ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΛΕΙΠΤΙΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ Fading Channels WCS GROUP, EE Dept, AUTH

ΤΟ ΑΣΥΡΜΑΤΟ ΚΑΝΑΛΙ Η μετάδοση σε οποιοδήποτε κανάλι εισάγει απώλειες ισχύος. Σε ένα ενσύρματο κανάλι η κυρίαρχη αιτία απωλειών είναι η απόσταση. Σε ένα ασύρματο κανάλι οι αιτίες απωλειών είναι: Η απόσταση (Path loss) Η σκίαση (Shadowing) } large scale fading Οι ανακλάσεις, διαθλάσεις κ.λ.π λόγω των πολλαπλών οδεύσεων του σήματος (multipath) Η διάχυση του σήματος στο χρόνο, συχνότητα (time, frequency spreading), λόγω της σχετικής κίνησης πομπού-δέκτη.

ΜΟΝΤΕΛΟ ΔΙΑΛΕΙΨΕΩΝ Long-term fading Short-term fading r(t) = s a(t) e jϕ!# " $# + n(t) % a(t) = fading AWGN rl (t)! r s(t) Long term! short term

FADING EFFECTS IN 8-PSK COMMUNICATION 8-PSK symbols: j k s, ( 2 1 ) k e θ π = θ ν k = +, ν 8

FADING EFFECTS IN 8-PSK COMMUNICATION

ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ ΜΕΓΑΛΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ Το φαινόμενο διαλείψεων μεγάλης κλίμακας (Long-term fading, Shadowing) οφείλεται στην παρουσία μεγάλων εμποδίων στην διάδοση των ραδιοσημάτων. Εξαιτίας των μεγάλων εμποδίων, η κίνηση των τερματικών δεν επηρεάζει τα χαρακτηριστικά μικρής κλίμακας. Αντίθετα, η μορφολογία του εδάφους γύρω από τον ΣΒ και τον ΚΣ καθορίζουν την συμπεριφορά αυτή. Συνήθως το shadowing μοντελοποιείται σαν μια πολλαπλασιαστική στοχαστική διαδικασία που μεταβάλλεται αργά με το χρόνο (slowly time-varying multiplicative random process).

ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ ΜΙΚΡΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ Long-term fading Short-term fading Οι διαλείψεις μικρής κλίμακας (Short-term fading) αναφέρονται στις ταχύτατες μεταβολές στο πλάτος του σήματος (ή στην ισχύ), σε σχετικά μικρές αποστάσεις από τον πομπό Το φαινόμενο Fading είναι αποτέλεσμα: των πολλαπλών εκδόσεων του μεταδιδόμενου σήματος που φτάνουν στον δέκτη, εξαιτίας των ανακλάσεων, περιθλάσεων κ.λ.π. της ταχύτητας του κινητού της ταχύτητας των περιβαλλόντων αντικειμένων, και του εύρους ζώνης του σήματος που μεταδίδεται

ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ ΜΙΚΡΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ Long-term fading Short-term fading Τα αποτελέσματα του fading επηρεάζουν αποφασιστικά: την σχεδίαση του δέκτη, το σχήμα διαμόρφωσης, και την κωδικοποίηση που θα επιλεγεί Ο δέκτης πρέπει να είναι ικανός να αποκωδικοποιήσει το σήμα, το οποίο στην πράξη είναι μια σύνθεση πολλών σημάτων. Έτσι περισσότερο fading σημαίνει δυσκολότερη αποκωδικοποίηση με αποτέλεσμα την ύπαρξη περισσότερων λαθών.

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ DOPPLER Δl! d cos(θ) d = v Δt Δϕ = 2π Δl λ Δl! v Δt cos(θ) = 2π v Δt cos(θ) λ f d = 1 Δϕ 2π Δt = v λ cos(θ) Γενικά: f d = 2v! R "! λr Αν το κινητό κινείται προς την κατεύθυνση άφιξης του κύματος η μετατόπιση Doppler είναι θετική

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Θεωρείστε έναν πομπό που ακτινοβολεί μια ημιτονοειδή φέρουσα, συχνότητας 1850 MHz. Για ένα όχημα κινούμενο με 30 m/s, υπολογίστε την λαμβανόμενη φέρουσα συχνότητα αν το κινητό κινείται: α> κατ ευθείαν προς τον πομπό β> απομακρυνόμενο από τον πομπό γ> σε κατεύθυνση κάθετη στην κατεύθυνση άφιξης του μεταδιδόμενου σήματος

ΛΥΣΗ Η φέρουσα συχνότητα είναι fc = 1850 MHz Συνεπώς το μήκος κύματος θα είναι: λ = c f = 3 108 1850 10 6 = 0.162m α> κατ ευθείαν προς τον πομπό f d = v 30m / s cos(θ) = λ 0.162m cos(0o ) = 185.185Hz f c + f d = 1850.00016MHz

β> απομακρυνόμενο από τον πομπό f d = v 30m / s cos(θ) = λ 0.162m cos(180o ) = 185.185Hz f c + f d = 1849.999814815MHz γ> σε κατεύθυνση κάθετη στην κατεύθυνση άφιξης του μεταδιδόμενου σήματος v! R "! f d = 0 f c + f d = 1850MHz

PARAMETERS OF FADING CHANNELS

A MULTIPATH FADING ENVIRONMENT

A MULTIPATH FADING ENVIRONMENT Διάδοση πολλαπλών οδεύσεων ( ) st () = At () cos f +ϕ() t c path-2 Power path-1 path-1 path-2 path-3 Path Delay Σταθµός Βάσης path-3 Κινητός σταθµός N { ( )} r(t) = C Ai (t τ i )A(t τ i )cos c fi f c + c ϕi ϕ(t τ i ) i=1

A MULTIPATH FADING ENVIRONMENT Αν υποθέσουμε ότι ο πομπός στέλνει ένα διαμορφωμένο φέρον της μορφής: ( ) st () = At () cos f +ϕ() t το λαμβανόμενο σήμα λόγω ενός τυπικού ασύρματου καναλιού (π.χ. σε ένα αστικό περιβάλλον) θα έχει τη μορφή: rt () = c ( t τ ) At ( τ ) cos c f + cϕ( t τ ) c ( ) φ A 1 1 f c 1 1 1 1 ( ) φ + c ( t τ ) A( t τ ) cos c f + c ϕ( t τ ) +... + A 2 2 f c 2 2 2 2 ( ) φ + c ( t τ ) A( t τ ) cos c f + c ϕ( t τ ) A N N f c N N N N Ο δέκτης θα λαμβάνει καθυστερημένα αντίγραφα του εκπεμπόμενου σήματος τα οποία μπορεί να έχουν αλλοιωμένο πλάτος, φάση και συχνότητα.

ΠΡΟΦΙΛ ΚΑΘΥΣΤΕΡΗΣΗΣ ΙΣΧΥΟΣ (POWER DELAY PROFILE - PDP) Χρησιμοποιείται για την μοντελοποίηση πολλών παραμέτρων του multipath fading channel Γενικά αναπαριστά την λαμβανόμενη ισχύ συναρτήσει της καθυστέρησης σε σχέση με μια σταθερή αναφορά χρονικής καθυστέρησης. Αναπαριστά τη μέση τιμή του προφίλ καθυστέρησης ισχύος σε μια συγκεκριμένη περιοχή

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Μέση υπερβάλλουσα καθυστέρηση (mean excess delay): τ = k k P(τ k )τ k P(τ k ) RMS εξάπλωση καθυστέρησης (RMS delay spread): σ τ = τ 2 (τ) 2 τ 2 = k k P(τ k )τ 2 k P(τ k ) Μέγιστη υπερβάλλουσα καθυστέρηση (X db): Η χρονική καθυστέρηση κατά την οποία η ενέργεια πολλαπλής διαδρομής πέφτει σε X db κάτω της μέγιστης

ΕΞΑΠΛΩΣΗ DOPPLER (DOPPLER SPREAD) Ορίζεται ως η μέγιστη απόκλιση που εμφανίζει ένα καθαρό φέρον, λόγω κίνησης (του πομπού, του δέκτη ή/και των εμποδίων).

ΧΡΟΝΟΣ ΣΥΜΦΩΝΙΑΣ (COHERENCE TIME - CT) Ορίζεται ως ο μέγιστος χρόνος κατά τον οποίο το κανάλι εμφανίζεται αμετάβλητο. Με άλλα λόγια: t 2 >t 1 h (t) h (t) < ε t1 t2 Tc = t t 2 1

ΧΡΟΝΟΣ ΣΥΜΦΩΝΙΑΣ (COHERENCE TIME - CT) Η εξάπλωση Doppler και ο χρόνος συμφωνίας είναι αντιστρόφως ανάλογα μεταξύ τους: T c! 1 f m Εάν ο χρόνος συμφωνίας ορίζεται ως ο χρόνος κατά τη διάρκεια του οποίου η συνάρτηση χρονικής συσχέτισης είναι άνω του 0.5, τότε: 9 T c = 16π f m Μια καλή προσέγγιση για το CT είναι: 9 T c = 16π f = 0.423 2 m f m Ένα αργά μεταβαλλόμενο κανάλι έχει μεγάλο CT, ή ισοδύναμα μικρό Doppler spread.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Καθορίστε το κατάλληλο χωρικό διάστημα δειγματοληψίας που απαιτείται για να γίνουν μετρήσεις διάδοσης μικρής κλίμακας, που υποθέτουν ότι τα συνεχή δείγματα συσχετίζονται ιδιαιτέρως στον χρόνο. Πόσα δείγματα θα απαιτηθούν σε απόσταση 10 m αν fc = 1900 MHz και v = 50 m/s; Πόσο χρόνο θα χρειαστεί η διεξαγωγή αυτών των μετρήσεων, υποθέτοντας ότι θα μπορούσαν να γίνουν σε πραγματικό χρόνο από ένα κινούμενο όχημα; Ποια είναι η εξάπλωση Doppler BD για το κανάλι;

ΛΥΣΗ Για την συσχέτιση, θα πρέπει ο χρόνος ανάμεσα στα δείγματα να ισούται με Tc/2. Για συντηρητική σχεδίαση (χρησιμοποιώντας την μικρότερη τιμή της Tc) είναι: T c = 9 16π f m f m = v λ = v c f c = vf c c T c = 9c 9 3 10 8 = 16πvf c 16π 50 1900 10 s T = 565µs 6 c Άρα ο χρόνος ανάμεσα στα δείγματα θα είναι: Δt = T c 2 = 282.5µs Στο χρόνο αυτό το κινητό θα έχει διανύσεια απόσταση: Δx = vδt = 50m / s 282.5µs = 1.41cm

Λαμβάνουμε 1 δείγμα κάθε 1.41cm Θα λάβουμε Nx δείγματα στα 10m 10 N x = 1 = 708 samples 2 1.4125 10 Ο χρόνος που απαιτείται για να γίνει αυτή η μέτρηση θα είναι: 10m 50m / s = 0.2s Η εξάπλωση Doppler θα είναι: B D = f m = v λ = vf c c = 50 1900 106 3 10 8 = 316.66Hz

ΤΥΠΟΙ ΔΙΑΛΕΙΨΕΩΝ ΜΙΚΡΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ Διαλείψεις Μικρής Κλίμακας (Με βάση την εξάπλωση χρονικής καθυστέρησης πολλαπλών διαδρομών) Επίπεδες Διάλειψεις 1. BW of signal < BW of channel 2. Delay spread < Symbol period Συχνοεπιλεκτικες Διάλειψεις 1. BW of signal > BW of channel 2. Delay spread > Symbol period

ΤΥΠΟΙ ΔΙΑΛΕΙΨΕΩΝ ΜΙΚΡΗΣ ΚΛΙΜΑΚΑΣ Διαλείψεις Μικρής Κλίμακας (Με βάση την εξάπλωση Doppler) Ταχείες Διαλείψεις 1. High Doppler Spread 2. Coherence Time < Symbol period 3. Channel variations faster than base-band signal variations Βραδείες Διαλείψεις 1. Low Doppler Spread 2. Coherence Time < Symbol period 3. Channel variations slower than base-band signal variations

ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ (ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ)

ΕΠΙΠΕΔΕΣ ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ (ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ)

ΣΥΧΝΟΕΠΙΛΕΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ (ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ)

ΣΥΧΝΟΕΠΙΛΕΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ (ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ)

Slow Fast a(t) s a(t) s T s : Symbol Time Duration T s : Symbol Time Duration Flat Frequency selective L r t = s a t tk e + n t fading AWGN k = 1 fading AWGN ( ) ( ) jφ = + ( ) ( ) ( ) j φ k ( ) rt sate nt

ΤΑΧΕΙΕΣ ΣΥΧΝΟΕΠΙΛΕΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ

ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΣΗ (EQUALIZATION) Απαραίτητη όταν έχουμε συχνοεπιλεκτικές διαλείψεις Συχνά το πιο πολύπλοκο κομμάτι του δέκτη Στο πεδίο της συχνότητας: Ενισχύονται οι συχνότητες που υπέστησαν μεγάλη εξασθένηση Στο πεδίο του χρόνου: Αφαιρούμε τα καθυστερημένα αντίγραφα Απαραίτητη η γνώση του καναλιού, που επιτυγχάνεται με training sequences

ΣΥΜΦΩΝΟ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ (COHERENCE BANDWIDTH - CB) Το CB είναι το εύρος ζώνης συχνοτήτων στον οποίο η συνάρτηση συσχέτισης μεταξύ δύο δειγμάτων της απόκρισης του καναλιού που λήφθηκαν ταυτόχρονα αλλά σε διαφορετικές συχνότητες είναι μικρότερη μιας κατάλληλης τιμής. Το CB αποτελεί ένα στατιστικό μέτρο του εύρους των συχνοτήτων για το οποίο το κανάλι μπορεί να θεωρηθεί επίπεδο (δηλαδή κανάλι στο οποίο περνάνε όλες οι φασματικές συνιστώσες με ίδιο κέρδος και ίδια γραμμική μεταβολή φάσης). Τα RMS τιμή της χρονικής διασποράς και το CB είναι αντιστρόφος ανάλογα.

ΣΥΜΦΩΝΟ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ (COHERENCE BANDWIDTH - CB) Αν το CB ορίζεται ως το BW για το οποίο η συνάρτηση συσχέτισης συχνοτήτων λαμβάνει τιμές μεγαλύτερες από 0.9, τότε μια καλή προσέγγιση για το CB είναι: B c 1 50σ τ Αν το CB ορίζεται ως το BW για το οποίο η συνάρτηση συσχέτισης συχνοτήτων λαμβάνει τιμές μεγαλύτερες από 0.5, τότε μια καλή προσέγγιση για το CB είναι: B c 1 5σ τ

ΣΥΜΦΩΝΟ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ (COHERENCE BANDWIDTH - CB) Αν το BW του συστήματος (σήματος) Bs < Bc τότε: Το σύστημα είναι στενής ζώνης Frequency-flat fading Αν το BW του συστήματος Bs > Bc τότε: Το σύστημα είναι ευρείας ζώνης Frequency-selective fading

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Υπολογίστε τα: Μέση υπερβάλλουσα καθυστέρηση (mean excess delay) RMS εξάπλωση καθυστέρησης (RMS delay spread) Το σύμφωνο εύρος ζώνης (50%) του καναλιου. Είναι το κανάλι κατάλληλο για AMPS (Advanced Mobile Phone Systems) ή για GSM (χωρίς την χρήση equalizer);

[ db P ] r (τ ) [Watt P ] 10 r (τ) = 10 ΛΥΣΗ τ [μs] Pr(τ) [db] Pr(τ) [Watt] τ Pr(τ) [μs Watt] 0-20 0.01 0 1-10 0.1 0.1 2-10 0.1 0.2 5 0 1 5 Συνολικά: 1.21 5.3 Η μέση υπερβάλλουσα καθυστέρηση είναι: τ = k k P r (τ k )τ k P(τ k ) = 5.3 µs = 4.38µs 1.21

τ [μs] τ 2 [μs 2 ] Pr(τ) [Watt] τ 2 Pr(τ) [μs 2 Watt] 0 0 0.01 0 1 1 0.1 0.1 2 4 0.1 0.4 5 25 1 25 Συνολικά: 1.21 25.5 Η RMS εξάπλωση καθυστέρησης (RMS delay spread) είναι: όπου: τ 2 = σ τ = τ 2 (τ) 2 k k P(τ k )τ 2 k P(τ k ) = 25.5 1.21 µs2 = 21.07µs 2 οπότε: σ τ = τ 2 (τ) 2 = 21.07 (4.38) 2 = 1.37µs

Το σύμφωνο εύρος ζώνης (50%) του καναλιού θα είναι: B c 1 5σ τ = 1 5 1.37µs = 146kHz Bs Bc AMPS 30 khz 146 khz Bs<Bc GSM 200 khz 146 khz Bs>Bc Μπορεί να λειτουργήσει χωρίς equalizer Απαραίτητη η χρήση equalizer για το κανάλι αυτό

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να βρεθούν οι παράμετροι της χρονικής διασποράς του καναλιού που δίνεται από τον παρακάτω πίνακα. Αν χρησιμοποιείται διαμόρφωση BPSK με ρυθμό μετάδοσης ίσο με 25kbps, θα χρειαστεί ισοσταθμιστής στον δέκτη; Θεωρείστε ότι η μέση λαμβανόμενη ισχύς είναι 0.38W. Relative Delay [μs] Average relative power [db] 0-3 0.2 0 0.5-2 1.6-6 2.3-8 5-10

Relative Delay [μs] ΛΥΣΗ ARP(τ) = 10 Average relative Average relative power [db] power 0-3 0.5 0.19 0.2 0 1 0.38 0.5-2 0.63 0.24 1.6-6 0.25 0.095 2.3-8 0.16 0.06 5-10 0.1 0.038 Συνολικά: 1 Η μέση υπερβάλλουσα καθυστέρηση είναι: τ = τ = k k P r (τ k )τ k P(τ k ) ARP [ db ] (τ ) 10 Average Power [Watt] 0 0.19 + 0.2 0.38 + 0.5 0.24 +1.6 0.095 + 2.3 0.06 + 5 0.038 µs = 0.678µs 1

Η RMS εξάπλωση καθυστέρησης (RMS delay spread) είναι: σ τ = τ 2 (τ) 2 όπου: τ 2 = k k P(τ k )τ 2 k P(τ k ) τ 2 = 02 0.19 + 0.2 2 0.38 + 0.5 2 0.24 +1.6 2 0.095 + 2.3 2 0.06 + 5 2 0.038 1 τ 2 = 1.62µs 2 οπότε: σ τ = τ 2 (τ) 2 = 1.62 (0.678) 2 = 1.08µs Ο ρυθμός μετάδοσης των συμβόλων του BPSK δίνεται ίσος με: R b = 25kbps Συνεπώς η διάρκεια του συμβόλου θα είναι: T s = 1 R b = 40µs > σ τ Άρα δεν χρειάζεται ισοσταθμιστής στον δέκτη (Επίπεδες διαλείψεις). µs 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Ένα κανάλι πολλαπλών διαδρομών με διαλειψείς έχει τιμή delay spread ίση με τ rms = 0.02 sec και εξάπλωση Doppler f m = 0.01Hz. Το ολικό εύρος ζώνης του καναλιού που διατίθεται για τη μετάδοση του σήματος είναι W = 5 Hz. Ο σχεδιαστής για να περιορίσει την επίδραση της αλληλοπαρεμβολής επιλέγει διάρκεια παλμού T = 10sec. Προσδιορίστε το εύρος ζώνης συμφωνίας και το χρόνο συμφωνίας. Είναι το κανάλι επιλεκτικό κατά τη συχνότητα; Εξηγήστε. Είναι το κανάλι βραδέων ή ταχέων διαλείψεων; Εξηγείστε. Πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί το διαθέσιμο εύρος ζώνης καναλιού για να επιτευχθεί διαφοροποίηση συχνότητας (frequency diversity);

ΛΥΣΗ Προσδιορίστε το εύρος ζώνης συμφωνίας και το χρόνο συμφωνίας. B c 1 50σ τ Αλλά τrms = 0.02 sec = σ τ άρα: B c 1 50 0.02 = 1Hz Μια καλή προσέγγιση για το χρόνο συμφωνίας (CT) είναι: 9 T c = 16π f = 0.423 = 0.423 2 m f m 0.01 = 42.3s

Είναι το κανάλι επιλεκτικό κατά τη συχνότητα; Εξηγήστε. Frequency selective B s > B c T s < σ τ Το εύρος ζώνης του καναλιού είναι: Bs = 5 Hz Το εύρος ζώνης συμφωνίας είναι: Bc = 1 Hz Είναι Bs>Bc άρα ο κανάλι είναι επιλεκτικό στη συχνότητα.

