινή υπόθεση r προσωρινή υπόθεση 7. i 4, 6 8. r e 9. r e 5, 8, 6

Διαβάστε περισσότερα

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Παρασκευή, 02/03/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 02-Mar-18

Διαβάστε περισσότερα

Β Ομάδα Ασκήσεων "Λογικού Προγραμματισμού" Ακαδημαϊκού Έτους

Β Ομάδα Ασκήσεων Λογικού Προγραμματισμού Ακαδημαϊκού Έτους Page 1 of 10 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Β Ομάδα Ασκήσεων "Λογικού Προγραμματισμού" Ακαδημαϊκού Έτους 2018-19 Οι ασκήσεις της ομάδας αυτής πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε

Παράδειγμα άμεσης απόδειξης. HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της μορφής εάν-τότε HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4)

Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Ανάλυση της Ορθότητας Προγραμμάτων (HR Κεφάλαιο 4) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής θέματα: Η διαδικαστική γλώσσα προγραμματισμού WHILE Τριάδες Hoare Μερική και Ολική Ορθότητα Προγραμμάτων Κανόνες

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF

Λογική. Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Φροντιστήριο 3: Συνεπαγωγή/Ισοδυναμία, Ταυτολογίες/Αντινομίες, Πλήρης Αλγόριθμος Μετατροπής σε CNF Δημήτρης Πλεξουσάκης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις Άσκηση 1 Σκοπεύετε να διοργανώσετε ένα πάρτι για τους συμφοιτητές σας κάτω από τους πιο κάτω περιορισμούς. Π1. Η Μαίρη δεν μπορεί να έρθει. Π2. Ο Ηλίας και η Αντιγόνη είτε θα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Για τον προτασιακό λογισμό παρουσιάσαμε την αποδεικτική θεωρία (natural deduction/λογικό συμπέρασμα) τη σύνταξη (ορίζεται με γραμματική χωρίς συμφραζόμενα και εκφράζεται με συντακτικά

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά

HY118-Διακριτά Μαθηματικά HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 27/02/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 27-Feb-18

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 10η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 10η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 10η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Τι θα ακούσετε σήμερα Σημασιολογία πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής λογικής. Υπενθύμιση: συντακτικό ΠΚΛ τύπος ατομικός_τύπος

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα