ΜΟΤΙΒΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΜΕ ΧΑΛΑΣΜΑ ΔΕΚΑΔΑΣ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Υπολογισμοί και εκτίμηση Αρ2.11 Αναπαριστούν καταστάσεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, τέλειας και ατελούς διαίρεσης, χρησιμοποιώντας υλικό όπως κύβους Dienes, εικόνες, εφαρμογίδια και σύμβολα. Αρ2.12 Κατανοούν την προπαίδεια του πολλαπλασιασμού και τη διαίρεση ως αντίστροφη πράξη του πολλαπλασιασμού. Αρ2.14 Χρησιμοποιούν σε πράξεις και προβλήματα: (α) το ένα ως ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού (β) το μηδέν ως το απορροφητικό στοιχείο του πολλαπλασιασμού (γ) την αντιμεταθετική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού (δ) την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού (ε) την επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση. 1
ΑΛΓΕΒΡΑ Διερεύνηση σχέσεων και μοτίβων Α2.1 Αναγνωρίζουν, περιγράφουν και επεκτείνουν μοτίβα. Α2.2 Κατασκευάζουν μοτίβα χρησιμοποιώντας διαφορετικά μέσα αναπαράστασης. Α2.3 Χρησιμοποιούν λεκτικές και αλγεβρικές εκφράσεις, για να αναπαραστήσουν αθροιστικές και πολλαπλασιαστικές σχέσεις. Α2.4 Χρησιμοποιούν γραφικές παραστάσεις, για να αναπαραστήσουν αριθμητικές σχέσεις. Διερεύνηση εξισώσεων Α2.6 Κατασκευάζουν εξισώσεις για την επίλυση προβλημάτων και επιλύουν απλές εξισώσεις στις οποίες η μεταβλητή αναπαρίσταται με διαφορετικούς τρόπους (π.χ. τετράγωνο, κενό). Α2.7 Χρησιμοποιούν τις ιδιότητες των πράξεων (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική), για να απλοποιήσουν νοερούς υπολογισμούς και να ελέγχουν τα αποτελέσματά τους. Α2.8 Επιλύουν προβλήματα ρουτίνας χρησιμοποιώντας ποικιλία στρατηγικών. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Διερεύνηση εννοιών στατιστικής ΣΠ2.4 Απαντούν και θέτουν ερωτήματα σχετικά με ένα σύνολο δεδομένων. 2
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 4-7): Αφαίρεση της μορφής ΔΜ Μ με χάλασμα δεκάδας (Νοεροί υπολογισμοί) Μάθημα 3 (σελίδες 8-10): Αφαίρεση της μορφής ΔΜ Μ με χάλασμα δεκάδας (Αλγόριθμος) Μαθήματα 4 και 5 (σελίδες 11-15): Μοτίβο πολλαπλασιασμού 9 Μάθημα 6 (σελίδες 16-17): Σχέσεις ανάμεσα στα μοτίβα πολλαπλασιασμού του 3, του 6 και του 9. Μαθήματα 7 και 8 (σελίδες 18-21): Μοτίβο πολλαπλασιασμού 11 Μαθήματα 9 και 10 (σελίδες 22-25): Αφαίρεση της μορφής ΔΜ1 ΔΜ2 με χάλασμα δεκάδας (Νοεροί υπολογισμοί) Μάθημα 11 (σελίδες 26-29): Αφαίρεση της μορφής ΔΜ1 ΔΜ2 με χάλασμα Μάθημα 12 (σελίδες 30-32): Αφαίρεση της μορφής ΔΜ1 ΔΜ2 με χάλασμα (Αλγόριθμος) Μάθημα 13 (σελίδες 33-34): Λύση προβλήματος Μαθήματα 14 και 15 (σελίδες 35-38): Μοτίβα 3
ΣΗΜΕΙΑ ΠΡΟΣΟΧΗΣ Μαθήματα 1 και 2 (σελίδες 4-7) Εξερεύνηση (σελ. 4) Στόχος της εξερεύνησης είναι να αναδυθούν ελεύθερα οι στρατηγικές που χρησιμοποιούν τα παιδιά για τον νοερό υπολογισμό της διαφοράς. Αναμένεται τα παιδιά να περιγράψουν ελεύθερα τις στρατηγικές που χρησιμοποίησαν. Δραστηριότητα 1 (σελ. 5) Στόχος της δραστηριότητας είναι τα παιδιά να αξιοποιήσουν τις στρατηγικές που αναδύθηκαν στην εξερεύνηση. Δραστηριότητα 5 (σελ. 7) Στόχος είναι να δοθεί έμφαση στη συζήτηση για τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών, ώστε τα παιδιά να μην κάνουν τις πράξεις. Μάθημα 3 (σελίδες 8-10) Διερεύνηση (σελ. 8) Στόχος της διερεύνησης είναι να ανακαλύψουν τα παιδιά με ποιο τρόπο θα αξιοποιήσουν το υλικό Dienes, για να υπολογίσουν τη διαφορά. Δραστηριότητα 1 (σελ. 9) Στόχος της δραστηριότητας είναι να γίνει σύνδεση ανάμεσα στον τρόπο εργασίας για την εκτέλεση της αφαίρεσης με χάλασμα δεκάδας με το υλικό Dienes και τον κατακόρυφο αλγόριθμο. Μαθήματα 4 και 5 (σελίδες 11-15) Διερεύνηση 1 (σελ. 11) Τα παιδιά αναμένεται να ανακαλύψουν: (α) ότι στα διψήφια πολλαπλάσια του 9 το άθροισμα των ψηφίων είναι 9 (β) ότι τα πολλαπλάσια του 9 σχηματίζουν διαγώνιο στον πίνακα αριθμών και να εξηγήσουν για ποιο λόγο συμβαίνει αυτό 4
(γ) τη σχέση μεταξύ των μονάδων και των δεκάδων, καθώς αναπτύσσονται τα πολλαπλάσια του 9 Διερεύνηση 2 (σελ. 12) Στόχος της διερεύνησης είναι η αξιοποίηση της επιμεριστικής ιδιότητας, για να προκύψουν τα πολλαπλάσια του 9 μέσω των πολλαπλασίων του 10. Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι για τον υπολογισμό γινομένων του 9, μπορεί να αξιοποιηθεί ο υπολογισμός γινομένων του 10. Για παράδειγμα, για να υπολογίσω το γινόμενο 9 4 αξιοποιώ το εύκολο γινόμενο 10 4 = 40 και αφαιρώ 4. Το ίδιο ισχύει για τη Δραστηριότητα 1. Εξερεύνηση (σελ. 15) Στόχος της εξερεύνησης είναι τα παιδιά να συζητήσουν και να επεξηγήσουν γιατί στα διψήφια πολλαπλάσια του 9 το άθροισμα των ψηφίων είναι 9 και να γίνει σύνδεση με τη Διερεύνηση 1. Η μέθοδος με τα δάχτυλα δεν θα χρησιμοποιείται για υπολογισμό των γινομένων. Μάθημα 6 (σελίδες 16-17) Εξερεύνηση (σελ. 16) Υπάρχουν περισσότερες από μία ορθές απαντήσεις. Στο (β) τα παιδιά αναμένεται να ανακαλύψουν ότι όλα τα πολλαπλάσια του 9 είναι πολλαπλάσια και του 3. Τα παιδιά μπορούν να αξιοποιήσουν τις κάρτες που υπάρχουν στη σελίδα 3 του βιβλίου. Δραστηριότητα 1 (σελ. 17) Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι όλα τα πολλαπλάσια του 9 είναι και πολλαπλάσια του 3. Μαθήματα 7 και 8 (σελίδες 18-21) Διερεύνηση (σελ. 18) Τα παιδιά αναμένεται να αντιληφθούν ότι αν ξέρω ένα γινόμενο όπου ο ένας παράγοντας είναι το 10, εύκολα μπορώ να υπολογίσω ένα γινόμενο όπου ο ένας παράγοντας είναι το 11. Έμφαση είναι η επιμεριστική ιδιότητα. 5
Δραστηριότητα 1 (σελ. 19) Η έμφαση είναι στη σχέση ανάμεσα στα πολλαπλάσια του 9 και του 11 και στην αιτιολόγηση του γεγονότος ότι σχηματίζονται οι δύο διαγώνιοι στον πίνακα αριθμών. Δραστηριότητα 4 (σελ. 21) Στο (β) υπάρχουν ελλιπή δεδομένα. Τα παιδιά αναμένεται να βρουν από πόσους παίχτες αποτελείται μια ομάδα χειροσφαίρισης. Μαθήματα 9 και 10 (σελίδες 22-25) Διερεύνηση (σελ. 22) Τα παιδιά αναμένεται: (α) είτε να υπολογίσουν τη διαφορά ανάμεσα στις δηλώσεις συμμετοχής και στις ακυρώσεις για κάθε μέρα και μετά να κάνουν βρουν το άθροισμα ή (β) να αφαιρέσουν τις συνολικές ακυρώσεις από τις συνολικές δηλώσεις συμμετοχής. Δραστηριότητα 1 (σελ. 23) Τα παιδιά αναμένεται να συζητήσουν τις 3 γενικές στρατηγικές για τον υπολογισμό της διαφοράς: (α) Πρώτα αφαιρώ στις δεκάδες και στη συνέχεια τις μονάδες. (β) Πρώτα αφαιρώ τις μονάδες και στη συνέχεια τις δεκάδες. (γ) Αξιοποιώ τη συμπληρωματική πρόσθεση. Διερεύνηση (σελ. 25) Στη διερεύνηση δίνεται έμφαση στους νοερούς υπολογισμούς. Μάθημα 11 (σελίδες 26-29) Δραστηριότητα 1 (σελ. 27) Στόχος της δραστηριότητας είναι να αντιληφθούν τα παιδιά στο πραξιακό επίπεδο την αφαίρεση με χάλασμα δεκάδας. Δραστηριότητα 2 (σελ. 28) Στόχος της δραστηριότητας είναι να αντιληφθούν τα παιδιά με ποιο τρόπο μπορούν να εκτελέσουν την αφαίρεση με χάλασμα δεκάδας με το υλικό Dienes. 6
Μάθημα 12 (σελίδες 30-32) Εξερεύνηση (σελ. 30) Ο τρόπος αξιοποίησης του εφαρμογιδίου περιγράφεται στην παράγραφο «Τεχνολογία» που ακολουθεί. http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_152_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.h tml Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί αυτούσιο το υλικό Dienes. Δραστηριότητα 1 (σελ. 31) Στόχος της δραστηριότητας είναι να συνδεθεί ο τρόπος εργασίας για την εκτέλεση της αφαίρεσης με χάλασμα δεκάδας με το υλικό Dienes, με την κατακόρυφη συμβολική αναπαράστασή της. Το χάλασμα γίνεται μέσω των ενδιάμεσων σταδίων. Μάθημα 13 (σελίδες 33-34) Διερεύνηση (σελ. 33) Τα παιδιά εργάζονται ελεύθερα είτε νοερά είτε γραπτά με όποιο τρόπο θέλουν. Μαθήματα 14 και 15 (σελίδες 35-38) Εξερεύνηση (σελ. 35) Το μοτίβο που παρουσιάζεται στην εξερεύνηση αποτελεί μια διαφορετική αναπαράσταση του μοτίβου των περιττών αριθμών. Στο (ζ) αναμένεται ότι θα παιδιά θα δοκιμάσουν να ενώσουν δύο σχηματισμούς V, ο καθένας από τους οποίους αποτελείται από περιττό αριθμό πουλιών και να αντιληφθούν ότι ο τελικός σχηματισμός θα αποτελείται από άρτιο αριθμό πουλιών. Μέσα από δοκιμή διαφορετικών παραδειγμάτων θα προκύψει ότι ο τελικός σχηματισμός δεν θα είναι V. Αυτό συμβαίνει γιατί όταν προστεθούν δύο περιττοί αριθμοί, το άθροισμα που προκύπτει είναι άρτιος αριθμός. Δραστηριότητα 1 (σελ. 37) Η έμφαση είναι στη λεκτική περιγραφή του μοτίβου. 7
Δραστηριότητες Εμπλουτισμού Δραστηριότητα 7 (σελ. 43) Στόχος της δραστηριότητας είναι να αντιληφθούν τα παιδιά ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίθετες πράξεις και ότι μπορώ να αξιοποιήσω την πρόσθεση, για να κάνω επαλήθευση της διαφοράς. Δραστηριότητα 13 (σελ. 47) Μόνο μια διαδρομή με τα πολλαπλάσια του 9 στη σειρά είναι η ορθή. 8
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Γίνεται εισήγηση όπως χρησιμοποιούνται σε διάφορες περιπτώσεις εφαρμογίδια, όπως τα πιο κάτω: 1. Εφαρμογίδια για αφαίρεση αριθμών 1.1 Ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_152_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.h tml Το εφαρμογίδιο μπορεί να αξιοποιηθεί για αφαίρεση αριθμών ως εξής: Τα παιδιά αναπαριστούν τον μειωτέο και στη συνέχεια αφαιρούν κύβους (ίσους με τον αφαιρετέο) ρίχνοντάς τους στο καλάθι που βρίσκεται στο κάτω μέρος της οθόνης. Στην περίπτωση όπου οι μονάδες του μειωτέου είναι λιγότερες από τις μονάδες του αφαιρετέου (π.χ. 54 18, όπου 4 < 8) το εφαρμογίδιο επιτρέπει το χάλασμα μιας δεκάδας σε δέκα μονάδες. Για να το πετύχει αυτό, ο χρήστης μεταφέρει μια δεκάδα στον χώρο των μονάδων. 9