Είναι το κανάλι βραδέων ή ταχέων διαλείψεων; Εξηγείστε. Slow s Fast s T s << T c, B s >> B d T s > T c, B s < B d Ο χρόνος συμφωνίας του καναλιού είναι: Tc = 42.3 s Η διάρκεια ενός συμβόλου είναι: T = 10 s Άρα, εφόσον Tc > T το κανάλι είναι βραδέων διαλείψεων.

Πως μπορεί να χρησιμοποιηθεί το διαθέσιμο εύρος ζώνης καναλιού για να επιτευχθεί διαφοροποίηση συχνότητας (frequency diversity); Διαφοροποίηση επιτυγχάνεται όταν το σήμα στέλνεται από ανεξάρτητα κανάλια. Άρα για να επιτύχουμε διαφοροποίηση συχνότητας θα πρέπει να σταλεί το σήμα από ανεξάρτητα στη συχνότητα κανάλια. Για το συγκεκριμένο κανάλι το εύρος ζώνης συμφωνίας είναι Bc = 1 Hz. Αυτό σημαίνει ότι το κανάλι αλλάζει ανεξάρτητα ανά εύρος του 1Hz. Άρα, εφόσον το συνολικό εύρος του καναλιού είναι 5Hz, μπορούμε να έχουμε 5 ανεξάρτητα κανάλια για τη μετάδοση, δηλαδή διαφοροποίηση 5 ης τάξης. Φυσικά, υπάρχει trade-off μεταξύ της τάξης διαφοροποίησης και του ρυθμού μετάδοσης.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Εάν μια συγκεκριμένη διαμόρφωση παρέχει κατάλληλη επίδοση BER κάθε φορά που ισχύει σ τ / Τs<0.1, καθορίστε την μικρότερη περίοδο συμβόλου που μπορεί να αποσταλεί μέσω των καναλιών RF του σχήματος χωρίς την χρήση ισοσταθμιστή.

ΛΥΣΗ τ [ns] Pr(τ) [db] Pr(τ) [Watt] τ Pr(τ) [ns Watt] 0 0 1 0 50 0 1 50 75-10 0.1 7.5 100-20 0.01 1 Συνολικά: 2.11 58.5 τ [μs] Pr(τ) [db] Pr(τ) [Watt] τ Pr(τ) [ms Watt] 0-20 0.01 0 5-10 0.1 0.5 10 0 1 10 Συνολικά: 1.11 10.5

Για το κανάλι (a): P r (τ k )τ k k τ = P(τ k ) τ 2 = σ τ = k k k P r (τ k )τ k 2 P(τ k ) τ 2 τ = 27ns τ = 27.725ns τ 2 = 1498.8ns 2 τ [ns] Pr(τ) [db] Pr(τ) [Watt] τ Pr(τ) [ns Watt] 0 0 1 0 50 0 1 50 75-10 0.1 7.5 100-20 0.01 1 Συνολικά: 2.11 58.5 και: σ τ T s < 0.1 T s > 10σ τ = 270ns T s min = 270ns Για το κανάλι (b): P r (τ k )τ k k τ = τ = 9.46µs P(τ k ) τ 2 = k k k P r (τ k )τ k 2 P(τ k ) τ 2 = 92.34µs 2 τ [μs] Pr(τ) [db] Pr(τ) [Watt] τ Pr(τ) [ms Watt] 0-20 0.01 0 5-10 0.1 0.5 10 0 1 10 Συνολικά: 1.11 10.5 σ τ = τ 2 τ = 1.688µs και: σ τ T s < 0.1 T s > 10σ τ = 16.88µs T s min = 16.88µs

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Εάν ένα δυαδικό μήνυμα με ρυθμό R b =100 kbps διαμορφώνεται από μία φέρουσα RF χρησιμοποιώντας BPSK, απαντήστε στα ακόλουθα: α> Βρείτε την περιοχή τιμών που απαιτούνται για την εξάπλωση καθυστέρησης rms του καναλιού, έτσι ώστε το λαμβανόμενο σήμα να είναι σήμα επίπεδης διάλειψης. β> Εάν η φέρουσα συχνότητα διαμόρφωσης είναι 5.8 GHz, ποιος είναι ο χρόνος συμφωνίας του καναλιού; Υποθέστε ταχύτητα οχήματος 30 μίλια την ώρα. γ> Για την απάντηση σας στο <β> το κανάλι είναι ταχείας ή βραδείας διάλειψης; δ> Με δεδομένη την απάντηση σας στο <β>, πόσα bits αποστέλλονται όταν το κανάλι εμφανίζεται στατικό;

ΛΥΣΗ α> Βρείτε την περιοχή τιμών που απαιτούνται για την εξάπλωση καθυστέρησης rms του καναλιού, έτσι ώστε το λαμβανόμενο σήμα να είναι σήμα επίπεδης διάλειψης. Θεωρούμε ότι για να είναι το λαμβανόμενο σήμα επίπεδης διάλειψης πρακτικά θα πρέπει να ισχύει: σ τ < 0.1 T s Η περίοδος συμβόλου θα είναι: T s = 1 1 = R b 100kbps = 0.01ms Άρα η εξάπλωση καθυστέρησης rms του καναλιού θα κυμαίνεται μεταξύ των τιμών: 0 < σ τ < 1ms

β> Εάν η φέρουσα συχνότητα διαμόρφωσης είναι 5.8 GHz, ποιος είναι ο χρόνος συμφωνίας του καναλιού; Υποθέστε ταχύτητα οχήματος 30 μίλια την ώρα. 1 mile / hour αντιστοιχεί σε 0.44704 m/s 30 miles/hour αντιστοιχούν σε v v = 0.44704m / s 30 Η εξάπλωση Doppler είναι ίση με: f m = v λ λ = c f = 3 108 m / s 5.8 10 9 Hz = 0.0517m Ο χρόνος συμφωνίας θα είναι: 1 v! 13.41m / s f m = 13.41m / s 0.0517m! 260Hz T c = 0.423 f m = 1.6ms

γ> Για την απάντηση σας στο <β> το κανάλι είναι ταχείας ή βραδείας διάλειψης; Slow s Fast s T s << T c, B s >> B d T s > T c, B s < B d Tc = 1.6 ms Ts = 0.1 ms Δηλαδή Ts<<Tc άρα είναι βραδείας διάλειψης.

δ> Με δεδομένη την απάντηση σας στο <β>, πόσα bits αποστέλλονται όταν το κανάλι εμφανίζεται στατικό; Τα bits που στάλθηκαν θα είναι: R b T c = 100kbps 0.001sec = 100bits

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 7 Κατά προσέγγιση πόσο μεγάλη μπορεί να είναι η εξάπλωση καθυστέρησης rms, ώστε ένα δυαδικά διαμορφωμένο σήμα με ρυθμό bit 25 kbps να λειτουργεί χωρίς ισοσταθμιστή; Τι γίνεται με ένα 8-PSK με ρυθμό bit 75 kbps ΛΥΣΗ Για το BPSK σύστημα: T s = 1 R b = 1 25kbps = 40µs Επομένως αφού: σ τ T s < 0.1 σ τ < 4µs

Για το 8-PSK σύστημα (Κάθε συμβολο αποτελείται από 3 bits (2 3 =8): T s = 3bits / symbol R b = 3bits / symbol 75kbps = 40µs Επομένως αφού: σ τ T s < 0.1 σ τ < 4µs

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 8 Το τοπικό μέσο προφίλ καθυστέρησης ισχύος σε ένα ειδικό περιβάλλον βρίσκεται να είναι: P(τ) = 2 n=0 10 6 n 2 +1 δ τ n 10 6 ( ) α>σχεδιάστε το προφίλ καθυστέρησης ισχύος του καναλιού β>ποια είναι η εξάπλωση καθυστέρησης rms του καναλιού; γ>εάν εφαρμόζεται διαμόρφωση 256 QAM έχοντας ρυθμό bit 2 Megabits ανά δευτερόλεπτο στο κανάλι, η διαμόρφωση θα υποστεί επίπεδη ή συχνοεπιλεκτική διάλειψη; δ> Σε ποιο εύρος ζώνης θα εμφανίζεται το κανάλι να έχει σταθερή απολαβή;

ΛΥΣΗ α>σχεδιάστε το προφίλ καθυστέρησης ισχύος του καναλιού P(τ) = 2 n=0 10 6 n 2 +1 δ τ n 10 6 ( ) r ( ) P τ 10 6 10 2 6 0 1 2 10 5 6 τ ( µs) β>ποια είναι η εξάπλωση καθυστέρησης rms του καναλιού; 6 1 6 6 1 6 6 τ 10 0 + 10 1 10 + 10 2 10 2 5 τ = = 6 1 6 1 6 10 + 10 + 10 2 5 7 5.3 10 s 6 2 1 6 6 2 1 6 6 2 10 0 + 10 ( 10 ) + 10 ( 2 10 ) 2 5 = = 7.63 10 s 6 1 6 1 6 10 + 10 + 10 2 5 2 13 2 ( ) 2 2 στ = τ τ = 0.696 µ s

γ>εάν εφαρμόζεται διαμόρφωση 256 QAM έχοντας ρυθμό bit 2 Megabits ανά δευτερόλεπτο στο κανάλι, η διαμόρφωση θα υποστεί επίπεδη ή συχνοεπιλεκτική διάλειψη; Εφόσον χρησιμοποιείται διαμόρφωση 256 QAM συνεπάγεται ότι: 8 T log ( ) s = 2 256 Tb = = 4 µ s R Εφόσον σ τ <Ts το κανάλι είναι επίπεδο. δ> Σε ποιο εύρος ζώνης θα εμφανίζεται το κανάλι να έχει σταθερή απολαβή; Το εύρος ζώνης συμφωνίας είναι: b B c = 1 50 = σ τ 28.57 KHz

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΕΝΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΙΑΣ ΖΩΝΗΣ Διάρκεια συμβόλου και απαιτούμενο εύρος ζώνης

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΕΝΗΣ ΚΑΙ ΕΥΡΕΙΑΣ ΖΩΝΗΣ Κανάλια στενής ζώνης (Narrow-band) Signal bandwidth B < coherence bandwidth B c frequency-flat frequency-nonselective No intersymbol interference (ISI) occurs Κανάλια ευρείας ζώνης (Wide-band) Signal bandwidth B > coherence bandwidth B c frequency-selective Intersymbol interference (ISI) occurs

STATISTICAL MODELS FOR FLAT FADING CHANNELS

PDF: CDF: ΚΑΤΑΝΟΜΗ RAYLEIGH p(r) = P(R) = P r r σ exp r 2 2 2σ 2 0 Mean: r mean = E[r] = σ π 2 ; 0 r ( r R) = 1 exp R2 2σ 2 Variance: σ r 2 = 4 π 2 σ 2

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ RAYLEIGH r mean = E r [ ] = rp(r)dr = σ π 2 = 1.2533σ 0 σ 2 r = E r 2 E 2 0 [ r] = r 2 p(r)dr σ 2 π 2 = 4 π 2 σ 2! 0.4292σ 2 RMS value = E r 2 = 2σ

ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΔΙΑΛΕΙΨΕΩΝ Received Signal Level RSL 1 0 db 0.1 Fade Margin -20 db 0.01 Threshold Level -40 db Time Fade Duration

ΡΥΘΜΟΣ ΔΙΑΒΑΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΛΕΙΨΕΙΣ RAYLEIGH Έστω NR, ο ρυθμός με τον οποίο γίνονται διαβάσεις που ξεπερνούν την τιμή R. N R =!rp ( R,!r )d!r = 2π f m ρe ρ2 0 όπου: ρ = R R rms Για μικρές και μεγάλες τιμές του ρ οι διαβάσεις είναι σπάνιες.

ΜΕΣΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΔΙΑΛΕΙΨΗΣ Ορίζεται ως η μέση χρονική περίοδος για την οποία το λαμβανόμενο σήμα είναι κάτω από ένα καθορισμένο επίπεδο R. Για ένα σήμα διάλειψης Rayleigh: τ = P r [ r R] N R P r [r R] = 1 T i τ i P r [r R] = 1 e ρ2 τ = 2 eρ ρ f m 1 2π

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 9 Βρείτε την μέση διάρκεια διαλείψεων για επίπεδο κατωφλίου ρ=0.707 όταν η συχνότητα Doppler είναι 20Hz. Για μια δυαδική ψηφιακή διαμόρφωση με διάρκεια bit 50bps, οι διαλείψεις Rayleigh είναι βραδείες ή ταχείες; Ποιο είναι το μέσο πλήθος σφαλμάτων bit ανά δευτερόλεπτο για το δεδομένο ρυθμό δεδομένων; (Υποθέστε ότι ένα σφάλμα bit εμφανίζεται κάθε φορά που κάποιο μέρος ενός bit αντιμετωπίζει διάλειψη για την οποία ρ<0.1).

ΛΥΣΗ Η μέση διάρκεια διαλείψεων θα είναι: τ = 2 eρ 1 ρ f m 2π = e 0.707 1 0.707 20 2π = 18.3ms 2 Η περίοδος bit είναι: T b = 1 R b = 1 50bps = 20ms Αφού η περίοδος bit είναι μεγαλύτερη από τη μέση διάρκεια διαλείψεων, για το δεδομένο ρυθμό δεδομένων το σήμα υφίσταται ταχείες διαλείψεις.

Ένα σφάλμα bit εμφανίζεται κάθε φορά που κάποιο μέρος ενός bit αντιμετωπίζει διαλείψη για την οποία ρ<0.1. Η μέση διάρκεια διαλείψεων για ρ=0.1 είναι: τ = 2 eρ 1 ρ f m 2π = e 0.1 1 0.1 20 2π = 2ms που είναι μικρότερη από τη διάρκεια ενός bit. Ο ρυθμός διαβάσεων για διαλείψεις Rayleigh δίνεται από την έκφραση: N R = 2π f m ρe ρ2 = 2π 20 0.002 e 0.0022 = 4.96 διαλειψεις / sec Ο ρυθμός bit είναι 50bps δηλαδή: Σε 1sec μεταδίδονται 50bits από αυτά τα round(4.96)= 5bits είναι εσφαλμένα. Άρα: BER = 5 50 = 0.1 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 10 Για ένα σήμα διάλειψης Rayleigh υπολογίστε τον θετικής κατεύθυνσης ρυθμό διαβάσεων με ρ=1, όταν η μέγιστη Doppler είναι 20Hz. Ποια η μέγιστη ταχύτητα κινητού για αυτή τη συχνότητα αν η φέρουσα είναι 900MHz. ΛΥΣΗ Ο ρυθμός με τον οποίο γίνονται διαβάσεις που ξεπερνούν την τιμή R είναι: N R = 2π f m ρe ρ2 = 2π 20 1 e 1! 18.44 Η μέγιστη ταχύτητα του κινητού είναι: v = f m λ = 20 1 3 m / s = 20 1 3 3600 1000 km / h = 24km / h

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 11 Θεωρείστε μια εφαρμογή, που απαιτεί πιθανότητα διακοπής επικοινωνίας λόγω ισχύος το πολύ 0.01 με κατώφλι ισχύος Po=-80dBm. Για κανάλι Rayleigh τι μέση ισχύς σήματος απαιτείται; ΛΥΣΗ Στην περίπτωση του Rayleigh καναλιού, η ισχύς του σήματος ακολουθεί κατανομή: Λόγω του περιορισμού: P out = P o P o p γ (γ ) = 1 γ exp γ γ p γ (γ )dγ = 1 0 γ exp γ dγ = 0.01 1 exp P o = 0.01 0 γ γ Αλλά: Po=-80 dbm=10-8 mwatt άρα: γ = 60.02dBm

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 12 Η πιθανότητα σφάλματος για δυαδικό DPSK και FSK ασύμφωνης φώρασης σε κανάλι AWGN είναι: P b = 1 2 e cρ b όπου c σταθερά που εξαρτάται από τη διαμόρφωση και ρ b = a2 E b N o το SNR, όπου α: ο συντελεστής εξασθένισης. Να βρεθεί η μέση πιθανότητα σφάλματος σε κανάλι Rayleigh.

ΛΥΣΗ Το σύστημα χωρίς διαλείψεις Rayleigh έχει πιθανότητα σφάλματος ίση με: όπου: P b = 1 2 e cρ b ρ b = a2 E b Αν η εξασθένιση (α) ακολουθεί κατανομή Rayleigh, με pdf: a 2 p(a) = a N o 2 2 σ e 2σ α α α > 0 0 αλλου Τότε η πιθανότητα σφαλματος θα είναι: P b [ Rayleigh+awgn] = P b p(a)da = 1 2 e c 0 P b [ Rayleigh+awgn] = 1 2σ α 2 0 0 a 2 αe a 2 E b N o a σ 2 α ce b N o + 1 2σ α 2 a 2 e 2 2σ α da da

Αλλά (από μαθηματικό τυπολόγιο): x 2n+1 e ax2 dx = n! 2a, (α > 0) n=0 n+1 0!=1 0 xe ax2 dx = 1 2a 2 0 Άρα: P b [ Rayleigh+awgn] = 1 2σ α 2 ce b N o + 1 2σ α 2 a 2 αe da = 1 2 2σ α 0 P b [ Rayleigh+awgn] = 1 2 c E 2 b 2σ α +1 N o = 1 2 ce b + 1 2 N o 2σ α 1 ( ) 2 cρ b +1 όπου: ρ b = E b 2σ α 2 N o

+s(t) -s(t) Λαμβανόμενο σήμα: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 13 Ποµπός Κανάλι διαλείψεων και AWGN (0, N 0 /2) Δέκτης rt () =± ast () + nt (), 0 t T Το πλάτος των διαλείψεων ακολουθεί την κατανομή pa ( ) = 0.1 δ( a) + 0.9 δ( a 2) α> Προσδιορίστε τη μέση πιθανότητα σφάλματος β> Σε ποιά τιμή τείνει η παραπάνω πιθανότητα αν το SNR τείνει στο άπειρο;

ΛΥΣΗ α> Προσδιορίστε τη μέση πιθανότητα σφάλματος Αν E είναι η ενέργεια του μεταδιδόμενου σήματος, για μια τιμή του πλάτους του καναλιού a, η πιθανότητα σφάλματος είναι: P e (a) = Q 2a2 E Το πλάτος των διαλείψεων ακολουθεί την κατανομή N o p(a) = 0.1δ(α) + 0.9δ(α 2) Επομένως η μέση πιθανότητα σφάλματος θα βρεθεί ολοκληρώνοντας την παραπάνω πιθανότητα στην pdf του πλάτους του καναλιού. P e = P e (a)p(a)da = Q 2a2 E 0 0 N o ( 0.1δ(α) + 0.9δ(α 2) )da

P e = Q 2a2 E ( 0.1δ(α) + 0.9δ(α 2) )da N o 0 P e = 0.1Q 2 02 E N o P e = 0.1Q(0) + 0.9Q P e = 0.05 + 0.9Q 8E N o + 0.9Q 8E N o 2 22 E N o β> Σε ποιά τιμή τείνει η παραπάνω πιθανότητα αν το SNR τείνει στο άπειρο; Η Q-function είναι φθίνουσα και ισχύει: Άρα: Q(0)=0.5 lim Q(x) = 0 x lim P e = 0.05 SNR

