ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Transcript

1 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

2 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω και πεδίο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών X: R Για ω. Χ ω είναι η τιμή που αντιστοιχει στο αποτέλεσμα ω του πειράματος Παραδείγματα αριθμός Κ σε 3 ρίψεις νομίσματος (0, 1,, 3) άθροισμα δύο ρίψεων ζαριού (, 3,, 1) χρόνος παραγωγής προϊόντων (τιμή σε κάποιο συνεχές διάστημα) Συμβολισμός X: τυχαία μεταβλητή x: αριθμητική τιμή ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I

3 ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Πεπερασμένο ή αριθμήσιμο σύνολο τιμών Συνάρτηση μάζας πιθανότητας (pmf) πιθανότητα για κάθε τιμή της X σχήμα: πιθανότητα ως μάζα συγκεντρωμένη στην αντίστοιχη τιμή p x = P X = x = P ω : X(ω)=x X X X X p x 0, p x =1 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 3

4 ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Παράδειγμα: X= αριθμός K σε δύο ρίψεις νομίσματος KK, K, K, 1 px 0 PX 0 P 4 1 px PX P 4 p 1 P X 1 P P X 1 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 4

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Πείραμα με δύο αποτελέσματα Επιτυχία ( E: πιθανότητα p) Αποτυχία ( Α: πιθανότητα 1-p) Τυχαία μεταβλητή Bernoulli X: αριθμός επιτυχιών (0 ή 1) px1 p, px0 1- p Δυωνυμική τυχαία μεταβλητή X: αριθμός επιτυχιών σε n ανεξάρτητες επαναλήψεις του πειράματος n k n-k px k = PX = k = p (1- p), k=0,1,,n k Γεωμετρική τυχαία μεταβλητή X: αριθμός επαναλήψεων του πειράματος έως την πρώτη επιτυχία X = k k-1 αποτυχίες και μία επιτυχία k-1 px k = PX = k = (1- p) p, k=1,,3, ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 5

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Τυχαία μεταβλητή Poisson -λ λ px k = PX = k = e, k=0,1,, k! k Προσεγγίζει ικανοποιητικά τη διωνυμική τυχαία μεταβλητή για μεγάλο n, μικρό p και np=λ Παράδειγμα : 100 συσκευές, πιθανότητα βλάβης 0,01 για κάθε μία P5παθαίνουν βλάβη ; X= αριθμός μηχανών που παθαίνουν βλάβη Χ: διωνυμική με n=100, p=0, PX = 5 0,01 (1-0,01) 0,009 5 Προσεγγιστικά, Χ: Poisson με λ=100 0,01=1-1 5 e 1 PX = 5 = 0, ! ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 6

7 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Y = g X X : τυχαία μεταβλητή με γνωστή pmf Ζητούμενο: pmf της Y, py y px x py y = P Y = y = P g X = y px x x:g(x)=y ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 7

8 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Παράδειγμα 1 px x, x= - 4,-3,-,-1,0,1,,3,4 9 Y X Για k=1,,3,4, 1 py 0 = px 0 = 9 py k = px k + px -k = 9 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 8

9 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Ορισμός: E X x p x X X Ερμηνείες Μέσος όρος αποτελεσμάτων σε μεγάλο αριθμό επαναλήψεων του πειράματος Κέντρο βάρους της συνάρτησης μάζας πιθανότητας Παράδειγμα X: αποτέλεσμα ρίψης ζαριού 1 px x =, x=1,,3,4,5,6 6 1 EX ( ) 6 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 9

10 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ Λόγω συμμετρίας το κέντρο βάρους βρίσκεται στο μέσον 1 6 του διαστήματος [1,6]: 3,5 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 10

11 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ τυχαία μεταβλητή με γνωστή pmf, Y = g X X EY = y p Y(y) y Εύρεση p y δεν είναι απαραίτητη Y X E Y = E g X = g(x) p x x Παράδειγμα V: ταχύτητα (km/h), P(V = 5) = 0,6, P(V = 30) = 0,4 Τ: χρόνος για απόσταση km 4 ET E 0,6 0,4 V Γενικά, Ε g X gex Εξαίρεση: γραμμικές συναρτήσεις Ε αx+ β αe X β ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 11

