ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ"

Αλκιππη Παπανικολάου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Ελληνικό Στατιστικό Ινστιτούτο Πρακτικά ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιστικής 008, σελ 9-98 ΝΕΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΕΚΤΙΜΗΤΩΝ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ ΓΙΑ ΤΗΝ 3-ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΓΑΜΜΑ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Γεώργιος Τζαβελάς Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το πρόβλημα της ύπαρξης του εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας για τις παραμέτρους της 3-παραμετρικής Γάμμα κατανομής είναι ένα ανοιχτό πρόβλημα. Δεν υπάρχουν συνθήκες που να εξασφαλίζουν την ύπαρξη λύσης για το σύστημα των εκτιμητριών συναρτήσεων που προκύπτουν από την παραγώγιση της λογαριθμικής συνάρτησης πιθανοφάνειας. Στην εργασία αυτή αποδεικνύεται ότι ο αριθμός των ριζών εξαρτάται από την τρίτη κεντρική ροπή μ 3 του δείγματος. Πιo συγκεκριμένα αν η τρίτη κεντρική ροπή είναι θετική τότε υπάρχει άρτιος αριθμός ριζών, ενώ αν είναι αρνητική, περιττός. Όταν η μ 3 είναι αρκετά μεγάλη τότε υπάρχουν μόνο δυο ρίζες όπου η μία αντιστοιχεί σε τοπικό μέγιστο και η άλλη σε σάγμα. Όταν μ 3 είναι κοντά στο 0 τότε ενδέχεται να υπάρχουν 4 λύσεις. Το φαινόμενο αυτό επιχειρείται να ερμηνευθεί με τη μελέτη της Profle συνάρτησης. Αποδεικνύεται ότι όταν η παράμετρος θέσης συγκλίνει στο -, τότε η Profle συνάρτηση συγκλίνει στην λογαριθμική συνάρτηση πιθανοφάνειας της κανονικής κατανομής υπολογισμένη στους εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας των παραμέτρων μ και σ,. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η πυκνότητα πιθανότητας της 3-παραμετρικής Γάμμα κατανομής δίνεται από τον τύπο f ;,, ep{ }, 0, 0, όπου γ η παράμετρος θέσης, β η παράμετρος κλίμακας, και α η παράμετρος μορφής. Αν,,..., είναι ένα δείγμα από την παραπάνω κατανομή, η λογαριθμική συνάρτηση πιθανοφάνειας είναι - 9 -

2 a L l l l,,, Πολλές μέθοδοι έχουν προταθεί για την εκτίμηση των παραμέτρων α,β, και γ. Το βιβλίο των Johso et al.995 δίνει λεπτομερή περιγραφή των περισσότερων από αυτών. Οι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας ΕΜΠ υπερτερούν έναντι των άλλων για τις ασυμπτωτικές τους ιδιότητες Smth 985. Η εύρεση αυτών απαιτεί την επίλυση του συστήματος των πρώτων παραγόντων της συνάρτησης L. L L L 0 l 0 l 0 l l l Τα ερωτήματα που μας απασχολούν είναι τα εξής Έχει το παραπάνω σύστημα λύση; Αν έχει λύσεις, πόσες έχει; 3 Είναι καμιά από αυτές ο ΕΜΠ; Στην εργασία αυτή θα μας απασχολήσουν τα δυο πρώτα ερωτήματα. Με τη χρήση των τριών μέσων, G A το παραπάνω σύστημα γράφεται. l l l a - 9 -

3 Επομένως για την εύρεση των τιμών του α που ικανοποιεί το σύστημα αρκεί να λύσω την εξίσωση G l. Η ύπαρξη και ο αριθμός των λύσεων ανάγεται στις εύρεση των ριζών της συνάρτησης. G F l. Στην εργασία αυτή θα μελετήσουμε την συνάρτηση Fγ. Πιο συγκεκριμένα θα βρούμε συνθήκες κάτω από τις οποίες έχει ρίζες και τον αριθμό των ριζών. Τα αποτελέσματα αυτά θα μας οδηγήσουν σε συμπεράσματα σχετικά με τον αριθμό των λύσεων του συστήματος. Θα χρησιμοποιείται ο συμβολισμός m για την ελάχιστη τιμή του δείγματος.. ΚΥΡΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Ένα τυπικό σχήμα της Fγ δίνεται στο Σχήμα από δείγμα προσομοίωσης =00, για α=, β=, γ=0 και m=0.35 Σχήμα Στο σχήμα φαίνεται ότι η Fγ έχει μία μόνο λύση. Όμως αυτό δεν είναι σωστό Θεώρημα Tzavelas 008a F όταν γ m - F 0 όταν γ

