ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Επιµέλεια. ΣΕΡΑΦΕΙΜ ΚΑΡΑΜΠΟΓΙΑΣ.

Transcript

1 ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Επιµέλεια. ΣΕΡΑΦΕΙΜ ΚΑΡΑΜΠΟΓΙΑΣ. ΑΘΗΝΑ 9

2 Τιγωνοµετικοί αιθµοί Γωνία π 6 π 4 π 3 π si ϕ 3 3 os ϕ ϕ Τιγωνοµετικές ταυτότητες. os ± y os os y si si y. si ± y si os y ± os si y. π. 3 os ± si si ± π ± os. 4 os os si. 5 si si os. 6 j j os. 7 j j j si. 8 y y y. 9 y y y. os os os os si si os os y y y. si os si si os. os os. 3 si όπου: R A B s os θ Aos B i R και θ B / A ή A R os θ και B Rsi θ.4 --

3 . Αόιστα ολοκληώµατα. d < l. d d <. 3 < 4. 4 d 4 4 >. 5 d 4 l d 4. 6 l. 7 d d d. 8 d l. 9 d. d 3. d. d. 3 d

4 d d d d d d. l d l 3. Αόιστα ολοκληώµατα τιγωνοµετικών συνατήσεων os d si 3. os os si 3. os d os si 3. 3 si d os 3. 4 si si os 3. 5 d Αόιστα ολοκληώµατα εκθετικών συνατήσεων 4. d παγµατικός ή µιγαδικός αιθµός 4. d παγµατικός ή µιγαδικός αιθµός -3-

5 d 3 παγµατικός ή µιγαδικός αιθµός 3 3 d παγµατικός ή µιγαδικός αιθµός si si os [ ] d os os si [ ] d Οισµένα ολοκληώµατα d π 4 > 5. d π 5. 4 si d si d si d π 5. 3 si d π Σειές ! y!! y

6 [ ] si / j θ φ φ si φ /!!! 3 j[ θ φ ]! 3!! / Στοιχεία ηλεκτικών κυκλωµάτων Η ένταση του εύµατος που διαέει αγωγό είναι dq i όπου Q είναι το φοτίο που διέχεται από τον d αγωγό. Η τάση υ R στα άκα µιας ωµικής αντίστασης R, υ R R i που διαέεται από εύµα έντασης i, είναι Η τάση υ στα άκα πηνίου, αυτεπαγωγής, που di υ διαέεται από εύµα έντασης i είναι d Η ένταση του εύµατος φότισης ενός πυκνωτή είναι. dυ i C όπου C είναι η χωητικότητα του πυκνωτή. d Η χωητικότητα C πυκνωτή οίζεται από τη σχέση. Q όπου Q C είναι το φοτίο του πυκνωτή και υ C η τάση C C υ C στα άκα του. Σχέση του Eulr osθ jθ jθ θ j osθ j siθ siθ jθ j jθ 5 4 si 3 Συνάτηση ειγµατοληψίας si π, si π, -5-

7 k jk k k Εκθετική σειά Fourir ω, [, ] Εξίσωση σύνθεσης jk ω d Εξίσωση ανάλυσης Ανάπτυγµα σε εκθετική σειά του πειοδικού οθογώνιου σήµατος,, < < < / και si kω k kπ k Τιγωνοµετική σειά Fourir k os k si kω kω Εξίσωση σύνθεσης k si F d, k os kω d, k kω d Εξίσωση ανάλυσης Μετασχηµατισµός Fourir Αναλογικών σηµάτων. { } jω X ω d j ω ω X d ω π Ο µετασχηµατισµός Fourir του αναλογικού σήµατος Η εξίσωση η οποία ανασυνθέτει το σήµα στο πεδίο του χόνου. -6-

