ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας, σχήµα, σχέδιο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

1 Γνωστικό -θεωρητικές συνδέσεις και λειτουργία του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad. Σταυρούλα Πατσιοµίτου Καθ. Β/θµιας Εκπ/σης, Med ιδακτικής και Μεθοδολογίας Μαθηµατικών Παν/µιου Αθηνών Υπ. ιδάκτωρ Παν. Ιωαννίνων spatsiomitou@sch.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή θα εξετάσουµε πως στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad έχουµε την δυνατότητα α) να διερευνήσουµε τις ιδιότητες σχηµάτων µε χρήση των διαφόρων εντολών και εργαλείων του λογισµικού, αιτιολογώντας και β) να κατασκευάσουµε και διερευνήσουµε σχήµατα από µετασχηµατισµούς που εφαρµόζουµε σε ένα σχήµα- «δοµική µονάδα» που χρησιµοποιείται για την κατασκευή τους. Στο δυναµικό περιβάλλον εποµένως ο µαθητής έχει την δυνατότητα να διερευνήσει την κατασκευή του από µια θεωρητική προοπτική συνδέοντας γνωστικές διαδικασίες όπως της οπτικοποίησης και της αιτιολόγησης. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙ ΙΑ: λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας, σχήµα, σχέδιο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα γεωµετρικά σχήµατα που κατασκευάζουµε σε οποιοδήποτε µέσο, είναι προϊόντα των νοητικών εικόνων, που υπάγονται σε νοητικούς µετασχηµατισµούς, χρησιµεύοντας ως µέσα για να µεταφέρουν τις έννοιες που αποδίδονται σε αυτά από το άτοµο (Peirce, 1906). Η κατασκευή του γεωµετρικού σχήµατος από την πλευρά του µαθητή, είναι µια διαδικασία αποτύπωσης στο χαρτί που µπορεί να προέρχεται είτε επειδή θέλει να µετατρέψει τις πληροφορίες του προβλήµατος σε κατασκευή ή γιατί σκέφτεται κάτι και το απεικονίζει όπως το σκέφτεται ή ακόµα το αντιγράφει από ένα βιβλίο γεωµετρίας ή τον πίνακα. ηλαδή πρόκειται για µια µετατροπή πληροφοριών λεκτικών ή νοητικών ή εικονικών. Σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω διαδικασίες παίζει σηµαντικό ρόλο ο τρόπος επεξεργασίας των πληροφοριών και ο τρόπος µετασχηµατισµού των πληροφοριών αυτών ώστε να προκύψει το γεωµετρικό σχήµα. Από την εµπειρία µας στα σχολεία γνωρίζουµε ότι οι µαθητές συναντούν δυσκολίες και όταν ακόµα καλούνται να αντιγράψουν ένα σχήµα που υπάρχει στο βιβλίο τους ή στον πίνακα. Πράγµατι αν παρατηρήσουµε την κατασκευή του µαθητή και εξετάσουµε τις γραµµές που έχει σχεδιάσει έχουµε την δυνατότητα να δούµε πόσο ταυτίζεται µε το σχήµα του βιβλίου. Ο µαθητής έχει κατασκευάσει ένα σχήµα (figure) αν έχει λάβει υπόψη τους κανόνες που είναι αναγκαίοι για να έχει η κατασκευή του κάποιο γεωµετρικό νόηµα και αν έχει χρησιµοποιήσει τις γεωµετρικές του γνώσεις, δηλαδή γνώση των ορισµών και θεωρηµάτων προκειµένου να το κατασκευάσει. Σε αντίθετη περίπτωση η κατασκευή του µαθητή µοιάζει µε του βιβλίου αλλά δεν ταυτίζεται µε αυτό, δηλαδή ο µαθητής έχει απλώς αντιληφθεί ολικά το σχήµα και µετέφερε τις πληροφορίες που πήρε από την εικόνα του βιβλίου, χωρίς να λάβει υπόψη του ιδιότητες και σχέσεις µεταξύ των στοιχείων του σχήµατος. Που διαφέρει η πρώτη περίπτωση από την δεύτερη; Στην πρώτη περίπτωση ο µαθητής έχει τον έλεγχο της κατασκευής του, έχει ακολουθήσει συνειδητά βήµατα, έχει

2 εστιάσει την προσοχή του σε συγκεκριµένα στοιχεία του σχήµατος. Στην δεύτερη περίπτωση δεν έχει κάνει συνειδητά βήµατα και δεν έχει διαχωρίσει εκείνα τα στοιχεία του σχήµατος που είναι αναγκαία για την ορθότητα της κατασκευής, δηλαδή κατασκεύασε ένα γεωµετρικό σχέδιο (drawing). Τα πειραµατικά στοιχεία (Mariotti, 1996) δείχνουν ότι όταν οι µαθητές εµπλέκονται σε κατασκευές σε στατικό περιβάλλον, δεν λαµβάνουν υπόψη τις θεωρητικές παραµέτρους της κατασκευής ή δεν εξετάζουν την κατασκευή από µια θεωρητική προοπτική. Αυτό συµβαίνει γιατί όταν οι µαθητές αναλαµβάνουν να κατασκευάσουν ένα γεωµετρικό σχήµα, συνήθως µένουν στο χωρογραφικό επίπεδο (spatiographical field) και προσπαθούν µόνο να ικανοποιήσουν τους οπτικούς περιορισµούς ενώ ο δάσκαλος αναµένει να κατασκευάσουν το γεωµετρικό σχήµα χρησιµοποιώντας τις θεωρητικές τους γνώσεις στη γεωµετρία. Είναι φυσικό να αναρωτηθούµε πόσο πιο δύσκολη µπορεί αυτή η διαδικασία να γίνει µε το λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad (Jackiw, 1991), αφού πρέπει να µάθουν και την χρήση των εργαλείων του λογισµικού. Παρά το γεγονός ότι είναι αναγκαία η εκµάθηση του εργαλείου, τα πράγµατα αντί να δυσκολέψουν, γίνονται απλούστερα, αφού οι αφηρηµένες έννοιες γίνονται όλο και περισσότερο συγκεκριµένες στο υπολογιστικό περιβάλλον. Στην εργασία αυτή θα εξετάσουµε δυο παραδείγµατα που αφορούν την έννοια του γεωµετρικού σχήµατος και συγκεκριµένα πως στο λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας Geometer s Sketchpad έχουµε την δυνατότητα: 1) να κατασκευάσουµε τις ιδιότητες του σχήµατος της µεσοκαθέτου διερευνώντας µε κάποια από τα εργαλεία και τις εντολές του λογισµικού το σχήµα της µεσοκαθέτου ευθυγράµµου τµήµατος. Στόχος µας είναι η σύνδεση του τρόπου λειτουργίας των εντολών και εργαλείων του λογισµικού µε τη διδακτική µαθησιακή διαδικασία και οι εννοιολογικές ιδιαιτερότητες που προκύπτουν από την εφαρµογή τους. 2) να κατασκευάσουµε σχήµατα όπως του παραλληλογράµµου, του ορθογωνίου, του τραπεζίου κ.λ.π, µε µετασχηµατισµούς που εφαρµόζουµε σε σχήµα τριγώνου το οποίο χρησιµοποιείται ως «δοµική µονάδα» για την κατασκευή του. Η µελέτη των ιδιοτήτων του σχήµατος «δοµικής µονάδας», δηλαδή του τριγώνου στο παράδειγµα µας, µπορεί να µας βοηθήσει στην οργάνωση των ιδιοτήτων των σχηµάτων που προκύπτουν από αυτό. Αρχικά όµως θα αναφερθούµε στις έννοιες του σχήµατος και σχεδίου στην επόµενη ενότητα και πως αυτές εξετάζονται στη διεθνή βιβλιογραφία. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟ ΣΧΕ ΙΟ ; Η διαφορά µεταξύ του σχήµατος-σχεδίου διατυπώθηκε από τον Parzysz (1988). Για τον Parzysz, ένα σχέδιο είναι η αναπαράσταση ενός γεωµετρικού αντικειµένου ενώ το σχήµα είναι η έννοια που καθορίζει αυτό το θεωρητικό αντικείµενο. Με το υλικό αντικείµενο «σχέδιο» και το θεωρητικό αντικείµενο «σχήµα», η γεωµετρία µας παρέχει δύο συµπληρωµατικές έννοιες, τις οποίες µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε. Για παράδειγµα, η αιτιολόγηση ότι δυο τρίγωνα είναι ίσα, αφ ενός αναφέρεται στα αφηρηµένα νοητικά αντικείµενα όπως είναι οι έννοιες της γωνίας, πλευράς, τρίγωνου, αλλά και στις σχηµατικές πληροφορίες ή τις σχηµατικά αντιπροσωπευόµενες διαδικασίες, που προέρχονται από τις οπτικές εικόνες που µπορεί να προέλθουν από την τοποθέτηση /επίθεση των δύο γωνιών και των πλευρών που οριοθετούν τη γωνία. Εποµένως αφού ενδιαφερόµαστε για την ανάπτυξη του γεωµετρικού συλλογισµού--αιτιολόγησης θα πρέπει να ασχοληθούµε µε την αλληλεπίδραση µεταξύ των δύο πτυχών των σχηµατικών και εννοιολογικών (Mariotti, 1992, 1996). Η Laborde (1993) καθιστά σαφή τη διάκριση

3 µεταξύ σχεδίου-σχήµατος δηλώνοντας ότι: «το σχέδιο αναφέρεται στην υλική οντότητα ενώ το σχήµα αναφέρεται στο θεωρητικό αντικείµενο». Αυτός ο προσδιορισµός είναι κοντά στην σχηµατική έννοια (figural concept) όπως διατυπώνεται από τον Fishbein (1993) σύµφωνα µε τον οποίο «Μια γεωµετρική έννοια περιλαµβάνει δύο πραγµατικά συνδεδεµένες συνιστώσες ως δύο πλευρές ενός νοµίσµατος, την σχηµατική (figural) και την εννοιολογική (conceptual)». Είναι προφανές ότι αυτό που µας ενδιαφέρει και σίγουρα επιδιώκουµε είναι οι µαθητές µας να κατασκευάζουν ένα γεωµετρικό σχήµα και όχι ένα γεωµετρικό σχέδιο. Και ακόµα περισσότερο να έχουν την δυνατότητα να αιτιολογήσουν την κατασκευή µε λεκτικές διατυπώσεις που συνδέουν τις πληροφορίες µεταξύ τους, µε καταλλήλους ορισµούς ή θεωρήµατα. Να συνδέσουν δηλαδή µε τον τρόπο αυτό σηµαντικές γνωστικές διαδικασίες µε στόχο οι ενέργειες τους στα µαθηµατικά αντικείµενα που αναπαριστάνουν -- ευθείες, κύκλους, τρίγωνα κ.ο.κ--, να σχετίζονται µε την απόδοση της νοητικής εικόνας που έχουν σχηµατίσει για τα γεωµετρικά αντικείµενα που βλέπουν και την επεξήγηση τους. Να συνδέσουν δηλαδή λειτουργίες οπτικοποίησης (Visualization), κατασκευής (Construction) και αιτιολόγησης (Reasoning) (Duval, 1998; Κολέζα, 2000, σ.258) λειτουργίες που παρά το γεγονός ότι είναι ανεξάρτητες, συνδέονται στενά µεταξύ τους µε αποτέλεσµα να έχουν ή όχι επαρκείς γνώσεις στη Γεωµετρία. Σχήµα 1: Γνωστικές αλληλεπιδράσεις που εµπλέκονται σε µια γεωµετρική δραστηριότητα ( Duval, 1998, p.38; Κολέζα, 2000, σ.258) Τα προβλήµατα κατασκευής γεωµετρικών σχηµάτων, αποτελούν τον πυρήνα των δραστηριοτήτων που προτείνονται στους µαθητές. Παρά τον προφανή πρακτικό στόχο, δηλ. το σχήµα που πρέπει να πραγµατοποιηθεί σε ένα στατικό ή δυναµικό µέσο οι γεωµετρικές κατασκευές έχουν έναν θεωρητικό στόχο. Ο κύριος στόχος είναι η ανάπτυξη της έννοιας «της κατασκευής» ως θεωρητικής διαδικασίας και ως αποτέλεσµα της διαδικασίας η σύνθεση των ιδιοτήτων του σχήµατος. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΝΤΟΛΩΝ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Κατασκευάζουµε την κάθετο στο µέσο ενός ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ (µεσοκάθετο). Θα διερευνήσουµε τις ιδιότητες της µεσοκαθέτου του τµήµατος ΑΒ. 1) Χρήση του µενού Μέτρηση Επιλέγουµε το Εργαλείο σηµείου και τοποθετούµε ένα αυθαίρετο σηµείο πάνω στην µεσοκάθετο του τµήµατος ΑΒ (σχήµα 2). Ονοµάζουµε το σηµείο. Επιλέγουµε τα τµήµατα Α και Β και από το µενού Μέτρηση >> Μήκους. Παρατηρούµε ότι τα τµήµατα έχουν το ίσιο µήκος. Επιλέγουµε το σηµείο και το σύρουµε πάνω στην µεσοκάθετο. Παρατηρούµε ότι τα µήκη των τµηµάτων αλλάζουν αλλά παραµένουν πάντοτε ίσα. 2) Χρήση του µενού Κατασκευή:

4 Κατασκευάζουµε κύκλο µε κέντρο το σηµείο και ακτίνα την Α. Παρατηρούµε ότι ο κύκλος που κατασκευάσαµε διέρχεται και από το σηµείο Β. Επιλέγουµε το σηµείο και το σύρουµε πάνω στην µεσοκάθετο. Παρατηρούµε ότι κάθε κύκλος µε κέντρο και ακτίνα Α διέρχεται από το σηµείο Β. Εποµένως Α= Β για κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου, δηλαδή κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ευθυγράµµου τµήµατος απέχει εξίσου από τα άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος. 2) Χρήση του µενού Μετασχηµατισµός: Επιλέγουµε µε διπλό κλικ την µεσοκάθετο Μ, δηλαδή καθιστούµε την µεσοκάθετο άξονα συµµετρίας. Επιλέγουµε το ευθύγραµµο τµήµα Α και από το µενού Μετασχηµατισµός >> Ανάκλαση. Θα παρατηρήσουµε ότι το συµµετρικό του ευθύγραµµου τµήµατος Α είναι το τµήµα Β. ηλαδή τα ευθύγραµµα τµήµατα Α, Β είναι συµµετρικά ως προς άξονα συµµετρίας την µεσοκάθετο Μ. Επιλέγουµε τα σηµεία, Α, Μ και από το µενού Κατασκευή >> Εσωτερικό τριγώνου. Επιλέγουµε το εσωτερικό του τριγώνου ΑΜ και από το µενού Μετασχηµατισµός >> Ανάκλαση. Παρατηρούµε ότι το τρίγωνο Α Μ ανακλάται στο τρίγωνο ΜΒ (σχήµα 3). ηλαδή οπτικά επιβεβαιώνεται ότι τα δυο τρίγωνα είναι ίσα. εν γνωρίζουµε όµως αν αυτό ισχύει για κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου. Αυτό εποµένως θα διερευνήσουµε στην συνέχεια. Σχήµα 2: κατασκευή κύκλου Σχήµα 3: ανάκλαση τµήµατος Σχήµα 4:ίχνη τµηµάτων 3) Χρήση των µενού Επεξεργασία (προσθήκης κίνησης σηµείου) και Προβολή Επιλέγουµε τα τµήµατα Α και Β και από το µενού Μέτρηση >> Μήκους. Επιλέγουµε το σηµείο και από το µενού Επεξεργασία >> Κουµπιά Ενεργειών >> Προσθήκη κίνησης. Στην καρτέλα επιλογών που εµφανίζεται επιλέγουµε ΟΚ. Επιλέγουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα Α και Β και από το µενού Προβολή >> Σχεδίασης ίχνους τµηµάτων. Όπως ήδη έχουµε αποδείξει οπτικά τα τµήµατα Α, Β είναι ίσα. Θέλουµε όµως να πειστούµε ότι η απόδειξη που κάναµε ισχύει για όλα τα σηµεία της µεσοκαθέτου. Ενεργοποιούµε το κουµπί προσθήκης κίνησης. Τα µήκη των τµηµάτων αλλάζουν µε κάθε αλλαγή σηµείου ακολουθώντας τις µεταβολές του σηµείου, αλλά παραµένουν ίσα για κάθε σηµείο πάνω στην µεσοκάθετο του ευθυγράµµου τµήµατος. Παρατηρούµε το σχήµα που προκύπτει. Πρόκειται για το σχήµα ενός χαρταετού. Στο σηµείο αυτό θέτουµε ερωτήµατα στους µαθητές όπως: 1) Πως µπορούµε να ορίσουµε τον χαρταετό χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του σχήµατος που κατασκευάσαµε; 2) Τι άλλες ιδιότητες έχει; 3) Πότε το σχήµα αυτό γίνεται ρόµβος; 4) Τι σχέση έχει το σχήµα του ρόµβου µε το σχήµα του χαρταετού; Ένας ρόµβος είναι χαρταετός ή ένας χαρταετός είναι ρόµβος; Επιλέγουµε το µενού Προβολή >> ιαγραφή ιχνών. Επιλέγουµε το σηµείο και το µετακινούµε πάνω-κάτω στην µεσοκάθετο. Κάθε σηµείο πάνω στην µεσοκάθετο απέχει εξίσου από τα σηµεία Α, Β. Όπως αναφέραµε ήδη η µεσοκάθετος είναι µια ευθεία που

5 έχει την ιδιότητα κάθε σηµείο της να απέχει εξίσου από τα άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ. Εποµένως µπορούµε να συνάγουµε έναν ορισµό για την µεσοκάθετο: η µεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος, είναι ένας γεωµετρικός τόπος σηµείων που έχει την ιδιότητα κάθε σηµείο της να απέχει εξίσου από τα άκρα του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ. 4) Κατασκευή αρχείου εντολών Προσαρµοσµένου εργαλείου (custom tool) Επιλέγουµε το τµήµα ΑΒ και την µεσοκάθετο του και κατασκευάζουµε ένα αρχείο εντολών «µεσοκάθετος» και το αποθηκεύουµε στην εργαλειοθήκη των Προσαρµοσµένων εργαλείων του λογισµικού. Κατασκευάζουµε ένα ευθύγραµµο τµήµα Γ και εφαρµόζουµε το εργαλείο «µεσοκάθετος» στο τµήµα Γ. Ακολουθούµε όλη την προηγούµενη διαδικασία για την µεσοκάθετο του τµήµατος Γ. Από τις παρατηρήσεις µας µπορούµε να συµπεράνουµε ότι οι ιδιότητες της µεσοκαθέτου ισχύουν σε οποιοδήποτε τυχαίο τµήµα, εποµένως µέσω της διαδικασίας αυτής µπορούµε να γενικεύσουµε και να οδηγηθούµε σε συµπεράσµατα σχετικά µε τις ιδιότητες του σχήµατος της µεσοκαθέτου ευθυγράµµου τµήµατος. Σηµείωση: Είναι προφανές ότι αν ο µαθητής κατασκευάσει µια ευθεία περίπου κάθετη στο µέσο ευθυγράµµου τµήµατος --πράγµα που συχνά συµβαίνει στα στατικά µέσα όταν ο µαθητής δεν γνωρίζει ούτε τον ορισµό, ούτε τις ιδιότητες της µεσοκαθέτου-- τότε δεν θα επαληθεύσει στο λογισµικό τις ιδιότητες του σχήµατος µε τους τρόπους που αναφέραµε προηγουµένως. ΣΧΗΜΑΤΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΜΕΝΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Κατασκευάζουµε αρχικά ένα τρίγωνο ΑΒΓ (σχήµα 5). Κατασκευάζουµε το µέσο Κ της πλευράς ΑΓ. Επιλέγουµε το σηµείο Κ µε διπλό κλικ. Επιλέγουµε το εσωτερικό του τριγώνου τις πλευρές και τις κορυφές του και από το µενού Μετασχηµατισµός > Περιστροφή. Στο πλαίσιο διαλόγου που εµφανίζεται πληκτρολογούµε 180 ο στην θέση των 90 ο. Τι ιδιότητες έχει το σχήµα που σχηµατίζεται από το τρίγωνο 1) Οι γωνίες Θ και Θ είναι ίσες από κατασκευής 2) γωνίες Η και Ι του τετράπλευρου είναι ίσες ως αθροίσµατα ίσων γωνιών. 3) Οι πλευρές ΗΘ, ΘΙ είναι ίσες ως συµµετρικές όπως και οι ΗΘ, ΘΊ. 4) Οι γωνίες ΘΉΚ, ΚΙΘ είναι ίσες ως συµµετρικές, όπως και οι ΘΗΚ, ΚΙΘ. Από την σύνθεση των ιδιοτήτων του σχήµατος προκύπτει ότι το τετράπλευρο ΗΘΊΘ δηλαδή είναι ένα παραλληλόγραµµο (σχήµα 6). Σχήµα 5: κατασκευή τριγώνου Σχήµα 6: κατασκευή παραλληλογράµµου Σχήµα 7: κατασκευή τραπεζίου Σχήµα 8: κατασκευή τριγώνου (2 ο επίπεδο) Σχήµα 9: κατασκευή παραλληλογράµµου Σχήµα 10: κατασκευή τραπεζίου

6 Επιλέγουµε το σηµείο Λ µε διπλό κλικ. Επιλέγουµε το εσωτερικό, τις πλευρές και κορυφές του τριγώνου ΗΘΙ και το περιστρέφουµε πάλι κατά 180 ο. Το σχήµα που προέκυψε είναι ένα τραπέζιο και µάλιστα η µεγάλη βάση είναι διπλάσια της µικρής βάσης του τραπεζίου (σχήµα 7). Πρόκειται δηλαδή για µια ειδική περίπτωση τραπεζίου. Επιλέγουµε και πάλι το σηµείο Μ µε διπλό κλικ. Επιλέγουµε το εσωτερικό, και τις πλευρές και κορυφές του τριγώνου ΗΘΙ και πάλι Περιστροφή κατά 180 ο. Αλλάζουµε όπως προηγουµένως το χρώµα του εσωτερικού του τριγώνου που προέκυψε από περιστροφή. Το σχήµα που προέκυψε είναι ένα τρίγωνο µε πλευρές παράλληλες και διπλάσιες του αρχικού τριγώνου (σχήµα 8). Μπορούµε να συνεχίσουµε την διαδικασία και να κατασκευάσουµε µε περιστροφή ως προς το σηµείο Θ το παραλληλόγραµµο του σχήµατος 9 και στην συνέχεια το τραπέζιο του σχήµατος 10. Τα σχήµατα 8, 9, 10 είναι όµοια προς τα σχήµατα 5, 6, 7. Στο σηµείο αυτό µπορούµε να θέσουµε τις ερωτήσεις: 1) Τι σχέση έχει το τµήµα ΘΙ µε το τµήµα Ι Θ ; 2) Τι σχέση έχει το τµήµα ΗΙ µε το τµήµα ΙΉ 3) Ποιος ο λόγος οµοιότητας των τριγώνων ΗΘΙ και Η ΘΊ ; 4) Ποια ιδιότητα έχει το σηµείο Θ στο σχήµα του παραλληλογράµµου; 5)Τι σχέση έχει η ευθεία που συνδέει τα µέσα των δυο µη παραλλήλων πλευρών του τραπεζίου µε τις βάσεις του τραπεζίου; Οι µαθητές για παράδειγµα στην τελευταία ερώτηση µπορούν να παρατηρήσουν ότι η διάµεσος του τραπεζίου είναι ίση µε 3 τµήµατα ίσα προς ΘΙ, δηλαδή µήκος ίσο µε το ηµιάθροισµα των δυο βάσεων του τραπεζίου. Μπορούµε να επεκτείνουµε την διαδικασία επαναλαµβάνοντας τους µετασχηµατισµούς µε τον ίδιο τρόπο. Η διαδικασία αυτή οδηγεί τον µαθητή να εικάσει σχετικά µε τις ιδιότητες των σχηµάτων και στην συνέχεια να οδηγηθεί σε µια γενίκευση. ηλαδή από την ειδική περίπτωση οδηγείται µέσω της διαδικασίας στη γενική ακολουθώντας έναν επαγωγικό τρόπο σκέψης. Αν κατασκευάσουµε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και επαναλάβουµε την διαδικασία που κάναµε προηγουµένως τότε θα σχηµατίσουµε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραµµο. Οι µαθητές µπορούν να εικάσουν σχετικά µε τις ιδιότητες του ορθογωνίου παραλληλογράµµου όπως αυτές συνάγονται από το σχήµα του ορθογωνίου τριγώνου και τους µετασχηµατισµούς µε χρήση της περιστροφής. Σχήµα 11: Σχήµα 12: Σχήµα 13: Σχήµα 14: κατασκευή πλακόστρωσης ορθογώνιο και τετράγωνο επανάληψη επιφάνειας (tessellation) ισοσκελές τρίγωνο από περιστροφή του τριγώνου Αν σύρουµε µια κάθετη πλευρά του ορθογωνίου τριγώνου ώστε τελικά οι δυο κάθετες πλευρές να είναι µεταξύ τους ίσες τότε έχουµε σχηµατίσει ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο (σχήµα 11). Η περιστροφή του σχήµατος του ορθογωνίου παράγει ένα τετράγωνο (σχήµα 12). Στο σηµείο αυτό µπορούµε να θέσουµε ερωτήσεις 1) Τι ιδιότητα έχουν οι πλευρές του τετραγώνου; 2) Τι ιδιότητα (-τες) έχει η διαγώνιος του τετραγώνου; κ.λ.π

7 Αν συνεχίσουµε τις περιστροφές του σχήµατος (σχήµα 13) τότε µπορούµε να κατασκευάσουµε µια πλακόστρωση επιφάνειας (tessellation) όπως αυτή που φαίνεται στο σχήµα 14. Η µελέτη των ιδιοτήτων του σχήµατος «δοµικής µονάδας», δηλαδή του ορθογωνίου τριγώνου στο παράδειγµα µας, µπορεί να µας βοηθήσει στην οργάνωση των ιδιοτήτων των σχηµάτων που προκύπτουν από αυτό. Εποµένως µας δίνει την δυνατότητα να επεκτείνουµε αυτές τις ιδιότητες για την νέα κατασκευή. Αυτή η διαδικασία µας οδηγεί στην κατανόηση των µαθηµατικών εννοιών που υποβόσκουν αυτών των γεωµετρικών κατασκευών και των σχηµάτων που προκύπτουν από τις