7 Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο

7 Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο 7. Θεωρία Η ελάττωση του μεγέθους κόκκων με θραύση είναι μία σπουδαία διεργασία σε βιομηχανίες όπως εξαγωγής ορυκτών, μεταλλουργίας, παραγωγής ενέργειας και χημικών προϊόντων. Υπάρχουν πολλές συσκευές θραύσης, οι οποίες συνήθως ταξινομούνται σύμφωνα με το αρχικό μέγεθος του υλικού προς θραύση και τη σκληρότητα του υλικού, όπως φαίνεται στον Πίνακα 7.. Έτσι για σκληρά υλικά έχουμε συσκευές πρωτογενούς θραύσης (24 έως 20 cm), δευτερογενούς θραύσης (3 έως 5 cm) και τριτογενούς θραύσης ή άλεσης (0, έως 5 mm). Οι σφαιρόμυλοι ανήκουν στην κατηγορία τριτογενούς θραύσης ή άλεσης και μπορεί να χρησιμοποιηθούν σαν κλειστά δοχεία πλήρους ανάδευσης (Σχήμα 7.) ή συνεχούς διεργασίας, σε υγρή ή ξερή άλεση και σε ανοικτό ή κλειστό κύκλωμα με ταξινομητή, όπως στο Σχήμα 7.2. ΣΧΗΜΑ 7.. Σφαιρόμυλος πλήρους ανάδευσης κλειστού δοχείου, περιστρεφόμενος με συχνότητα Ν [rpm] σε σύστημα δυο κυλίνδρων περιστρεφόμενων αντίστοιχα με συχνότητα Ν" rpm και N" 2 rpm, αντίστοιχα. ΣΧΗΜΑ 7.2. (α) Κλειστό κύκλωμα ξερής άλεσης σε σφαιρόμυλο συνεχούς διεργασίας και ταξινομητή αέρα. (β) Σφαιρόμυλος συνεχούς διεργασίας ξερής άλεσης. Η παραλαβή των λεπτών κόκκων γίνεται με ρεύμα αέρα. Χ. ΓΚΟΤΣΗΣ

Άσκηση 7. Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο 2 ΠΙΝΑΚΑΣ 7.. Ταξινόμηση διεργασίας θραύσης υλικών Μέγεθος * Διεργασία Περιοχή Λόγος Σκληρότητα Περιοχή Τύποι μείωσης τροφοδοσιών, in. μείωσης υλικού προϊόντων, in. + συσκευών μεγέθους + ++ Μέγ. Ελάχ. Μέγ. Ελάχ. Θραύση: Πρωτογενής Σκληρό 60 2 20 4 3 to A to D 20 4 5 4 to Δευτερογενής Σκληρό 5 0.2 5 to A to F.5 0.25 0.85 0.033 7 to (4) (20) Μαλακό 20 4 2 0.4 0 to C to G Άλεση: Κονιοποίηση: Χονδρόκοκκη Σκληρό 0.85 0.033 0.023 0.003 0 to D to I (4) (20) (28) (200) Λεπτή Σκληρό 0.046 0.0058 0.003 0.00039 5 to H to K (4) (00) (200) (250) Αποσύνθεση: Μαλακό 0.5 0.065 0.023 0.003 20 to F, I Χονδρόκοκκη... Μαλακό 0.56 0.095 0.003 0.00039 50 to I to K (5) (32) (200) (250) * 85% κατά βάρος μικρότερο από το δεδομένο μέγεθος. + Αριθμός κοσκίνου σε παρενθέσεις. ++Υψηλότεροι λόγοι μείωσης μεγέθους σε διεργασίες κλειστού μεγέθους. 0 σφαιρόμυλος (Σχήμα 7.) αποτελείται από έναν κύλινδρο, που περιστρέφεται οριζόντια και περιέχει σφαίρες συνήθως μεταλλικές για τη θραύση του προς άλεση υλικού. Η περιστροφή μεταφέρει τις σφαίρες και τους κόκκους μέσα στο σφαιρόμυλο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.3. Καθώς οι σφαίρες κατρακυλούν, συναντούν τους κόκκους και προκαλείται θραύση. ΣΧΗΜΑ 7.3. Περιστροφή σφαιρών και κόκκων σε σφαιρόμυλο. Οι βασικοί τρόποι θραύσης είναι η θραύση με συμπίεση (σύνθλιψη) των κόκκων μεταξύ δύο σφαιρών, η θραύση με κύλιση, που στρογγυλοποιεί τους κόκκους, και η θραύση με τριβή. Όπως ο χημικός αντιδραστήρας, έτσι και ο σφαιρόμυλος μπορεί να θεωρηθεί σαν ένας αντιδραστήρας όπου τα αντιδρώντα είναι κόκκοι ορισμένου μεγέθους και τα προϊόντα κόκκοι