8 Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourir για µη πειοδικά σήµατα Ιδιότητα Πεδίο του χόνου Πεδίο συχνοτήτων Συζυγία στο χόνο X ω Συζυγία στη συχνότητα X ω Ανάκλαση X ω Γαµµικότητα X ω X ω Παγµατικό µέος Φανταστικό µέος [ ] [ ] o R { X ω} R ω j I m{ X ω} j I ω Χονική µετατόπιση o jω X ω Ολίσθηση jω X ω ω o συχνότητας Ολοκλήωση ξ dξ X ω π X ω δω jω Παγµατικό σήµα X ω X ω R { X ω} R{ X ω} I m{ X ω} Im{ X ω} X ω X ω rg X ω rg X ω Συγκεασµός h X ω H ω ιαµόφωση y [ X ω Y ω ] π ιαφόιση στο χονικό πεδίο ιαφόιση στο πεδίο συχνοτήτων Αλλαγή κλίµακας: υϊσµός F αν X ω Θεώηµα Prsvl d jωx ω d j dx ω d ω X ω y X Y ω π ω E d E X ω dω π -7-

9 Μετασχηµατισµοί Fourir µεικών βασικών συνατήσεων Πεδίο του χόνου Πεδίο συχνοτήτων δ π ή δ f δ ω, sg, u jω πδ ω > < ή jπ f jω δ j ω πδ ω ω jω ω π[ δ ω ω δ ω ω ] os k si π δ ω ω j ω [ δ ω ω ] jk k ω π k kδ ω kω Π, < ω si ω, > si π ω W W W si si, ω < W π π X ω π, ω W Λ, < ω, si π W W π si ω \ W, ω < W X ω W, αλλιώς u, R { } > jω u, R { } > jω u, R { } >! jω os π jω δ ω ω δ ω ω ω ω ω u [ ] si ω u, R{ } > -8- π ω [ δ ω ω δ ω ω j ] ω ω ω

10 Ενέγεια - Ισχύς Συνάτηση αυτοσυσχέτισης για ενεγειακά σήµατα * R X τ τ d Μέση χονική συνάτηση αυτοσυσχέτισης για σήµατα ισχύος X lim * R τ τ Ενέγεια αναλογικού R σήµατος d π X Ενέγεια διακιτού E X σήµατος Ισχύς αναλογικού P lim R σήµατος d π S Ισχύς διακιτού P lim σήµατος Φασµατική πυκνότητα ενέγειας X ω F{ R τ } ω dω E X ω dω Φασµατική πυκνότητα ισχύος X ω F{ R τ } Η Φυσική σηµασία της απόκισης συχνότητας ενός ΓΧΑΣ d A os ω φ H ω Απόκιση Απόκιση πλάτους φάσης H ω Aos ω φ rg H ω y Σχέσεις µεταξύ των συνατήσεων εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑΣ y h R τ h R h τ X ω R τ R τ R τ y Y ω X ω H ω h Σχέσεις µεταξύ των συνατήσεων εισόδου-εξόδου ενός ΓΧΑΣ. y h R τ h R h τ R y τ R τ * h τ * h τ S ω S ω S ω H ω y * -9-

11 Ανάπτυξη ητής συνάτησης σε απλά κλάσµατα Μετασχηµατισµός pl { } d s X s Ο ίπλευος Μετασχηµατισµός pl του αναλογικού σήµατος { } d s X s Ο Μονόπλευος Μετασχηµατισµός pl του αναλογικού σήµατος j X s ds s j j π σ ω σ ω Η εξίσωση, η οποία ανασυνθέτει το σήµα στο πεδίο του χόνου Οι ιδιότητες ενός συστήµατος και η συµπειφοά της κουστικής του απόκισης ανάλογα τη θέση των πόλων της συνάτησης µεταφοάς του στο µιγαδικό επίπεδο. jω σ Ευσταθές Ασταθές f f f f f d d f 3 f --

12 Ιδιότητες του ίπλευου Μετασχηµατισµού pl Ιδιότητα Πεδίο Χόνου Πεδίο Συχνότητας Γαµµικότητα. Μετατόπιση στο χόνο Μετατόπιση στη µιγαδική συχνότητα Κλιµ/ση στο χόνο και στη συχνότητα Πααγώγιση στη συχνότητα Ολοκλήωση στη συχνότητα s X s µε Π.Σ R { s} > σ X s µε Π.Σ R { s} > σ X s µε Π.Σ R { s} > σ X s X s µε Π.Σ.τουλάχιστον R { s} > m σ, σ u X s o s µε την ίδια Π.Σ. R { s} > σ. X s s µε Π.Σ. R { s} > R{ s } X s µε Π.Σ. R { s} > σ d X s ds σ. µε Π.Σ. R { s} > σ X ξ dξ µε Π.Σ. R { s} > σ Μ πααγώγου d s X s d Μ ολοκληώµατος ξ dξ s X s Η ιδιότητα της συν y Y s X s X s Πειοδικά σήµατα X s s µε Π.Σ. τουλάχιστον R { s} > m σ, σ s d s µε Π.Σ. R { s} > Οι ιδιότητες του Μονόπλευου Μετασχηµατισµού pl Ιδιότητα Σήµα Μονόπλευος Μ X s X s Γαµµικότητα Μετατόπιση στη συχνότητα s X s s Κλιµάκωση στο χόνο s --, > X

13 Συνέλιξη για <, X s X s Πααγώγιση στο χόνο* Πααγώγιση στη συχνότητα Ολοκλήωση στο χόνο* τ dτ d d sx s d X d s s X s d s s τ τ Θεώηµα αχικής και τελικής lim sx s Αχική τιµή s τιµής lim lim sx s Τελική τιµή s Όταν οι αχικές συνθήκες είναι µηδέν, οι ιδιότητες της πααγώγισης και της ολοκλήωσης του ΜΜ είναι οι ίδιες µε τις αντίστοιχες του Μ. Μετασχηµατισµοί pl µεικών βασικών συνατήσεων Σήµα Μετασ/σµός pl Πειοχή σύγκλισης δ C u R { s} > s 3 u! R { s} > s 4 u R { s} > R{ } s u R { s} < R{ } s 5 R { s} > R{ } u! s 6 δ 7 [ os ω ] u 8 [ si ω ] u 9 [ ] [ ] s os ω u s s ω si ω u ω s ω s s ω R { s} > ω s ω R { s} > -- C R { s} > R{ } R { s} > R{ }

14 Μετασχηµατισµός Fourir ιακιτού χόνου { } F X j Ω Ω jω X Ω dω π π Ο Μετασχηµατισµός Fourir του σήµατος διακιτού χόνου Η εξίσωση, η οποία ανασυνθέτει το σήµα στο πεδίο του χόνου Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourir διακιτού χόνου. Ιδιότητα Πεδίο του χόνου Πεδίο συχνοτήτων Συζυγία στο χόνο X Ω Συζυγία στη συχνότητα X Ω Ανάκλαση X Ω Γαµµικότητα X Ω X Ω Παγµατικό µέος [ ] Φανταστικό µέος o [ ] R { X Ω} R Ω j Im{ X Ω} ji Ω Χονική µετατόπιση o jω X Ω Ολίσθηση συχνότητας j Ω Ω Αθοισµα Ω X o m m Παγµατικό σήµα j X X k Ω Ω π δ Ω π k R { X Ω} R{ X Ω} I m{ X Ω} Im{ X Ω} X Ω X Ω rg X Ω rg X Ω Συνέλιξη h X Ω H Ω ιαµόφωση h ιαφοά ιαφόιση στο πεδίο συχνοτήτων Θεώηµα Prsvl X Ωθ H θ dθ π π jω X Ω k k j d k d k X Ω Ω E E X Ω dω π π -3-

