Η δυναμική ενέργεια αστικότητας και το μονωμένο σύστημα.. Έστω ένα ατήριο, το ένα άκρο του οποίου είναι σταθερά δεµένο. Αν στο άλλο άκρο του ασκήσουµε µια δύναµη F µπορούµε να το επιµηκύνουµε κατά, ενώ ο νόµος του Ηοοe, ο οποίος συνδέει την α- 0 σκούµενη δύναµη και το αποτέλεσµα της δράσης της (παραµόρφωση) µας δίνει F. x Ας επιστρέψουµε ξανά στο ατήριο και ασκώντας συνεχώς στο άκρο του µια µεταβλητή δύναµη F, κινούµε το άκρο του προς τα δεξιά, επιµηκύνοντάς το αργά-αργά, µέχρι µιας τικής επιµήκυνσης. Σε κάθε θέση θα ισχύει F x, όπου x η µετατόπιση του άκρου (ίση προφανώς µε την επιµήκυνση του ατηρίου). Αλλά τότε η δύναµη F, παράγει έργο, το οποίο εκφράζει την ενέργεια που µεταφέρεται από το χέρι µας, στο ατήριο. Ναι, αλλά πόσο είναι το έργο της δύναµης αυτής; Αφού η δύναµη δεν έχει σταθερό µέτρο, το έργο της θα υπολογιστεί µε τη βοήθεια του διαγράµµατος F-x, όπως στο διπλανό σχήµα. Το έργο της δύναµης F, είναι αριθµητικά ίσο µε το εµβαδόν του τριγώνου που έχει κίτρινο χρώµα: F W F ( ) ( ) ( ) Αλλά τότε, στη διάρκεια της επιµήκυνσης του ατηρίου, µεταφέρθηκε (από εµάς που το τραβήξαµε), µέσω του έργου της δύναµης F, στο ατήριο ενέργεια ίση µε ( ), οπότε το ατήριο περικλείει (έχει) ε- νέργεια ίση µε U ( ). Η ενέργεια αυτή αποκαλείται δυναµική αστική ενέργεια και είναι η ε- νέργεια που ένα παραµορφωµένο ατήριο, µπορεί να αποδώσει σε ένα σώµα, το οποίο θα συνδεθεί µε αυτό. Εφαρµογή η : Έστω ότι σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο συγκρατείται στη θέση Α, ένα σώµα, µάζας g δεµένο στο άκρο ιδανικού ατηρίου (ένα ατήριο που υπακούει απολύτως στο νόµο του Ηοοe και που η µάζα του θεωρείται αµητέα), σταθεράς 00Ν/m, έχοντας επιµηκύνει το ατήριο κατά 0,4m. Αφήνουµε το σώµα να κινηθεί, οπότε µετά από λίγο φτάνει στο σηµείο Β, έχοντας µετατοπισθεί κατά x0,3m. i) Να υπολογιστεί η δυναµική ενέργεια του ατηρίου στις θέσεις Α και Β. 0 x www.yionet.gr
ii) Πόσο είναι το έργο της δύναµης που άσκησε το ατήριο στο σώµα; iii) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος στη θέση Β. i) Η αρχική δυναµική ενέργεια του ατηρίου είναι: U A U 6 ( ) 00 0,4 J J Ενώ στη θέση Β είναι: U B U ( ) 00 0, J J ii) Για να βρούµε το έργο της δύναµης του ατηρίου, ξέροντας ότι το µέτρο της υπακούει στο νόµο του Ηοοe (δράση αντίδραση µε τη δύναµη που ασκεί το σώµα στο ατήριο), κατασκευάζουµε το διπλανό διάγραµµα. Το έργο της είναι αριθµητικά ίσο µε το εµβαδόν του κίτρινου τραπεζίου του διαγράµµατος: W F + ( W F ) ( ) ( ) 6J-J5J. iii) Εφαρµόζουµε για την κίνηση του σώµατος από τη θέση Α, στην Β, το Θ.Μ.Κ.Ε. και παίρνουµε: Κ Β -Κ Α W F +W w +W Ν Αλλά το βάρος και η κάθετη αντίδραση Ν, δεν παράγουν έργο, οπότε: K K ( ) ( ) B A () mυ m ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( 0,4 0, ) m 5m 00 Σχόλια: Η σχέση () γράφεται: K B K A ( ) ( ) www.yionet.gr
K ( ) ( ) + K A+ K + + U K U ηλαδή για το σύστηµα ατήριο-σώµα η µηχανική ενέργεια (το άθροισµα κινητικής και δυναµικής ενέργειας) παραµένει σταθερή. Αλλά αυτό µας επιτρέπει να λέµε ότι η δύναµη που ασκεί το ατήριο, η F, είναι µια συντηρητική (διατηρητική) δύναµη, το έργο της οποίας υπολογίζεται από την εξίσωση: W F ( ) ( ) U ρχ Uτ Εξίσωση που έχουµε συναντήσει και όταν υπολογίζουµε το έργο του βάρους. a Εφαρµογή η : Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµεί ένα σώµα Σ, µάζας g σε επαφή µε το άκρο ιδανικού, σταθεράς 00Ν/m. Ασκώντας στο σώµα µια σταθερή οριζόντια δύναµη µέτρου F0Ν, όπως στο σχήµα, συµπιέζου- µε το ατήριο. i) Να βρεθεί η µέγιστη συσπείρωση του ατηρίου. 0 ii) Τη στιγµή που το ατήριο αποκτά το άχιστο µήκος του µηδενίζουµε την ασκούµενη δύναµη F. Να υπολογιστεί η µέγιστη επιτάχυνση καθώς και η µέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσει το σώµα Σ. Στο διπλανό σχήµα, έχουν σχεδιαστεί οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα Σ, όπου F η δύναµη που ασκούµε εµείς και η δύναµη F, που α- 0 σκεί το ατήριο στο σώµα. i) Εφαρµόζουµε το Θ.Μ.Κ.Ε. για την διάρκεια της συσπείρωσης του ατηρίου και παίρνουµε: Κ τ -Κ α W F +W F 0-0F x+u αρχ -U τ 0F x + 0- x x ( F x) 0 ή x0 ή F 0 x m 0, 4m 00 Η τιµή x0 αντιστοιχεί στην αρχική θέση, οπότε η µέγιστη συσπείρωση του ατηρίου θα είναι 0,4m. ii) Μόλις καταργηθεί η ασκούµενη από εµάς δύναµη F, το σώµα µε την επίδραση της δύναµης του α- www.yionet.gr 3
τηρίου θα κινηθεί προς τα δεξιά. Από το ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε ΣFm α ή F m α, συνεπώς η µέγιστη επιτάχυνση θα είναι στη θέση που και η δύναµη του ατηρίου έχει µέγιστο µέτρο: x 00 0,4 a m max max m 0m. Προφανώς το σώµα θα επιταχυνθεί προς τα δεξιά, επιταχυνόµενο, για όσο χρόνο δέχεται δύναµη από το ατήριο. Μόλις όµως το ατήριο αποκτήσει το φυσικό µήκος του, τότε το σώµα αποχωρίζεται από το ατήριο και κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Στην παραπάνω κίνηση η µόνη δύναµη που παράγει έργο είναι η δύναµη του ατηρίου, δύναµη συντηρητική, συνεπώς η µηχανική ενέργεια παραµένει σταθερή. Ε αρχ Ε τ Κ αρχ +U αρχ Κ τ +U τ 0+ x mυ + 0 00 x 0,4 m m m 0 υ r Εφαρµογή 3 η : Σε λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµούν δύο σώµατα Α και Β µε µάζες g και 3g έχοντας συµπιέσει ένα ατήριο σταθεράς 00Ν/m, κατά 0,4m, ενώ συγκρατούνται δεµένα στα άκρα νήµατος, όπως στο σχήµα. Σε µια στιγµή κόβουµε το νήµα και τα σώµατα κινούνται. Κάποια στιγµή το Α σώµα έχει ταχύτητα υ 3m/s. i) Να βρεθεί τη στιγµή αυτή η ταχύτητα του σώµατος Β. ii) Η δυναµική ενέργεια του ατηρίου και συµπίεσή του. i) Μόλις κόψουµε το νήµα, τα σώµατα δέχονται δυνάµεις από το συµπιεσµένο ατήριο, µε αποτέλεσµα να επιταχύνονται, το Α προς τα δεξιά και το Β, προς τα αριστερά. Αν πάρουµε το σύστηµα σώµα Α- σώµα Β-ατήριο, οι εξωτερικές δυνάµεις που / / ασκούνται είναι τα βάρη και οι κάθετες αντιδράσεις από το επίπεδο. Συνεπώς το σύστηµα είναι µονωµένο και ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής. Έτσι θεωρώντας αρχική κατάσταση τη στιγµή που κόβουµε το νήµα και τική τη στιγµή που το σώµα Α έχει www.yionet.gr 4
ταχύτητα παίρνουµε: r r P a ρχ P τ r r 0 m υ + mυ () Και αλγεβρικά παίρνουµε: m υ υ m Οπότε θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση θετική, οπότε υ +m/s παίρνουµε: m υ 3m m 3 m Πράγµα που σηµαίνει ότι το σώµα Β κινείται προς τα αριστερά µε ταχύτητα µέτρου m/s. ii) Οι δυνάµεις που παράγουν έργο στο παραπάνω χρονικό διάστηµα είναι µόνοι οι δυο δυνάµεις από το ατήριο, δυνάµεις συντηρητικές, συνεπώς η µηχανική ενέργεια παραµένει σταθερή: Ε αρχ Ε τ Κ αρχ +U αρχ Κ τ +U τ 0+ x mυ + mυ + x 0+ x mυ + mυ + U U x mυ mυ 00 0,4 3 J J 6J 9J 4J 3J U 3 Αλλά U x x m 0, 3m 0, 73m 00 Σχόλιο: Φτάνοντας στη σχέση (), θεωρώντας την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική, θα µπορούσαµε να γράψου- µε 0m υ -m υ, παίρνοντας ως «γνωστό» ότι το σώµα Β θα κινηθεί προς τα αριστερά. Αλλά τότε θα βρίσκαµε, υ m/s και αυτό θα ήταν το µέτρο της ταχύτητας. Επιµέλεια ιονύσης Μάργαρης www.yionet.gr 5