Άσκηση 7. Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο 3 μικρότερου μεγέθους. Έτσι, αν γνωρίζουμε το ρυθμό θραύσης κάθε μεγέθους και τα προϊόντα θραύσης που παράγει το μέγεθος αυτό όταν θραύεται, μπορούμε να υπολογίσουμε την κοκκομετρική σύσταση που θα υπάρχει στο σφαιρόμυλο σε κάθε χρονική στιγμή. Σαν μέγεθος εννοούμε ένα στενό κλάσμα κόκκων που προκύπτει με κοσκίνιση και περιέχεται μεταξύ δύο συνεχόμενων κόσκινων. Το κλάσμα αυτό των κόκκων το ονομάζουμε περιοχή i και περιέχει κόκκους διαμέτρου μεταξύ του ανοίγματος (βροχίδων) xi του επάνω κόσκινου και του ανοίγματος οπών xi+ του αμέσως κάτω απ' αυτό κόσκινου. Συνήθως χρησιμοποιούμε τέτοια σειρά κόσκινων, ώστε να ισχύει η σχέση: X X 2 X = =K= i =K= 2 X2 X 3 X i + Έτσι στο Σχήμα 7.4 έχουμε τη θραύση υλικού στην περιοχή ή κλάσμα i =, που δίνει προϊόντα στις περιοχές ή κλάσματα i = 2, 3, 4,... n. Στο Σχήμα 7.5, έχουμε την ταυτόχρονη θραύση όλων των κλασμάτων i =, 2, 3 και 4 και τα προϊόντα τους σε κλάσματα μικρότερων κόκκων. ΣΧΗΜΑ 7.4. Θραύση υλικού περιοχής i σε περιοχές 2, 3,4, 5, 6, 7 και 8. ΣΧΗΜΑ 7.5. Ταυτόχρονη θραύση κόκκων από περιοχές i =, 2, 3 και 4 σε κλάσματα μικρότερων περιοχών

Άσκηση 7. Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο 4 Η κινητική θεωρία της άλεσης, αναπτύχθηκε κυρίως μετά το 960 και χρησιμοποιεί δύο βασικές παραμέτρους: το ρυθμό θραύσης κλάσματος ή περιοχής i, που συμβολίζεται με S i, και τη συνάρτηση κατανομής Β ij, που περιγράφει πώς κατανέμονται τα προϊόντα άλεσης κατά τη θραύση ενός κλάσματος i σε μικρότερα κλάσματα j. Σκοπός της άσκησης είναι η μελέτη της S i. Αν σε κλειστό σφαιρόμυλο πλήρους ανάμιξης θέσουμε ένα κλάσμα κόκκων ή περιοχή i = και περιστρέψουμε το σφαιρόμυλο για χρονικό διάστημα t, τότε είναι δυνατόν να υπολογίσουμε το ρυθμό θραύσης της περιοχής. Αν Μ p είναι η μάζα των κόκκων και w (t) είναι το κλάσμα των κόκκων της περιοχής τότε προφανώς έχουμε: W (0) = W 0) = W (0) = K = W (0) και 2( 3 n < W ( t), W2( t), W ( t) K Wn( t) < 0 3 διότι σε χρόνο 0 έχουμε μόνο κόκκους της περιοχής, ενώ σε χρόνο t, λόγω άλεσης, το κλάσμα της περιοχής έγινε μικρότερο ενώ αυξήθηκαν τα κλάσματα στις περιοχές 2, 3, 4... n. 0 ρυθμός θραύσης S, των κόκκων της περιοχής, ορίζεται από τη σχέση: r = S w (7.) Η θραύση των κόκκων επιτυγχάνεται με θραύση του χημικού δεσμού με μηχανικό τρόπο. Κάτι ανάλογο συμβαίνει στις χημικές αντιδράσεις, όπου η θραύση του χημικού δεσμού επιτυγχάνεται με πίεση, θερμοκρασία και καταλύτες. Έτσι, σε μια μονόδρομη χημική αντίδραση πρώτης τάξης, όπως π.χ. κατά τη θερμική πυρόλυση μεγαλομορίων υδρογονανθράκων, όπου λαμβάνουμε προϊόντα μικρότερου μοριακού βάρους, όπως π.χ. υδρογόνο, μεθάνιο, αιθάνιο κλπ. Α Β + Γ + Δ +... ο ρυθμός χημικής αντίδρασης δίδεται από τη σχέση, r = k [A] (7.2) όπου k η σταθερά του Arrhenius, και [Α] η συγκέντρωση του Α. Η αναλογία των εξισώσεων 7. και 7.2 είναι προφανής. Για να υπολογίσουμε το S θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί και το ισοζύγιο μάζας εντός του σφαιρόμυλου. Έτσι για εσώκλειστο σφαιρόμυλο (Σχήμα 7.), υποθέτοντας δοχείο πλήρους ανάμιξης έχουμε: dw = r (7.3) dt Από τις εξισώσεις (7.) και (7.3) παίρνουμε τη διαφορική εξίσωση: dw = Sw (7.4) dt

Άσκηση 7. Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο 5 Ολοκλήρωση της (7.4), θεωρώντας το S ανεξάρτητο του χρόνου, δίνει: w (t ) = St w (0) (7.5) w (t ) = w (0)e St (7.6) ln ή Συνήθως το S είναι ανεξάρτητο του χρόνου άλεσης, όπως δηλαδή στις χημικές μονόδρομες αντιδράσεις πρώτης τάξης. Στην περίπτωση αυτή, αν θέσουμε τα σημεία w(t)/w(0) και t σε ημιλογαριθμικό διάγραμμα παίρνουμε ευθεία γραμμή, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.6. ΣΧΗΜΑ 7.6. Ρυθμός θραύσης κόκκων που ανήκουν στην περιοχή i =. Ο υπολογισμός του S μπορεί να γίνει είτε αναλυτικά είτε γραφικά. 7.. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ S Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, η S δίνεται από τη σχέση:

Άσκηση 7. Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο 6 w( t) w( t2) w( t3) ln( K) w(0) w(0) w(0) S = (7.6) ( t + t + t + K) 2 3 όπου t, t 2, t 3, οι χρόνοι άλεσης και w (t )/w (0), w (t 2 )/w (0), w (t 3 )/w (0), τα αντίστοιχα κλάσματα άθραυστου υλικού περιοχής μέσα στο μύλο, που ελήφθησαν από πειραματικές μετρήσεις. 7..2 ΓΡΑΦΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ S Χρησιμοποιώντας την εξίσ. (7.5) για ένα σημείο Α επί της στατιστικά καλύτερης ευθείας που περνάει από τα πειραματικά σημεία (Σχήμα 7.6) παίρνουμε: w( t) ln 2 (0) w ln[ 0 ] S = = = 0,28 min (7.6α) t 36 Οι δυο μέθοδοι δίνουν συγκρίσιμα αποτελέσματα για την S με την προϋπόθεση ότι σημεία με μεγάλο πειραματικό σφάλμα δεν θα χρησιμοποιηθούν. Λόγω σφάλματος κοσκίνων (4 έως 6%), η αρχική τιμή w (0) δεν είναι αλλά μικρότερη (0,94 έως 0,96) και μπορεί να βρεθεί πριν αρχίσει η άλεση με κοσκίνιση του αρχικού υλικού. Αν τα πειραματικά σημεία δεν δίνουν ευθεία γραμμή, όπως στις περιπτώσεις Β και Γ (Σχήμα 7.6), τότε λέμε ότι το S δεν είναι ανεξάρτητο του χρόνου και συνεπώς η εξίσωση (7.5) δεν ισχύει. Στην περίπτωση άλεσης πρώτης τάξης, έχει βρεθεί ότι ισχύει η σχέση: S K 4.U 2,8e + e = 5 + 0 J 0.8 U (7.7) όπου k = σταθερά, χρόνος -, J ο λόγος του όγκου κλίνης σφαιρών προς τον όγκο του μύλου, f c o λόγος του όγκου της κλίνης των κόκκων προς τον όγκο του μύλου, και U ο λόγος του όγκου της κλίνης των κόκκων προς τον όγκο των διακένων της κλίνης των σφαιρών. Η μεταβολή της S f c /K ως προς f c μπορεί εύκολα να υπολογιστεί από την εξίσωση (7.7) και απεικονίζεται στο Σχήμα 7.7. Υποθέτοντας ότι το πορώδες της κλίνης σφαιρών είναι ίσο με το πορώδες της κλίνης των κόκκων και ίσο με ε = 0,4 είναι εύκολο να δειχθεί ότι: Ms νs d J = = 0,6ρs V 0.9 L D Mp fc = 0, 6ρ V fc U = 0.4J p 3 2 Έτσι, όταν τα S, U και J είναι γνωστά, είναι δυνατόν να υπολογίσουμε τη σταθερά k από την εξίσωση (7.7). Γνωρίζοντας στη συνέχεια τη σταθερά k, μπορούμε να υπολογίσουμε το S για οποιαδήποτε τιμή των U και J από την εξίσωση (7.7).

Άσκηση 7. Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο 7 ΣΧΗΜΑ 7.7. Μεταβολή της S f c /K σαν συνάρτηση της f c με παράμετρο το J (ή το U). Το φ c ορίζεται από τη σχέση: N ϕ c = (7.5) N c όπου N c = 423 D d (7.6) όπου D η εσωτερική διάμετρος του μύλου [cm] και d η διάμετρος σφαίρας [cm]. To N c είναι η θεωρητική κρίσιμη συχνότητα περιστροφής, που πρέπει να έχει ο μύλος ώστε να μη προσκολλούνται οι σφαίρες στα εσωτερικά τοιχώματα του δοχείου. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση (7.6) εύκολα αποδεικνύεται εξισορροπώντας τις δυνάμεις βαρύτητας και φυγοκέντρου που ασκούνται πάνω σε μια σφαίρα προσκολλημένη στο εσωτερικό τοίχωμα στο επάνω μέρος του μύλου. Πέραν της συχνότητας αυτής, οι σφαίρες θα αρχίσουν να προσκολλούνται στην εσωτερική επιφάνεια του μύλου χωρίς να πέφτουν. Στην πράξη, όπου υπάρχει κλίνη σφαιρών εντός του σφαιρόμυλου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 7.3, η πραγματική κρίσιμη συχνότητα N k, είναι μεγαλύτερη της θεωρητικής Ν c. Όταν ο σφαιρόμυλος έχει συχνότητα Ν > Ν k, τότε δεν υπάρχει θραύση λόγω μη αλληλοεπίδρασης σφαιρών και υλικού, ενώ όταν Ν < Ν k τότε υπάρχει άλεση. Τα Ν και N Κ υπολογίζονται από μετρήσεις της συχνότητας περιστροφής των κυλίνδρων Ν " και Ν 2 " επί των οποίων περιστρέφεται ο μύλος, όπως φαίνεται στον Πίνακα 7.. 7.2. Μετρήσεις - Αποτελέσματα Ορισμένη ποσότητα υλικού γνωστού κοκκομετρικού κλάσματος τίθεται στο δοχείο του σφαιρόμυλου με ορισμένο αριθμό σφαιρών. Σφραγίζεται το δοχείο και τοποθετείται στη συσκευή περιστροφής. Ύστερα από παρέλευση γνωστού χρόνου άλεσης διακόπτεται η λειτουργία της συσκευής και αναλύεται κοκκομετρικά το υλικό που έχει αλεστεί.

