ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Καθηγητής Δ. Ματαράς

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής Δ. Ματαράς

image url 4. Βασικές εξισώσεις της ροής των ρευστών

image url image url image url Claude-Louis Navier (1785 1836) Sir George Gabriel Stokes (1819 1903) Daniel Bernoulli (1700 178)

Βασικές εξισώσεις A. Ισοζύγιο Μάζας (Εξίσωση Συνέχειας) B. Διαφορικό Ισοζύγιο Ορμής (Εξισώσεις Κίνησης) Εξισώσεις Navier-Stokes Εξίσωση Euler Εξίσωση Γωνιακής Ορμής C. Ισοζύγιο Μηχανικής Ενέργειας (Εξίσωση Bernoulli)

A. Ισοζύγιο Μάζας (Εξίσωση Συνέχειας) Ρυθμός Ροής Εισερχόμενης Μάζας Ρυθμός Ροής Εξερχόμενης Μάζας = z Ρυθμός Συσσώρευσης Μάζας (x+δx, y+δy, z+δz) y (ρu) x (ρu) x+δx Δz Δy (x,y,z) Δx Πυκνότητα Ροής (Flux): Ο ρυθμός ροής μιας ποσότητας ανά μονάδα επιφάνειας Kg ρ u m s x

Ισοζύγιο Μάζας (Εξίσωση Συνέχειας) z (x+δx, y+δy, z+δz) y (ρu) x (ρu) x+δx Δz Δy (x,y,z) Δx ρ u x ρ u x+δx Δy Δz + ρ v y ρ v y+δy Δx Δz + ρ w z ρ w z+δz Δx Δy = Δx Δy Δz ρ t x Ρυθμός συσσώρευσης στον στοιχειώδη όγκο Δx Δy Δz (4.1)

Ισοζύγιο Μάζας (Εξίσωση Συνέχειας) Διαιρώντας με Δx Δy Δz ρ u x ρ u x+δx Δx + ρ v y ρ v y+δy Δy + ρ w z ρ w z+δz Δz = ρ t (4.) Και όταν Δx Δy Δz τείνουν στο μηδέν προκύπτει η εξίσωση συνέχειας: ρ t = ρu x ρv + y ρw + z = ρv (4.3) Όπου ρv η απόκλιση του διανύσματος της μαζικής ταχύτητας ρv. Με μερική παραγώγιση και αναδιάταξη των όρων προκύπτει: ρ t + u ρ x + v ρ y + w ρ z = ρ u x + v y + w z (4.4) Στη μόνιμη κατάσταση ρ t = 0

Ισοζύγιο Μάζας (Εξίσωση Συνέχειας) Η εξίσωση συνέχειας γράφεται και Dρ Dt = ρ u x + v y + w z = ρ V (4.5) Όπου Dρ Dt η παράγωγος που ακολουθεί την κίνηση ή ουσιαστική παράγωγος: ο ρυθμός μεταβολής της πυκνότητας που θα έβλεπε παρατηρητής που κινείται στη κατεύθυνση της ροής με την ταχύτητα του ρευστού. Για ρευστά σταθερής πυκνότητας (ασυμπίεστα) Dρ = 0 οπότε: Dt V = u x + v y + w = 0 (4.6) z

Μονοδιάστατη ροή Ροϊκή γραμμή (streamline): συνεχείς διαδρομές ρευστού τέτοιες ώστε το διάνυσμα της ταχύτητας να είναι εφαπτόμενο σε κάθε σημείο της διαδρομής τους. Η ροή κατά μήκος μιας ροϊκής γραμμής είναι μονοδιάστατη δηλ. για την ταχύτητα επαρκεί ένας και μόνο όρος. Ροϊκός αγωγός: αγωγός που περιβάλλεται πλήρως από ροϊκές γραμμές. Φανταστικός σωλήνας στη μάζα του ρευστού, η ολική ροή από τα τοιχώματα του οποίου είναι μηδέν. Η μαζική ροή: μέσω διαφορικής διεπιφάνειας διατομής ds του ροϊκού αγωγού θα είναι: dm = ρ u ds (4.9) Ο ολικός ρυθμός ροής: μέσω διατομής επιφάνειας S θα είναι: m = ρ S u ds όπου η πυκνότητα δεν μεταβάλλεται στη διατομή Η μέση ταχύτητα: μέσω της διατομής ορίζεται ως: V m ρ S = 1 S S u ds (4.10) (4.11)

Ογκομετρική ταχύτητα Η μέση ταχύτητα είναι ίση με το λόγο του ογκομετρικού ρυθμού ροής q προς την επιφάνεια διατομής του αγωγού S : V = q S m s Μπορεί να θεωρηθεί ως η πυκνότητα ροής του όγκου (volume flux). m 3 m 3 s (4.1) Μαζική ταχύτητα Η εξίσωση (4.11) μπορεί να γραφεί: V m ρ S V ρ = m S G kg m s (4.15) Η μαζική ταχύτητα είναι ανεξάρτητη της θερμοκρασίας και της πίεσης όταν η ροή είναι σταθεροποιημένη και η διατομή αμετάβλητη Μπορεί να θεωρηθεί ως η πυκνότητα ροής της μάζας (mass flux)

Ισοζύγιο Περιβλήματος Μαζικής Ροής Έστω αγωγός ή σύστημα αγωγών με διατομές S a στην είσοδο και S b στην έξοδο. Αντίστοιχα έχουμε V a και ρ a, V b και ρ b. Στη μόνιμη κατάσταση η εξίσωση συνέχειας για το περίβλημα γράφεται: m = ρ a V a S a = ρ b V b S b = ρ V S (4.13) Ή για τη συνήθη περίπτωση ροής σε αγωγούς κυκλικής διατομής: m = π 4 D a ρ a V a = π 4 D b ρ b V b από την οποία προκύπτει: ρ a V a ρ b V b = D b D a (4.14) όπου D a και D b οι αντίστοιχες διάμετροι του αγωγού.

Παράδειγμα 4.1 Αέριο υποπροϊόν οδηγείται σε αποτεφρωτή με ρυθμό 4000 kg/hr μαζί με 6000 kg/hr αέρα. Στο μίγμα προστίθενται επίσης 550 kg/hr Μεθάνιο προκειμένου να ενισχυθεί η καύση. Να προσδιορίσετε το μαζικό ρυθμό εξόδου των αερίων από τον αποτεφρωτή σε kg/hr. Υποθέστε λειτουργία σε μόνιμη κατάσταση. Υποθέτωντας ότι δεν υπάρχει παραγωγή ή συσσώρευση μάζας το ισοζύγιο μάζας γίνεται: Ρυθμός Ροής Εισερχόμενης Μάζας = Ρυθμός Ροής Εξερχόμενης Μάζας Επομένως: m in = m out = 4000 + 6000 + 550 = 10550 Kg/hr

Παράδειγμα 4. Νερό ρέει σε συγκλίνοντα αγωγό κυκλικής διατομής με εσωτερική διάμετρο εισόδου 14 cm και εσωτερική διάμετρο εξόδου 7 cm. Η ταχύτητα του ρευστού στην είσοδο είναι m/s. Να υπολογιστεί α) ο μαζικός και ο ογκομετρικός ρυθμός ροής στην είσοδο, β) η μαζική πυκνότητα ροής και η ταχύτητα στην έξοδο σε μόνιμη κατάσταση. α) Η επιφάνεια της διατομής εισόδου είναι: S in = π(0.14) 4 = 0.0154 m Ο ογκομετρικός ρυθμός ροής εισόδου: q in = S in V in = 0.0154 = 0.0308 m 3 /s Ο μαζικός ρυθμός ροής εισόδου: m in = ρ q in = 1000 0.0308 = 30.8 kg/s β) Η μαζική ταχύτητα (μαζική πυκνότητα ροής) στην έξοδο είναι: G out = m out S out = 30.8 0.00385 = 8003. Kg m s Και η μέση ταχύτητα στην έξοδο: V out = G out ρ = 8003. 1000 = 8 m/s Αλλιώς, επειδή q in = q out V out = V in S in S out = 14 7 = 8 m/s

Vout/Vin Παράδειγμα 4. % μεταβλητή διάμετρος εισόδου σταθερή ταχύτητα ro = 1000; % Kg/m^3 4 % ΕΙΣΟΔΟΣ d_in = 0.07:0.01:0.14; % m S_in = pi /4 * d_in.^; % m^ V_in = ; % m/s q_in = S_in * V_in; % m^3/s m_in = ro * q_in; % Kg/s % ΕΞΟΔΟΣ d_out = 0.07; % m S_out = pi /4 * d_out^; % m^ m_out = m_in; % Kg/s q_out = m_out / ro; % m^3/s V_out = q_out / S_out; % m/s 3.5 3.5 1.5 1 0.08 0.09 0.1 0.11 0.1 0.13 0.14 din plot(d_in, V_out/V_in); xlabel('din'); ylabel('vout/vin');

Παράδειγμα 4.3 Ένα εξάρτημα ροής έχει 4 ανοίγματα όπως στο σχήμα. Το ρευστό έχει σταθερή πυκνότητα ρ = 800 Kg/m 3. Να διευκρινίσετε την τιμή και την διεύθυνση της ταχύτητας και να υπολογίσετε το μαζικό ρυθμό ροής στο άνοιγμα 4. S=0.3 m V=7 m/s Ο ογκομετρικός ρυθμός σε κάθε άνοιγμα είναι: S=0. m V=5 m/s S=0.5 m V=1 m/s q 1 = V 1 S 1 = 5 0. = 1 m 3 /s q = V S = 7 0.3 =.1 m 3 /s q 3 = V 3 S 3 = 1 0.5 = 3 m 3 /s S=0.15 m V=? m/s Εφαρμόζουμε την εξίσωση συνέχειας υποθέτοντας μια διεύθυνση ροής για την έξοδο 4: q 1 + q = q 3 + q 4 q 4 = q 1 + q q 3 = 1 +.1 3 = 0.1 m 3 /s Ο μαζικός ρυθμός ροής στην έξοδο 4 θα είναι: m 4 = ρ q 4 = 800 0.1 = 80 Kg/s

Παράδειγμα 4.4 Μια δεξαμενή διαμέτρου 1.4 m και ύψους 1.9 m, περιέχει νερό η στάθμη του οποίου βρίσκεται στο 1.5 m από τον πυθμένα. Μια σωλήνα με διάμετρο 9 cm στο άνω μέρος της δεξαμενής παρέχει νερό συνεχώς με ταχύτητα 4 m/s ενώ ταυτόχρονα η δεξαμενή αδειάζει μέσω ενός σωλήνα διαμέτρου 4 cm που βρίσκεται κοντά στον πυθμένα με ταχύτητα 3 m/s. Να προσδιορίσετε αν η στάθμη του νερού ανεβαίνει ή πέφτει. Η συσσώρευση στη δεξαμενή υπολογίζεται: dm dt = m in m out και επειδή το ρευστό είναι ασυμπίεστο και V = S z dv dt = S dz dt = q in q out q in = πd in 4 V in = 0.785 0.09 4 = 0.055 m 3 /s και q out = 0.0038 m 3 /s Η επιφάνεια της δεξαμενής είναι: S=0.785 1.4 = 1.539 m Επομένως: dz = 0.055 0.0038 dt 1.539 = + 0.0141 m/s

Β. Διαφορικό Ισοζύγιο Ορμής Ρυθμός Εισερχόμενης Ορμής Ρυθμός Εξερχόμενης Ορμής + Άθροισμα Δυνάμεων που δρουν στο Σύστημα = Ρυθμός Συσσώρευσης Ορμής z (τ zx ) z+δz (x+δx, y+δy, z+δz) y (τ xx ) x (τ yx ) y+δy (τ xx ) x+δx (τ yx ) y (x,y,z) (τ zx ) z x

Διαφορικό Ισοζύγιο Ορμής Εξετάζουμε αρχικά μόνο τη συνιστώσα x κάθε όρου του ισοζυγίου. ΣΥΝΑΓΩΓΗ: ρυθμός εισόδου: ρuu x Δy Δz ρυθμός εξόδου : ρuu x+δx Δy Δz Συνολική ροή συναγωγής: Δy Δz ρuu x ρuu x+δx + Δx Δz ρuu y ρuu y+δy + Δx Δy ρuu z ρuu z+δz (4.17) ΜΟΡΙΑΚΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ: ρυθμός εισόδου: τ xx x Δy Δz ρυθμός εξόδου : τ xx x+δx Δy Δz Συνολική ροή: Δy Δz τ xx x τ xx x+δx + Δx Δz τ yx τ y yx y+δy + Δx Δy τ zx z τ zx z+δz (4.18)

Διαφορικό Ισοζύγιο Ορμής τ xx η κάθετη τάση στο επίπεδο x που σχετίζεται με το u στοιχείου x και τη διαστολή του τ yx η εφαπτομενική ή διατμητική τάση προς το x πάνω στο επίπεδο y και οφείλεται σε ιξώδεις δυνάμεις. Τέτοιες τάσεις προέρχονται από την παραμόρφωση του όγκου Οι δυνάμεις που δρουν στο σύστημα προέρχονται από την πίεση του ρευστού p και τη δύναμη της βαρύτητας ανά μονάδα μάζας g. Η συνισταμένη αυτών των δυνάμεων στην κατεύθυνση x είναι: Δy Δz p x p x+δx + ρ g x Δx Δy Δz (4.19) Ο ρυθμός συσσώρευσης της ορμής είναι Δx Δy Δz ρu x

Εξίσωση κίνησης Αντικαθιστούμε όλους τους όρους στο ισοζύγιο ορμής και διαιρούμε με Δx Δy Δz. Αν τα διαστήματα αυτά τείνουν στο μηδέν, η συνιστώσα x της εξίσωσης κίνησης είναι: t ρu = x ρuu + y ρvu + z ρwu τ x xx + τ y yx + τ z zx p x + ρg x (4.0) Αναδιατάσσουμε τους όρους με τη βοήθεια της εξίσωσης συνέχειας (4.3): ρ Du = p τ xx Dt x x + τ yx y + τ zx z + ρg x (4.1) Αν προσθέσουμε τους αντίστοιχους όρους για το y και το z προκύπτει: ρ DV Dt = p τ + ρg (4.)

Εξίσωσεις Navier-Stokes Για Νευτωνικά ρευστά σταθερής πυκνότητας και σταθερού ιξώδους οι εξισώσεις κίνησης είναι: ρ ρ u t v t + u u x + u v x + v u y + v v y + w u z + w v z = μ u + u + u x y z = μ v + v + v x y z ρ w w w w + u + v + w = μ w + w + w t x y z x y z Ή σε διανυσματική μορφή: p x + ρg x (4.9) p y + ρg y (4.30) p z + ρg z (4.31) ρ DV Dt = p μ V + ρg (4.3) Εξίσωση Euler: Για σταθερή πυκνότητα και μηδενικό ιξώδες (όπως στη δυναμική ροή) ρ DV Dt = p + ρg (4.40)

Μακροσκοπικό Ισοζύγιο Ορμής Το συνολικό ισοζύγιο ορμής για τον όγκο ελέγχου, υποθέτοντας σταθερή μονοδιάσταση ροή στην κατεύθυνση x: F = M b M a (4.46) M a M b (a) x direction (b) Ο ρυθμός ροής της ορμής Μ ενός ρεύματος με μαζικό ρυθμό ροής m και ταχύτητα u είναι Μ = mu. Αν όμως η ταχύτητα μεταβάλλεται από το ένα σημείο στο άλλο, η ολική ροή της ορμής είναι mv. dμ ds = ρu u = ρu (4.47) Η πυκνότητα ροής ορμής του ρεύματος ρευστού σταθερής πυκνότητας είναι: Μ S = ρ S S u ds (4.48)

Μακροσκοπικό Ισοζύγιο Ορμής Ο συντελεστής διόρθωσης της ορμής β ορίζεται ως: β Μ/S ρv (4.49) Χρησιμοποιόντας την (4.48) (4.49) προκύπτει: u β = 1 ds (4.50) S S V Επομένως για να βρουμε το β θα πρέπει να ξέρουμε τη μεταβολή της ταχύτητας μέσα στη διατομή. Η εξίσωση F = M b M a του ισοζυγίου δυνάμεων ξαναγράφεται ως εξής: F = m β b V b β a V a (4.51) Μια τυπική περίπτωση εφαρμογής του τύπου για μονοδιάστατη ροή στην κατεύθυνση x είναι η παρακάτω: F = p a S a p b S b + F w F g (4.5) F w συνολική δύναμη του τοιχώματος επί του ρευστού F g συνιστώσα της δύναμης της βαρύτητας (για ροή προς τα επάνω)

Παράδειγμα 4.5 Ενας κρουνός εκτοξεύει οριζόντιο πίδακα νερού κάθετα σε μια μεταλλική επιφάνεια. Ο ρυθμός ογκομετρικής ροής, q, είναι 0.5 ft 3 /s, η ταχύτητα του νερού, u, είναι 100 ft/s, και η πυκνότητα του νερού, ρ, είναι 6.4 lb/ft 3. Να υπολογιστεί η δύναμη που απαιτείται για να κρατηθεί η πλάκα στη θέση της. Από το ισοζύγιο ορμής στην οριζόντια διεύθυνση F = M out M in και M out = 0 u = 0.3048 100 = 30.48 m/s q = 8.31 10 3 0.5 = 0.014155 m 3 /s ρ = 16.01846 6.4 1000 Kg/m 3 M in = mu = ρqu = 1000 0.014155 30.48 = 431.45 N = 431.45 4.448 Ή αλλιώς, υπολογίζοντας κατευθείαν σε μονάδες FPS: M in = ρqu = 6.4 0.5 100 = 97 g c 3. Συνεπώς F = 0 97 = 97 lbf = 431.45 N Αν ο πίδακας βρίσκει την επιφάνεια με γωνία φ τότε F = F cos φ lbf = 97 lbf

Παράδειγμα 4.6 Οριζόντιος σωλήνας διαμέτρου 10 cm μεταφέρει κεκορεσμένο ατμό με ταχύτητα 40 m/s. Ο ατμός συμπαρασύρει νερό με ρυθμό 0.15 kg/s. Σε ένα σημείο ο σωλήνας έχει μια καμπή 90. Να υπολογιστεί η δύναμη που απαιτείται για τη συγκράτηση του εξαρτήματος της καμπής. Έχοντας ως όγκο ελέγχου το ρευστό στην καμπή το ισοζύγιο μάζας είναι:m 1 = m Όπως επίσης και v 1 = v Το ισοζύγιο ορμής στη διεύθυνση x είναι: F x = d dt m v out,x d dt m v in,x = 0 m v in,x = 0 0.15 40 = 63 N Το ισοζύγιο ορμής στη διεύθυνση y είναι: F y = M out,y M in,y = m v in,y 0 = 0.15 40 = 63 N Η συνισταμένη δύναμη επομένως είναι: F = F x + F y = 63 + 63 = 89.1 N

Παράδειγμα 4.7 Νερό (ρ = 6.4 lb/ft 3 ) ρέει σε σωλήνα διαμέτρου. Σε κάποιο σημείο του σωλήνα υπάρχει καμπή 90. Το στήριγμα της καμπής μπορεί να αντέξει δύναμη το πολύ 5 lbf στη διεύθυνση. Να υπολογιστεί ο μέγιστος ρυθμός ροής. Έχοντας ως όγκο ελέγχου το ρευστό στην καμπή το ισοζύγιο μάζας είναι: m 1 = m = m = ρ S v Και για σταθεροποιημένη ροή ασυμπίεστου ρευστού: q 1 = q = q = ρ v Καταστρώνουμε το ισοζύγιο ορμής στη x διεύθυνση: m v M out,x + F x = M in,x = = 0 5 = 5 g c Οπότε ρ S v = 5 v = 5g c g c ρ S = 5 3. 6.4 π 0.167 4 q = S υ = 0.019 10.8 = 0.38 ft 3 /s m = ρ q = 6.4(0.38) = 14.8 lb/s = 10.8 ft/s

C. Ισοζύγιο Μηχανικής Ενέργειας Ο ρυθμός αύξησης της κινητικής ενέργειας μονάδα μάζας Τον συνολικό ρυθμό εισροής κινητικής ενέργειας με συναγωγή Το ρυθμό έργου που επιτελεί η πίεση του περιβάλλοντος Το ρυθμό αντιστρεπτής μετατροπής σε εσωτερική ενέργεια Το ρυθμό έργου που επιτελούν οι ιξώδεις δυνάμεις Τη μη αντιστρεπτή μετατροπή σε εσωτερική ενέργεια Ενέργεια που παρέχεται από αντλία

Εξίσωση Μηχανικής Ενέργειας Αναφερόμαστε σε μονοδιάστατη ροή ρευστών με σταθερή πυκνότητα και μηδενικό ιξώδες. Η συνιστώσα x της εξίσωσης Euler (4.40) είναι: ρ u u u u + u + v + w t x y z = p x + ρg x (4.63) Για μονοδιάστατη ροή και πολλαπλασιάζοντας με την ταχύτητα: ρu u u p + u = u t x x + ρug x ή ρ u / t + u u / x = u p x + ρug x (4.64) Αυτή είναι η εξίσωση μηχανικής ενέργειας για χρονομεταβαλλόμενη μονοδιάστατη δυναμική ροή ασυμπίεστου ρευστού σε μια διεύθυνση

Εξίσωση Μηχανικής Ενέργειας Έστω ο ροϊκός σωλήνας της εικόνας σε συνθήκες σταθεροποιημένης ροής. Eικόνα 6 ρ u / + u u / t x = u p x + ρug x (4.64) g x = gcosφ και η ανύψωση σε οποιαδήποτε διατομή Z = Z a + x cosφ, dz = cosφ dx και άρα cosφ = dz/dx u d ρ u / dx + u dp dx + ρ u g cosφ = 0 (4.65)

Εξίσωση Bernoulli διαιρώντας με την ταχύτητα (για σταθεροποιημένη ροή) και την πυκνότητα και αντικαθιστώντας: το cosφ = dz/dx προκύπτει: d u / + 1 dp dz + g dx ρ dx dx = 0 (4.66) Που είναι η μορφή της εξίσωσης Bernoulli για ένα σημείο, αγνοώντας τις τριβές. Προσέξτε ότι όταν η διατομή και η πυκνότητα είναι σταθερές, η ταχύτητα δεν μεταβάλλεται με τη θέση και η εξίσωση γίνεται dp + g ρ dz = 0 (.). Δηλ. στη σταθεροποιημένη δυναμική ροή, με σταθερή ταχύτητα, σε ευθύγραμμο οριζόντιο αγωγό χωρίς τριβές δεν υπάρχει πτώση πίεσης. Ολοκληρώνοντας την (4.66) για το σύστημα της εικόνας προκύπτει: Ή στο FPS p a ρ + gz a + u a = p b ρ + gz b + u b (4.67) p a ρ + g Z a g c + u a = p b g c ρ + g Z b g c + u b g c

Όροι της Εξίσωσης Bernoulli Η Εξίσωση του Bernoulli μπορεί να γραφτεί: Δp ρ + gδz + Δu = 0 Μηχανικό Έργο Εξωτερικών Δυνάμεων Δυναμική Ενέργεια Κινητική Ενέργεια Ενέργεια Όλοι οι όροι είναι βαθμωτά μεγέθη με μονάδες μοναδα μαζας Όταν ένα από τα μεγέθη p, Z ή u μειώνεται πρέπει να αυξηθεί ένα από τα άλλα δυο ή και τα δύο ταυτόχρονα. Εκτός από ευθείς ροϊκούς αγωγούς η ισχύς της επεκτείνεται και σε καμπύλους Η ισχύς της επεκτείνεται και σε άλλες περιπτώσεις με τη βοήθεια διορθωτικών παραγόντων.

Παράδειγμα 4.8 Κυλινδρική δεξαμενή έχει διάμετρο 6 m και ύψος 14 m. Η δεξαμενή περιέχει 3 m νερό κάτω από 11 m ελαίου (γ = 0.89) μη αναμίξιμου με το νερό. Η δεξαμενή είναι ανοικτή στην ατμόσφαιρα. Να υπολογιστεί η πίεση στη διεπιφάνεια ελαίου/νερού, η πίεση και η δύναμη που ασκείται στον πυθμένα της δεξαμενής και η δύναμη που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής στο ύψος της διεπιφάνειας. Υποθέστε ότι η διεπιφάνεια νερού/ελαίου είναι στο επίπεδο του εδάφους. ρ oil = 0.89 1000 = 890 Kg m 3 p a ρ + gz a + u a = p b + gz ρ b + u b Εφαρμόζοντας τον Bernoulli για z 1 = 0 m, z = 11 m, z 3 = 14 m Στη διεπιφάνεια:p = ρ oil g z 1 z = 890 9.807 11 = 96 kpa = 0.95 atm Στον πυθμένα: P 3 = P + ρ g z z 3 = 96000 + 1000 9.807 3 = Η δύναμη στον πυθμένα: F = P 3 S = = 15 kpa = 1.4 atm 15000 + 10135 8.7 = 6407847 N

Παράδειγμα 4.8 Κυλινδρική δεξαμενή έχει διάμετρο 6 m και ύψος 14 m. Η δεξαμενή περιέχει 3 m νερό κάτω από 11 m ελαίου (γ = 0.89) μη αναμίξιμου με το νερό. Η δεξαμενή είναι ανοικτή στην ατμόσφαιρα. Να υπολογιστεί η πίεση στη διεπιφάνεια ελαίου/νερού, η πίεση και η δύναμη που ασκείται στον πυθμένα της δεξαμενής και η δύναμη που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής στο ύψος της διεπιφάνειας. Υποθέστε ότι η διεπιφάνεια νερού/ελαίου είναι στο επίπεδο του εδάφους. Η πίεση συναρτήσει του ύψους στο στρώμα του νερού είναι: P = P + ρ g z z = 96010 + 9807 11 z = 11867 9807z Η πίεση στα τοιχώματα θα είναι: F = df = PdS = π D Pdz = 11867 9807z dz z 3 z 3 F = 6π 11867 z z 3 9807 z z 3 Για z = 11 m, z 3 = 14 m προκύπτει: F = 6π 11867 3 4903.5 11 196 = 661097 Ν z z

Παράδειγμα 4.9 Ο πυροσβεστικός κρουνός της εικόνας εκτοξεύει νερό οριζόντια προς το έδαφος με ρυθμό 1.5 m 3 /min. Η διάμετρος εισόδου του ακροφυσίου είναι 10 cm και η διάμετρος εξόδου 3 cm. Να υπολογιστούν η ταχύτητα, η πίεση και η ορμή στη διεύθυνση x τόσο μέσα στον αγωγό όσο και στην έξοδο του ακροφυσίου. Επίσης να υπολογιστεί η δύναμη που απαιτείται για τη συγκράτηση του κρουνού και το καθεστώς ροής στον αγωγό. i) Οι ρυθμοί ροής στον Ο.Ε. θα είναι: q = q 1 = u 1 S 1 = 1.5 60 = 0.05 m3 /s m = ρ q = 1000 (0.05) = 5 kg/s ii) Οι ταχύτητες τότε είναι: u 1 = q S 1 = 0.05 π 0.1 /4 = 3.18 m/s, u = u 1 D 1 D = 35.33 m/s iii) Η ορμή στη διεύθυνση x υπολογίζεται: M 1,x = m 1 u 1 x = 5 3.18 = 79.5 N M,x = m u x = (5)(35.33) = 883.5 N

Παράδειγμα 4.9 Ο πυροσβεστικός κρουνός της εικόνας εκτοξεύει νερό οριζόντια προς το έδαφος με ρυθμό 1.5 m 3 /min. Η διάμετρος εισόδου του ακροφυσίου είναι 10 cm και η διάμετρος εξόδου 3 cm. Να υπολογιστούν η ταχύτητα, η ορμή στη διεύθυνση x και η πίεση, τόσο μέσα στον αγωγό όσο και στην έξοδο του ακροφυσίου. Επίσης να υπολογιστεί η δύναμη που απαιτείται για τη συγκράτηση του κρουνού και το καθεστώς ροής στον αγωγό. iv) Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli στα δύο σημεία με z 1 = z και P = 0: P 1 = ρ u u 1 = 1000(35.33 3.18 ) = 619000 Pa v) Υπολογίζουμε τη δύναμη εφαρμόζοντας το ισοζύγιο ορμής στη διεύθυνση x: F x = M M 1,x P 1 S 1 = 883.5 79.5 619000 0.00785 = 4055 N vi) Το καθεστώς ροής είναι: Re 1 = ρd 1u 1 μ Re = ρd u μ = 1000 0.1 3.18 0.001 = 1000 0.03 35.33 0.001 = 318000 = 1059900

