Ο ΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο ΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ"

Θεόδουλος Μπλέτσας
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ GEOGEBRA Ο ΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

2 Η ΠΡΩΤΗ ΓΝΩΡΙΜΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ GEOGEBRA 1. ΓΕΝΙΚΑ Με το λογισµικό Geogebra µπορούµε να κατασκευάσουµε όλα σχεδόν τα γεωµετρικά επίπεδα σχήµατα, να µετρήσουµε τα µεγέθη τους (γωνίες, πλευρές, εµβαδόν) και να χειριστούµε τις µετρήσεις αυτές αναζητώντας σχέσεις µεταξύ τους. Ο τρόπος µε τον οποίο θα κατασκευάσουµε ένα γεωµετρικό σχήµα εξαρτάται από τα εργαλεία που θα διαλέξουµε και τις ιδιότητες που θέλουµε να έχει το συγκεκριµένο σχήµα. Στην συνέχεια ακολουθούν συγκεκριµένα βασικά παραδείγµατα κατασκευών τα οποία καλό θα είναι να µελετηθούν και να υλοποιηθούν από τον χρήστη ώστε να αποκτήσει µία καλή αντίληψη των δυνατοτήτων του λογισµικού. Κατ αρχήν θα πρέπει να γνωρίζουµε ότι οι γεωµετρικές κατασκευές γίνονται µε τις δυνατότητες που µας παρέχουν τα 9 menu που ανοίγουν κάθε φορά που κάνουµε κλικ σε ένα από τα 9 κουµπιά που παρουσιάζονται στην οθόνη του λογισµικού Ακόµη κάνοντας δεξί κλικ σε ένα γεωµετρικό αντικείµενο µας παρέχονται επιπλέον δυνατότητες να καθορίσουµε την εµφάνισή του, το όνοµά του, την δηµιουργία ίχνους, τις ιδιότητές του. Για παράδειγµα κάνοντας κλικ στην εντολή είξε το αντικείµενο µπορούµε να το αποκρύψουµε, ενώ το ίδιο µπορεί να συµβεί και µε την ετικέτα. Στην συνέχεια παρουσιάζονται αναλυτικά ορισµένες κατασκευές βασικών γεωµετρικών σχηµάτων, µέσω των οποίων ο χρήστης θα εξοικειωθεί µε τα εργαλεία και τις δυνατότητες που παρέχει το λογισµικό.

3 . ΤΥΧΑΙΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Η πρώτη οµάδα κατασκευών αφορά σε δυναµικά γεωµετρικά αντικείµενα µε τυχαίες διαστάσεις που µεταβάλλονται σύροντας κορυφές τους..1. Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου.(1) Ενέργεια Εργαλείο Θέση Ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ Κάθετη στο ΑΒ στο σηµείο Α. 4 Επιλογή σηµείου Γ πάνω στην κάθετη Απόκρυψη της κάθετης Ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ και ΒΓ (δεξί κλικ και αποεπιλογή του αντικειµένου) Επί τόπου. Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου.() Ενέργεια Εργαλείο Θέση Ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ Ηµικύκλιο µε βάση το ΒΓ Σηµείο Α πάνω στο ηµικύκλιο Ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ και ΑΓ. Απόκρυψη του ηµικυκλίου.. Επί τόπου. Η κατασκευή τετραγώνου Ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. Περιστροφή του ΑΒ γύρω από το Α (ή το Β) κατά 90 0.

4 Περιστροφή του νέου τµήµατος κατά 90 0 Τελική περιστροφή του τρίτου τµήµατος κατά Κατασκευή παραλληλογράµµου (1). Ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ Κατασκευή του διανύσµατος ΒΑ. Σηµείο Γ εκτός ΑΒ. Μεταφορά του Γ κατά το διάνυσµα ΒΑ. του παραλληλογράµµου. Απόκρυψη του διανύσµατος Επί τόπου. Κατασκευή παραλληλογράµµου () Κατασκευή τριγώνου ΑΒΓ Κατασκευή του συµµετρικού του ως προς µία κορυφή του. Εδώ µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι και οι δύο κατασκευές στηρίζονται στις ιδιότητες του παραλληλογράµµου. ραστηριότητα: Να δηµιουργήσετε µία κατασκευή µε βάση τον ορισµό του παραλληλογράµµου.. Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου (1). Ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ Μεσοκάθετη στο ΒΓ. 4 Σηµείο Α πάνω στην µεσοκάθετη. ΑΒ, ΑΓ. Απόκρυψη της Επί τόπου 4

5 µεσοκαθέτου. Κατασκευή ισοσκελούς τριγώνου (). Κατασκευή ορθογωνίου τριγώνου Ανάκλαση του τριγώνου ως προς µία κάθετη πλευρά. ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΠΡΟΚΑΘΟΡΙΣΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ Η δεύτερη οµάδα κατασκευών αφορά σε γεωµετρικά αντικείµενα µε συγκεκριµένες διαστάσεις, δηλαδή µε διαστάσεις εκ των προτέρων καθορισµένες..1 Κατασκευή τριγώνου µε δεδοµένο µήκος πλευρών.. Ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ µε µήκος 1(ενδεικτικό). κέντρο Β και ακτίνα (ενδεικτική). κέντρο Γ και ακτίνα 10(ενδεικτική). Κατασκευή σηµείου τοµής Α των δύο κύκλων. ΑΒ, ΑΓ. Απόκρυψη της µεσοκαθέτου Επί τόπου. Κατασκευή τριγώνου µε δεδοµένο µήκος πλευρών και δεδοµένη γωνία. Γωνία κορυφής Α µε µέγεθος 0 0 (ενδεικτικό). κέντρο Α και δεδοµένη ακτίνα 8 (ενδεικτική).. κέντρο Α και δεδοµένη ακτίνα (ενδεικτική). Κατασκευή ηµιευθειών µε βάση τις πλευρές της

6 γωνίας Κατασκευή του σηµείου τοµής Β του ενός κύκλου µε την µία ηµιευθεία Κατασκευή του σηµείου τοµής Γ του δεύτερου κύκλου µε την δεύτερη ηµιευθεία ΑΒ, ΑΓ. Απόκρυψη των κύκλων και των ηµιευθειών Επί τόπου. Στις παραπάνω κατασκευές τα σχήµατα που προκύπτουν δεν µεταβάλλονται. Αυτή ακριβώς η ιδιότητα των σχηµάτων χαρακτηρίζει τον όρο κατασκευή µε µαθηµατικό τρόπο. ηλαδή στις τυχαίες κατασκευές το γεωµετρικό αντικείµενο που προκύπτει δεν είναι µονοσήµαντα ορισµένο, ενώ στις προκαθορισµένες είναι µοναδικό. Προτεινόµενες δραστηριότητες: 1) Να κατασκευάσετε ένα παραλληλόγραµµο µε πλευρές ΑΒ=8, Α = και γωνία Α=40 0. ) Να κατασκευάσετε έναν ρόµβο πλευράς 8 του οποίου η µία διαγώνιος έχει µήκος 1. 4 ΧΡΗΣΗ ΜΕΤΑΒΟΛΕΩΝ Μία ιδιαίτερη περίπτωση κατασκευών µε προκαθορισµένα µεγέθη είναι αυτές στις οποίες ο καθορισµός των µεγεθών επιτυγχάνεται µέσα από µεταβολείς. Οι µεταβολείς είναι εργαλεία τα οποία µετατρέπουν τα µεγέθη ενός γεωµετρικού σχήµατος σε µεταβλητές στις οποίες εµείς µπορούµε να καθορίζουµε τις τιµές κατά βούληση. Οι κατασκευές αυτές ακολουθούν ακριβώς τα ίδια βήµατα µε τις αντίστοιχες των προκαθορισµένων µεγεθών. Η µόνη διαφορά έγκειται στο ότι πριν ξεκινήσουµε την κατασκευή θα πρέπει να δηµιουργήσουµε έναν ή περισσότερους µεταβολείς ανάλογα µε τα µεγέθη που θέλουµε να παραµετρικοποιήσουµε. 4.1 Κατασκευή παραµετρικού τριγώνου µε παραµέτρους µία του πλευρά και µία του γωνία. Κατασκευή ενός µεταβολέα αριθµών λ µε εύρος από 0 έως 10(ενδεικτικό). Κατασκευή ενός µεταβολέα γωνιών ω µε εύρος από 0 έως Ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ µε µήκος λ.

7 Γωνία κορυφής Α µε µέγεθος ω. Κατασκευή ηµιευθείας µε βάση την πλευρά της γωνίας κέντρο Α και δεδοµένη ακτίνα 8 (ενδεικτική).. Κατασκευή του σηµείου τοµής Γ του κύκλου µε την ηµιευθεία Απόκρυψη του κύκλου και της ηµιευθείας ΑΓ και ΒΓ. Επί τόπου. Η χρησιµότητα της παραµετροποίησης έγκειται στο ότι µπορούµε να δηµιουργήσουµε ελεγχόµενα γεωµετρικά φαινόµενα και να µελετήσουµε την κίνηση συγκεκριµένων σηµείων (γεωµετρικός τόπος) ή να µελετήσουµε τον τρόπο που συµµεταβάλλονται δύο µεγέθη σε ένα δυναµικό γεωµετρικό σχήµα. 4. Παράδειγµα δραστηριότητας 1 Σε ένα τµήµα ΑΒ κινείται ένα σηµείο Μ. Έξω από το ΑΒ υπάρχει ένα σταθερό ΜΑ ΣΜ σηµείο Γ. Πάνω στο τµήµα ΜΓ κινείται ένα σηµείο Σ έτσι ώστε = ΑΒ ΓΜ. Να µελετηθεί η πορεία του σηµείου Σ (ο γεωµετρικός τόπος) Ενέργειες Κατασκευή ενός µεταβολέα αριθµών λ µε εύρος από 0 έως 1. Ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ Σηµείο Γ έξω από το ΑΒ. ιαστολή του σηµείου Α ως προς το Β µε συντελεστή λ.(προκύπτει το σηµείο Μ) Κατασκευή του ΜΓ. ιαστολή του σηµείου Μ ως προς το Γ µε συντελεστή λ.(προκύπτει το σηµείο Σ) ηµιουργία ίχνους του εξί κλικ πάνω στο Σ. Επί τόπου.

8 σηµείου Σ Σύρσιµο του µεταβολέα. Για να πετύχουµε συνεχόµενη γραµµή και όχι διακριτά σηµεία θα πρέπει η παράµετρος λ να έχει µικρό βήµα π.χ 0,01. Αυτό καθορίζεται από το menu των ιδιοτήτων του µεταβολέα λ. Η θέση του ελεύθερου σηµείου Γ καθορίζει και το είδος της καµπύλης που θα εµφανιστεί. Αυτό σηµαίνει ότι µπορούµε να πειραµατιστούµε µε την θέση του Γ. Αποτέλεσµα Καθώς µεταβάλλουµε το λ το σηµείο Σ γράφει µία καµπύλη το σχήµα της οποίας παραπέµπει σε παραβολή. 4. Παράδειγµα δραστηριότητας Τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ είναι όµοια, συγκεκριµένα το Α Β Γ προκύπτει από το ΑΒΓ ως µεγέθυνση ή σµίκρυνση. Ποια σχέση συνδέει τα εµβαδά των δύο τριγώνων καθώς µεταβάλλεται ο λόγος οµοιότητάς τους; Ενέργειες Κατασκευή ενός µεταβολέα αριθµών λ µε εύρος από - έως. Κατασκευή τριγώνου ΑΒΓ ιαστολή του τριγώνου ως προς το Γ µε συντελεστή λ.(προκύπτει το τρίγωνο Α Β Γ) ηµιουργία του σηµείου Μ=(λ, Ε) Κάτω από τον χώρο σχεδίασης Εµφάνιση των αξόνων εξί κλικ πάνω στον χώρο Επί τόπου 8

9 ηµιουργία ίχνους του σηµείου Μ Σύρσιµο του µεταβολέα. σχεδίασης εξί κλικ πάνω στο Μ. Επί τόπου. Αποτέλεσµα Το σηµείο Μ γράφει µία παραβολή, την Ε=(ΑΒΓ).λ. Αυτό σηµαίνει ότι Ε ( ΑΒΓ) =λ Εδώ οι αρνητικές τιµές για τον µεταβολέα αποκτούν νόηµα αφού σε αυτή την περίπτωση το όµοιο τρίγωνο κατασκευάζεται κατακόρυφα προς το αρχικό. Προτεινόµενη δραστηριότητα: Ένα τετράγωνο ΑΒΓ έχει µεταβαλλόµενη πλευρά α. Αν Μ το µέσον της πλευράς ΑΒ να βρείτε την καµπύλη που περιγράφει την σχέση µεταξύ του τµήµατος ΜΓ και της διαγωνίου του τετραγώνου, καθώς µεταβάλλεται η πλευρά του. 9

Σχετικά έγγραφα

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ

α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.