κατασκευές, αφού σύµφωνα µε τον Freudenthal (1973), η διδασκαλία των Μαθηµατικών --και της γεωµετρίας εποµένως-- πρέπει, να εστιάσει στην κατανόηση της διαδικασίας δόµησης και όχι στη µάθηση ήδη υπαρχόντων, σταθερών οργανωµένων δοµών. ΣΥΖΗΤΗΣΗ Η δυσκολία που παρουσιάζεται στη διδασκαλία και µάθηση της γεωµετρίας οφείλεται στην αυστηρή λογική, ιεραρχία και τον παραγωγικό συλλογισµό που απαιτείται στην δοµή ανάπτυξης του περιεχοµένου, στην έννοια της απόδειξης που συνδέεται µε την λογική εφαρµογή όλων των αυστηρά θεµελιωµένων αξιωµάτων, θεωρηµάτων, πορισµάτων και προτάσεων. Ακόµα ότι µέσω των γεωµετρικών εννοιών µπορούµε να αναπαραστήσουµε φυσικά αντικείµενα αντιπροσωπεύοντας έτσι όλη την κλάση των αντικειµένων ή µε τεχνητούς τρόπους (για παράδειγµα σχέδιο) ιδεατά αντικείµενα. Όταν κατασκευάζουν οι µαθητές ένα σχήµα στο τετράδιο τους δεν αναφέρονται σε κάτι αφηρηµένο αλλά σε ένα συγκεκριµένο αντικείµενο των αισθήσεων τους. Αντιµετωπίζουν έτσι µια τεράστια δυσκολία να διεισδύσουν σε έννοιες που σχετίζονται µε µια άπειρη κλάση ιδεατών αντικειµένων, αφού αναφερόµενοι σε ένα γεωµετρικό σχήµα στην ουσία αναφερόµαστε στην άπειρη κλάση και όχι στο συγκεκριµένο αντικείµενο. Εποµένως τα διαγράµµατα της στατικής γεωµετρίας δηµιουργούν πρόβληµα διότι και φυσική υπόσταση έχουν και συγκεκριµένα είναι. Αυτό έχει σαν άµεση συνέπεια τη δυσκολία σύνδεσης του γεωµετρικού προβλήµατος µε το κατάλληλο γεωµετρικό σχήµα που είναι βασικό στοιχείο της επίλυσης ενός γεωµετρικού προβλήµατος. Άλλες δυσκολίες που παρουσιάζονται κατά την κατασκευή του ίδιου του σχήµατος οφείλονται στη µη κατανόηση του σωστού τρόπου χρήσης των εργαλείων (αναφερόµενοι στην Ευκλείδεια στατική γεωµετρία τότε τα βασικά εργαλεία κατασκευής είναι ο κανόνας και ο διαβήτης) ή άλλων γνωστικών εµποδίων που προκύπτουν κατά την διάρκεια της διδασκαλίας. Η δυσκολία αυτή ξεπερνιέται σε ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας όπου ο µαθητής µε το σύρσιµο του αντικειµένου από τις κορυφές, µε τη χρήση της animation εντολής και των υπολοίπων αλληλεπιδραστικών τεχνικών αντιλαµβάνεται ότι το αντικείµενο που κατασκεύασε στην οθόνη αντιπροσωπεύει µια άπειρη κλάση. Ένα άλλο σηµαντικό πρόβληµα είναι η έλλειψη συγχρονισµού της διδασκαλίας µε την νοητική ανάπτυξη του µαθητή. Τα γεωµετρικά αντικείµενα, η αιτιολόγηση και η χρησιµοποιούµενη γλώσσα είναι διαφορετικά τόσο ανάµεσα στον µαθητή και τον δάσκαλο όσο και ανάµεσα στους µαθητές της ίδιας τάξης. Υπάρχει µια απόκλιση εποµένως µεταξύ των αναµενόµενων αποδόσεων στη γεωµετρία και του επιπέδου της γεωµετρικής σκέψης των µαθητών. Οι αναφερόµενες δυσκολίες και η παρουσίαση της λειτουργίας των εργαλείων του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας µας οδηγούν να αναρωτηθούµε σχετικά: Ποια γεωµετρικά εργαλεία εποµένως µπορούν να οδηγήσουν τον µαθητή να λάβει υπόψη του τις θεωρητικές παραµέτρους της κατασκευής, προκειµένου το σχήµα του να µην ικανοποιεί µόνο τους οπτικούς περιορισµούς αλλά να είναι και συνεπές