1.2 Ιστοσελίδα http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_155_g_2_t_1.html?from=category_g_2_t_1.h tml Το εφαρμογίδιο μπορεί να αξιοποιηθεί για αφαίρεση αριθμών ως εξής: Τα παιδιά αναπαριστούν τον μειωτέο (μπλε κύβοι) και τον αφαιρετέο (κόκκινοι κύβοι). Στη συνέχεια, μετακινούν και τοποθετούν τους κόκκινους κύβους πάνω στους μπλε. Οι μπλε κύβοι εξαφανίζονται. Στην περίπτωση όπου οι μονάδες του μειωτέου είναι λιγότερες από τις μονάδες του αφαιρετέου (π.χ. 54 18, όπου 4 < 8) το εφαρμογίδιο επιτρέπει το χάλασμα μιας δεκάδας σε δέκα μονάδες. Για να το πετύχει αυτό, ο χρήστης μεταφέρει μια δεκάδα στον χώρο των μονάδων. Το εφαρμογίδιο παρέχει την ευκαιρία να φανεί ότι η πρόσθεση και η αφαίρεση είναι αντίθετες πράξεις. 10
1.3 Ιστοσελίδα http://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cresource.dspdetail&resourceid =1021 Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης της αφαίρεσης αριθμών με χάλασμα δεκάδας. Τα παιδιά καλούνται να φορτώσουν προμήθειες σε ένα διαπλανητικό φορτηγό και στη συνέχεια να ξεφορτώσουν κάποια ποσότητα προμηθειών σε διάφορους πλανήτες. Οι προμήθειες τοποθετούνται σε κιβώτια καθένα από τα οποία περιέχει μέχρι 10 δοχεία. Ο αριθμός του αρχικού φορτίου και η ποσότητα που ξεφορτώνεται σε κάθε πλανήτη μπορούν να καθοριστούν από τον/την εκπαιδευτικό. 11
1.4 Λογισμικό «Παίζω με τους αριθμούς» - Αφαίρεση Το εφαρμογίδιο υποστηρίζει τη διδασκαλία της αφαίρεσης ως συμπληρωματική πρόσθεση. Οι πράξεις που εμφανίζονται είναι τυχαίες μέσα στο εύρος που επιλέγει ο χρήστης (π.χ. «επίπεδο 3» για αριθμούς μέχρι το 100). 1.5 Ιστοσελίδα http://www.mathsframe.co.uk/en/resources/resource/226/difference_beadstring Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης της αφαίρεσης ως συμπληρωματική πρόσθεση στην αριθμητική γραμμή. 12
1.6 Ιστοσελίδα http://www.sheppardsoftware.com/mathgames/fruitshoot/fruitshoot_subtraction.htm Τα παιδιά εξασκούνται με αφαιρέσεις αριθμών σε διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας. Για παράδειγμα: Επίπεδο 5: Αφαίρεση μονοψήφιου από διψήφιο αριθμό με χάλασμα δεκάδας Επίπεδο 7: Αφαίρεση διψήφιου από διψήφιο αριθμό με χάλασμα δεκάδας 1.7 Ιστοσελίδα http://www.explorelearning.com/index.cfm?method=cresource.dspdetail&resourceid =1022 Επιλέγοντας τα εικονίδια add και subtract ο βάτραχος κινείται στην αριθμητική γραμμή με στόχο να πιάσει τις μύγες. Με το jump size καθορίζεται το μέγεθος του βήματος που θα κάνει ο βάτραχος. Επιλέγοντας το εικονίδιο add fly εμφανίζονται μύγες στην αριθμητική γραμμή. 13
1.8 Ιστοσελίδα http://www.mathsframe.co.uk/resources/order_calculations.aspx Στο «επίπεδο 4» τα παιδιά καλούνται να σειροθετήσουν τις πράξεις που παρουσιάζονται με βάση το αποτέλεσμά τους. 1.9 Ιστοσελίδα http://www.mathsframe.co.uk/en/resources/resource/121/shape_sequences Τα παιδιά καλούνται να συμπληρώσουν ή να συνεχίσουν μοτίβα που περιέχουν αριθμούς και σχήματα. Υπάρχουν διαφορετικά επίπεδα δυσκολίας για τα οποία μπορεί να γίνει ρύθμιση από τον χρήστη. 14