Άσκηση 7. Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο 8 Ημερομηνία = Ονόματα ομάδας = Πίνακας 7.2. Αποτελέσματα μετρήσεων σφαιρομύλων ΚΟΚΚΟΙ ΣΦΑΙΡΕΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ, g/cm 3 ρ ρ = ρ s = ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΜΑΖΑ, g Μ ρ = Μ s = ΔΙΑΜΕΤΡΟΣ = x 2 < x < x = d = cm ΥΛΙΚΟ ΠΛΗΘΟΣ - V s = t, minutes w (t) M p, g w ( t). M w (0). M 0 p p * w ( t) * Όχι υπερβολική άλεση, θα πρέπει w (0) > 0 Τα αποτελέσματα των μετρήσεων τοποθετούνται στον ΠΙΝΑΚΑ 7.2, του οποίου ένα αντίγραφο παραδίδεται στον επιβλέποντα της άσκησης, αμέσως μετά το τέλος των μετρήσεων. Αντίγραφα του πίνακα θα κρατήσουν και οι ασκούμενοι, τα οποία τελικά θα παραδώσουν μαζί με τις εκθέσεις εργασίας τους. Με βάση τα αποτελέσματα των μετρήσεων να γίνουν οι ακόλουθοι υπολογισμοί: α) Σε ημιλογαριθμικό διάγραμμα να τεθούν τα σημεία w (t)/w (0) ως προς t και σε περίπτωση ευθείας γραμμής να υπολογιστεί ο ρυθμός διάτμησης S. β) Σε περίπτωση που υπολογίζεται ο ρυθμός διάτμησης S, να υπολογιστεί η σταθερά k από την εξίσωση (7.χ7) και να υπολογιστούν τα: V, φ c, f c, J, U και S f c /K.

Άσκηση 7. Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο 9 γ) Να τεθεί το σημείο που αντιστοιχεί στα δεδομένα της άσκησης σε φωτοτυπικό του Σχήματος 7.7. δ) Να συγκριθεί η θεωρητική κρίσιμη συχνότητα περιστροφής Ν c από την εξίσωση 7.χ6, με την πραγματική κρίσιμη συχνότητα, ΠΙΝΑΚΑΣ Ν k. 7.3 Σύμβολα Ελληνικό Αλφάβητο ε Μ p Μ s ν s ρ Ρ ρ S φ 0 Πορώδες κλίνης κόκκων ή σφαιρών Συνολική μάζα κόκκων Συνολική μάζα σφαιρών Συνολικός αριθμός σφαιρών Πυκνότητα ενός κόκκου Πυκνότητα μιας σφαίρας =N/Ν 0 Κλάσμα κρίσιμης συχνότητας περιστροφής του σφαιρόμυλου Αγγλικό Αλφάβητο d Μέση διάμετρος σφαίρας D Εσωτερική διάμετρος σφαιρόμυλου F 0 Όγκος κλίνης κόκκων/ Όγκος σφαρόμυλου J Όγκος κλίνης σφαιρών/ Όγκος σφαιρόμυλου k Σταθερά εξίσωσης L Μήκος σφαιρόμυλου Ν Συχνότητα περιστροφής σφαιρόμυλου N c Θεωρητική κρίσιμη συχνότητα περιστροφή του σφαιρόμυλου Ν Πραγματική κρίσιμη συχνότητα περιστροφής του σφαιρόμυλου S Ρυθμός θραύσης κόκκων t Χρόνος άλεσης κόκκων U Όγκος κλίνης κόκκων/όγκος διακένων κλίνης σφαιρών V Όγκος σφαιρόμυλου = LπD 2 /4 w (t) Κλάσμα του μεγαλύτερου μεγέθους κόκκων μέσα στο σφαιρόμυλο σε χρόνο t. 7.4 Βιβλιογραφία Austin L.G., Klimpel R.R. and Luckie P.T., 984, Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling, SME- AIME, New York. Perry R.H. and Chilton C.H. (Eds.), 973, Chemical Engineers' Handbook, 5 th Ed., McGraw-Hill, New York. Shoji K., Austin L.G., Smaila F., Brame K. and Luckie P.T., 982, Further studies of ball and powder filling effects in ball milling, Powder Technology 3, 2-26. Shoji K., Lohrasb S. and Austin L.G., 980, The variation of breakage parameters with ball and powder loading in dry ball milling, Powder Technology, 25, 09-4.

Άσκηση 7. Κινητική Θραύσης Σωματιδίων σε Σφαιρόμυλο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ. Ημιλογαριθμικό διάγραμμα για την εύρεση ρυθμού διάτμησης. 0