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 14 +s(t) -s(t) Ποµπός Κανάλια διαλείψεων και AWGN (0, N 0 /2) Δέκτης rt () =± ast () + nt () 1 1 γ = γ + γ end 1 2 r () t =± as() t + n () t 2 2 Το πλάτος των διαλείψεων ακολουθεί την κατανομή pa ( ) = 0.1 δ( a) + 0.9 δ( a 2) α> Προσδιορίστε τη μέση πιθανότητα σφάλματος β> Σε ποιά τιμή τείνει η παραπάνω πιθανότητα αν το SNR τείνει στο άπειρο;

ΛΥΣΗ α> Προσδιορίστε τη μέση πιθανότητα σφάλματος Αν E είναι η ενέργεια του μεταδιδόμενου σήματος, για τιμές του πλάτους των δύο καναλιών a1 και a2, η πιθανότητα σφάλματος είναι: P e (a 1,α 2 ) = Q 2(a 2 1 + α 2 2 )E N o Εφόσον το πλάτος των διαλείψεων ακολουθεί την κατανομή pa ( ) = 0.1 δ( a) + 0.9 δ( a 2) Οι δυνατές τιμές των (a1,a2) είναι {(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)} Θεωρούμε τις a1 και a2 ανεξάρτητες μεταβλητές.

Οι 4 δυνατοί συνδυασμοί για τις τιμές των πλατών του καναλιού: Άρα η μέση πιθανότητα σφάλματος a1 a2 Pr1 Pr2 Prt θα είναι: 0 0 0.1 0.1 0.01 0 2 0.1 0.9 0.09 2 0 0.9 0.1 0.09 2 2 0.9 0.9 0.81 P e 2 2 2(0 + 0 ) E = 0.01 Q N 0 2 2 2(0 + 2 ) E + 2 0.09 Q N 0 2 2 2(2 + 2 ) E + 0.81 Q N 0 P e = 0.005 + 0.18 Q 8E N o + 0.81 Q 16E N o

β> Σε ποιά τιμή τείνει η παραπάνω πιθανότητα αν το SNR τείνει στο άπειρο; Η Q-function είναι φθίνουρα και ισχύει: Άρα: lim Q(x) = 0 x lim P e = 0.005 SNR Είναι 10 φορές μικρότερη από την περίπτωση που ο δέκτης λαμβάνει το σήμα από ένα κανάλι.

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΛΑΤΟΥΣ ΜΕ ΥΠΑΡΞΗ ΕΠΙΚΡΑΤΟΥΣΑΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑΣ (LINE OF SIGHT COMPONENT) Πολλές φορές ο δέκτης και ο πομπός έχουν οπτική επαφή Ένα από τα συνιστώσα κύματα έχει πολύ μεγαλύτερη ισχύ από τα υπόλοιπα S = Acos 2π f c t + θ ο n i=1 ( ) + C i cos 2π f c t + θ i ( ), A>>E C i Στην περίπτωση αυτή δεν ισχύει η προηγούμενη ανάλυση. Θεώρημα: Η ισχύς του νέου σήματος ακολουθεί κατανομή Rice. [ ]

ΚΑΤΑΝΟΜΗ RICE pdf: p(r) = cdf: P(R) = P r r σ exp r 2 + Α 2 Αr 2 2σ 2 I o σ 2 r 0 0 r < 0 Α ( r R) = 1 Q 1 σ, R σ 2σ 2 K-factor: K [db] = 10log 10 A 2 pdf cdf A=v

Τροποποιημένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους μηδενικής τάξης: Marcum Q-fuction: I o (z) = 1 2π 2π 0 ( )dθ exp z cos(θ) b Q M (a,b) = x x a M 1 exp x2 + a 2 2 I M 1 (ax)dx

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ RICE Microcellular Channels Vehicle to Vehicle communication (π.χ. AVCS-Automated Vehicle Control Systems) Indoor propagation Satellite channels

NAKAGAMI-M The famous paper of Nakagami M. Nakagami, The m-distribution A general formula for intensity distribution of rapid fading, in Statistical Methods in RadioWave Propagation, W. G. Hoffman, Ed. Oxford, U. K.: Pergamon, 1960.

NAKAGAMI-M Envelope PDF p a (α) = 2mm a 2m 1 Ω m Γ(m) ma2 exp Ω, α 0 SNR PDF p γ (γ ) = mm γ m 1 exp mγ γ m, γ 0 Γ(m) γ SNR MGF SNR Moments M γ (s) = 1 sγ m E γ k m = Γ(m + k) Γ(m)m k γ k Η Gaussian κατανομή (m=0.5) και η Rayleigh (m=1) αποτελούν ειδικές περιπτώσεις της Nakagami-m. Δίνει πολύ καλές εκτιμήσεις στις επίγειες κινητές επικοινωνίες σε εσωτερικούς και εξωτερικούς χώρους, όπου η διάδοση οφείλεται στο φαινόμενο του multipath, καθώς και σε ιονοσφαιρικά radio links.

NAKAGAMI-M

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 15 Υπολογίστε την πιθανότητα διακοπής επικοινωνίας για ζεύξη σημείο-προς-σημείο, μεταξύ πομπού και δέκτη που και οι δύο διαθέτουν μία κεραία, αν η περιβάλλουσα του διαλειπτικού καναλιού ακολουθεί κατανομή Nakagami-m ΛΥΣΗ Το ισοδύναμο βασικής ζώνης λαμβανόμενο σήμα στο δέκτη θα είναι y = hs + n fading transmitted signal Συνεπώς το στιγμιαίο SNR θα είναι AWGN = h 2 E s N o

Εφόσον το h ακολουθεί Nakagami-m κατανομή, το h 2 θα ακολουθεί Gamma κατανομή και άρα το ίδιο θα ισχύει και για το SNR. Συνεπώς η CDF του SNR θα είναι th (m, m ) F ( th )= (m) όπου γ(a, x) και Γ(x) η lower incomplete Gamma και Gamma function, αντίστοιχα. και (a, x) = Z x 0 t a 1 exp( t)dt (x) = Z 1 0 t x 1 exp( t)dt

Άρα η πιθανότητα διακοπής λειτουργείας θα δίνεται από την παρακάτω έκφραση m, m th P o ( th )=F ( th )= (m)

GAMMA FUNCTIONS Ορισμοί: Gamma function (x) = Z 1 0 t x 1 exp( t)dt Upper Incomplete Gamma (a, x) = Z 1 x t a 1 exp( t)dt Lower Incomplete Gamma (a, x) = Z x 0 t a 1 exp( t)dt

ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ GAMMA FUNCTIONS Αν a θετικός ακέραιος (a, x)+ (a, x) = (a) (a) =(a 1)! ax 1 (a, x) =(a 1)! 1 e x k=0 x k k!! ax 1 (a, x) =(a 1)!e x k=0 x k k!

Envelope PDF p a (a) = ( 1+ q2 )a qω NAKAGAMI-Q (HOYT) ( ) 2 a 2 exp 1 + q 2 4q 2 Ω I ( 1 q 4 )a 2 o 4q 2 Ω, a 0 SNR PDF SNR MGF SNR Moments p a (a) = 1+ q2 2qγ ( ) 2 γ 2 1+ q exp 4q 2 γ I ( 1 q 4 )γ o 4q 2 γ, γ 0 1/2 ( M γ (s) = 1 2sγ + 2sγ ) 2 q 2 ( 1 + q 2 ) 2 E ( γ k ) = Γ( 1 + k) F 1 k 1 2, k 2 ;1, 1 q 2 1 + q 2 2 γ k Η Gaussian κατανομή (q=0) και η Rayleigh (q=1) αποτελούν ειδικές περιπτώσεις της Nakagami-m. Δίνει πολύ καλές εκτιμήσεις στις δορυφορικές επικοινωνίες και σε ιονοσφαιρικές ζεύξεις.

NAKAGAMI-Q (HOYT) - SIMULATION Καθορισμούς της μέγιστης μετατόπισης Doppler (f m ) και του πλήθους των δειγμάτων συχνότητας N για την (S(f)) 1/2. Δύο διαδοχικά δείγματα συχνοτήτων απέχουν Δf=2f m /N. Συνεπώς η χρονική διάρκεια της κυματομορφής του fading είναι ίση με T=1/Δf. Παράγουμε N/2 τυχαίες μιγαδικές Gaussian μεταβλητές (με θετικό πραγματικό και μιγαδικό τμήμα). Λαμβάνουμε τις συζυγείς Ν/2 τυχαίες μεταβλητές, οπότε κατασκευάζουμε ένα σύνολο N τυχαίων μιγαδικών μεταβλητών. Πολλαπλασιάζουμε πραγματικό τμήμα των τυχαίων μιγαδικών μεταβλητών με το (S(f)) 1/2 και εφαρμόζουμε IFFT. Το ίδιο κάνουμε και με το φανταστικό.

WEIBULL Παρουσιάζει καλό fitting με πειραματικές μετρήσεις σε κανάλια που παρουσιάζουν fading, τόσο για μετρήσεις σε εσωτερικούς, όσο και για εξωτερικούς χώρους. Η κατανομή Weibull αρχικά χρησιμοποιήθηκε για την εκτίμηση του χρόνου ζωής μηχανημάτων. Στις τηλεπικοινωνίες χρησιμοποιείται για την μοντελοποίηση της διασποράς του λαμβανόμενου σήματος σε radar. Waloddi Weibull (1887-1979)

Envelope PDF SNR PDF CDF Moments όπου: WEIBULL β 1 f ai (a i ) = β ω i a i ω i Weibul και πάλι F ai (a i ) = 1 exp a i ω i n E a i { } = ω i n Γ(d n ) exp a i ω i β β, α i 0 β: παράμετρος σχήματος της κατανομής συνδέεται με την οξύτητα του fading. Όσο το β αυξάνει, η οξύτητα μειώνεται για β=2 μιλάμε για Rayleigh pdf ωi: παράμετρος κλίμακας της κατανομής Γ(): η συνάρτηση γάμμα (Gamma Function) και: ω i = a i 2 Γ(d 2 ) d x = 1+ x β

ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΝΑΛΙΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ

IEEE 802.11 CHANNEL MODEL IEEE 802.11 2.4 GHz για εσωτερικούς χώρους Το προφίλ καθυστέρησης ισχύος ακολουθεί εκθετική κατανομή. Η απόκριση του καναλιού μπορεί να μοντελοποιηθεί ως η έξοδος ενός φίλτρου πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (FIR filter). Κάθε όρος του FIR είναι μία ανεξάρτητη Gaussian τυχαία μεταβλητή που η μέση τιμή της ισχύος της ακολουθεί εκθετικό προφίλ καθυστέρησης ισχύος.

IEEE 802.11 CHANNEL MODEL Ο μέγιστος αριθμός οδεύσεων είναι L = 10σ τ T s RMS delay spread Περίοδος δειγματοληψίας Η κρουστική απόκριση της i-οστής όδευσης του καναλιού είναι h i = h i real + jh i imag Gaussian ~N(0, σi 2 /2) με σ i 2 = σ ο 2 e it s /σ τ σ ο 2 = 1 e T s /σ τ 1 e (L max+1)t s /σ τ Αναφέρεται στην πρώτη όδευση

IEEE 802.11 CHANNEL MODEL

SALEH-VALENZUELA (S-V) CHANNEL MODEL Μετά από μετρήσεις επιβεβαιώθηκε ότι οι αφίξεις των καθυστερημένων συνιστωσών πολλαπλών οδεύσεων σε εσωτερικούς χώρους ακολουθούν κατανομή Poisson. Οι Saleh και Valenzuela θεώρησαν πολλαπλές συστάδες στο προφίλ ισχύος εσωτερικών χώρων. Η κάθε συστάδα αποτελείται από πολλαπλές ακτίνες

S-V CHANNEL MODEL Arrival Time of 1st ray of 1st Cluster Λ: μέσος ρυθμός αφίξεων των Tm. λ: μέσος ρυθμός αφίξεων των ακτίνων σε κάθε cluster.

S-V CHANNEL MODEL pdf of inter-cluster arrival times: f Tm ( T m T ) m 1 = Λe Λ ( T m T m 1 ), m = 1,2,... pdf of inter-ray arrival times: f τ m ( τ r,m τ ) r 1,m = λe λ ( τ r,m T r 1,m ), r = 1,2,... m = 0,1,... arrival time of r-th ray of m-th cluster

S-V CHANNEL MODEL Η κρουστική απόκριση του καναλιού: ( ) = β r,m e jθ r,m δ t T m τ r,m h t m=0 r=0 ( ) θr,m: ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή στο [0,2π) βr,m: ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν Rayleigh κατανομή ḟβr,m ( ) = 2β r,m β r,m 2 β r,m e βr,m 2 β r,m average power of the r-th ray in the m-th cluster σταθερά απόσβεσης στο cluster σταθερά απόσβεσης της ray β 2 r,m = β 2 0,0 exp T m Γ τ r,m γ

LOG-NORMAL S-V CHANNEL MODEL ( ) = X β r,m e jθ r,m δ t T m τ r,m h t m=0 r=0 ( ) X~N(0,σx 2 )

LOG-NORMAL S-V CHANNEL MODEL