53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ: ENA ΣΠΟΥΔΑΙΟ ΝΟΗΤΙΚΟ ΕΡΓΑΛΕΙΟ 4.1 Περιγραφή της μεθόδου Η διαστατική ανάλυση είναι μια ευφυής μέθοδος (χωρίς πολλά προαπαιτούμενα) που μπορεί σε αρκετές περιπτώσεις να δώσει πολύ χρήσιμα και σημαντικά αποτελέσματα. Όμως απαιτείται από όποιον την εφαρμόσει να σκεφτεί και να κατανοήσει ποιες ανεξάρτητες φυσικές ποσότητες και ποιες φυσικές σταθερές ενδεχομένως μπορεί να επηρεάζουν το άγνωστο (και προς προσδιορισμό) μέγεθος. Αν αυτές οι ποσότητες και οι φυσικές σταθερές είναι συνολικά τρεις ή λιγότερες, π.χ. A1, A, A 3, τότε υπάρχει σχεδόν πάντα ένας μόνο συνδυασμός λ μ ν τους της μορφής A1 A A3 που να έχει τις ίδιες διαστάσεις 1 με το άγνωστο μέγεθος Χ. Αυτός ο συνδυασμός πολλαπλασιασμένος με μια αριθμητική σταθερά (που η μέθοδος αδυνατεί να προσδιορίσει) ισούται προφανώς με το άγνωστο μέγεθος. Αν οι ανεξάρτητες αυτές ποσότητες είναι περισσότερες από τρεις, τότε με τρεις από αυτές δημιουργούμε ένα συνδυασμό της παραπάνω μορφής που έχει τις διαστάσεις του άγνωστου μεγέθους. Δημιουργούμε επίσης και συνδυασμούς αυτών των τριών που έχουν τις διαστάσεις των υπoλοίπων ποσοτήτων. Δηλαδή, αν X είναι το άγνωστο φυσικό μέγεθος και A1, A, A3, A4, A 5 είναι οι ποσότητες από τις οποίες ενδεχομένως εξαρτάται, δημιουργούμε τους εξής λ μ ν συνδυασμούς: Xo = A1 A A3 με λ, μ, ν τέτοια ώστε το X o να έχει τις λ διαστάσεις του Χ. 4 μ4 ν A 4 40 = A1 A A3 με λ4, μ4, ν 4 έτσι επιλεγμένα ώστε το A 40 να έχει τις διαστάσεις του A 4. Το ίδιο για το A 5 κοκ. (Εάν κάποιο από τα A4, A 5, είναι αδιάστατο, το αντίστοιχο A 40, A 50 είναι μονάδα.) Τότε το άγνωστο μέγεθος X ισούται με: A4 A5 X = Xo ϕ,,... (4.1) A40 A50 όπου φ είναι μια συνάρτηση των αδιάστατων ποσοτήτων A4/ A40, A5/ A 50,.... Η συνάρτηση αυτή δεν μπορεί να προσδιορισθεί από διαστατική ανάλυση. Χρειάζεται κανείς πρόσθετες πληροφορίες ή και μια πλήρη φυσική θεωρία για την εύρεση της συνάρτησης φ. Ας δούμε την εφαρμογή της μεθόδου με κάποια παραδείγματα: 1 λ μ ν Ίδιες διαστάσεις σημαίνει ότι αν αναλύσουμε και το Χ και το A1 A A3 σε γινόμενο δυνάμεων a b c των βασικών μεγεθών μήκους, χρόνου, μάζας, t m, οι εκθέτες να είναι ίδιοι.
54 4. Παραδείγματα 1) Προσδιορίστε με διαστατική ανάλυση την ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης ενός εκκρεμούς (βλέπε Σχ. Ι(α) του Παραρτήματος Ι) και ενός κυκλώματος LC (βλέπε Σχ. Ι(β)). Για την περίπτωση του εκκρεμούς οι σχετικές ποσότητες είναι προφανώς το μήκος του εκκρεμούς, η μάζα m, και η επιτάχυνση της βαρύτητας (που μαζί με τη μάζα και την απόκλιση από την κατακόρυφο καθορίζει τη δυναμική ενέργεια). Επομένως 1 μ ν ξ [ ω] = m [] t Προφανώς ν=0, αφού δεν υπάρχει μάζα στο αριστερό σκέλος. Λαμβάνοντας υπόψη ότι [ ] = [ ]/[ t] προκύπτει μ + ξ = 0 και ξ = 1/. Άρα ω = c1 (4.) όπου η αριθμητική σταθερά συμβαίνει να είναι μονάδα. Για το κύκλωμα LC οι προφανείς σχετικές ποσότητες είναι η αυτεπαγωγή L (με διαστάσεις μήκους στο σύστημα G-CGS ) η χωρητικότητα C (με διαστάσεις μήκους στο σύστημα G-CGS) και η ταχύτητα του φωτός c (αφού πρόκειται για ηλεκτρομαγνητικό φαινόμενο). Στην παρούσα περίπτωση Όπου εισέρχεται ο αδιάσπαστος λόγος L/C έχουμε 1 μ ν [ ω] = Lcϕ( LC / ) [] t με ν + μ = 0, ν = 1 και ϕ μια αυθαίρετη συνάρτηση του λόγου L/C η οποία από τη θεωρία (αλλά όχι από διαστατική ανάλυση) προκύπτει να είναι L / C. Αν είχαμε χρησιμοποιήσει το σύστημα SI όπου οι διαστάσεις του L είναι μ o επί μήκος και του C e o επί μήκος ( μ o, eo είναι η διαπερατότητα και η διηλεκτρική σταθερά του κενού αντίστοιχα) θα μπορούσαμε να βρούμε πώς εξαρτάται το ω από τα L, C. Δοκιμάστε το. Λάβετε υπόψη ότι στο SI δεν εμφανίζεται η ταχύτητα του φωτός c αλλά το e και μ. Είναι όμως oμ o = 1/ c e. Επίσης στο SI τα βασικά μεγέθη είναι τέσσερα:, t, m και το ρεύμα I. ) Προσδιορίστε με διαστατική ανάλυση τη φασική ταχύτητα ενός κύματος που οδεύει στο σύστημα των συζευγμένων εκκρεμών του Σχ. Ι(γ) του Παρ. Ι. Με απλή παρατήρηση του Σχ. Ι(γ) προκύπτει ότι η ταχύτητα υ του κύματος πρέπει να εξαρτάται από τα μήκη και a, από τη μάζα m και από τη σταθερά του ελατηρίου κ. Θα εξαρτάται επίσης από την επιτάχυνση της βαρύτητας και ενδεχομένως από τον κυματάριθμο k. Η ταχύτητα υ λόγω της γενικής σχέσης (Ι.1) ισούται με ω / k, όπου το ω είναι η κοινή κυκλική συχνότητα ταλάντωσης όλων των μαζών m. Παρατηρούμε ότι υπάρχουν στο Προσοχή! Για αριθμητικές εκτιμήσεις πρέπει οπωσδήποτε να χρησιμοποιήσετε τις μονάδες του συστήματος στο οποίο εκφράσατε τους τύπους σας. Για να χρησιμοποιήσετε τις οικείες μονάδες του συστήματος SI θα πρέπει οι τύποι σας να είναι εκφρασμένοι σ αυτό το σύστημα και όχι στο G-CGS. o o
