Διανύσµατα στο επίπεδο

Transcript

1 Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή v Συνιστώσες δανύσµατος v (a, b v = aî + bĵ v = a 2 + b 2 Δύο διανύσµατα είναι ίσα αν έχουν ίσα µήκη και ίδια κατεύθυνση (διεύθυνση και φορά v = u = ( (4 0 2 = 5 ( ( (6 2 2 = 5 Ένα διάνυσµα στο επίπεδο είναι ένα διατεταγµένο ζεύγος πραγµατικών αριθµών (α,b v = v 2 + v 2 2 = ( x 2 + (y 2 y 2

2 Αλγεβρικές πράξεις µεταξύ διανυσµάτων διανυσµατική πρόσθεση πολλαπλασιασµός διανύσµατος µε αριθµό διανυσµατική αφαίρεση u (u,u 2 k u (ku, ku 2 k u = (ku 2 + (ku 2 2 = k u u (u,u 2 v (v, v 2 w = u + v, Μηδενικό διάνυσµα w (u + v,u 2 + v 2 0 (0, 0 έχει µέτρο µηδέν και είναι το µόνο που δεν έχει συγκεκριµένη κατεύθυνση Μοναδιαίο διάνυσµα v = v (v, v 2 v 2 + v 2 2 = Για οποιοδήποτε διάνυσµα u το u / u είναι µοναδιαίο και έχει την κατεύθυνση του u Ιδιότητες u + v = v + u ( u + v+ w = u + ( v + w u + 0 = u u + ( u = 0 0 u = 0 u = u a(b u = (ab u a( u + v = a u + a v (a + b u = a " u + b u

3 Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων (αριθµός u (u,u 2 v (v, v 2 u v = u v + u 2 v 2 = u v cos(θ Η γωνία µεταξύ δύο διανυσµάτων υπολογίζεται από το εσωτερικό γινόµενο: u v cos(θ = u v = u v + u 2 v 2 u u 2 v v 2 Ιδιότητες u v = v u (c u v = u (c v = c( u v u ( v + w = u v + u w u u = u 2 " 0 u = 0 Προβολή διανύσµατος πάνω σε άλλο διάνυσµα Η συνιστώσα του πρώτου διανύσµατος (φέρνοντας κάθετη στο δεύτερο διάνυσµα u v proj v u = v 2 v Ορθογώνια (κάθετα διανύσµατα Δύο (µη µηδενικά διανύσµατα είναι κάθετα αν και µόνο αν το εσωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν

4 Διανύσµατα στον χώρο (στις 3 διαστάσεις Άµεση γενίκευση όσων αναφέραµε για τα διανύσµατα στο επίπεδο καθώς και των πράξεων και των ιδιοτήτων τους P (x, y, z P = xî + yĵ + z ˆk P = + y 2 + z 2

5 Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων (διάνυσµα Εκτός από το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων στον χώρο, που είναι αριθµός, και ορίζεται όπως πριν u v = u v + u 2 v 2 + u 3 v 3 = u v cos(θ u (u,u 2,u 3 v (v, v 2, v 3 ορίζεται και ένα άλλο γινόµενο (εξωτερικό γινόµενο που είναι διάνυσµα u v = u v sin(θ ( ˆn Το µοναδιαίο διάνυσµα ˆn είναι κάθετο στο επίπεδο των u, v και η φορά του δίνεται από τον κανόνα του δεξιόστροφου χεριού Το µέτρο του εξωτερικού γινοµένου είναι u v = u v sin(θ Παράλληλα διανύσµατα Δύο (µη µηδενικά διανύσµατα είναι παράλληλα αν και µόνο αν το εξωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν Ιδιότητες u v = v u (a u (b v = ab ( u v u ( v + w = u v + u w ( v + w u = v u + w u " 0 u = 0 Το µέτρο του εξωτερικού γινοµένου δίνει το εµβαδό του παραλληλογράµµου που ορίζεται από τα u, v

