Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ"

Ἐλισάβετ Γεωργιάδης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Π Ρ Ο Σ Ε Γ Γ Ι Σ Η Μ Ι Α Σ Ι Α Φ Ο Ρ Ε Τ Ι Κ Η Σ Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Σ Εκτός της Ευκλείδειας γεωµετρίας υπάρχουν και άλλες γεωµετρίες µη Ευκλείδιες.Οι γεω- µετρίες αυτές διαφοροποιούνται σε ένα ή περισσότερα σηµεία της Ευκλείδειας και δηµιουργούν δικό τους θεωρητικό υπόβαθρο που ξεφεύγει από τη διαίσθηση µας.για παράδειγ- µα αναφέρουµε την υπερβολική γεωµετρία του Lobachevsky ο οποίος αγνοεί το 5 ο Ευκλείδειο αίτηµα (αίτηµα της παραλληλίας) και δέχεται ότι από σηµείο εκτός ευθείας άγονται προς την ευθεία δύο τουλάχιστον παράλληλες (υπερβολικό αξίωµα) (βλέπε ιστορικό σηµείωµα σελίδας 90 σχολικού βιβλίου γεωµετρίας). Στο παρακάτω άθρο θα αναφερθούµε µε µία µη Ευκλείδεια γεωµετρία η οποία διαφοροποιείται της Ευκλείδειας στην έννοια της απόστασης δύο σηµείων του επιπέδου,διατηρόντας τις άλλες έννοιες της Ευκλείδειας γεωµετρίας. Έστω Α, Β δύο σύνολα.καρτεσιανό γινόµενο του Αεπί το Β,ονοµάζουµε το σύνολο: {( α, β ) / α Α, β Β } Α x Β= α β α β Το καρτεσιανό γινόµενο RxR παριστάνεται µε R και γεωµετρικά παριστάνει ένα επίπεδο. Ορισµός: Έστω ένα µη κενό σύνολο Χ και µία συνάρτηση ρ : Χ x Χ R για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες: i. ρ ( α, β ) 0,για κάθε α, β Χ. ii. ρ ( α, β ) = 0 α = β. iii. ρ ( α, β ) = ρ ( β, α ),για κάθε α, β Χ (συµµετρική ιδιότητα της ρ ) iii. ρ ( α, β ) ρ ( α, γ ) + ρ ( γ, β ) για κάθε α, β, γ Χ (τριγωνική ανισότητα της ρ ). Η ρ ονοµάζεται µετρική στο Χ και το ζεύγος ( Χ, ρ) λέµε ότι είναι µετρικός χώρος. Ο µη αρνητικός αριθµός ρ ( α, β ) ονοµάζεται απόσταση των α, β. Παράδειγµα 1 ο : Η συνάρτηση ρ : R R µε ρ ( χ, ψ ) = χ ψ,για κάθε χ, ψ ψ R,εύκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι ικανοποιεί τον παραπάνω ορισµό,οπότε είναι µια µετρική στην ευθεία (συνήθης µετρική στο R ). Παράδειγµα ο : Στο επίπεδο θεωρούµε δύο τυχαία σηµεία Α( χ1, ψ1), Β ( χ, ψ ).Γνωρίζουµε ότι η απόσταση των σηµείων Α, Β δίνεται από τον τύπο: ( χ χ ) ( ψ ψ ) d( Α, Β ) = χ χ + ψ ψ 1 1 Θεωρούµε τη συνάρτηση ρ : R xr R µε ρ( Α, Β ) = d( Α, Β ) για οποιαδήποτε σηµεία Α, Β του επιπέδου.έχουµε: i. ρ( Α, Β ) 0. χ 1 = χ ii. ρ( Α, Β ) = 0 Α Β (Τα σηµεία Α, Β ταυτίζονται) ψ 1 = ψ iii. ρ ( Α, Β ) = ρ ( Β, Α ). iv. Αν Γ ένα τρίτο σηµείο τότε ισχύει: ( ΑΒ ) ( ΑΓ ) + ( ΓΒ ). Πράγµατι: Αν τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθεικά βλέπε άσκηση 3 (i) απόδεικτικών ασκήσεων σχολικής Ευκλ.Γεωµ. σελ.14.

2 Αν τα σηµεία δεν είναι συνευθειακά το ΑΒΓ είναι τρίγωνο οπότε ισχύει η τριγωνική ιδιότητα.άρα ρ ( Α, Β ) ρ ( Α, Γ ) + ρ ( Γ, Β ). Συνεπώς η ρ είναι µία µετρική στο επίπεδο και ονοµάζεται Ευκλείδεια µετρική Από τα παραπάνω παραδείγµατα προκύπτει ότι η ευθεία και το επίπεδο εφοδιασµένα µε την έννοια της απόστασης όπως διδάσκει η Ευκλείδεια γεωµετρία είναι µετρικοί χώροι Αν τώρα στο επίπεδο ορίσουµε µια µετρική που θα µας δίνει διαφορετικά την απόσταση δύο ση- µείων του,τότε θα έχουµε ένα µετρικό χώρο στον οποίο θα έχουµε διαφορετικά συµπεράσµατα από αυτά της Ευκλείδειας γεωµετρίας σε ότι έχει να κάνει µε την έννοια της απόστασης. Έστω ότι οι δρόµοι µιας πόλης ορίζουν ίσα τετράγωνα µε πλευρά 1 µονάδα.ένα ταξί κινείται περιµετρικά µόνο των τετραγώνων.(οριζόντια-κατακόρυφα) χωρίς να πηγαίνει µπρος-πίσω.θέλουµε να βρούµε την ελάχιστη διαδροµή που θα κάνει το ταξί από το σηµείο Α µέχρι το Β. Από το σχήµα διαισθητικά καταλαβαίνουµε ότι η ελάχιστη απόσταση των Α, Β δεν είναι το ( ΑΒ ),αλλά µερικές διαδροµές που δίνουν την ελάχιστη απόσταση είναι οι Α Γ Β (κόκκινη γραµµή) ή Α Β (πράσινη γραµµή). Αν Α ( χ, ψ ), Β ( χ, ψ ), Γ ( χ, ψ ),τότε ( ΑΓ ) + ( ΓΒ ) = ψ ψ 1 + χ χ Στο επίπεδο R αν Α ( χ, ψ ), Β ( χ, ψ ) δύο οποιαδήποτε σηµεία του θεωρούµε τη συνάρτηση 1 1 ρ : R xr R µε ρ ( Α, Β ) = χ χ 1 + ψ ψ 1.Για την ρ έχουµε: i. ρ( Α, Β ) 0. ii. ρ( Α, Β ) = 0 Α Β. iii. ρ ( Α, Β ) = ρ ( Β, Α ). iv. Αν Γ ( χ, ψ ), ρ ( Α, Β ) = χ χ + ψ ψ = ( χ χ ) + ( χ χ ) + ( ψ ψ ) + ( ψ ψ ) ρ ( Α, Β ) χ 3 χ 1 + ψ 3 ψ 1 + χ χ 3 + ψ ψ 3 ρ ( Α, Β ) ρ ( Α, Γ ) + ρ ( Γ, Β ). Άρα η ρ είναι µετρική στο επίπεδο. Ας θεωρήσουµε για την παραπάνω ρ το µετρικό χώρο (, ) R ρ.. Κάνουµε τις παρακάτω παραδοχές: 1. Το δύκτιο δρόµων µιας πόλης αποτελείται από οριζόντιους και κατακόρυφους δρόµους ορίζοντας ίσα τετράγωνα µε µήκος πλευράς 1 (Ιδανική πόλη).. Τα σηµεία βρίσκονται στο δύκτιο διασταυρώσεων και έχουν ακέραιες συντεταγµένες. 3. Ένα φανταστικό ταξί κινείται περιµετρικά των τετραγώνων διανύοντας την ελάχιστη α- πόσταση µεταξύ δύο σηµείων.η ελάχιστη αυτή απόσταση είναι ο µικρότερος αριθµός µονάδων του δυκτίου (η διαδροµή της ελάχιστης απόστασης δεν είναι µοναδική) και ονοµάζεται απόσταση Manhattan.

3 Η γεωµετρία που διαµορφώνεται σε µία ιδανική πόλη µε βάση τη µετρική ρ στο R όπως την ο- ρίσαµε παραπάνω, ονοµάζεται Γεωµετρία ταξί (taxicab Geometry ή Γεωµετρία των πόλεων) και διαφοροποιείται από την Ευκλείδεια Γεωµετρία σε όλες εκείνες τις έννοιες που έχουν να κάνουν µε την απόσταση σηµείων,διατηρόντας όλες τις υπόλοιπες έννοιες.είναι λογικό στην καινούργια γεωµετρία,αφού µετριέται διαφορετικά η απόσταση δύο σηµείων,να έχουµε διαφοροποίηση των σχηµάτων όπως τα ξέρουµε στην Ευκλείδεια Γεωµετρία. Γιατί θα πρέπει ξαφνικά να θέλουν να αλλάξει ο ορισµός της απόστασης; (η Ευκλείδεια γεωµετρία έχει πάει µια χαρά τα τελευταία 000 χρόνια...). Υπάρχουν µερικές πιθανές απαντήσεις στο ερώτηµα αυτό. Η πιο προφανής προτείνεται από το όνοµα Γεωµετρία ταξί. Η Ευκλείδεια γεωµετρία µέτρα την απόσταση «σε ευθεία γραµµή», αλλά αυτό σπανίως αποτελεί ένα καλό µοντέλο για πραγµατικές καταστάσεις, ιδιαίτερα στις πόλεις, όπου µία απόσταση δεν µπορεί πάντα να διανυθεί σε ευθεία γραµµή. Ως λιγότερο σοβαρή µια άλλη απάντηση είναι ότι η εφαρµογή της απόσταση ταξί είναι το σωστό µοντέλο για ορισµένα παιχνίδια που παίζονται σε ένα τετράγωνο πλέγµα και όπου µόνο κάθετες και οριζόντιες κινήσεις επιτρέπονται. (Βεβαίως, τα περισσότερα τέτοια παιχνίδια επιτρέπουν και διαγώνιες κινήσεις, οπότε πρέπει να χρησιµοποιήσουµε ακόµη έναν ορισµό της απόστασης.) Ένας πολύ καλός λόγος για τη µελέτη της Γεωµετρίας ταξί είναι ότι αποτελεί ένα απλό µοντέλο µη Ευκλείδειας γεωµετρίας. Η Γεωµετρία ταξί έχει το πλεονέκτηµα ότι είναι αρκετά διαισθητική σε σύγκριση µε κάποιες άλλες µη Ευκλείδειες γεωµετρίες, και απαιτεί λιγότερο µαθηµατικό υπόβαθρο. Στα παρακάτω για να δηλώσουµε την απόσταση των σηµείων Α, Βστη Γεωµετρία ταξί θα χρησι- µοποιούµε το συµβολισµό ρ( Α, Β ) και για την Ευκλείδεια απόσταση το συµβολισµό d( Α, Β ). Παράδειγµα Σε µία ιδανική πόλη στο σηµείο X (, 4) έχει συµβεί ένα ατύχηµα.στα σηµεία Α (, 1) και Β ( 1, 1) βρίσκονται δύο αστυνοµικά οχήµατα.ποιό από τα δύο οχήµατα πρέπει να σταλεί στο σηµείο του ατυχήµατος. Λύση Θα πρέπει να σταλεί το όχηµα που είναι ποιο κοντά στο σηµείο X. ρ( Α, Χ ) = = 7, ρ( Β, Χ ) = = 6.Επειδή ρ ( Β, Χ ) < ρ ( Α, Χ ) θα πρέπει να σταλεί το όχηµα που βρίσκεται στη θέση Β.

4 Μερικά συµπεράσµατα και σχήµατα στη Γεωµετρία ταξί. 1. Στο παρακάτω σχήµα έχουµε δύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ, ΕΖ. ρ( Α, Β ) = ρ(, Ε ) =. Τα τµήµατα που έχουν ίδιο µήκος δεν είναι αναγκαστικά ίσα. ρ( Α, Β ) =, ρ( Α, Γ ) =, ρ( Β, Γ ) = 4 ρ ( Α, Β ) + ρ ( Α, Γ ) = 8 ρ ( Β, Γ ). εν ισχύει το πυθαγόρειο θεώρηµα. ρ(, Ε ) = ρ(, Ζ ) = ρ( Ε, Ζ ) =. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο µπορεί να είναι ισοσκελές. Τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΕΖ έχουν: τα µήκη δύο πλευρών τους ίσα ( ρ( Α, Β ) = ρ(, Ε ), ρ( Α, Γ ) = ρ(, Ζ ) ) και τις περιεχόµενες γωνίες ίσες ( Α= = 1 ),αλλά δεν είναι ίσα αφού ρ( Β, Γ) ρ( Ε, Ζ ).. Μεσοκάθετος τµήµατος Ας θεωρήσουµε το ευθύγραµµο ΟΑ µε Ο(0,0), Α (, ).Αν Μ ( χ, ψ ) τυχαίο σηµείο της µεσοκαθέτου του ΟΑ,θα έχουµε: ρ( Μ, Ο ) = ρ( Μ, Α) χ + ψ = χ + ψ (1). Αν χ 0,τότε (1) χ+ ψ = χ+ + ψ ψ ψ = (). Αν ψ 0, () ψ + ψ = αδύνατο. Αν 0< ψ, ψ + ψ = ψ =. Αν ψ >,() ψ ψ + = που ισχύει. Αν 0< χ,τότε (1) χ+ ψ = χ+ + ψ χ+ ψ ψ = (3). Αν ψ 0, (3) χ ψ + ψ = χ =. Αν 0< ψ, (3) χ+ ψ + ψ = χ+ ψ =. Αν ψ >, (3) χ+ ψ ψ + = χ = 0. Αν χ >,τότε (1) χ+ ψ = χ + ψ ψ ψ = (4). Αν ψ 0, (4) ψ + ψ = που ισχύει. Αν 0< ψ, (4) ψ + ψ = ψ = 0. Αν ψ >, (4) ψ ψ + = αδύνατο.

5 Οι παραπάνω περιπτώσεις µας δίνουν το παρακάτω σχήµα. 6 y 4 B A(,) Γ O x Άρα η µεσοκάθετος του ΟΑ είναι το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ µαζί µε τις σκιαγραφιµένες περιοχές.. Kύκλος µε κέντρο Κ ( χ, ψ ) και ακτίνα r. 0 0 Αν Μ ( χ, ψ ) τυχαίο σηµείο του κύκλου πρέπει ρ ( Κ, Μ ) = r χ χ 0 + ψ ψ 0 = r (1). Η (1) είναι η εξίσωση του κύκλου. Για διευκόλυνση ας θεωρήσουµε τον κύκλο µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα r=. Τότε η εξίσωσή του είναι χ + ψ = (). Η () γραφικά µας δίνει το παρακάτω τετράγωνο. Άρα ο κύκλος είναι το τετράγωνο ΑΒΓ..Το µήκος του κύκλου ταξί είναι L= 16. Γενικότερα κάθε κύκλος στη γεωµετρία των ταξί είναι τετράγωνο χωρίς να ισχύει το αντίστροφο, β. Έλλειψη µε κέντρο την αρχή των αξόνων και εστίες Ε ( γ, 0), Ε ( γ, 0), γ > 0. Αν Μ ( χ, ψ ) τυχαίο σηµείο της έλλειψης τότε ρ ( Μ, Ε ) + ρ ( Μ, Ε ) = α χ γ + χ + γ + ψ = α (1) α > 0.Η (1) είναι η εξίσωση της έλλειψης.

6 Ας θεωρήσουµε την έλλειψη µε εστίες Ε ( 1, 0), Ε (1, 0), α = 4 και κέντρο Ο (0, 0).Η εξίσωση της έλλειψης είναι χ 1 + χ ψ = 8. y Γ Β A' Ε' Ε Α Ο x Γ' - -4 Β' -6-8 Η έλλειψη είναι το εξάγωνο ΑΒΓΑΓΒ.και το Ο παραµένει κέντρο συµµετρίας του σχήµατος. 3. Υπερβολή µε κέντρο την αρχή των αξόνων και εστίες Ε ( γ, 0), Ε ( γ, 0), γ > 0. Αν Μ ( χ, ψ ) τυχαίο σηµείο της υπερβολής τότε ρ ( Μ, Ε ) ρ ( Μ, Ε ) = α χ γ χ + γ = α (1), α > 0.Η (1) είναι η εξίσωση της υπερβολής. Ας θεωρήσουµε την υπερβολή µε εστίες Ε (, 0), Ε (, 0), α = 1και κέντρο Ο (0,0).Η εξίσωση της υπερβολής είναι χ χ + = (). χ - + χ χ Αν χ, () χ = 1 χ = 1ή χ = 1αδύνατο. Αν < χ <, () χ = 1 χ = 1ή χ = 1. Αν χ, () 4= αδύνατο.

7 Η υπερβολή είναι οι κατακόρυφες ευθείες ε, ε. 1 Σχόλιο: Στη γεωµετρία ταξί η µεσοκάθετος τµήµατος και οι κωνικές τοµές δεν έχουν δεδοµένη µορφή όπως στην Ευκλείδεια Γεωµετρία.

Σχετικά έγγραφα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου