ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΟ k-συνεχομενα-απο-τα-n: F ΣΥΣΤΗΜΑ

Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά 0 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής (007), σελ 3-30 ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΟ k-συνεχομενα-απο-τα-n: F ΣΥΣΤΗΜΑ Γ. Παπαδόπουλος, Α. Κωνσταντίνης Επίκουρος Καθηγητής, Μεταπτυχιακός Φοιτητής Γενικό Τμήμα, Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών gpapadop@aua.gr, alkonok@yahoo.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το διδιάστατο k-συνεχόμενα-από-τα-n:f σύστημα προτάθηκε από τους Salvia & Lasher (990) ως γενίκευση στις δύο διαστάσεις του γραμμικού k-συνεχομενα-από-τα-n:f συστήματος. Ακριβής τύπος για τον υπολογισμό της αξιοπιστίας του δεν έχει προταθεί, ενώ, ένας αναδρομικός αλγόριθμος που προτάθηκε για το σκοπό αυτό, έχει πολύ περιορισμένη πρακτική εφαρμογή. Έχουν όμως προταθεί πολλές προσεγγίσεις της αξιοπιστίας του μέσω άνω και κάτω φραγμάτων. Στην παρούσα εργασία γίνεται αριθμητική μελέτη των προσεγγίσεων αυτών ως προς τις διάφορες τιμές των παραμέτρων του και εξάγονται συμπεράσματα για τη βέλτιστη προσέγγιση της αξιοπιστίας του. Επίσης, προσεγγίζεται η αξιοπιστία του με προσομοίωση.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια κατηγορία συστημάτων τα οποία μετά το 98 προκάλεσαν μεγάλο ερευνητικό ενδιαφέρον είναι τα συνεχόμενα-k-από-τα-n συστήματα. H ιδέα εισαγωγής συνεχόμενων συστημάτων οφείλεται στον Kontoleon (980). 'Eκτοτε, προτάθηκαν πολλά συστήματα τα οποία είχαν ως αφετηρία την αρχική ιδέα του Kontoleon (980). Το k-συνεχομενα-από-τα-n: F σύστημα (consecutive-k-out-of-n: F system) αποτελείται από n μονάδες τοποθετημένες σειριακά σε μία γραμμή και μπορεί να βρίσκεται σε μια από δύο καταστάσεις (λειτουργεί ή δε λειτουργεί). Κάθε μονάδα του μπορεί, επίσης, να βρίσκεται σε μια από δύο καταστάσεις (λειτουργεί ή δε λειτουργεί). Το σύστημα δε λειτουργεί αν και μόνο αν υπάρχουν τουλάχιστον k διαδοχικές μονάδες του που δε λειτουργούν. Είναι προφανές ότι για k = προκύπτει ένα σειριακό σύστημα ενώ για k = n προκύπτει ένα παράλληλο σύστημα. Τα προβλήματα που συνδέονται με τη μελέτη των συνεχόμενων συστημάτων παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και από πιθανοθεωρητική αλλά και από γενικότερη μαθηματική σκοπιά. H ευρύτατη και πολύ γρήγορη αποδοχή τους οφείλεται επίσης στην πληθώρα των εφαρμογών που έχουν, καλύπτοντας σε μεγάλο βαθμό την ανάγκη της σύγχρονης τεχνολογικής εποχής για συστήματα υψηλής αξιοπιστίας αλλά και ανταγωνιστικού κόστους (π.χ. συστήματα ηλεκτρονικών υπολογιστών, δορυφορικοί σταθμοί αναμετάδοσης, συστήματα radar, αγωγοί μεταφοράς πετρελαίου). Και τούτο διότι τα συνεχόμενα συστήματα έχουν μεγαλύτερη αξιοπιστία από τα χαμηλού κόστους και μικρής αξιοπιστίας σειριακά και μικρότερο - 3 -

κόστος από τα μεγάλης αξιοπιστίας αλλά υψηλού κόστους παράλληλα συστήματα. Πλήρης βιβλιογραφία για τα συστήματα που προέκυψαν ως γενικεύσεις ή τροποποιήσεις του k-συνεχόμενα-από-τα-n:f συστήματος, υπάρχει στην εργασία Chao, Fu and Koutras (993) και στο βιβλίο Kuo and Zuo (003). Στην παρούσα εργασία μελετάμε την αξιοπιστία του διδιάστατου k-συνεχόμενααπό-τα-n: F συστήματος (-dimensional consecutive k-out-of-n: F) το οποίο προτάθηκε από τους Salvia and Lasher (990) ως γενίκευση στις δύο διαστάσεις, του γραμμικού k-συνεχόμενα-από-τα-n:f συστήματος. Αυτό αποτελείται από n μονάδες τοποθετημένες έτσι ώστε να σχηματίζουν ένα επίπεδο τετραγωνικό πλέγμα διάστασης nxn και μπορεί να βρίσκεται σε μία από δύο καταστάσεις, λειτουργεί με πιθανότητα R ή δε λειτουργεί με πιθανότητα -R. Οι μονάδες του, ( i, j), i, j n, είναι μεταξύ τους στατιστικά ανεξάρτητες και κάθε μια μπορεί να βρίσκεται σε μία από δύο καταστάσεις, λειτουργεί με πιθανότητα με πιθανότητα q ij ή δε λειτουργεί =. Τέλος, το σύστημα δε λειτουργεί, αν και μόνο αν, υπάρχει ένα τουλάχιστον τετράγωνο διάστασης kxk ( k n) του οποίου όλες οι μονάδες δε λειτουργούν. Για το διδιάστατο k-συνεχόμενα-από-τα-n:f σύστημα έχουν προταθεί διάφορες ενδιαφέρουσες εφαρμογές, όπως: α) Στη συνδεσμολογία ηλεκτρονικών κυκλωμάτων, υπάρχει συνήθως κάποια πλεονασματικότητα μονάδων ή συνδέσεων, έτσι ώστε το σύστημα να τίθεται εκτός λειτουργίας, μόνο αν πολλές γειτονικές μονάδες ή συνδέσεις (π.χ. ένα ολόκληρο ορθογώνιο) καταστραφούν. β) Στη διάγνωση της παρουσίας μιας νόσου σε έναν ασθενή με χρήση ακτίνων Χ, το όργανο πιθανόν να μη μπορεί να ανιχνεύσει μεμονωμένα άρρωστα κύτταρα, εκτός αν υπάρχουν μεγάλες περιοχές με συγκέντρωση άρρωστων κυττάρων. γ) Μια πιο σύνθετη εφαρμογή δόθηκε από τους Zuo et al. (000). Πρόκειται για συνδυασμένη εφαρμογή του γραμμικού k-συνεχόμενα-από-τα-n, του διδιάστατου k-συνεχόμενα-από-τα-n και του k- από-τα-n συστήματος για την εκτίμηση του υπολοίπου ζωής των υψικαμίνων ενός πετροχημικού εργοστασίου. Το διδιάστατο k-συνεχόμενα-από-τα-n: F σύστημα γενικεύθηκε στο διδιάστατο k xk -συνεχόμενα-από-τα-n xn : F σύστημα το οποίο δε λειτουργεί, αν και μόνο αν, υπάρχει ένα τουλάχιστον ορθογώνιο διάστασης k xk ( k,k n,n ), του οποίου όλα τα στοιχεία δε λειτουργούν. Είναι προφανές ότι για k = k = είναι ένα σειριακό σύστημα, ενώ, για k = n και k = n είναι ένα παράλληλο σύστημα με n n μονάδες. Για k = και k > (αντίστοιχα, για k = και k > ) κάθε γραμμή του συστήματος είναι ένα γραμμικό k (αντίστοιχα, k)-συνεχόμενα-από-τα- n (αντίστοιχα, n ):F υποσύστημα. Υπάρχουν n (αντίστοιχα, n ) τέτοια υποσυστήματα συνδεδεμένα εν σειρά γιατί αν ένα τουλάχιστον από αυτά αποτύχει αποτυγχάνει όλο το σύστημα. Έτσι, στις περιπτώσεις αυτές, η αξιοπιστία του συστήματος είναι το γινόμενο των αξιοπιστιών των (αντίστοιχα, ) υποσυστημάτων. Για k = και n n n - 3 -