55 σύστημα δύο αθροιστικές συμβολές στη δυναμική ενέργεια: Η μία οφείλεται στη βαρύτητα και η άλλη στα ελατήρια. Αφού η μέση κινητική ενέργεια είναι ανάλογη της μέσης δυναμικής ενέργειας περιμένουμε ότι και η κινητική ενέργεια θα έχει δύο προσθετικές συνεισφορές τη μία οφειλόμενη στη βαρύτητα και την άλλη στα ελατήρια. Αλλά η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της κυκλικής συχνότητας. Κατά συνέπεια και το τετράγωνο της συχνότητας θα έχει δύο αθροιστικές συνεισφορές, ω = ω + ω, τη μία λόγω βαρύτητας και την άλλη λόγω ελατηρίων. Από κ το προηγούμενο παράδειγμα γνωρίζουμε ότι ω = /. Το ω κ θα εξαρτάται από τέσσερις ποσότητες: κ, m, a και ενδεχομένως το k. Διευκολύνει τις πράξεις αν παρατηρήσουμε ότι το κ / m έχει διαστάσεις συχνότητας στο τετράγωνο και ότι το ka είναι αδιάστατο. Άρα μπορούμε να γράψουμε κ ωκ = ϕ( ka) m Εδώ εξαντλούνται οι δυνατότητες της διαστατικής ανάλυσης. Μπορούμε όμως να εξετάσουμε από άποψη φυσικής κάποιες οριακές περιπτώσεις. Στο όριο k 0, που σημαίνει ότι λ, δηλαδή ότι όλα τα εκκρεμή κινούνται εν φάσει, τα ελατήρια παραμένουν ανενεργά και επομένως δεν ασκούν καμία δύναμη. Άρα όταν k = 0, ω κ = 0. Αντίθετα, όταν οι γειτονικές μάζες κινούνται 100% εκτός φάσεως, πράγμα που συμβαίνει όταν a = λ / ή, ισοδύναμα, ka = π, τότε τα ελατήρια ασκούν τη μέγιστη δύναμη και το ϕ ( ka) παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή. Δεν είναι απίθανο να υποθέσει κανείς ότι μια περιοδική θετική συνάρτηση όπως η ϕ ( ka) που έχει αυτά τα όρια είναι της μορφής c 1 sin ( ka /), όπου c 1 είναι μια αριθμητική σταθερά. Η λεπτομερής θεωρία επιβεβαιώνει αυτή την υπόθεση. Έτσι κ ω = ω + c1 sin ( ka/ ), ω = / (4.3) m με c 1 = 4. Η σχέση (4.3) είναι μαθηματικά όμοια με τον κυματικό τρόπο που διαδίδεται ένα ηλεκτρόνιο από άτομο σε άτομο μέσα σ ένα στερεό, όπως θα δούμε στο κεφάλαιο 11. Η ίδια σχέση (4.3) απουσία βαρύτητας (=0) γίνεται κ ka κ ω = sin ka (4.4) m ka 0 m Η σχέση (4.4) είναι ενδεικτική του τρόπου που διαδίδονται ηχητικά κύματα σε ένα στερεό. Στο όριο ka 0, δηλαδή στο όριο που το μήκος κύματος λ είναι πολύ μεγαλύτερο από την απόσταση a γειτονικών ατόμων, η ταχύτητα του κύματος υ=ω/k είναι ανεξάρτητη του k και εξαρτάται μόνο από τα χαρακτηριστικά του συστήματος: κ κa B υ = a = = (4.5) m m/ a ρ όπου το B= κa είναι το ανάλογο στη μία διάσταση του μέτρου ελαστικότητας (δηλαδή του αντιστρόφου της συμπιεστότητας) και το ρ είναι η μονοδιάστατη πυκνότητα μάζας ρ m/ a. Ο τύπος (4.5) ισχύει για υγρά και αέρια.