6 Διανυσµατικοί Χώροι Διανυσµατικός χώρος είναι ένα σύνολο στοιχείων ( διανυσµάτων, εφοδιασµένο µε µια πράξη πρόσθεσης µεταξύ τους (+ και µια πράξη πολλαπλασιασµού τους µε αριθµούς (, έτσι ώστε αυτές οι πράξεις i να παράγουν στοιχεία εντός του συνόλου και ii να ικανοποιούν τις ιδιότητες: x + y = y + x (x + y + z = x + (y + z x + 0 = x, x x + ( x = 0 x = x (ab x = a (bx a (x + y = a x + a y (a + b x = a x + b x όπου x,y,z διανύσµατα,,α,b αριθµοί, 0 το µοναδικό µηδενικό διάνυσµα, (-x το µοναδικό αντίθετο του x. Παραδείγµατα: -- Τα διανύσµατα x(x,,x 3 του πραγµατικού τριδιάστατου χώρου σχηµατίζουν τον διανυσµατικό χώρο R 3 -- Τα διανύσµατα x(x, του διδιάστατου χώρου (επίπεδο σχηµατίζουν τον διανυσµατικό χώρο R 2 -- Τα διανύσµατα x µιας µονοδιάστατης ευθείας σχηµατίζουν τον διανυσµατικό χώρο R -- Γενικά τα διανύσµατα x(x,,,x n ενός n-διάστατου χώρου σχηµατίζουν τον διανυσµατικό χώρο R n (οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλ/µού γίνονται συνιστώσα προς συνιστώσα, όπως στα οικεία διανύσµατα -- Οι συναρτήσεις f(x που ορίζονται σε ένα διάστηµα a<x<b σχηµατίζουν έναν διανυσµατικό χώρο

7 Υπόχωροι διανυσµατικών χώρων Υπόχωρος ενός διαν. χώρου είναι ένα µη κενό υποσύνολό του, που ικανοποιεί τις απαιτήσεις: i το άθροισµα δύο οποιωνδήποτε διανυσµάτων του υποχώρου περιέχεται στον υπόχωρο και ii το πολλαπλάσιο κάθε διανύσµατος του υποχώρου µε οποιονδήποτε αριθµό περιέχεται στον υπόχωρο. Δηλαδή ο υπόχωρος είναι ένα υποσύνολο, κλειστό ως προς την πρόσθεση και τον πολλ/σµό µε αριθµούς. Κάθε υπόχωρος πρέπει να περιέχει το µηδενικό διάνυσµα. Παραδείγµατα: -- Όλα τα επίπεδα και οι ευθείες του πραγµατικού τριδιάστατου χώρου που περνάνε από την αρχή των αξόνων είναι υπόχωροι του R 3 -- Όλες οι ευθείες του διδιάστατου επιπέδου που περνάνε από την αρχή των αξόνων είναι υπόχωροι του R 2 Γραµµικώς ανεξάρτητα/εξαρτηµένα διανύσµατα Τα διανύσµατα v,v 2,,v k ενός διαν. χώρου είναι γραµµικώς ανεξάρτητα αν ο µόνος γραµµικός συνδυασµός τους που δίνει µηδέν, c v +c 2 v 2 + +c k v k =0 (, ισχύει για c =c 2 = =c k =0. Αλλιώς, αν υπάρχουν c ι 0 που ικανοποιούν την (, τα διανύσµατα είναι γραµµικώς εξαρτηµένα. Π.χ. 2 διανύσµατα που περιέχονται στην ίδια ευθεία, ή 3 που περιέχονται στο ίδιο επίπεδο, είναι γρ. εξαρτηµένα. Αντίθετα 2 µη-συγγραµικά (ή 3 µη-συνεπίπεδα διανύσµατα είναι γρ. ανεξάρτητα. Τα διανύσµατα u και v του παραπάνω σχήµατος είναι γρ. ανεξάρτητα, ενώ τα u, v και w=u+v είναι γρ. εξαρτηµένα. Βάση ενός διαν. χώρου είναι ένα σύνολο διανυσµάτων v,v 2,,v k που i είναι γρ. ανεξάρτητα και ii κάθε διάνυσµα w του χώρου µπορεί να γραφεί ως γραµµ. συνδυασµός τους w=c v +c 2 v 2 + +c k v k Π.χ. τα διανύσµατα (,0 και (0, αποτελούν µια βάση του R 2. Το ίδιο και τα (2,0 και (,. Υπάρχουν διαφορετικές βάσεις ενός διαν. χώρου, αλλά όλες έχουν το ίδιο πλήθος διανυσµάτων που ισούται µε την διάσταση του διαν. χώρου. Π.χ. ο R 2 έχει διάσταση 2, ενώ ο R n έχει διάσταση n.