< k < n (αντίστοιχα, για k = n και < k < n ) κάθε στήλη (γραμμή) αποτελεί ένα παράλληλο υποσύστημα n (αντίστοιχα, n ) στοιχείων. Αυτά τα n (αντίστοιχα, n ) παράλληλα υποσυστήματα, αποτελούν ένα k (αντίστοιχα, k) - συνεχόμενα-από-τα- n (αντίστοιχα, n ):F σύστημα. Όμως, στη γενική περίπτωση < k < n και < k < n (ή < k < n για το διδιάστατο k-συνεχόμενα-από-τα-n: F σύστημα) η αξιοπιστία του συστήματος δε μπορεί να υπολογισθεί εύκολα όπως στις παραπάνω ειδικές περιπτώσεις. Ακριβής τύπος υπολογισμού της δεν έχει προταθεί ενώ ο αναδρομικός τύπος που έχουν προτείνει οι Yamamoto and Miyakawa (995) πρακτικά έχει πολλούς περιορισμούς. Για παράδειγμα, ο απαιτούμενος χρόνος n υπολογισμού είναι ( k O k n k ) ενώ οι απαιτήσεις σε μνήμη φθάνουν τα ( n n k + k + ) n n k+ k bits και πραγματικούς αριθμούς. Είναι, επομένως, χρήσιμο να βρεθούν καλές προσεγγίσεις της αξιοπιστίας, δηλαδή άνω και κάτω φράγματα τα οποία να υπολογίζονται εύκολα και να είναι "κοντά" στην ακριβή τιμή της. Πράγματι, από το 990, για την προσέγγιση της αξιοπιστίας του συστήματος προτάθηκε, με εφαρμογή διαφόρων μεθόδων και τεχνικών (Poisson approximation, Compound Poisson approximation, συνδυαστικές μέθοδοι, αρχή εγκλεισμούαποκλεισμού, πολλαπλασιαστικός νόμος, ανισότητες Bonferroni, ανισότητα Janson, ορισμός κατάλληλων κλάσεων minimal cut sets, κ.ά.), μια σειρά άνω και κάτω φραγμάτων τα οποία γενικεύονται και για την προσέγγιση της αξιοπιστίας του διδιάστατου k xk -συνεχόμενα-από-τα-n xn :F συστήματος. Συνολική αποτιμήση συγκριτική παρουσίαση - των προσεγγίσεων αυτών δεν έχει γίνει μέχρι σήμερα. Έχουν δοθεί συγκριτικοί πίνακες τιμών μόνο για κάποια υποσύνολα του συνόλου των φραγμάτων που έχουν προταθεί και για συγκεκριμένες μόνο τιμές των παραμέτρων του συστήματος. Δηλαδή, δεν έχει δημοσιευθεί συγκριτική παρουσίαση όλων των φραγμάτων που έχουν προταθεί και για όλο το εύρος τιμών των παραμέτρων του συστήματος. Έτσι, από την υπάρχουσα βιβλιογραφία, δεν μπορεί κάποιος να προβεί στη βέλτιστη προσέγγιση της αξιοπιστίας του συστήματος για όλους τους συνδυασμούς τιμών των παραμέτρων του συστήματος. Είναι, επομένως, δύσκολο για έναν ερευνητή που θέλει να αξιοποιήσει σε συγκεκριμένη εφαρμογή τα σχετικά ερευνητικά αποτελέσματα, να επιλέξει την καλύτερη προσέγγιση. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να συνεισφέρει στη συμπλήρωση αυτού του κενού. Στην Παράγραφο. κάνουμε μια συνοπτική επισκόπηση των φραγμάτων που έχουν προταθεί για την προσέγγιση της αξιοπιστίας του διδιάστατου k-συvεχόμεvα-από-ταn: F συστήματος και στην Παράγραφο. παρουσιάζουμε τα συμπεράσματα που προέκυψαν από τη διερεύνηση των προσεγγίσεων αυτών που κάναμε. Η διερεύνηση έγινε με τη βοήθεια ειδικής εφαρμογής που αναπτύξαμε στο προγραμματιστικό περιβάλλον Net Beans IDE. Η εφαρμογή, επιπλέον, υπολογίζει για οποιονδήποτε συνδυασμό τιμών των παραμέτρων του συστήματος, τη βέλτιστη προσέγγιση της αξιοπιστίας του και δίνει το μέγιστο σχετικό σφάλμα της εκτίμησης. Επίσης, εκτιμά - 33 -