Παράδειγμα 4.10 Κυλινδρική δεξαμενή διαμέτρου 3 m έχει κοντά στον πυθμένα σωλήνα εκροής με διάμετρο 0.3 m. Αρχικά η δεξαμενή είναι γεμάτη με νερό σε ύψος 9 m.πόση ώρα θα χρειαστεί μέχρι η στάθμη του νερού να φτάσει στο 1 m; Η 4.14 (Ισοζύγιο Μάζας) γίνεται: D V = V 1 1 και V1 = dz ή V D dt = dz dt P 1 = P, V 1 = 0 και Z = 0 D 1 D H Bernoulli είναι σε αυτή την περίπτωση: p 1 ρ + gz 1 + V 1 = p ρ + gz + V gz 1 = V V = gz 1 dh dt = D h z 1 dh h = D D 1 g 0 t dt D 1 gh

Παράδειγμα 4.10 Κυλινδρική δεξαμενή διαμέτρου 3 m έχει κοντά στον πυθμένα σωλήνα εκροής με διάμετρο 0.3 m. Αρχικά η δεξαμενή είναι γεμάτη με νερό σε ύψος 9 m.πόση ώρα θα χρειαστεί μέχρι η στάθμη του νερού να φτάσει στο 1 m; gz 1 = V V = gz 1 dh dt = D h z 1 dh h = D D 1 g 0 t dt D 1 gh h 1/ Z 1 1/ = D D 1 t = Z 1 1/ h 1/ g D D 1 g t = 91/ 1 1/ 9.807 0.1 = 90.3 s

Διόρθωση Κινητικής Ενέργειας Ο όρος u / υπολογίζει την κινητική ενέργεια αν όλο το ρευστό κινείται με την ίδια ταχύτητα. Αν όμως η ταχύτητα μεταβάλλεται πάνω σε μια διατομή ds τότε για κάθε μονάδα μάζας που ρέει μέσα από τη διατομή ισχύει: de k = ρ u ds u = ρ u3 ds όπου E k ο ρυθμός ροής της κινητικής ενέργειας Αν η πυκνότητα είναι σταθερή ο ολικός E k μέσα από επιφάνεια S θα είναι: E k = ρ S u 3 ds (4.68) Η κινητική ενέργεια ανά μονάδα μάζας θα είναι τότε: ρ E k m = u 3 1 ds u S = 3 S ρ u ds V S S ds (4.69)

Διόρθωση Κινητικής Ενέργειας Ο παράγοντας διόρθωσης της κινητικής ενέργειας απαλείφει το ολοκλήρωμα: a V E k m = u 3 ds S V S Και είναι συνεπώς: α = S u 3 V 3 S ds (4.70) Για στρωτή ροή α = ενώ για τυρβώδη ροή α = 1.05 u Αν το α είναι γνωστό, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο όρος αντί του Για να υπολογιστεί ωστόσο το α από την 4.70 (ή το V από την 4.11) πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του u σαν συνάρτηση της θέσης στη διατομή a V

Παράδειγμα 4.11 Νερό (998 Kg/m 3 ) εισέρχεται σε σύνδεσμο με διάμετρο εισόδου 50 mm με ταχύτητα 1 m/s και σχετική πίεση 100 kn/m. Το νερό εξέρχεται στο ίδιο ύψος και υπό γωνία 45 σε σχέση με τη διεύθυνση εισόδου από έξοδο διαμέτρου 0 mm. Αν θεωρήσουμε την τριβή αμελητέα και τους διορθωτικούς παράγοντες α = 1 στην είσοδο και την έξοδο, να υπολογιστούν α) η σχετική πίεση στην έξοδο και οι δυνάμεις που ασκούνται στο ρευστό από το σύνδεσμο στις κατευθύνσεις x, y. Εικόνα 7 Η 4.14 (Ισοζύγιο Μάζας) γίνεται: D a V b = V a = 1.0 50 = 6.5 m/s D b 0 H 4.71 (Bernoulli) είναι σε αυτή την περίπτωση: p a p b = V b Va ρ p b = 100 998 6.5 1.0 1000 = 81.01 kn m

Παράδειγμα 4.11 Συνδυάζοντας τις 4.51 και 4.5 (Ισοζύγιο Ορμής) προκύπτει: m β b V b,x β a V a,x = p a S a,x p b S b,x + F w,x (4.7) Όπου S a,x, S b,x οι προβολές των αρχικών επιφανειών S a, S b στα επίπεδα που είναι κάθετα στην αρχική κατεύθυνση ροής. Στην κατεύθυνση x: V a,x = V a = 1 m/s και S a,x = S a = 0.785 0.05 = 0.001963 m V b,x = V b cos θ = 4.4 m/s και S b,x = S b sin θ = 0.785 0.0 sin 45 = 0.000 m m = V a ρ S a = 1.0 998 0.001963 = 1.96 Kg/s Αντικαθιστώντας στην 4.7 και λύνοντας ως προς F w,x προκύπτει: F w,x = 1.96 4.4 1.0 100000 0.001963 + 81010 0.000 = 171.7 N Στην κατεύθυνση y αντίστοιχα V a,y =0 και S a,y = 0 V b,y = V b sin θ = 4.4 m/s και S b,y = S b cos θ = 0.000 m F w,y = m β b V b,y β a V a,y p a S a,y + p b S b,y = 1.96 4.4 0 0 + 81010 0.000 = 6.64 N