4 Από το παραπάνω Θεώρημα έχουμε ότι η Fγ τείνει στο άπειρο όταν η μεταβλητή γ τείνει στο m. Έτσι περιμένουμε στο παραπάνω παράδειγμα ακόμα μία λύση. Στο σχήμα φαίνεται η συμπεριφορά της Fγ κοντά στην ασύμπτωτο για το ίδιο δείγμα. Σχήμα Σχήμα της Fγ κοντά στην ασύμπτωτο. Από το Θεώρημα συμπεραίνουμε ότι η ύπαρξη λύσης εξαρτάται από το αν Fγ<0. Έστω t G G 0 { : G } G { : t 0}. Θεώρημα Tzavelas 008a Αν 0 τότε Fγ 0. Αν τότε Fγ 0. To Θεώρημα μας δίνει ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ριζών για την συνάρτηση Fγ. Αν υπάρχει ένα γ για το οποίο G G G

5 τότε η Fγ έχει τουλάχιστον μία λύση. Ας σημειωθεί ότι για όλα τα γ έχουμε ότι H G. Έτσι θα πρέπει το Gγ να είναι αρκετά κοντά στο Αγ ώστε ο λόγος G να είναι αρκούντως μεγάλος. G Από το σχήμα φαίνεται ότι έχει δυο λύσεις -Συνήθως έτσι είναι -. Όχι όμως πάντα. Hrosh 995 επιχείρησε να προσαρμόσει την 3-παραμετρική Γάμμα κατανομή στο ακόλουθο δείγμα. { , 5.9, , 55., 59.77, , , , 67.66, 7.647} Παρατήρησε ότι η Fγ έχει τέσσερις ρίζες. Οι δύο ρίζες είναι κοντά στην ασύμπτωτο και οι άλλες δυο είναι αρνητικές και αρκετά μακριά από αυτήν. Σχήμα 3 Σχήμα της Fγ για το παράδειγμα Hrosh σε δυο διαστήματα του πεδίου ορισμού της. Το ερώτημα είναι γιατί το δείγμα αυτό δίνει τέσσερις ρίζες; Παρατηρούμε ότι το δείγμα είναι σχεδόν συμμετρικό με κύρτωση= Αξίζει να σημειωθεί ότι στη βιβλιογραφία υπάρχoυν μόνο δυο δείγματα για. τα οποία η Fγ έχει τέσσερις ρίζες. Και τα δυο δείγματα είναι σχεδόν συμμετρικά Η ερμηνεία του φαινομένου των πολλαπλών ριζών θα γίνει με τη βοήθεια της συνάρτησης Προφίλ Profle fucto L *. Η συνάρτηση αυτή ορίζεται σαν * L L,, όπου οι α και β ορίζονται από το σύστημα. Με αντικατάσταση των αγ και bγ έχουμε την έκφραση. * L l l l