8 Μητρώα A = B = Ένα µητρώο nxm έχει n*m το πλήθος στοιχεία διατεταγµένα σε n γραµµές και m στήλες C = D = ( 23 5 E = 0 4 µητρώο 2x2 3x3 2x3 x3 4x Με Μ ij αναφέρεται το i,j στοιχείο ενός µητρώου Μ (π.χ. A =2, A 2 =3, B 32 =2, C 2 =9, D 2 =-9, E 4 =4 Ένα µητρώο nx αναφέρεται και ως διάνυσµα στήλη και αντιπροσωπεύει ένα διάνυσµα του R n Πρόσθεση-αφαίρεση µητρώων ίδιου µεγέθους (A ± B ij = A ij ± B ij Πολλαπλασιασµός µητρώου µε σταθερά (ca ij = ca ij = Παραδείγµατα: ( ( 2 3 8= Μηδενικό µητρώο 0, µεγέθους nxm: όλα τα στοιχεία του είναι µηδέν ( 2 4 ( 2 = Το σύνολο των µητρώων nxm αποτελεί έναν διανυσµατικό χώρο διάστασης n*m Πολλαπλασιασµός µητρώων nxm και mxp δίνει µητρώο nxp (AB ij = A ik B kj = Παραδείγµατα: = 7 = m k= Εν γένει για nxn µητρώα: AB BA

9 Δύο µητρώα (του ίδιου µεγέθους nxm είναι ίσα, αν έχουν όλα τα αντίστοιχα στοιχεία τους ένα προς ένα ίσα A = B A ij = B ij Για nxn µητρώα (τετραγωνικά µητρώα ισχύουν οι ακόλουθοι ορισµοί Ανάστροφο µητρώο (ανταλλαγή γραµµών και στηλών (ο ορισµός ισχύει και για µη τετραγωνικά, nxm µητρώα (AB T = B T A T A T : (A T ij = A ji Αντίστροφο µητρώο A : AA = A A = I όπου I το ταυτοτικό µητρώο: I ij =, i = j (AB = B A (A T = (A T 0, i j Ένα µητρώο λέγεται ορθογώνιο αν A T = A AA T = A T A = I Ένα µητρώο λέγεται συµµετρικό αν A = A T A ij = A ji π.χ. Ένα µητρώο λέγεται αντισυµµετρικό αν A = A T A ij = A ji π.χ. Ένα µητρώο λέγεται διαγώνιο αν Α ij =0 για i j π.χ Ένα µητρώο λέγεται κάτω (ή άνω τριγωνικό αν Α ij =0 για i<j (για i>j, αντίστοιχα, δηλαδή όλα τα στοιχεία πάνω (ή κάτω από την διαγώνιο είναι µηδέν π.χ