Διόρθωση για την επίδραση της τριβής Στην ροή παρουσία τριβής η ποσότητα p u + gδz + δεν είναι σταθερή αλλά ρ φθίνει κατά τη διεύθυνση της ροής. Η μηχανική ενέργεια που καταναλώνεται παράγει ισοδύναμη ποσότητα θερμότητας. Για ασυμπίεστα ρευστά η εξίσωση Bernoulli (4.67) λαμβάνοντας υπόψη τον συντελεστή διόρθωσης της κινητικής ενέργειας και την τριβή γίνεται: p a ρ + gz a + α av a = p b ρ + gz b + α bv b + h f (4.71) Οι μηχανικοί όροι αντιπροσωπεύουν συνθήκες σε συγκεκριμένα σημεία a, b (είσοδο, έξοδο) ενώ ο όρος της τριβής αντιπροσωπεύει τις απώλειες μηχανικής ενέργειας ανά μονάδα μάζας σε όλα τα σημεία μεταξύ των a και b. Η ενέργεια της τριβής δεν είναι ανταλλάξιμη με τους άλλους όρους της εξίσωσης.

Αποκόλληση οριακού στρώματος σχηματισμός όλκου Επιδερμική τριβή Τριβή μορφής Εικόνα 8

Έργο αντλίας στην εξίσωση Bernulli Τοποθετείται αντλία μεταξύ των θέσεων a και b. W p h fp η W p ή η = W p h fp W p (4.73) W p το έργο που παράγει η αντλία ανά μονάδα μάζας του ρευστού h fp η ολική τριβή στην αντλία ανά μονάδα μάζας του ρευστού η ο συντελεστής απόδοσης της αντλίας Αν συμπεριλάβουμε και το έργο της αντλίας η εξίσωση Bernoulli για ασυμπίεστα ρευστά γίνεται: p a + gz ρ a + α av a + η W p = p b + gz ρ b + α bv b + h f (4.74)

15 m Παράδειγμα 4.1 Μια αντλία μεταφέρει διάλυμα ειδικού βάρους 1.84 από μια δεξαμενή σε μια άλλη με απόδοση 60%. Η ταχύτητα στη γραμμή αναρρόφησης είναι 1 m/s. Οι απώλειες λόγω τριβής σε όλο το σύστημα των σωληνώσεων είναι 30 J/Kg. Να υπολογιστεί η πίεση που πρέπει να αναπτύξει η αντλία καθώς και η ισχύς της. 60x4 b Παραδοχές: - p a = p b, η V a είναι αμελητέα - Η ροή είναι τυρβώδης και το α=1 η 4.74 γίνεται: η W p = gz b + V b + h f a 90x6 Οι διατομές των σωλήνων είναι: 0.00478 m και 0.001 m αντίστοιχα. V b = 1.0 0.00478 0.001 =.5 m/s 0.6 W p = 15 g +.5 + 30 W p = 179.64 0.6 = 99.39 J/Kg

15 m Παράδειγμα 4.1 Μια αντλία μεταφέρει διάλυμα ειδικού βάρους 1.84 από μια δεξαμενή σε μια άλλη με απόδοση 60%. Η ταχύτητα στη γραμμή αναρρόφησης είναι 1 m/s. Οι απώλειες λόγω τριβής σε όλο το σύστημα των σωληνώσεων είναι 30 J/Kg. Να υπολογιστεί η πίεση που πρέπει να αναπτύξει η αντλία καθώς και η ισχύς της. a 60x4 b Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli μόνο στην αντλία όπου θεωρούμε ότι Z a = Z b Vb η 4.74 γίνεται: V a + η W p = p b p a ρ 1.5 Δp = 1840 + 99.39 = 547 kn/m 90x6 Ο μαζικός ρυθμός ροής είναι: m = 1.0 0.00478 1840 = 8.79 kg/s Οπότε η ισχύς θα είναι: P = m W p = 8.79 99.39 =.63 kw = 633 = 3.58 hp 735.5

Σημείωμα Xρήσης Έργων Τρίτων Εικόνες από ιστότοπους : https://en.wikipedia.org/wiki/daniel_bernoulli https://en.wikipedia.org/wiki/claude-louis_navier https://en.wikipedia.org/wiki/sir_george_stokes,_1st_baronet Εικόνες 6,7,8 : W. Mccabe, J. Smith, P. Harriott, Unit Operations Of Chemical Engineering, 005, 7 th ed., McGraw-Hill Higher Education

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.0.

Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών. Καθηγητής, Δημήτριος Ματαράς. «Φυσικές Διεργασίες ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://eclass.upatras.gr/courses/cmng10/

Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.