8 µε τις ιδιότητες που το καθορίζουν και ταυτόχρονα να είναι συνεπές µε το συνολικό γεωµετρικό πλαίσιο; Η απάντηση είναι: λογισµικά δυναµικής γεωµετρίας. Στόχος µας είναι η σύνδεση του τρόπου λειτουργίας των εντολών και εργαλείων του λογισµικού µε τη διδακτική µαθησιακή διαδικασία και τι ιδιαιτερότητες εννοιολογικές προκύπτουν από την εφαρµογή τους. Τα συστήµατα δυναµικής γεωµετρίας αν και δεν είναι «γλωσσικά», βοηθούν την κατασκευή, το παιχνίδι, τη δόµηση συλλογισµών και την περιγραφή µαθηµατικών αντικειµένων που προκύπτουν µέσα από µία ακολουθία βηµάτων. Μέσω του λογισµικού δυναµικής γεωµετρίας έχουµε την δυνατότητα να µοντελοποιήσουµε προβλήµατα και να συνδέσουµε προβλήµατα του πραγµατικού κόσµου µε τα µαθηµατικά. Έτσι µας δίνεται η δυνατότητα να συνδέσουµε την άτυπη µε την τυπική γνώση, να κατανοήσουµε και να µεταδώσουµε αυτή την γνώση και κατανόηση. Είναι όµως αναγκαία η εξοικείωση µε τα εργαλεία αυτά ώστε να βοηθήσουν τους µαθητές να σχηµατίσουν µαθηµατικές ιδέες και να µην αποτελέσουν ένα επιπλέον γνωστικό εµπόδιο ή όπως αναφέρει ο Goldenberg (1999) «ακόµα κι αν η τεχνολογία είναι προσεκτικά επιλεγµένη ώστε να υποστηρίξει τους στόχους µιας σειράς µαθηµάτων, δεν µπορεί έτσι απλά να «προσγειωθεί» σε µία δοµή που έχει σχεδιαστεί χωρίς πρόβλεψη για τη χρήση της. Η διδακτική, η ύλη και η τεχνολογία πρέπει να έχουν νόηµα µαζί, ως σύνθεση» ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Duval, R.: 1998, Geometry from a Cognitive Point of View, In C. Mammana & V. Villani(eds), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century: an ICMI study, Dordrecht: Kluwer. 2. Fischbein E. (1993), The theory of figural concepts, in Ed. Stud. in Math. Vol. 24, n. 2, pp.139-62. 3. Freudenthal, H. (1973): Mathematics as an Educational task. 4. Dordrecht: Reidel.Goldenberg, P. (1999), Principles, Art, and Craft in Curriculum Design: The Case of Connected Geometry, International Journal of Computers for Mathematical Learning 4: Kluwer 5. Jackiw, N. (1991). The Geometer's Sketchpad [Computer program]. Berkeley, CA: Key Curriculum Press 6. Laborde, C.:1993, The computer as part of the learning environment: the case of geometry,keithel, C. & Ruthven, K., Learning from computers: mathematics education and technology, NATO ASI Series, Springer Verlag, 48-67. 7. Mariotti M.A. (1992), Geometrical reasoning as a dialectic between the figural and the conceptual aspect, in Topologie structurale / Structural topology, n. 18. 8. Mariotti M.A. (1996) Interaction between images and concepts in geometrical reasoning, Doctoral thesis, Università di Tel Aviv, Pre-Print Dipartimento di Matematica di PIsa, n. 5.21.939. 9. Parzysz, B. (1988). Knowing versus seeing: problems of the plane representation of space geometry figures. Educational Studiesin Mathematics, 19(1), 79 92. 10. Peirce, C. S. (1906). Prolegomena to an apology of pragmaticism. In J.Hoopes (Ed.), Peirce on signs: Writings on semiotics by Charles Sanders Peirce (pp. 249-252). Chapel Hill: The University of North Carolina Press 11. Κολέζα, E.(2000): Γνωσιολογική και ιδακτική Προσέγγιση των Στοιχειωδών Μαθηµατικών Εννοιών. Leader books