K8(03) 99

åëßáèíñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò Ã.À.Ñâè èä ê Â.Å.Ôåäî îâ ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ àñòü I Ó åáíîå ïîñîáèå åëßáèíñê 1999

Ìèíèñòå ñòâî îáùåãî è ï îôåññèîíàëüíîãî îá àçîâàíèß Ðîññèéñêîé Ôåäå àöèè åëßáèíñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò Ã.À.Ñâè èä ê Â.Å.Ôåäî îâ ÌÀÒÅÌÀÒÈ ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ àñòü I Ó åáíîå ïîñîáèå åëßáèíñê 1999

ÁÁÊ Â16 ß 73 Ñ247 ÓÄÊ 517.9 Ñ247 Ìàòåìàòè åñêèé àíàëèç.. I : Ó åá. ïîñîáèå / Ã.À.Ñâè èä ê, Â.Å.Ôåäî îâ; åëßá. ãîñ. óí-ò. åëßáèíñê, 1999. 158 ñ. ISBN 5-230-20012-x Ïîñîáèå îõâàòûâàåò áîëü îé àçäåë êó ñà ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà, èòàåìûé â ïå âîì ñåìåñò å ñòóäåíòàì, îáó à ùèìñß ïî ñïåöèàëüíîñòè "Ï èêëàäíàß ìàòåìàòèêà". Íåñêîëüêî íåñòàíäà òíîå àçáèåíèå ìàòå èàëà íà ãëàâû ëîãè åñêè è ìåòîäè åñêè âïîëíå îáîñíîâàíî. Áîëü îå êîëè åñòâî óï àæíåíèé ïîçâîëßåò èòàòåë ëó å îñâîèòü ï åäëàãàåìûé ìàòå èàë è èñïîëüçóåìûå ìåòîäû. Ï åäíàçíà åíî äëß ñòóäåíòîâ ìàòåìàòè åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé. Áèáëèîã.: 12 íàçâ. Ïå àòàåòñß ïî å åíè åäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà åëßáèíñêîãî ãîñóäà ñòâåííîãî óíèâå ñèòåòà. Ðåöåíçåíòû: êàôåä à ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà ÃÏÓ; êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. Ë.Â.Ìàòâååâà 1702050000 012 Ô 4K8(03) 99 Áåç îáúßâë. Â 16 ß 73-1 ISBN 5-230-20031-6 c åëßáèíñêèé ãîñóäà ñòâåííûé óíèâå ñèòåò, 1999

Ñîäå æàíèå 3 Ñîäå æàíèå ÂÂÅÄÅÍÈÅ 4 0.1 Ìàòåìàòè åñêèé àíàëèç êàê íàóêà è äèñöèïëèíà... 5 0.2 Ýëåìåíòû ìàòåìàòè åñêîé ëîãèêè........... 8 0.3 Ìíîæåñòâà è îòîá àæåíèß............... 11 0.4 Ýëåìåíòà íûå ôóíêöèè................. 18 1 ÄÅÉÑÒÂÈÒÅËÜÍÛÅ ÈÑËÀ 25 1.1 Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ èñåë........... 25 1.2 Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë... 28 1.3 Ï èíöèï òî íîé âå õíåé ã àíè, àêñèîìà À õèìåäà. 31 1.4 Îñíîâíûå ï èíöèïû òåî èè äåéñòâèòåëüíûõ èñåë.. 36 2 ÈÑËÎÂÛÅ ÏÎÑËÅÄÎÂÀÒÅËÜÍÎÑÒÈ È ÐSSÄÛ 40 2.1 Îï åäåëåíèå ï åäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è åãî ñâîéñòâà 40 2.2 Ï åäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à èôìåòè åñêèå îïå àöèè 43 2.3 Ê èòå èè Êî è è Âåéå ò àññà. èñëî e....... 45 2.4 Ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè................. 49 2.5 Ñõîäèìîñòü èñëîâîãî ßäà............... 52 2.6 Ðßäû ñ íåîò èöàòåëüíûìè ëåíàìè. Ï èçíàêè ñ àâíåíèß........................... 54 2.7 Ðßäû ñ ïîëîæèòåëüíûìè ëåíàìè. Äîñòàòî íûå ï èçíàêè ñõîäèìîñòè..................... 57 2.8 Íåçíàêîïîñòîßííûå ßäû. Äîñòàòî íûå ï èçíàêè ñõîäèìîñòè.......................... 60 2.9 Àáñîë òíî ñõîäßùèåñß ßäû.............. 63 2.10 Óñëîâíî ñõîäßùèåñß ßäû................ 65 3 ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ 68 3.1 Ï åäåë ôóíêöèè â òî êå è åãî ñâîéñòâà........ 68 3.2 Ï åäåë, à èôìåòè åñêèå îïå àöèè è íå àâåíñòâà.. 71 3.3 Ê èòå èé Êî è ñóùåñòâîâàíèß ï åäåëà ôóíêöèè.. 74 3.4 Çàìå àòåëüíûå ï åäåëû è êâèâàëåíòíûå ôóíêöèè. 76 3.5 Ñèìâîëû Ëàíäàó o è O................. 80 3.6 Îäíîñòî îííèå ï åäåëû................. 82 3.7 Ëîêàëüíûå ñâîéñòâà íåï å ûâíûõ ôóíêöèé...... 85

ÂÂÅÄÅÍÈÅ 4 3.8 Ãëîáàëüíûå ñâîéñòâà íåï å ûâíûõ ôóíêöèé..... 87 3.9 Ê èòå èé íåï å ûâíîñòè ìîíîòîííîé ôóíêöèè.... 90 4 ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÐÓÅÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ 94 4.1 Ï îèçâîäíàß ôóíêöèè â òî êå è åå ñìûñë....... 94 4.2 Ï îèçâîäíàß è à èôìåòè åñêèå îïå àöèè....... 97 4.3 Îñíîâíûå òåî åìû î äèôôå åíöè óåìûõ ôóíêöèßõ. 102 4.4 Ôî ìóëà Òåéëî à..................... 105 4.5 Äîñòàòî íîå óñëîâèå êñò åìóìà ôóíêöèè. Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü....................... 110 4.6 Ï àâèëî Ëîïèòàëß.................... 114 4.7 Íåîï åäåëåííûé èíòåã àë. Ï îñòåé èå ï èåìû èíòåã è îâàíèß........................ 116 4.8 Èíòåã è îâàíèå àöèîíàëüíûõ ôóíêöèé. Ìåòîä Îñò- îã àäñêîãî........................ 122 4.9 Èíòåã è îâàíèå íåêîòî ûõ è àöèîíàëüíûõ ôóíêöèé 127 5 ÈÍÒÅÃÐÈÐÓÅÌÛÅ ÔÓÍÊÖÈÈ 130 5.1 Îï åäåëåíèå èíòåã àëà Ðèìàíà è èíòåã àëîâ Äà áó. 130 5.2 Ñâßçü èíòåã àëà Ðèìàíà è èíòåã àëîâ Äà áó..... 133 5.3 Äîñòàòî íûå óñëîâèß èíòåã è óåìîñòè ïî Ðèìàíó.. 135 5.4 Ñâîéñòâà èíòåã àëà Ðèìàíà............... 137 5.5 Èíòåã àë êàê ôóíêöèß âå õíåãî ï åäåëà. Ôî ìóëà Íü òîíà - Ëåéáíèöà..................... 141 5.6 Îï åäåëåíèå è ñâîéñòâà íåñîáñòâåííîãî èíòåã àëà Ðèìàíà............................ 144 5.7 Àáñîë òíàß è óñëîâíàß ñõîäèìîñòü íåñîáñòâåííîãî èíòåã àëà.......................... 148 5.8 Ï èçíàêè Àáåëß - Äè èõëå ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåã àëîâ........................ 151 5.9 Ìåòîäû ï èáëèæåííîãî âû èñëåíèß îï åäåëåííûõ èíòåã àëîâ.......................... 157 ÂÂÅÄÅÍÈÅ Äà è âîîáùå ß ìàòåìàòèêó íå î åíü ë áë. Ìà ê Òâåí "Ï èêë åíèß Ãåêëüáå è Ôèííà"

0.1 Ìàòåìàòè åñêèé àíàëèç êàê íàóêà è äèñöèïëèíà 5 0.1 Ìàòåìàòè åñêèé àíàëèç êàê íàóêà è äèñöèïëèíà Êàê õî î î èçâåñòíî, âñßêàß óâàæà ùàß ñåáß íàóêà äîëæíà èìåòü â ñâîåì àñïî ßæåíèè îáúåêò è ìåòîä èññëåäîâàíèé. Íå ñîñòàâëßåò èñêë åíèß èç òîãî îáùåãî ï àâèëà è ìàòåìàòè åñêèé àíàëèç (ñîê àùåííî, ÌÀÒÀÍ). Îáúåêòîì ÌÀÒÀÍ'à ßâëß òñß ôóíêöèè è èõ îáîáùåíèß, à ìåòîäîì èññëåäîâàíèß ï åäåëüíûé ïå åõîä. Èòàê, òî òàêîå ÌÀÒÀÍ ßñíî. Òåïå ü íóæíî ïîíßòü, òî òàêîå ôóíêöèß è òî òàêîå ï åäåëüíûé ïå åõîä. È òî, è ä óãîå ôóíäàìåíòàëüíûå ïîíßòèß ÌÀÒÀÍ'à, ñîäå æàíèå è ôî ìà êîòî ûõ íå àç ìåíßëèñü. Ïîçæå ìû èçëîæèì ñîâ åìåííîå òîëêîâàíèå òèõ ïîíßòèé, à ïîêà óäîâëåòâî èìñß îáúßñíåíèßìè, äàâàåìûìè â ñ åäíåé êîëå. Ïîä ôóíêöèåé y = f(x) ñîãëàñíî Ëîáà åâñêîìó 1 è Äè èõëå 2 ïîíèìàåòñß çàêîí, ïî êîòî îìó êàæäîìó èñëó x ñòàâèòñß â ñîîòâåòñòâèè èñëî y. Òàêèì îá àçîì îï åäåëåííàß ôóíêöèß y = f(x) îò îäíîãî ïå åìåííîãî x ßâëßåòñß îáúåêòîì èçó åíèß òàê íàçûâàåìîãî îäíîìå íîãî àíàëèçà. Àíàëîãè íî îï åäåëßåòñß ôóíêöèß ìíîãèõ ïå- åìåííûõ y = f(x 1,x 2,...,x n ) è äàæå ôóíêöèß áåñêîíå íîãî èñëà ïå åìåííûõ y = f(x 1,x 2,...),êîòî ûå èçó à òñß â êó ñàõ êîíå íî-, ñîîòâåòñòâåííî, áåñêîíå íîìå íîãî àíàëèçà. Ðàçóìååòñß, ï èâåäåííîå "îï åäåëåíèå"ôóíêöèè òàêîâûì â äåéñòâèòåëüíîñòè íå ßâëßåòñß. Ñóäèòå ñàìè, òàì íàïèñàíî "... ïîä ôóíêöèåé y = f(x) ïîíèìàåòñß çàêîí... ", à òî òàêîå "çàêîí"? èòàåì äàëåå: "...êàæäîìó èñëó x...", à òî òàêîå " èñëî"? Ê îáñóæäåíè òèõ âîï îñîâ ìû åùå âå íåìñß, à ñåé àñ íàïîìíèì, òî íåñìîò- ß íà ñâîå íåñîâå åíñòâî òî "îï åäåëåíèå"ôóíêöèè óäîâëåòâî ßëî âñåõ ìàòåìàòèêîâ íà ï îòßæåíèè áîëåå âåêà. Òåïå ü îá àòèìñß ê ä óãîìó ôóíäàìåíòàëüíîìó ïîíßòè ÌÀ- ÒÀÍÀ'à ï åäåëó. Ãîâî ßò, òî ôóíêöèß f(x) ñò åìèòñß ê ï åäåëó y 0 ï è x ñò åìßùåìñß ê x 0, åñëè âñå çíà åíèß ôóíêöèè f(x) ñêîëü óãîäíî ìàëî îòëè à òñß îò y 0, êîëü ñêî î x íàõîäèòñß äîñòàòî íî 1 Íèêîëàé Èâàíîâè Ëîáà åâñêèé (1792-1856) óññêèé ìàòåìàòèê, ñîçäàâ èé íååâêëèäîâó ãåîìåò è, íîñßùó åãî èìß. 2 Ïåòå Ãóñòàâ Ëåæ í Äè èõëå (1805-1859) íåìåöêèé ìàòåìàòèê, îäèí èç àêòèâíûõ òâî öîâ àíàëèçà.

0.1 Ìàòåìàòè åñêèé àíàëèç êàê íàóêà è äèñöèïëèíà 6 áëèçêî ê x 0. Â ñèìâîëè åñêîé çàïèñè òî âûãëßäèò òàê: f(x) y 0 ï è x x 0 èëè lim x x0 f(x) =y 0. (Ñèìâîë lim îò ëàòèíñêîãî ñëîâà "limit", òî îçíà àåò ï åäåë). Òî íó ôî ìóëè îâêó òîãî ïîíßòèß ìû äàäèì ïîçäíåå. À ñåé àñ îòìåòèì, òî ï åäåëüíûé ïå åõîä èñïîëüçóåòñß äëß èçó åíèß òàêèõ ñâîéñòâ ôóíêöèè êàê íåï å ûâíîñòü, äèôôå åíöè óåìîñòü è èíòåã è óåìîñòü. Èíòóèòèâíî ïîíßòèå íåï å ûâíîé ôóíêöèè êàê íåï å ûâíîãî òå- åíèß ñîâå åííî åñòåñòâåííî. Íàãëßäíî îíî âû àæàåòñß òàê: ìàëîå èçìåíåíèå íåçàâèñèìîé ïå åìåííîé x âûçûâàåò ëè ü ìàëîå èçìåíåíèå ôóíêöèè f(x), çíà åíèß êîòî îé íå äåëà ò âíåçàïíûõ ñêà êîâ, òî åñòü ã àôèê ôóíêöèè íèãäå íå àç ûâàåòñß. Îäíàêî íà èíòóèöè íåëüçß ññûëàòüñß, êîãäà õîòßò ïîßñíèòü ìàòåìàòè åñêó ñèòóàöè ; ìåæäó èíòóèòèâíîé èäååé è ìàòåìàòè åñêîé ôî ìóëè îâêîé, ï èçâàííîé îïèñûâàòü â òî íûõ âû àæåíèßõ âàæíûå äëß íàóêè ëåìåíòû íà åé èíòóèöèè, âñåãäà îñòàåòñß àç ûâ, ï îáåë. Íà îñíîâå ïîíßòèß ï åäåëà ìîæíî äàòü ìàòåìàòè åñêè ñîâå åííî ñò îãîå îï åäåëåíèå íåï å ûâíîé ôóíêöèè. Ôóíêöèß f(x) íàçûâàåòñß íåï å ûâíîé â òî êå x 0, åñëè lim f(x) =f(x 0 ), x x 0 òî åñòü çíà åíèå ôóíêöèè â òî êå x 0 àâíî ï åäåëó ôóíêöèè â òîé òî êå. Ëó å óßñíèòü ñåáå ïîíßòèå íåï å ûâíîñòè ôóíêöèè ìîæíî â ñîïîñòàâëåíèè ñ ï îòèâîïîëîæíûì åìó ïîíßòèåì àç ûâíîñòè. Ï îñòåé èé âèä àç ûâíîñòè â íåêîòî îé òî êå ñîñòîèò â òîì, òî çíà- åíèß ôóíêöèè â òîé òî êå äåëà ò ñêà îê. Â òàêîé òî êå àç ûâà çíà åíèß ôóíêöèè ñò åìßòñß ê îï åäåëåííûì, íî àçëè íûì ï åäåëàì â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ï èáëèæàåòñß ëè x ê ìåñòó ñêà êà ñï àâà èëè ñëåâà. Ï îñòåé åé àç ûâíîé ôóíêöèåé ßâëßåòñß ôóíêöèß y = sgnx ( èòàåòñß "ñèãíóì", îò ëàòèíñêîãî ñëîâà "signum" çíàê). sgnx = 1 ï è x<0; 0 ï è x =0; 1 ï è x>0.

0.1 Ìàòåìàòè åñêèé àíàëèç êàê íàóêà è äèñöèïëèíà 7 Ïóñòü çíà åíèß ïå åìåííîé x ëåæàò êàê ìîæíî áëèæå ê íóë, îñòàâàßñü âñå â åìß ñëåâà îò íåãî. Òîãäà ßñíî, òî çíà åíèß ôóíêöèè y = sgnx áóäóò âñå â åìß àâíû 1. Ñèìâîëè íî òî çàïèñûâàåòñß â âèäå lim sgnx = 1. x 0 Òåïå ü ïóñòü çíà åíèß ïå åìåííîé x ëåæàò êàê ìîæíî áëèæå ê íóë, îñòàâàßñü âñå â åìß ñï àâà îò íåãî. Â òîì ñëó àå çíà åíèß ôóíêöèè y = sgnx áóäóò âñå â åìß àâíû 1. Â ñèìâîëàõ òî âûãëßäèò òàê lim sgnx =1. x 0+ Îòñ äà ñëåäóåò, òî ôóíêöèß y = sgnx ï åäåëà â òî êå 0 íå èìååò è ïî òîìó ßâëßåòñß àç ûâíîé. Äåéñòâèòåëüíî, áå ß ïå åìåííó x ëåæàùåé êàê ìîæíî áëèæå ê íóë òî ñ îäíîé ñòî îíû, òî ñ ä óãîé ïîïå åìåííî, ìû ïîëó àåì, òî ôóíêöèß y = sgnx áóäåò ï èíèìàòü çíà åíèß 1 è 1,êîòî ûå íå îòëè à òñß ä óã îò ä óãà ñêîëü óãîäíî ìàëî. Åñëè ïîíßòèå íåï å ûâíîñòè ôóíêöèè äîñòàòî íî ï îñòî è íàãëßäíî è íóæäàåòñß ëè ü â ñò îãîì îôî ìëåíèè, òî ïîíßòèß äèôôå åíöè óåìîñòè è èíòåã è óåìîñòè ëó å èçó àòü íà îñíîâå ñò îãèõ ôî ìóëè îâîê. Ïî òîìó â çàêë åíèå ìû ñäåëàåì âåñüìà ê àòêèé êñêó ñ â èñòî è ÌÀÒÀÍ'à. Ãîä îæäåíèß ÌÀÒÀÍ'à 1687. Â òîì ãîäó ïîßâèëñß ôóíäàìåíòàëüíûé ò óä È.Íü òîíà 1 "Ìàòåìàòè åñêèå íà àëà íàòó àëüíîé ôèëîñîôèè". Êàê íàóêà ÌÀÒÀÍ áûë ñîçäàí â XVII-XVIII âåêàõ óñèëèßìè Ã.Ëåéáíèöà 2 è Ë.Ýéëå à 3 Â íà àëå XIX âåêà ò óäàìè Î.Êî è 1 è Ê.Âåéå ò àññà 2 áûë àç àáîòàí ìåòîä ï åäåëüíîãî ïå åõîäà, òî ïîçâîëèëî ñò îãî ñôî ìóëè îâàòü è äîêàçàòü îñíîâíûå åçóëüòàòû ÌÀÒÀÍ'à. Â ñâßçè ñ ñîçäàíèåì òåî èè ìíîæåñòâ 1 Èñààê Íü òîí (1643-1727) àíãëèéñêèé ôèçèê è ìàòåìàòèê, îñíîâîïîëîæíèê äèôôå åíöèàëüíîãî è èíòåã àëüíîãî èñ èñëåíèß. 2 Ãîòô èäâèëüãåëüì Ëåéáíèö (1646-1716) íåìåöêèé ìàòåìàòèê, ôèçèê, ôèëîñîô, îñíîâîïîëîæíèê ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà. 3 Ëåîíà äýéëå (1707-1783) âåéöà ñêèé ìàòåìàòèê, ìåõàíèê è ôèçèê, îäèí èç òâî öîâ ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà. 1 Îã ñòåí Ëóè Êî è (1789-1857) ô àíöóçñêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê, îäèí èç òâî öîâ ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà. 2 Êà ë Òåîäî Âèëüãåëüì Âåéå ò àññ (1815-1897) íåìåöêèé ìàòåìàòèê, íà ßäó ñ Î.Êî è îñíîâîïîëîæíèê ñò îãèõ ìåòîäîâ â ìàòåìàòè åñêîì àíàëèçå.

0.2 Ýëåìåíòû ìàòåìàòè åñêîé ëîãèêè 8 è òåî èè ìå û â XX âåêå ÌÀÒÀÍ ï èîá åòàåò çàêîí åííûé âèä è ñòàíîâèòñß âñå áîëåå äèñöèïëèíîé íåæåëè íàóêîé. Â ñâîåé ï åäûñòî èè äî XVII âåêà ÌÀÒÀÍ ßâëßë ñîáîé ñîâîêóïíîñòü å åíèé àç îçíåííûõ àñòíûõ çàäà ; íàï èìå, çàäà è íà âû èñëåíèå ïëîùàäåé ôèãó è îáúåìîâ òåë ñ ê èâûìè ã àíèöàìè. Êàæäàß òàêàß çàäà à å àëàñü ñâîèì ìåòîäîì, ïîä àñ ñëîæíûì è ã îìîçäêèì. Ðå àëè òè çàäà è ë äè, èìå ùèå ïî ìåíü- åé ìå å óíèâå ñèòåòñêîå îá àçîâàíèå. Ñåé àñ æå, áëàãîäà ß àçâèòè ÌÀÒÀÍ'à, å åíèå òàêèõ çàäà âïîëíå ïî ïëå ó ñòóäåíòàìïå âîêó ñíèêàì. 0.2 Ýëåìåíòû ìàòåìàòè åñêîé ëîãèêè Êàê è ë áàß ìàòåìàòè åñêàß òåî èß, ÌÀÒÀÍ ñîñòîèò èç âûñêàçûâàíèé, ñôî ìóëè îâàííûõ ïî ï àâèëàì óññêîãî (äëß íàñ) ßçûêà è íåêîòî îãî îñîáîãî ßçûêà. òîáû íàó èòüñß ïîíèìàòü òîò âòî îé ßçûê, óñëîâèìñß âñå âûñêàçûâàíèß, âû àæåííûå ïîâåñòâîâàòåëüíûìè ï åäëîæåíèßìè, îáîçíà àòü áóêâàìè A,B,C,... Ñîäå æàíèå âûñêàçûâàíèé íàñ èíòå åñîâàòü íå áóäåò, îäíàêî êàæäîìó âûñêàçûâàíè ìû áóäåì ï èïèñûâàòü èñëî 0 èëè 1, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ñ èòàåì ìû òî âûñêàçûâàíèå ëîæíûì èëè èñòèííûì. Ê îìå òîãî, ââåäåì ñëåäó ùèå ñèìâîëû:,,,,. Êàæäîìó ñèìâîëó ñîïîñòàâèì òàê íàçûâàåìó òàáëèöó èñòèííîñòè: A A 0 1 A 1 0 ( èòàåòñß "íå A") A B A B A B 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 ( èòàåòñß "A è B") ( èòàåòñß "A èëè B") ( èòàåòñß "A âëå åò B")

0.2 Ýëåìåíòû ìàòåìàòè åñêîé ëîãèêè 9 A B 0 1 0 1 0 1 0 1 ( èòàåòñß "A àâíîñèëüíî B") Âñå âûñêàçûâàíèß ÌÀÒÀÍ'à ìîæíî àçäåëèòü íà àêñèîìû, îï åäåëåíèß è óòâå æäåíèß. Àêñèîìû òî íåêîòî ûå ïîëîæåíèß, êîòî ûå ï èíèìà òñß áåç äîêàçàòåëüñòâà. Â àñòíîñòè, ï èäàíèå òàáëèöàì èñòèííîñòè èìåííî òàêîãî âèäà, à íå êàêîãî-ëèáî ä óãîãî, ï îèçâåäåíî àêñèîìàòè åñêè. Îï åäåëåíèß òî âûñêàçûâàíèß, ïîñ åäñòâîì êîòî ûõ ëèáî îïèñûâàåòñß íîâûé ñèìâîë (òàê, êàê òî ï îèçî ëî ñ îïèñàíèåì ëîãè åñêèõ ñèìâîëîâ), ëèáî óêàçûâàåòñß áîëåå óçêèé ïî ñ àâíåíè ñ èìå ùèìñß êëàññ îáúåêòîâ. Îï åäåëåíèß ïîñëåäíåãî ñî òà âñåãäà ñîï îâîæäà òñß ïî ê àéíåé ìå å äâóìß ï èìå àìè îäèí äëß òîãî, òîáû ïîêàçàòü, òî îï åäåëßåìûå îáúåêòû ñóùåñòâó ò, à âòî îé òîáû ïîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå îáúåêòîâ, íå ïîäïàäà ùèõ ïîä äàííîå îï åäåëåíèå. Äåéñòâèòåëüíî, çà åì òàêîå îï åäåëåíèå, êîòî îå íè åãî íå îï åäåëßåò, ëèáî îï åäåëßåò âñå?! Îäíàêî îñíîâíàß àñòü ÌÀÒÀÍ'à òî óòâå æäåíèß. Îíè ïîä àçäåëß òñß íà òåî åìû è ëåììû. Â òåî åìàõ ôî ìóëè ó òñß îñíîâíûå åçóëüòàòû, à â ëåììàõ âñïîìîãàòåëüíûå. È òåî åìû, è ëåììû îáßçàòåëüíî ñîï îâîæäà òñß äîêàçàòåëüñòâàìè. Ôî ìóëè îâêè âñåõ óòâå æäåíèé èìå ò âèä ëèáî A B, ëèáî A B. Åñëè B, òî ìû áóäåì ãîâî èòü, òî A äîñòàòî íîå óñëîâèå (äîñòàòî íûé ï èçíàê) äëß B, à B íåîáõîäèìîå óñëîâèå (íåîáõîäèìûé ï èçíàê) äëß A, à åñëè A B, òî ìû áóäåì ãîâî èòü, òî A èñòèííî òî íî òîãäà, êîãäà èñòèííî B. Äîêàçàòåëüñòâà óòâå æäåíèé èìå ò âèä A C 1 C n B, ãäå C k ëèáî óæå äîêàçàííîå óòâå æäåíèå, ëèáî àêñèîìà. Â êà åñòâå ï èìå îâ óòâå æäåíèé ï èâåäåì äâà âàæíåé èõ âûñêàçûâàíèß, êîòî ûå â áóäóùåì íå àç íàì ï èãîäßòñß. ÏÐÈÍÖÈÏ ÈÑÊË ÍÍÎÃÎ ÒÐÅÒÜÅÃÎ. Åñëè A âûñêàçûâàíèå, òî A èëè A âñåãäà èñòèííî. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî óòâå æäåíèß î åíü ï îñòîå äîñòàòî íî ïîñìîò åòü íà ñîîòâåòñòâó ùó òàáëèöó èñòèííîñòè. Îäíàêî áåç òîãî ï èíöèïà íåâîçìîæíû äîêàçàòåëüñòâà óòâå æäåíèé ìåòîäîì

0.2 Ýëåìåíòû ìàòåìàòè åñêîé ëîãèêè 10 "îò ï îòèâíîãî". ÊËÀÑÑÈ ÅÑÊÎÅ ÏÐÀÂÈËÎ ÂÛÂÎÄÀ. Åñëè A è B âûñêàçûâàíèß, A è A B èñòèííû, òî è B èñòèííî. Äîêàçûâàåòñß òî óòâå æäåíèå òàê æå ï îñòî, êàê è ï åäûäóùåå àïåëëßöèåé ê ñîîòâåòñòâó ùåé òàáëèöå èñòèííîñòè. Îäíàêî âàæíîñòü åãî ò óäíî ïå åîöåíèòü. Òàáëèö èñòèííîñòè âïîëíå äîñòàòî íî, òîáû äîêàçûâàòü óòâå æäåíèß âèäà (A B) ( A B), (A B) ( A B), (A B) (A (2.1) B), (A B) ( B A). Ïå âûå äâà èç íèõ èçâåñòíû êàê ï àâèëà äå Ìî ãàíà 1, à ïîñëåäíèì óòâå æäåíèåì ìû áóäåì àñòî ïîëüçîâàòüñß ï è èçó åíèè ñõîäèìîñòè ßäîâ. Èçó åíèåì òàêîãî îäà âûñêàçûâàíèé âíå èõ êîíê åòíîãî ñîäå æàíèß çàíèìàåòñß ìàòåìàòè åñêàß ëîãèêà.ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñß ïîíßòèéíûì àïïà àòîì òîé íàóêè äëß óï îùåíèß çàïèñè ôî ìóëè îâîê óòâå æäåíèé è äîêàçàòåëüñòâ. Ââåäåííûõ íàìè ñèìâîëîâ íåäîñòàòî íî äëß çàïèñè âûñêàçûâàíèé âèäà "ñóùåñòâóåò x > 0", èëè "ë áîé x < 0". òîáû çàïèñûâàòü òàêèå âûñêàçûâàíèß, èñïîëüçó ò ëîãè åñêèå îïå àòî û êâàíòî û è, à òàêæå ëîãè åñêèå ôóíêöèè, íàçûâàåìûå ï åäèêàòàìè. Êâàíòî èòàåòñß "ñóùåñòâóåò", "äëß íåêîòî îãî", "íàéäåòñß"; êâàíòî èòàåòñß "ë áîé", "äëß âñßêîãî". Ï åäèêàò âû- àæàåò ñâîéñòâî íåêîòî ûõ îáúåêòîâ è ï èíèìàåò çíà åíèß 0 è 1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîé îáúåêò ñåé àñ àññìàò èâàåòñß.ñêàæåì, ïóñòü P îçíà àåò ñâîéñòâî "áûòü ïî òîì", à ïå åìåííàß x ï îáåãàåò ìíîæåñòâî âñåõ ë äåé. Òîãäà âûñêàçûâàíèå P (x) èñòèííî, åñëè x = Ïó êèí; è ëîæíî, åñëè x = Ñâè èä ê. Íàèáîëåå âàæíîé âîçìîæíîñòü èçëàãàåìîãî ßçûêà ßâëßåòñß âîçìîæíîñòü ôî ìàëüíûì îá àçîì (òî åñòü íå çàäóìûâàßñü î ñóòè ï åîá àçîâàíèé) ñò îèòü îò èöàíèß ë áûõ âûñêàçûâàíèé. òîáû îñóùåñòâèòü òó âîçìîæíîñòü â äîïîëíåíèå ê (2.1) íàïè åì î åâèäíûå 1 Îãàñòåñ äå Ìî ãàí (1806-1871) îòëàíäñêèé ìàòåìàòèê è ëîãèê. Îñíîâíûå àáîòû ïîñâßùåíû îñíîâàíèßì àëãåá û, à èôìåòèêè è ìàòåìàòè åñêîãî àíàëèçà.

0.3 Ìíîæåñòâà è îòîá àæåíèß 11 ñîîòíî åíèß ( x P(x)) ( x P (x)), ( x P(x)) ( x P (x)). Äåéñòâèòåëüíî, îò èöàíèå ê âûñêàçûâàíè "äëß íåêîòî îãî x èñòèííî ñâîéñòâî P"îçíà àåò, òî "äëß ë áîãî x èñòèííî íå P"; à îò èöàíèå ê âûñêàçûâàíè "äëß ë áîãî x èñòèííî P"îçíà àåò, òî "íàéäåòñß x, äëß êîòî îãî èñòèííî íå P."Ï àêòè åñêàß âàæíîñòü ï àâèëüíîãî ïîñò îåíèß îò èöàíèß ñâßçàíà, â àñòíîñòè, ñ ìåòîäîì äîêàçàòåëüñòâà "îò ï îòèâíîãî", êîãäà èñòèííîñòü íåêîòî îãî âûñêàçûâàíèß A èçâëåêà ò èç òîãî, òî A ëîæíî. 0.3 Ìíîæåñòâà è îòîá àæåíèß Ã.Êàíòî 1 òâî åö òåî èè ìíîæåñòâ òàê îïèñûâàë ïîíßòèå ìíîæåñòâà: "Ïîä ìíîæåñòâîì ìû ïîíèìàåì îáúåäèíåíèå â îäíî öåëîå îï åäåëåííûõ, âïîëíå àçëè èìûõ îáúåêòîâ íà åé èíòóèöèè èëè íà åé ìûñëè."ðàçóìååòñß, òî îïèñàíèå íè â êîåì ñëó àå íåëüçß ñ èòàòü îï åäåëåíèåì ìíîæåñòâà, ïîñêîëüêó îíî àïåëëè óåò ê ïîíßòèßì áûòü ìîæåò áîëåå ñëîæíûì (âî âñßêîì ñëó àå íå îï åäåëåííûì àíåå), åì ñàìî ïîíßòèå ìíîæåñòâà. Áîëåå òîãî, òàêîå îïèñàíèå ïîï îñòó ï îòèâî å èâî. Äåéñòâèòåëüíî, íè òî íå ìå àåò "íà åé èíòóèöèè èëè íà åé ìûñëè"ï åäñòàâèòü ñåáå ìíîæåñòâî, êîòî îå íå ñîäå æèò ñåáß â êà- åñòâå ñâîåãî ëåìåíòà. (Íàï èìå, ìíîæåñòâî ñòóëüåâ ñàìî ñòóëîì íå ßâëßåòñß). Ïóñòü äëß ìíîæåñòâà M çàïèñü P (M) îçíà àåò, òî M íå ñîäå æèò ñåáßâêà åñòâå ëåìåíòà. Äëß ë áîãî ìíîæåñòâà M âå íî ëèáî P (M), ëèáî P (M). Òåïå ü ïóñòü K = {M : P (M)} ìíîæåñòâî ìíîæåñòâ, îáëàäà ùèõ ñâîéñòâîì P.Òàêîå ìíîæåñòâî òîæå íåò óäíî ñåáå ï åäñòàâèòü. Åñëè âå íî P (K) (òî åñòü ìíîæåñòâî K íå ñîäå æèò ñåáßâ êà åñòâå ñâîåãî ëåìåíòà), òî K ëåæèò â K ïî îï åäåëåíè òîãî ìíîæåñòâà, à çíà èò, âå íî P (K). Åñëè æå âå íî P (K) (òî åñòü ìíîæåñòâî K ñîäå æèò ñåáß â êà åñòâå ëåìåíòà), òî âå íî è P (K) ïî îï åäåëåíè K. 1 Ãåî ã Êàíòî (1845-1918) íåìåöêèé ìàòåìàòèê, îñíîâîïîëîæíèê òåî èè ìíîæåñòâ.

0.3 Ìíîæåñòâà è îòîá àæåíèß 12 Òàêàß ñèòóàöèß â ìàòåìàòèêå, êîãäà âå íû îäíîâ åìåííî óòâå æäåíèß A è A, íàçûâàåòñß ïà àäîêñîì. Äàííûé ïà àäîêñ ï èíàäëåæèò Á.Ðàññåëó 1, îí ï åäóï åæäàåò î êîâà ñòâå òàê íàçûâàåìîãî "íàèâíîãî"îï åäåëåíèß ìíîæåñòâà. Â íàñòîßùåå â åìß â ìàòåìàòèêå èçâåñòíî íåñêîëüêî êîíêó è ó- ùèõ ä óã ñ ä óãîì ñèñòåì àêñèîì òåî èè ìíîæåñòâ, ñâîáîäíûõ êàê îò ïà àäîêñà Ðàññåëà, òàê è îò ä óãèõ èçâåñòíûõ ïà àäîêñîâ. Â íà- ó çàäà ó íå âõîäèò èçëîæåíèå òèõ ñèñòåì (è äàæå êàêîé-ëèáî èç íèõ), îäíàêî ìû ìîæåì îòìåòèòü, òî âñå îíè ï èíèìà ò ìíîæåñòâî â êà åñòâå ïå âè íîãî (íåîï åäåëßåìîãî) ïîíßòèß, òî åñòü ïîíßòèß, íå ïîäâå ãàåìîãî äàëüíåé åìó ëîãè åñêîìó àíàëèçó. Ïå åéäåì ê èçëîæåíè ëåìåíòîâ òåî èè ìíîæåñòâ, â àâíîé ìå- å ï èñóùèõ âñåì óïîìßíóòûì ñèñòåìàì. Âûñêàçûâàíèå (x X) (X x) îçíà àåò, òî "x åñòü ëåìåíò ìíîæåñòâà X". Îò èöàíèå òîãî âûñêàçûâàíèß çàïèñûâàåòñß êàê Âûñêàçûâàíèå x x/ X èëè X x. ((x A) (x B)) îçíà àåò, òî ìíîæåñòâà A è B ñîâïàäà ò. Êî î å ìû áóäåì òî âûñêàçûâàíèå çàïèñûâàòü òàê Çàïè åì åãî îò èöàíèå A = B. A B. Ïîäìíîæåñòâî B ìíîæåñòâà A îï åäåëßåòñß âûñêàçûâàíèåì x ((x B) (x A)), à êî î å çàïèñûâàåòñß òàê A B èëè B A. 1 Áå ò àí À òó Óèëüßì Ðàññåë (1872-1970) àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê, ôèëîñîô, ëîãèê. Îñíîâíûå àáîòû â îáëàñòè ìàòåìàòè åñêîé ëîãèêè è îñíîâàíèé ìàòåìàòèêè.

0.3 Ìíîæåñòâà è îòîá àæåíèß 13 Îò èöàíèå åãî ñîîòâåòñòâåííî çàïèñûâàåòñß A B èëè B A. ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1. ((A B) (A B)) (A = B). Âûñêàçûâàíèå (A = B) ((A B) (A B)) èñòèííî â ñèëó îï åäåëåíèß. Äîêàæåì ((A B) (A B)) (A = B). Äåéñòâèòåëüíî, ((A B) (A B)) (( x (x A x B)) ( x (x B x A))) ( x (x A x B)) (A = B). Çàïèñü {x M : x x} ââåäåì â àññìîò åíèå ïóñòîå ìíîæåñòâî, êîòî îå áóäåì îáîçíà- àòü ñèìâîëîì. Ïî îï åäåëåíè ïîäìíîæåñòâî ë áîãî ìíîæåñòâà. Ê îìå íåãî ìû áóäåì àññìàò èâàòü íåêîòî îå óíèâå ñàëüíîå ìíîæåñòâî U, êîòî îå íàçûâàåòñß óíèâå ñóìîì è ïîäìíîæåñòâàìè êîòî îãî ßâëß òñß âñå àññìàò èâàåìûå íàìè ìíîæåñòâà. Óíèâå ñóì U íå íàäî ïóòàòü ñ ïîíßòèåì "ìíîæåñòâà ìíîæåñòâ". Óíèâå ñóì ñóùåñòâóåò â ë áîé ìàòåìàòè åñêîé òåî èè è ñîäå æèò òîëüêî òå ìíîæåñòâà, êîòî ûå èçó à òñß ìåòîäàìè òîé òåî èè. Ñêàæåì, â îäíîìå íîì ÌÀÒÀÍ'å óíèâå ñóìîì ñëóæèò ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ èñåë, ê èçó åíè êîòî ûõ ìû âñêî å ïå åéäåì. Óäîáíî âñå îòíî åíèß ìåæäó ìíîæåñòâàìè èëë ñò è îâàòü òàê íàçûâàåìûìè äèàã àììàìè Âåííà 1 èòàåòñß "ìíîæåñòâî A â óíèâå ñóìå U"; èòàåòñß A B. Äàëåå ìû áåç ïîßñíåíèé ââåäåì ï îñòåé èå îïå àöèè íàä ìíîæåñòâàìè, ñîï îâîæäàß èõ äèàã àììàìè Âåííà. Îáúåäèíåíèåì A B ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñß ìíîæåñòâî {x U :(x A) (x B)}. 1 Äæîí Âåíí (1834-1923) àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê è ëîãèê. Îñíîâíûå àáîòû ïî âå îßòíîñòíîé ëîãèêå.

0.3 Ìíîæåñòâà è îòîá àæåíèß 14 Ïå åñå åíèåì A B ìíîæåñòâ A è B íàçûâàåòñß ìíîæåñòâî {x U :(x A) (x B)}. Ðàçíîñòü A\ B ìåæäó ìíîæåñòâîì A è ìíîæåñòâîì B íàçûâàåòñß ìíîæåñòâî {x U :(x A) (x / B)}. Ðàçíîñòü ìåæäó óíèâå ñóìîì U è ìíîæåñòâîì A íàçûâàåòñß äîïîëíåíèåì A â U è îáîçíà àåòñß å åç CA. Â òåî èè ìíîæåñòâ èìå òñß àíàëîãè ï àâèë äå Ìî ãàíà C(A B) =CA CB; C(A B) =CA CB. (3.1) ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 3.1. Äîêàçàòü àâåíñòâà (3.1), èñïîëüçóß òåî åìó 3.1. Êî òåæåì äëèíîé n íàçûâàåòñß óïî ßäî åííîå ìíîæåñòâî èç n ëåìåíòîâ, ñíàáæåííûõ íîìå àìè îò 1 äî n, è çàïèñàííîå â ïî ßäêå: (x 1,x 2,...,x n ). Ïîíßòèå óïî ßäî åííîñòè ìíîæåñòâà çàêë àåòñß â ñëåäó ùåì: åñëè (x 1,x 2,...,x n ) è (y 1,y 2,...,y n ) äâà êî òåæà îäèíàêîâîé äëèíû, òî ((x 1,x 2,...,x n )=(y 1,y 2,...,y n )) ((x 1 = y 1 ) (x 2 = y 2 ) (x n = y n )). Êî òåæ äëèíû äâà íàçûâàåòñß óïî ßäî åííîé ïà îé. Îï åäåëèì òåïå ü ïîñëåäí îïå àöè íàä ìíîæåñòâàìè. Äåêà òîâûì 1 èëè ï ßìûì ï îèçâåäåíèåì ìíîæåñòâ A 1,A 2,...,A n íàçûâàåòñß ìíîæåñòâî êî òåæåé: A 1 A 2 A n := {(x 1,x 2,...,x n ):x 1 A 1 x 2 A 2 x n A n }. 1 Ðåíå Äåêà ò (1596-1650) ô àíöóçñêèé ôèëîñîô, ìàòåìàòèê, îñíîâîïîëîæíèê àíàëèòè- åñêîé ãåîìåò èè.

0.3 Ìíîæåñòâà è îòîá àæåíèß 15 Åñëè ìíîæåñòâî A ê óã â ãî èçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, à ìíîæåñòâî B îò åçîê íà âå òèêàëüíîé ï ßìîé, òî èõ äåêà òîâûì ï îèçâåäåíèåì A B áóäåò öèëèíä, èìå ùèé ñâîèìè ï îåêöèßìè ìíîæåñòâà A (íà ãî èçîíòàëüíó ïëîñêîñòü) è B (íà âå òèêàëüíó ï ßìó ). Ïîíßòèå îòîá àæåíèß ôóíäàìåíòàëüíîå íà ßäó ñ ïîíßòèåì ìíîæåñòâà ïîíßòèå â ìàòåìàòèêå. Ìîæíî ñêàçàòü, òî ë áàß ìàòåìàòè- åñêàß òåî èß èçó àåò íåêîòî ûé (âïîëíå îï åäåëåííûé) âèä ìíîæåñòâà âìåñòå ñ íåêîòî ûì (âïîëíå îï åäåëåííûì) âèäîì îòîá àæåíèß. (Ñêàæåì, ÌÀÒÀÍ èçó àåò ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë âìåñòå ñ îï åäåëåííûìè íà íèõ ôóíêöèßìè). Ââèäó ôóíäàìåíòàëüíîñòè ïîíßòèß îòîá àæåíèß áóäåì ñ èòàòü åãî íåîï åäåëßåìûì; îäíàêî îïè åì åãî ñëåäó ùèì îá àçîì: îòîá àæåíèå çàêîí, ïî êîòî îìó êàæäîìó ëåìåíòó íåêîòî îãî çàäàííîãî ìíîæåñòâà X ñòàâèòñß â ñîîòâåòñòâèå âïîëíå îï åäåëåííûé ëåìåíò ä óãîãî çàäàííîãî ìíîæåñòâà Y. Ñâßçü ìåæäó ëåìåíòàìè X è Y áóäåì çàïèñûâàòü â âèäå: Y y = f(x), x X. Ìíîæåñòâî X áóäåì íàçûâàòü îáëàñòü îï åäåëåíèß îòîá àæåíèß f (X := dom f), ìíîæåñòâî Y 0 = {y Y : ( x X)(y = f(x))} íàçîâåì ìíîæåñòâîì çíà åíèé îòîá àæåíèß f (Y 0 := im f). Ê îìå çàïèñè y = f(x) ïè óò òàêæå f : X Y è ãîâî ßò: "f îòîá àæàåò X â Y ". Îòîá àæåíèå f : X Y ïî îæäàåò ìíîæåñòâî grphf := {(x, f(x)) : x X} X Y, íàçûâàåìîå ã àôèêîì îòîá àæåíèß. Îá àòíî, ìíîæåñòâî M X Y îï åäåëßåò îòîá àæåíèå òî íî òîãäà, êîãäà ( x X)(!y Y )((x, y) M). Äâà îòîá àæåíèß f è g íàçûâà òñß àâíûìè, åñëè dom f =domg = X è f(x) =g(x) x X. Îá àçîì ìíîæåñòâà A dom f = X ï è îòîá àæåíèè f : X Y íàçûâàåòñß ìíîæåñòâî f[a] :={y Y :( x A)(y = f(x))}.

0.3 Ìíîæåñòâà è îòîá àæåíèß 16 Ìíîæåñòâî f 1 [B] :={x X : f(x) B} íàçûâà ò ï îîá àçîì ìíîæåñòâà B. Ï î îòîá àæåíèå f : X Y ãîâî ßò, òî îíî ñ úåêòèâíî (èëè åñòü îòîá àæåíèå X íà Y ), åñëè f[x] =Y ; èíúåêòèâíî (èëè åñòü âëîæåíèå), åñëè x 1,x 2 X (f(x 1 ) = f(x 2 )) (x 1 = x 2 ); áèåêòèâíî (èëè âçàèìíî îäíîçíà íî), åñëè îíî ñ úåêòèâíî è èíúåêòèâíî îäíîâ åìåííî. Îòîá àæåíèå y = x 2 áóäåò ñ úåêòèâíûì, íî íå èíúåêòèâíûì, åñëè â êà åñòâå ìíîæåñòâà X àññìàò èâàòü âñ îñü Ox,à â êà åñòâå ìíîæåñòâà Y àññìàò èâàòü ëó {y 0}. Òî æå ñàìîå îòîá àæåíèå y = x 2 áóäåò èíúåêòèâíûì, íî íå ñ úåêòèâíûì, åñëè â êà åñòâå ìíîæåñòâà X àññìàò èâàòü ëó {x 0}, à â êà åñòâå ìíîæåñòâà Y àññìàò èâàòü âñ îñü Oy. È, íàêîíåö, îòîá àæåíèå y = x 2 áóäåò áèåêòèâíûì, åñëè â êà åñòâå ìíîæåñòâ X è Y àññìàò èâàòü ëó è {x 0} è {y 0} ñîîòâåòñòâåííî. Åñëè îòîá àæåíèå f : X Y áèåêòèâíî, òî åñòåñòâåííî âîçíèêàåò îòîá àæåíèå f 1 : Y X, êîòî îå îï åäåëßåòñß ñëåäó ùèì îá àçîì: åñëè y = f(x), òî x = f 1 (y), òî åñòü ëåìåíòó y ñòàâèòñß â ñîîòâåòñòâèå òîò ëåìåíò x X, îá àçîì êîòî îãî ï è îòîá àæåíèè f ßâëßåòñß y. Ââèäó ñ úåêòèâíîñòè òàêîé ëåìåíò íàéäåòñß, à ââèäó èíúåêòèâíîñòè îí åäèíñòâåííûé. Òàêèì îá àçîì, îòîá àæåíèå f 1 îï åäåëåíî êî åêòíî. Ýòî îòîá àæåíèå íàçûâà ò îá àòíûì ïî îòíî åíè ê èñõîäíîìó îòîá àæåíè f. Åñëè îòîá àæåíèß f : X Y è g : Y Z òàêîâû, òî îäíî èç íèõ (g) îï åäåëåíî íà ìíîæåñòâå çíà åíèé ä óãîãî (f), òî ìîæíî ïîñò îèòü íîâîå îòîá àæåíèå g f : X Z, îï åäåëßåìîå ôî ìóëîé (g f)(x) :=g(f(x)). Ïîñò îåííîå îòîá àæåíèå g f íàçûâà ò êîìïîçèöèåé (ñóïå ïîçèöèåé) äâóõ îòîá àæåíèé f,g.

0.3 Ìíîæåñòâà è îòîá àæåíèß 17 Îòìåòèì åùå îäíî ïîíßòèå â íåêîòî îì ñìûñëå ïîã àíè íîå ìåæäó ïîíßòèßìè ìíîæåñòâà è îòîá àæåíèß. Ïóñòü X è Y íåêîòî ûå ìíîæåñòâà. Îòíî åíèåì R íàçûâàåòñß ë áîå ïîäìíîæåñòâî èõ äåêà òîâà ï îèçâåäåíèß X Y. Ä óãèìè ñëîâàìè, îòíî åíèå R òî ìíîæåñòâî óïî ßäî åííûõ ïà (x, y), ãäå x X, à y Y. àñòî âìåñòî òîãî, òîáû ïèñàòü (x, y) R, ïè óò xry è ãîâî ßò, òî x ñâßçàí ñ y îòíî åíèåì R, èëè, òî x íàõîäèòñß â îòíî åíèè R ñ y.åñëèx = Y, òî åñòü R X X = X 2, òî ãîâî ßò, òî îòíî åíèå R çàäàíî íà X. ÏÐÈÌÅÐ 3.1. Äèàãîíàëü = {(x, y) X 2 : x = y} åñòü ïîäìíîæåñòâî X 2, çàäà ùåå îòíî åíèå àâåíñòâà ìåæäó ëåìåíòàìè ìíîæåñòâà X. Äåéñòâèòåëüíî, x y îçíà àåò, òî (x, y), òî åñòü x = y. Â äàëüíåé åì íàì ïîò åáóåòñß äâà âèäà îòíî åíèé. Ïóñòü R X 2 îòíî åíèå, óäîâëåòâî ß ùåå ñëåäó ùèì àêñèîìàì: x X xrx ( åôëåêñèâíîñòü), x, y X xry yrx (ñèììåò è íîñòü), x, y, z X (xry) (yrz) (xrz) (ò àíçèòèâíîñòü), R ï èíßòî íàçûâàòü îòíî åíèåì êâèâàëåíòíîñòè è îáîçíà- àòü ñèìâîëîì. ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 3.2. Ïîêàçàòü, òî îòíî åíèå ïà àëëåëüíîñòè ï ßìûõ íà ïëîñêîñòè ßâëßåòñß îòíî åíèåì êâèâàëåíòíîñòè. ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 3.3. Íàéòè î èáêè â ñëåäó ùåì àññóæäåíèè. Ïóñòü R îòíî åíèå êâèâàëåíòíîñòè. Òîãäà â ñèëó ñèììåò è íîñòè xry yrx, à îòñ äà â ñèëó ò àíçèòèâíîñòè xry yrx xrx. Ä óãèìè ñëîâàìè, åôëåêñèâíîñòü åñòü ñëåäñòâèå ñèììåò è íîñòè è ò àíçèòèâíîñòè (?). Ä óãèì âàæíûì îòíî åíèåì ßâëßåòñß îòíî åíèå àñòè íîãî ïî ßäêà íà ìíîæåñòâå X, òî åñòü îòíî åíèå R X 2, óäîâëåòâî ß- ùåå ñëåäó ùèì àêñèîìàì: (i) x X xrx ( åôëåêñèâíîñòü), (ii) x, y X (xry) (yrx) x y, òî åñòü x = y (àíòèñèììåò- è íîñòü), (iii) x, y, z X (xry) (yrz) (xrz) (ò àíçèòèâíîñòü).

0.4 Ýëåìåíòà íûå ôóíêöèè 18 Äëß îòíî åíèß àñòè íîãî ïî ßäêà âìåñòî âìåñòî xry àñòî ïè- óò x y è ãîâî ßò, òî y ñëåäóåò çà x. ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 3.4. Ïóñòü M íåêîòî îå ìíîæåñòâî, à P(M) ìíîæåñòâî âñåõ åãî ïîäìíîæåñòâ. Ïîêàçàòü, òî îòíî åíèå âêë åíèß çàäàåò îòíî åíèå àñòè íîãî ïî ßäêà íà ìíîæåñòâå P(M). Òåïå ü ïóñòü X è Y äâà ï îèçâîëüíûõ ìíîæåñòâà. Îòíî åíèå R X Y íàçûâàåòñß ôóíêöèîíàëüíûì, åñëè (xry 1 ) (xry 2 ) (y 1 = y 2 ). ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 3.5. Ïîêàçàòü, òî ã àôèê grphf îòîá àæåíèß f :domf X Y çàäàåò ôóíêöèîíàëüíîå îòíî åíèå. ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 3.6. Ïîêàçàòü, òî ë áîìó ôóíêöèîíàëüíîìó îòíî åíè R X Y ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå íåêîòî îå îòîá àæåíèå f èç ìíîæåñòâà X âî ìíîæåñòâî Y. 0.4 Ýëåìåíòà íûå ôóíêöèè Òåïå ü ìû ãîòîâû äàòü ñò îãîå îï åäåëåíèå ôóíêöèè. Ïîä ôóíêöèåé y = f(x) ìû ïîíèìàåì îòîá àæåíèå f : X R, ãäå R ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ èñåë, à X R. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4.1. Êëàññ ôóíêöèé, ñîñòîßùèé èç ïîñòîßííûõ, ïîêàçàòåëüíûõ, ëîãà èôìè åñêèõ, ñòåïåíííûõ, ò èãîíîìåò è åñêèõ, îá àòíûõ ò èãîíîìåò è åñêèõ, ãèïå áîëè åñêèõ, îá àòíûõ ãèïå áîëè åñêèõ, à òàêæå ôóíêöèé, ïîëó åííûõ èç ïå å èñëåííûõ âû å ïîñ åäñòâîì åòû åõ à èôìåòè åñêèõ îïå àöèé è êîìïîçèöèè, íàçûâàåòñß êëàññîì ëåìåíòà íûõ ôóíêöèé. Òåïå ü ïå åéäåì ê îï åäåëåíè îñíîâíûõ ëåìåíòà íûõ ôóíêöèé. Ìåòîä îï åäåëåíèß, êîòî ûì ìû âîñïîëüçóåìñß, íîñèò íàçâàíèå àêñèîìàòè åñêèé. Ñóòü åãî çàêë àåòñß â ñëåäó ùåì: ï è èçó- åíèè êàêîãî-ëèáî ìàòåìàòè åñêîãî îáúåêòà âûäåëß òñß íåêîòî ûå ï èçíàêè òîãî îáúåêòà, íàçûâàåìûå ñóùåñòâåííûìè. Çàòåì òè ï èçíàêè èäóò â îñíîâó îï åäåëåíèß îáúåêòà. Ðàçóìååòñß ïîñëå òàêîãî îï åäåëåíèß íåîáõîäèìî åùå óáåäèòüñß, òî îáúåêò, îï åäåëåííûé ïîñ åäñòâîì ñâîèõ ï èçíàêîâ, ñóùåñòâóåò è îï åäåëåí îäíîçíà íî, òî åñòü íóæíî óáåäèòüñß, òî íå ñóùåñòâóåò åùå êàêîãî-ëèáî îáúåêòà, îáëàäà ùåãî òàêèìè æå ï èçíàêàìè, òî è îï åäåëåííûé íàìè îáúåêò.

0.4 Ýëåìåíòà íûå ôóíêöèè 19 Àêñèîìàòè åñêèé ìåòîä î åíü ïîõîæ íà á îê àòè åñêèé ïîäõîä ê äåëó, êîãäà ñóùåñòâî äåëà ïîäìåíßåòñß èíñò óêöèåé. Îäíàêî â òåõ ñëó àßõ, êîãäà ñóùåñòâî äåëà õî î î âñåì èçâåñòíî (à èìåííî òàê îáñòîèò äåëî ñ ëåìåíòà íûìè ôóíêöèßìè, çíàêîìûìè âñåì åùå ñî êîëû), àêñèîìàòè åñêèé ìåòîä îáëàäàåò ßäîì ï åèìóùåñòâ. Ï àâäà, êàê çàìåòèë Á.Ðàññåë, òè ï åèìóùåñòâà ñõîæè ñ ï åèìóùåñòâîì âî îâñòâà ïå åä åñòíûì ò óäîì. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4.2. Ôóíêöèß y = f(x), îáëàäà ùàß ñëåäó ùèìè ñâîéñòâàìè: (i) f(1) =, > 0, 1; (ii) f(x 1 ) f(x 2 )=f(x 1 + x 2 ) äëß ë áûõ èñåë x 1 è x 2 ; (iii) lim x x0 f(x) =f(x 0 ) äëß ë áîãî èñëà x 0, íàçûâàåòñß ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèåé è îáîçíà àåòñß y = x. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1. Äëß ë áîãî èñëà >0, 1ñóùåñòâóåò â òî íîñòè îäíà ïîêàçàòåëüíàß ôóíêöèß. Çàìåòèì, òî â ñèëó ñâîéñòâà (iii) ïîêàçàòåëüíàß ôóíêöèß íåï å ûâíà íà âñåé îñè Ox. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4.3. Ôóíêöèß y = f(x), îáëàäà ùàß ñëåäó ùèìè ñâîéñòâàìè: (i) f() =1, >0, 1; (ii) f(x 1 )+f(x 2 )=f(x 1 x 2 ) äëß ë áûõ ïîëîæèòåëüíûõ èñåë x 1 è x 2 ; (iii) lim x x0 f(x) =f(x 0 ) äëß ïîëîæèòåëüíîãî ë áîãî èñëà x 0, íàçûâàåòñß ëîãà èôìè åñêîé ôóíêöèåé è îáîçíà àåòñß y =log x. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.2. Äëß ë áîãî èñëà >0, 1ñóùåñòâóåò â òî íîñòè îäíà ëîãà- èôìè åñêàß ôóíêöèß. Îòìåòèì íåï å ûâíîñòü ëîãà èôìè åñêîé ôóíêöèè, èìå ùó ìåñòî â ñèëó ñâîéñòâà (iii). Äîêàçûâàòü òåî åìû î ïîêàçàòåëüíîé è ëîãà èôìè åñêîé ôóíêöèßõ ìû íå áóäåì, ïîòîìó òî îíè áûëè äîêàçàíû â ñ åäíåé êîëå. (Ä óãèìè ñëîâàìè, ñóòü äåëà âñåì èçâåñòíà, íåîáõîäèìî òîëüêî çàïîìíèòü èíñò óêöè ).

0.4 Ýëåìåíòà íûå ôóíêöèè 20 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4.4. Ôóíêöè y = α log x, îï åäåëåííó ï è ï îèçâîëüíîì α äëß ë áîãî ïîëîæèòåëüíîãî x, íàçîâåì ñòåïåííîé ôóíêöèåé è áóäåì îáîçíà àòü y = x α. Åñëè ïîêàçàòåëü ñòåïåíè α ï åäñòàâëßåò ñîáîé àöèîíàëüíîå èñëî α = m, ãäå n íå åòíîå n èñëî, ëèáî m è n åòíûå îäíîâ åìåííî, òî ñòåïåííó ôóíêöè y = x α ìîæíî îï åäåëèòü íà âñåé îñè Ox, ïîëàãàß äëß îò èöàòåëüíûõ x: { x α åñëè m - åòíîå; y = x α åñëè m è n íå åòíûå. Áóäåì ïî îï åäåëåíè ñ èòàòü, òî ï è α>00 α =0, 0 0 =1. Â òåî åìå î ñóùåñòâîâàíèè åäèíñòâåííîé ñòåïåííîé ôóíêöèè ïî áîëü îìó ñ åòó íåò íåîáõîäèìîñòè, òàê êàê îíà îï åäåëßåòñß å- åç ïîêàçàòåëüíó è ëîãà èôìè åñêó ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâó ùèå òåî åìû äëß êîòî ûõ ìû óæå ñôî ìóëè îâàëè. Ñòåïåííûå ôóíêöèè òàêæå îáëàäà ò ñâîéñòâîì íåï å ûâíîñòè. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî óòâå æäåíèß îïè àåòñß íà ä óãîé áîëåå ôóíäàìåíòàëüíûé ôàêò ñóììà, àçíîñòü, ï îèçâåäåíèå, àñòíîå è êîìïîçèöèß äâóõ íåï å ûâíûõ ôóíêöèé íåï å ûâíû. (Ï è àññìîò- åíèè àñòíîãî äâóõ ôóíêöèé äåëàåòñß îáû íàß îãîâî êà î íå àâåíñòâå íóë çíàìåíàòåëß). Ä óãèìè ñëîâàìè, ï èìåíåíèå à èôìåòè åñêèõ äåéñòâèé è êîìïîçèöèè íå âûâåäåò íàñ çà ï åäåëû êëàññà íåï å ûâíûõ ôóíêöèé. Äîêàçàòåëüñòâî òîãî ôóíäàìåíòàëüíîãî ôàêòà ìû ï îâåäåì ïîçäíåå. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4.5. Ôóíêöèè y = f(x) è y = g(x), îáëàäà ùèå ñëåäó ùèìè ñâîéñòâàìè: (i) f(x 1 + x 2 )=f(x 1 )g(x 2 )+f(x 2 )g(x 1 ) äëß ë áûõ èñåë x 1 è x 2 ; (ii) g(x 1 + x 2 )=g(x 1 )g(x 2 ) f(x 1 )f(x 2 ) äëß ë áûõ èñåë x 1 è x 2 ; (iii) f 2 (x)+g 2 (x) =1äëß ë áîãî èñëà x; (iv) f(0) = 0, g(0) = 1, f( π 2 )=1, g( π 2 )=0;

0.4 Ýëåìåíòà íûå ôóíêöèè 21 (v) 0 <f(x) <x< f(x), åñëè g(x) 0 <x<π, 2 íàçûâà òñß ñèíóñîì è êîñèíóñîì è îáîçíà- à òñß f(x) =sinx, g(x) =cosx. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.3. Ñóùåñòâó ò òî íî äâå ôóíêöèè f(x) è g(x), óäîâëåòâî ß ùèå îï åäåëåíè ôóíêöèé ñèíóñ è êîñèíóñ. Äîêàçàòåëüñòâî òîé òåî åìû ìû îïóñêàåì ââèäó åãî òåõíè åñêîé ñëîæíîñòè. Æåëà ùèå ìîãóò îçíàêîìèòüñß ñ íèì â ë áîì äîñòàòî íî ïîëíîì ó åáíèêå ïî ìàòåìàòè åñêîìó àíàëèçó. ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 4.2. Èñõîäß èç îï åäåëåíèß 4.5. äîêàçàòü ñëåäó- ùèå ñâîéñòâà ôóíêöèé y =sinx è y =cosx: (i) sin x 1, cos x 1 x R; (ii) sin( x) = sin x, cos( x) =cosx x R; (iii) sin( π 2 x) =cosx, cos( π 2 x) =sinx x R; (iv) ôóíêöèè y =sinx è y =cosx ïå èîäè íû ñ ïå èîäîì 2π. Îòìåòèì åùå îäíî î åíü âàæíîå ñâîéñòâî ôóíêöèé y =sinxè y =cosx òè ôóíêöèè íåï å ûâíû. Ïîêà åùå äîêàçàòü òîò ôàêò ìû íå â ñîñòîßíèè è ïîòîìó ñäåëàåì òî ïîçäíåå. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4.6. Òàíãåíñîì íàçûâàåòñß ôóíêöèß y = tgx = sin x, cos x x π cos x +πk, k =0, ±1, ±2,... Ôóíêöèß y = ctgx =, 2 sin x x πk, k =0, ±1, ±2,..., íàçûâàåòñß êîòàíãåíñîì. Èç îï åäåëåíèß ñëåäóåò, òî ôóíêöèè y = tgx è y = ctgx ïå- èîäè åñêèå ñ ïå èîäîì π. Âñå îñòàëüíûå ñâîéñòâà òèõ ôóíêöèé çíàêîìû èç êîëû, ïî òîìó ìû îã àíè èìñß òîëüêî ñêèçàìè ã àôèêîâ òèõ ôóíêöèé. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4.7. Ôóíêöè y = f(x), çàäàííó íà íåêîòî- îì ï îìåæóòêå, íàçîâåì ìîíîòîííî âîç àñòà ùåé (óáûâà ùåé) íà òîì ï îìåæóòêå, åñëè äëß ë áûõ èñåë x 1,x 2 èç ï îìåæóòêàòàêèõ, òî x 1 <x 2, èìååì f(x 1 ) f(x 2 )(f(x 1 ) f(x 2 )). Ìîíîòîííîé

0.4 Ýëåìåíòà íûå ôóíêöèè 22 íà ï îìåæóòêå íàçûâàåòñß ìîíîòîííî âîç àñòà ùàß èëè ìîíîòîííî óáûâà ùàß ôóíêöèß. Çàìåòèì, òî áûâà ò ôóíêöèè, íàï èìå, f(x) =1íà îò åçêå [0, 1], êîòî ûå îäíîâ åìåííî ßâëß òñß ìîíîòîííî âîç àñòà ùèìè è ìîíîòîííî óáûâà ùèìè. òîáû èñêë èòü òî, ï îâåäåì áîëåå ñò îãó ñåëåêöè. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4.8. Ôóíêöè y = f(x), çàäàííó íà íåêîòî- îì ï îìåæóòêå, íàçîâåì ñò îãî ìîíîòîííî âîç àñòà ùåé (óáûâà ùåé) íà òîì ï îìåæóòêå, åñëè äëß ë áûõ èñåë x 1,x 2 èç ï îìåæóòêà òàêèõ, òî x 1 <x 2, èìååì f(x 1 ) <f(x 2 )(f(x 1 ) >f(x 2 )). Ñò îãî ìîíîòîííîé íà ï îìåæóòêå íàçûâàåòñß ñò îãî ìîíîòîííî âîç àñòà ùàß èëè ñò îãî ìîíîòîííî óáûâà ùàß ôóíêöèß. Ïîíßòíî, òî êëàññ ñò îãî ìîíîòîííûõ ôóíêöèé ñîäå æèòñß â êëàññå ìîíîòîííûõ ôóíêöèé. ÏÐÈÌÅÐ 4.1. Ôóíêöèß y = sgnx ßâëßåòñß ìîíîòîííî, íî íå ñò îãî ìîíîòîííî âîç àñòà ùåé íà îò åçêå [ 1, 1] ôóíêöèåé Ã àôèê ñò îãî ìîíîòîííîé ôóíêöèè ïå åñåêàåòñßñï ßìûìè y = c, ãäå c íåêîòî àß êîíñòàíòà, íå áîëåå, åì â îäíîé òî êå. Ïîä å êíåì åùå, òî ìîíîòîííûå ôóíêöèè íå îáßçàòåëüíî íåï å ûâíû. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4.9. Ïóñòü ôóíêöèß y = f(x) áèåêòèâíî îòîá- àæàåò ï îìåæóòîê I â ï îìåæóòîê J. Ôóíêöèß x = g(y), çàäàííàß íà J, ñî çíà åíèßìè â I íàçûâàåòñß ôóíêöèåé, îá àòíîé ê ôóíêöèè y = f(x), åñëè äëß ë áîãî èñëà x èç Ig f(x) =x. Ï è òîì ôóíêöèß y = f(x) ßâëßåòñß ôóíêöèåé, îá àòíîé ê ôóíêöèè x = g(y). Ãåîìåò è åñêè òî îçíà àåò ñëåäó ùåå. Ïîâå íåì ã àôèê ôóíêöèè y = f(x) âìåñòå ñ îñßìè êîî äèíàò íà π àäèàí âîê óã áèññåêò èñû óãëà ìåæäó ïîëîæèòåëüíîé îñü Ox è ïîëîæèòåëüíîé îñü Oy, è ìû ñ àçó ïîëó èì ã àôè åñêè x êàê ôóíêöè îò y, òî åñòü ã àôèê îá àòíîé ôóíêöèè x = g(y). Óæå èç òîãî ãåîìåò è åñêîãî ïîñò îåíèß âèäíî, òî ôóíêöèß y = f(x), îï åäåëåííàß íà íåêîòî îì ï îìåæóòêå I, èìååò îá àòíó ôóíêöè â òîì ñëó àå, êîãäà îíà ñò îãî ìîíîòîííà è íåï å- ûâíà. Ï è åì îá àòíàß ôóíêöèß áóäåò íåï å ûâíîé è ñò îãî ìîíîòîííîé ñ òåì æå õà àêòå îì ìîíîòîííîñòè, òî è èñõîäíàß ôóíêöèß. Ïîçæå ìû òîò ôàêò ñò îãî äîêàæåì, à ñåé àñ îá àòèìñß âíîâü

0.4 Ýëåìåíòà íûå ôóíêöèè 23 ê ëåìåíòà íûì ôóíêöèßì. Ôóíêöèß y =sinxíåï å ûâíà è ñò îãî ìîíîòîííî âîç àñòàåò íà îò åçêå [ π 2, π 2 ]. Â ñèëó íà èõ ãåîìåò è åñêèõ àññóæäåíèé îíà èìååò íà ï îìåæóòêå [ 1, 1] îá àòíó ôóíêöè, êîòî ó îáîçíà- èì å åç y =rcsinx. Ôóíêöèß y =rcsinxòîæå íåï å ûâíà è ñò îãî ìîíîòîííî âîç àñòàåò íà îò åçêå [ 1, 1]. Ïîäâå ãàß àíàëîãè íîìó àññìîò åíè ôóíêöèè y =cosx, y = tgx, y = ctgx, ïîëó èì îá àòíûå ê íèì ôóíêöèè y = rccos x, y = rctgx, y = rcctgx: ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 4.2. Äîêàçàòü, òî (i) rcsin( x) = rcsin x, rccos( x) =π rccos x; (ii) rcsin x + rccos x = π, 2 rctgx + rcctgx = π. 2 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 4.10. Ãèïå áîëè åñêèì ñèíóñîì íàçûâàåòñß ôóíêöèß y = shx = ex e x 2 ( èòàåòñß "õèíóñ èêñ"), ãèïå áîëè åñêèì êîñèíóñîì ôóíêöèß y = ñhx = ex +e x 2 ( èòàåòñß "êîõèíóñ èêñ"), ãèïå áîëè åñêèì òàíãåíñîì y = thx = chx shx ("òàíõåíñ èêñ"), ãèïå áîëè åñêèì êîòàíãåíñîì y = ñthx = ñhx ("êîòàíõåíñ èêñ"). shx ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 4.3. Äîêàçàòü àâåíñòâà: sh(x 1 + x 2 )=shx 1 chx 2 + chx 1 shx 2, ch(x 1 + x 2 )=chx 1 chx 2 + shx 1 shx 2, ch 2 x sh 2 x =1, thx cthx =1,

0.4 Ýëåìåíòà íûå ôóíêöèè 24 ch2x =1+2sh 2 x, sh2x =2shxchx. Ãèïå áîëè åñêèå ôóíêöèè íåï å ûâíû,òàê êàê ñîñòàâëåíû èç ïîêàçàòåëüíûõ ôóíêöèé. Â ñèëó ñò îãîé ìîíîòîííîñòè ãèïå áîëè åñêèõ ôóíêöèé íà îï åäåëåííûõ ï îìåæóòêàõ îíè îáëàäà ò îá àòíûìè ôóíêöèßìè. Îï åäåëåíèß îá àòíûõ ãèïå áîëè åñêèõ ôóíêöèé ìû äàäèì ïîçäíåå, à ñåé àñ çàìåòèì, òî îã îìíó îëü â ÌÀ- ÒÀÍ'å èã àåò ïîêàçàòåëüíàß ôóíêöèß ñ îñíîâàíèåì e. Îíà íîñèò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå êñïîíåíöèàëüíàß ôóíêöèß èëè êñïîíåíòà è îáîçíà àåòñß y = e x èëè y =expx.

25 1 ÄÅÉÑÒÂÈÒÅËÜÍÛÅ ÈÑËÀ Òîì êîëåáàëñß, è âèä ó íåãî áûë ñìóùåííûé. - Ãîâî èòå æå ìîé ìàëü èê, íå ñòåñíßéòåñü. Èñòèíà âñåãäà ïî òåííà. Ìà ê Òâåí "Ï èêë åíèß Òîìà Ñîéå à" 1.1 Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ èñåë Ï è îï åäåëåíèè ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë R ìû âíîâü âîñïîëüçóåìñß àêñèîìàòè åñêèì ìåòîäîì. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.1. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñß àëãåá àè åñêèì ïîëåì, åñëè (i) îï åäåëåíî àääèòèâíîå îòîá àæåíèå (îïå àöèß ñëîæåíèß) +: X X Xñî ñëåäó ùèìè ñâîèñòâàìè: x, y X (x + y = y + x) (êîììóòàòèâíîñòü); x, y, z X ((x + y)+z = x +(y + z)) (àññîöèàòèâíîñòü); 0 X x X(x+0 = x) (ñóùåñòâîâàíèå íåéò àëüíîãî ëåìåíòà (íóëß)); x X y X (x + y = 0)(ñóùåñòâîâàíèå ï îòèâîïîëîæíîãî ëåìåíòà); (ii) îï åäåëåíî ìóëüòèïëèêàòèâíîå îòîá àæåíèå (îïå àöèß óìíîæåíèß) : X X Xñî ñëåäó ùèìè ñâîéñòâàìè: x, y X (x y = y x) (êîììóòàòèâíîñòü); x, y, z X ((x y) z = x (y z)) (àññîöèàòèâíîñòü); 1 X x X (1 x = x) (ñóùåñòâîâàíèå íåéò àëüíîãî ëåìåíòà (åäèíèöû)); x X (x 0 y X (x y =1))(ñóùåñòâîâàíèå îá àòíîãî ëåìåíòà); (iii) óïîìßíóòûå îïå àöèè ñâßçàíû ñëåäó ùèì îá àçîì: 0 1; x, y, z X ((x + y) z = x z + y z) (äèñò èáóòèâíîñòü). ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 1.1. Ïóñòü X àëãåá àè åñêîå ïîëå. Äîêàçàòü, òî (i) (!0 X) (!1 X); (ii) x X (x 0=0);

1.1 Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ èñåë 26 (iii) x X!y X(x + y =0), x X(x 0)!y X (x y =1); (iv) x X ( x =( 1) x), ãäå x è -1 ëåìåíòû, ï îòèâîïîëîæíûå ëåìåíòàì x è 1. Ïî óòâå æäåíè Í.Áó áàêè 1 ë áàß ìàòåìàòè åñêàß òåî èß èçó- àåò ìíîæåñòâà ñ çàäàííûìè íà íèõ ìàòåìàòè åñêèìè ñò óêòó àìè. Ñàìî ïîíßòèå ìàòåìàòè åñêîé ñò óêòó û ôóíäàìåíòàëüíî, òî åñòü íåîï åäåëßåìî, îäíàêî ñ åäè íèõ ï èíßòî àçëè àòü àëãåá àè- åñêèå, ïî ßäêîâûå è òîïîëîãè åñêèå ñò óêòó û. Îï åäåëåíèåì 1.1 äàåòñß ï èìå àëãåá àè åñêîé ñò óêòó û. Íèæå ìû ï èâåäåì ï èìå ïî ßäêîâîé ñò óêòó û. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.2. Ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñß ëèíåéíî óïî ßäî åííûì, åñëè (i) íà íåì îï åäåëåíî îòíî åíèå àñòè íîãî ïî ßäêà ( ); (ii) ï è ë áûõ x, y X ñï àâåäëèâî ëèáî x y, ëèáî y x. Îòíî åíèå x y ( èòàåòñß"x ìåíü å èëè àâíî y") çàïèñûâà ò òàêæå â âèäå y x ( èòàåòñß "y áîëü å èëè àâíî x"); îòíî åíèå x y ï è x y çàïèñûâà ò â âèäå x<y( èòàåòñß "x ìåíü å y") èëè â âèäå y>x("y áîëü å x"). Îòíî åíèå x y íàçûâà ò íå àâåíñòâîì, à îòíî åíèå x<yñò îãèì íå àâåíñòâîì. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.3. Ìíîæåñòâî X íàçûâà ò ëèíåéíî óïî ßäî- åííûì àëãåá àè åñêèì ïîëåì, åñëè îíî ßâëßåòñß îäíîâ åìåííî àëãåá àè åñêèì ïîëåì è ëèíåéíî óïî ßäî åííûì ìíîæåñòâîì, ï è åì (i) x, y, z X (x y x + z y + z), (ii) x, y X (0 x 0 y 0 x y). (Â äàëüíåé åì çíàê óìíîæåíèß àñòî áóäåì îïóñêàòü). ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 1.2. Ïóñòü X ëèíåéíî óïî ßäî åííîå àëãåá àè åñêîå ïîëå. Äîêàçàòü, òî (i) x, y, z X (x <y) (x + y<y+ z); (ii) x X (0 <x) ( x <0); (iii) x, y X (x <0) (y <0) (xy > 0); (iv) x, y X (x <0) (0 <y) (xy < 0). ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.4. Ëèíåéíî óïî ßäî åííîå ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñß ïîëíûì, åñëè äëß ë áûõ äâóõ åãî íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâ 1 Íèêîëà Áó áàêè ñîáè àòåëüíûé ïñåâäîíèì, ïîä êîòî ûì ã óïïà ô àíöóçñêèõ ìàòåìàòèêîâ îáúåäèíèëàñü ñ öåëü ôî ìàëèçàöèè âñåé ìàòåìàòèêè íà îñíîâå òåî èè ìíîæåñòâ.