56 3) Βρείτε τη φασική ταχύτητα θαλάσσιου κύματος σε βαθιά νερά. Λύση: Η ζητούμενη ταχύτητα, υ, θα πρέπει να εξαρτάται από το μήκος κύματος, λ, από την επιτάχυνση της βαρύτητας (αφού αν δεν υπήρχε η βαρύτητα δε θα έτεινε η επιφάνεια του νερού να επιστρέψει στη ισορροπία) και ενδεχομένως από την πυκνότητα του νερού, ρ. Δεν φαίνεται να υπάρχει άλλη σχετική ποσότητα. Άρα: ξ μ ν υ = c1λ ρ Προφανώς, v = 0, αφού στο αριστερό σκέλος δεν υπάρχει μάζα, ενώ στο δεξί θα υπήρχε, εάν v 0. Το έχει διαστάσεις []/[] t. Άρα οι διαστάσεις του ξ + μ μ δεξιού μέλους είναι [] /[] t. Επομένως ξ + μ = 1 και μ = 1 για να έχει το δεξιό μέλος τις ίδιες διαστάσεις με το αριστερό. Καταλήξαμε, δηλαδή, στις τιμές μ = 1/ και ξ = 1/ και κατά συνέπεια στον εξής τύπο για την ταχύτητα του θαλάσσιου κύματος υ = c1 λ (4.6) Η αριθμητική σταθερά, c 1, δεν μπορεί να προσδιοριστεί από διαστατική ανάλυση. Η λεπτομερής θεωρία δίνει c1 = 1/ π. Αν είχαμε χρησιμοποιήσει τον κυματαριθμό k π / λ ο αριθμητικός συντελεστής θα ήταν μονάδα. Άρα τελικά: λ υ = = (4.7) π k 4) Το ίδιο με προηγουμένως αλλά σε ρηχά νερά βάθους d Λύση: Τώρα εκτός των τριών ποσοτήτων της προηγούμενης άσκησης έχουμε και ένα τέταρτο, το d, που έχει διαστάσεις μήκους. Άρα η ποσότητα A4/ A 04 στην προκειμένη περίπτωση είναι η d / λ και ο τύπος για την ταχύτητα του θαλάσσιου κύματος θα πρέπει να έχει τη μορφή λ ( ) υ kd d = ϕ = ϕ π (4.8) k π λ όπου η συνάρτηση φ δεν μπορεί να προσδιοριστεί από διαστατική ανάλυση. Γνωρίζοντας όμως ότι η τοπική ταλάντωση που αντιστοιχεί στο θαλάσσιο κύμα είναι σχεδόν κατακόρυφης διεύθυνσης, αναμένουμε ότι στο όριο ( d / λ) 1 το αποτέλεσμα θα πρέπει να εξαρτάται από το βάθος d και το μήκος κύματος δεν θα πρέπει να παίζει ρόλο. Επομένως σε αυτό το όριο το φ πρέπει να είναι ανάλογο του π d / λ ή του kd, ( ϕ( kd) kd), προκειμένου να απαλειφθεί το λ ή το k. (Συμβαίνει ο συντελεστής αναλογίας να είναι μονάδα). Άρα στο όριο ( d / λ) 1 ο τύπος για τη φασική ταχύτητα του θαλάσσιου κύματος έχει τη μορφή υ = d (4.9) Ο τύπος (4.9) έχει εφαρμογή στα τσουνάμι, όπου συνήθως το μήκος κύματος είναι πολύ μεγαλύτερο από το βάθος της θάλασσας.
57 Από το γενικό τύπο (Ι.1), ω = υk, για την κυκλική συχνότητα και τον (4.8) βρίσκουμε ότι ω = kϕ( kd) (4.10) Η συνάρτηση ϕ ( kd) στη γενική περίπτωση και έπειτα από ένα λεπτομερή και εξειδικευμένο υπολογισμό προκύπτει ίση με tanh( kd ). Η tanh( kd ) τείνει στο kd όταν kd 0 και στη μονάδα όταν kd. 5) Περισσότερα για τη φασική ταχύτητα θαλάσσιου κύματος. Μέχρι τώρα για τον προσδιορισμό της ταχύτητας θαλάσσιου κύματος λάβαμε υπόψη τη βαρυτική δυναμική ενέργεια που ελαχιστοποιείται όταν η επιφάνεια της θάλασσας είναι τοπικά επίπεδη. Υπάρχει όμως και μια άλλη δυναμική ενέργεια που ευνοεί επίσης επίπεδη επιφάνεια και αυτή είναι η επιφανειακή τάση, η οποία χαρακτηρίζεται από το συντελεστή επιφανειακής τάσης σ με διαστάσεις ενέργεια ανά εμβαδόν επιφάνειας. Οι δύο αυτές δυναμικές ενέργειες είναι αθροιστικές και κατά συνέπεια και το τετράγωνο της κυκλικής συχνότητας έχει δύο συνεισφορές όπως εξηγήθηκε στο παράδειγμα (). Άρα γενικά ω = ω + ω όπου έχουμε ήδη βρει στο παράδειγμα (4) ότι ω = k tanh( kd). Απομένει να βρούμε το ω σ που θα πρέπει να εξαρτάται από το συντελεστή επιφανειακής τάσης σ, από το βάθος της θάλασσας d, από τον κυματάριθμο k ( k π / λ), και από την πυκνότητα του νερού ρ. Επομένως 1 μ ν ξ [ ωσ ] = [ σ ρ k ] ϕ( kd) [ t ] Από τη σχέση αυτή έχουμε 3 ότι 3 σ k ωσ = ϕ ( kd) ρ όπου το ϕ ( kd) προκύπτει από μια λεπτομερή θεωρία ότι και αυτό ισούται με tanh( kd ). Έχουμε επομένως για τη φασική ταχύτητα υ στην πιο γενική περίπτωση ω σk υ = tanh( kd) + tanh( kd) (4.11) k k ρ Για όχι τόσο μικρά μήκη κύματος ( λ 10cm ) το ω σ είναι αμελητέο σε σύγκριση με το ω. Αντίθετα για πολύ μικρά μήκη κύματος ( λ d cm) η σ 1 μ μ ν m m 1 3 μ+ ν 3ν ξ μ Δηλαδή ( d) m t ( d) ϕ κ φ κ μ μ 3ν ξ = [ t ] t Άρα: μ = 1 μ + ν = 0 ν = 1 3ν ξ = 0 ξ = 3ν = 3
58 συμβολή της επιφανειακής τάσης στο ω γίνεται σημαντική, αφού ο λόγος των δύο, ωσ / ω = σk / ρ = ( π) σ / ρλ, είναι αντιστρόφως ανάλογος του τετραγώνου του μήκους κύματος λ. Στο Σχ. 4.1 δίνουμε τη γραφική παράσταση της φασικής ταχύτητας υ ως συνάρτησης του λ χρησιμοποιώντας για το σ του νερού την εμπειρική τιμή 0,073J/m. Από τη γραφική αυτή παράσταση προκύπτει ότι όταν αρχίσει να φυσάει ένα πολύ ελαφρό αεράκι θα διεγείρει πρώτα σε μια απολύτως ήρεμη θάλασσα ένα ρυτίδωμα που αντιστοιχεί σε μήκος κύματος περίπου 1,5cm, δηλαδή στο ελάχιστο της καμπύλης υ έναντι λ. Αυτό γιατί άνεμος ταχύτητας υ a διεγείρει πολύ πιο έντονα εκείνα τα κύματα για τα οποία ισχύει η συνθήκη συντονισμού υ = υ. a Σχ. 4.1. Η φασική ταχύτητα θαλάσσιου κύματος ως συνάρτηση του μήκους κύματος λ, όπου λ= π /k. Τα κύματα πολύ μικρού λ κυριαρχούνται από την επιφανειακή τάση. Η ελάχιστη φασική ταχύτητα είναι περίπου 0,3m/s = 0,84km/h. Κύματα πολύ μεγάλου λ, όπως συνήθως τα τσουνάμι, οδεύουν πολύ γρήγορα. Π.χ. για λ d 3km η φασική ταχύτητα θα είναι υ d = 171,5m/s = 617,6km/h. Επίλεκτα προβλήματα 1. Θεωρήστε ένα κινούμενο με ταχύτητα υ σφαιρικό στερεό σώμα ακτίνας r μέσα σ ένα ρευστό μέσο (υγρό ή αέριο). Δύο είναι οι φυσικές αιτίες που απαιτούν δαπάνη ενέργειας για τη διατήρηση της κίνησης: (α) η κινητική ενέργεια που συνεχώς προσφέρει το κινούμενο σώμα στις μάζες του ρευστού. (β) οι τριβές που αναπτύσσονται ανάμεσα στα στρώματα του ρευστού διαφορετικής ταχύτητας, οι οποίες τριβές χαρακτηρίζονται από το ιξώδες η (που έχει διαστάσεις [ M/L ] [ ][ T). ] Χρησιμοποιώντας διαστατική ανάλυση βρέστε πως εξαρτάται η δύναμη αντίστασης F εάν υπήρχε μόνο ο πρώτος μηχανισμός ή εάν
59 υπήρχε μόνο ο δεύτερος μηχανισμός. Ο λόγος της πρώτης δύναμης, F α, προς τη δεύτερη, F β, είναι ο αριθμός του Reynolds Fa Re = Fβ Δείξτε ότι για μεγάλα σώματα ή και μεγάλες ταχύτητες κυριαρχεί η δύναμη F α (που είναι αδρανειακής φύσεως), ενώ για μικρά και χαμηλές ταχύτητες κυριαρχεί η F β (που οφείλεται στη συνεκτικότητα του ρευστού). Εκτιμήστε πόση ισχύ καταναλώνει ένα αυτοκίνητο που κινείται με 100 km/h για να υπερνικήσει τη δύναμη αντίστασης του αέρα. Ο λόγος -5 ν η / ρ του αέρα είναι περίπου ίσος με 1, 5 10 m /s. 1hp 746 W (βλέπε σχετικά το εξαίρετο άρθρο του G.Golitsyn, Quantum, Μάρτιος/ Απρίλιος, 000, σελ. 6.. Βρείτε τον λεγόμενο τύπο του Poiseuille που δίνει τη ροή υγρού, δηλαδή τον όγκο υγρού ανά μονάδα χρόνου που διέρχεται μέσω μιας οποιασδήποτε νοητής διατομής ενός σωλήνα κυκλικής διατομής ακτίνας r. 3. Υψίσυχνα ηλεκτρικά ρεύματα κατά μήκος ενός αγωγού αγωγιμότητας σ δεν καλύπτουν ομοιόμορφα τη διατομή του αγωγού αλλά περιορίζονται σε μια περιοχή κοντά στην επιφάνεια πάχους δ, το οποίο ονομάζεται βάθος διείσδυσης. Χρησιμοποιήστε το σύστημα SI για να βρήτε το δ. 4. Εκτιμήστε το χρόνο ζωής ενός κλασικού μοντέλου για το άτομο του υδρογόνου θεωρώντας ότι εάν δεν υπήρχε ακτινοβολία το ηλεκτρόνιο θα ακολουθούσε μια κυκλική τροχιά ακτίνας a B. 5. Εκτιμήστε τη δυναμική άνωση στις πτέρυγες ενός αεροπλάνου ταχύτητας υ. Τις πτέρυγες θεωρήστε τις ως απαραμόρφωτα ορθογώνια μεταλλικά παραλληλόγραμμα. 6. Θεωρήστε μια μπάλα που κινείται στον αέρα με μια αρχική ταχύτητα u ενώ ταυτόχρονα στρέφεται αντίθετα με τους δείκτες του ρολογιού (ιδωμένη από πάνω) όπως φαίνεται στο σχήμα. Η μπάλα θα αποκλίνει προς τα δεξιά ή τα αριστερά; Γιατί; (Βλέπε Quantum, Νοεμβ./Δεκ. 94, σελ. 7-14). 7. Θεωρήστε δύο επίπεδες παράλληλες πλάκες σε απόσταση d μεταξύ τους που αποτελούνται από τέλειο μέταλλο και είναι ηλεκτρικά αφόρτιστες. Ο Η. Casimir το 1948 πρότεινε σε μια εργασία του ότι υπάρχει μια ελκτική Η/Μ δύναμη μεταξύ των δύο πλακών καίτοι είναι αφόρτιστες. Η πρόβλεψή του αυτή επαληθεύθηκε πειραματικά αρκετά αργότερα. Με χρήση διαστατικής ανάλυσης βρέστε τον τύπο που δίνει αυτή τη δύναμη
60 ανά μονάδα επιφάνειας, αφού πρώτα αναρωτηθείτε για το φυσικό μηχανισμό που προκαλεί αυτή την έλξη. 8. Προσδιορίστε την ταχύτητα του ήχου στον αέρα ως συνάρτηση της θερμοκρασίας του λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση (4.50) και τον ορισμό του Β για τριδιάστατα συστήματα: BS = V ( P/ V) S, όπου ο κάτω δείκτης S σημαινει ότι η παραγώγιση γίνεται υπό σταθερή εντροπία μια και η διάδοση του ήχου γίνεται υπό ισεντροπικές συνθήκες, αφού δεν υπάρχει αρκετός χρόνος ούτε για παραγωγή εντροπίας ούτε για ανταλλαγή θερμότητας. Η εξάρτηση της εντροπίας του αέρα από τον όγκο και τη θερμοκρασία είναι της μορφής 5 S / NkB = lnv + ln T + f( N). Γιατί 5/ και όχι 3/, όπως στην άσκηση 3.11;