6 Το επόμενο θεώρημα δείχνει την συμπεριφορά της συνάρτησης προφίλ στα άκρα του πεδίου ορισμού της, m. Θεώρημα 3 Tzavelas 008b m * lm L l * lm L l lm L * ' as as as m m Το Θεώρημα 3 αποκαλύπτει ότι όταν m, η συνάρτηση Προφίλ συγκλίνει στην λογαριθμική συνάρτηση πιθανοφάνειας της εκθετικής συνάρτησης κατανομής υπολογισμένη στους εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας των παραμέτρων της. Το Θεώρημα 3 αποκαλύπτει ότι όταν, η συνάρτηση Προφίλ συγκλίνει στην λογαριθμική συνάρτηση πιθανοφάνειας της κανονικής κατανομής υπολογισμένη στους εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας των παραμέτρων της. Μπορούμε λοιπόν να ισχυριστούμε ότι η ρίζα κοντά στην ασύμπτωτο αντιστοιχεί στην περίπτωση που θα υιοθετούσαμε αντί της Γάμμα κατανομής την εκθετική κατανομή. Όταν η το δείγμα είναι σχεδόν συμμετρικό, τότε καθώς η προφίλ συνάρτηση της Γάμμα κατανομής είναι κοντά στη λογαριθμική συνάρτηση πιθανοφάνειας και οι δυο επιπλέον ρίζες που βρίσκουμε αντιστοιχούν στην περίπτωση που θα υιοθετούσαμε την κανονική κατανομή. Ένας άλλος τρόπος να ελέγξουμε την ύπαρξη ριζών είναι να δούμε το πρόσημο της Fγ όταν. Το Θεώρημα λέει ότι η Fγ τείνει στο 0 όταν. Το επόμενο θεώρημα αποκαλύπτει πότε η Fγ γίνεται τελικά αρνητική και πότε θετική για πολύ μικρές τιμές του γ. Θεώρημα 4 Tzavelas 008 c 3 F όταν Το παραπάνω Θεώρημα 4 είναι αποκαλυπτικό. Όταν το δείγμα έχει θετική α- συμμετρία postvely skewed τότε η Fγ τείνει στο 0 από θετικές τιμές, ενώ όταν έχει αρνητική ασυμμετρία τείνει στο μηδέν από αρνητικές τιμές. Το αποτέλεσμα αυτό σε συνδυασμό με το Θεώρημα λέει ότι όταν το δείγμα έχει αρνητική συμμετρία τότε το σύστημα εξισώσεων έχει πάντα μία ρίζα

7 3. ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΡΙΖΩΝ Έχουμε δει ότι σε πολλές περιπτώσεις η Fγ έχει μία ρίζα η οποία είναι πολύ κοντά στην ασύμπτωτο. Έτσι υπάρχει το πρόβλημα να υπάρχει ακόμα ένα τοπικό μέγιστο το οποίο λόγω της θέσεώς του είναι δύσκολο να βρεθεί. Η φύση των ριζών ελέγχεται μέσω του πίνακα Hessa. Έτσι αν,, είναι μια λύση του συστήματος τότε ο πίνακας των δευτέρων παραγώγων είναι ' H,, Παρατηρούμε ότι πάντοτε έχουμε ' 0 καθώς και ' ' 0 Έτσι η φύση του σημείου,, εξαρτάται μόνο από το πρόσημο της ορίζουσας H,,. 3 Όμως εύκολα μπορούμε να δούμε ότι lm 3 όταν γ m -. Δηλαδή για τιμές της γ κοντά στην ασύμπτωτο γ=m, η λογαριθμική συνάρτηση πιθανοφάνειας δεν έχει τοπικό μέγιστο γιατί για τις τιμές αυτές ο πίνακας Hessa δεν είναι αρνητικά ορισμένος. ABSTRACT The estece of the mamum lkelhood estmators for the 3-parameter gamma dstrbuto s stll a ope problem. Suffcet codtos for the estece of solutos of the system of the log-lkelhood equatos does ot est. I ths paper we provde a suffcet codto for the estece of a soluto whch volves the arthmetc, the harmoc ad the geometrc mea. We also prove that f the sample s egatvely skewed the the system of the log-lkelhood equatos has always a soluto

8 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Hrosh, H Mamum-lkelhood parameter estmato the three-parameter gamma dstrbuto. Computatoal Statstcs ad Data Aalyss 0, Johso, N.,L., Kotz, S., Balakrsha, N., 994. Cotuous uvarate dstrbutos Vol. d Ed. Wley. N.Y. Smth, R. L Mamum lkelhood estmato a class of o-regular cases. Bometrka, Tzavelas G. 008a. Suffcet codtos for the estece of a soluto for the log-lkelhood equatos the three parameter gamma dstrbuto. Commucato Statstcs- Theory ad Methods-37:9, Tzavelas G. 008b Estmato the thre-parameter Gamma dstrbuto based o the profle log-lkelhood fucto. Commucato Statstcs- Theory ad Methods to appear Tzavelas G. 008c A study of the solutos of the log-lkelhood system of equatos the three-parameter gamma dstrbuto wth the use of Mathematca. Joural of Statstcal Computato ad Smulato. uder revso

Σχετικά έγγραφα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών