Σελ-- ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΣΤΟΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟ ΤΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ Α.Σ.Ε.Π 998 ΕΡΩΤΗΜΑ ο Με βάση τα χαακτηιστικά των βαυτικών δυνάµεων, ποια µεγέθη συµπεαίνετε ότι διατηούνται κατά τη κίνηση των πλανητών υπό την επίδαση του Ήλιου; Γιατί οι πλανητικές τοχιές είναι επίπεδες; ΑΠΑΝΤΗΣΗ η. Λόγω του γεγονότος ότι οι βαυτικές δυνάµεις είναι κεντικές, η οπή της παγκόσµιας έλξης που ασκείται στον κάθε πλανήτη ως πος το κέντο µάζας Ήλιου-Πλανήτη, το οποίο λόγω της µεγάλης µάζας του Ήλιου σε σχέση µε τον κάθε πλανήτη ταυτίζεται µε τη θέση του Ήλιου, είναι µηδέν. Έτσι η στοφοµή του κάθε πλανήτη πααµένει σταθεή. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα δύο πάγµατα. Λόγω της σταθεότητας της διεύθυνσης της στοφοµής, η τοχιά του κάθε πλανήτη είναι επίπεδη. Και λόγω της σταθεότητας του µέτου της στοφοµής, το εσωτεικό γινόµενο της ταχύτητας επί την επιβατική ακτίνα είναι σταθεό. Αυτό µεταφάζεται στο γεγονός ότι ο κάθε πλανήτης σε ίσους χόνους διανύει ίσα εµβαδά. M m σταθεό πάγµατι αν πάουµε τη χονική παάγωγο της ανωτέω σχέσης, έχουµε: m m m t ( ) t t m F + + 0. Λόγω του γεγονότος ότι η βαυτική δύναµη είναι συντηητική, συµπεαίνουµε ότι για τον κάθε πλανήτη ισχύει η Α..Μ.Ε αφού θεωούµε τον Ήλιο ακίνητο, λόγω της µεγάλης µάζας του σε σχέση µε τον κάθε πλανήτη. Η βαυτική δύναµη είναι συντηητική, γιατί εξατάται µόνο από την απόσταση των δύο σωµάτων και όχι για παάδειγµα από την ταχύτητα των σωµάτων ή το χόνο. Από την εξίσωση κίνησης έχουµε: F m t GMm t GM t GM 3 3 ολοκληώνοντας αυτή τη σχέση έχουµε: t GM GM GM m GMm GMm m E/M -GMm/σταθ 3. Λόγω του γεγονότος ότι η βαυτική έλξη είναι αντιστόφως ανάλογη του τεταγώνου της απόστασης, έχουµε ακόµη µια βαθύτεη συµµετία, που εκφάζεται από το γεγονός της διατήησης ενός ακόµη φυσικού µεγέθους το οποίο είναι ίσο µε: M + a όπου a GMm Το πααπάνω διανυσµατικό µέγεθος κατευθύνεται από την εστία πος το πειήλιο και πααµένει σταθεό κατά τη διάκεια της κίνησης. Αν πάουµε τη παάγωγο ως πος το χόνο του πααπάνω
Σελ-- µεγέθους, µποούµε να αποδείξουµε ότι ισούται µε µηδέν. Για την απόδειξη αυτή πέπει να λάβουµε υπ όψη τ ις σχέσεις: ) ) 3 ) 4) M m M 0 t A ( B C ) ( A C ) B -( A B ) C t & m a 5 ) 3 ΕΡΩΤΗΜΑ ο Από το νόµο του Gauss για το ηλεκτικό πεδίο, να εξάγετε το νόµο του Coulomb. Εξηγήστε γιατί ο νόµος του Gauss έχει µια αντίστοιχη διατύπωση για το βαυτικό πεδίο. Αν η Γη θεωηθεί ως οµογενής σφαία, υποδείξτε έναν τόπο υπολογισµού της έντασης του βαυτικού πεδίου στο εσωτεικό της Γης. ΑΠΑΝΤΗΣΗ η Ο νόµος του Gauss εκφάζεται ως εξής: q ολ Φ ολ ε 0 Εάν θεωήσουµε ένα σηµειακό φοτίο q µποούµε εφαµόζοντας τον ανωτέω νόµο να βούµε την ένταση του πεδίου που δηµιουγεί αυτό το φοτίο σε απόσταση από αυτό. Έτσι θεωώντας µια σφαιική επιφάνεια ακτίνας µε κέντο το φοτίο q και εφαµόζοντας τον ανωτέω νόµο θα έχουµε: Φ q ολ Ε 4 π Ε εο εο q q 4 π ε Άα η δύναµη που θα δεχθεί ένα φοτίο q που θα τοποθετήσουµε σε απόσταση από το φοτίο q θα δίνεται από τη σχέση FE q και αντικαθιστώντας την ένταση από την πααπάνω σχέση καταλήγουµε στον νόµο του Coulomb. Ο νόµος του Gauss έχει αντίστοιχη διατύπωση και για το βαυτικό πεδίο, γιατί και οι δύο δυνάµεις είναι αντιστόφως ανάλογες του τεταγώνου της απόστασης. Για να βούµε την ένταση στο εσωτεικό της Γης ακεί να εφαµόσουµε το νόµου του Gauss για µια σφαιική επιφάνεια µε κέντο το κέντο της Γης και ακτίνα µικότεη από την ακτίνα της γης. o
Σελ-3- ΕΡΩΤΗΜΑ 3ο Σχεδιάστε ποιοτικά την καµπύλη της δύναµης µεταξύ δύο µοίων (ή ιόντων) ως συνάτηση της µεταξύ τους απόστασης, καθώς και την αντίστοιχη καµπύλη της δυναµικής ενέγειας τους. Με βάση τις δυνάµεις αυτές, να εξηγηθούν οι ιδιότητες ελαστικότητας και η θεµική διαστολή των στεεών. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 3η Εδυν F o Ο νόµος του Hooke ποκύπτει από τη πώτη γαφική παάσταση, η οποία γύω από το σηµείο στο οποίο µηδενίζεται η δύναµη µποεί να θεωηθεί ευθεία. Έτσι η δύναµη για δύο µόια είναι ανάλογη του. Αυτή ακιβώς τη σχέση αν την επεκτείνουµε σε πολλά µόια, καταλήγουµε αµέσως στον ανωτέω νόµο. Για τη θεµική διαστολή πέπει να εξετάσουµε πως µεταβάλλεται το o στην καµπύλη της ενέγειας. Όταν µεταβάλουµε τη θεµοκασία επειδή η καµπύλη της δυναµικής ενέγειας αυξάνει λιγότεο απότοµα για > 0 παά για < 0 η µέση θέση µετατοπίζεται πος µεγαλύτεες τιµές του καθώς αυξάνει το πλάτος της ταλάντωσης. Αυτή είναι και η φυσική αιτία της θεµικής διαστολής. Με ποιο απλά λόγια, η θεµική διαστολή ποέχεται από το γεγονός ότι οι ενδοατοµικές δυνάµεις και οι αντίστοιχες δυναµικές ενέγειες σ ένα στεεό συµπειφέονται σαν να ποέχονται από ελατήια που είναι ευκολότεο να επιµηκυνθούν παά να συµπιεστούν. Έτσι όταν αυξάνει το πλάτος ταλάντωσης, η µέση απόσταση µεταξύ των ατόµων αυξάνει. ΕΡΩΤΗΜΑ 4ο Πειγάψτε συνοπτικά, χωίς µαθηµατικές αποδείξεις, πως ποκύπτει η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αείων από τις µικοσκοπικές κινήσεις των µοίων. Να σχολιαστεί ακόµη η µικοσκοπική ποέλευση της εντοπίας ενός θεµοδυναµικού συστήµατος. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 4η υπολογίζουµε την πίεση που ασκεί ένα µόιο όταν κτυπάει ελαστικά σε µία έδα ενός κύβου που πειέχει αέιο και στη συνέχεια χησιµοποιώντας στατιστικές µεθόδους, βίσκουµε την πίεση που ασκούν όλα τα µόια του αείου σ αυτήν την έδα. Έτσι καταλήγουµε στη σχέση : P Nmv 3 Εάν οίσουµε την απόλυτη θεµοκασία Τ στατιστικά από τη σχέση T 3k mv θα έχουµε τελικά
Σελ-4- P N N RT P nrt A Η εντοπία ενός συστήµατος µικοσκοπικά σχετίζεται µε τη πιθανότητα να βεθεί το σύστηµα σε µια συγκεκιµένη κατάσταση. Όσο πιο πιθανή είναι µια συγκεκιµένη κατάσταση ενός συστήµατος, τόσο από µεγαλύτεη εντοπία χαακτηίζεται το σύστηµα. ΕΡΩΤΗΜΑ 5ο Να δοθεί το φυσικό πειεχόµενο των εξισώσεων Maxwell και να σχολιαστούν ιδιαιτέως (α) η αναγκαιότητα της συµπλήωσης - και µε ποιόν όο - του νόµου του Ampee από τον Maxwell (β) η πόβλεψη της θεωίας για την ταχύτητα του φωτός στο κενό. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 5η.. Η πώτη εξίσωση είναι ο νόµος του Gauss στον ηλεκτισµό ο οποίος είναι ισοδύναµος µε τον νόµο του Coulomb. Η φυσική σηµασία του νόµου είναι ότι στη φύση υπάχουν δύο ειδών φοτία τα θετικά και τα ανητικά. Τα οµώνυµα φοτία απωθούνται ενώ τα ετεώνυµα έλκονται. Η δύναµη µε την οποία έλκονται ή απωθούνται δύο σηµειακά φοτία είναι αντιστόφως ανάλογη του τεταγώνου της απόστασης των φοτίων. E ε 0. Η δεύτεη εξίσωση είναι ο νόµος του Gauss στο µαγνητισµό. Αυτή δηλώνει το γεγονός ότι δεν υπάχουν µαγνητικά φοτία ή µαγνητικές ποσότητες ή µαγνητικά µονόπολα όπως αλλιώς λέγονται. Αν υπήχαν µαγνητικά φοτία όπως υπάχουν τα ηλεκτικά, τότε η δεύτεη εξίσωση θα ήταν συµµετική της πώτης. Γιατί δεν υπάχει στη φύση αυτή η συµµετία, είναι ένα εώτηµα το οποίο ακόµη δεν έχει απαντηθεί. Μη ξεχνάµε ότι οι εξισώσεις γενικά στη φύση είναι συµµετικές. Β 0 3. Η τίτη εξίσωση του Maxwell δεν είναι τίποτε άλλο παά ο νόµος του Faaay ο οποίος αναφέει ότι το µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο, δηµιουγεί γύω του ηλεκτικό πεδίο. Β Ε t 4. Η τέτατη εξίσωση του Maxwell εκφάζει το νόµο του Biot-Savat ο οποίος αναφέει ότι οποιοσδήποτε ευµατοφόος αγωγός δηµιουγεί γύω του µαγνητικό πεδίο. Η ολοκληωτική µοφή αυτού του νόµου είναι γνωστή και ως νόµος του Ampee. Σε αυτό ακιβώς το νόµο έβαλε ουσιαστικά το χεάκι του ο Maxwell συµπληώνοντας το νόµο µε το εύµα µετατόπισης, ισχυιζόµενος για λόγους συµµετίας και για άλλους λόγους, ότι όπως το µεταβαλλόµενο µαγνητικό πεδίο δηµιουγεί γύω του ηλεκτικό πεδίο, έτσι και το µεταβαλλόµενο ηλεκτικό πεδίο, δηµιουγεί µαγνητικό, οπότε το µεταβαλλόµενο ηλεκτικό πεδίο µποεί να θεωηθεί ως ένα είδος εύµατος που καλείται εύµα µετατόπισης. Ε B µ 0ε0 µ 0J t Η ταχύτητα του φωτός στο κενό από τις εξισώσεις του Maxwell ποκύπτει ίση µε: c µ ε 0 0 Αφού µε κάποια µαθηµατική επεξεγασία, ποκύπτει ότι η εξίσωση διάδοσης του ηλεκτοµαγνητικού κύµατος στο κενό δείχνει ότι το ηλεκτοµαγνητικό κύµα διαδίδεται πάντα σε οποιοδήποτε σύστηµα αναφοάς µε την ίδια ταχύτητα την c. Άα οι εξισώσεις του Maxwell είναι συµβατές µε την η αχή της θεωίας σχετικότητας του Εinstein. Ή αλλιώς όπως λέµε, οι εξισώσεις Maxwell πααµένουν αναλλοίωτες αν υποστούν τους µετασχηµατισµούς Loenz
Σελ-5- ΕΡΩΤΗΜΑ 6ο Ποια αχή διέπει τη γεωµετική και ποια την κυµατική οπτική και από ποια γενικότεη θεωία ποκύπτουν;. Να εφαµόσετε µία από τις αχές αυτές για να εξάγετε το νόµο της ανάκλασης του φωτός. Σε ποιο όιο η κυµατική οπτική µεταβαίνει στη γεωµετική οπτική; ΑΠΑΝΤΗΣΗ 6η: Η αχή που διέπει τη γεωµετική οπτική είναι η αχή του Femat η αχή δηλαδή του ελαχίστου δόµου. Η αχή αυτή λέει ότι το φως για να µεταβεί από το ένα σηµείο του χώου στο άλλο, ακολουθεί πάντα το συντοµότεο χονικά δόµο. Με βάση αυτήν την αχή, µποούν να εξηγηθούν τα φαινόµενα της ανάκλασης, της διάθλασης κτλ, δεν µποούν όµως να εξηγηθούν τα φαινόµενα της συµβολής, της πείθλασης κτλ που είναι καθαά κυµατικά φαινόµενα. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΗΣ ΑΝΑΚΛΑΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΗ ΤΟΥ Femat A Β Γ A θέλουµε να βούµε ένα σηµείο Γ πάνω στο επίπεδο ανάκλασης, ώστε η απόσταση ΑΓΒ να γίνει ελάχιστη. ( η ταχύτητα του φωτός είναι σταθεή, οπότε ο ελάχιστος χόνος πετυχαίνεται όταν η απόσταση γίνει ελάχιστη.) Φένουµε το συµµετικό του Α ως πος το επίπεδο ανάκλασης, έστω το Α. Από την ισότητα των τιγώνων (ΑΓ )(Α Γ ) ΑΓΑ Γ Έτσι ΑΓ+ΓΒΑ Γ+ΓΒ. Η Απόσταση Α Γ+ΓΒ γίνεται ελάχιστη όταν τα σηµεία Α, Γ, Β Αφού η ευθεία είναι η συντοµότεη κάθε άλλης γαµµής. Οπότε η γωνία ÁÃÄ Á Ã Ä Â Ã Ä που τελικά είναι και ο νόµος της ανάκλασης. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ ΙΑΘΛΑΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΟΥ Femat. Έστω ότι το φως µεταβαίνει από το σηµείο Α στο σηµείο Β. Στο µέσο () η ταχύτητα του φωτός είναι και στο µέσο () η ταχύτητα είναι. Θέλουµε να ποσδιοίσουµε ένα σηµείο Γ πάνω στη διαχωιστική επιφάνεια των δύο µέσων, ώστε το φως να φθάσει όσο το δύνατό γηγοότεα από το ένα σηµείο στο άλλο. ηλαδή ζητάµε τον ποσδιοισµό του Γ ώστε : ΑΓ ΓΒ t + min Η πααπάνω σχέση γάφεται: t f ( x ) ( Α ) + x + ( BE ) + ( x ) Για να έχει ελάχιστο αυτή η σχέση θα πέπει η παάγωγός της ως πος χ να είναι µηδέν: Άα θα έχουµε:
Σελ-6- x (Α ) x (Α ) + x 0 + x (ΒΕ) + ( x) x (ΒΕ) + ( x) x συνα συνβ Αυτός βασικά είναι και ο νόµος του Snell. Α χ a Γ β Ε Β ΕΞΗΓΗΣΗ ΤΗΣ ΑΝΑΚΛΑΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΙΑΘΛΑΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ ΧΟΙΝΚΕΝΣ. έστω ένα κύµα κτυπάει πλάγια µια επιφάνεια. Το κύµα θα φθάσει πώτα στο σηµείο Α, το οποίο θα γίνει δευτεογενής πηγή κύµατος και θα εκπέµψει ένα σφαιικό κύµα, µετά στο σηµείο Β και τέλος στο σηµείο Γ. Τη στιγµή που το κύµα θα έχει φθάσει στο σηµείο Γ, το κύµα που έχει πηγή το σηµείο Α έχει φθάσει στο σηµείο, ενώ αυτό που έχει πηγή το Β, έχει φθάσει στο σηµείο Ε. Η νέα ισοφασική επιφάνεια του κύµατος είναι η ΕΓ, αφού λόγω συµβολής, στα υπόλοιπα σηµεία του χώου που φθάνουν κύµατα από τα σηµεία από το Α έως το Γ έχουµε απόσβεση και τελικά µένει η κοινή πειβάλλουσα των δευτεογενών πηγών από το Α στο Γ. Με αυτό το τόπο βλέπουµε µια αλλαγή στην διεύθυνση της ισοφασικής επιφάνειας. Η ισοφασική επιφάνεια πιν την ανάκλαση ήταν η ΑΖ και µετά την ανάκλαση έγινε η Γ. Συγκίνουµε τα τίγωνα Α Γ και ΑΖΓ. Τα τίγωνα αυτά είναι οθογώνια, αφού η ισοφασική επιφάνεια είναι πάντα κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. έχουν κοινή υποτείνουσα την ΑΓ και ακόµη Α ΖΓct. Άα τα τίγωνα είναι ίσα. Εποµένως ΖΑΓ ΓΑ που αποτελεί και το νόµο της ανάκλασης. ΖΑΓ ΓΑ Ζ Ε Α Β Γ
Σελ-7- Έστω ότι τη χονική στιγµή t0 το κύµα φθάνει στο σηµείο Α. Μετά από χόνο που θα χειαστεί για να διανύσει την απόσταση ΒΓ θα φθάσει και στο σηµείο Γ. ηλαδή στο σηµείο Γ θα φθάσει τη χονική στιγµή ΒΓ t c όπου c η ταχύτητα που διαδίδεται το κύµα στο µέσο (). Για όλο αυτό το χόνο το σηµείο Α έχει γίνει δευτεογενής πηγή ακτινοβολίας και έχει εκπέµψει κύµα το οποίο στο µέσο () έχει φθάσει σε όλα τα σηµεία της επιφάνειας µιας σφαίας µε ακτίνα ΑΕc t. Έτσι παατηούµε ότι η διεύθυνση του κύµατος άλλαξε µπαίνοντας στο µέσο () αφού στο µέσο () η ισοφασική επιφάνεια του κύµατος ήταν η ΑΒ, ενώ στο µέσο () έγινε η ΕΓ. Έχουµε: ηµ (Γ Α Β ) ηµ (Ε ΓΑ ) ΒΓ ΑΕ c t c c t c που αποτελεί και το νόµο της διάθλασης. Β Α Γ Ε
Σελ-8- ΕΡΩΤΗΜΑ 7ο Με βάση την αχή της αποσδιοιστίας, να ευεθεί η ελάχιστη ενέγεια ενός γαµµικού ταλαντωτή κυκλικής συχνότητας ω και να σχολιαστεί το συµπέασµα σε σχέση µε την αντίστοιχη πόβλεψη της κλασικής µηχανικής. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 7η Η αχή αποσδιοιστίας εκφάζεται ως εξής: p x η Αν θεωήσουµε ότι η µέγιστη αποσδιοιστία στη θέση και στην οµή είναι η ίδια η τιµή της θέσης και της οµής του σωµατιδίου και λαµβάνοντας υπ όψη τον τύπο της οµής όπου pmu, θα έχουµε η u () mx Η ενέγεια ενός αµονικού ταλαντωτή είναι το άθοισµα της δυναµικής και της κινητικής του ενέγειας. Ε ολ mu + Dx () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () έχουµε για την ενέγεια: ηω Η ανωτέω ανίσωση για να έχει παγµατικές λύσεις θα πέπει 0 η D Άα E D 0 E η E ηω m m Έτσι παατηούµε ότι ενώ στη κλασσική µηχανική η ελάχιστη ενέγεια που µποεί να έχει ένας αµονικός ταλαντωτής είναι µηδέν, στη κβαντική µηχανική η ελάχιστη ενέγεια που µποεί να έχει είναι ηω που αντιστοιχεί στην ενέγεια ενός φωνονίου. ΕΡΩΤΗΜΑ 8ο Ποια είναι η κατάταξη των στοιχειωδών σωµατιδίων και των αλληλεπιδάσεων τους, σύµφωνα µε το καθιεωµένο πότυπο και ποια είναι η σχέση των σωµατιδίων αυτών µε τη συµβατική ύλη ( πωτόνια, νετόνια, ηλεκτόνια). ΑΠΑΝΤΗΣΗ 8η Σύµφωνα µε το καθιεωµένο πότυπο, τα στοιχειώδη σωµατίδια κατατάσσονται σε τεις κατηγοίες. Α) τα λεπτόνια που είναι το ηλεκτόνιο e το νετίνο του ηλεκτονίου ν e το µεσόνιο µ το νετίνο του µεσονίου ν µ το σωµάτιο ταυ τ το νετίνο του σωµατιδίου ν τ Β) τα 6 quaks. το πάνω u. το κάτω 3. το παάδοξο s 4. το µαγικό c 5. το πυθµενικό ή όµοφο b 6. το κουφαίο t Ακόµη υπάχουν και οι φοείς των αλληλεπιδάσεων που: για τις βαυτικές δυνάµεις είναι το βαυτόνιο για τις ηλεκτοµαγνητικές είναι το φωτόνιο
Σελ-9- για τις ασθενών αλληλεπιδάσεων είναι το +W, -W, Z και στη πείπτωση που δεν έχει σπάσει η συµµετία ανάµεσα στις ασθενείς δυνάµεις και στις ηλεκτοµαγνητικές, είναι τα σωµάτια Higgs για τις ισχυές δυνάµεις τέλος είναι τα glouon συγκολλητόνια. Τα βαυτόνια αποτελούνται από τία quaks. Το πωτόνιο αποτελείται από πάνω και ένα κάτω (/3+/3-/3) ενώ το νετόνιο από δύο κάτω και ένα πάνω quak ( /3-/3-/3 0 )