1.1 Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ èñåë 27 X 1 è X 2 òàêèõ, òî x 1 X 1 x 2 X 2 (x 1 x 2 ), íàéäåòñß ëåìåíò y X òàêîé, òî x 1 y x 2. Ëèíåéíàß óïî ßäî åííîñòü ìíîæåñòâà X îçíà àåò, òî åãîìîæíî "âûòßíóòü â îäíó ëèíè ", àñïîëîæèâ ëåìåíòû "ïî âîç àñòàíè ", òî åñòü x y z... Ïîëíîòà óïî ßäî åííîãî ìíîæåñòâà îçíà àåò ñëåäó ùåå: åñëè ìû íà òîé "ëèíèè"âûáå åì äâà íåïóñòûõ ìíîæåñòâà, ï è åì îäíî èç íèõ ëåæèò "ëåâåå"ä óãîãî, òî íà òîé "ëèíèè"îáßçàòåëüíî íàéäåòñß ëåìåíò, ëåæàùèé "ìåæäó" òèìè ìíîæåñòâàìè (âîçìîæíî, ï èíàäëåæàùèé îäíîìó èëè îáîèì ìíîæåñòâàì). Àêñèîìà, ëåæàùàß â îñíîâå îï åäåëåíèß ïîëíîãî ëèíåéíîãî óïî- ßäî åííîãî ìíîæåñòâà, íàçûâàåòñß àêñèîìîé ïîëíîòû è èìååò èñêë èòåëüíî áîëü îå çíà åíèå â ìàòåìàòè åñêîì àíàëèçå. Â òîì íàì åùå ï åäñòîèò óáåäèòüñß. À ñåé àñ äàäèì, íàêîíåö, ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 1.5. Ïîëíîå ëèíåéíî óïî ßäî åííîå àëãåá àè- åñêîå ïîëå íàçûâàåòñß ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ èñåë è îáîçíà àåòñß ñèìâîëîì R. Ï è àêñèîìàòè åñêîì ñïîñîáå çàäàíèß òîãî èëè èíîãî îáúåêòà âñåãäà âîçíèêà ò ïî ê àéíåé ìå å äâà âîï îñà. Ïå âûé íå ßâëßåòñß ëè ìíîæåñòâî òàêèõ îáúåêòîâ ïóñòûì? Ýòî î åíü âàæíûé âîï îñ, îò îòâåòà íà êîòî ûé çàâèñèò ñàìî ñóùåñòâîâàíèå àçâèâàåìîé òåî èè. Äåéñòâèòåëüíî, òî ìîæíî ñêàçàòü î òåî èè, êîòî àß â êà åñòâå óíèâå ñóìà ñâîèõ ìíîæåñòâ àññìàò èâàëà áû ìíîæåñòâî ñò àóñîâ çà Ïîëß íûì ê óãîì?! Âòî îé âîï îñ ñêîëüêî àçëè íûõ îáúåêòîâ îï åäåëßåò äàííàß ñèñòåìà àêñèîì? Â îòíî åíèè R íà ïå âûé âîï îñ ñëåäóåò îòâåòèòü îò èöàòåëüíî, ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî âñåõ äåñßòè íûõ ä îáåé, êàê ìû çíàåì èç êó ñà ñ åäíåé êîëû, ïîëíîñòü óäîâëåòâî ßåò âñåì àêñèîìàì ïîëíîãî ëèíåéíîãî óïî ßäî åííîãî àëãåá àè åñêîãî ïîëß. òî æå êàñàåòñß îòâåòà íà âòî îé âîï îñ, òî îí îëåå ï îñò àíåí, èáî ñíà àëà íóæíî ïîíßòü, òî òàêîå " àçëè íûå îáúåêòû". Ï åäïîëîæèì,

1.2 Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë 28 òî íåêèå ëèöà A è B, ïîëüçóßñü èçëîæåííîé âû å àêñèîìàòèêîé, ïîñò îßò ìîäåëè R A è R B ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë, ï è åì îêàæåòñß, òî ñóùåñòâóåò îòîá àæåíèå f : R A R B, ñîõ àíß ùåå îïå àöèè ñëîæåíèß è óìíîæåíèß, à òàêæå îòíî åíèå ïî ßäêà; òî åñòü ï è âñåõ x, y R A èìååì f(x + A y)=f(x)+ B f(y), f(x A y) =f(x) B f(y), x A y f(x) B f(y). (Çäåñü + A, A, A è + B, B, B à èôìåòè åñêèå îïå àöèè è îòíî- åíèß ïî ßäêà íà ìíîæåñòâàõ R A è R B ñîîòâåòñòâåííî). SSñíî, òî R A è R B íåëüçß ñ èòàòü ñîâñåì óæå " àçëè íûìè", îíè ñêî åå "ïîõîæè" ä óã íà ä óãà. Â ìàòåìàòèêå ñëîâî "ïîõîæèé"çàìåíßåòñß ñëîâîì "èçîìî ôíûé", à ñëîâî " àçëè íûé" ñëîâîì "íåèçîìî ôíûé". Òàê âîò, îêàçûâàåòñß, òî íåèçîìî ôíûõ ìíîæåñòâ äåéñòâèòåëüíûõ èñåë íåò! 1.2 Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë Èç îï åäåëåíèß ìíîæåñòâà R âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå åäèíèöû 1. Èñïîëüçóß åå è àêñèîìû ìíîæåñòâà R, ìû ìîæåì ïîñò îèòü èñëà 1, 1+1=2, 2+1=3,..., êàæäîå èç êîòî ûõ ïîëó àåòñß ï èáàâëåíèåì åäèíèöû ê ï åäûäóùåìó. Ïîëó åííûé ßä èñåë íàçûâàåòñß ìíîæåñòâîì íàòó àëüíûõ èñåë è îáîçíà àåòñß ñèìâîëîì N. Ýëåìåíòû ìíîæåñòâà íàòó àëüíûõ èñåë íàçûâà òñß íàòó àëüíûìè èñëàìè. ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 2.1. Ïóñòü ìíîæåñòâî M N. Äîêàçàòü, òî åñëè 1 Mè (m M) (m +1 M), òî M = N. Óòâå æäåíèå óï àæíåíèß 2.1 íàçûâàåòñß ï èíöèïîì ìàòåìàòè åñêîé èíäóêöèè. Íà òîì ï èíöèïå áàçè óåòñß îäèí èç ìîùíåé- èõ ìåòîäîâ ìàòåìàòè åñêîãî äîêàçàòåëüñòâà. Îäíàêî ï åæäå, åì ïå åéòè ê åãî èçëîæåíè, ââåäåì ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.1. Îòîá àæåíèå f : N X, ãäå X ï îèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, íàçûâàåòñß ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Ïîñêîëüêó ë áîå îòîá àæåíèå îäíîçíà íî îï åäåëßåòñß ñâîèì ã àôèêîì, òî ìû, íå òå ßß îáùíîñòè, áóäåì íàçûâàòü ïîñëåäîâà-

1.2 Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë 29 òåëüíîñòü ìíîæåñòâî {(n, x n ):n N, x n = f(n) X}, êîòî îå ìû áóäåì îáîçíà àòü ñèìâîëîì {x n }. Ïóñòü òåïå ü {A n } ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âûñêàçûâàíèé. ÒÅÎÐÅÌÀ 2.1 (ìåòîä ìàòåìàòè åñêîé èíäóêöèè). Åñëè âûñêàçûâàíèå A 1 èñòèííî, è èç èñòèííîñòè âûñêàçûâàíèß A m ñëåäóåò èñòèííîñòü âûñêàçûâàíèß A m+1, òî âñå âûñêàçûâàíèß ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {A n } èñòèííû. Ïóñòü I ïîäìíîæåñòâî èñòèííûõ âûñêàçûâàíèé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {A n }. I, ïîñêîëüêó A 1 I ïî óñëîâè. Ðàññìîò èì ìíîæåñòâî èíäåêñîâ èñòèííûõ âûñêàçûâàíèé i = {1,m,...}. Ïîñêîëüêó 1 i, è åñëè m i, òî m +1 i ïî óñëîâè, i N ïî ïîñò îåíè, òî â ñèëó ï èíöèïà ìàòåìàòè åñêîé èíäóêöèè i = N. ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 2.2. Ïîêàçàòü, òî ñóììà è ï îèçâåäåíèå íàòó- àëüíûõ èñåë ßâëß òñß íàòó àëüíûìè èñëàìè. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.2. Îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâà íàòó àëüíûõ èñåë, ìíîæåñòâà èñåë, ï îòèâîïîëîæíûõ íàòó àëüíûì èíóëß íàçûâàåòñß ìíîæåñòâîì öåëûõ èñåë è îáîçíà àåòñß ñèìâîëîì Z. èñëà âèäà m n,ãäå m Z,àn N, íàçûâà òñß àöèîíàëüíûìè. Ìíîæåñòâî àöèîíàëüíûõ èñåë îáîçíà àåòñß ñèìâîëîì Q. Âñå äåéñòâèòåëüíûå èñëà, íå ßâëß ùèåñß àöèîíàëüíûìè, íàçûâà òñß è àöèîíàëüíûìè. Ï àâèëà ñëîæåíèß è óìíîæåíèß ä îáåé (à èìåííî îíè ßâëß òñß ëåìåíòàìè Q) óáåæäà ò íàñ, òî Q àëãåá àè åñêîå ïîëå. Ïîñêîëüêó Q R è Q R, òî Q è R íåèçîìî ôíûå àëãåá àè åñêèå ïîëß. Õî î î èçâåñòíî, òî ë áîå äåéñòâèòåëüíîå èñëî ìîæíî ï åäñòàâèòü áåñêîíå íîé äåñßòè íîé ä îáü ( àöèîíàëüíîå èñëî êîíå íîé ëèáî áåñêîíå íîé ïå èîäè åñêîé ä îáü, à è àöèîíàëüíîå áåñêîíå íîé àïå èîäè åñêîé ä îáü ). Âîçìîæíîñòü òàêîãî ï åäñòàâëåíèß ïîìîæåò íàì îòâåòèòü íà ñëåäó ùèé èíòå åñíûé âîï îñ: à êàêèõ èñåë "áîëü å" íàòó àëüíûõ, öåëûõ, àöèîíàëüíûõ èëè è àöèîíàëüíûõ? Ñëîâî "áîëü å"ìû âçßëè â êàâû êè ïîòîìó, òî âñå ìíîæåñòâà N, Z, Q è R\Q áåñêîíå íû è ñ àâíèòü "êîëè åñòâà"èõ ëåìåíòîâ ï îñòûì ïîäñ åòîì íå óäàñòñß. Òåì íå ìåíåå ñóùåñòâóåò ïîíßòèå, ïîçâîëß ùåå ñ àâíèâàòü áåñêîíå íûå ìíîæåñòâà.

1.2 Ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë 30 ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 2.3. Äâà ìíîæåñòâà X è Y íàçûâà òñß àâíîìîùíûìè (èëè èìå ùèìè îäèíàêîâó ìîùíîñòü), åñëè ñóùåñòâóåò áèåêòèâíîå îòîá àæåíèå f : X Y. Áåñêîíå íîå ìíîæåñòâî X íàçûâàåòñß ñ åòíûì, åñëè îíî àâíîìîùíî ìíîæåñòâó N, è íåñ åòíûì â ï îòèâíîì ñëó àå. Ã óáî ãîâî ß, ñ åòíûìè íàçûâà òñß òå ìíîæåñòâà, âñå ëåìåíòû êîòî îãî ìîæíî "ïå åíóìå îâàòü". ÒÅÎÐÅÌÀ 2.2. Ìíîæåñòâî Q ñ åòíî. Ï îöåäó à ïîäñ åòà ïîëîæèòåëüíûõ àöèîíàëüíûõ èñåë óêàçàíà íèæå (ïîâòî ß ùèåñß èñëà îòá àñûâàåì): Ýòè èñëà ìîæíî ñ èòàòü, ñêàæåì, ñ ïîìîùü òîëüêî åòíûõ íàòó àëüíûõ èñåë, îñòàâèâ íå åòíûå äëß îò èöàòåëüíûõ àöèîíàëüíûõ èñåë è íóëß. ÒÅÎÐÅÌÀ 2.3. Ìíîæåñòâî R íåñ åòíî. Äîñòàòî íî äîêàçàòü íåñ åòíîñòü êàêîãî-ëèáî ïîäìíîæåñòâà R. Äëß òîé öåëè âûáå åì ìíîæåñòâî {x R :0<x<1} è ï åäïîëîæèì, òî îíî ñ åòíî. Ïîñêîëüêó âñå ëåìåíòû ìíîæåñòâà ï åäñòàâèìû â âèäå áåñêîíå íûõ äåñßòè íûõ ä îáåé, òî ââèäó ñ åòíîñòè çàïè åì òî ìíîæåñòâî â ïî ßäêå íóìå àöèè: α =0,α 1 α 2 α 3..., β =0,β 1 β 2 β 3..., γ =0,γ 1 γ 2 γ 3...,... ãäå α ïå âîå èñëî, β âòî îå èñëî, γ ò åòüå èñëî è ò. ä. Ñîñòàâèì òåïå ü èñëî ε =0,ε 1 ε 2 ε 3... ñëåäó ùèì îá àçîì: ε i {1, 2,...,8}, i N, íî ε 1 α 1, ε 2 β 2, ε 3 γ 3 è ò. ä. Î åâèäíî, 0 <ε<1,íîε íàìè íå ñîñ èòàíî ïîòîìó, òî ε α,òàê êàê ε 1 α 1 ; ε β, òàê êàê ε 2 α 2 ; ε γ, òàê êàê ε 3 α 3 è ò. ä. Ä óãèìè ñëîâàìè, ε íå ñîäå æèòñß âî ìíîæåñòâå {0 <x<1}. Ï îòèâî å èå.

1.3 Ï èíöèï òî íîé âå õíåé ã àíè, àêñèîìà À õèìåäà 31 1.3 Ï èíöèï òî íîé âå õíåé ã àíè, àêñèîìà À õèìåäà è ãåîìåò è åñêàß èíòå ï åòàöèß ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë Ï åæäå âñåãî ìû îòìåòèì, òî ï èíöèïàìè ìû áóäåì íàçûâàòü òå óòâå æäåíèß, êîòî ûå êâèâàëåíòíû îäíîé èëè íåñêîëüêèì àêñèîìàì. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 3.1. Ìíîæåñòâî X R íàçûâàåòñß îã àíè åííûì ñâå õó (ñíèçó), åñëè c R x X (x c) ( c R x X (x c)). èñëî c íàçûâàåòñß âå õíåé (íèæíåé) ã àíü ìíîæåñòâà X. Ìíîæåñòâî X R, îã àíè åííîå ñâå õó è ñíèçó, íàçûâàåòñß îã àíè åííûì. Êàê íåò óäíî óâèäåòü, ìíîæåñòâà N è R + = {x R : x>0} îã àíè åíû ñíèçó, à ìíîæåñòâî îò èöàòåëüíûõ öåëûõ èñåë îã àíè åíî ñâå õó. Ìíîæåñòâî A = {x R : 0 x<1} îã àíè åíî ñâå õó è ñíèçó, òî åñòü îã àíè åíî. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 3.2. Ýëåìåíò X ìíîæåñòâà X Ríàçûâà- åòñß íàèáîëü èì èëè ìàêñèìàëüíûì (íàèìåíü èì èëè ìèíèìàëüíûì), åñëè ( X) ( x X (x )) (( X) ( x X (x ))). Ìàêñèìàëüíûé (ìèíèìàëüíûé) ëåìåíò ìíîæåñòâà îáîçíà àåòñßñèìâîëîì =mxx ( =minx ). Çàìåòèì, òî ìíîæåñòâî A = {x R : 0 x < 1} èìååò ìèíèìàëüíûé (min A =0), íî íå èìååò ìàêñèìàëüíîãî ëåìåíòà. ÎÏÐÅÄÅËÅÍÈÅ 3.3. Íàèìåíü àß âå õíßß ã àíü ìíîæåñòâà X R íàçûâàåòñß òî íîé âå õíåé ã àíü è îáîçíà àåòñß ñèìâîëîì sup X =min{c R : x X (x c)} ( èòàåòñß "ñóï åìóì èêñ"). Íàèáîëü àß íèæíßß ã àíü ìíîæåñòâà X R íàçûâàåòñß òî íîé íèæíåé ã àíü è îáîçíà àåòñß inf X =mx{c R : x X (x c)}

1.3 Ï èíöèï òî íîé âå õíåé ã àíè, àêñèîìà À õèìåäà 32 ("èíôèìóì èêñ"). ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1 (ï èíöèï òî íîé âå õíåé ã àíè). Äëß ë áîãî íåïóñòîãî îã àíè åííîãî ñâå õó ìíîæåñòâà X Rñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàß òî íàß âå õíßß ã àíü. Ïóñòü Y = {y R : x X (x y)} ìíîæåñòâî âå õíèõ ã àíåé ìíîæåñòâà X. Ïî îï åäåëåíè sup X = miny. Îáîçíà èì sup X = s è äîïóñòèì, òî ñóùåñòâóåò åùå s = miny. Òîãäà ñ îäíîé ñòî îíû s s, à ñ ä óãîé s s. Ñòàëî áûòü, s = s. Èòàê, åäèíñòâåííîñòü sup X äîêàçàíà. Äîêàæåì òåïå ü ñóùåñòâîâàíèå. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî X è îã àíè åíî ñâå õó, òî ìíîæåñòâî Y. Òàê êàê x X y Y (x y), òî îòñ äà ïî àêñèîìå ïîëíîòû ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå èñëà s R òàêîãî, òî x X y Y (x s y). Ä óãèìè ñëîâàìè, s âå õíßß ã àíü ìíîæåñòâà X, ïî òîìó s Y.Ñ ä óãîé ñòî îíû, s íèæíßß ã àíü ìíîæåñòâà Y, ïî òîìó s =miny. ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 3.1. Ñôî ìóëè îâàòü è äîêàçàòü ï èíöèï òî íîé íèæíåé ã àíè. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.1. Â ë áîì íåïóñòîì îã àíè åííîì ñâå õó ìíîæåñòâå X N èìååòñß ìàêñèìàëüíûé ëåìåíò. Ïî ï èíöèïó òî íîé âå õíåé ã àíè!supx = s R. Ïî îï åäåëåíè òî íîé âå õíåé ã àíè n X (s 1 <n s). Òîãäà n =mxx, ïîñêîëüêó âñå íàòó àëüíûå èñëà, êîòî ûå áîëü- å n, íå ìåíü å n +1, à n +1 >s. Òî åñòü íàòó àëüíûå èñëà, áîëü èå n, íå âõîäßò âî ìíîæåñòâî X. ÑËÅÄÑÒÂÈÅ 3.2. Ìíîæåñòâî íàòó àëüíûõ èñåë íåîã àíè åíî ñâå õó. Â ï îòèâíîì ñëó àå ñóùåñòâîâàëî áû ìàêñèìàëüíîå íàòó àëüíîå èñëî. Íî n<n+1.

1.3 Ï èíöèï òî íîé âå õíåé ã àíè, àêñèîìà À õèìåäà 33 ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 3.2. Äîêàçàòü, òî â ë áîì íåïóñòîì îã àíè åííîì ñâå õó ìíîæåñòâå X Z èìååòñß ìàêñèìàëüíûé ëåìåíò. ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 3.3. Äîêàçàòü, òî â ë áîì íåïóñòîì îã àíè åííîì ñíèçó ìíîæåñòâå X Z èìååòñß ìèíèìàëüíûé ëåìåíò. ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÅ 3.4. Äîêàçàòü, òî ìíîæåñòâî Z íå îã àíè åíî íè ñâå õó íè ñíèçó. ÒÅÎÐÅÌÀ 3.2 (ï èíöèï À õèìåäà 1 ). Ïóñòü h R + ï îèçâîëüíîå èñëî. Òîãäà äëß ë áîãî èñëà x R ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå èñëî k Z òàêîå, òî (k 1)h x<kh. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî Z íåîã àíè åíî ñâå õó, òî ìíîæåñòâî {n Z : x/h < n} - íåïóñòîå îã àíè åííîå ñíèçó ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà öåëûõ èñåë. Òîãäà â íåì èìååòñß ìèíèìàëüíûé ëåìåíò k, òî åñòü k 1 x/h < k. Åäèíñòâåííîñòü ìèíèìàëüíîãî ëåìåíòà òàêæå âûòåêàåò èç ï èíöèïà òî íîé íèæíåé ã àíè. Åñëè âçßòü h =1, òî èç ï èíöèïà À õèìåäà âûòåêàåò, òî äëß ë áîãî èñëà x R ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå èñëî k Z òàêîå, òî k x<k+1. Ýòî èñëî k îáîçíà àåòñß [x] è íàçûâàåòñß öåëîé àñòü èñëà x. Âåëè èíà {x} = x [x] íàçûâàåòñß ä îáíîé àñòü èñëà x. Ïî îòíî åíè ê äåéñòâèòåëüíûì èñëàì àñòî èñïîëüçóåòñß ãåîìåò è åñêèé ßçûê, ñâßçàííûé ñ òåì îáñòîßòåëüñòâîì, òî ìîæíî ïîñò îèòü áèåêòèâíîå îòîá àæåíèå f : R L, ãäå L íåêîòî àß ï ßìàß ëèíèß. Ýòî îòîá àæåíèå, íàçûâàåìîå ãåîìåò è åñêîé èíòå ï åòàöèåé ìíîæåñòâà R, ñò îèòñß ñëåäó ùèì îá àçîì. Ïóñòü L ï îèçâîëüíàß ï ßìàß ëèíèß. Âûáå åì íà íåé äâå ï îèçâîëüíûå òî êè: ëåâó è ï àâó. Ëåâîé ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå íóëü, à ï àâîé åäèíèöó. Îò åçîê ï ßìîé, çàêë åííûé ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé, íàçîâåì åäèíè íûì îò åçêîì. Ñîâìåùàß ï àâûé êîíåö åäèíè íîãî îò åçêà ñ ëåâûì êîíöîì îò åçêà I, êîíã ó íòíîãî 1 À õèìåä(îê. 287-212 ã. äî í..) ä åâíåã å åñêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê. Â ìàòåìàòèêå ñîçäàë ìåòîäû âû èñëåíèß ïëîùàäåé è îáúåìîâ è áûë áëèçîê ê îòê ûòè èíòåã àëüíîãî èñ èñëåíèß.

1.3 Ï èíöèï òî íîé âå õíåé ã àíè, àêñèîìà À õèìåäà 34 åäèíè íîìó, ìû ñîïîñòàâèì ï àâîìó êîíöó îò åçêà I èñëî 2. Ïîâòî ßß òó îïå àöè, ìû óêàæåì âñå òî êè ï ßìîé L, ñîîòâåòñòâó- ùèå íàòó àëüíûì èñëàì. Âçßâ òî êè, ñèììåò è íûå òî êàì ñ íàòó àëüíûìè èñëàìè îòíîñèòåëüíî òî êè 0, ìû ïîëó èì òî êè, ñîîòâåòñòâó ùèå ëåìåíòàì Z. Óìåß óäâàèâàòü, óò àèâàòü,... åäèíè íûé îò åçîê, ïî òåî åìå Ôàëåñà 1 åãî æå ìîæíî àçáèòü íà ñîîòâåòñòâó ùåå èñëî (n) êîíã ó- íòíûõ îò åçêîâ. Áå ß òîò èç íèõ, ëåâûé êîíåö êîòî îãî ñîâìåùåí ñ òî êîé 0, ìû ïîëó èì òî êó (ï àâûé êîíåö îò åçêà), êîòî îé ñîïîñòàâèì èñëî 1/n. Äåéñòâóß ïîäîáíûì îá àçîì, íàéäåì âñå òî êè, ïîñòàâëåííûå â ñîîòâåòñòâèå ëåìåíòàì Q. Îäíàêî íà L îñòàíóòñß íåçàíßòûå àöèîíàëüíûìè èñëàìè òî êè. (Ñêàæåì, ï àâûé êîíåö îò åçêà, êîíã ó íòíûé äèàãîíàëè åäèíè íîãî êâàä àòà, íå ìîæåò áûòü ñîâìåùåí íè ñ êàêèì àöèîíàëüíûì èñëîì, åñëè, àçóìååòñß, åãî ëåâûé êîíåö ñîâìåùåí ñ íóëåì). Òàêàß òî êà ï îèçâîäèò àçáèåíèå (ñå åíèå) ìíîæåñòâà Q íà äâà íåïóñòûõ ïîäìíîæåñòâà X è Y, ï è åì x X y Y(x y). Ïî àêñèîìå ïîëíîòû c R, àçäåëß ùåå ìíîæåñòâà X è Y. Ïîñêîëüêó X Y= Q, òî s =supx =infy = i, èáî â ï îòèâíîì ñëó àå s<iè íà ëîñü áû àöèîíàëüíîå èñëî, ëåæàùåå ìåæäó s è i, íî íå ëåæàùåå íè â X, íè â Y. Ïî òîìó äàííîé òî êå ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå èñëî c R. Ìû íå áóäåì âäàâàòüñß â ïîä îáíîñòè ïîñò îåíèß ãåîìåò è åñêîé èíòå ï åòàöèè ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ èñåë, ïîñêîëüêó ñàìó ãåîìåò è åñêó èíòå ï åòàöè ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü èñêë èòåëüíî äëß íàãëßäíîñòè. Ââåäåì ñëåäó ùèå îáîçíà åíèß äëß èñëîâûõ ìíîæåñòâ: (, b) :={x R : <x<b} - èíòå âàë b; [, b] :={x R : x b} - îò åçîê b; (, b] :={x R : <x b} - ïîëóèíòå âàë ñ ï àâûì êîíöîì; [, b) :={x R : x<b} - ïîëóèíòå âàë ñ ëåâûì êîíöîì. 1 Ôàëåñ Ìèëåòñêèé (îê. 625-547 ã. äî í..) ä åâíåã å åñêèé ìàòåìàòèê, àñò îíîì è ôèëîñîô