10 Εσωτερικό γινόµενο και ορθογώνια διανύσµατα στον R n Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων x(x,,,x n και y(y,y 2,,y n του R n ισούται µε τον αριθµό x y + y 2 + +x n y n x y x Υπό µορφή µητρώων, αν τα x και y εκφραστούν σαν nx διανύσµατα στήλες x = 2 y, y = 2 x n y n το εσωτερικό γινόµενο γράφεται σαν x T y (=y T x, y όπου x T το xn διάνυσµα γραµµή που είναι το y x T y = ( x x n 2 = x y + y 2 "+ x n y n = y T x ανάστροφο του διανύσµατος στήλης x. y n Δύο διανύσµατα του R n είναι ορθογώνια (κάθετα, αν το εσωτερικό τους γινόµενο είναι µηδέν, x T y=0 Π.χ. τα διαν. (3,0,0 και (0,-,2, ή τα (,, και (,,-2, του R 3. Το ίδιο και τα (2,-4,0,0 και (2,,-3,7 του R 4. Το µήκος x ενός διανύσµατος του R n είναι η θετική τετραγωνική ρίζα του = x T x = x x n 2 Δύο υπόχωροι V και W του R n είναι ορθογώνιοι, αν κάθε διάνυσµα v του V είναι κάθετο σε κάθε διάνυσµα w του W, δηλ. v T w=0 για κάθε v και w. Π.χ. στον R 3 η ευθεία κατά τον άξονα x είναι ορθογώνια στην ευθεία κατά τον άξονα y, ή στο επίπεδο yz. Ο χώρος όλων των διανυσµάτων του R n που είναι ορθογώνια σε έναν υπόχωρο V, ονοµάζεται ορθογώνιο συµπλήρωµα του V. Ισχύει dim(v + dim(v ορθ.συµπλ. = dim(r n, όπου dim η διάσταση τους. Μη µηδενικά διαν. v,v 2,,v k που είναι ορθογώνια µεταξύ τους, είναι και γρ. ανεξάρτητα. Μια βάση ενός διαν. χώρου που αποτελείται από ορθογώνια διαν., λέγεται ορθογώνια βάση. Αν επιπλέον τα διανύσµατα είναι και µοναδιαία (έχουν µήκος, η βάση λέγεται ορθοκανονική. Π.χ. τα διαν. (, και (,- αποτελούν ορθογώνια βάση του R 2, σε αντίθεση µε την βάση των (, και (,0. Τα / 2 (, και / 2 (,-, όπως επίσης και τα (,0 και (0,, απότελούν µια ορθοκανονική βάση του R 2.

11 Προβολές και αντίστοιχα µητρώα Έχουµε δει στον R 2 (ή στον R 3 την προβολή ενός διανύσµατος u πάνω στην ευθεία του διανύσµατος v, σαν το διάνυσµα της συνιστώσας του u (φέρνοντας κάθετη στο v. Υπό µορφή µητρώων, το διάνυσµα της προβολής µπορεί να γραφεί ως ( το vv T είναι τετραγωνικό µητρώο 3x3 Η σχέση γενικεύεται άµεσα στον R n, για την προβολή ενός διανύσµατος u πάνω στην ευθεία του διανύσµατος v, µε τα u και v διανύσµ. στήλες nx. Το αποτέλεσµα της προβολής µπορεί να γραφεί σαν την δράση στο αρχικό διάν. u, ενός µητρώου προβολής P (προβολής στον υπόχωρο της ευθείας του v Το nxn µητρώο προβολής στον υπόχωρο της ευθείας του v είναι: P = vvt v T v Π.χ. το µητρώο προβολής στην ευθεία (2,0,0, δηλ. τον άξονα x, του R 3 είναι: P x = Δρώντας στο τυχόν διάνυσµα u(u,u 2,u 3, δινει P x u=(u,0,0 ( u v proj v u = v 2 v v T u v = v vt u = vv T v T v v T v v T v u c (3x = (3x c ʹ c cʹ = (3x3 (3x c ʹ Pu = vvt v T v u ( = = Τα παραπάνω που αφορούν προβολές σε ευθείες (µονοδιάστατους υπόχωρους, γενικεύονται για προβολές σε υπόχωρους οποιασδήποτε διάστασης. Το µητρώο προβολής σε έναν υπόχωρο δίνεται από την σχέση: P = A(A T A A T όπου A ένα µητρώο που έχει σαν στήλες ένα σύνολο διανυσµάτων βάσης του υποχώρου προβολής. Π.χ. χρησιµοποιώντας για το επίπεδο xy του R 3 τα διανύσµατα βάσης (,0,0 και (0,,0 έχουµε: 0 A = 0, AT A = Όλα τα µητρώα προβολής έχουν τις ιδιότητες i είναι συµµετρικά: P T =P και ii ισούνται µε το τετράγωνό τους: P 2 =P = 0 0, P 0 xy = =

12 Ορίζουσες nxn µητρώων Η ορίζουσα ενός 2x2 µητρώου A = a b c d είναι ένας αριθµός που υπολογίζεται ως εξής: det A = a b c d = (ad bc Η ορίζουσα ενός 3x3 (ή µεγαλύτερης διάστασης µητρώου µπορεί να υπολογιστεί µε ανάπτυγµα ως προς κάποια γραµµή ή στήλη: a b c det A = a b c d e f g h i det A = d e f g h i = a e f h i d b c h i + gb c e f Το εξωτερικό γινοµένο δύο διανυσµάτων δίνεται από την ορίζουσα a b c A = d e f g h i = a e f h i b d f g i + c d e g h = a(ei fh d(bi ch + g(bf ce Εξωτερικό γινόµενο και ορίζουσα u (u,u 2,u 3 v (v, v 2, v 3 = a(ei fh b(di fg + c(dh eg u v = u v sin(θ ( ˆn u v = î ĵ ˆk u u 2 u 3 = î v v 2 v 3 u 2 u 3 v 2 v 3 ĵ u u 3 v v 3 + ˆk u u 2 v v 2 = (u 2 v 3 u 3 v 2 î (u v 3 u 3 v ĵ + (u v 2 u 2 v ˆk

13 Γραµµικό Σύστηµα Ν εξισώσεων µε Ν αγνώστους a x + a 2 ++ a N x N = b Αναπαράσταση: AX = B a 2 x + a a 2 N x N = b 2 " " a N x + a N 2 ++ a NN x N = b N Ένας τρόπος επίλυσης του συστήµατος δίνεται µέσω οριζουσών µητρώων (κανόνας του Cramer Α: το ΝxΝ µητρώο των συντελεστών Χ: το Νx µητρώο των αγνώστων Β: το Νx µητρώο των σταθερών του 2 ου µέλους a a 2 a N x b a A = 2 a 22 a 2 N x X = 2 b B = 2 " " " " a N a N 2 a NN x N b N x i = D i D D=det(A και D i είναι η ορίζουσα του µητρώου που προκύπτει από τον Α, αντικαθιστώντας τα στοιχεία της i στήλης µε τα στοιχεία του διαν. στήλης Β. Το σύστηµα έχει µοναδική λύση όταν D 0 Παράδειγµα: 2x + = 4 x + 2 = 3 D = 2 2 = 5 D = = 5 D 2 = =0 x = D D = = D 2 D = 2 Για οµογενές σύστηµα (Β=0, δηλ. το σύστηµα είναι ΑΧ=0 όλα τα D i =0, εποµένως για να υπάρχουν µη µηδενικές λύσεις (εκτός των τετριµµένων X=0 θα πρέπει D=0

14 Απαλοιφή Gauss a x + a 2 ++ a N x N = b a 2 x + a a 2 N x N = b 2 " " a N x + a N 2 ++ a NN x N = b N Ένας απλός τρόπος επίλυσης του συστήµατος AX=B, είναι µε διαδοχική απαλοιφή των αγνώστων, αφαιρώντας κατάλληλα πολλαπλάσια διαδοχικών εξισώσεων από τις υπόλοιπες. Π.χ. αφαιρώντας από την i εξίσωση (για i=2,..,n του διπλανού συστήµατος, την πρώτη εξίσωση πολλαπλασιασµένη µε α i, /α, απαλείφεται ο x από όλες τις εξισώσεις πλην της πρώτης. Παράδειγµα: 2x + + x 3 = 5 ( 4x 6 = 2 (2 2x x 3 = 9 (3 2x + + x 3 = 5 ( 8 2x 3 = 2 (2 ʹ 2x x 3 = 9 (3 2x + + x 3 = 5 ( 8 2x 3 = x 3 =4 (2 ʹ (3 ʹ 2x + + x 3 = 5 ( 8 2x 3 = 2 (2 ʹ x 3 = 2 (3 ʹ ʹ ο βήµα: (2 - [2]*( 2 ο βήµα: (3 - [-]*( 3 ο βήµα: (3 - [-]*(2 Το τελευταίο σύστηµα που είναι ισοδύναµο µε το αρχικό (έχει τις ίδιες λύσεις, λύνεται εύκολα µε ανάδροµη αντικατάσταση (δηλ. βρίσκοντας πρώτα το x 3 από την (3, µετά αντικαθιστώντας το στην (2 και βρίσκοντας το, κ.ο.κ. Στην απαλοιφή Gauss βασίζεται η παραγοντοποίηση LU, η οποία χρησιµοποιείται για την αριθµητική επίλυση µεγάλων συστηµάτων εξισώσεων

15 Ιδιοτιµές και Ιδιοανύσµατα nxn µητρώου Έστω ένα µητρώο Α µεγέθους nxn. Ένα µητρώο Χ µεγέθους nx λέγεται ιδιοάνυσµα του Α, αν το γινόµενο ΑΧ ισούται µε το ίδιο το Χ πολλαπλασιασµένο µε µια σταθερά. Η σταθερά είναι η αντίστοιχη ιδιοτιµή. Αν το Χ είναι ιδιοάνυσµα του Α, τότε και το cχ, όπου c οποιαδήποτε σταθερά, είναι επίσης ιδιοάνυσµα που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιµή. AX = λx Χ: ιδιοάνυσµα λ: ιδιοτιµή Εύρεση ιδιοτιµών: AX = λx AX λx = 0 (A λix = 0 a λ a 2 a N a λ a 2 a N a 2 a 22 λ a 2 N " " " " a N a N 2 a NN λ x x N = et(a λi = a 2 a 22 λ a 2 N " " " " a N a N 2 a NN λ = 0 Για να έχουµε µη µηδενικές λύσεις (Χ 0 θα πρέπει η αντίστοιχη ορίζουσα των συντελεστών να είναι µηδέν Εξίσωση Ιδιοτιµών à οι ιδιοτιµές δίνονται από τις ρίζες πολυωνύµου βαθµού n ως προς λ Εύρεση ιδιοανύσµατος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ: επίλυση του συστήµατος AX = λx Το σύστηµα οδηγεί σε n- ανεξάρτητες εξισώσεις, απ όπου προσδιορίζονται οι n- συνιστώσες του Χ συναρτήσει της n στης. Εποµένως το Χ βρίσκεται µε απροσδιοριστία µιας τουλάχιστον πολλαπλασιαστικής σταθεράς

16 Παράδειγµα: A = 2 3 Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοανύσµατα του 5 4 Εξίσωση Ιδιοτιµών Ιδιοτιµή λ =7: 2 λ λ = 0 (2 λ(4 λ 5 = 0 λ2 6λ 7 = 0 λ,2 = AX = 7X 2 3 x = 7 x 2x + 3x = 7x 2 5x + 3x = x + 4 = 7 5x 3 = 0 6 ± = 6 ± 8 2 x = 3 5 Εποµένως το ιδιοάνυσµα Χ που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ =7 είναι το X = x 3/5 = = c 3/5 Ιδιοτιµή λ 2 =-: AX = X 2 3 x = x 2x + 3x = x 2 3x + 3x = x + 4 = 5x + 5 = 0 x = Εποµένως το ιδιοάνυσµα Χ 2 που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ 2 =- είναι το X 2 = x = = c 0 0 Άσκηση: Δείξτε ότι οι ιδιοτιµές του B = 0 0 είναι 0, 2 και - 2. Βρείτε τα ιδιοανύσµατα του. 0