= = σταθ. Ι. που είναι. Η ροπή αδράνειας ενός σώματος μετρά την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής, έτσι όσο

Transcript

1 Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. γ, Α. α, Α3. γ, Α4. α, Α5. Σ, Λ, Λ, Λ, Σ. ΘΕΜΑ Β Β. Σωστή απάντηση είναι η γ. Σε μία τυχαία θέση θα έχουμε: Στ = τf τ w = F g ηµθ θ F Στ = ( c + 0,5g ηµθ) g ηµ θ = c = σταθ. g Άα λοιπό θα έχουμε: σταθ. Στ = σταθ. Ια γ = σταθ. α γ = = σταθ. Ι Β. Α. Σωστή απάντηση είναι η γ. Η κινητική ενέγεια κάθε συστήματος θα είναι ίση με το έγο που ποσφέει η δύναμη F. Το έγο της δύναμης F είναι: WF =τf θ WF = F π που είναι το ίδιο και στις δύο πειπτώσεις. Πείπτωση Α Πείπτωση Β F F Β. Σωστή απάντηση είναι η α. Η άβδος έχει τις ίδιες διαστάσεις με την άβδο αλλά λόγω της μεγαλύτεης πυκνότητας θα έχει μεγαλύτεη μάζα >. Η οπή αδάνειας ενός σώματος μετά την κατανομή της μάζας γύω από τον άξονα πειστοφής, έτσι όσο πιο μακιά είναι κατανεμημένη η μάζα του σώματος από τον άξονα πειστοφής τόσο μεγαλύτεη είναι η οπή αδάνειας του. Στο σύστημα Α έχουμε την μεγαλύτεη μάζα εξωτεικά έτσι ΙΑ > ΙΒ. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. Βόλος

2 Αποδείξαμε πιο πάνω ότι ΚΑ = ΚΒ άα: Κ Α ω Ι ω = Κ Β Ι ω = Ι ω = < < ω <ω Α Β Α Α Α Β Β Α Β ωβ ΙΑ ωβ Η στιγμιαία ισχύς της οπής της δύναμης είναι P = τf ω = Fl ω και επειδή ωα < ωβ τότε θα έχουμε PA < PB. Β3. Σωστή απάντηση είναι η β. Η σανίδα θα κάνει ταλάντωση πάνω στους κυλίνδους. Η κινητική ενέγεια μεγιστοποιείται κάθε Τ/ όπου Τ η ω ω πείοδος της ταλάντωσης. N N x x Στο κατακόυφο άξονα έχουμε ισοοπία άα: Σ F = 0 N + N = w y (). ω T T w ω Επειδή η σανίδα κινείται ισχύει Στ = 0 μόνο ως πος το κέντο μάζας της. Στ c = 0 () w N ( + x) + N ( x) = 0 (N N ) x(n + N ) = 0 (N N ) x w = 0 N N = x () Σε μία τυχαία μετατόπιση x πος τα δεξιά (θετική φοά πος τα δεξιά) () µ w Σ Fx = T+ T Σ F = T T =µ ( Ν Ν ) = x Σ F = Dx με µ g D = Η πείοδος είναι: Τ= π = π T= π D µ g µ g Βλέπουμε ότι η πείοδος μειώνεται με την μείωση του, άα Δt > Δt. ΘΕΜΑ Γ α. Το κέντο μάζας της άβδου (σημείο Κ) απέχει από το σημείο Δ απόσταση: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. Βόλος

3 ( Κ ) = ( ΚΓ) ( Γ ) = ( Κ ) = 3 6 F Το σύστημα άβδος Σ ισοοπεί οπότε M 6 3 Στ = 0 Mg g = 0 = = kg Α Κ Μg Δ g Γ Η οπή αδάνειας του συστήματος, άβδος Σ: M M M M M Ι= Ic, + + = + + = I = 3kg β. Η οπή αδάνειας μόνο της άβδου είναι: M M M 4M Ι = Ic, + = + = I = kg Η μεταβολή της στοφομής της άβδου είναι (θεωούμε την δεξιόστοφη φοά ως θετική) L L = L L L =Ιω Ιω ω = +ω, τελ, αχ Ι () θ π ra Αλλά για το μέτο της αχικής γωνιακής ταχύτητας έχουμε: ω = ω = ω t π =5 5 6 ra ra Έτσι από την () έχουμε: ω = ( + 5) ω = Για να βούμε την ταχύτητα που θα αποκτήσει η σφαία μετά την κούση εφαμόζουμε την Α.Δ.Σ. για το σύστημα άβδος Σ και σφαία ως πος το σημείο Δ. ω R Γ Δ Α ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. Βόλος 3

4 Ιω Ιω Lαχ = Lτελ Ιω = Ιω + υ υ = υ = υ, 5 c,0 c,0 c,0 c,0 =6 Άα το μέτο της ομής της σφαίας αμέσως μετά την κούση είναι: p = υc,0 p = 6 kg /. γ. Η σφαία μετά την κούση ολισθαίνει για λίγο διάστημα και στην συνέχεια κυλίεται χωίς ολίσθηση. Η απώλεια της κινητικής ενέγειας της σφαίας για όσο διακεί η ολίσθηση είναι: (Η ολική κινητική ενέγεια σφαίας όταν κυλίεται χωίς να ολισθαίνει είναι: υc 7 Κ = υ c + Ic, σϕω = υ c + r K = υ c ) 5 r Εαπ 0 0 6,8 Ε απ =Κ0 Κ = υc,0 υc, υ c, = υc,0 υ c, = 36 υ c, = Μόλις η σφαία μπει στο τετατοκύκλιο αχίζει η κυκλική κίνηση οπότε ισχύει: Ν υc, υc, 090 Σ FR = Fκ Ν g = Ν= (g + ) N= N R r R r 49 υ c, g δ. Εφαμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για την κίνηση της σφαίας στο τετατοκύκλιο από την κατώτεη θέση μέχι την στιγμή λίγο πιν την εγκατάλειψη g(R r) Κ Κ = Ww υc, υ c, = g(r r) υ c, = υc, ,49 υ c, = 6 υ c, =3. 7 Μετά το χάσιμο της επαφής η σφαία θα εκτελέσει δύο ανεξάτητες κινήσεις. Μία ομαλή κυκλική και μία επιβαδυνόμενη μεταφοική κίνηση. Εφαμόζω Θ.Μ.Κ.Ε. μέχι την θέση του μέγιστου ύψους. υc, Κτελ Κ αχ = Ww Ιc, σϕω υ c, + Ιc, σϕω = gh h = h = 0,45. g ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. Βόλος 4

5 ε. Όπως είπαμε και πιο πάνω η σφαία όσο βίσκεται στον αέα εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, συνεπώς η στοφομή της σφαίας εξαιτίας της ιδιοπειστοφής της είναι κάθε στιγμή σταθεή και ίση με αυτή που είχε όταν εγκατέλειψε το τετατοκύκλιο. υc, = ωr ω = 300 ra/. Έτσι kg L = Ic, σϕ ω = r ω L = 0, kg L = 0,0. ΘΕΜΑ Δ α. Για το σύστημα δίσκος - Σ δεν έχουμε εξωτεικές οπές οπότε διατηείται στοφομή του. Έτσι έχουμε: πιν ω μετά ω O υ 0 O Ι ( ω ω ) 0,9 0 L = L Ι ω = ( Ι + ) ω Ι ( ω ω ) = ω = = kg 0,09 00 δ αχ τελ δ δ δ ω = kg β. Για την ισοοπία του Σ έχουμε: Σ F= 0 T = g T= g Το όλο σύστημα αχικά ισοοπούσε, συνεπώς: () F αξ Στ= 0 g = TR g = gr (). Σ R R Ο υθμός μεταβολής της στοφομής ως πος το κέντο του κυλίνδου είναι: = Στ = = = () t συστ. gr g t t. συστ. t συστ. g συστ g w ολ Τꞌ Τ Σ g 5 = = 0 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. Βόλος 5

6 γ. Από την κινητική ενέγεια του Σ έχουμε: K Κ = υ Κ = ω R R = R = kg ω 0 (3) t συστ. Είδαμε όμως ότι = gr R = R = 0,5kg (4) t g συστ. Με διαίεση των () και (3) ποκύπτει: R 0, = R = 0, και από την (4) =,5 kg. R 0,5 Η ακτίνα του κυλίνδου είναι: R = R + 50%R R = 0,3. Η οπή αδάνειας του στεεού είναι: Ι= Ι +Ι = Μ + ΜR Ι= ( 0, ,09) kg I = 0,9 kg 6 Η στοφομή του συστήματος στεεό Σ ως πος τον άξονα του στεεού είναι κάθε χονική στιγμή: L = Iω+ υ R = Ια + α R = Ια + α R R = (I+ R ) α α = t συστ. γ γ γ γ γ t συστ. I+ R α γ = 5 ra/. δ. Ο υθμός μεταβολής της κινητικής ενέγειας του σώματος Σ είναι: ( υ) K υ K = = υ = υα = υα γr (5) t t t t Από την κινητική ενέγεια του Σ έχουμε: Κ Κ = υ υ = υ = K Έτσι από την (4) έχουμε: t J =5 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. Βόλος 6