15 Αλλαγή κλίµακας: Αποδεκάτιση Παεµβολή M M, M Z X M, M Z M αν km, διαφοετικά M M Ω M X Ω kπ M k M M X MΩ Μετασχηµατισµοί Fourir µεικών βασικών συνατήσεων Πεδίο του χόνου Πεδίο συχνοτήτων jk π k Ν π k k δ πk k Ω jω πδ ΩΩ πl l os Ω π δ ΩΩ πl δ Ω Ω πl [ ] l si Ω π δ ΩΩ πl δ Ω Ω πl j [ ] l π δ Ω πl,, < / και π l k α δ π κ Ω k δ k π δ Ω k k u, < jω,, > si W W si W, π π π < W < π X Ω si πk [ Ω Ν ] si Ω, Ω W, W < Ω π X Ω πειοδικό µε πείοδο π δ -4-

16 u πδ Ω πk jω k jω δ, < jω u r! r!! u jω r Μετασχηµατισµός [ Z ] X X πj d Ο Μετασχηµατισµός του σήµατος διακιτού χόνου Η εξίσωση, η οποία ανασυνθέτει το σήµα στο πεδίο του χόνου Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Ιδιότητα Σήµα M Πεδίο σύγκλισης X X Τουλάχιστον P P Γαµµικότητα. Χονική ολίσθηση X Συνέλιξη X Ολίσθησης Συχνότητας X X Τουλάχιστον P P R P < < R Πααγώγιση στο Χώο του dx R < < R d Μ πειοδικών σηµάτων. X P Ιδιότητα της Συζυγίας Αθοίσµατος Κατοπτισµός R{ } Im{ } X j X X [ X X ] [ ] X X P Τουλάχιστον P > R < < R -5-

17 Μετασχηµατισµοί µεικών βασικών συνατήσεων Σήµα Μετασχηµατισµός Πειοχή σύγ/λισης δ για κάθε u > 3 δ m, m> m 4 u 5 u 6 [ os ] 7 [ si ] 8 [ r ] Ω u [ osω] [ osω] Ω u [ siω] [ osω] Ω u [ r osω] [ osω] Ω u [ r siω] [ osω] os 9 [ r ] si > > > > r r r r > r > r -6-

18 Ιδιότητες του µονόπλευου µετασχηµατισµού Ιδιότητα Σήµα M Πεδίο σύγκλισης X X P P Γαµµικότητα. εξιά ολίσθηση i, [ X i ] R< i Αιστεή R< ολίσθηση, [ ] i X i i Συνέλιξη X X P P Ολίσθησης Συχνότητας X R< Πειοδικό σήµα Ιδιότητα της Συζυγίας X > R{ } Im{ } X j X X [ X X ] [ ] Θεώηµα αχικής τιµής lim X Θεώηµα lim τελικής τιµής lim X R< -7-

19 Κανονική κατανοµή Η συνάτηση κατανοµής της Gussi τυχαίας µεταβλητής για m και σ δηλώνεται Φ y και δίνεται από τη σχέση Φ y P G y dξ π y ξ Φ Φ Q y y y f X π y Εµβαδɺ ο Q y F y P G y Q y m G > σ y Q y y Q y y Q y, 5,-,4 8, ,8 7,933-7, 4,67-,5 6,96-3 4,9 4,798-7, 4,74-,6 4,66-3 5,,8665-7,3 3,88-,7 3, ,,698-7,4 3,4458-,8, , 9,9644-8,5 3,853-,9, ,3 5,79-8,6,745-3,, ,4 3,33-8,7,496-3, 9, ,5,8989-8,8,85-3, 6, ,6,77-8,9,846-3,3 4, ,7 5,993-9,,5865-3,4 3, ,8 3,357-9,,3566-3,5,36-4 5,9,875-9,,56-3,6,59-4 6, 9,8658-,3 9,68-3,7, , 5,334-,4 8,756-3,8 7, ,,83-,5 6,687-3,9 4, ,3,488-,6 5,4799-4, 3,67-5 6,4 7,7688-,7 4,4565-4,, ,5 4,6-,8 3,593-4,, ,6,557-,9,876-4,3 8, ,7,4-,,75-4,4 5,45-6 6,8 5,39-,,7864-4,5 3, ,9,6-,,393-4,6,4-6 7,,798-,3,74-4,7,

20 -9-

21 --