12 ΔΙΑΣΠΟΡΑ var X E X-E X Μέτρο δικύμανσης των τιμών της X Ιδιότητες var X 0 var αx+ β α var X H σταθερά β μετατοπίζει τις τιμές της τυχαίας μεταβλητής χωρίς να αλλάζει τη διακύμανσή τους Για ευκολότερο υπολογισμό var X E - E X Τυπική απόκλιση var(x) ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 1

13 ΔΙΑΣΠΟΡΑ Παράδειγμα X: αποτέλεσμα ρίψης ζαριού var X ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 13

14 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑ BERNOULLI, POISSON Bernoulli X p 0 =1- p, p 1 = p E X E X 0 (1- p)+1 p = p X 0 (1- p)+1 p = p var X = p- p = p (1-p) Poisson k -λ λ px k = e, k = 0,1,, k! -λ λ EX k e = λ k! k=0 -λ λ E X k e = λ (λ+1) k! k=0 var X λ (λ+1) - λ λ k k ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 14

15 ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΑΖΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων τυχαίων μεταβλητών Για δύο τυχαίες μεταβλητές px,y x,y = PX = x και Y = y X,Y x,y X p x = P X = x = P X = x και Y = y p x,y Y p x,y =1 X,Y p y = p x, y x X,Y y y X,Y ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 15

16 ΑΠΟ ΚΟΙΝΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΑΖΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Παράδειγμα Υ /0 1/0 1/0 1/0 /0 3/0 1/0 1/0 /0 3/0 1/0 1/0 1/0 1/ px = px,y,1 + px,y, + px,y,3 + px,y,4 = 0 py 4 = px,y 1,4 + px,y,4 + px,y 3,4 + px,y 4,4 = 0 Χ 6 3 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 16

17 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Z=g X,Y Εξαίρεση: γραμμικές συναρτήσεις Παράδειγμα: Z = X+ Y Υ 4 Z X,Y p z = P g X,Y = z = p x,y (x,y):g(x,y)=z Eg X,Y = g x,y px,y x,y Γενικά E g X,Y x y g EX,EY EαX+ βy+ γ αex βey γ 0 1/0 1/0 1/ /0 /0 3/0 1/0 1/0 /0 3/0 1/0 1/0 1/0 1/ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 17 Χ

18 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (συνέχεια παραδείγματος) EZ = EX + EY px 1 = 3, px = 6, px 3 = 8, px 4 = ΕX = , py 1 = 3, py = 7, py 3 = 7, py 4 = ΕY = , EZ,55,5 7,55 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 18

19 ΠΟΛΛΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Γενίκευση για περισσότερες από δύο τυχαίες μεταβλητές Για 3 τυχαίες μεταβλητές px,y,z x,y,z PX = x και Y = y και Z = z X,Y X p x,y p x,y,z p x = p x, y,z y z z X,Y,Z X,Y,Z X,Y,Z E g X,Y,Z = g x,y,z p x,y,z x y z E α X α X α X α E X α E X α E X 1 1 n n 1 1 n n Μέση τιμή διατηρεί την γραμμικότητα της συνάρτησης Μέση τιμή διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής n n k ΕX k p (1- p) k k=0 n-k Πιο εύκολα, X = X 1 +X + +Xn X 1+X + +Xn Bernoulli 1 n E X =E X +E X + +E X n p ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 19

20 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΑΖΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Δέσμευση από γεγονός Α Δέσμευση από άλλη τυχαία μεταβλητή Πολλαπλασιαστικός κανόνας Θεώρημα συνολικής πιθανότητας P X = x A px A x = PX = x A = PA Y P X = x και Y = y px,y x,y px Y x y = PX = x Y = y = P Y = y p y p x,y p y p x,y X,Y Y X Y p x = p x, y = p x, y p y X X,Y X Y Y y y ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 0