2. Εφαρμογίδια για μοτίβα πολλαπλασιασμού 2.1 Ιστοσελίδα http://www.nctm.org/java/eexamples/4.5/standalone1.asp Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα παρουσίασης μοτίβων πολλαπλασιασμού στον πίνακα αριθμών. Για παράδειγμα, για να παρουσιαστεί το μοτίβο του 9 γράφουμε στην αριθμομηχανή «9, +9, =, =, =». Τα παιδιά βλέπουν το μοτίβο που αρχίζει να εμφανίζεται στον πίνακα και προβλέπουν ποιοι άλλοι αριθμοί θα παρουσιαστούν. 2.2 Ιστοσελίδα http://www.bbc.co.uk/skillswise/game/ma13tabl-game-tables-grid-find Από την αρχική σελίδα επιλέγουμε ένα μοτίβο πολλαπλασιασμού (π.χ. 9). Τα παιδιά καλούνται να τοποθετήσουν τον ζητούμενο αριθμό στην κατάλληλη θέση του συγκεκριμένου μοτίβου πολλαπλασιασμού στον πίνακα, ως γινόμενο δύο παραγόντων (π.χ. στο μοτίβο πολλαπλασιασμού του 9, 63 = 9 7). 15
2.3 Ιστοσελίδα http://www.wmnet.org.uk/wmnet/custom/files_uploaded/uploaded_resources/504/m ultiplicationpuzzle.swf Τα παιδιά καλούνται να συμπληρώσουν τους αριθμούς που λείπουν (παράγοντες και γινόμενα) από τον πίνακα που παρουσιάζεται. 2.4 Ιστοσελίδα http://www.mathsframe.co.uk/resources/finding_multiples.aspx# Από την αρχική ιστοσελίδα επιλέγουμε με ποιους αριθμούς θα εργαστούμε. Τα παιδιά καλούνται να τοποθετήσουν στην κατάλληλη θέση τους αριθμούς που παρουσιάζονται (π.χ. «Είναι πολλαπλάσια του 9» ή «Δεν είναι πολλαπλάσια του 9»). 16
2.5 Ιστοσελίδα http://www.teacherled.com/resources/vennmultiples/vennmultipleload.swf Τα παιδιά καλούνται να τοποθετήσουν στο διάγραμμα τους αριθμούς που εμφανίζονται στο κάτω μέρος της οθόνης με κριτήριο κατά πόσο είναι πολλαπλάσια συγκεκριμένων αριθμών. Ο εκπαιδευτικός έχει τη δυνατότητα να καθορίσει τα δύο σύνολα του διαγράμματος χρησιμοποιώντας τα βέλη στα σημεία multiple set 1 και multiple set 2. 2.6 Ιστοσελίδα http://www.learnyourtables.co.uk/en/learnyourtables_en.swf Από την αρχική σελίδα επιλέγουμε το μοτίβο πολλαπλασιασμού με το οποίο θα εργαστούμε, καθώς και το είδος της εξάσκησης (π.χ. επιλέγοντας drag τα παιδιά καλούνται να αντιστοιχίσουν τις πράξεις πολλαπλασιασμού με τα γινόμενα που παρουσιάζονται). 17
2.7 Ιστοσελίδα http://www.mathsframe.co.uk/resources/multiplication_-_rapid_recall.aspx# Από την αρχική σελίδα επιλέγουμε το μοτίβο πολλαπλασιασμού με το οποίο θα εργαστούμε. Τα παιδιά καλούνται να συμπληρώσουν τους παράγοντες που λείπουν από τις μαθηματικές προτάσεις πολλαπλασιασμού που δίνονται. 2.8 Ιστοσελίδα http://www.oswego.org/ocsd-web/games/sumsense/summulti.html Τα παιδιά καλούνται να συμπληρώσουν τη μαθηματική πρόταση πολλαπλασιασμού χρησιμοποιώντας τους αριθμούς που δίνονται. 2.9 Ιστοσελίδα http://www.oswego.org/ocsd-web/games/sumsense/sumdiv.html Τα παιδιά καλούνται να συμπληρώσουν τη μαθηματική πρόταση διαίρεσης χρησιμοποιώντας τους αριθμούς που δίνονται. 18
2.10 Ιστοσελίδα http://www.topmarks.co.uk/playpop.aspx?f=hitthebuttonv11 Το εφαρμογίδιο δίνει τη δυνατότητα για εξάσκηση σε μοτίβα πολλαπλασιασμού ( Times tables ). Τα παιδιά επιλέγουν κατά πόσο θα εξασκηθούν επιλέγοντας το γινόμενο του πολλαπλασιασμού που παρουσιάζεται ( hit the answer ) ή επιλέγοντας την πράξη πολλαπλασιασμού για το γινόμενο που εμφανίζεται στην οθόνη ( hit the question ). 19