την αξιοπιστία του συστήματος μέσω προσομοίωσης και δίνει το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης.. Η ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΟΥ ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΟΥ k-συνεχομενα-απο-τα-n F: ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Αν συμβολίσουμε με T το χρόνο μέχρι την αποτυχία του συστήματος, η αξιοπιστία, R, του συστήματος είναι R = R( t) = P( T > t) όπου, t σταθερός θετικός πραγματικός αριθμός. Οι πιθανότητες p, q και R αναφέρονται σε χρονικό διάστημα [0, t] αλλά, για λόγους απλούστευσης των συμβολισμών, παραλείπουμε το t (αντί, για παράδειγμα, (t) γράφουμε q ). q ij ij Όπως αναφέραμε στην Εισαγωγή, πέραν πολύ συγκεκριμένων ειδικών περιπτώσεων, η αξιοπιστία του συστήματος δεν είναι εύκολο να υπολογισθεί. Ακριβής τύπος υπολογισμού της δεν έχει προταθεί, ενώ, η εφαρμογή του αλγορίθμου των Yamamoto and Miyakawa (995) πρακτικά έχει πολλούς περιορισμούς. Έχει, όμως, προταθεί μια σειρά άνω και κάτω φραγμάτων μέσω των οποίων μπορούμε να προσεγγίσουμε την τιμή της αξιοπιστίας του συστήματος. Έτσι, αν με LB και UB συμβολίσουμε, αντίστοιχα, ένα κάτω και ένα άνω φράγμα της αξιοπιστίας του συστήματος, τότε το ημιάθροισμα ( LB + UB) δίνει μια εκτίμηση της αξιοπιστίας του συστήματος με μέγιστο σχετικό σφάλμα ( UB LB) (LB), LB 0. Μπορούμε, επίσης, να εκτιμήσουμε την αξιοπιστία του συστήματος με προσομοίωση ( Rsim ) και να υπολογίσουμε το τυπικό σφάλμα της εκτίμησης Rsim ( Rsim ) ν όπου, ν ο αριθμός επαναλήψεων.. Προσεγγίσεις που έχουν προταθεί για την αξιοπιστία του συστήματος Οι Salvia and Lasher (990), εργαζόμενοι συνδυαστικά, πρότειναν, για την περίπτωση που οι μονάδες του συστήματος λειτουργούν ανεξάρτητα και έχουν την ίδια πιθανότητα λειτουργίας p (iid περίπτωση), ένα άνω, ένα κάτω και ένα βελτιωμένο κάτω φράγμα. Όμως, το άνω φράγμα που πρότειναν απεδείχθη λανθασμένο (Ksir, 99). Στα επόμενα, στη διερεύνηση που κάνουμε, χρησιμοποιούμε το βελτιωμένο κάτω φράγμα το οποίο συμβολίζουμε με LB και το διορθωμένο άνω, ij [ { R( k k, nk p) } S& L, ij n / k ] imps & L UB = + όπου, R ( k + k, nk, p) η αξιοπιστία του γραμμικού k + k -συνεχόμενα-από-τα-nk: F συστήματος. Οι Koutras et al. (993), με εφαρμογή της μεθόδου Chen Stein για προσέγγιση μέσω της κατανομής Poisson, προσέγγισαν την αξιοπιστία του συστήματος με έναν εκθετικό όρο και πρότειναν ένα κάτω και ένα άνω φράγμα τα οποία εφαρμόζονται και στην περίπτωση που οι μονάδες του συστήματος δεν έχουν την ίδια αξιοπιστία (non-iid περίπτωση). Τα φράγματα αυτά, στα επόμενα, τα συμβολίζουμε με LP O και - 34 -

UP O αντίστοιχα, και τα υπολογίζουμε από την ελαφρώς βελτιωμένη μορφή τους που πρότειναν οι Barbour et al. (996). Οι Koutras et al. (993), με εφαρμογή ενός γενικού αποτελέσματος των Esary and Proschan (970), πρότειναν ένα ακόμη κάτω φράγμα το οποίο εφαρμόζεται τόσο στην iid όσο και στην non-iid περίπτωση. Στα επόμενα, αυτό το φράγμα το συμβολίζουμε με. LB E & P Οι Papadopoulos (993) και Koutras et al. (997), με κατάλληλη εφαρμογή της πολλαπλασιαστικής αρχής, πρότειναν ένα άνω φράγμα το οποίο εφαρμόζεται τόσο στην iid όσο και στην non-iid περίπτωση. Στα επόμενα, αυτό το φράγμα το συμβολίζουμε με UB M. Οι Yamamoto and Miyakawa (995), για την iid περίπτωση, πρότειναν ένα κάτω και ένα άνω φράγμα. Το άνω φράγμα προκύπτει άμεσα και ως ειδική περίπτωση του UB M των Papadopoulos (993) και Koutras et al. (997). Στα επόμενα, το κάτω φράγμα των Yamamoto and Miyakawa (995) το συμβολίζουμε με LB YM. Οι Fu and Koutras (994 & 995) πρότειναν ως άνω ένα νέο φράγμα το οποίο εφαρμόζεται τόσο στην iid όσο και στην non-iid περίπτωση. Στα επόμενα, αυτό το άνω φράγμα το συμβολίζουμε με UB F & K. Οι Malinowski and Preuss (996) πρότειναν ένα νέο άνω φράγμα το οποίο εφαρμόζεται τόσο στην iid όσο και στην non-iid περίπτωση. Στα επόμενα, αυτό το άνω φράγμα το συμβολίζουμε με UB M & P. Οι Barbour et al. (996), με εφαρμογή της μεθόδου Chen-Stein για προσέγγιση μέσω της σύνθετης Poisson προσέγγισαν την αξιοπιστία του συστήματος με έναν εκθετικό όρο και πρότειναν ένα κάτω και ένα άνω φράγμα τα οποία εφαρμόζονται τόσο στην iid όσο και στην non-iid περίπτωση. Τα φράγματα αυτά, στα επόμενα, τα συμβολίζουμε με LCP και UCP αντίστοιχα. Οι Makri and Psilakis (996, 997) χρησιμοποιώντας τις ανισότητες Bonferroni, πρότειναν για την αξιοπιστία του -dimensiοnal r-wίthin-consecutive-k-out-of-n: F system ένα κάτω και ένα άνω φράγμα. Τα φράγματα αυτά εφαρμόζονται, ως ειδική περίπτωση, και για το διδιάστατο k-συνεχόμενα-από-τα-n: F σύστημα και στα επόμενα, τα συμβολίζουμε με LΒonf και UΒonf αντίστοιχα. Οι Godbole et al. (998), χρησιμοποιώντας τις ανισότητες Janson, πρότειναν ένα νέο άνω φράγμα το οποίο εφαρμόζεται τόσο στην iid όσο και στην non-iid περίπτωση. Στα επόμενα, αυτό το άνω φράγμα το συμβολίζουμε με UBJ. Τέλος, οι Boutsikas and Koutras (000), με εφαρμογή μιας γενικής μεθόδου υπολογισμού φραγμάτων αξιοπιστίας συστημάτων, πρότειναν δύο νέα άνω φράγματα τα οποία στα επόμενα συμβολίζουμε με ( G ) και. Τα φράγματα αυτά & * (G) UB F K UB CB εφαρμόζονται τόσο στην iid όσο και στην non-iid περίπτωση. Όπως αναφέραμε στην Εισαγωγή, σε καμία από τις παραπάνω εργασίες δεν γίνεται συγκριτική παρουσίαση όλων των φραγμάτων και για όλο το εύρος τιμών των παραμέτρων n, k και p του συστήματος. Σε όλες αυτές τις εργασίες, ακόμη και στην - 35 -

πιο πρόσφατη, υπάρχουν πίνακες τιμών για μέρος μόνο των φραγμάτων που έχουν προταθεί και για μεμονωμένες τιμές των παραμέτρων n, k και p του συστήματος.. Διερεύνηση των προσεγγίσεων που έχουν προταθεί για την αξιοπιστία του συστήματος Για τη διερεύνηση των προσεγγίσεων που έχουν προταθεί, αναπτύξαμε ειδική εφαρμογή στην οποία έχουν ενσωματωθεί όλα τα κάτω και άνω φράγματα που αναφέρονται στην Παράγραφο.. Μέσα από ένα ενιαίο περιβάλλον, με απλή διεπιφάνεια χρήστη-εφαρμογής, ορίζουμε τις τιμές ή τα διαστήματα τιμών των n, k και και επιλέγουμε τα φράγματα που θέλουμε να υπολογισθούν. Το αποτέλεσμα της επεξεργασίας μπορεί να είναι: α) η τιμή ενός φράγματος για ορισμένο συνδυασμό τιμών των n, k και β) ένας πίνακας (ή/και η γραφική απεικόνιση) των τιμών ενός ή περισσοτέρων φραγμάτων για ένα διάστημα τιμών του n, του k ή του γ) ένας πίνακας (ή/και η γραφική απεικόνιση) των τιμών του σχετικού σφάλματος της προσέγγισης ή/και των τιμών της εκτίμησης της αξιοπιστίας μέσω προσομοίωσης για ένα διάστημα τιμών του n, του k ή του δ) η βέλτιστη προσέγγιση της αξιοπιστίας του συστήματος. Η εφαρμογή βρίσκεται, και είναι ελεύθερα διαθέσιμη, στη διεύθυνση: www.aua.gr/gpapadopoulos/cv.php (στην ενότητα «Επίβλεψη Μεταπτυχιακών Διπλωματικών Εργασιών). Από εκτενείς και συστηματικούς αριθμητικούς υπολογισμούς που έγιναν για την iid περίπτωση, προέκυψαν, τα ακόλουθα συμπεράσματα: LB YM α) Το είναι, εν γένει, το μεγαλύτερο από όλα τα κάτω φράγματα που έχουν προταθεί. Μόνο σε περιπτώσεις όπου η αξιοπιστία, p, των μονάδων του συστήματος είναι πολύ μικρή και τα k και n μικρά με το k κοντά στο n, μεγαλύτερο είναι το LB & ή το LBonf. Για παράδειγμα, σε περιπτώσεις, όπως, n = 0, k 6 και imps L p < 0. ή n = 5, k = 3 ή 4 και p < 0.. β) Το LB, εν γένει, βρίσκεται πιο μακριά από την ακριβή τιμή της αξιοπιστίας imps & L από όλα τα κάτω φράγματα εκτός από τις περιπτώσεις που αναφέρονται στο (α). γ) Μεταξύ των LPO, LPC, LBonf και LB E & P, πιο κοντά στο μεγαλύτερο βρίσκεται το LB E & P. Γενικά, το LB E& P έχει συμπεριφορά ανάλογη με το LB. δ) Μεταξύ των LP O, LPC και LBonf, εν γένει, «υπερέχει» το LBonf. ε) Τα LP O και LPC έχουν πολύ καλή συμπεριφορά για n και p μεγάλα. YM - 36 -

( G ) στ) Το άνω φράγμα UB & * F K είναι, εν γένει, το μικρότερο από όλα τα άνω φράγματα που έχουν προταθεί. Μόνο σε περιπτώσεις όπου η αξιοπιστία, p, των μονάδων του συστήματος είναι πολύ μικρή και τα k και n μικρά με το k κοντά στο n, μικρότερο είναι το UB M ή σε περιπτώσεις όπου η αξιοπιστία, p, των μονάδων του συστήματος είναι πολύ μικρή και τα k και n μεγάλα με το k κοντά στο n, μικρότερο είναι το UB M & P. Στις περιπτώσεις αυτές, πολύ καλή συμπεριφορά έχει και το UB S& L. ζ) Από όλα τα άλλα άνω φράγματα, δεν προκύπτει να «υπερέχει» κάποιο των (G) υπολοίπων. Τα UBJ, UB F & K, UB M, UBonf, UB CB φαίνεται γενικά να «υπερέχουν» των UP O και UPC τα οποία δίνουν καλές προσεγγίσεις κυρίως για μεγάλα p και n. η) Για μεγάλα p, όλα τα άνω και κάτω φράγματα, εκτός του LB, έχουν πολύ καλή συμπεριφορά. imps & L θ) Ο χρόνος υπολογισμού όλων των άνω και κάτω φραγμάτων είναι, ακόμη και για πολύ μεγάλα n και k, της τάξης των msec. ( G ) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η προσέγγιση LBYM R UB & * F K, είναι, εν γένει, η καλύτερη και, μάλιστα, δίνει πολύ καλές εκτιμήσεις. Ειδικότερα, οι αριθμητικοί υπολογισμοί έδειξαν ότι το σχετικό σφάλμα της προσέγγισης αυτής είναι φθίνουσα συνάρτηση ως προς p και k και αύξουσα ως προς n. Για παράδειγμα, το σχετικό σφάλμα της προσέγγισης: α) για n = 50 και k = 5, δεν ξεπερνάει το 0 6 για οποιοδήποτε p β) για n = 00 και p = 0. 6 δεν ξεπερνάει το 0 8 για οποιοδήποτε k 5 και γ) για p = 0. 8 και k = 3 δεν ξεπερνάει το 0 4 για οποιοδήποτε n 5. Οι περιπτώσεις στις οποίες το παραπάνω γενικό συμπέρασμα δεν ισχύει, μπορούν να χαρακτηρισθούν εξεζητημένες, με την έννοια, ότι δε μπορούν να θεωρηθούν ρεαλιστικές (πολύ μικρά p). Όμως, υπάρχουν. Μάλιστα, όπως αναφέραμε, διαπιστώθηκαν περιπτώσεις όπου φράγματα «υποτιμημένα» στη βιβλιογραφία (με την έννοια ότι δεν συμπεριλαμβάνονται σε συγκριτικούς πίνακες), όπως, τα LB imps & L, UB M & P, UB S& L, δίνουν προσεγγίσεις με το μικρότερο σχετικό σφάλμα. Επομένως, όταν αναζητούμε τη βέλτιστη προσέγγιση της αξιοπιστίας του συστήματος πρέπει να υπολογίζουμε όλα τα άνω και κάτω φράγματα και να επιλέγουμε το μεγαλύτερο κάτω και το μικρότερο άνω. Η εφαρμογή που αναπτύξαμε, και η οποία είναι ελεύθερα διαθέσιμη, πέραν της χρησιμότητάς της για διερεύνηση της συμπεριφοράς των φραγμάτων, είναι, πρακτικά, χρήσιμη και χρηστική για την εύρεση της βέλτιστης κατά περίπτωση προσέγγισης της αξιοπιστίας του συστήματος. Στον Πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι τιμές όλων των φραγμάτων αξιοπιστίας που αναφέρονται στην Παράγραφο. για n = 30, k = 4 και 0. p. Το άνω φράγμα UCP - δεν φαίνεται στον πίνακα - έχει σε όλο το εύρος τιμών του p τιμή. - 37 -

Πίνακας. k = 4, n = 30 και αριθμός επαναλήψεων για τον υπολογισμό του Rsim,: ν = 00. 000. p LB imsl LCP LP O LBonf LB EP LB YM R sim UB G FK UB M UBonf UB FK UB G CB UBJ UPo UB MP UB SL. 0 0 0 0 0 0 0.307.064.33.587.0000.0000.54 0 0 0 0 0 0 0.594.37.885.3038.0004.007.08 0 0 0 0 0 0.0008.68.636.906.4694.0497.43.44 0 0 0 0.000.008.004.535.7735.3866.6.78.503.98 0 0 0 0.0788.40.343.3537.8848.5743.7983.600.838.35 0 0 0.974.494.556.64.664.9404.77.964.884.7605.8588.9577.406.000.3943.786.85.8393.857.8759.883.977.9.975.8946.8955.960.9608.993.46.06.7588.9457.969.966.9656.9679.9695.99.976.99.9704.9709.9795.99.9985.54.355.9057.99.999.993.9933.9938.9938.997.9939.998.9938.9939.9949.9983 9998.55.3565.9506.9975.9979.9979.998.998.998.999.998.9994.998 998.9983.9995.9999.604.7440.984.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9998.9997.9999.9997.9997.9998.9999.658.9450.9944.7.9936.9985.748.999.9994.80.9999.856.9-38 -

ABSTRACT In the present paper, we study the reliability of the -Dimensional consecutive k-out-of-n: F system (Salvia and Lasher, 990). We examine several approximations of the reliability of the -Dimensional consecutive k-out-of-n: F system, aiming at the search for the best approximation for the various parameters of the system. To this end, we developed an application using the programming tool of application development in Java, called NetBeans IDE, via which, inter alia, we give an approximation of the reliability of the system by simulating its operation. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Barbour, A.D., Chryssaphinou, O. and Roos, M. (996). Compound Poisson approximation in systems reliability. Naval Research Logistics, 43, pp. 5-64. Boutsikas, M. V. and Koutras M. V. (000). Generalized reliability bounds for coherent structures. Journal of Applied probability, 37, pp. 778-794. Chao, M.T., Fu, J.C. and Koutras M.V. (995). Survey of reliability studies of consecutive-k-out-of-n:f and related systems. IEEE Transactions on Reliability, 44, pp.0-7. Esary, J.D. and Proschan, F. (970). Α reliability bound for systems of maintained, interdependent components. Journal of American Statistical Association, 65, pp. 39-339. Fu, J.C. and Koutras, M.V. (994). Poisson approximations for -dimensional patterns. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 46(), pp. 79-9. Fu, J.C. and Koutras, M.V. (995). Reliability bounds for coherent structures with independent components. Statist. Prob. Lett.,, pp. 37-48. Godbole, A.P., Potter, L.K. and Sklar, J.K. (998). Improved upper bounds for the reliability of d-dimensional consecutive-k-out-of-n: F systems. Naval Research Logistics, 45, pp. 9-30. Kontoleon, J.M. (980). Reliability determination of a r-successive-out-of-n: F system. IEEE Transactions on Reliability 9, 437. Koutras, M.V., Papadopoulos, G.K. and Papastavridis, S.G. (993). Reliability of - dimensional consecutive-k-out-of-n: F systems. IEEE Transactions on Reliability, 4, pp. 658-66. Koutras, M.V., Papadopoulos, G.K. and Papastavridis, S.G. (997). A reliability bound for dimensional consecutive-k-out-of-n: F systems. Nonlinear Analysis, Methods, and Applications, 30(6), pp. 3345-3348. Ksir, B. (99).Comment on: -dimensional consecutive k-out-of-n: F models. IEEE Transactions on Reliability, 4(4): 575. Kuo, W. and Zuo, M.J. (003). Optimal reliability modeling: principles and applications. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. Makri, F.S. and Psillakis, Z.M. (996). Bounds for reliability of k-within twodimensional consecutive-r-out-of-n failure systems. Microelectronics and Reliability, 36(3), pp. 34-345. - 39 -

Makri, F.S. and Psillakis, Z.M. (997). Bounds for reliability of k-within connected (r,s)-out-of-(m,n) failure systems. Microelectronics and Reliability, 37(8), pp. 7-4. Malinowski, J. and Preuss, W. (996). Lower and Upper Bounds for the Reliability of Connected (r,s)-out-of-(m,n):f Lattice Systems. IEEE Transactions on Reliability, 45(), pp. 56-60. Papadopoulos, G.K. (993). H Αξιοπιστία των Συνεχόμενων k-από-τα-n: F Συστημάτων και Συναφή Θέματα. Διδακτορική Διατριβή. Salvia, A.A., and Lasher, W.C. (990).-Dimensional consecutive-k-out-of-n:f Models. IEEE Transactions on Reliability, 39, pp. 38-385. Yamamoto, H. and Miyakawa, M. (995). Reliability of a linear connected-(r,s)-outof-(m,n):f lattice system. IEEE Transactions on Reliability, 44(), pp. 333-336. Zuo, M, Lin, D. and Wu, Y. (000). Reliability evaluation of combined k-out-of-n:f, consecutive-k-out-of-n:f and linear connected-(r,s)-out-of-(m,n):f system structures. IEEE Transactions on Reliability, 49(), pp. 99-04. - 30 -