1. ROSIN-RAMMLERRAMMLER

Transcript

1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΤΕΜΑΧΙΩΝ. OSIN-AMMLEAMMLE 2. GATES-GAUDIN-SCHUHMANN Τσακαλάκης Κώστας, Καθηγητής Ε.Μ.Π.-2008

2 Κατανομή osi mmler - - k 00 = e ή = 00 k e 00 % e k = αθροιστικό παραμένον σε κόσκινο ανοίγματος και το ή 00%, δηλαδή το εκφράζεται είτε υπό μορφή κλάσματος, είτε σε μορφή ποσοστού %. Είναι προφανές ότι η παραπάνω συνάρτηση, όταν πολλαπλασιάζεται με 00, εκφράζει το αθροιστικό ποσοστό % του παραμένοντος βάρους. Η μαθηματική της επεξεργασία στη μορφή αυτή προσαρμόζεται αναλόγως. e k 2

3 e l l e Κατανομή osi mmler Έστω e l l e Επίσης, αν e e 0. e Διαιρώντας κατά μέλη: l l

4 Κατανομή osi mmler Αν e k ώστε να είναι: l l e k k l e k και επειδή l

5 Κατανομή Κατανομή osi osi mmler mmler k k e l l l τότε: 5 k k Άρα Από την οποία ξαναλογαριθμίζοντας: Τσακαλάκης Κώστας, Καθηγητής Ε.Μ.Π.-2008

6 Κατανομή Κατανομή osi osi mmler mmler k k Αν τεθεί : Y X και

7 Κατανομή osi mmler και C k τότε η παραπάνω εξίσωση γίνεται: Y X C εξίσωση γραμμικής μορφής σε ειδικό λογαριθμικό χαρτί με άξονες και 7

8 Κατανομή osi mmler Στο συγκεκριμένο λογαριθμικό χαρτί, η εξίσωση παριστάνεται ως ευθεία γραμμή με κλίση συντελεστής κατεύθυνσης ή συντελεστής ευθείας 8

9 Κατανομή osi mmler Σημείωση πολύ σημαντικό!!! Αν, στην αρχική έκφραση της συνάρτησης osi-mmler, το αντικατασταθεί με την τιμή k = k, τότε προκύπτει: e e Ενώ, αν το εκφράζεται ως αθροιστικό ποσοστό % παραμένοντος βάρους, τότε: % e Δηλαδή το k,, το οποίο ονομάζεται συντελεστής μεγέθους της κατανομής, αφορά σε εκείνο το μέγεθος βροχίδας κοσκίνου στο οποίο παραμένει το 36.79% του υλικού είναι η τετμημένη της τομής της ευθείας της κατανομής με το = 36.79%, όπως δείχνεται στην προηγούμενη διαφάνεια. 9

10 Κατανομή osi mmler Η τιμή του κλίση της ευθείας ονομάζεται συντελεστής ομοιομορφίας της κατανομής, αντιστοιχεί στην εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον οριζόντιο άξονα, δηλαδή = εφ α διπλανό σχήμα και περιγράφει την ομοιομορφία του υλικού. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία α. Οπότε, επειδή η ευθεία πράσινη γραμμή, στην περίπτωση αυτή, προσεγγίζει περισσότερο την κατακόρυφη, το υλικό το οποίο περιγράφεται από τα μεγέθη των τεμαχίων του χαρακτηρίζεται ως περισσότερο ομοιόμορφο. Αυτό σημαίνει ότι τα όρια μεταβολής του μεγέθους των τεμαχίων είναι στενότερα για γωνία α, διπλανό σχήμα. Δηλαδή, το υλικό στην περίπτωση αυτή είναι πιο ομοιόμορφο από πλευράς μεγεθών τεμαχίων που περιέχει. 0

11 Κατανομή osi mmler Η γραφική παράσταση της ευθείας στο διάγραμμα γίνεται με ζεύγη σημείων %, μέγεθος τεμαχίων, ανάμεσα από τα οποία διέρχεται η ευθεία που περιγράφει την κατανομή. Η ευθεία χαράσσεται προσεγγιστικά. Όμως, ο ορθότερος τρόπος είναι η χάραξή της με τη βοήθεια της μαθηματικής μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων lest squres method & Lier regressio, βλ. διπλανό σχήμα, η οποία προσδιορίζει τη βέλτιστη ευθεία που διέρχεται μεταξύ των σημείων.

12 Κατανομή osi mmler Η παρακάτω εξίσωση δίνει το συντελεστή συσχέτισης r, δηλαδή περιγράφει την ποιότητα της κατανομής των σημείων γύρω από την ευθεία, ή την ποιότητα προσέγγισης της ευθείας στα πειραματικά δεδομένα. Η τιμή του συντελεστή συσχέτισης καθορίζει την ικανότητα της χρησιμοποιούμενης συνάρτησης - ή G-G-S να περιγράψει την κατανομή μεγέθους των θραυσμένων τεμαχίων. Συνήθως το r παίρνει τιμές μεταξύ 0 και. Όσο πλησιέστερα στη μονάδα βρίσκεται, τόσο καλύτερη είναι. Αν r = τέλεια συσχέτιση perfect correltio, σχεδόν όλα τα σημεία βρίσκονται πάνω στην ευθεία r = 0 καμμιά συσχέτιση o correltio, δηλαδή τα σημεία εμφανίζονται κατανεμημένα ως ένα «νέφος» γύρω από την ευθεία και απέχουν σημαντικά από αυτή. 2

13 Αθροιστικό Αθροιστικό διερχόμενο διερχόμενο βάρος βάρος , %, % Διερχόμενο Διερχόμενο από από κόσκινο κόσκινο, mm mm Κοκκομετρικό Κοκκομετρικό κλάσμα, κλάσμα, mm mm Βάρος, % Βάρος, % Αθροιστικό Αθροιστικό παραμένον βάρος παραμένον βάρος, % Μέγεθος Μέγεθος βροχίδα βροχίδα κοσκίνου κοσκίνου, mm mm.2 /80 00 / 00 e k e Κατανομή Κατανομή osi osi-mmler mmler ΣΥΝΟΛΟ ΣΥΝΟΛΟ

14 ΚΑΤΑΝΟΜΗ GATES-GAUDIN- SCHUHMANN Η γενική μορφή της εξίσωσης της κατανομής είναι: όταν το εκφράζεται υπό μορφή κλάσματος ή όταν το εκφράζεται υπό μορφή ποσοστού % 00 και αφορά στο % αθροιστικό ποσοστό διερχόμενου απο βροχίδα κοσκίνου ανοίγματος. k m k m 4

15 ΚΑΤΑΝΟΜΗ GATES-GAUDIN- SCHUHMANN Παίρνοντας τους λογαρίθμους της εξίσωσης προκύπτει: k m m m k Αν τεθούν: Y X C m k τότε: Y, m X C η οποία είναι 5

16 εξίσωση ευθείας γραμμής σε λογαριθμικό διάγραμμα με άξονες: Από όσα αναφέρθηκαν παραπάνω και αφορούσαν στην κατανομή ή συνάρτηση osi-mmler προκύπτει ότι, στην περίπτωση της κατανομής G-G-S το k είναι πάλι ο συντελεστής μεγέθους της κατανομής και το m είναι ο συντελεστής ομοιομορφίας. Το k με αντικατάσταση στην εξίσωση = k αντιστοιχεί σε αθροιστικό διερχόμενο = ή 00% αν εκφράζεται ως %. ΚΑΤΑΝΟΜΗ GATES-GAUDIN-SCHUHMANN 6

17 ΚΑΤΑΝΟΜΗ GATES-GAUDIN-SCHUHMANN... Αυτό σημαίνει ότι το k είναι το μέγιστο μέγεθος τεμαχίων του υλικού ή k είναι το ελάχιστο άνοιγμα βροχίδας πλέγματος του κοσκίνου από το οποίο διέρχεται περνάει το 00 % του υλικού. Το m συντελεστής ομοιομορφίας πάλι δίνει την εφαπτομένη της γωνίας, που σχηματίζεται από την ευθεία της κατανομής και τον οριζόντιο άξονα m = εφ. Για την ομοιομορφία του υλικού, στην περίπτωση αυτή, ισχύουν τα ίδια όπως για την κατανομή osi-mmler προηγούμενη διαφάνεια. Η γραφική παράσταση στο λογαριθμικό χαρτί γίνεται πάλι με τον ίδιο τρόπο, αλλά χρησιμοποιώντας ως δεδομένα τα ζεύγη σημείων %, μέγεθος τεμαχίων. 7

18 Κατανομή Gtes-Gudi-Schuhm G-G-S = αθροιστικό διερχόμενο από κόσκινο ανοίγματος,, % m k Μέγεθος βροχίδα κοσκίνου, mm Αθροιστικό διερχόμενο βάρος,, % Βάρος, % Κοκκομετρικό κλάσμα, mm Παραμένον σε κόσκινο, mm Αθροιστικό παραμένον βάρος 00-, % ΣΥΝΟΛΟ

19 ΠΟΛΥ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ!!! Οποιαδήποτε εξίσωση κατανομής, osi-mmlermmler ή Gtes- Gudi-Schuhm και αν χρησιμοποηθεί ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις, δηλαδή: Αθροιστικό παραμένον + Αθροιστικό διερχόμενο= ή 00% 00 % Οι παραπάνω εκφράσεις εξαρτώνται από το αν τα, εκφράζονται υπό μορφή κλάσματος ή ποσοστού % 9

20 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ Τσακαλάκης Κώστας, Καθηγητής Ε.Μ.Π

21 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... Η μεθοδολογία του χωρισμού κατανομών σε δύο τμήματα μπορεί να εφαρμοστεί είτε σε κατανομές osi-mmler -, είτε σε κατανομές Gtes- Gudi-Schuhm G-G-S, είτε ακόμη σε γνωστά αριθμητικά δεδομένα διερχόμενου και παραμένοντος που αναφέρονται στην αρχική ολική κατανομή μεγέθους τεμαχίων ενός υλικού. Λέγοντας «χωρισμό κατανομών σε δύο τμήματα», εννούμε τη μαθηματική έκφραση ή περιγραφή των δύο προϊόντων παραμένον και διερχόμενο, που προκύπτουν μετά την τέλεια ταξινόμηση απόδοση κοσκίνισης Ε = ή 00 % σε ένα τυχαίο κόσκινο ανοίγματος α Σχήμα κοσκίνισης. Η μεθοδολογία του χωρισμού κατανομών σε δύο τμήματα δίνει, για τα δύο προϊόντα που προκύπτουν διερχόμενο ή πέρασμα και παραμένον, το αθροιστικό παραμένον και το αθροιστικό διερχόμενό τους ως συνάρτηση των αρχικών κατανομών που ίσχυαν για το υλικό. Δεν είναι τίποτε άλλο παρά αναγωγή ως ποσοστό % ή ως κλάσμα των βαρών των νέων προϊόντων, δηλαδή συνάρτηση των αρχικών κατανομών του υλικού. 2

22 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... Τσακαλάκης Κώστας, Καθηγητής Ε.Μ.Π

23 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... α Αθροιστικό διερχόμενο του διερχόμενου, όπου α είναι το άνοιγμα του κοσκίνου στο οποίο κοσκινίζεται το υλικό με απόδοση κοσκίνισης Ε = 00% k k=00 % ή Wo α α α α= 00% ή Wα W Για α 23

24 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... Η μάζα του υλικού με μεγέθη τεμαχίων α είναι W και αν, α είναι κλάσματα αθροιστικού διερχόμενου [, α ] τότε: W W W o W o 2 και επίσης Από τις και 2, διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει: W 00 W 00 % Οπότε, λόγω του δεύτερου σχήματος, αν το δίνεται ως ποσοστό %: 24

25 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... Επειδή όμως: Επειδή όμως: Αθροιστικό παραμένον: Αθροιστικό παραμένον: 3 % 00 ' % 00 ' ' 4 ' ή 25 Αθροιστικό παραμένον: Αθροιστικό παραμένον: Οπότε τελικά Οπότε τελικά προκύπτει: προκύπτει: 00 ' ' ' Τα, και α στην εξ. 5 ποσοστά, ενώ στην εξίσωση 6 κλάσματα

26 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... Η παραπάνω εξίσωση 5 αντιστοιχεί στο διπλανό σχήμα. Οι εξισώσεις 3, 4 εκφράζουν το αθροιστικό διερχόμενο του διερχόμενου υλικού, ενώ οι εξισώσεις 5 και 6 το αθροιστικό παραμένον του διερχόμενου, υπό μορφή ποσοστού % και κλάσματος, αντίστοιχα. Αθροιστικό παραμένον του διερχόμενου α α= 0% για α 26

27 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... Για το παραμένον της αρχικής α k k = 00% ή k k = 00 % ή Wo Wα W για α α α α α = 0% 0 Αν, α είναι κλάσματα αθροιστικού διερχόμενου, α, τότε στην περίπτωση αυτή ισχύουν τα εξής: H μάζα υλικού με μέγεθος τεμαχίων α παραμένον αρχικής είναι W Όμως W 7 W o και επίσης W W o W o 8 27

28 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... ΤΜΗΜΑΤΑ... Διαιρώντας κατά μέλη τις εξισώσεις 7 και 8 προκύπτει: W W και τελικώς, λόγω του δεύτερου σχήματος: 28 9 '' Από την 9: 0 '' '' ή αν θέλουμε το ως ποσοστό %: % 00 '' Τα, α στις 0 και ως κλάσματα ή ποσοστά

29 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... α Όμως αν τα, και α εκφραστούν ως ποσοστά %, τότε λόγω της 7 ισχύει: '' α = 00% Από την οποία προκύπτει: '' 00 2 Οι εξισώσεις 9 και 2 εκφράζουν το αθροιστικό διερχόμενο του παραμένοντος υπό μορφή κλάσματος και ποσοστού %, ενώ οι εξισώσεις 0 και το αθροιστικό παραμένον του παραμένοντος υλικού υπό μορφή κλάσματος και ποσοστού %, αντίστοιχα

30 ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... ΧΩΡΙΣΜΟΣ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΣΕ ΔΥΟ ΤΜΗΜΑΤΑ... Τελικά, οι εξισώσεις που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των σχετικών προβλημάτων είναι οι παρακάτω: ' 00 % 00 ' Α Αθροιστικό διερχόμενο και παραμένον του διερχομένου πέρασμα ή '' '' '' '' % '' Β Αθροιστικό διερχόμενο και παραμένον του παραμένοντος ή ή ή