21 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΑΖΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Δεσμευμένη μέση τιμή EX A = x p x Θεώρημα συνολικής μέσης τιμής Α,Α,,Α : διαμέριση δειγματικού χώρου X A E X Y = y = x p x y x 1 n X Y E X = E X A P A i E X = E X Y = y p y y i i Y ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 1

22 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΤΥΧΑΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ Μέση τιμή Με χρήση δεσμευμένων μέσων τιμών Διασπορά x-1 E X = x 1- p p x=1 1 E X = X X =1 P X =1 E X X >1 P X >1 1 p+ 1+ E X 1- p E X = p 1 E X = X X =1 P X =1 E X X >1 P X >1 1 p E 1 X 1- p E X p - p p var X = - - = p p p p ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I

23 ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Από κοινού συνάρτηση μάζας πιθανότητας ισούται με το γινόμενο των επιμέρους συναρτήσεων μάζας πιθανότητας π.χ. X,Y,Z ανεξάρτητες αν p x, y,z = p x p y p z X,Y,Z X Y Z για κάθε x,y,z Παράδειγμα Υ 4 0 1/0 1/0 1/0 3 1/0 /0 3/0 1/0 1/0 /0 3/0 1/0 1 1/0 1/0 1/ Είναι οι X,Yανεξάρτητες; Όχι: px,y,4 = 1 p 18 X py 4 = Εναλλακτικά, p 1 4 = 0 p 1 X Y X Χ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 3

24 ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Αν X,Y ανεξάρτητες E XY = E X E Y Eg X h Y = Eg X Eh Y var X+ Y = var X + var Y Παράδειγμα X,Y ανεξάρτητες, Z = X- 4Y var Y = var X +16var Y var Z = var X + var -4Y = var X + -4 Γενίκευση: Αν X,X,,X ανεξάρτητες 1 n var X X X var X var X var X 1 n 1 n Διασπορά διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής X = X + X X 1 n X,X,,X ανεξάρτητες Bernoulli 1 n var X var X var X var X = n p 1- p 1 n ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 4

25 ΣΥΝΔΙΑΣΠΟΡΑ cov X,Y = EX- E X Y- E Y Θετική: μεγάλες(μικρές) τιμές της Χ συνήθως αντιστοιχούν σε μεγάλες (μικρές) τιμές της Y Αρνητική: μεγάλες(μικρές) τιμές της Χ συνήθως αντιστοιχούν σε μικρές(μεγάλες) τιμές της Y Μηδενική: δεν υπάρχει τέτοιου είδους συσχέτιση, X,Y ασυσχέτιστες covx,y = EXY - EXEY Χ,Υ ανεξάρτητ ες cov X,Y = 0 (Το αντίθετο δεν ισχύει απαραίτητα) Παράδειγμα: p 1,0 = p 0,1 = p -1,0 = p 0,-1 X,Y X,Y X,Y X,Y XY = 0 πάντα E XY = 0 cov(x,y) = 0 EX = EY = 0 X,Y δεν είναι ανεξάρτητες διότι Χ 0 Y = 0 ( Χ δίνει πληροφορία για το Y ) 1 4 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 5

26 ΣΥΝΔΙΑΣΠΟΡΑ Διασπορά αθροίσματος τυχαίων μεταβλητών n n var X = var X + cov X,X i=1 i=1 i,j : ij i i i j ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 6

27 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Αδιάστατη μορφή της συνδιασποράς ρ X,Y = cov X,Y var X var Y -1ρ1 ρ =1 Y = αx+ β (γραμμική σχέση) ρ=0: X,Y ασυσχέτιστες Παράδειγμα: ρίψη νομίσματος n φορές αριθμός Κ, Y: αριθμός Γ ρ X,Y = ; X: X+ Y = n Y = n- X (γραμμική σχέση) Άρα ρ X,Y =-1 (αρνητική κλίση) ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I 7