ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΤΡΙΒΗΣ

Transcript

1 ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗΣ ΤΡΙΒΗΣ Σκοπός της άσκησης Σε αυτή την άσκηση θα μετρήσουμε τον συντελεστή εσωτερικής τριβής ή ιξώδες ρευστού προσδιορίζοντας την οριακή ταχύτητα πτώσης μικρών σφαιρών σε αυτό το ρευστό. Στοιχεία από την θεωρία Έστω δύο σώματα Α και Β με παράλληλες επίπεδες έδρες μεταξύ των οποίων υπάρχει κάποιο υγρό. Ας φανταστούμε ότι το υγρό είναι χωρισμένο σε ένα μεγάλο αριθμό πολύ λεπτών στρωμάτων πάχους Δn που είναι παράλληλα προς τις επίπεδες έδρες των Α και Β. Έστω επίσης ότι το σώμα Α είναι ακίνητο ενώ το Β κινείται με ταχύτητα v όπως στο σχήμα. B v Δn v =0 A Το πρώτο λεπτό στρώμα υγρού που είναι σε επαφή με το Α παραμένει ακίνητο. Το δεύτερο κινείται με μικρή ταχύτητα, το τρίτο με μεγαλύτερη. Έτσι καθώς προχωρούμε σε στρώματα που βρίσκονται μακρύτερα από το Α η ταχύτητα του υγρού μεγαλώνει. Τέλος το λεπτό στρώμα που βρίσκεται σε επαφή με το σώμα Β κινείται με ταχύτητα v. Αν το πάχος κάθε στρώματος είναι Δd τότε η κατανομή αυτή των ταχυτήτων χαρακτηρίζεται από την ποσότητα Δv, την διαφορά των ταχυτήτων δύο γειτονικών στρωμάτων. Η ποσότητα Δv/Δx ονομάζεται βαθμίδα ταχύτητας.

2 Όταν υπάρχει μια βαθμίδα ταχύτητας αναπτύσσονται δυνάμεις μεταξύ των γειτονικών στρωμάτων υγρού και μεταξύ των επιπέδων Α και Β και των γειτονικών τους στρωμάτων υγρού. Οι δυνάμεις αυτές ονομάζονται δυνάμεις εσωτερικής τριβής ή τριβής ροής. Ο Νεύτωνας πρώτος μελέτησε με επιτυχία τα φαινόμενα αυτά. Υπέθεσε ότι η δύναμη εσωτερικής τριβής είναι ανάλογη: (α) της τριβόμενης επιφάνειας S, (β) ανάλογη της βαθμίδας ταχύτητας dυ/dx στην περιοχή της τριβόμενης επιφάνειας και (γ) ενός συντελεστή n που εξαρτάται από την φύση των υγρών και ονομάζεται συντελεστής εσωτερικής τριβής ή ιξώδες. Σύμφωνα με τα παραπάνω συνολική δύναμη τριβής δίνεται από την σχέση: F d n S (1) dx Από την σχέση αυτή με διαστατική ανάλυση μπορούμε να βρούμε τις διαστάσεις του n: F n n M T L d S dx 1 1 Στο SI μονάδα ιξώδους είναι το 1 N/m 2 sec =1 Pa sec (Πασκάλ * σεκοντ). Η μονάδα που πρακτικά χρησιμοποιείται είναι το 1 Poise=0.1 Pa*sec. Ο συντελεστής εσωτερικής τριβής εξαρτάται μόνο από το είδος του υγρού. Οι δυνάμεις εσωτερικής τριβής είναι πολύ μικρότερες από τις δυνάμεις τριβής. Έτσι όταν ανάμεσα σε δύο τριβόμενες επιφάνειες επιθυμούμε να μην αναπτύσσονται ισχυρές τριβές βάζουμε κάποιο υγρό (συνήθως λάδι). Θεωρητική βάση του πειράματος

3 Εύρεση συντελεστή η με πτώση μικρών σφαιρών Όταν μια σφαίρα πέφτει μέσα σε ένα υγρό το οποίο έχει μικρότερη πυκνότητα από αυτή του υλικού της σφαίρας τότε το βάρος της σφαίρας είναι μεγαλύτερο από την άνωση που δέχεται. Έτσι η σφαίρα κινείται προς τα κάτω υπό την επίδραση της δύναμης: F B A (2) Αν υποθέσουμε πράγμα που δεν ισχύει, ότι δεν υπάρχουν δυνάμεις τριβής η σφαίρα διαρκώς θα επιταχύνεται υπό την επίδραση της δύναμης αυτής. Όμως σε μια τέτοια κίνηση η σφαίρα συναντά αντίσταση. Επειδή η αντίσταση αυτή είναι ανάλογη της ταχύτητας της σφαίρας για κάποια ορισμένη ταχύτητα που ονομάζεται οριακή ταχύτητα, η αντίσταση του ρευστού στην κίνηση της σφαίρας γίνεται ίση με την δύναμη F B A που την κινεί. Το αποτέλεσμα είναι ότι η σφαίρα από την στιγμή που θα αποκτήσει οριακή ταχύτητα παύει να επιταχύνεται και κινείται με σταθερή ταχύτητα (την οριακή). Εάν η ροή είναι στρωτή (κίνηση σφαίρας μέσα στο ρευστό ή κίνηση του ρευστού στο περιβάλλον της σφαίρας είναι ακριβώς το ίδιο πράγμα), η αντίσταση του ρευστού δίνεται από τον τύπο του STOKES και είναι: T 6 r n () όπου n ο συντελεστής εσωτερικής τριβής (ιξώδες) του υγρού, r η ακτίνα της σφαίρας και υ ορ η οριακή ταχύτητα. Στην περίπτωση που η σφαίρα αποκτήσει οριακή ταχύτητα ισχύει η σχέση F=T. Επειδή F B A όπου B V g το βάρος της σφαίρας και A V g η άνωση που υφίσταται η σφαίρα μέσα στο υγρό θα έχουμε ότι: B A T V g V g 6 r n (4)

4 όπου V σ ο όγκος της σφαίρας και ρ σ και ρ υ οι πυκνότητες της σφαίρας και του υγρού αντίστοιχα. Από την (4) παίρνουμε: 4 4 r g r g 6 r n 2r n 2 g 9 (5) Τα παραπάνω συμβαίνουν (ισχύει ο νόμος του STOKES ) αν η ροή είναι στρωτή. Το εάν η ροή είναι στρωτή ή όχι εξαρτάται από το αν η σταθερή του Reynolds (Re) είναι ή όχι μικρότερη του 1 (για περίπτωση της σφαίρας η σταθερά Re δίνεται από την σχέση: r Re n Η σχέση (5) δεν ισχύει όπως ακριβώς είναι για το πείραμα που εκτελείται στο εργαστήριο. Στο πείραμα που θα ακολουθήσει μικρές σφαίρες πέφτουν σε ένα υγρό που περιέχεται σε κυλινδρικό δοχείο μικρής ακτίνας (της τάξεως των λίγων cm). Όμως η σχέση () από την οποία βγάλαμε την σχέση (5) ισχύει για πτώση μικρών σφαιρών σε υγρό με άπειρες διαστάσεις, όπου η βαθμίδα ταχύτητας παίρνει πολύ μικρές τιμές χωρίς να επηρεάζεται από την τριβή μεταξύ υγρού και τοιχώματος του δοχείου. Άρα θα πρέπει να διορθώσουμε την σχέση () άρα και την σχέση (5). Συνήθως στην περίπτωση κυλινδρικού δοχείου χρησιμοποιείται ένας διορθωτικός παράγοντας με τον οποίο πολλαπλασιάζεται το δεύτερο μέλος

5 της σχέσης (). Ο τρόπος αυτός της διόρθωσης ονομάζεται διόρθωση Landenburg και με την διόρθωση αυτή η σχέση () γίνεται: T r 6 r (1 2.4 ) (6) R όπου R η ακτίνα του κυλινδρικού δοχείου. Όπως φαίνεται από την σχέση αυτή αν η ακτίνα γίνει πολύ μεγάλη τότε ο διορθωτικός παράγοντας γίνεται περίπου 1 και η σχέση () συμπίπτει με την (6). Με την χρήση της (6) η σχέση (5) γίνεται: 2 2r g n (7) r / R Το πειραματικό μέρος της άσκησης περιλαμβάνει σωλήνα διατομής ακτίνας R που θα πρέπει να μετρηθεί γεμάτο με γλυκερίνη πυκνότητας ρ υ = 1225 kgr/m. Αφήνουμε την σφαίρα να πέσει μέσα στην γλυκερίνη στην περιοχή του άξονα του σωλήνα. Η σφαίρα αποκτά πολύ σύντομα (πριν διανύσει 20 cm μέσα στην γλυκερίνη) οριακή ταχύτητα. Μετράμε τον χρόνο που κάνει η σφαίρα να διανύσει μια καθορισμένη απόσταση μέσα στην γλυκερίνη (και αφού πρώτα αποκτήσει κατ εκτίμηση οριακή ταχύτητα). L Από την σχέση βρίσκουμε την οριακή ταχύτητα της σφαίρας. Με t μέτρηση βρίσκονται επίσης η ακτίνα r της σφαίρας (μέτρηση με μικρόμετρο) και τη μάζα της (μέτρηση με ζυγό) και υπολογίζεται η πυκνότητα ρ σ της σφαίρας: m 4 r (8)

6 Για να έχουμε καλύτερα αποτελέσματα χρησιμοποιούμε 10 μικρές όμοιες σφαίρες και επαναλαμβάνουμε το πείραμα 10 φορές κάνοντας τις απαραίτητες διορθώσεις με την θεωρία σφαλμάτων Εκτέλεση του πειράματος 1. Ζυγίζουμε 10 όμοια σφαιρίδια. Υπολογίζουμε την μέση μάζα: m 2. Μετρούμε τις διαμέτρους τους και υπολογίζουμε την μέση διάμετρο και από αυτήν την μέση ακτίνα και την πυκνότητα ρ σφ του υλικού των σφαιρών από την σχέση: διάμετρος= ακτίνα= m m 4 r 4 r. Αφήνουμε μια σφαίρα να πέσει μέσα στον σωλήνα με το υγρό και μετράμε τον χρόνο που κάνει να φθάσει από την μία στην άλλη κόκκινη γραμμή της κλίμακας που βρίσκεται πίσω από τον σωλήνα. 4. Επαναλαμβάνουμε την εργασία 4 και για τις άλλες 9 σφαίρες. 5. Μετράμε την απόσταση β μεταξύ των δύο κόκκινων γραμμών της κλίμακας. 6. Καταχωρούμε τα αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα:

7 α/α t (sec) 7. Βρίσκουμε την μέση τιμή t του χρόνου πτώσεως. 8. Από την σχέση υ ορ =β/t βρίσκουμε την μέση τιμή της οριακής ταχύτητας υ ορ. 9. Χρησιμοποιώντας την σχέση (5) υπολογίστε την τιμή του n. 10. Μετρήστε την εσωτερική διάμετρο του κυλινδρικού δοχείου με το υγρό και υπολογίστε την εσωτερική ακτίνα R. 11. Χρησιμοποιώντας την σχέση (7) υπολογίστε την τιμή του n. 12. Βρείτε την σταθερά του για την ροή αυτή. 1. Είναι η ροή στρωτή; 14. Επαναλάβετε τα βήματα 4,6,9,10 12 για μία σφαίρα μεγαλύτερης ακτίνας που πέφτει σε ένα σωλήνα μικρότερης διαμέτρου. Προσοχή: Πρέπει να είστε σε ετοιμότητα γιατί η σφαίρα πέφτει γρήγορα! Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας.